Posouzení prutu namáhaného kombinací osové tlakové síly a … · 2019. 9. 16. · Ocelový prut namáhaný kombinací ohybu a osového tlaku – řešený příklad dle ČSN

Ocelový prut namáhaný kombinací ohybu a osového tlaku – řešený příklad dle ČSN EN 1993-1-1

Ing. Ivan Balázs, Ph.D. Ústav kovových a dřevěných konstrukcí, Fakulta stavební VUT v Brně

1

Pouze pro studijní účely

Posouzení prutu namáhaného kombinací osové tlakové síly a

ohybového momentu ve smyslu ČSN EN 1993-1-1 – řešený příklad

Předmětem příkladu je posouzení prutu namáhaného kombinací osového tlaku a ohybového

momentu s možnou ztrátou stability jak při tlaku (vzpěr), tak při ohybu. Pro posouzení se použijí

ustanovení kapitoly 6.3.3 v normě ČSN EN 1993-1-1 [1], na kterou je v pravém sloupci odkazováno.

Vstupní údaje

V rámci úlohy je řešeno posouzení prostého nosníku průřezu IPE 300 z oceli pevnostní třídy S235 o

rozpětí L = 5 m. Návrhové hodnoty zatížení jsou NEd = –100,00 kN (návrhová normálová tlaková

síla) a fz,Ed = 18,00 kN/m (návrhové rovnoměrné spojité zatížení). Nosník je použitý v ocelové

konstrukci pozemní stavby.

Okrajové podmínky jsou uvažovány jako oboustranné kloubové podepření jak pro ohyb okolo osy y,

tak okolo osy z. Deplanace průřezu je umožněna v obou podporách. Zatížení působí v úrovni horní

pásnice směrem do středu smyku.

A = 5381,00 mm2 tw = 7,10 mm

Iy = 83560000,00 mm4 r = 15,00 mm

Iz = 6038000,00 mm4 c = 56,50 mm

It = 201200,00 mm4 d = 248,60 mm

Iw = 125900000000,00 mm6 h = 300,00 mm

Wel,y = 557100,00 mm3 b = 150,00 mm

Wel,z = 80500,00 mm3 iy = 124,61 mm

Wpl,y = 628400,00 mm3 iz = 33,50 mm

Wpl,z = 125200,00 mm3 y0 = 0,00 mm

tf = 10,70 mm z0 = 0,00 mm

Materiálové charakteristiky

Ocel S235: E = 210 GPa, G = 81 GPa, fy = 235 MPa

Součinitele spolehlivosti

00,10 M (dílčí součinitel únosnosti průřezu)

00,11 M (dílčí součinitel únosnosti průřezu při posuzování stability prutu)

Zatížení



2


Vnitřní síly

Zatřídění průřezu

00,1235

235235

yf

Stojina (tlak + ohyb)

Poloha neutrálné osy při plně plastickém stavu:

00,180,0

40071,056250

0071,02486,0106284004100000

56250

1000002486,0

2486,02

1

2486,0

1

100000

56250

2

1

44

2

11

2

1

2

292

2

2

,

2

,

22

,

,

wEdy

wyplEd

Edy

Ed

Ed

Edy

tM

tdWN

M

Nd

ddN

M

[2]

13,42180,013

00,1396

113

39601,35

1,7

6,248

wt

d→ třída 1 Tab. 5.2

Pásnice (tlak)

9928,57,10

5,56

ft

c→ třída 1 Tab. 5.2

Průřez je třídy 1.



3


Posouzení

Posouzení se provede pomocí podmínek (6.61) a (6.62):

1

1

,

,,

1

,

,,

1

M

Rkz

EdzEdz

yz

M

RkyLT

EdyEdy

yy

M

Rky

Ed

M

MMk

M

MMk

N

N

(6.61)

1

1

,

,,

1

,

,,

1

M

Rkz

EdzEdz

zz

M

RkyLT

EdyEdy

zy

M

Rkz

Ed

M

MMk

M

MMk

N

N

(6.62)

Momenty v důsledku posunu těžišťové osy ΔMy,Ed a ΔMz,Ed se uplatní pouze u průřezů

třídy 4.

Interakční součinitele kyy, kyz, kzy a kzz se určí pomocí metody 1 nebo metody 2. Pro

použití v ČR je doporučeno použití metody 2.

Návrhové vnitřní síly

kNNEd 00,100

kNmM Edy 25,56,

kNmM Edz 00,0,

Charakteristické únosnosti v tlaku a v ohybu

kNfAN yRk 54,126410235105381 66 Tab. 6.7

kNmfWM yyplRky 67,1471023510628400 69

,, Tab. 6.7

kNmfWM yzplRkz 42,291023510125200 69

,, Tab. 6.7

Návrhové plastické únosnosti v ohybu

kNmfW

MM

yypl

Rdypl 64,14700,1

1023510628400 69

0

,

,,

(6.13)

kNmfW

MM

yzpl

Rdzpl 42,2900,1

1023510125200 69

0

,

,,

(6.13)



4


Vzpěrné délky

mLkL yycr 551,

mLkL zzcr 551,

mLkL wTcr 551,

Výpočet součinitelů vzpěrnosti χy a χz

Vzpěr kolmo k ose y

kNL

IEN

ycr

y

ycr 51,69275

108356000010210ππ2

1292

2

,

2

,

43,06927510

2355381

,

ycr

y

yN

fA 6.3.1.2

Křivka vzpěrné pevnosti a (h/b = 2; tf < 100 mm), α = 0,21 Tab. 6.2

62,043,02,043,021,015,02,015,0 22 yyy 6.3.1.2

94,043,062,062,0

11

2222

yyy

y

6.3.1.2

Vzpěr kolmo k ose z

kNL

IEN

zcr

zzcr 58,500

5

10603800010210ππ2

1292

2

,

2

,

59,1500580

2355381

,

zcr

y

zN

fA 6.3.1.2

Křivka vzpěrné pevnosti b (h/b = 2; tf < 100 mm), α = 0,34 Tab. 6.2

00,259,12,059,1,034,015,02,015,0 22 zzz 6.3.1.2

31,059,100,200,2

11

2222

zzz

z

6.3.1.2

Výpočet součinitele klopení χLT (6.56)

0,1 wz kk



5


80,0102012001081

10259,110210

51

ππ129

79

tw

wtIG

IE

Lk

NB.3.2

mza 15,0 NB.3.2

mzs 00,0 NB.3.2

mzzz sag 15,000,015,0 NB.3.2

mz j 00,0 NB.3.2

83,0102012001081

10603800010210

51

15,0ππ129

129

t

z

z

g

gIG

IE

Lk

z NB.3.2

00,0102012001081

10603800010210

51

00,0ππ129

129

t

z

z

j

jIG

IE

Lk

z NB.3.2

C1 = 1,13 NB.3.2

C2 = 0,46 NB.3.2

C3 = 0,53 NB.3.2

08,1053,083,046,0053,083,046,080,011

13,1

1

22

32

2

32

21

jgjgwt

z

cr CCCCk

C

NB.3.2

kNm

L

IGIEM

tz

crcr

55,975

10201200108110603800010210π08,1

π

129129

NB.3.2

23,197550

1023510628400 69

cr

yy

LTM

fW 6.3.2.2

Křivka klopení a (válcovaný průřez, h/b = 2), α = 0,21 Tab. 6.4

36,123,12,023,121,015,02,015,0 22 LTLTLT 6.3.2.2

52,023,136,136,1

11

2222

LTLTLT

LT

6.3.2.2



6


Výpočet součinitelů interakce kyy, kyz, kzy, kzz

Pro určení součinitelů interakce jsou k dispozici dvě metody: metoda 1 a metoda 2.

Při výpočtu se rozlišuje, zda je prut náchylný ke zkroucení či nikoli.

Metoda 1 [2]

V metodě 1 se prut považuje za náchylný ke zkroucení, pokud platí It ≤ Iy. Pokud je

náchylný ke zkroucení, uvažuje se v rámci posouzení s vypočítaným součinitelem

klopení (viz výše). Pokud prut náchylný ke zkroucení není, lze uvažovat χLT = 1,00.

V případě, že platí It < Iy, avšak prut je podélně průběžně podepřen spojitou příčnou

vazbou bránící příčnému vybočení, může být považován za nenáchylný ke zkroucení,

pokud je splněna následující podmínka, kde C1 je součinitel závislý na průběhu

ohybového momentu, 0 je poměrná štíhlost odpovídající konstantnímu průběhu

momentu a Ncr,T je kritická síla pro vzpěr zkroucením.

4

,,

10 112,0

Tcr

Ed

zcr

Ed

N

N

N

NC [2]

Součinitel C1 lze spočítat následujícím vztahem, kde kc je opravný součinitel:

2

1

1

ckC [2]

V řešeném příkladu platí It < Iy a prut není spojitě příčně podepřen. Je tedy považován

za náchylný ke zkroucení.

44 83560000201200 mmImmI yt

Interakční součinitele se určí dle Tab. A.1. Pro řešenou úlohu se uplatní hodnoty pro

plasticitní návrh (jedná se o průřez třídy 1).

yy

ycr

Ed

y

mLTmyyyC

N

NCCk

1

1,

Tab. A.1

y

z

yz

zcr

Ed

y

mzyzw

w

C

N

NCk

6,01

1,

Tab. A.1

z

y

zy

ycr

Ed

zmLTmyzy

w

w

C

N

NCCk

6,01

1,

Tab. A.1



7


zz

zcr

Ed

y

mzzzC

N

NCk

1

1,

Tab. A.1

Výpočet pomocných součinitelů

Pomocný součinitel ekvivalentního konstantního momentu Cmy,0 a Cmz,0 pro

parabolický průběh momentu My,Ed a nulový moment Mz,Ed:

00,151,6927

00,10003,0103,01

,

0, ycr

Edmy

N

NC Tab. A.2

01,158,500

00,10003,0103,01

,

0, zcr

Edmz

N

NC Tab. A.2

Výpočet poměrné štíhlosti odpovídající konstantnímu průběhu momentu

0,1 wz kk

80,0102012001081

10259,110210

51

ππ129

79

tw

wtIG

IE

Lk

NB.3.2

mza 00,0 NB.3.2

mzs 00,0 NB.3.2

mzzz sag 00,000,000,0 NB.3.2

mz j 0 NB.3.3

00,0102012001081

10603800010210

51

00,0ππ129

129

t

z

z

g

gIG

IE

Lk

z NB.3.2

00,0102012001081

10603800010210

51

00,0ππ129

129

t

z

z

j

gIG

IE

Lk

z NB.3.2

C1 = 1,00 NB.3.2

C2 = 1,00 NB.3.2

C3 = 1,00 NB.3.2

28,1000,100,000,0000,100,000,180,011

00,1

1

22

32

2

32

21

jgjgwt

z

cr CCCCk

C

NB.3.2



8


kNm

L

IGIEM

tz

crcr

61,1155

10201200108110603800010210π28,1

π

129129

NB.3.2

13,1115610

1023510628400 69

0

cr

yy

M

fW 6.3.2.2

Součinitele ekvivalentního konstantního momentu Cmy a Cmz

Pro 4

,,

10 112,0

Tcr

Ed

zcr

Ed

N

N

N

NC platí: Tab. A.1

0,mymy CC , 0,mzmz CC , 00,1mLTC Tab. A.1

Vyčíslení:

13,194,0

1122

1

ckC Tab. 6.6

2222

0

2

0

222

0 016781,0034,0125,0 mzyiii zy

kN

L

IEIG

iN

Tcr

tTcr

16,15935

10259,110210π102012001081

016781,0

1

π1

2

792129

2

,

2

2

0

,

[3]

4

,,

10 112,0

Tcr

Ed

zcr

Ed

N

N

N

NC

2,016,1593

00,1001

58,500

00,100113,12,013,1 4

V řešeném příkladu je poměrná štíhlost odpovídající konstantnímu průběhu momentu

větší než uvedený výraz. Součinitele ekvivalentního konstantního momentu se určí

pomocí následujících vztahů:

2,013,1 LTy

LTy

mymymya

aCCC

11 0,0, Tab. A.1

0,mzmz CC Tab. A.1



9


00,1

11,,

2

Tcr

Ed

zcr

Ed

LTmymLT

N

N

N

N

aCC Tab. A.1

43,510557100100000

105381562509

6

,

,

yelEd

Edy

yWN

AM Tab. A.1

00,000,183560000

20120011

y

tLT

I

Ia Tab. A.1

00,100,143,51

00,143,500,1100,1

11 0,0,

LTy

LTy

mymymya

aCCC

Tab. A.1

01,10, mzmz CC Tab. A.1

11,1

16,1593

1001

58,500

1001

00,100,1

11

2

,,

2

Tcr

Ed

zcr

Ed

LTmymLT

N

N

N

N

aCC

Tab. A.1

Pomocné hodnoty:

00,1

51,6927

10094,01

51,6927

1001

1

1

,

,

ycr

Edy

ycr

Ed

y

N

N

N

N

Tab. A.1

85,0

58,500

10031,01

58,500

1001

1

1

,

,

zcr

Edz

zcr

Ed

z

N

N

N

N

Tab. A.1

5,113,1557100

628400

,

,

yel

ypl

yW

Ww Tab. A.1

50,15,189,180500

152500

,

, z

zel

zpl

z wW

Ww Tab. A.1



10


08,0

00,1

54,1264

00,100

1

M

Rk

Edpl N

Nn

Tab. A.1

59,159,1;43,0max;maxmax zy Tab. A.1

00,02942014764052,0

00,05625013,100,15,0

5,0

2

,,,,

,,2

0

RdzplRdyplLT

EdzEdy

LTLTMM

MMab

Tab. A.1

89,0628400

55710096,0

00,008,059,100,113,1

6,159,100,1

13,1

6,12113,11

6,16,1211

,

,

222

2

max

2

max

2

ypl

yel

LTplmy

y

my

y

yyy

W

W

bnCw

Cw

wC

Tab. A.1

82,014764052,000,1

56250

59,15

13,100,110

510

4

2

,,

,

4

2

0

RdyplLTmy

Edy

z

LTLTMC

Mac

Tab. A.1

48,044,0125200

80500

13,1

50,16,06,048,0

82,008,05,1

59,101,1142150,11

14211

,

,

5

22

5

2

max

2

yz

zpl

zel

y

z

LTpl

z

mz

zyz

CW

W

w

w

cnw

CwC

Tab. A.1

00,02942077,0

00,0

14764052,000,1

56250

59,11,0

13,100,12

1,02

4

,,

,

,,

,

4

0

Rdzplmz

Edz

RdyplLTmy

Edy

z

LTLTMC

M

MC

Mad

Tab. A.1



11


46,0628400

557100

50,1

13,16,06,082,0

00,008,013,1

59,100,1142113,11

14211

,

,

5

22

5

2

max

2

ypl

yel

z

y

LTpl

y

my

yzy

W

W

w

w

dnw

CwC

Tab. A.1

22,014764052,000,1

56250

59,11,0

13,100,17,1

1,07,1

4

,,

,

4

0

RdyplLTmy

Edy

z

LTLTMC

Mae

Tab. A.1

64,0125200

8050079,0

22,008,059,101,150,1

6,159,101,1

50,1

6,12150,11

6,16,1211

,

,

222

2

max

2

max

2

zpl

zel

LTplmz

z

mz

z

zzz

W

W

enCw

Cw

wC

Tab. A.1

Interakční součinitele pro plasticitní návrh

17,196,0

1

51,6927

00,1001

00,111,100,1

1

1,

yy

ycr

Ed

y

mLTmyyyC

N

NCCk

Tab. A.1

82,113,1

50,16,0

48,0

1

58,500

00,1001

00,101,16,0

1

1,

y

z

yz

zcr

Ed

y

mzyzw

w

C

N

NCk

Tab. A.1

61,050,1

13,16,0

82,0

1

51,6927

00,1001

85,011,100,1

6,01

1,

z

y

zy

ycr

Ed

zmLTmyzy

w

w

C

N

NCCk

Tab. A.1



12


36,179,0

1

58,500

00,1001

85,001,1

1

1,

zz

zcr

Ed

zmzzz

C

N

NCk

Tab. A.1

Posouzení dle metody 1

1

1

,

,,

1

,

,,

1

M

Rkz

EdzEdz

yz

M

RkyLT

EdyEdy

yy

M

Rky

Ed

M

MMk

M

MMk

N

N

(6.61)

194,0

00,1

42,29

00,000,082,1

00,1

67,14752,0

00,025,5617,1

00,1

54,126494,0

00,100

1

1

,

,,

1

,

,,

1

M

Rkz

EdzEdz

zz

M

RkyLT

EdyEdy

zy

M

Rkz

Ed

M

MMk

M

MMk

N

N

(6.62)

170,0

00,1

42,29

00,000,036,1

00,1

67,14752,0

00,025,5661,0

00,1

54,126431,0

00,100

Obě podmínky jsou splněny. Při použití metody 1 průřez vyhovuje, maximální

využití je 94 %.

Metoda 2 [2]

Podle metody 2 mohou být jako nenáchylné ke zkroucení považovány tyto prvky:

prvky s průřezem kruhové trubky

prvky s průřezem obdélníkové trubky za předpokladu, že h / b ≤ 10 / z

prvky otevřeného průřezu za předpokladu, že jsou příčně průběžně

(spojitě) podepřeny proti příčnému posunu a natočení, tedy pokud jsou

splněny podmínky (BB.2) a (BB.4) v ČSN EN 1993-1-1, příl. BB.

V řešeném příkladu je prut považován za náchylný ke zkroucení, jelikož žádná

z výše uvedených podmínek není splněna.

Interakční součinitele pro pruty náchylné ke zkroucení se určí dle Tab. B.2. Pro

řešenou úlohu se uplatní hodnoty pro plasticitní návrh (jedná se o průřez třídy 1).

11

8,012,01

M

Rky

Edmy

M

Rky

Edymyyy N

NC

N

NCk

Tab. B.2



13


zzyz kk 6,0 Tab. B.2

11

25,0

1,01

25,0

1,01

M

Rkz

Ed

mLT

M

Rkz

Ed

mLT

zzy N

N

CN

N

Ck

pro 4,0z Tab. B.2

1

25,0

1,016,0

M

Rkz

Ed

mLT

zzzy N

N

Ck

pro 4,0z Tab. B.2

11

4,116,021

M

Rkz

Edmz

M

Rkz

Edzmzzz N

NC

N

NCk

Tab. B.2

Vyčíslení součinitelů ekvivalentního konstantního momentu

Součinitel Cmy

Vzdálenost bodů podepřených ve směru z je shodná s rozpětím. Moment mezi těmito

body má parabolický průběh.

0 Tab. B.3

00,025,56

00,0

s

hh

M

M Tab. B.3

95,000,005,095,005,095,0 hmyC Tab. B.3

Součinitel Cmz

Vzdálenost bodů podepřených ve směru y je shodná s rozpětím. Moment mezi těmito

body je nulový.

00,0 Tab. B.3

60,000,04,06,04,06,0 mzC Tab. B.3

Součinitel CmLT

Vzdálenost bodů podepřených ve směru y je shodná s rozpětím. Moment mezi těmito

body má parabolický průběh.

95,000,005,095,005,095,0 hmLTC Tab. B.3

Interakční součinitele



14


01,1

00,1

54,126494,0

00,1008,0195,08,0196,0

00,1

54,126494,0

00,1002,043,0195,02,01

1

1

M

Rky

Edmy

M

Rky

Edymyyy

N

NC

N

NCk

Tab. B.1

49,081,06,06,0 zzyz kk Tab. B.1

96,096,0

00,1

54,126431,0

00,100

25,095,0

1,01

25,0

1,0194,0

00,1

54,126431,0

00,100

25,095,0

59,11,01

25,0

1,01

1

1

zy

M

Rkz

Ed

mLT

M

Rkz

Ed

mLT

zzy

k

N

N

C

N

N

Ck

Tab. B.1

00,1

54,126431,0

00,1006,059,12160,0

6,021

1M

Rkz

Edzmzzz N

NCk

81,081,0

00,1

54,126431,0

00,1004,1160,04,1199,0

1

zz

M

Rkz

Edmz

k

N

NC

Tab. B.1



15


Posouzení dle metody 2

1

1

,

,,

1

,

,,

1

M

Rkz

EdzEdz

yz

M

RkyLT

EdyEdy

yy

M

Rky

Ed

M

MMk

M

MMk

N

N

(6.61)

179,0

00,1

42,29

00,000,049,0

00,1

67,14752,0

00,025,5696,0

00,1

54,126494,0

00,100

1

1

,

,,

1

,

,,

1

M

Rkz

EdzEdz

zz

M

RkyLT

EdyEdy

zy

M

Rkz

Ed

M

MMk

M

MMk

N

N

(6.62)

195,0

00,1

42,29

00,000,081,0

00,1

67,14752,0

00,025,5696,0

00,1

54,126431,0

00,100

Obě podmínky jsou splněny. Při použití metody 2 průřez vyhovuje, maximální využití

je 95 %.

Použité zdroje

[1] ČSN EN 1993-1-1 Eurokód 3: Navrhování ocelových konstrukcí – Část 1-1: Obecná pravidla

a pravidla pro pozemní stavby. Praha: Český normalizační institut, 2006.

[2] DA SILVA, L. S., SIMÕES, R., GERVÁSIO, H. Design of Steel Structures. Berlin: ECCS –

European Convention for Constructional Steelwork, 2016. ISBN 978-92-9147-134-8.

[3] ČSN EN 1993-1-3 Eurokód 3: Navrhování ocelových konstrukcí – Část 1-3: Obecná pravidla

– Doplňující pravidla pro tenkostěnné za studena tvarované prvky a plošné profily. Praha:

Český normalizační institut, 2008.

Documents

Posouzení prutu namáhaného kombinací osové tlakové síly a … · 2019. 9. 16. · Ocelový prut namáhaný kombinací ohybu a osového tlaku – řešený příklad dle ČSN