Postoptimalna Analiza Linearnog Programiranja

8/17/2019 Postoptimalna Analiza Linearnog Programiranja

1/185

Postoptimalna analiza linearnog programiranja

U v o d

U postupku optimizacije pojedinih problema, važna etapa koja pruža korisne

informacije menadžmentu preduzeća, koje on može da iskoristi u donošenju konačnih

odluka o pokretanju nekih aktivnosti u organizaciji proizvodnje i poslovanja preduzeća

uopšte, jeste svakako postoptimalna analiza. u se, nakon odre!ivanja optimalnog

rešenja, variraju pojedini parame" tri matematičkog modela zadatka #$"a i posmatra se

kako ta promena utiče na strukturu baze vektorskog prostora za koju je optimalno rešenje

dobijeno.

%akle, u postupku postoptimalne analize, umesto rešavanja novog zadataka #$"a

uz izmenjene uslove, moguće je ispitati optimalnost dobijenog rešenja uz variranje

pojedinih para"metara matematičkog modela&

F ' c ( X

A · X ' b )*+

X -

%rugim rečima, ispituju se promene vektora c čije su koordinate u stvari

koeficijenti funkcije cilja F , vektora b čije su koordinate slobodni članovi u sistemu

ograničenja i, na kraju, možemo varirati koeficijente aij matrice A, tj. koeficijente

promenljivih veličina. ako je poznato iz primera, parametri matematičkog modela )*+

mogu da predstavljaju razne ekonomske veli"čine kao što su sirovine koje se koriste u

procesu proizvodnje, uposlenost pojedinih kapaciteta, angažovanu radnu snagu, utrošenu

energiju itd.


2/185


1. Postoptimalna analiza

#inearna optimizacija predstavlja skupinu metoda koje omogućuju nalaženje

najpovoljnijih rešenja raznovrsnih problema.

$ostupak postoptimalne analize je postupak koji se koristi za ispitivanje da li

će promena nekog od parametara modela linearnog programiranja uticati na promenu već

izračunatog optimalnog rešenja. $rimenom postoptimalne analize može se doći do jednog

od sledeća dva zaključka&

a+ nastale promene u vrednosti parametara modela neće dovesti do promene

vektorske baze na osnovu kojeg je odre!eno optimalno rešenje.

b+ prethodno izračunato optimalno rešenje u uslovima novih vrednosti

parametra modela ne može ostati optimalno.

2. Promena vektora c u postoptimalnoj analizi

Vektor c sadrži koeficijente koje se nalaze uz sve promenjive zadatka. /akon

odre!ivanja optimalnog rešenja može doći do promene koeficijenata koji se ne nalaze u

optimalnom rešenju kao i promene koeficijenata koje se nalaze uz bazične promenjive

optimalnog rešenja.0bog toga, ispitivanje uticaja promene vrednosti elementa vektora c

realizujemo različito, zavisno &

*. da li se menjaju koeficijenti uz nebazične promenjive optimalnog rešenja1

2. da li se menjaju koeficijenti uz bazične promenjive optimalnog rešenja.

2. 1. Promena koeficijenata nebazičnih promenljivih

)3j se menja ,a 0j ostaje nepromenjeno +

$retpostavimo da se koeficijent 3 koji se nalazi uz nebazičnu promenjivu u f"ji

cilja menja, pri čemu nastalu promenu možemo predstaviti oblikom 3j4 ' 3j 63j.

%a bi utvrdili da li u novim uslovima rešenje izračunato na osnovu baze 7"opt i

dalje ostaje optimalno,neophodno je da proverimo da li će povećanje vrednosti

koeficijenta 3j dovesti do potrebe za uvo!enjem prethodno nebazičnog vektora 8j u bazu


3/185


, da li je narušen uslov optimalnosti.. U tom cilju primenjuje se 9impe: kriterijum za

ulazak u bazu sa novom vrednošću koeficijenta 3j4 )vrednost 0j ostaje nepromenjena jer

je ona izračunata na osnovu koeficijenata bazičnih promenjivih+, odnosno

3j4 " 0j ') 3j 63j+ "0j ' )3j"0j+ 63j ...)j'*,...p+

%a bi rešenje odre!eno na osnovu baze 7"opt ostalo optimalno rešenje neophodno

je da konstatujemo da nijedan od nebazičnih vektora ne treba da u!e u bazu ,to će se

dogoditi ukoliko je &

3j4 " 0j ;< )j'*,.....p+.


4/185


2. 2. Promena koeficijenata bazičnih promenljivih

)3j A 0j +

%a bi ispitali kako promena vrednosti koeficijenata koji se u funkciji nalazi uz

promenjjive iz optimalne baze utice na optimalnost rešenja, treba utvrditi vrednosti

razlika )3j " 0j+ za nebazicne vektore. 9 obzirom da vrednosti koeficijenta 3j )j'*,...p+ za

nebazicne vektore ostaju neprimenjene neophodno je izracunati i vrednosti 0j )j'*,....p+

za sve nebazicne promenjive.

/eka je 3b vektor koeficijenta koji se u f"ji cilja nalaze uz bazicne promenjive iz

optimalnog rešenja. $retpostavimo da je došlo do povecanja vrednosti ovih koeficijenata

za iznos 3b ./ovi vektor ovih koeficijenata je 3b' 3b 3b

Brednosti 0j za nebazicne vektore bile su odredene iz relacije

0j ' 3b(Cj )j'*D.n+

Ede je λj vektor koeficijenata linearne kombinacije bazičnih vektora i nebazičnog

vektora Aj izračunat u obliku Cj'7 F* 8j )j'*....p+ ostaje nepromenjen.

Brednosti j u uslovima promenjenih koeficijenata vektora !b odre!ujemo na sledeći

način&

0j4 ' 3b4 Cj ' )3b 63b+ Cj ' 3b Cj 63b Cj ' 0j 60j )j'*Dn+

Uz pretpostavku da se menjaju samo koeficijenti bazičnih promenjivih, što znači

da vrednosti !j ostaju nepromenjene kriterijum optimalnosti rešenja će biti

3j" 0j460j '3j")0j60j+ ;< ukoliko je 60j=)3j"0j+ )j'*...p+

ada već izračunato optimalno rešenje ostaje i dalje optimalno, tj. Bektor Aj ne

treba da u!e u bazu. U suprotnom slučaju kada postoji makar jedna pozitivna razlika

kriterijuma optimalnosti, izračunato rešenje više nije optimalno rešenje već se u bazu

novog rešenja mora uključiti prethodno nebazični vektor Aj za koju je ova razlika

ma:imalno pozitivna.


5/185


ombinacijom ova dva razmatrana slucaja )promena koeficijenta nebazicnih i

bazicnih+. Gožemo odrediti kriterijum optimalnosti u uslovima promena svih

koeficijenata f"je cilja, kada bi imali

3jH"0jH')3j.3j+" )0j.0j+')3j"0j+) .3j".0j+'< )j'*.....p+


6/185


&. Promena matrice A u postupku postoptimalne analize

$romena elemenata matrice A tj.promena koeficijenata aij u sistemu ograničenja

modela linearnog programiranja, može izazvati neophodnost promene optimalnog

rešenja, što se ispituje u postupku postoptimalne analize. U slučaju ovakve promene u

postupku postoptimalne analize optimalnost rešenja u novim uslovima može biti

ispitivana za različite promene @ to&

. $romena nebazičnog vektora,

. $romena bazičnog vektora,

. Uvodjenje novog vektora aktivnosti )nove promenljive+,

. Uvodjenje novog ograničenja.

&.1. Promena nebazično$ vektora A j

Ukoliko nakon odredjivanja optimalnog rešenja modela dodje do promene

elemenata nebazičnog vektora A j postupak ispitivanja optimalnosti realizujemo

korišćenjem kriterijuma optimalnosti.

/eka A j * predstavlja promjenjeni j 'ti nebazični vektor. %a bi utvrdili da li taj

vektor treba uključiti u bazu, odnosno da li optimalno rešenje treba menjati izračunavamo

vrednosti&

IjH' )αaopt +"* K 8jH

koje su nam neophodne radi odredjivanja vrednosti 0jH, u obliku

0jH' 3J IjH

nakon čega pretpostavljajući da su koeficijenti u funkciji cilja ostali nepormenjeni

primenjujemo kriterijum optimalnosti, odnosno izračunavamo razliku 3j"0jH . Ukoliko je

)3j"0Hj+>'- , rešenje izračunato na osnovu baze αopt i dalje ostaje optimalno. Ukoliko

je, medjutim, )3j"0jH+= - , zaključak je suprotan " prethodno rešenje neće u novim


7/185


uslovima biti optimalno, vec se uvodjenjem u bazu vektora 8jH može dobiti poboljšano

rešenje.

$rikazana analiza uticaja promene nebazičnog vektora na optimalnost rešenja,

realizuje se i u slučaju ispitivanja uticaja uvodjenjem novog vektora aktivnosti )uz

poznati koeficijent koji se u funkciji cilja nalazi uz novu promenljivu+.

&.2. Promena bazično$ vektora Ai


8/185



9/185


08%88 *.


10/185



11/185



12/185



13/185



14/185



15/185


0adatak 2 A $ostoptimalna analiza

Mirma proizvodi dve vrste boja& za unutrašnje )U+ i za spoljašnje )9+ radove.

$roizvedene količine boja firma isporučuje trgovini na veliko. 0a proizvodnju ovih boja

koriste se sirovine 8 i J. Gaksimalno moguće dnevne zalihe sirovina 8 i J iznose

respektivno N i O tona. Utrošak sirovina 8 i J u tonama za proizvodnju jedne tone svake

od boja iznosi&

8naliza tržišta u dužem periodu pokazuje da dnevna potražnja boje U nikada

ne premašuje potražnju boje 9 više od jedne tone. ako!e je uočeno da dnevna potražnja

boje U nikada ne prelazi 2 tone dnevno.

3ene jedne tone boja jednake su& P hiljade dinara za jednu tonu boje 9 i 2

hiljade dinara za jednu tonu boje U. oje količine boja )u tonama+ treba da proizvede

firma, tako da se realizacijom proizvodnje ostvari maksimalna zaradaQ

Lešenje&

$rvi zadatak analize osteljivosti& uticaj promena količine sirovina na

optimalno rešenje.

*+ 0a koliko mogu da se uvećaju zalihe sirovina 8 ili J da bi se poboljšalo

optimalno rešenjeQ

2+ 0a koliko mogu da se smanje zalihe neke sirovine a da se zadrži dobijeno

optimalno rešenjeQ

" 8ktivna i neaktivna ograničenja. $rava koja predstavlja aktivno ograničenje

prolazi kroz optimalnu tačku. $rava koja ne prolazi kroz optimalnu tačku predstavlja

neaktivno ograničenje. 8ko je neko ograničenje aktivno, onda je logično da se taj resurs

proglasi i deficitarnnim, jer se u potpunosti koristi u proizvodnji. Lesurs kome odgovara

neaktivno ograničenje je nedeficitarni resurs, jer se po realizaciji proizvodnje ne utroše

sve njegove zalihe.

$ri analizi osetljivosti modela u odnosu na promene desnih strana ograničenja

odra!ujemo&


16/185


" Eranično dopustivo uvećanje zaliha deficitarnog resursa, koje će omogućiti

poboljšanje optimalnog rešenja

" Eranično dopustivo smanjenje zaliha nedeficitarnog resursa, koje neće

izmeniti optimalnu vrednost funkcije cilja.

%rugi zadatak analize osetljivosti& oji je resurs najpogodnije uvećatiQ

%opuna resursa zahteva dodatno ulaganje novca, pa je prirodno postaviti

pitanje& om resursu dati prednost u ulaganju dodatnih sredstavaQ

Uvodimo karakteristiku značajnosti svake dodatne jedinice deficitarnog

resursa.


17/185


a k lj u č a k

$ostoptimalna analiza je važna etapa koja pruža korisne informacije

menadžmentu preduzeća u postupku optimizacije pojedinih problema, koje on može daiskoristi u donošenju konačnih odluka o pokretanju nekih aktivnosti u organizaciji

proizvodnje i poslovanja preduzeća uopšte.

/akon odre!ivanja optimalnog rešenja, variraju pojedini parametri matematičkog

modela zadatka #$"a i posmatra se kako ta promena utiče na strukturu baze vektorskog

prostora za koju je optimalno rešenje dobijeno.

U postupku postoptimalne analize, umesto rešavanja novog zadataka #$"a uz

izmenjene uslove, moguće je ispitati optimalnost dobijenog rešenja uz variranje pojedinih

parametara matematičkog modela.

@spituju se promene vektora c čije su koordinate u stvari koeficijenti funkcije cilja

F , vektora b čije su koordinate slobodni članovi u sistemu ograničenja i, na kraju,

možemo varirati koeficijente aij matrice A, tj. koeficijente promenljivih veličina.

$arametri matematičkog modela mogu da predstavljaju razne ekonomske

veličine kao što su sirovine koje se koriste u procesu proizvodnje, uposlenost pojedinih

kapaciteta, angažovanu radnu snagu, utrošenu energiju itd.


18/18


/ i t e r a t u r a0

[1]Božinović Milan, Stojanović Vladica (2!"# Matematičke metode

i modeli u ekonomiji preduzeća, Vi$a e%onoms%a $%ola &eposavić,

&eposavić[2]'ttp))*e+e-zg'r)do%)./0)eric)spo)

(2a"linearnoprogramiranjepd- [3] 'ttp))smart+asiced4rs)*p5content)4ploads)211)11)S%ripta5iz5

modelapd- [6]'ttps))+sscri+dcom)doc)12!768779):P;

Documents

Postoptimalna Analiza Linearnog Programiranja