Potencia de base real y exponente entero

Repblica Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educacin

U.E.R Andrs Bello

3er Ao Seccin A

Corozal Edo. Gurico

NUMEROS REALES

Marzo, 2015

INDICE

Nmeros reales. Pg. 2Potencia de base real y exponente entero.... 2Potencias.... . 3Propiedades de los Exponentes. . 3Propiedades de las potencias. .. 4

Raz de un nmero real... 4 Leyes de la radicacin. 6Racionalizacin de fracciones con radicales... 10 Races reales. 11IntroduccinEn matemticas, los nmeros reales (designados por ) incluyen tanto a los nmeros racionales (positivos, negativos y el cero) como a los nmeros irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes1 (1970) no se pueden expresar mediante una fraccin de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperidicas, tales como: Euler INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/8/4/8/848447d7391e93c7937ebe2a6089031e.png" \* MERGEFORMATINET

, el nmero real log2, cuya trascendencia fue enunciada por en el siglo XVIII.1Los nmeros reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propsitos formales de matemticas y otras ms complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemtico formal.As mismo la potenciacin es una multiplicacin de varios factores iguales, al igual que la multiplicacin es una suma de varios sumandos iguales, (la potenciacin se considera una multiplicacin abreviada).En la nomenclatura de la potenciacin se diferencian dos partes, la base y el exponente, que se escribe en forma de superndole. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por s misma.Nmeros realesUn nmero es la expresin de una cantidad con relacin a su unidad. El trmino proviene del latn numrus y hace referencia a un signo o un conjunto de signos. La teora de los nmeros agrupa a estos signos en distintos grupos. Los nmeros naturales, por ejemplo, incluyen al uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4), cinco (5), seis (6), siete (7), ocho (8), nueve (9) y, por lo general, al cero (0).

Los nmeros reales son los que pueden ser expresados por un nmero entero (3, 28, 1568) o decimal (4,28; 289,6; 39985,4671). Esto quiere decir que abarcan a los nmeros racionales (que pueden representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto a cero) y los nmeros irracionales (los que no pueden ser expresados como una fraccin de nmeros enteros con denominador diferente a cero).

Otra clasificacin de los nmeros reales puede realizarse entre nmeros algebraicos (un tipo de nmero complejo) y nmeros trascendentes (un tipo de nmero irracional).

Ms concretamente nos encontramos con el hecho de que los nmeros reales se clasifican en nmeros racionales e irracionales. En el primer grupo se encuentran a su vez dos categoras: los enteros, que se dividen en tres grupos (naturales, 0, enteros negativos), y los fraccionarios, que se subdividen en fraccin propia y en fraccin impropia. Todo ello sin olvidar que dentro de los citados naturales tambin hay tres variedades: uno, naturales primos y naturales compuestos.

Potencia de base real y exponente entero

Al igual que se ha hecho con los naturales y enteros, podemos multiplicar por s mismo varias veces un nmero real, ese producto se puede expresar en forma de potencia.

En el caso de potencias base racional hay que tener presente que

En este apartado vamos a trabajar con potencias cuya base es cualquier nmero real y el exponente es un entero. Este es el caso de potencias del tipo

Relacin entre potencias de exponente entero positivo y exponente entero negativo

POTENCIAS Los exponentes son una manera reducida de repetir una multiplicacin del mismo nmero por s mismo. Por ejemplo, la forma reducida de multiplicar tres veces el nmero 5 se muestra en el miembro derecho de la siguiente igualdad (5)(5)(5) = 53.La notacin exponencial o potencia es una forma sencilla de escribir un nmero como producto de factores. BaseExponente El exponente nos indica cuntas veces la base se multiplica por s misma.Propiedades de los Exponentes1. Producto de bases iguales: Para multiplicar potencias de la misma base, se suman los exponentes y se mantiene la base comn.Enteros: 2 2 23 = 2 2 2 2 2 = 2 5Variable:x m xn = x m + n2. Cociente de bases iguales: Para dividir potencias de la misma base, se restan los exponentes y se mantiene la base comn.Enteros: 25:22 = (2 2 2 2 2):(2 2 2) = 23Variable: xm xn = xm-n3. Potencia de una potencia: Para elevar una potencia a un exponente, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.Enteros: (23)2 = 23 23 = 26Variable: (xm)n = xmn4. Potencia de un Producto: Para elevar un producto a un exponente, se elevan cada uno de los factores a ese exponente.5. Potencia de un cociente: Para elevar un cociente a un exponente, se eleva cada uno de los nmeros a ese exponente.Propiedades de las potencias

Potencias de exponente cero

a0 = 160 = 1

Potencias de exponente uno

a1 = a61 = 6

Signo

Las potencias de exponente par son siempre positivas.

Las potencias de exponente par son siempre positivas.

26 = 64

(2)6 = 64

Las potencias de exponente impar tiene el mismo signo de la base.

23 = 8

(2)3 = 8

Potencias de exponente entero negativo

Potencias de exponente racional

Potencias de exponente racional y negativo

Multiplicacin de potencias con la misma base

am a n = am+n75 72 = 75+2 = 77Divisin de potencias con la misma base

am : a n = am - n75 : 72 = 75 - 2 = 73

Potencia de un potencia

(am)n=am n (75)3 = 715

Multiplicacin de potencias con el mismo exponente

an b n = (a b) n23 43 = 83Divisin de potencias con el mismo exponente

an : b n = (a : b) n63 : 33 = 23PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS

Ya conoces que la potencia es la forma abreviada de expresar el producto de un nmero, letra o expresin algebraica por s misma.

De esta forma la base representa el factor que se repite, el exponente la cantidad de veces que se repite este factor y llamamos potencia al resultado que se obtiene.La operacin de calcular la potencia se llama potenciacin. En este caso estamos en presencia de la potencia n-sima de a.

La aplicacin del producto y del cociente de potencias de igual base y de otras propiedades te permiti facilitar el clculo.Hasta el momento estas propiedades eran aplicadas a potencias de base racional y exponente natural diferente de cero.

Recuerda Producto de potencias de igual base Cociente de potencias de igual base

Conoces adems que: Una potencia de base positiva siempre es positiva. Una potencia de base negativa es positiva si el exponente es par y es negativa si el exponente es impar.

Te propongo ahora determinar el resultado de:

Seguramente piensas aplicar el cociente de potencias de igual base al hacerlo resulta:

Hasta el momento estas propiedades eran aplicadas a potencias de base racional y exponente natural diferente de cero, entonces cmo proceder ante una potencia que tiene exponente cero o exponente negativo.

Veamos qu resultado obtenemos si expresamos las potencias como los productos que ellas representan y simplificamos

De esta forma podemos decir que: Todo nmero racional diferente de cero, elevado al exponente cero, es igual a 1. Todo nmero racional, diferente de cero, elevado a un exponente negativo, es igual a una fraccin cuyo numerador es 1 y su denominador es el mismo nmero racional con el exponente positivo. Estas propiedades pueden representarse de la siguiente forma:

A partir de la aplicacin del producto de potencias de la misma base conocers otras propiedades.Puede representarse esta propiedad de esta manera:

En el ejemplo de la derecha se presenta la potencia de un producto, para resolverlo se puede multiplicar este producto tantas veces como lo indique el exponente, segn el concepto de potencia y en esta multiplicacin se pueden asociar los factores iguales pues la multiplicacin es asociativa y conmutativa.Al expresar esta multiplicacin en forma de potencia cada factor queda elevado al exponente del producto.Esta propiedad es vlida tanto para la potencia de un producto como para la potencia de un cociente: Para determinar la potencia de un producto, se eleva cada factor al exponente del producto indicado. Para determinar la potencia de un cociente, se eleva el dividendo y el divisor al exponente del producto indicado.

Raz ensima de un nmero real

Sea Se define a la raz ensima de a y se denota como el nmero real positivo que cumple la igualdad: Simblicamente tenemos:

Ejemplo

a.) pues ; en este caso decimos que es la raz cbica de b.) pues en este caso decimos que es la raz cuarta de c.) pues en este caso decimos que es la raz cuadrada de

Notacin

Sea La raz ensima de tambin se denota es decir:

Ejemplo

a.)La raz cbica de se puede denotar como o , es decir: b.) La raz cuarta de se puede denotar como o , es decir: As usando el hecho de que La realci (1) se expresa as:

Ejemplo

a.) pues b.) pues c.) pues Sea

En la expresin Ejemplo

a.) En es el ndice del radical y es el subradical.

b.) En es el ndice del radical y es el subradical.

c.) En es el ndice del radical y es el subradical.

Sea Entonces se cumple que:

Demostracin:

1. demostraremos que Sea , entonces, por definicin As:

O sea; 2. demostraremos que Sea , entonces, por definicin As:

O sea; Observacin

De los resultados anteriores se obtiene que:

Si entonces:

Ejemplo

Escriba en notacin decimal la raz cuarta de

Solucin

factoricemos

De aqu se tiene que ,

por lo que: ,

o sea; la raz cuarta de es .

Ejemplo

Escriba en notacin decimal la raz sexta de Solucin

Factoricemos

De aqu se tiene que ,

por lo que: ,

o sea; la raz sexta de es .

Ejemplo

Escriba en notacin decimal la raz tercera de

Solucin

factoricemos

De aqu se tiene que ,

por lo que: ,

o sea; la raz tercera de es .

Notacin:

Sea entonces se acostumbra a escribir como , es decir, cuando el ndice de un radical es , este no se escribe.

Leyes de la radicacinLa radicacin se define como la operacin inversa de la potenciacin. La potenciacin es una expresin matemtica que incluye dos trminos denominados: base a y exponente n. Se escribe de la siguiente forma:

Se lee como, a elevado a nPara comprender mejor la definicin de radicacin, supongamos que nos dan un nmero a y nos piden calcular otro, de forma tal que, multiplicado por si mismo un nmero b de veces nos da el numero a. Por ejemplo si queremos averiguar qu nmero multiplicado por si mismo 2 veces da 196, obtenemos como resultado, 14.

Se llama raz cuadrada de un nmero (algunas veces se abrevia como raz a secas) a aquel otro que siendo mayor o igual que cero, elevado al cuadrado, es igual al primero. En la radicacin El nmero que est dentro de la raz se denomina radicando (a), el grado de una raz se denomina ndice del radical (n) el resultado se denomina coeficiente (k).

Las propiedades de la radicacin son bastante parecidas a las propiedades de la potenciacin, ya que una raz es una potencia con exponente racional.

Ejemplo de un radical en forma de potencia:

Veremos ahora las propiedades de la radicacin:

Es distributiva con respecto a la multiplicacin y a la divisin.

Veamos un ejemplo: En la divisin,

En la multiplicacin,

No es distributiva con respecto a la suma y a la resta.

Ejemplos:

En la suma,

En la resta

Si el ndice es par entonces el radicado tiene que ser positivo y la raz entonces dos resultados, uno positivo y otro negativo, para este nivel utilizamos el resultado positivo.Ejemplos,

Si el ndice es impar entonces la raz va a tener el mismo signo que el radicando,

Si tengo una raz de raz se multiplican los ndices.

Racionalizacin de fracciones con radicales

Tratndose de radicales, el proceso de racionalizacin consiste en eliminar las races que se encuentran en el denominadorde una fraccin.

Dependiendo de las operaciones involucradas dentro de ese denominador pueden presentarse diversos casos:

a) caso en que el denominador contenga una raz cuadrada, sin adiciones ni sustracciones.

Ejemplo:Racionalizar:Como regla general, amplificamos la fraccin por el valor de este denominador, en este caso , de la siguiente manera:

b) Caso en que el denominador contenga una raz cuadrada, con adiciones o sustracciones.

Ejemplo:Racionalizar: Igual que en el caso anterior, amplificamos la fraccin, ahora por , para formar en el denominador una suma por su diferencia (corresponde al conjugado, que es la misma expresin pero con signo contrario), con lo cual dejamos la expresin en:

c) Caso en que hay una raz cbica en el denominador, sin adiciones o sustracciones.

Ejemplo:Racionalizar: En este caso amplificamos la fraccin por , para dejar la expresin del siguiente modo:

Racionalizar fracciones con radicales en el denominador sirve, entre otras aplicaciones, para ordenar de mayor a menor (para comparar) dichas fracciones.

Ejemplo:Ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones:

De acuerdo a lo aprendido arriba, racionalizamos cada una de las fracciones:

Hecho esto, podemos ordenar de mayor a menor:

Races realesRaces real y distinta

Un polinomio cuyas races son reales y distintas es el caso ms simple que se nos puede presentar. Volvemos a estudiar el polinomio , cuyas races como se puede comprobar fcilmente por simple sustitucin son 3, 2, y -1Los mdulos de las races reales, se calculan mediante la frmula (4). Para hallar las races con gran exactitud tomaremos los coeficientes que figuran en la ltima fila, resultado de elevar el polinomio a la potencia 512.

log r0=(log(a1)-log(a0))/2m log r0=(log(1.9323 10244)-log(1))/512 r0 sale 3

log r1=(log(a2)-log(a1))/2mlog r1=(log(2.5908 10398)-log(1.9323 10244))/512 r1 sale 2

log r2=(log(a3)-log(a2))/2mlog r2=(log(2.5908 10398)-log(2.5908 10398))/512 r2 sale 1Races reales dobles

En el apartado anterior, hemos supuesto que las races de un polinomio son reales y distintas, por lo que la aplicacin del mtodo de Graeffe es inmediata. Supongamos el polinomio que tiene una raz doble 2, y una simple 3. Examinemos el comportamiento de sus coeficientes en el proceso de elevacin al cuadrado en la tabla. Observaremos que el segundo coeficiente a1 se comporta como hemos descrito en el apartado anterior, cada coeficiente en una iteracin es aproximadamente el cuadrado de la iteracin precedente. Sin embargo, este comportamiento no se produce en el tercer coeficiente a2, ya que se obtiene la mitad del valor esperado. Por ejemplo, el valor de a2 en la sptima iteracin es 8.024 1099 y su cuadrado es 6.4384 10199, sin embargo, se obtiene la mitad 3.2192 10199. Lo mismo ocurre en octava iteracin el cuadrado de 3.2192 10199 es 1.0363 10399, sin embargo, obtenemos la mitad de este valor 5.1817 10398. Al tercer coeficiente, a2 (ndice 2), se denomina excepcional, y seala la presencia de races reales dobles.Para obtener la raz doble, se ha de aplicar la siguiente frmula que damos sin justificar. La raz repetida se puede hallar calculando la raz 2*2m de la razn de los coeficientes que inmediatamente preceden y siguen al coeficiente excepcional. Si i es el coeficiente excepcional, el mdulo de la raz doble se calcula mediante la frmula

(5)

La codificacin de la funcin raz Real Doble es similar a la funcin raz Real Simple. Primero, halla el mdulo de la raz aplicando la frmula (5), y posteriormente, determina su signo. La raz buscada se guarda dos veces en el array races Reales, y se incrementa dos unidades el contador de races reales num Reales.CONCLUSION

Un nmero real puede ser un nmero racional o un nmero irracional. Los nmeros racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos nmeros enteros, tal como 3/4, 21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los dems. Los nmeros racionales tambin pueden describirse como aquellos cuya representacin decimal es eventualmente peridica, mientras que los irracionales tienen una expansin decimal aperidica.

Usando los dgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9 exactamente una vez cada uno (ni ms ni menos), crea un grupo de nmeros de 1 y 2 dgitos cuya suma sea 100.Bibliografiashttp://www.ditutor.com/numeros_naturales/propiedades_potencias.htmlhttp://matematica.cubaeduca.cu/index.php?option=com_content&view=article&id=7423%3Atema-9no-21-propiedades-de-las-potencias&catid=525&Itemid=73http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/MATEGENERAL/t1-reales-expresionesalgebraicas/T1-1-numeros-reales-julioetall/node30.htmlhttp://matematica.laguia2000.com/general/propiedades-de-la-radicacion#ixzz3VPYWOJK8http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Raiz_Racionalizar.htmlhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cursoJava/numerico/raices/graeffe/graeffe1.htmProf.:

Carlos Oropeza

Alumnos:

Luis, Zaraza

Emmanuel, Machado

Moiss, Piango

Jess, Coronil

Cesar, Muoz