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Potencia Enésima de Matrices Por Binomio de Newton _ Fernando Revilla
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27/4/2015 Potencia enésima de matrices por binomio de Newton | Fernando Revilla
http://fernandorevilla.es/potencia-enesima-de-matrices-por-binomio-de-newton/ 1/5
Fernando RevillaTiempo, aritmética y conjetura de Goldbach & Docencia matemática
Potencia enésima de matrices por binomio
de Newton
Enunciado
(a) Sean dos matrices que conmutan, es decir Demostrar por inducción que se
verifica la fórmula del binomio de Newton:
(b) Se consideran las matrices:
Demostrar que y como aplicación, hallar
(c) Hallar siendo
A,B ∈ Km×m AB = BA.
(A + B = ( ) .)n ∑k=0
n n
kAn−kBk
A = , N = .⎡⎣⎢
200
120
012
⎤⎦⎥
⎡⎣⎢
000
100
010
⎤⎦⎥
= 0N 3 .An
,An A = .
⎡⎣⎢⎢⎢
1000
1100
1110
1111
⎤⎦⎥⎥⎥
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Solución
(a) Usemos el método de inducción
Paso base. La fórmula es cierta para En efecto,
Paso de inducción. Supongamos que la fórmula es cierta para y veamos que es cierta para Se
verifica:
(en la última igualdad hemos usado que ). El primer sumando de la linea se puede expresar en
la forma
El segundo sumando de la linea se puede expresar en la forma
n = 1.
(A + B = A + B = ( ) + ( ) = ( ) .)1 10
A1B0 11
A0B1 ∑k=0
1 1k
A1−kBk
n, n + 1.
(A + B)n+1 = (A + B)(A + B)n
= A ( ) + B ( )∑k=0
n n
kAn−kBk ∑
k=0
n n
kAn−kBk
= ( ) + ( ) . (∗)∑k=0
n n
kAn−k+1Bk ∑
k=0
n n
kAn−kBk+1
AB = BA (∗)
( )∑k=0
n n
kAn−k+1Bk = ( ) + ( )n
0An+1B0 ∑
k=1
n n
kAn−k+1Bk
= ( ) + ( ) .n + 1
0An+1B0 ∑
k=1
n n
kAn−k+1Bk
(∗)
n−1
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Por tanto, es igual a:
Usando la conocida fórmula de combinatoria
Es decir, la fórmula es cierta para
(b) Tenemos:
Podemos escribir Además, es decir y
conmutan, luego es aplicable la fórmula del binomio de Newton para hallar Como se verifica
por tanto:
( )∑k=0
n n
kAn−kBk+1 = ( ) + ( )∑
k=0
n−1 n
kAn−kBk+1 n + 1
n + 1A0Bn+1
(haciendo el cambio k = j − 1) :
= ( ) + ( ) .∑j=1
n n
j − 1An+1−jBj n + 1
n + 1A0Bn+1
(A + B)n+1
( ) + [( ) + ( )] + ( ) .n + 1
0An+1B0 ∑
k=1
n n
k
n
k − 1An+1−kBk n + 1
n + 1A0Bn+1
( ) + ( ) = ( ) :n
k
n
k − 1n + 1
k
(A + B)n+1 = ( ) + ( ) + ( )n + 10
An+1B0 ∑k=1
n n + 1k
An+1−kBk n + 1n + 1
A0Bn+1
= ( ) .∑k=0
n+1 n + 1k
An+1−kBk
n + 1.
= = ,N 2⎡⎣⎢
000
100
010
⎤⎦⎥
⎡⎣⎢
000
100
010
⎤⎦⎥
⎡⎣⎢
000
000
100
⎤⎦⎥
= N = = .N 3 N 2⎡⎣⎢
000
000
100
⎤⎦⎥
⎡⎣⎢
000
100
010
⎤⎦⎥
⎡⎣⎢
000
000
000
⎤⎦⎥
A = 2I + N. (2I)N = 2(IN) = 2(NI) = N(2I), 2I N
.An = 0,N 3
= = … = 0,N 4 N 5
( ) ( ) ( )
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(c) Podemos expresar: Hallemos las potencias de
Dado que podemos aplicar la fórmula del binomio de Newton para calcular Teniendo
en cuenta que si
Operando y simplificando,
= (2I + N = ( )(2I + ( )(2I N + ( )(2IAn )n n
0)n n
1)n−1 n
2)n−2N 2
= I + n N +2n 2n−1 n(n − 1)2
2n−2N 2
= + +⎡⎣⎢
2n
00
02n
0
002n
⎤⎦⎥
⎡⎣⎢
0
00
n2n−1
00
0
n2n−1
0
⎤⎦⎥
⎡⎣⎢⎢
0
00
0
00
n(n−1)2n−2
2
00
⎤⎦⎥⎥
= .⎡⎣⎢⎢
2n
00
n2n
2n
0
n(n−1)2n−2
2
n2n
2n
⎤⎦⎥⎥
A = I + N con N = .
⎡⎣⎢⎢⎢
0000
1000
1100
1110
⎤⎦⎥⎥⎥ N :
= , = , = 0.N 2
⎡⎣⎢⎢⎢
0000
0000
1000
2100
⎤⎦⎥⎥⎥ N 3
⎡⎣⎢⎢⎢
0000
0000
0000
1000
⎤⎦⎥⎥⎥ N 4
IN = NI, (I + N .)n
= 0N m m ≥ 4 :
= (I + N = ( ) + ( ) N + ( ) + ( )An )n n
0I n n
1I n−1 n
2I n−2N 2 n
3I n−3N 3
= I + nN + + .n(n − 1)
2N 2 n(n − 1)(n − 2)
3!N 3
⎡ n(n + 1) n(n + 1)(n + 2) ⎤
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= .An
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
1
0
00
n
1
00
n(n + 1)2
n
10
n(n + 1)(n + 2)6
n(n + 1)2n
1
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥