Potencije s bazom 10

U knjižnici Potentia 10 je polica. Na svakoj se polici nalazi 10 knjiga, svaka knjiga ima 10 stranica i na svakoj je stranici 10 redaka, a u svakom je retku po 10 riječi. Svaka riječ ima 10 slova. Koliko je ukupno slova u knjižnici?

10 10 10 10 10 10 = ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 106

6 faktora

Brojevni izraz: 10 10 10 10 10 10∙ ∙ ∙ ∙ ∙

Kraći zapis: potencija 106 (čitaj: deset na šestu)

Vrijednost izraza: 1 000 000 (6 nula)

U umnošku gdje su svi faktori jednaki, množenje možemo kraće zapisati kao potenciju.

Takvu računsku radnju nazivamo potenciranje.

an = b

Potencija je kraći zapis umnoška jednakih faktora. (čitaj: a na entu)

eksponent (broj koji kazuje koliko ima jednakih faktora)

baza (broj koji množimo samim sobom)

an = a a a ... a∙ ∙ ∙ ∙

n faktora

vrijednost potencije

→ n – ta potencija broja a

Potencije broja 10Potencije broja 10

103 = 10∙10∙10 = 1000

102 = 10∙10 = 100

101 = 10

Vrijednost potencije broja 10 ima onoliko nula koliki je eksponent potencije.

Izraz 10n = 10 10 10 ... 10 nazivamo ∙ ∙ ∙ ∙ n tom potencijom broja 10.

n faktora

Po dogovoru uzima se zapis a1 = a. Svaki broj s eksponentom 1 jednak je samom sebi. Eksponent 1 možemo izostaviti.

Razlikuj (−10)n od −10n.

a) (−10)3 = (−10) ∙ (−10) ∙ (−10) = −1 000 b) −103 = −10 ∙ 10 ∙ 10 = −1 000

c) (−10)2 = (−10) ∙ (−10) = 100 d) −102 = −10 ∙ 10 = −100

Potencije s negativnom bazom, a parnim eksponentima imaju pozitivan rezultat.

Potencije s negativnom bazom i neparnim eksponentima imaju negativan razultat.

Redoslijed računskih operacija:Ako zagrade ne određuju redoslijed računskih radnji, najprije obavljamo potenciranje.

Pr.1. 1 000 : 102

1 000 : 102 = 1 000 : 100 = 10

2

111

10

1101.2.Pr

100

1101

10

1101

2111

10

11

10

11

Računanje s potencijama kojima je baza 10 množenje i dijeljenje potencija

a) 102 10∙ 3 = 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 105

b) (−10)1 (−10)∙ 3 = (−10) (∙ −10) (∙ −10) (∙ −10) = (−10)4

Zad.1. Zapiši umnožak kao potenciju

c) 11 1∙ 2 1∙ 7 = 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 = 110

Dakle, vrijedi: 102 10∙ 3 = 102 + 3 = 105 Općenito: 10m 10∙ n = 10m + n

Množenje potencija jednakih baza:

Potencije jednakih baza množimo tako da bazu prepišemo,a eksponente zbrojimo.

am a∙ n = am + n

Zad.2. Zapiši količnik kao potenciju

Potencije jednakih baza dijelimo tako da bazu prepišemo,a eksponente oduzmemo.

am : an = am – n

Dakle, vrijedi: 103 : 102 = 103 - 2 = 101 Općenito: 10m : 10n = 10m - n

Dijeljenje potencija jednakih baza:

102 : 102 = 102 – 2 = 100

103 : 103 = 1000 : 1000 = 1

am : am = a0

a0 = 1 a0 = 1 → bilo koji broj na nultu je jedan

Zad.3. Potenciraj umnožak

(10 a)∙ 4 = (10 a) (10 a) (10 a) (10 a) =∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

= (10 10 10 10) (a a a a) =∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

= 104 a∙ 4 = 10 000a4

Umnožak potenciramo tako da potenciramo svaki njegov faktor,a dobivene vrijednosti pomnožimo.

(a b)∙ n = an b∙ n

Potencija umnoška jednaka je umnošku potencija.

Potenciranje umnoška:

Računanje s potencijama kojima je baza 10 potenciranje umnoška i količnika

Zad.4. Potenciraj količnik

Potencija količnika jednaka je količniku potencija djeljenika i djelitelja.

(a : b)n = an : bn

Potencija količnika:

Računanje s potencijama kojima je baza 10 potenciranje potencije

Zad.5. Izračunaj (102)3.

(102)3 = 102 10∙ 2 10∙ 2 = 102 + 2 + 2 = 106

Dakle, vrijedi: (102)3 = 102 ∙ 3 = 106. Vrijedi i općenito: (10m)n = 10m n∙ .

Potenciju potenciramo tako da bazu prepišemo, a eksponente pomnožimo.

(am)n = am n∙

Potenciranje potencije:

Potencije s bazom 10, eksponentom nula i negativnim cjelobrojnim eksponentom

Zad.6. Izračunaj količnik 102 : 105.

Prema pravilu za dijeljenje potencija kojima je baza 10 slijedi: 102 : 105 = 102 – 5 = 10–3.

Dakle: 3

3

10

110

Potencija sa cjelobrojnim eksponentom:

Potencija s bazom 10 i negativnim cjelobrojnim eksponentom jednaka je

potenciji baze sa suprotnim (pozitivnim) eksponentom.10

1

Računanje s potencijama kojima je baza 10 zbrajanje i oduzimanje potencija

Zad.7. Izračunaj spretno upotrijebivši svojstvo distributivnosti množenja.

3 ∙ 102 + 2 ∙ 102 = 102 ∙ (3 + 2)

= 102 ∙ 5

= 100 5 ∙

= 500

a ∙ c ± b ∙ c = (a ± b) ∙ c

3 5∙ 3 + 2 5∙ 3 − 7 5∙ 3 = (3 + 2 − 7) 5∙ 3

= −2 5∙ 3

Zbrajanjem i oduzimanjem mogu se pojednostavniti samo one potencije koje imaju jednake baze i jednake eksponente.

Potencije jednakih baza i jednakih eksponenata se zbrajaju ili oduzimaju tako da im zbrojimo/oduzmemo koeficijente pa taj rezultat pomnožimo zajedničkom potencijom.

Zad.8. Izračunaj: 3 5∙ 3 + 2 5∙ 3 − 7 5∙ 3.

Znanstveni zapis broja

Vrlo velike ili vrlo male brojeve ponekad je teško međusobno usporediti. Zato ih često pišemo u obliku umnoška broja između 1 i 10 i potencije s bazom 10.

Zad.9. Zapiši pregledno u obliku umnoška, tako da jedan od faktora bude potencija s bazom 10.

295 000 000 = 295 10⋅ 6

Za znanstveni zapis broja ispred decimalnetočke moramo imati točno jednu znamenku različitu od nule.

295 10⋅ 6 = 2.95 10⋅ 2 10⋅ 6 =

= 2.95 10⋅ 2 + 6 =

= 2.95 10⋅ 8

Takav se zapis često naziva znanstvenim (standardnim) zapisom racionalnog broja.

Primjerice, brojevi 6.3 10⋅ 12, 7.68 10⋅ -5, 3.24 10⋅ 4 primjeri su brojeva zapisanih u znanstvenom zapisu.