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Consideriamo l’argomento dell’integrale, se è l’angolo tra
, si avrà: sdr
e ̂
Potenziale elettrico per una carica puntiforme isolata
Consideriamo una carica puntiforme q positiva.
Il campo elettrico generato da questa carica è: rr
qkE ˆ
2
Differenza di potenziale elettrico tra il punto A ed il punto B:
B
A
B
A
sdrr
qksdEV
ˆ
2
drr
qkds
r
qksdr
r
qksdE
222cosˆ
Sostituiamo nell’integrale:
AB VVV
L’integrale è indipendente dal percorso effettuato per andare da A e B e dipende
solo dalle coordinate radiali di A e B (cioè dalle loro distanze dalla carica q che
genera il campo)
Ponendo il potenziale a zero quando A si ottiene che il potenziale elettrico dovuto ad una
carica elettrica in punto a distanza r da essa vale:
r
qkV
rkq
rkq
r
drkqVVVV
rr11
2
0
potenziale elettrico dovuto ad
una carica elettrica
puntiforme in punto a
distanza r da essa
cosdsdr
sd
dr
B
A
r
r
drr
qk
2 B
A
r
rr
drkq
2
AB
r
r rrkq
rkq
B
A
111
Potenziale elettrico per cariche puntiformi
r
qkV
Tutte le cariche poste su una superficie
sferica di raggio r centrata nella carica q
hanno lo stesso potenziale pari a rqkV
Le superfici equipotenziali per un campo generato da una carica
puntiforme isolata sono rappresentate da una famiglia di sfere
concentriche alla carica
NB: le linee di forza del campo sono sempre perpendicolari alle
superficie equipotenziali
Sistema di cariche: Se invece di avere una sola carica isolata abbiamo un sistema di
cariche puntiformi il potenziale elettrico di questo sistema di cariche si ottiene mediante il
principio di sovrapposizione:
Il potenziale elettrico calcolato in un punto P, dovuto ad un sistema di cariche
puntiformi è uguale alla somma dei potenziali elettrici in quel punto dovuti alle
singole cariche
Distribuzione continua di carica: Il potenziale elettrico calcolato in un punto P,
generato da una distribuzione di carica continua si può determinare immaginando di
suddividere la distribuzione di carica in elementi infinitesimi dqi , tali da poterli considerare
cariche puntiformi e quindi di sommare tutti i contributi al potenziale dovuti a ciascuna
carica
Il potenziale elettrico è una grandezza scalare per cui non sono necessarie
considerazioni vettoriali quando si somma su tutti i contributi
i i
i
i
ir
qkVV
potenziale elettrico calcolato in un
punto P, dovuto ad un sistema di
cariche puntiformi (il potenziale è
nullo all’infinito)
NB: calcolare il potenziale nel punto P è più facile che calcolare il vettore campo poiché V totale
è dato da una somma algebrica, mentre il valore totale del campo è dato da una somma
vettoriale
Potenziale elettrico per cariche puntiformi
r
dqk
r
dqkdVV
i i
i
i
ir
dqkVV
0lim idq
potenziale elettrico
calcolato in un punto
P, dovuto ad una
distribuzione continua
di cariche
Energia potenziale per una coppia di cariche puntiformi
Consideriamo una coppia di cariche q1 e q2 e determiniamone l’energia potenziale.
Il lavoro che deve effettuare il campo generato da q2 per spostare la carica q1 da P all’infinito
( senza accelerazione) è pari alla variazione di potenziale cambiata di segno moltiplicata per
la carica q1
12
21212
0
212 V V)(V)(r
qqkqqUUUL
12
22
r
qkV
Il potenziale elettrico dovuto al campo generato
dalla carica q2 in un punto P distante r12 da q2 sarà
Energia immagazzinata dal sistema
q1-q2 quando le due cariche sono
separate da una distanza r12
L’energia potenziale elettrica della coppia di cariche q1-q2 si può
esprimere come:
Se q1 e q2 hanno stesso segno U>0 ( L=U>0 => è il sistema che compie lavoro, le cariche si
allontanano spontaneamente)
Se q1 e q2 hanno segno opposto U<0 (L=U<0 => bisogna compiere lavoro sul sistema per
portare q1 all’ poiché q1 e q2 si attraggono)
12
2121 V U
r
qqkq
lavoro necessario
per spostare la
carica q1 da P
all’infinito
Ricavare E dal potenziale elettrico V
Abbiamo visto che campo elettrico e potenziale sono legati dalla relazione:
Questa relazione permette di ricavare il potenziale elettrico a partire dal campo elettrico.
Troviamo ora come determinare il campo elettrico a partire dal potenziale.
P
P sdEV
P
P sdEdVV
sdEdV
Se:
dxEdV xdx
dVEx
dx
dVEx
Se il campo ha un’unica direzione, il campo elettrico è pari alla
derivata cambiata di segno del potenziale rispetto alla coordinata
lungo la direzione del campo
In questo caso la variazione del potenziale è nulla rispetto a qualsiasi
spostamento perpendicolare al campo ( che quindi non abbia componente
lungo y).
Questi spostamenti corrispondono infatti a spostamenti lungo le
superfici equipotenziali
iEE xˆ
Campo elettrico con linee di forza parallele ( ): iEE x
ˆ
kdzjdyidxiEsdE xˆˆˆˆ
Ricavare E dal potenziale elettrico V (2)
Distribuzione di carica a simmetria sferica: In questo caso il campo elettrico dipende solo dalla distanza radiale dal centro della
distribuzione, si ha quindi che:
drEsdEdV r
dr
dVEr
Es: il potenziale di una carica puntiforme è:
r
qkV
2
11
rkq
dr
rdkq
dr
dVEr 2
0
2 4
1
r
q
r
qkE
Ricavare E dal potenziale elettrico V (3)
Caso generale:
Consideriamo un potenziale elettrico che dipende da tutte e tre le coordinate spaziali x,y,z. In questo caso il
campo elettrico ( vettore) si otterrà componente per componente dalle derivate parziali del potenziale
rispetto alle tre coordinate:
z
VE
y
VE
x
VE
z
y
x
Esempio: Trovare il campo elettrico associato al potenziale: yzyyxV 223
z
yzyyx
z
VE
y
yzyyx
y
VE
x
yzyyx
x
VE
z
y
x
22
22
22
3
3
3 xyxy
x
yx62300
3 2
zyx
y
yz
y
y
y
yx
23
3 222
y
z
yz
00
kyjzyxixyE ˆˆ23ˆ6 2
dzEdyEdxEsdEdV zyx
Potenziale elettrico di un conduttore carico
Per un conduttore carico in equilibrio elettrostatico abbiamo visto che:
La carica è distribuita tutta sulla superficie
All’interno del conduttore il campo elettrico è nullo
Nelle vicinanze della superficie il campo elettrico è perpendicolare
alla superficie stessa
Possiamo dire allora che:
Tutti i punti sulla superficie del conduttore in equilibrio
elettrostatico si trovano allo stesso potenziale.
Si ha infatti che:
Presi due punti qualsiasi A e B sulla superficie del conduttore consideriamo un percorso sulla
superficie che mette in contatto i due punti, la differenza di potenziale tra i due punti è data
da:
poiché lungo tutto il percorso il campo elettrico è
perpendicolare al percorso => 0
B
A
AB sdEVVV
0 sdE
Il potenziale elettrico è uguale in tutti i punti sulla superficie (la superficie è una superficie
equipotenziale)
Inoltre il potenziale all’interno del conduttore è costante ( poiché il campo è nullo) e pari al
potenziale presente sulla superficie del conduttore
Poiché durante uno spostamento di una carica q0 attraverso il conduttore la variazione di
potenziale è nulla, è nullo anche il lavoro per effettuare tale spostamento
00
0 VqUL
Potenziale elettrico di un conduttore sferico
Rrper r̂
Rrper 0
2r
Qk
E
rper 0
Rrper
Rrper Q
r
Qk
Rk
V
0
in
S
E
qdAE
0
24
Q
rEE 22
04
1
r
Qk
r
QE
Superficie di gauss : sfera di raggio r>R
Consideriamo una sfera metallica di raggio R e carica totale Q:
Il campo elettrico dentro la sfera è nullo
Il campo elettrico fuori dal conduttore lo calcoliamo attraverso il
teorema di gauss
Qqin
24 rdAS
Potenziale elettrico di un conduttore generico In un conduttore non sferico la densità di carica non è uniforme
Come si determina la densità di carica in questo caso?
Consideriamo un conduttore come in figura:
Due sfere conduttrici di raggio r1 ed r2 (r1 > r2) connesse mediate un cavo conduttore
I campi dovuti alle due sfere non si influenzano tra loro (sfere sufficientemente distanti)=>
12
1
1
1 rper
rrper 0
rr
qk
Ee
22
2
2
2 rper
rrper 0
rr
qk
Ee
Poiché le due sfere sono collegate mediante il filo conduttore,
l’interno sistema è un singolo conduttore =>
Sulla superficie delle due sfere devo avere lo stesso potenziale:
1
1
11 rrper
q
rkV c
2
2
22 rrper
q
rkV c
2
2
1
121
rk
rkVV cc
2
1
2
1
Q
Q
r
r
21 QQ
In termini di densità superficiali:
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
22
2
11
2
22
2
11
2
1
4
4
r
r
r
r
r
r
r
r
q
q
rq
rq
rq
rq
12
Potenziali
sulle due
superfici
Abbiamo visto che se in un conduttore consideriamo due regioni con raggi di
curvatura r1 ed r2 tali che r1 > r2 si avrà che:
ma
Potenziale elettrico di un conduttore generico
Cioè è maggiore la densità di carica dove il raggio di curvatura è minore.
Poiché il campo elettrico in prossimità della superficie di un conduttore in
equilibrio elettrostatico è proporzionale alla densità di carica:
Si può affermare che:
Il campo elettrico dovuto ad un conduttore carico è maggiore in prossimità delle
superfici convesse del conduttore che hanno un piccolo raggio di curvatura ed è
minore in prossimità delle superfici convesse di un conduttore che hanno un grande
raggio di curvatura
21 QQ 12
0
E
I parafulmini sono a punta, campo elettrico molto più intenso intorno ad esso
Maggiore probabilità che il fulmine avvenga in prossimità della
punta del parafulmine che altrove
Cavità in un conduttore elettrico
Il campo elettrico all’interno di una cavità (dove non ci siano cariche)è nullo,
qualunque sia la distribuzione di carica sulla superficie esterna del conduttore.
Infatti: presi due punti qualsiasi sulla superficie della cavità si ha:
Poiché sulla superficie di un conduttore tutti i punti sono allo stesso potenziale.
Per andare da A a B si può effettuare qualsiasi percorso attraverso la cavità, quindi
se l’integrale è nullo lungo tutti i possibili percorsi ( cioè se per ogni ds,
allora in tutta la cavità
0 B
A
AB sdEVVV
0 sdE
0E
Gabbia di Farady => Recipiente cavo costituito da material conduttore => miglior
modo per schermare circuiti elettrici dai campi elettrostatici circostanti
Durante una tempesta elettrica chiudetevi in macchina
Campo elettrico tra due piani paralleli carichi con carica opposta
+q
E+ ed E- hanno
verso opposto
E=E++E- =0
E+ ed E- hanno
verso opposto
E=E++E- =0
E+ ed E- hanno lo stesso
verso:
E=/20+ /20= /0
+q
E
02
E
-q
E
02
E
-q +q
0
E
-q
E+ ed E- si compensano fuori dalle due armature mentre si sommano
all’interno
( questo naturalmente vale solo nell’assunzione che le dimensioni dei due
piani siano molto più grandi della distanza tra di loro
Capacità e Condensatori
I condensatori sono dei componenti elettrici costituiti da due conduttori (armature) di forma
qualsiasi posti molto vicini tra loro che vengono caricati con cariche uguali ed opposte.
Un condensatore si dice carico se tra le due armature è presente una differenza di potenziale.
Per caricare un condensatore scarico ( V=0) si possono mettere in contatto le due armature
con i poli di una batteria , queste si caricheranno di carica uguale ed opposta, scollegata la
batteria le due armature rimarranno cariche
La differenza di potenziale ai capi delle armature( detta anche TENSIONE) e d’ora in poi
indicata con V (invece che con V) risulta proporzionale alla carica del condensatore ( cioè la
carica accumulata su una delle due armature):
CVQ V
QC Capacità elettrica
Si definisce Capacità elettrica il rapporto tra la carica del condensatore e la
differenza di potenziale ai capi delle due armature.
La capacità è la misura della quantità di carica che un condensatore può immagazzinare se
su di esso viene applicata una certa differenza di potenziale
La capacità è costante per ogni condensatore e dipende dal tipo di condensatore, dalla forma
e dal materiale che separa le due armature
L’unità di misura della capacità è il farad (F) 1F=1C/V
Il farad è un’unità di misura molto grande e solitamente si usano i suo sottomultipli ( F, nF e
pF)
NB: V è inteso in valore assoluto poiché C è per definizione sempre positiva
Condensatori piani
Un condensatore piano è costituito da due piastre metalliche della
stessa area A separate da una distanza d.
Condensatore carico : una piastra con carica Q e l’altra con carica
–Q
Carica per unità di superficie: =Q/A
Se d molto piccola rispetto alle dimensioni della piastra:
piastre dalle fuori 0
piastre le tra00
A
Q
E
00A
QdEdsdEsdEV
dB
A
d
A
Qd
QA
V
QC 00
d
AC 0
La capacità di un condensatore piano è direttamente
proporzionale alla superficie delle armature piane
ed inversamente proporzionale alla loro distanza
capacità di un
condensatore piano
NB: La capacità di un condensatore piano può anche essere espressa in termini di campo
elettrico:
Ed
Q
V
QC
La capacità di un condensatore è
inversamente proporzionale al campo
elettrico presente tra le due armature
La capacità aumenta al
diminuire del campo elettrico
Condensatore piano collegato ad una batteria
elettroni
elettroni
Quando l’interruttore viene chiuso la batteria crea un campo elettrico nel filo conduttore che causa il moto
degli elettroni dalla piastra collegata al polo positivo verso il polo stesso e dal polo negativo verso la piastra
di destra. Il moto termina quandi la differenza di potenziale ai capi delle piastre è uguale a quella presente
tra i poli della batteria.
Si crea una separazione di carica tra le due piastre ad essa è associata una trasformazione di energia
chimica della batteria in energia potenziale elettrica del sistema del circuito.
NB: tra le due piastre del condensatore non c’è passaggio di elettroni!!
Energia immagazzinata da un condensatore I condensatori immagazzinano energia:
Quando si applica una differenza di potenziale ai capi del condensatore, esso si carica “spostando” le cariche
negative da un’armatura all’altra.
Lo spostamento di cariche richiede un lavoro da parte del campo elettrico attraverso il circuito.
Il lavoro(cambiato di segno) è pari all’energia potenziale elettrica immagazzinata nel condensatore.
In un secondo tempo questa energia può essere convertita in energia cinetica delle cariche che lasciano il
condensatore.
Analiticamente, applicando una tensione V ai capi di un condensatore si produce uno spostamento di carica.
Ogni spostamento di un infinitesimo di carica dq genera un aumento dell’energia potenziale dU data da:
La variazione complessiva di energia potenziale dovuta ad una carica complessiva Q sul condensatore è
quindi:
Riscrivendo la tensione in termini di capacità e carica:
Per un dato condensatore l’energia immagazzinata è proporzionale al quadrato dell’intensità della
carica immagazzinata
dq
dUV VdqdU
Q
VdqdUU0
Variazione
complessiva di
energia potenziale
dqC
qVdqU
00C
Q2
2
1
C
QU
2
2
1
Esempio: defibrillatore
Un defibrillatore è sostanzialmente un condensatore che può essere caricato tramite una sorgente di alta
tensione per poi fornire l’energia immagazzinata al cuore, attraverso le piastre poggiate sul torace.
a) Quanta carica è capace di immagazzinare il condensatore da 80 F presente in un defibrillatore se viene
caricato ad una tensione pari a 2500 V?
b)Quanta energia è in grado di fornire il defibrillatore?
b) L’energia che un defibrillatore può fornire è pari a :
C
QU
2
2
1
a) Poiché:
JJCVC
VC
C
QU 250105.21080
2
1
2
1
2
1
2
1 2362222
C
QV VCQ
CCVFVCQ 2.0105.21080250080 36
Collegamento di condensatori
Nei circuiti elettrici due o più condensatori possono essere collegati in diversi modi.
L’elemento di circuito totale avrà una capacità equivalente che può essere calcolata e
che dipenderà dalla configurazione del sistema di condensatori.
Le due combinazioni di base dei condensatori sono in serie ed in parallelo
I condensatori in uno schema di circuito si rappresentano con il simbolo:
Condensatori in parallelo Condensatori in serie
Condensatori in parallelo
Le armature di sinistra dei due condensatori sono
allo stesso potenziale (sono collegati tramite il filo
conduttore al polo positivo della batteria)
Le armature di destra dei due condensatori sono
allo stesso potenziale
La tensione ( la differenza di potenziale) ai capi
della coppia di condensatori è quella data dalla
batteria ed è la stessa ai capi di ciascun
condensatore
Quando si effettua il collegamento gli elettrone si muovono attraverso il circuito ( dalle
armature di sinistra verso il polo + della batteria e dal polo – alle armature di destra).
Il movimento cessa quando tra i capi dei condensatori e tra i poli della batteria c’è la stessa
tensione => a questo punto i due condensatori risulteranno caricati con carica Q1 e Q2.
Carica totale
immagazzinata 21 QQQ
Condensatore equivalente: Un condensatore che ha carica Q e tensione V ai capi:
Due condensatori di capacità C1 e C2 sono collegati in parallelo ( vedi figura)
VVV 21
V
Q
V
Q
V
V
QCeq
2121
21 CCCeq Capacità del condensatore equivalente
per un collegamento in parallelo
La capacità equivalente di un sistema di condensatori in parallelo è la somma
algebrica delle singole capacità ed è quindi maggiore di quella di ciascun
condensatore
Condensatori in serie Due condensatori di capacità C1 e C2 sono collegati in serie ( vedi figura)
In questo tipo di collegamento il
valore assoluto della carica sulle
armature dei due condensatori è
la stessa QQQ 21
Se consideriamo il circuito equivalente
V
QCeq
21
21C
Q
C
QVV
C
QV
eq
L’armatura di destra di C1 e quella di
sinistra di C2 sono allo stesso potenziale
Vi ( formano un conduttore isolato)
Mentre la differenza di potenziale tra l’armatura di sinistra di C1 e quella di destra di C2 è
uguale alla tensione ai capi della batteria V
destrasinistra VVV 21destrasinistra VVVVVVV ii
21 C
Q
C
Q
C
Q
eq
21
111
CCCeq
Il reciproco della capacità equivalente di un sistema di condensatori in serie
è pari alla somma algebrica dei reciproci delle singole capacità e la capacità
equivalente è quindi sempre minore di quella di ciascun condensatore
Capacità del condensatore equivalente per un collegamento in serie:
21
21
CC
CCCeq
21
121
CC
CC
Ceq
Condensatori con dielettrici
L’inserimento tra le armature di un condensatore di un materiale isolante ( detto dielettrico)
aumenta la capacità del condensatore
Misurando con un voltmetro un condensatore carico con e senza dielettrico tra le armature, se
V0 è la differenza di potenziale in assenza di dielettrico e V la d.d.p in presenza di
dielettrico, si trova che:
Più precisamente dove k>1
0VV
Poiché il circuito è aperto ed il voltmetro ( per come è
concepito ) non lo chiude
La carica Q0 ai capi delle due armature nei due casi
rimane la stessa
Se 0VV 0
00
0
C
QV
C
QV
k
VV 0
0
11
CC
0CC
La capacità di un condensatore in presenza di un dielettrico tra le
armature è maggiore di quella nel caso tra le due armature ci sia il vuoto
0kCC
Effetto del dielettrico
Molecole del dielettrico in
assenza di campo Polarizzazione delle
molecole del dielettrico in
presenza di campo
La polarizzazione genera un campo
elettrico di polarità opposta a quello
esterno
La diminuzione del campo elettrico netto porta una diminuzione della tensione ai capi dell’armatura
L’introduzione di un dielettrico (materiale isolante) tra le due armature diminuisce il campo elettrico.
Il campo elettrico E0 generato dalle due armature cariche “perturba” infatti le molecole che compongono il
dielettrico, polarizzandole.
La riorganizzazione delle molecole dà origine ad un campo elettrico indotto opposto ad E0.
Il campo elettrico totale tra le due armature, dato dalla somma vettoriale dei due campi sarà quindi meno
intenso di E0:
1 dove 00 fEfEEE ind
La carica Q viene immagazzinata con una tensione minore il dielettrico aumenta la capacità
dE
QC
0
0
0fEE 0
1
0
1C
fdfE
Q
Ed
QC
00 CkCC k= costante dielettrica relativa >1
dipende dalla natura del dielettrico
k0=costante dielettrica del vuoto=1
Membrana cellulare
Il doppio strato lipidico della membrana cellulare, essendo costituito da
uno strato molto sottile ed isolante (elettrico) che divide lo spazio intracellulare
da quello extracellulare, può venir considerato come un condensatore elettrico.
Tale doppio strato(costituito da fosfolipidi) può accogliere su entrambi i suoi lati
ioni di carica diversa e può quindi venir classificato come un condensatore piano
a due piastre la cui capacità vale:
con A superficie della membrana, ε costante dielettrica dello strato membrana e
d spessore della membrana.
La differenza di potenziale elettrico totale tra interno ed esterno della cellula
viene dunque determinata da cariche che aderiscono strettamente alla
membrana cellulare caricando questo condensatore cellulare.
d
AC
8nm
citoplasma
Fluido extracellulare
L’unità di misura della corrente nel sistema SI è l’ampere (A) che è una delle unità di misura
fondamentali. Si ha che:
1A di corrente equivale al passaggio di 1C di carica attraverso una superficie in 1s
Corrente elettrica
Ogni qual volta c’è movimento di cariche si ha una corrente elettrica.
Data una certa quantità di cariche che attraversa una superficie S, si definisce intensità di
corrente elettrica la rapidità (velocità scalare) con cui la carica elettrica attraversa quella
superficie.
Se Q è la quantità di carica che attraversa la superficie S nell’intervallo di tempo t
l’intensità di corrente media è:
Passando al limite per t 0 si ottiene la corrente istantanea:
t
QI
dt
dQ
t
QI
t
0lim
s
CA 11
Il verso della corrente positiva per convenzione è quello in cui fluisce la carica
positiva (indipendentemente dalla carica effettiva che si muove) quindi va in verso
opposto rispetto a quello del flusso degli elettroni dentro un conduttore
NB: L’intensità di corrente è una grandezza scalare, avente comunque un verso di percorrenza
Le particelle cariche che si muovono vengono chiamati portatori di carica.
I portatori di carica in un conduttore sono gli elettroni, in un gas o in un liquido possono essere sia ioni
positivi che negativi
Ma come si trasporta la corrente? ( cerchiamo una relazione che lega la corrente ai portatori di carica)
Consideriamo delle particelle cariche che si muovono attraverso un conduttore cilindrico di sezione A.
Il volume di un elemento del conduttore sarà dato da:
Se n= numero di portatori di carica per unità di volume (densità di portatori)
Il numero totale di portatori di carica nell’elemento di volume è:
xnAVnN
xAVolume Elemento di volume del
conduttore
Numero di portatori di carica
nell’elemento di volume
Se q è la carica del singolo portatore di carica, la carica mobile trasportata sarà:
qxnANqQ Carica trasportata dagli N portatori di
carica nell’elemento di volume
Se i portatori si muovo lungo il conduttore con una velocità media vd detta velocità di deriva essi
percorreranno la lunghezza dell’elemento di volume in un certo tempo t tale che
In questo intervallo di tempo la carica trasportata sarà:
Ricordando che I=Q/ t possiamo ottenere la relazione che lega la
corrente I ( grandezza macroscopica) alle caratteristiche dei portatori
di carica: densità n, carica q e velocità di deriva (grandezze microscopiche)
tvx d
qtnAvqxnAQ d
Anqvt
QI d
Considerazione sulla velocità di deriva
La velocità di deriva è una velocità media dei portatori di carica
I portatori di carica si muovo in realtà con un andamento a zig-zag urtando contro gli atomi del
conduttore.
Questi urti portano ad un aumento dell’energia vibrazionale degli atomi che si manifesta con
un aumento della temperatura del conduttore.
Quando ai capi del conduttore è applicata una differenza di potenziale all’interno del
conduttore si genera un campo elettrico che fa muovere i portatori di carica a causa della forza
elettrostatica applicata.
Il moto dovuto al campo si sovrappone al moto “casuale a zig e zag” che fornisce una velocità
media il cui modulo è la velocità di deriva
Le velocità di deriva dei portatori di carica sono molto piccole dell’ordine dei 10-4 m/s.
Ma il segnale elettrico ( per esempio quando si preme l’interruttore della luce) non è
trasportato con la velocità di deriva, ma attraverso l’azione del campo elettrico che si viene a
creare all’interno del conduttore che produce la forza elettrica che agisce istantaneamente a
distanza (anche sugli elettroni che sono nel filamento di tungsteno della lampadina) .
Resistenza e legge di ohm
Aumentando il campo elettrico attraverso il conduttore aumenta anche la velocità di deriva.
Si può dimostrare che la velocità di deriva è proporzionale al campo elettrico.
Per un campo elettrico uniforme in un conduttore di lunghezza L, con sezione uniforme ( filo)
la differenza di potenziale ai capi del conduttore è proporzionale al campo elettrico:
Quindi la velocità di deriva è proporzionale anche alla differenza di potenziale applicata ai
capi del conduttore e di conseguenza anche alla corrente nel conduttore:
La costante di proporzionalità tra V ed I è detta Resistenza del conduttore:
ELV
VvI d
RIV I
VR
L’unità di misura della resistenza è l’ohm () : 1 = 1V/1A
Se una ddp di 1V ai capi di un conduttore produce una corrente di 1A la resistenza di quel
conduttore è pari a 1
La resistenza ( chiamata così perché misura la “resistenza“ che oppongono i portatori di carica
durante il loro movimento dovuto alla presenza della ddp (differenza di potenziale V) ai capi
del conduttore) è una proprietà del conduttore che dipende dal materiale di cui esso è
costituito, dalla sua forma e dalla temperatura a cui si trova
Resistenza
Evd
VI
Legge di Ohm
Per molti materiali , inclusa la maggior parte dei metalli gli esperimenti dimostrano che la
resistenza è costante su un grande intervallo di tensioni applicate.
Questo fatto fa si che la relazione venga spesso indicata con il nome di legge di
Ohm,
La legge di Ohm determina la proporzionalità tra la tensione applicata ai capi di un conduttore
e la corrente che vi circola dentro.
In realtà questa proporzionalità diretta tra corrente e tensione non vale per tutti i materiali.
I materiali che seguono la legge di ohm, per i quali quindi la resistenza risulta costante in un
ampio range di tensioni sono detti materiali ohmici
I materiali che invece non presentano questa linearità diretta tra tensione e corrente sono
chiamati non ohmici
I
VR
Materiale ohmico Materiale non ohmico
Resistenza e resistività
La resistenza dipende dalla forma del conduttore:
Esempio:
La resistenza di un filo conduttore è:
proporzionale alla lunghezza del conduttore
inversamente proporzionale alla sezione A del conduttore A
lR
La costante di proporzionalità , detta resistività, è caratteristica del materiale di
cui è composto il conduttore ed ha come unità di misura l’· m.
La resistenza dipende sia dal materiale di cui è composto il conduttore che dalla forma del
conduttore stesso.
La resistività è caratteristica di ogni materiale
L’inverso della resistività è la
conducibilità =1/
Variazione della resistività con la temperatura
NB: la resistività di un conduttore varia con la temperatura,
es: i materiali superconduttori hanno resistenze bassisime , ma solo per temperature molto
basse, prossime allo zero assoluto
= la resistività ad una certa temperatura T
= coefficiente termico della resistività
0 = la resistività alla temperatura di riferimento To
00 1 TT
Per la maggior parte dei metalli, la resistività varia in maniera circa lineare con la variazione
di temperatura
Una relazione analoga si può ottenere per la resistenza ( che è proporzionale alla resistività)
00 1 TTRR
In un circuito elettrico viene trasferita energia da una sorgente ( batteria , generatore di
tensione) ad un dispositivo ( lampadina, radio,..) per mezzo della trasmissione elettrica.
Ricaviamo un’espressione che ci permetta di determinare la potenza trasferita ( lavoro per
unità di tempo)
Consideriamo il circuito base, costituito da un generatore di tensione, una resistenza collegati
mediante un circuito che può essere aperto ( scollegamento) o chiuso mediante un interruttore
In questo circuito l’energia viene fornita al resistore ( anche in parte ai fili
perché anche essi hanno una resistenza, che però in genere può essere
trascurata)
Assumiamo che il potenziale in a sia zero ( lo possiamo fare sarà il nostro
punto di riferimento)
Seguiamo la carica Q che si muove attraverso il conduttore partendo da a,
attraversando la batteria e proseguendo nel circuito per tornare in a
ab la differenza di potenziale ai capi della batteria è V, quindi
l’energia potenziale elettrica aumenta di una quantità QV mentre l’energia chimica della
batteria diminuisce della stessa quantità
bc nessuna trasformazione di energia ( stiamo trascurando la resistenza del conduttore
quindi Vc =Vb => V=0 => U=0)
cd passaggio attraverso la resistenza R( anche detto resistore) il sistema ha una “caduta di
potenziale” dovuta ad una perdita di energia potenziale elettrica a causa degli urti dei portatori
di carica con gli atomi del resistore. Questa energia si trasforma in energia interna degli
atomi/molecole (energia vibrazionale)
da come nel caso bc
In a: risultato netto = parte dell’energia chimica della batteria si è trasformata in energia
interna nel resistore
Energia e Potenza elettrica
Energia e potenza elettrica(2)
Determiniamo la rapidità con cui il sistema perde energia potenziale elettrica quando la carica
Q passa attraverso il resistore
dove I è la corrente nel circuito
Nello stesso tempo in cui questa perdita avviene nel resistore, la batteria fornisce nuova
energia potenziale elettrica a discapito della sua energia chimica.
La potenza è il lavoro svolto nell’unità di tempo dalla batteria, cioè la quantità di energia
fornita al circuito nell’unità di tempo, quindi è uguale a dU/dt :
Rapidità derivata rispetto al tempo ! VIVdt
dQVQ
dt
d
dt
dU
dt
dU
Ricordando che possiamo esprimere la potenza trasferita su un resistore R: IRV
R
VRI
2
2
Questa formula ha validità generale e descrive la potenza trasferita da una sorgente ad
un qualsiasi dispositivo che trasporti una corrente I quando ai suoi capi c’è una
tensione V
Potenza trasferita
su un resistore R
potenza
L’unità di misura della potenza è il watt ( come avevamo già visto) e la quantità di energia
trasferita in un’ora ( kW/h) è l’unità di misura utilizzata dalle compagnie elettriche per
misurare i nostri consumi
VI
Esempio
Le due lampadine in figura sono collegate alla stessa batteria.
La potenza delle batterie è indicata.
Quale lampadina ha una resistenza maggiore?
Quale trasporta una corrente maggiore?
R
VRI
2
2
WR
V
WR
V
B
B
A
A
60
30
2
2
VVV BA
AB 2
AB R
V
R
V22
2
AB RR
12
1 2
B
A
R
RBA RR 2
A parità di V la lampadina a resistenza minore assorbirà
potenza maggiore.
La corrente che attraversa B è però maggiore
B
B
A
AI
VR
I
VR
22
BA II
12
1
BA II2
1
Forza elettromotrice ( f.e.m) Ogni dispositivo ( batteria generatore di tensione)che aumenta l’energia potenziale di un
circuito mantenendo costante la ddp tra due punti del circuito stesso viene chiamata sorgente
di forza elettromotrice (f.e.m)
NB: questa grandezza non è una forza ( nonostante il nome) ma rappresenta il lavoro
svolto dalla sorgente di f.e.m. per unità di carica ed ha quindi le dimensioni di un
potenziale e come unità di misura il volt
La relazione che lega la f.e.m. alla tensione ai capi di una batteria è la seguente:
Dove I è la corrente del circuito ed r è la resistenza interna della batteria.
Perché la tensione ai capi della batteria non è uguale alla f.e.m?
Perché dobbiamo tenere conto del fatto che la batteria presenta una resistenza intrinseca
( anche se piccola).
Quando una carica passa dal polo negativo al polo positivo all’interno della batteria il
potenziale aumenta di ma a causa del passaggio della carica attraverso la resistenza r il
potenziale diminuisce di una quantità rI.
è quindi la tensione a circuito aperto, quando cioè la corrente è pari a zero ( e non si ha la
caduta di potenziale dovuta a Ir)
Quando ai capi della batteria viene attaccata una resistenza la V ai capi della batteria deve
essere la stessa di quella ai capi della resistenza ( resistenza di carico), quindi:
rIV
RIIrV rIRI
F.e.m.
IrV rIRI Si ottiene che la corrente è legata non solo alla resistenza di carico R
ma anche alla resistenza interna della batteria:
Solo nel caso in cui R>>r si può trascurare r e considerare =V
Se moltiplichiamo per I otteniamo l’espressione per la potenza totale erogata dalla sorgente
di f.e.m I :
La potenza totale fornita dalla sorgente di f.e.m. è pari alla potenza fornita alla sorgente di
carico RI2 più la potenza fornita alla resistenza interna rI2.
NB: Normalmente R>>r e quindi la potenza viene fornita per la maggior parte alla resistenza
di carico.
rRI
22 rIRII Potenza totale erogata dalla
sorgente di f.e.m.
Resistenze in serie
Quando due o più resistenze sono collegate insieme, una dopo l’altra in modo che solo uno degli
estremi sia in comune tra due resistenze, queste sono collegare in serie
La corrente che circola in R1 e quella che circola in R2 sono uguali poiché se così non fosse ci
sarebbe un accumulo di carica in uno dei resistori
21 III
2121 RRIIRIRV
bcabac
bc
ab
VVVV
IRV
IRV
2
1
La resistenza equivalente Req deve essere tale che: IRV eq 21 RRReq
La resistenza equivalente di un insieme di resistori collegati in serie è uguale alla
somma algebrica delle singole resistenze ed è sempre maggiore di ciascuna
resistenza
Resistenze in parallelo
Quando due o più resistenze sono collegate
insieme in modo da avere entrambi gli estremi
in comune, queste sono collegare in parallelo.
In questo caso la ddp ai capi di ogni resistenza
è la stessa.
La corrente che circola attraverso i resistori è
invece generalmente diversa
La corrente I infatti arrivando al nodo a
si divide in due o più parti ( a seconda del
numero di resistenze in parallelo) e la frazione
di corrente che attraverserà il resistore
dipenderà dal valore stesso della resistenza:
Se R1 > R2 => I1 < I2 (poiché ).
Per la conservazione della carica comunque si avrà che:
Per trovare la Req ricordiamo che: 21 III
21 VVV
21
21R
V
R
VII
R
VI
eq
21
111
RRReq
Il reciproco della resistenza equivalente di un insieme di resistori collegati in
parallelo è uguale alla somma algebrica dei reciproci delle singole resistenze.
La resistenza equivalente è quindi sempre minore della più piccola resistenza.
2211 IRIRV
21
21
RR
RRReq
