Poučak - CARNET...metrija, priroda i filozofija matematike i primjena u školskoj matematici. Od 1988. do 1997. godine bio je glavni urednik časopisa Pythagora, časopisa Association

1

PoučakČasopis za metodiku i nastavu matematike

Crtež na naslovnici ovoga broja Poučka prikazuje Marie Ennemond Camillea Jordana (1838. – 1922.)

2

OsnivačHrvatsko matematičko društvo, Bijenička 30, Zagreb

IzdavačiHrvatsko matematičko društvo, Bijenička 30, Zagreb

Profil International, d.o.o., Kaptol 25, Zagreb

Glavni urednikZvonimir Šikić

Pomoćnik glavnog urednikaZlatko Klanac

UredništvoMorana Antunac-Majcen, Zlatko Klanac, Miljenko Lapaine, Marcel Maretić,

Petar Mladinić, Renata Svedrec, Zvonimir Šikić

Redakcijski kolegijSanja Antoliš, Nevenka Antončić, Morana Antunac-Majcen, Marina Bilić, Branka Copić,Maja Cvitković, Marija Golac, Ivica Gusić, Jelena Gusić, Zlatko Klanac, Jadranka Delač-Klepac, Mirela Kurnik, Zdravko Kurnik, Marcel Maretić, Petar Mladinić, Nikol Radović, Vladimir Stošić, Renata Svedrec, Zvonimir Šikić, Hrvoje Šikić, Eva Špalj, Sanja Varošanec

LekturaHrvoje Horvat

Crteži, slog i prijelomINGU, Zagreb

NaslovnicaŽeljko Glavor i Saša Perić

Crtež na naslovniciNinoslav Kunc

TisakProfil, Zagreb

Adresa uredništvaHrvatsko matematičko društvo (za Poučak), Zagreb, Bijenicka 30, PP 335

ISSN 1332-3008 UDK51

Časopis izlazi četiri puta u godini.

Žiroračun HMD-a (za Poučak): 2360000-1101530802 Devizni račun: Zagrebačka banka d.d. Zagreb, SWIFT ZABA HR 2X, account no. 2500-03688780 (za Poučak)

Cijena pojedinoga primjerka 25 kn, za inozemstvo 6 €.Godišnja pretplata 100 kn, za europske zemlje 24 €, za ostale zemlje 48 $.

Naklada: 1500 primjeraka.

Impresum

PoučakČasopis za metodiku i nastavu matematike

Godina 9., Broj 35., listopad 2008.

SADRŽAJ

IZ NASTAVNE PRAKSE

Uloga i funkcija dokaza u matematici ............................................................. 4

Kad, gdje i kako uporabiti računalo i džepno računalo?! ....................... 34

E-tečaj „Primjena trigonometrije na pravokutan trokut“ .......................... 53

Michael de Villiers

Jelena Gusić

MaJa MuMelaš, MiloJka rataić

MATEMATIKA IZVAN MATEMATIKE

Što bi vaš doktor trebao znati o statistici (a možda ne zna…) ............ 66

suzanne s. switzer, nicolas J. horton

INFORMACIJE I PRIKAZI

Položaj matematičke struke u društvu i u donosu na druge struke ... 73Odluke 3. kongresa nastavnika matematike RH ....................................... 76

4

poučak 35

Uloga i funkcija dokaza u matematici 1

Michael de Villiers2

Svi srednjoškolski profesori znaju da učenici imaju teškoću u prepoznavanju svrhe dokaza. Također ova poteškoća jedna je od većih i prepoznata je u svim ustanovama. Tko još nije iskusio frustraciju kada je bio suočen s pitanjem: „Zašto moramo ovo dokazati?“ Sljedeći zaključak, koji je dao Gonobolin (1954., 61), ukazuje na problem:

...učenici... ne razumiju... nužnost logičkog dokaza geometrijskih teorema, pogotovo kada su ti dokazi vizualno očekivanog karaktera ili su jednostavno dokazivi empirički.

Prema Afanasjewu u Freudentahlu (1958., 29) učenički problemi s dokazima ne bi se trebali jednostavno povezivati s njihovim sporim kognitivnim razvojem (npr. nemogućnost logičkog razmišljanja), već i s činjenicom da oni možda ne vide funkciju (značenje, svrhu, korisnost) dokaza. Zapravo, nekoliko nedavnih studija koje su u suprotnosti s Piagetom pokazale su da su vrlo mlada djeca sposobna logički razmišljati u situacijama koje su stvarne i imaju njima značenje (Wason i Johnson-Laird 1972.; Wallington 1974.; Hewson 1977.; Donaldson 1979.;).

Nadalje, pokušaji istraživača na nauče logiku učenike nisu pokazala nikakvu statistički značajnu razliku kod učenika u izvođenju i korisnosti dokazivanja (Deer 1969.; Walter 1972.; Mueller 1975.). Više nego bilo što drugo, najvažnija činjenica koja nije prepoznata kod učenika je nedostatak odgovarajuće motivacije za učenje različitih funkcija dokaza.

1 Predavanje održano na Stručno-metodičkim večerima, 9. 5. 2007.2 Michael de Villiers je profesor na Sveučilištu Durban-Westville u Južnoj Africi. Područja njegovih istraživanja su geo-metrija, priroda i filozofija matematike i primjena u školskoj matematici. Od 1988. do 1997. godine bio je glavni urednik časopisa Pythagora, časopisa Association for Mathematics Education of South Africa (AMESA). Od 1998. godine ured-nik je AMESA-ovog časopisa Mathematics Journal i podpredsjednik je Južnoafričke matematičke olimpijade.

5

Međutim, pitanje je „Koju funkciju dokaz ima u samoj matematici, a da se može koristiti u razredu i da dokaz pretvori u smisleniju aktivnost?“ Svrha ovog teksta je opisati važne funkcije dokaza i kratko raspraviti neke implikacije vezane uz učenje dokaza.

Funkcije dokaza u matematici

Tradicionalno funkcija dokaza bila je da potvrdi točnost neke matematičke izjave. Ideja dokaza je da ukloni osobnu sumnju ili sumnju skeptika. Ta je ideja jednostrano dominirala u učiteljskoj praksi i u većini rasprava o učenju dokaza. Prema Klineu i Alibertu:

Dokaz je smislen samo onda kada odgovara na učenikovu sumnju, kada dokazuje ono što nije očito. (Kline 1973., 151)

Nužnost, funkcionalnost dokaza dolazi na površinu u situacijama u kojima se učenici susreću s nesigurnošću istine vezane uz matematičke propozicije. (Alibert 1988., 31)

Hanna i Volmink definiraju dokaz u terminima vezanim uz verifikaciju:

Dokaz je argument koji je potreban za potvrdu izjave, argument koji može biti u više različitih oblika sve dok je uvjerljiv. (Hanna 1988., 20)

Zašto se mučimo s dokazivanjem teorema? Tvrdim ovdje da odgovor je: da uvjerimo ljude (uključujući same sebe) ...dokaz možemo smatrati argumentom koji je dovoljan za uvjeravanje razumnog skeptika. (Volmink 1990., 8, 10)

Iako su mnogi autori (npr. van Dormolen 1977., van Hiele 1973., Freudenthal 1973. i drugi) raspravljali da se potreba za dedukcijskom strogosti dokaza mijenja i s vremenom postaje sofisticiranija, njihovo stajalište ostaje vezano uz to da je svrha dokaza većinom u verifikaciji. Primjerice:

...da bi napredovali u strogom dokazivanju, prvi korak je sumnjati u strogo dokazivanje kojem trenutno vjerujemo. Bez te sumnje ne postoji mogućnost dopuštanja drugima određivanje novih kriterija u strogom dokazivanju. (Freudenthal 1973., 151)

Mnogi autori također su predložili određene razine u razvoju strogog dokazivanja, npr. Tall (1989., 30) predlaže tri etape u predstavljanju uvjerljivog

uloga I funkcIja dokaza u matematIcI

6

poučak 35

argumenta: uvjeravanje sebe, uvjeravanje prijatelja i uvjeravanje neprijatelja. Iako su ovo vrlo uvjerljive razlike, ovaj prijedlog podrazumijeva samo verifikacijsku funkciju dokazivanja.

Međutim, kao što je ukazao Bell (1976., 24) ovo viđenje verifikacije/uvjerenja kao osnovne funkcije dokaza „zanemaruje pravu prirodu dokaza“ jer do uvjerenja u matematici se često „dolazi drukčijim sredstvima od logičkog dokazivanja.“

Nadalje, stvarna praksa modernih matematičkoj istraživanja zahtijeva potpuniju analizu različitih funkcija i uloga koje ima dokazivanje (dokaz).

Iako ne polažem pravo na cjelovitost ili jedinstvenost našao sam sljedeći model koji opisuje funkcije dokazivanja i koji se pokazao koristan u dosadašnjim istraživanjima. Taj model je zanemarivo proširena Bellova razlika funkcija verifikacije, iluminacije i sistematizacije. Model je predstavljen ovdje (bez određenog reda važnosti) i dalje raspravljen:

verifikacija• (vezana uz istinitost izjave)objašnjenje• (donosi uvid zašto je istinita izjava)otkriće• (otkriće ili izum novog rezultata)sistematizacija• (organiziranje različitih rezultata u dedukcijski sustav ak-

sioma, važnijih koncepata i teorema)komunikacija• (prijenos matematičkog znanja)intelektualan izazov• (samootkriće ili samospoznaja koja proizlazi iz kon-

struiranja dokaza)

Dokaz kao sredstvo verifikacije/uvjerenja

S vrlo malo iznimaka, profesori matematike vjeruju da samo dokazivanje omogućuje sigurnost, te da je zbog toga jedini autoritet u određivanju točnosti pretpostavke. No, dokaz nije nužno potreban za uvjerenje, naprotiv, uvjerenje je puno češće nužno za pronalaženje dokaza. (Zbog kojeg drugog čudnog i mračnog razloga bi ponekad pokušavali mjesecima ili godinama dokazati određene pretpostavke ako već nismo uvjereni u njihovu istinitost?)

Poznati George Polya (1954., 83-84) piše:... dokazujući teorem u nekoliko slučajeva, sakupili smo jake induktivne

dokaze za njega. Induktivna faza nadišla je našu početnu sumnju i dala nam veliko povjerenje u teorem. Bez tog povjerenja rijetko bi pronašli hrabrost upustiti se u dokazivanje koje nikako nije izgledalo kao rutinski posao. Kada ste zadovoljili sebe da je teorem istinit, tada započinjete ga dokazivati.

U situacijama (kao u navedenom primjeru) gdje uvjerenje prije dokazivanja pruža

7

motivaciju za dokaz, funkcija dokazivanja sigurno je nešto drugo osim verifikacije/uvjerenja.

U stvarnom matematičkom istraživanju, osobno uvjerenje obično ovisi o kombinaciji intuicije, kvazi-empiričke verifikacije i postojanja logičkog (ne i nužno strogog) dokazivanja. Točnije, vrlo veliko uvjerenje može se postići čak i u nedostatku dokaza. Primjerice, u raspravi o „heurističkom dokazu“ kao potpori dotad nedokazanom teoremu ili poznatoj Riemannovoj hipotezi, Davis i Hersh (1983., 369) zaključuju da ovaj dokaz je „toliko jak da nosi uvjerenje i bez strogog dokazivanja.“

To uvjerenje za matematičare ne proizlazi samo iz dokazivanja već proizlazi i iz komentara prijašnjeg urednika časopisa Mathematical Reviews koji kaže da je otprilike pola objavljenih dokaza nepotpuno ili sadrže pogreške, iako su teoremi koje su trebali dokazati načelno istiniti (Hanna 1983., 71). Matematičari istraživači rijetko provjeravaju objavljene dokaze ili rezultate do detalja, već su vođeni etabliranim autoritetom autora, testirajući posebne slučajeve i neformalnom provjerom „metode i rezultati pašu, vjerojatno je...“ (David i Hersh 1986., 67). Također prema Hanni (1989.) vjerojatnost rezultata često ima prednost pred postojanjem punog strogog dokazivanja.

Prilikom istraživanja nove, nepoznate pretpostavke matematičari obično ne traže samo dokaze već istodobno pokušavaju konstruirati protuprimjere pomoću kvazi-empiričkog testiranja jer se tijekom takvih testiranja mogu otkriti skrivene suprotnosti, pogreške ili neizrečene pretpostavke. Na ovaj način, stvore se protuprimjeri koji traže da matematičari rekonstruiraju stare dokaze, ali i da konstruiraju nove. U postizanju uvjerenja, nemogućnost da se empirički ne dokaže pretpostavka igra jednako važnu ulogu kao i proces deduktivnog dokazivanja. Izgleda da postoji logička kao i psihološka dimenzija u postizanju istinosti. Logički, mi tražimo određeni oblik deduktivnog dokaza, no psihološki trebamo i određeno eksperimentalno istraživanje ili intuitivno razumijevanje.

Naravno, u pogledu poznatih ograničenja intuicije i kvazi-empiričkih metoda, prethodni argumenti nisu navedeni da umanje važnost dokazivanja kao nezamjenjivog načina verifikacije, pogotovo u iznenađujućim neintuitivnim slučajevima ili upitnim rezultatima. Naprotiv, ovi argumenti navedeni su da pruže bolju perspektivu na dokazivanje usprkos iskrivljenoj idolizaciji dokazivanja kao jedinom (i apsolutnom) načinu verifikacije/uvjerenja.

Dokaz kao način objašnjavanja

Iako je moguće postići veliku razinu povjerenja u ispravnost pretpostavke pomoću kvazi-empiričke verifikacije (npr. točna mjerenja i konstrukcije, numeričke


8

poučak 35

supstitucije, itd.) to generalno ne daje zadovoljavajuće objašnjenje zašto bi pretpostavka bila istinita. Samo potvrđuje istinitost i uz dodatne primjere može se povećati povjerenje u istinitost pretpostavke, ono ne daje psihološki zadovoljavajući smisao iluminacije - ne daje uvid ili razumijevanje kako je pretpostavka posljedica drugih sličnih rezultata. Primjerice, usprkos uvjerljivim heurističkim dokazima u potvrdi prije spomenute Riemannove hipoteze, može se još uvijek željeti objašnjenje kao što su rekli Davis i Hersh (1983., 368):

Zanimljivo je pitati, u ovome kontekstu, zašto još osjećamo potrebu za dokazom... Jasno je da želimo dokaz zbog toga jer ... ako je nešto točno, a mi ne možemo dedukcijom odrediti na ovaj način, to je znak našeg manjka razumijevanja. Mi vjerujemo, drugim riječima, da dokaz služi kao razumijevanje zašto je Riemannova pretpostavka točna, što je nešto više od samog znanja iz uvjerljivih heurističkih dokaza da je istina.

Gale (1990., 4) također jasno naglašava (kao što slijedi) s referencom na Feigenbaumova eksperimentalna otkrića u fraktalnoj geometriji, da funkcija njihovih eventualnih dokaza nije u verifikaciji već u objašnjavanju:

Lanford i drugi matematičari nisu se trudili potvrditi Feigenbaumove rezultate više nego, recimo Newton što je pokušavao potvrditi otkrića Keplera o planetarnim orbitama. U oba slučaja vrijednost (potvrda) rezultata nije upitna. Ono što je nedostajalo je objašnjenje. Zašto su orbite eliptične? Zašto zadovoljavaju ove određene relacije? ... velika je razlika između potvrđivanja i objašnjenja.

Zbog toga, u većini slučajeva gdje su rezultati očiti i/ili dolaze uz potvrdu kvazi-empiričkih dokaza, funkcija dokaza za matematičare nije verifikacija već radije objašnjenje (ili druge funkcije dokaza koje su dalje opisane).

Kao činjenica, za mnoge matematičare aspekt pojašnjenja/objašnjenja u dokazivanju je važniji od aspekta verifikacije. Poznati Paul Halmos rekao je da usprkos računalno potpomognutom dokazu teorema o četiri boje od Appela i Hakena koji ga je uvjerio o istinitosti dokaza, on bi radije htio dokaz koji također daje i „objašnjenje“ (Albers 1982., 239-240). Manin (1981., 107) i Bell (1976., 24) također vjeruju da je objašnjenje kriterij za „dobar“ dokaz kada navodimo da je on (dokaz) „onaj koji nas čini mudrijima“ i od kojeg se očekuje da „prenese uvid zašto je tvrdnja istinita.“

Dokaz kao način otkrića

Često se kaže da su teoremi prvo otkriveni intuitivnim i/ili kvazi-empiričkim načinima prije nego su verificirani produkcijom dokazivanja. Međutim, postoje

9

brojni primjeri iz povijesti matematike gdje su novi rezultati otkriveni ili izračunati na potpuno deduktivan način, točnije potpuno je nevjerojatno da neki rezultati (npr. neeuklidska geometrija) su otkriveni potpuno slučajno intuicijom i/ili kvazi-empiričkim metodama. Čak i unutar konteksta tako formalnih deduktivnih procesa kao što su aksiomatizacija i definiranje, dokazivanje može dovesti do novih rezultata. Matematičaru tako dokaz nije sredstvo kojim će potvrditi već postojeći rezultat već puno češće to je sredstvo istraživanja, analiziranja, otkrivanja i ostvarivanja novih rezultata (usporedite Schonefeld 1986. i de Jager 1990.).

Razmotrite sljedeći primjer. Koristeći Sketchpad konstruirali ste dinamički „zmaj“ (deltoid) ABCD i povezali ste dužinama polovišta njegovih stranica. Tako ste dobili četverokut EFGH kao što je na slici. Vizualno, EFGH je pravokutnik, što se može lako potvrditi ako izmjerite veličine kutova. Uzimajući bilo koji vrh deltoida ABCD i njegovim povlačenjem na novu poziciju možemo potvrditi da EFGH ostaje pravokutnik. Također, mogli bismo uzeti vrh A i povući ga prema dolje dok ABCD ne postane konkavan provjeravajući ostaje li ova tvrdnja istinita. Iako nas ova kontinuirana varijacija može vrlo lako uvjeriti, ona ne daje zadovoljavajuće objašnjenje zašto je četverokut koji određuju polovišta stranica deltoida pravokutnik. No, ako stvorimo deduktivan dokaz za ovu pretpostavku, odmah ćemo primijetiti da je okomitost dijagonala osnovna karakteristika o kojoj ovisi i da svojstvo susjednih stranica nije potrebno (dokaz se ostavlja za čitatelja).

Drugim riječima, odmah možemo generalizirati rezultat na svaki četverokut s okomitim dijagonalama kao što je prikazano na desnoj slici. Za usporedbu, općeniti rezultat nije predložen samo empiričkom potvrdom originalne hipoteze. Čak i sistematično empiričko istraživanje različitih tipova četverokuta ne bi pomoglo u otkrivanju općenitog slučaja jer bi vjerojatno svoje istraživanje ograničili na poznate četverokute kao što su paralelogrami, pravokutnici, rombovi, kvadrati i jednakokračni trapezi.

Cevain teorem (1678.) je vjerojatno otkriven na sličan deduktivan način, generalizirajući dokaz da se težišnice trokuta sijeku u jednoj točki, a ne stvarnom


10

poučak 35

konstrukcijom i mjerenjem (vidjeti de Villiers 1988.). Međutim, novi se rezultati također mogu otkriti a priori, jednostavnom dedukcijskom analizom svojstava danih objekata. Primjerice, bez primjene stvarne konstrukcije i mjerenja moguće je brzo zaključiti da za četverokut ABCD kojem je upisana kružnica vrijedi jednakost |AB| + |CD| = |BC| + |DA| (kao što je vidljivo na slici). Pri tome se koristi teorem da su odsječci dviju tangenti iz neke točke na kružnicu jednakih duljina.

Dokaz kao sredstvo sistematizacije

Dokaz pokazuje osnovne logičke poveznice između izjava na način koji nije moguć kvazi-empiričkim testiranjem ili uz pomoć intuicije. Zbog toga je dokaz nezamjenjiv alat u sistematizaciji različitih nepoznatih rezultata u deduktivan sustav aksioma, definicija i teorema. Neke od najpoznatijih funkcija deduktivne sistematizacije poznatih rezultata su dao je de Villiers (1986.):

pomaže u identificiranju nepostojanosti, kružnih (cirkularnih) argumenata i •skrivenih, ne jasno rečenih pretpostavkiujedinjuje i pojednostavljuje matematičke teorije kombinirajući nepovezane •izjave, teoreme i koncepte, s ciljem ekonomične prezentacije rezultatapruža korisno općenito stajalište tj. ptičju perspektivu teme tako što otkriva •osnovne aksiomatske strukture iz koje se sva ostala svojstva mogu izvestipomaže u primjeni u matematici i izvan nje, omogućuje provjeru primjenjivosti •cijele složene strukture ili teorije jednostavnom procjenom prihvatljivosti njenih aksioma ili definicijačesto vodi do alternativnih deduktivnih sustava koji pružaju nova gledišta i/ili •ekonomičnija, elegantnija i moćnija od postojećih

Iako su ovdje prisutni neki elementi verifikacije, glavni cilj nije provjera istinitosti određenih izjava već organizacija logički nepovezanih individualnih izjava za koje se zna da su istinite u koherentnu cjelinu. Zbog općenitog stajališta koje pruža takvo pojednostavljenje i unificiranje, također postoji i određen element iluminacije koji je prisutan kada je dokaz korišten kao način sistematizacije. U ovom slučaju, bit je u općenitoj radije nego lokalnoj iluminaciji. U stvarnosti je lažno reći,

11

da prilikom dokazivanja jasnih izjava pokušavamo „biti sigurni“ kao što je sigurno da su „nasuprotni kutovi dviju dužina koje se sijeku jednake veličine“. Matematičari su manje zabrinuti za istinitosti takvih teorema nego za njihovu sistematizaciju u deduktivni sustav.

Dokaz kao sredstvo komunikacije

Nekolicina autora je naglasila važnost komunikacijske funkcije dokaza, na primjer:

... čini se da je dokaz oblik dijaloga sredstvo komunikacije ljudi koji se bave matematikom. (Volmink 1990., 8)

... prepoznajemo da je matematički argument namijenjen ljudskom slušateljstvu, koje ima znanje koje im omogućava razumijevanje namjere govornika ili autora. Kada navodimo da matematički argument nije mehanički ili formalan, rekli smo bezuvjetno što je ... ljudska razmjena koja se temelji na zajedničkim značenjima koja nužno ne moraju biti sva verbalna ili u obliku formula. (Davis i Hersh 1986., 73)

Slično, Davis (1976.) je spomenuo da je jedna od stvarnih vrijednosti dokaza stvaranje foruma za kritičku raspravu. Prema njegovu gledištu, dokaz je jedinstven način komuniciranja matematičkim rezultatima između profesionalnih matematičara, profesora i studenata te među studentima. Naglasak je usmjeren na socijalni proces predstavljanja i sijanja matematičkog znanja u društvo. Dokaz kao oblik socijalne interakcije tako uključuje subjektivno pregovaranje, ne samo oko dotaknutih koncepata već i bezuvjetno oko kriterija za prihvatljiv argument. Točnije, takva socijalna filtracija dokaza u različitim komunikacijama doprinosi njegovom pročišćavanju i pronalaženju pogrešaka, kao i ponekad odbijanju otkrićem protuprimjera.

Dokaz kao sredstvo intelektualnog izazova

Matematičarima dokaz je intelektualni izazov koji im je privlačan kao drugim ljudima zagonetke ili kreativni hobiji. Većina ljudi ima dovoljno iskustva, iako samo u pokušaju rješavanja križaljke ili slagalica, koje im omogućuje da shvate veselje s kojim su Pitagora i Arhimed slavili svoje otkriće dokaza. Dokazivanje se može usporediti s fizičkim izazovom teškog maratona ili triatlona i sa zadovoljstvom koje dolazi poslije završetka. U ovom smislu, intelektualni izazov kao funkcija dokaza je u samospoznaji i ispunjenju. Dokaz je testni poligon za intelektualnu izdržljivost i snalažljivost


12

poučak 35

matematičara (usporediti Davis i Hersh 1983., 369). Da parafraziramo George Malloryjev komentar o njegovom razlogu penjanja na Mount Everest: „Dokazujemo naše rezultate jer su oni tamo“. Ako ovu analogiju proširimo, postojanje planine nije upitno (istina rezultata), već može li se (i kako) osvojiti (dokazati)!

Konačno, iako se šest funkcija dokaza može razlikovati jedna od druge, često su međusobno povezane u posebnim slučajevima. U određenim slučajevima određene funkcije mogu dominirati drugima, dok u drugim slučajevima neke funkcije se uopće ne moraju ni pojaviti. Nadalje, ovaj popis funkcija nije potpun, mogli bi jednostavno dodati estetsku funkciju ili memorizacijsku funkciju i funkciju stvaranja algoritama (Renz 1981. i van Asch 1993.).

Poučavanje dokaza korištenjem Sketchpada

Kad učenici temeljito istraže geometrijsku pretpostavku kroz kontinuirane varijacije pomoću dinamičkog softwarea kao što je Sketchpad, oni imaju vrlo skromnu potrebu za daljnjim uvjeravanjima ili verifikacijama. Znači, verifikacija služi kao mala ili nikakva motivacija za dokazivanje. Međutim, našao sam način kako zaintrigirati zanimanje učenika pitajući ih zašto misle da je određeni rezultat istinit; zapravo, izazvati ih da istražuju i objasne. Učenici brzo priznaju da induktivna verifikacija samo potvrđuje; ne daje zadovoljavajući smisao iluminacije, uvid ili razumijevanje kako je pretpostavka zapravo posljedica drugog poznatog rezultata. Učenici tada nalaze zadovoljavajućim da je deduktivan argument pokušaj objašnjenja, a ne verifikacije.

Objašnjenje

Otkriće

Verifikacija

Intelekualni izazovi

Sistematizacija

13

Preporučljivo je rano upoznati učenike s funkcijom otkrića dokaza i pridati pažnju komunikativnim aspektima kroz raspravu i objašnjavajući učenicima kriterije za prihvatljive dokaze, temelje heuristike i logiku dokaza. Verifikacijska funkcija dokaza trebala bi biti rezervirana za rezultate o kojima učenici imaju sumnje. Iako neki učenici neće iskusiti dokaz kao intelektualni izazov za njih same, biti će spremni cijeniti da drugi mogu shvatiti tako postupak dokazivanja. Nadalje, u stvarnoj matematici, kao što će svi s malo iskustva posvjedočiti, sama sistematizacijska funkcija dokaza izlazi na vidjelo kod naprednijih etapa dokazivanja, te bi ju zbog toga trebalo izbjegavati prilikom upoznavanja dokaza. Smisleno je upoznavati učenike s različitim funkcijama dokaza redoslijedom koji je prikazan gore, iako ne u čisto linearnom smislu kako je prikazano, već u spiralnom prilazu gdje se ranije upoznate funkcije dokaza pojašnjavaju i proširuju. Odlomci ove knjige organizirani su kako je prikazano na slici iznad, te je dano nekoliko metoda spiralnog prilaza kroz redoslijed koji se nalaze u Uvodu.

Van Hiele teorija

Van Hiele teorija zamišljena je u doktorskoj disertaciji Dinae van Hiele-Geldof i njenog muža Pierra van Hielea na Sveučilištu Utrecht u Nizozemskoj 1957. godine. Dok je Pierreova disertacija većinom pokušavala objasniti zašto učenici imaju probleme u učenju geometrije (u ovom slučaju disertacija je bila objašnjavajuća i opisna), Dinaina disertacija bila je o eksperimentu u načinu predavanja (disertacija je više bila usredotočena na propise vezane uz redoslijed geometrijskog gradiva i aktivnosti učenja učenika). Najočitija karakteristika teorije je bila razdioba na pet određenih misaonih etapa u razvoju učeničkog razumijevanja geometrije.

Prema van Hiele teoriji, glavni je razlog zašto tradicionalni nastavni program ne uspijeva taj što je predočen na višem stupnju od onoga na kojem funkcioniraju učenici. Drugim riječima, učenici ne razumiju profesora, a niti profesor ne razumije zašto učenici ne razumiju njega! Iako van Hiele teorija razlikuje pet različitih razina misli (učenja), ovdje ćemo se usredotočiti samo na prve četiri razine, jer su one najvažnije za srednjoškolsku geometriju. Ovdje su opisane osnovne karakteristike prvih četiriju razina.

Razina 1: Prepoznavanje

Učenici prepoznaju figure vizualno zbog njihovih osnovnih oblika. Prepoznaju trokute, kvadrate, paralelograme itd., preko oblika, no ne prepoznaju jasno svojstva tih figura.


14

poučak 35

Razina 2: Analiza

Učenici započinju analizu svojstava figura i uče odgovarajuću terminologiju za njihov opis, no ne povezuju međusobno figure ili svojstva figura.

Razina 3: Redoslijed

Učenici logički slažu redoslijed svojstava figura kratkim nizom dedukcija i razumiju međusobne odnose između figura (npr. razredno uključivanje).

Razina 4: Izvođenje

Učenici započinju razvijati dulje sekvence izjava i počinju razumijevati važnost izvođenja, ulogu aksioma, teorema i dokaza.

Razlike između prvih triju razina mogu se sažeti (kao što je prikazano na tablici) u granicama objekta i strukture misli po pojedinoj razini (Fuys et al., 1988., 6).

Razina 1 Razina 2 Razina 3

Objekt misli Pojedinačne figure Klase figura Definicije klasa figura

Struktura misli

Vizualno prepoznavanjeImenovanjeVizualno sortiranje

Prepoznavanje svojstava kao karakteristike klasa

Primjećivanje i formuliranje logičkih veza između svojstava

Primjeri Paralelogrami idu skupa jer „izgledaju isto.“

Pravokutnici, kvadrati i rombovi nisu paralelogrami jer „ne izgledaju isto.“

Paralelogram ima četiri stranice, jednake nasuprotne kutove, jednake nasuprotne stranice, dijagonale koje se križaju itd. Pravokutnik nije paralelogram jer ima kutove od 90°, a paralelogram nema.

Nasuprotne jednake stranice uvjetuju da su nasuprotne stranice paralelne.Nasuprotne paralel-ne stranice uvjetuju jednakost nasuprot-nih stranica.Nasuprotni jedna-ki kutovi uvjetuju nasuprotne jednake stranice.Dijagonale koje se sijeku impliciraju refleksiju (osnu simetriju).

15


Koristeći intervjue sa zadacima Burger i Shaughnessy (1986.) odredili su što učenici rade na prve četiri razine.

Razina 1

Često koriste vizualna svojstva da odrede, usporede, klasificiraju i opišu 1. figure.

Obično koriste vizualne prototipove figura i često se mogu zbuniti 2. orijentacijom figura.

Nisu u mogućnosti razmišljati o beskonačnom broju varijacija određenog 3. tipa figura, za primjer u uvjetima orijentacije i oblika.

Nepostojano klasificiraju figure, npr. koriste neuobičajena ili nevažna svojstva 4. za sortiranje figura.

Nepotpuno opisuju (definiraju) figure gledajući obvezne uvjete (često 5. vizualne) kao dovoljne.

Razina 2

Prave obvezujuće usporedbe figura s obzirom na osnovna svojstva.1. Izbjegavaju klasna uključenja između različitih klasa figura, npr. kvadrati i 2.

pravokutnici se ne smatraju kao jedna klasaSortiraju figure s obzirom na jedno svojstvo, npr. svojstvo stranica, dok se 3.

ostala svojstva kao simetrije, kutovi i dijagonale ignoriraju.Pokazuju neekonomično korištenje svojstava figura da ih opišu (definiraju), 4.

umjesto korištenja dovoljnih svojstava.Odbijanje definicija koje im pružaju drugi ljudi, npr. profesor ili udžbenik, u 5.

korist njihovih definicija.Pronaći istinitost izjave empirički, npr. korištenjem promatranja i mjerenja 6.

na osnovi nekoliko crteža.

Razina 3

Kreirati ekonomične, prave definicije figura.1. Mogu pretvoriti nepotpune definicije u potpune i spontanije prihvaćaju, te 2.

koriste definicije za nove koncepte.Prihvaćaju različite jednakovrijedne definicije za isti koncept.3. Klasifikacija figura po hijerarhiji, npr. četverokuta.4. Obvezujuće korištenje logičkog oblika 5. ako...onda za formuliranje i korištenje

pretpostavki i implicitno korištenje logičkih pravila kao što je modus ponens.Nesigurni su i nedostaje im razumijevanje funkcija aksioma, definicija i 6.

dokaza.

16

poučak 35

Razina 4

Razumiju funkciju (ulogu) aksioma, definicija i dokaza.1. Spontano stvaraju pretpostavke i samoinicijativno pokušavaju ih potvrditi.2.

Prema van Hiele teoriji, deduktivno razmišljanje se prvo javlja na Razini 3, kada se uspostavlja mreža logičkih veza između svojstava. Točnije, kada se uspostavi dokaz o jednakosti dijagonala pravokutnika, smisao tog dokaza leži u stvaranju logičkih veza između svojstava. Učenik na Razini 1 ili 2 koji još nije razvio logičku mrežu može iskusiti dokaz kao pokušaj verifikacije rezultata. No, dok ti učenici ne sumnjaju u istinitost svojih empiričkih opažanja, dokaz kao takav njima je besmislen ili „dokazivanje očitog“. Treba primijetiti da prijelaz s van Hiele Razine 1 na Razinu 2 predstavlja određene probleme učenicima koji pohađaju nastavu na nematerinjem jeziku, jer iziskuje usvajanje tehničke terminologije za opis svojstava figura.

Konceptualno strukturiranje

Važan aspekt van Hiele teorije je naglašavanje neformalnih aktivnosti na Razinama 1 i 2 koje bi trebale postaviti odgovarajuće „konceptualne podstrukture“ za sljedeće formalne aktivnosti na višim razinama. Nastavnici često daju učenicima da mjere veličine kutova trokuta, a zatim da ih zbroje te otkriju da je zbroj uvijek jednak 180°. Iz perspektive van Hiele teorije ovo nije odgovarajuće jer ne pruža odgovarajuću podstrukturu u koju je ugrađeno logičko objašnjenje (dokaz). Za usporedbu, aktivnost s pločicama kartona ili Sketchpadom (na slici), pruža takvu podstrukturu. Primjerice, translatirajte trokut ABC za vektor BC

i rotirajte trokut ABC oko polovišta stranice AC . Dopustite učenicima da otkriju kroz povlačenje da kutovi s vrhovima C, D i E uvijek čine ravnu crtu. Zatim pitajte učenike što misle o kutovima kod A i B u odnosu na kutove kod vrhova D i E. Kut s vrhom B odgovara kutu s vrhom E zbog translacije, kut s vrhom A odgovara kutu s vrhom D zbog poluzakretanja tj. kutovi kod B i A jednakih su veličina kao i kutovi kod D i E. Vidljivo je da ova vježba pruža odgovarajuću konceptualnu strukturu za eventualano objašnjenje (dokaz).

17


Slično, aktivnost mjerenja osnovnih kutova jednakokračnih trokuta i povlačenjem tog trokuta u Sketchpadu je konceptualno neodgovarajuće, ali reflektiranje oko njegove osi simetrije pruža kasnije osnovu za logičko objašnjenje (dokaz).

Rekonstrukcijski pristup

Početkom 20. stoljeća njemački matematičar Felix Klein (1924.) glasno je iznio neslaganje s praksom prezentiranja matematičkih tema kao kompletnih aksiomatski-deduktivnih sustava, te je umjesto toga predložio „bio-genetski“ princip u predavanju. Za taj genetski pristup isto su se zalagali Wittmann (1973.), Polya (1981.), Freudenthal (1973.) i mnogi drugi. U osnovi genetski pristup zagovara da dokazivač ponovi (bar u određenom dijelu) postupak prvotnih istraživača ili da ponovi postupak kojim bi se matematički sadržaj otkrio. Drugim riječima, učenici (dokazivači) bi trebali biti izloženi tipičnim matematičkim procesima pomoću kojih se otkriva novi matematički sadržaj. Human (1978., 20) to naziva rekonstrukcijskim prilazom i uspoređuje ga s takozvanim direktnim aksiomatsko-deduktivnim pristupom:

S ovim terminom želimo označiti sadržaj nije direktno predočen učenicima (kao završni produkt matematičke aktivnosti), već da je sadržaj nanovo konstruiran kroz predavanje na tipičan matematički način od nastavnika i/ili učenika.

Motivacija za rekonstrukcijski prilaz sadrži, među ostalim, sljedeća dva elementa: ističe značenje sadržaja i dopušta učenicima da aktivno sudjeluju u konstruiranju i razvitku sadržaja. Nedavno, teorija učenja konstruktivizma je pružila psihološki pogled koji snažno podupire takav pristup predavanju. S različitim sadržajima (definicije, sustavi aksioma, dokazi, algoritmi itd.) mogu se razlikovati različiti matematički procesi za konstruiranje takvog sadržaja. Genetički ili rekonstrukcijski pristup ne karakterizira sadržaj kao završen produkt, već se radije usredotočuje na prave matematičke principe s kojima se može razviti ili rekonstruirati sadržaj. Primijetite da rekonstrukcijski pristup nužno ne implicira učenje otkrićem, već može biti rekonstrukcijsko objašnjenje dano od nastavnika ili iz udžbenika. Također, to ne znači da povijesni pristup treba striktno pratiti, već da povijest matematike služi kao koristan vodič.

Definiranje

Bitna vrijednost matematike nije samo sadržana u produktima matematičke aktivnosti (npr. dobrim konceptima, definicijama, strukturama i aksiomatskim sustavima) već i u procesima matematičkih aktivnosti koje vode do tih produkata kao što je generalizacija, prepoznavanje uzoraka, definiranje, aksiomatiziranje. Izabrana

18

poučak 35

slova su namijenjena da označe povećani značaj prave matematičke aktivnosti kao suprotnost asimilaciji završenih produkata takvih aktivnosti, Ovaj značaj se osobito odražava u različitim dijelovima geometrije. (Mathematical Association of South Africa 1978., 3)

Tradicionalno većina učitelja i autora udžbenika učenicima daju gotov sadržaj (definicije, teoreme, dokaze, klasifikacije itd.) koji oni moraju usvojiti i ponoviti na ispitima. Tradicionalno učenje geometrije na ovaj način se može usporediti s kulinarskim učenjem gdje profesor učenicima pokaže kolače (ili još gore, slike kolača) bez da im pokaže što ide u kolač i kako se on pravi. Nadalje, učenicima nije ni dopušteno da probaju sami kuhati.

Izravno poučavanje geometrijskih definicija bez naglašavanja osnovnih procesa definiranja je često bilo kritizirano od matematičara i profesora matematike. Za primjer, već je 1908. Benchara Blanford je napisao (citirano u Griffiths i Howson 1974., 216-217):

Doima mi se kao radikalno okrutna metoda, pogotovo u geometriji, ako ne i u drugim predmetima, opskrbiti dijete s gotovim definicijama koje treba zapamtiti nakon što su bile koliko toliko pažljivo objašnjene. Napraviti to je sigurno namjerno odbacivanje najvažnijih osnova intelektualne discipline. Stvaranje radne definicije kod djece na način da ih se stimulira s odgovarajućim pitanjima je zanimljivo i vrlo poučno. Probajmo otkriti kakvo shvaćanje postoji u dječjem umu - nejasno i grubo sigurno je -naravno koja bi onda bila svrha obrazovanja? - primijetimo pažljivo njegove nedostatke i pomognimo djetetu da samo preoblikuje svoje shvaćanje...

Poznati matematičar Hans Freudenthal (1973., 416-418) također je snažno kritizirao tradicionalnu praksu direktnog davanja geometrijskih definicija;

... Sokratski didaktičar odbio bi uvođenje geometrijskih objekata pomoću definicija, no gdje bi prevladavala didaktička inverzija, deduktivnost započinje s definicijama. (U tradicionalnoj geometriji čak definiraju što je definicija-što je još na višoj razini u procesu učenja.) Sokratski didaktičar odbija takvu proceduru. Kako se može definirati stvar prije nego što znaš što trebaš definirati? ... Većina definicija nisu unaprijed stvorene, već kao završni potez organizacijskih aktivnosti. Dijete ne bi trebalo biti lišeno ove privilegije ... Dobra instrukcija u geometriji može značiti puno-naučiti organizirati neku temu kao i naučiti što je organiziranje, naučiti konceptualiziranje i što je to konceptualizacija, naučiti definirati i što je to definicija. Smisao je navoditi učenike da shvate zašto neke organizacije, koncepti, neke definicije su bolji od drugih. Umjesto da dopustimo djetetu da organizira prostorna iskustva, teme su dane kao unaprijed organizirane strukture. Svi koncepti, definicije i dedukcije su unaprijed smišljene od nastavnika, koji zna svrhu u svakom detalju - ili od autora udžbenika koji je pažljivo ugradio sve svoje tajne u strukturu.

19


Poznavanje definicije koncepta ne garantira razumijevanje koncepta. Primjerice, iako je učenicima ispredavano, znaju standardnu definiciju paralelograma kao četverokuta s nasuprotnim paralelnim stranicama, oni možda još neće smatrati pravokutnike, kvadrate i rombove kao paralelograme jer njihova slika koncepta paralelograma ne dopušta da kutovi i stranice mogu biti jednaki. Da bi povećali učeničko razumijevanje geometrijskih definicija i koncepta na koje se odnose mora se učenike uključiti u nekom stadiju procesa definiranja geometrijskih koncepata. Zbog svojstvene kompleksnosti procesa definiranja bilo bi teško za očekivati da učenici sami odmah daju formalne definicije, osim ako nisu bili vođeni na didaktičan način kroz primjere procesa definiranja koje kasnije mogu koristiti kao modele za svoje pokušaje.

Nadalje, konstruiranje definicija je matematička aktivnost koja nije manje važna od drugih matematičkih procesa kao što su rješavanje problema, postavljanje pretpostavki, generalizacija, specijaliziranje, dokazivanje itd. no čudno je da je bilo zanemarivano u predavanju matematike. U matematici razlikujemo između dva različita tipa definiranja koncepata, deskriptivni (a posteriori) i konstruktivni (a priori) način definiranja (npr. usporedite Krygowska 1971.; Human 1978., 164-65; de Villiers 1998.).

20

poučak 35

Deskriptivno definiranje

... opisna definicija ... opisuje poznati objekt izdvajajući nekoliko karakterističnih svojstava. (Freudenthal 1973., 458)

Deskriptivno definiranje se događa nakon što su koncept i svojstva poznata neko vrijeme (pogledajte ispod). Deskriptivno definiranje je obično može postići odabirući odgovarajući podskup od ukupnog skupa svojstava koncepta iz kojeg se mogu sva druga svojstva izvesti. Taj podskup služi kao definicija, a ostala svojstva se logički izvode iz njega kao teoremi.

21

Konstruktivno definiranje

... algoritamski konstruktivna i kreativna definicija...oblikuje nove oblike iz poznatih. (Freudenthal 1973., 458)


Konstruktivno definiranje se provodi mijenjanjem dane definicija izdvajanjem, generaliziranjem, specializiranjem, zamjenjivanjem ili dodavanjem svojstava definiciji tako da je konstruiran novi koncept u tom procesu (vidjeti iznad). Drugim riječima, novi koncept nastaje i dalje se njegova svojstva mogu eksperimentalno ili logički istraživati. Glavna svrha deskriptivnog definiranje je u sistematiziranju postojećeg znanja, dok je glavna svrha konstruktivnog definiranja produciranje novog znanja.

22

poučak 35

Iz naše prethodne raprave van Hiele teorije trebalo bi biti jasno da razumijevanje formalne definicije iz udžbenika započinje tek na Razini 3 i da ranije davanje takvih definicija učenicima na nižim razinama će rezultirati neuspjehom (nerazumjevanjem). Točnije, ako uzmemo konstruktivističku teoriju učenja ozbiljno (znanje se ne može direktno prebaciti od jedne do druge osobe i da smisleno znanje onaj koji uči treba aktivno konstruirati), trebali bi potaknuti učenika u aktivnosti definiranja svojih definicija na svakoj razini. Primjerice, definiranje pravokutnika ukazuje dopuštanje smislene definicije na svakoj van Hiele razini:

van Hiele razina 1Vizualne definicije; primjerice, pravokutnik koji izgleda ovako (crtanje ili

identificiranje četverokuta s svim kutovima 90° i dvije kraće i dulje stranice).

van Hiele razina 2Neekonomične definicije; primjerice, pravokutnik je četverokut s nasuprotnim

stranicama paralelnima i jednakima, svi kutovi su 90°; jednake dijagonale, dvije osi simetrije kroz nasuprotne stranice, dvije dulje i kraće stranice itd.

van Hiele razina 3Ispravne, ekonomične definicije; primjerice, pravokutnik je četverokut s dvije osi

simetrije kroz nasuprotne stranice.

Hijerarhijske nasuprot particijskih definicija

Kao što možete vidjeti iz gornja dva primjera na razinama 1 i 2 van Hiele teorije učeničke spontane definicije su particijske (djelomične), točnije ne dopuštaju uključivanje kvadrata među pravokutnike (zbog eksplicitnog navođenja po dviju duljih i kraćih stranica). Za usporedbu, definicije na razini 3 van Hiele teorije su tipično hijerarhijske, dopuštaju uključivanje kvadrata među pravokutnike i one ne bi bile razumljive učenicima na nižim razinama.

Formalnim definicijama u udžbenicima često prethode aktivnosti u kojima učenici uspoređuju tablično različita svojstva četverokut npr. da kvadrat, pravokutnik i romb imaju sva svojstva paralelograma. Svrha toga je pripremiti učenike za formalne definicije koje su hijerarhijske. (Drugim riječima, dane definicije uključuju posebne slučajeve, npr. paralelogram je definiran tako da uključuje kvadrate, rombove i pravokutnike.) Međutim, de Villiersovo (1994.) istraživanje je pokazalo da mnogi učenici nakon tabličnih usporedbi i drugih aktivnosti preferiraju, ako mogu, definirati četverokute u particijama. (Definirali bi paralelogram kao četverokut s nasuprotnim stranicama paralelnim, ali ne sa svim kutovima i stranicama jednakim.)

23

Zbog toga razloga učenicima se ne bi trebale davati gotove definicije četverokuta već bi im se trebalo dopustiti da stvore sami svoje definicije bez obzira da li su one particijske ili hijerarhijske. Raspravom i usporedbom unutar učionice o relativnim prednostima i manama klasificiranja i definiranja četverokuta (oba su matematički točna) učenici mogu sami shvatiti određene prednosti hijerarhijske klasifikacije. Primjerice, ako se učenike pita da usporede sljedeće dvije definicije paralelograma možda će shvatiti da je prva definicija ekonomičnija od druge:

Hijerarhijska: Paralelogram je četverokut s dva para nasuprotnih paralelnih stranica.

Particijska: Paralelogram je četverokut s dva para nasuprotnih paralelnih stranica, no ne s svim kutovima i stranicama jednakima.

Općenito particijske definicije su dulje jer moraju uključiti dodatna svojstva da bi osigurala isključivanje posebnih slučajeva. Još jedna prednost hijerarhijskih definicija koncepta je da svi teoremi koji su dokazani za taj koncept odmah su primjenjivi i na posebne slučajeve. Za primjer, ako dokažemo da dijagonale paralelograma raspolavljaju jedna drugu, odmah možemo zaključiti da je to točno za sve pravokutnike, rombove i kvadrate. Međutim, ako smo ih klasificirali i definirali djelomično, za svaku grupu trebali bi samo posebno dokazivati da im se dijagonale raspolavljaju. Vidljivo je da je to neekonomično. Također, ako se uloga i funkcija hijerarhijske klasifikacije jasno ne objasni i raspravi u učionici kao što predlaže de Villiers (1994.) mnogi učenici će imati problema u razumijevanju zašto se njihove intuitivne djelomične definicije ne koriste.


24

poučak 35

Na drugu stranu, dinamična priroda geometrijskih figura konstruiranih u Sketchpadu može isto pridonijeti lakšem prihvaćanju hijerarhijske klasifikacije četverokuta. Primjerice, ako učenici konstruiraju četverokut s nasuprotnim paralelnim stranicama, povlačenjem konstruirane figure lako će zamjetiti da mogu figuru pretvoriti u pravokutnik, romb ili kvadrat kao što je prikazano na slici ispod. Zapravo, čini se vrlo mogućim da bi učenici razumjeli i prihvatili ovo već i na van Hiele razini 1 (vizualizacija), no potrebno je daljnje istaživanje u ovom području.

Konstrukcija i mjerenje

Treba istaknuti da određene konstrukcijske aktivnosti (Sketchpadom ili olovkom i papirom) su neprimjerene na van Hiele razini 1. Primjerice, na jednoj konferenciji netko je komentirao kako je bio potišten činjenicom da mala djeca imaju problema s konstrukcijom „dinamičnog“ kvadrata korištenjem Sketchpada. Međutim, ako su djeca još uvijek na van Hiele razini 1, nije iznenađujuće da ne znaju konstruirati nešto čija svojstva ne znaju (razina 2), te koja svojstva su dovoljna, a koja nisu (točnije, da znaju logičke odnose između svojstava-razina 3)?

Zapravo na van Hiele razini 1 bilo bi bolje djeci predstaviti odgovarajuće gotove crteže četverokuta u Sketchpadu koja onda oni mogu proučavati i manipulirati vizualno. Sljedeće što bi mogli je početi koristiti dijelove programa vezane uz mjerenje, te tako započeti analizu svojstava (i naučiti odgovarajuću terminologiju) koja bi im omogućila da dosegnu razinu 2. Tek tada bilo bi primjereno potaknuti ih da pokušaju konstruirati dinamične četverokute i tako im pomoći u prijelazu na razinu 3.

Drugim riječima, od učenika koji su pretežito na van Hiele razini 2 ne može se očekivati da logički provjere svoje opise (definicije) četverokuta, ali trebalo bi im se dopustiti da provjere svoje opise uz pomoć konstrukcije i mjerenja. Primjerice, učenici bi mogli provjeriti sljedeće pokušaje opisa (definicija) romba konstrukcijom i mjerenjem kao što je prikazano ispod:

1. Romb je četverokut s svimistim stranicama.2. Romb je četverokut s okomitim raspolavljajućim dijagonalama.3. Romb je četverokut s raspolavljajućim dijagonalama.4. Romb je četverokut s jednim parom jednakih susjednih stranica i s oba para

nasuprotnih paralelnih stranica.

25

Konstrukcija i mjerenje

U prvom primjeru, učenici bi trebali konstruirati četverokut tako da su sve četiri stranice jednake i da mogu zamjetiti da se dijagonale uvijek sijeku imeđusobno su okomite, neovisno o tome kako oni pomiču konstrukciju. To jasno pokazuje da svojstvo „okomito rapolavljajućijh dijagonala“ je posljedica konstrukcije „sve četiri stranice jednake“. Na drugoj strani, ovakvo testiranje jasno pokazuje kada je opis (definicija) nepotpuna (sadrži nedovoljno svojstava), kao u trećem primjeru gore.

Psihološki ovake konstrukcije su vrlo važne u prijelazu s van Hiele razine 2 na razinu 3. Pomažu u razvijanju i razumijevanju razlike između premise i zaključka i njihove uzročne veze, točnije logičke strukture izjave ako...onda. Primjerice, izjavu 4 učenici mogu prepraviti da glasi: „Ako četverokut ima jedan par susjednih jednakih stranica i oba para nasuprotnih paralelnih stranica, tada je to romb (ima sve stranice jednake, okomite raspolavljajuće dijagonale itd.).“ Smith (1940.) primijetio je vidljivi napredak u učeničkom razumijevanju ako-onda izjava nakon što im je dopustio konstruiranje u svrhu procjene geometrijskih izjava:

Učenici su vidjeli da su učinili određene stvari prilikom stvaranja figure koje su rezultirale nekim drugim stvarima. Naučili su osjetiti razliku u kategoriji između odnosa koje su oni stavili u figuru-stvari nad kojima imaju kontrolu-i odnosa koji su rezultirali bez ikakvih njihovih aktivnosti. Konačno razlika u ove dvije kategorije je povezana s razlikom između danih uvjeta i zaključka, između ako dijela i onda dijela rečenice.

Faze u predavanju geometrije

Prema van Hiele teoriji da bi učenje bilo smisleno, učenici bi trebali biti upoznati i istraživati geometrijski sadržaj u fazama koje odgovaraju van Hiele razinama. Ozbiljni nedostatak van Hiele teorije je u tome što nema izričite razlike između različitih mogućih funkcija dokaza. Primjerice, razvitak deduktivnog razmišljanja javlja se prvo unutar konteksta sistematizacije na van Hiele razini 3 (redoslijed). Empiričko istraživanje koje je proveo de Villiers (1991.) i Mudaly (1998.) ukazuju međutim da funkcije dokaza kao što su objašnjenje, otkriće i verifikacija mogu biti smislene učenicima izvan sistematizacijskog konteksta, drugim riječima, na nižim razinama od van Hiele razine 3, uz to da su argumenti intuitivne ili vizualne naravi; npr. upotreba simetrije ili siječenja. Iz iskustva, također vidimo da produljeno zaostajanje na van Hiele razinama 1 i 2 zapravo otežava uvođenje dokaza kao smislene aktivnosti kasnije. Sljedeća četiri primjera aktivnosti ne samo da odgovaraju van Hiele razinama, već i uključuju razlike između nekih funkcija dokaza na svakoj razini.


26

poučak 35

Aktivnost 1: Istraživanje svojstava zmaja (deltoida)

U ovoj aktivnosti učenici koriste Sketchpad prvo da konstruiraju zmaj koristeći zrcaljenje, a zatim istražuju njegova svojstva (npr. kutove, stranice, dijagonale, opisanu kružnicu). Povlačenjem figura učenici također mogu istraživati posebne slučajeve (romb, kvadrat).

Ova aktivnost:Uključuje • van Hiele razinu 1 (vizualizaciju) i van Hiele razinu 2 (analizu i

formulaciju svojstava)Pitajte učenike da • objasne (dokažu) svojstva zmaja u granicama zrcalne

simetrije

Konstruirajte

Povucite dužinu između dvije točke i konstruirajte bilo koju točku koja nije 1. na dužini.

Zrcalite „vanjsku“ točku na dužinu.2. Povežite odgovarajuće točke da čine četverokut3. kao na slici iznad.

Istražite

1. Načinite pretpostavke u vezi sljedećih svojstava gornjih figura: a) stranice b) kutovi c) dijagonale d) upisane ili opisane kružnice

2. Mogu li gonje figure ponekad biti paralelogram, pravokutnik, romb ili kvadrat?

3. Logički objasnite vaše pretpostavke iz pitanja 1 u granicama simetrije.

27

Aktivnost 2: Konstruiranje polovišnih točaka na stranicama zmaja

Učenici bi trebali konstruirati polovišta stranica dinamičnog zmaja i istražiti tip figure koji je formiran (vodeći do pretpostavke da je to pravokutnik).

Ova aktivnost:• objašnjava da polovišta čine pravokutnik u granicama okomitosti dijagonala,

a to vodi do otkrića da je ta izjava istinita za svaki četverokut s okomitim dijagona-lama

Konstruirajte

Konstruirajte i povežite polovišta stranica zmaja.

Istražite

Istražite tipove četverokuta1. koji su formirani polovištima stranica zmaja.

Logički objasnite vašu pretpostavku.2. Iz pitanja 2, možete li naći ili konstruirati neki 3.

općenitiji tip četverokuta s istim svojstvima polovišta? (Rezultat generalizira bilo koji tip četverokuta s okomitim dijagonalama.)

Aktivnost 3: Opisivanje zmaja

Učenici odabiru različite podskupove svojstava zmaja kao moguće opise (definicije) i prvo provjeravaju da li su potrebne i dovoljne koristeći ih u Sketchpad konstrukciji, a zatim logičkim razmišljanjem (dokazom).

Ova aktivnost:uključuje • van Hiele razinu 3 (lokalno grupiranje)bezuvjetna funkcija dokaza je • sistematizacija (deduktivna organizacija

svojstava zmaja)uključuje matematičke procese • deskriptivnog definiranja

Zmaj ima sljedeća svojstva:(najmanje) jednu os simetrije kroz par nasuprotnih kutovaa) okomite dijagonale (najmanje jedna raspolavlja drugu)b) (najmanje) jedan par nasuprotnih jednakih kutovac) dva (različita) para jednakih susjednih stranicad)


28

poučak 35

(najmanje) jedna dijagonala raspolavlja par nasuprotnih kutovae) upisanu kružnicuf)

Istražite

Kako biste preko telefona objasnili nekome tko nije upoznat sa zmajevima što 1. je „zmaj“ zapravo? (Pokušajte što kraće opisati, ali omogućite osobi da ima dovoljno informacija da točno nacrta četverokut).

Probajte formulirati dva alternativna opisa. Koji vam se od tih tri opisa 2. najviše sviđa? Zašto?

Aktivnost 4: Generaliziranje ili specijaliziranje zmaja

Učenici generaliziraju izostavljanjem nekih svojstava, a specijaliziraju dodavanjem još svojstava. Svojstva novo definiranih objekata se zatim istražuju konstruiranjem u Sketchpadu i/ili deduktivnim razmišljanjem

Ova aktivnost:uključuje • van Hiele razinu 4 (globalno grupiranje)uključuje matematičke procese konstruktivnog definiranja•

Istražite

Generalizirajte koncept „zmaja“ na različite načine izostavljanjem, 1. mijenjanjem ili generaliziranjem određenih svojstava. (Jedna mogućnost je da zmaj generalizirate na 2n-terokut; npr. poligon s najmanje jednom osi simetrije kroz par nasuprotnih kutova. Druge mogućnosti su da zmaj generalizirate kao četverokut s najmanje jednim parom susjednih jednakih stranica, ili kao četverokut koji ima jednu dijagonalu koja raspolavlja drugu, ili na četverokut koji je opisan kružnici = δ).

Specijalizirajte koncept „zmaja“ na različite načine dodavanjem još svojstava. 2. (Mogućnosti su zmaj upisan u kružnicu, zmaj s najmanje tri jednaka kuta ili zmaj s drugom osi simetrije kroz par nasuprotnih kutova-romb).

Ove kratko opisane aktivnosti su namijenjene kao primjeri kako zaposliti učenike u dokazivanju na razinama koje su niže od van Hiele razine 3. Potpunije razvijene aktivnosti u ovoj knjizi slične su ovim četiri aktivnostima u strukturi, te također imaju namjeru zaposliti učenike na različitim van Hiele razinama. Nadam se da ukazuju da van Hiele teorija ne govori da zaobilazimo dokazivanje, već da zaposlimo učenike u različitim funkcijama dokazivanja.

29

Literatura

Albers, D. J. 1982. Paul Halmos: Maverick mathologist. 1. The Two-Year College Mathematics Journal 13 (4): 234-241.Alibert, D. 1988. Towards new customs in the classroom. 2. For the Learning of Mathematics 8 (2): 31-35; 43.Bell, A. W. 1976. A study of pupils’ proof-explanations in mathematical situations. 3. Educational Studies in Mathematics 7: 23-40.Burger, W. R, and J. M. Shaughnessy, 1986. Characterizing the 4. van Hiele levels of development in geometry. Journal for Research in Mathematics Education 17 (1): 31-48.Coxeter, H. S. M., and S. L. Greitzer. 1967. 5. Geometry revisited. Washington, D. C.: Mathematical Association of America.Davis, P. J. 1976. The nature of proof. In 6. Proceedings of the fifth international congress on mathematical education, edited by M. Carss. Boston: Birkhauser.Davis, P. J., and R. Hersh. 1983. 7. The mathematical experience. Great Britain: Pelican Books. 1986. Descartes’ dream. New York: Harcourt Brace Jovanovich.Deer, G. W. 1969. The effects of teaching an explicit unit in logic on students’ 8. ability to prove theorems in geometry. Unpublished doctoral dissertation, Florida State University. Dissertation Abstracts International 30: 387-399.de Jager, C. J. 1990. When should we use pattern? 9. Pythagoras 23: 11-14.de Villiers, M. D. 1986. The role of axiomatization in mathematics and mathematics 10. teaching. RUMEUS Studies in Mathematics Education No. 2. Stellenbosch, South Africa: Research Unit for Mathematics Education of the University of Stellenbosch (RUMEUS). de Villiers, M. D. - 1988. What happens if? Why? 11. Pythagoras 18: 45-47. de Villiers, M. D. - 1991. Pupils’ needs for conviction and explanation within 12. the context of geometry. Pythagoras 26:18-27. -. 1994. The role and function of a hierarchical classification of the quadrilaterals. For the Learning of Mathematics 14 (1): 11-18. de Villiers, M. D. - 1996. 13. Some adventures in Euclidean geometry. Durban, South Africa: University of Durban-Westville. de Villiers, M. D. - 1997. The role of proof in investigative, computer- based geometry: 14. Some personal reflections. In GeometryTurned On! edited by D. Schattschneider and J. King.Washington, D.C.: Mathematical Association ofAmerica. de Villiers, M. D. - 1998a. Dual generalizations of van Aubel’s theorem. 15. The Mathematical Gazette 82 (495) (Nov): 405-412.


30

poučak 35

de Villiers, M. D. - 1998b. To teach definitions in geometry or teach to define? In 16. Olivier, A., and K. Newstead, eds., Proceedings of 22nd PME-Conference, University of Stellenbosch, South Africa, 12-17 July 1998, vol. 2: 248-255.de Villiers, M. D. - 1999a. A further generalization of the Fermat- Torricelli point. 17. The Mathematical Gazette 83 (496) (March): 14-16.*** - 1999b. A Sketchpad discovery involving areas of inscribed polygons. 18. Mathematics in School 28 (1) (March): 18-21.de Villiers, M. D. - 2000. Generalizing van Aubel using duality. 19. Mathematics Magazine 73 (4) (Oct): 303-306.Donaldson, M. 1979. 20. Children’s minds. New York: W. W. Norton.Fischbein, E. 1982. Intuition and proof. 21. For the Learning of Mathematics 3 (2): 9-18.Freudenthal, H., ed. 1958. 22. Report on methods of initiation into geometry. Groningen: Wolters.Freudenthal, H. 1973. 23. Mathematics as an educational task. Dordrecht: D. Reidel.Fuys, D., D. Geddes, and R. Tischler. 1988. The 24. van Hiele model of thinking in geometry among adolescents. JRME Monograph No. 3, Washington, D.C.: National Council of Teachers of Mathematics.

Gale, M. D. 1990. Proof as explanation. 25. The Mathematical Intelligence. 12 (1): 4.Gonobolin, F. N. 1954. Pupils’ comprehension of geometric proofs. In Wilson, 26. J. W., ed., 1975, Soviet Studies in the Psychology of Learning and Teaching Mathematics. Vol. 12, Problems of Instruction. Chicago: University of Chicago.Govender, R., and M. D. de Villiers. 2002. Formulation and evaluation of 27. definitions in a Sketchpad context. Paper presented at AMESA 2002, Durban, South Africa.Griffiths, H. B., and A. G. Howson. 1974. 28. Mathematics: Society and curricula. London: Cambridge University Press.Grunbaum, B., and G. C. Shephard. 1995. Ceva, Menelaus, and the area principle. 29. Mathematics Magazine 68 (4) (Oct): 254-268.

Hanna, G. 1983. 30. Rigorous proof in mathematics education. Toronto: OISE Press.

Hanna, G. - 1989. More than formal proof. 31. For the Learning ofMathematics’) (1): 20-23.Hewson, S. N. P. 1977. Inferential problem solving in young children. Unpublished 32. doctoral dissertation, Oxford University.Hildebrandt, S., and A. Tromba. 1985. 33. Mathematics of Optimal Form. New York: Scientific American Library ofW.H. Freeman & Co.

Hull, L. W. H. 1969. The superstition of educated men. 34. Mathematics Teaching 43:26-31.

31

Human, P. G. 1978. Wiskundige werkwyses in Wiskunde-onderwys. Unpublished 35. doctoral dissertation, University of Stellenbosch.Human, P. G., and J. H. Nel. 1989. In cooperation with M. D. de Villiers, T. P. 36. Dreyer, and S. F. G. Wessels. USEME curriculum material. Research Unit for Mathematics Education of the University of Stellenbosch (RUMEUS).Human, P. G., and J. H. Nel. 1997. In cooperation with M. D. de Villiers, T. P. 37. Dreyer, and S. F. G. Wessels. Alternative instructional strategies in geometry education: A theoretical and empirical study. A translation of the theoretical part of the final report on the USEME project by the Research Unit for Mathematics Education of the University of Stellenbosch (RUMEUS) can be downloaded from http://mzone.mweb.co.za/residents/profmd/ homepage4.html [October 7, 2002.].

Johnson, R. A. 1929. 38. Advanced Euclidean geometry. New York: Dover Publications.

Kelly. P. J. 1966. Van Aubel’s quadrilateral theorem. 39. Mathematics Magazine 39: 35-37.Keyton, M. 1997. Students discovering geometry using dynamic software. In 40. Geometry turned on! Dynamic software in learning, teaching and research, edited by J. King and D. Schattschneider. Washington, D.C.: Mathematical Association of America: 63-68.King, J. 1997. An eye for similarity transformations. In 41. Geometry Turned On! edited by D. Schattschneider and J. King. Washington, D.C.: Mathematical Association of America.

Klein, F. 1925. 42. Elementary mathematics from an advanced standpoint. New York: Macmillan.Kline, M. 1973. 43. Why Johnny can’t add: The failure of the new math. New York: St. Martin’s Press.

Kline, M. - 1985. Mathematics for the nonmathematician. New York: Dover 44. Publications.Krygowska, A. Z. 1971. Treatment of the axiomatic method in class. In 45. Teaching school mathematics, edited by W. Servais and T. Varga. London: Penguin-Unesco. 124-150.

Lakatos, 1.1976. 46. Proof and refutations. Cambridge; New York: Cambridge University Press.Manin, Y. 1.1981. A digression on proof. 47. The Two-Year College Mathematics Journal 12 (2): 104-107. The Mathematical Association of South Africa. 1978. 48. South African Mathematics Project: Syllabus Proposals. Pretoria: MASA. (Now Centrahil: AMESA).


32

poučak 35

Movshovitz-Hadar, N. and J.Webb. 1998. 49. One Equals Zero. Emeryville, CA: Key Curriculum Press.Mudaly, V. 1998. Pupils’ needs for conviction and explanation within the context 50. of dynamic geometry. Unpublished M.Ed, dissertation, University of Durban-Westville.Mudaly, V., and M. de Villiers. 2000. Learners’ needs for conviction and 51. explanation within the context of dynamic geometry. Pythagoras 52 (August): 20-23.Mueller, D. J. - 1975. Logic and the ability to prove theorems in geometry. 52. Unpublished doctoral dissertation, Florida State University. Dissertation Abstracts International 36: 851 A.

Polya, G. - 1919. L’Enseignment mathematique, no. 4: 355-379.53.

Polya, G. - 1954. 54. Mathematics and plausible reasoning. Vol. 1,Induction and analogy in mathematics. Princeton, NJ: Princeton University Press.

Polya, G. - 1981. 55. Mathematical discovery: On understanding,learning, and teaching problem solving (2 vols.). New York: John Wiley and Sons.Renz, P. - 1981. Mathematical proof: What it is and what it ought to be. 56. The Two-Year College Mathematics Journal 12 (2): 83-103.

Rota, Gian-Carlo. 1997. Indescrete thoughts. Boston: Birkhauser.57. Schoenfeld, A. H. 1986. On having and using geometric knowledge. In 58. Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics, edited by J. Hiebert. Hillsdale, NJ: L. Erlbaum Associates.Sharygin, 1. 2000. Two articles and two hundred problems. Paper presented at 59. ICME 9, Japan.Smith, R. R. 1940. Three major difficulties in the learning of demonstrative 60. geometry. The Mathematics Teacher 33: 99-134; 150-178.

Tall, D. 1989. The nature of mathematical proof. 61. Mathematics Teaching 127 (June): 28-32.

van Asch, A. G. 1993. To prove, why and how? 62. International Journal of Mathematics Education in Science and Technology 24 (2): 301-313.van Dormolen, J. 1977. Learning to understand what giving a proof really means. 63. Educational Studies in Mathematics 8:27-34.

van Hiele, P. M. 1973. 64. Begrip en Inzicht. Purmerend, Netherlands: Muusses.Volmink, J. D. 1990. The nature and role of proof in mathematics education. 65. Pythagoras 23: 7-10.Wallington, B. A. 1974. Some aspects of the development of reasoning in preschool 66. children. Unpublished doctoral dissertation, University of Edinburgh.

33


Walter, R. L. 1972. The effect of knowledge of logic in proving mathematical 67. theorems in the context of mathematical induction. Unpublished doctoral dissertation, Florida State University. Dissertation Abstracts International 33: 262A.Wason, P. C, and P. N. Johnson-Laird, 1972. 68. Psychology of reasoning: Structure and content. London: Batsford.Wilder, R. L. 1944. The nature of mathematical proof. 69. American Mathematical Monthly 51: 309-323.Winicki-Landman, G. 2001. Research of original geometric concepts: some 70. episodes from the classroom. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology 32 (5): 727-744.Yaglom, I. M. 1962. 71. Geometric transformations I. Washington, D.C.: Mathematical Association of America.

34

poučak 35

Kad, gdje i kako uporabiti računalo i džepno računalo?! 1

Jelena Gusić, Zagreb

U ovakvom je članku teško odgovoriti na pitanja kad, gdje i kako uporabiti džepno računalo. Naslov više naglašava činjenicu da se pitanje treba li rabiti računalo i džepno računalo? više ne postavlja. Naime, razredne situacije vape za promjenom nastave. Možda se odgovor na taj zahtjev nalazi, uz promjenu sustava školovanja i nastavnih sadržaja, i u uporabi tehnologije.

Jedna od novosti koja dolazi s tehnologijom su modeli. Do sada smo u razred donosili modele geometrijskih likova, tijela, rezali smo i namatali kako bismo nešto vizualizirali. Sada modeli dolaze u elektronskom obliku. Pogledajmo primjer vizualizacije množenja dvaju pravih razlomaka.2

Prednost ovakvog modela je što nismo ograničeni na samo nekoliko primjera

kao s klasičnim modelima. Sada dobivamo odgovore na neograničeno primjera.Na primjeru rješavanja jednadžbi korištenjem vage možemo vidjeti u čemu se

još novi modeli razlikuju od dosadašnjih.3

1 Predavanje održano na Stručno-metodičkim večerima, 9. 5. 2007.2 Primjer iz Exploring Algebra 1 with Sketchpad, Key Curriculum Press, 2006.3 Primjer iz Exploring Algebra 1 with Sketchpad, Key Curriculum Press, 2006.

35

Ovaj file donosi novu ideju u pristupu rješavanju jednadžbi. Znamo da većina učenika ima problema sa svim vrstama jednadžbi, s linearnim gotovo i najviše. Stoga je vrijedno potrošiti nešto više vremena i pronaći način na koji ćemo nekima približiti pojam jednadžbe i pojam rješavanja jednadžbe. Vjerojatno većina nastavnika matematike zamišlja jednadžbe i metode rješavanja jednadžbe kao vagu i uspostavljanje ravnoteže na njoj. U ovom fileu učenici to doista i vide na stvarnoj vagi i vide kako pojedini postupci/transformacije utječu na njezinu ravnotežu.

kad, gdje I kako uporabItI računalo I džepno računalo

Vrijedno je učenike poticati da isprobavaju što sve mogu činiti a da se ravnoteža ne promijeni. Na taj način osvješćuju postupke koje mogu provoditi s jednadžbama.

Neke jednadžbe u fileu imaju ponuđena rješenja. Analiza tuđih rješenja je uvijek korisna za učenike jer mogu valorizirati svoja. Također, ponuđeno rješenje učenici uvijek shvate kao izazov da brane svoj pristup. Osim metode rješavanja jednadžbi, u fileu je zanimljiv i način zapisivanja. Takav način u nastavi, vjerojatno, preskačemo.

36

poučak 35

Vidjet ćemo da je jednadžba napisana kao 2x + 5 = 1x + 2, ili 1x + 0 = 2x − 1 i slično. Ovakav pristup je, učenicima koji se ne snalaze s algebrom, puno prihvatljiviji, jer njima nije jednostavno razaznati kada ne pišemo 0, odnosno 1.

Vidimo da su ovi novi, tehnološki modeli, ne samo modeli kojima vizualiziramo matematičke pojmove i odnose, već su to i fileovi koji pokazuju ili objašnjavaju matematičko ponašanje i na osnovu kojih je u razredu moguće izgraditi aktivnosti i pitati pitanja kojima se ispituje razumijevanje. Dakle, s modelom dobivamo rješenje do kojeg je došao netko drugi dok je promišljao neke matematičke situacije.

Na pitanje kad? mogli bismo odgovoriti − Uvijek!. Nastavnik zadatcima “diktira’’ način rješavanja zadataka, a učenik treba imati slobodu izbora načina rješavanja. Naravno, cilj je da učenik izabere najdjelotvorniju metodu rješavanja!

Ova situacije nije nova, već smo se s njom susreli u nastavi. Učenici često pitaju smijemo li to riješiti pomoću toga i toga, je li dovoljno da samo ovo napišem..... i slično. Naime, rješavajući neki zadatak, u ispitnoj ili bilo kojoj drugoj situaciji, učenici su više opterećeni pitanjem hoće li nastavnik biti zadovoljan onim što su učinili, nego je li to točno ili nije.4

Sloboda učenika da bira hoće li ili neće uporabiti tehnologiju, prvi je korak prema tome da učenik rješava problem tako da rezultat bude zadovoljavajući, a ne da bude zadovoljan njegov nastavnik.

Evo nekoliko primjera na kojima se vidi učenička sloboda/nesloboda biranja metode rješavanja. Na Nacionalnom ispitu za 1. razred, prošle je godine bilo

postavljeno pitanje određivanja tri racionalna broja između 19

i 17

. Ako eliminiramo

one koji su bili zbunjeni samim pojmom racionalnog broja, ostajemo iznenađeni

kada pogledamo kako su učenici rješavali zadatak. Očekivan su rješenja 18

, jer

pretpostavljamo da učenici znaju uspoređivati razlomke jednakih brojnika, te 863

,

jer pretpostavljamo da će zadane razlomke napisati sa zajedničkim nazivnikom. Do trećeg je broja većini bilo teško doći. Zanimljivo je, da gotovo nije bilo učenika koji su ovaj zadatak rješavali uz pomoć džepnog računala, iako su ga u ovom dijelu ispita mogli (a u nekim zadatcima i trebali) koristiti. Naime, iz decimalnog prikaza ova dva broja, jednostavno je odrediti bilo koliko konačnih decimalnih brojeva između njih.

4 Rober M. Pirsig je u svom romanu ‘’Zen i umjetnost održavanja motocikla’’ o ovome napisao: Škola vas uči da imitirate. Ako ne imitirate što nastavnik želi dobijete slabu ocjenu. Na sveučilištu još je sofisticiranije; očekuje se da imitirate nastavnika tako da ga uvjerite da ne imitirate, već da ste shvatili bit lekcija i da nastavljate po svome. To vam donosi 5. Originalnost, u drugu ruku može donijeti bilo što − od 5 do 1. Sustav ocjenjivanja protiv je ori-ginalnosti!

37

Zašto se učenici nisu odlučili na tu metodu? Jer nisu navikli koristiti džepno računalo? Jer ih je strah da im nećemo priznati metodu? ....

Suprotno tomu, učenici koji imaju na raspolaganju grafičko računalo pri istraživanju svojstava kompleksnih brojeva, ne koriste džepno računalo u svim situacijama. Recimo, u zadatku da odrede konjugirani broj zadanom broju

z z7 + 11i2 – 3i

437

i−

2 3 i+…

posve se opravdano, radije odlučuju za ispunjavanje tablice bez uporabe računala, jer im je to jednostavnije i brže. Suprotno tomu, u tablici u kojoj se istražuju svojstva dijeljenja i apsolutne vrijednosti, učenici džepno računalo rabe češće.

z1 z21

2

zz |z1| |z2|

1

2

zz

12 + 5i 3 + 4i5 − i 24 − 7i…

I konačno, primjer s ovogodišnjeg World Maths Day-a (Svjetskog matematičkog dana), kada je na natjecanju u mentalnoj aritmetici sudjelovalo preko 250 tisuća učenika iz 98 zemalja koji su uspješno odgovorili na 38 milijuna pitanja. Natjecanje je održano povodom Pi dana, trajalo je 48 sati (dok je na Zemlji 14. ožujak), provodilo se za računalom, a učenici su rješavali numeričke zadatke u kojima je trebalo brzo zbrajati, oduzimati, množiti i dijeliti (najviše dvoznamenkaste brojeve). Nitko nije niti pomislio posegnuti za kalkulatorom jer bi se izgubilo dragocjeno vrijeme. Također, mnogi su učenici proveli dvije besane noći pokušavajući postići što bolji rezultat. Nije bilo važno što je trebalo brzo i stalno provoditi obične računske operacije koje učenici inače tako mrze. Među onima koji su se igrali računajući bilo je gotovo podjednako učenika za koje inače kažemo da im matematika “ide’’, kao i onih kojima “ne ide’’.


38

poučak 35

Često se problematizira točnost rezultata dobivenih tehnologijom. Poznati su mnogi primjeri i održana vrlo zanimljiva predavanja na tu temu. Doista je tehnologija takva da njezinim rezultatima ne možemo uvijek vjerovati. Evo vrlo jednostavnog primjera.

Običan račun: 104 + 5 – 104 i 1014 + 5 – 1014 daje iznenađujuće rezultate:

Kada analiziramo računski postupak, razumljivo je otkud pogreška, a također je jasno i da pogreške neće biti ako računamo 1014 – 1014 + 5.

Slično, iznenađujući rezultat dobivamo i za računanje vrijednosti funkcije kosinus

u neparnim višekratnicima broja p2 . Džepno računalo točno izračuna samo prve tri

vrijednosti: kosinus od p2 , 3p2 , 5p2 . Pogledajmo neke od vrijednosti koje dobivamo:

Ovo su neki od primjera koji pokazuju da moramo biti oprezni pri uporabi tehnologije i učenici moraju biti svjesni ograničenja i opasnosti s kojima se mogu susresti. Ipak, kad govorimo tu već slavnu izreku računalo je krivo izračunalo, najčešće ne mislimo na to. Obično se radi o situacijama u kojima tehnologija nije iskorištena dovoljno dobro da riješi ono što želimo. Pogledajmo sljedeća dva primjera:

Znamo da je korisno učenike upozoravati da provjeravaju rezultat, pogotovu kada je to moguće samo jednim pogledom. Tako, ako smo određivali okomite pravce

i dobili da su to pravci y = 3x − 5 i y = 1 43

x− + , onda njihovu okomitost grafičko

računalo jednostavno pokaže. Najčešće dobivamo:

Na žalost, slika pokazuje nešto sasvim drugo. Učenici obično zaključe da su nešto krivo računali, a nastavnici da se ne može vjerovati računalu. Međutim, radi se o krivom odabiru izgleda koordinatnog sustava. Ovaj izbor izgleda koordinatnog

39

sustava (koji je standardan, pa zbog toga najčešće i dobivamo ovakvu sliku) je dobar za pokazati oblik, međusobni odnos (poput usporednosti i presjeka), ali ne i za kutove. Naime, koordinatne jedinice na osima nisu jednake. Izborom “prozora’’ koji je kvadratan dobivamo odgovor na postavljeno pitanje.

Što možete reći o konkavnosti/konveksnosti funkcije prikazane grafom?5

5 Primjer i komentar Sanje Antoliš

Pa vidi se: funkcija je najprije konveksna, pa konkavna, pa konveksna. Međutim, to je funkcija f(x) = cos(2x) + x2 i njezina je druga derivacija f ‘(x)=2 − 4cos(2x), stoga druga derivacija mijenja predznak mnogo češće nego to izgleda. Ponovo je problem u odabiru skale na koordinatnim osima. Ovaj su put jedinice jednake i ne dopuštaju vidjeti sve promjene vrijednosti funkcija. Odabir drugog koordinatnog sustava pokazuje sliku u skladu s drugom derivacijom.

Mnogo je razloga zašto uporabiti tehnologiju: da dobijemo rezultat, da izračunamo brzo, točno, da nas oslobodi dugotrajnog tehničkog posla,.... Računalo/džepno računalo nam pomaže da razumijemo pojmove, pomaže da “vidimo’’ ono s čim radimo, stavlja nam druge naočale, daje ideje kad ne znamo kako dalje...


40

poučak 35

Evo jednog primjera u kojem se učimo gledati, zaključivati. Radi se o metodi određivanja najvećeg zajedničkog djelitelja dva broja koju je Andres Zavrotsky patentirao 1961. Imamo pravokutan biljar u kojemu se kuglica odbija od stijenki pod kutom od 45°. Na slikama vidite određivanje najvećeg zajedničkog djelitelja brojeva 12 i 9. Kad kuglica pogodi jedan kut, proces je gotov, jer se kuglica vraća po tragu.6

Komentar koji je došao uz file, dakle upute koje dobivaju učenici je: pogledajte u kojim brojevima kuglica udara strane, mijenjajte brojeve kojima određujete najveći zajednički djelitelj, pa ćete samim pogledom na sliku moći reći rezultat. Evo konačnih slika za određivanje najvećeg zajedničkog djelitelja brojeva 12 i 18, 16 i 4, te 5 i 7

Dakle, zadatak je otkriti kako se prikazuje rezultat, a poslije, ovisno o uzrastu onih koji rješavaju zadatak, objasniti ispravnost metode.

Nešto više o pitanjima gdje i kako vidjet ćemo, najprije, na primjeru rješavanja sustava dviju linearnih jednadžbi.

To je tema koja se obrađuje u 7. razredu osnovne škole, pa u 1. razredu gimnazije. Željeli bismo, a i očekujemo da zadatke uspješno rješava svaki završeni osnovnoškolac, a pogotovu srednjoškolac. Međutim, nekoliko podataka koje do sada imamo o tomu govore suprotno. Na predtestiranju učenika 8. razreda osnovne škole sustav jednadžbi uspješno je riješilo u jednoj grupi 28%, a u drugoj grupi 23% učenika. Nije bilo puno bolje ni na Nacionalnom ispitu koji je prošle školske godine održan u 1. razredima gimnazija: u matematičkim gimnazijama taj je zadatak točno riješilo 60% učenika, a u ostalima 40%.

6 Primjer iz Exploring Algebra 1 with Sketchpad, Key Curriculum Press, 2006.

41

Vjerojatno ipak nešto zbunjuje učenike? Na primjeru rješavanja dva sustava pokušajmo vidjeti što je to.

Najprije ćemo pogledati kako metodom supstitucije rješavamo sustave:

3 5 7 2x y

y x− =

=

8 4 16 2 4

x yx y+ =

+ = 1. korak: 3x − 5(2x) = 7 8x + 4(−2x + 4) = 162. korak: −7x = 7 8x − 8x + 16 = 163. korak: x = −1 16 =164. korak: y = 2(−1)= −2 y = −2(?)+4

Vidimo da ista metoda, točno provedena dovodi do nedoumice o rješenju. Učenici se pitaju mogu li biti sigurni da nisu nešto krivo računali. Riješimo metodom suprotnih koeficijenata iste sustave:

3 5 72 0

x yx y− =

− + =

8 4 16 2 4

x yx y+ =

+ =

“donju’’ jednadžbu množimo s 5

“donju’’ jednadžbu množimo s −4

1. korak: 3 5 7

10 5 0x yx y− =

+− + =

8 4 168 4 16

x yx y+ =

+− − = −2. korak: −7x = 7, x = −1 0 = 03. korak: −2(−1) + y = 0, y = −2 GDJE UVRSTITI?

Naravno, ponovno se pojavljuje problem, ovaj put, vjerojatno i veći. Možda bismo se mogli upitati jesu li metode rješavanja dovoljno jasne da učenici znaju donijeti odluku? Zašto je drugi način rješavanja (a njega učenici češće primjenjuju) doveo do još veće zbunjenosti?

U početku, dok metodu objašnjavamo i dok je učenici još u potpunosti ne razumiju, zapis rješavanja bi mogao biti ovakav:

3 5 72 0

x yx y− =

− + = množenje s 5→

3 5 710 5 0

x yx y− =

− + = zbrajanje jednadžbi→

7 0 710 5 0

xx y

− − =− + =

''sreðivanje''→ 1

2 0x

x y= −

− + = ''sreðivanje''→

( )1

2 1 0x

y= −

− ⋅ − + = rezultat→

12

xy= −

=

Učenici bi trebali biti svjesni da metoda rješavanja sustava jednadžbi dopušta zamjenu jednadžbe jednadžbom koja je dobivena množenjem te jednadžbe realnim brojem (različitim od 0), odnosno zamjenu jedne jednadžbe zbrojem jednadžbi.

“sređivanje” “sređivanje”


42

poučak 35

Ako u zapisu iza koraka 3 5 7

10 5 0x yx y− =

− + = slijedi korak −7x = 7, učenici dobivaju

krivu sliku da ova jednadžba zamjenjuje cijeli sustav. Iz ovakvog shvaćanja često nastaju greške pri kojima i slučajeve koji imaju rješenja “svedu’’ na nemoguće slučajeve, odnosno dobiju kriva rješenja.

Ovdje je dobro “pozvati’’ tehnologiju da potkrijepi nastavnikove argumente.

Bez obzira na uzrast učenicima je prihvatljivo da na računalu sustav 3 5 72 0

x yx y− =

− + =

možemo zapisati poput

i da tada provodeći neki matematički račun, računalo može dati rezultat:

koji čitamo: 1 0 10 1 2x yx y+ = −

+ = − odnosno

12

xy= −

=.

Ista metoda primijenjena na drugi sustav daje:

Dakle, jedna jednadžba ne daje nikakvu novu informaciju, jer rezultat čitamo

kao 1 0.5 20 0 0x yx y+ =

+ =.

Za nemogući sustav 8 4 162 5

x yx y+ =

+ = dobili bismo:

odakle vidimo da je nemoguće, jer druga jednadžba 1 0.5 00 0 1x yx y+ =

+ = daje 0 = 1.

43

Na ovom primjeru možemo malo i uvježbavati algebru. Sustav 3 5 72 0

x yx y− =

− + =

možemo zapisati kao 3 5 72 1 0

X−

= − , što nalikuje na AX = B, čije rješenje

možemo napisati kao X = A−1B. Tada, uz oznake 3 52 1

A−

= − i

70

B

=

dobivamo

rješenje sustava:

Ako drugi sustav rješavamo na isti način, računalo opet javlja da nešto nije u redu. Vidimo:

Ovako postavljen zadatak sugerira i utvrđivanje pojma rješenje sustava. Učenici najčešće nemaju osviješten taj pojam, pa to što dobiju jedno rješenje za x i jedno rješenje za y obično interpretiraju kao 2 rješenja sustava (to se vidi i iz rješavanja zadatka u Nacionalnom ispitu za 1. razred ove godine).

I konačno, pogledajmo kako uz tehnologiju, ova dva sustava rješavamo grafički. Jednadžbe interpretiramo kao jednadžbe pravaca i tražimo njihov presjek. To za prvi sustav izgleda ovako:

pa smo dobili rješenje x = −1, y = −2, dok za drugi sustav dobivamo:


44

poučak 35

Ovaj put ne vidimo drugi pravac, ali isti postupak (traženje presjeka), na iznenađenje, daje rješenje. Ponovimo li traženje presjeka, dobit ćemo neko novo rješenje, i to ne samo jedno nego proizvoljno mnogo. Da se radi o jednom pravcu i da sustav ima beskonačno mnogo rješenja vidi se i iz tablice vrijednosti tih funkcija.

Ovaj korak u diskusiji rješenja je dosta važan, jer učenici obično krivo shvaćaju što to znači imati beskonačno mnogo rješenja.

Danas se u nastavi sve više i više pojavljuju zadatci u kontekstu. Takvim se zadat-cima učenicima pokušava pokazati primjena matematičkih sadržaja, a također ih se uči da realne situacije pokušaju matematički opisati i “riješiti’’. U takvim je zadatcima važno doći do rješenja koje mora biti dovoljno precizno (u skladu s kontekstom). Također je dobro “osvrnuti’’ se na problem i interpretirati rješenje u smislu zadanog problema. Sustavi jednadžbe nude velike mogućnosti za takve zadatke.

Evo jednog primjera:

Zadatak: Tri predajnika neke radio stanice su postavljeni tako da je prvi od nje uda-ljen 12 km pod azimutom 12°, drugi je udaljen 15 km pod azimutom 112°, a treći 19 km pod azimutom 215°. Kako bi pojačali signal odlučili su postaviti još jedan predajnik koji je jednako udaljen od sva tri. Gdje će taj predajnik postaviti? Komentirajte izbor položaja.

Zadatak se može postaviti učenicima različitog uzrasta. Pretpostavimo da ga postavljamo na kraju trećeg razreda kada su učenici savladali osnove trigonometrije i analitičke geometrije. Na učeniku je tada da izabere metodu kojom će zadatak riješiti. Ovo je mjesto na kojemu učenik ne bi trebao brinuti o tome hoće li mu se priznati način rješavanja: svaka uvjerljiva metoda bi trebala biti dopuštena.

Da bi učenik krenuo rješavati zadatak, najprije mora sebi predočiti o čemu se radi:

45

Zadatak interpretiran matematičkim jezikom kaže: zadane su tri točke, traži se treća koja je jednako udaljena od sve tri. Rješenje: središte opisane kružnice. Tek se sada treba odlučiti za pristup zadatku; recimo analitički. Prvo je potrebno uvesti koordinatni sustav i sve “koordinatizirati’’.

Za koordinatni sustav koji je izabran tako da mu je središte u radio stanici, a osi su u smjeru istok-zapad, odnosno sjever-jug, koordinate predajnika vidimo na slici. Da bismo dobili središte kružnice s jednadžbom (x − p)2 + (y − q)2 = r2, treba riješiti sustav:

(12 sin 12° − p)2 + (12 cos 12° − q)2 = r2

(15 sin 112° − p)2 + (15 cos 112° − q)2 = r2

(19 sin 215° − p)2 + (19 cos 215° − q)2 = r2

što se svede na:2(12 sin 12°−15 sin 112°)p+2(12 cos 12°−15 cos 112°)q = (15 sin 112°)2+(15 cos 112°)2−(12 sin 12°)2−(12 cos 12°)2

2(12 sin 12°−19 sin 215°)p+2(12 cos 12°−19 cos 215°)q = (19 sin 215°)2+(19 cos 215°)2−(12 sin 12°)2−(12 cos 12°)2

Niz slika, djelomice prikazuje postupak rješavanja.

Učenik dobiva da je predajnik udaljen od stanice oko 3.57 km i da je pod azimutom 203.6°


46

poučak 35

Ovim je postupkom učenik pokazao da zna jednadžbu kružnice, da algebarski zna prirediti zadatak za rješavanje grafičkim računalom, te da zna precizno određivati vrijednosti (jer je u postupku korištena memorija računala, a ne približne vrijednosti). Sve ostalo je učinilo džepno računalo.

Drugi pristup bi bio geometrijski − uz pomoć nekog programa dinamične geometrije.

Niz slika pokazuje postupak:

Ovim je postupkom učenik pokazao da zna točno odrediti zadane točke, konstruirati opisanu kružnicu, te odrediti potrebne elemente. Ostalo je uradilo džepno računalo.

Još je preostao komentar o položaju dobivene točke. Taj dio zadatak je također važan. Kako se učenik nije izgubio u dugom i iscrpljujućem računanju, i kako može vjerovati svom rezultatu (lako provjeri zadovoljava li njegov rezultat tražene uvjete), to može analizirati položaj. Ovaj dio je važan jer odgovor nije “propisan’’, pa je učenik pozvan argumentirati svoje stavove.

47

Pozabavimo se ponovno pitanjem zašto?. Jedan od trendova u matematičkom obrazovanju danas je da učenici, u području matematike, moraju moći istraživati, otkrivati, stvarati hipoteze. Mogu li učenici sami od sebe postavljati hipoteze?7

Teško! Poput ostalih kompetencija i u ovoj trebaju pomoć i trening. Pri tomu je tehnologija od presudne važnosti. Ona pomaže da neki računi i postupci postanu rutinski, da ne oduzimaju vrijeme i ne odvlače pozornost. Evo dijela jednog primjera koji je preuzet iz materijala koje u programu Međunarodne mature dajemo učenicima kako bi pokazali da znaju istraživati u matematici.

Zadatak: Za matrice 3 11 3

P

=

i 4 22 4

S

=

vrijedi:

22 3 1 10 6 5 3

21 3 6 10 3 5

P

= = =

i 2

2 4 2 20 16 10 82

2 4 16 20 8 10S

= = =

Izračunajte Pn i Sn za više različitih vrijednosti od n i opišite pravilnost koju ste uočili.

Prvi problem je učenicima predstavljala formulacija zadatka − zbunjivalo ih je što su matrice P i S zadane istodobno, pa ih je to ometalo. Nakon što su dobili uputu da najprije promatraju samo potencije matrice P, jedan dio zadatka, uz pomoć grafičkog računala, bio je brzo obavljen.

Učenici su uočili koeficijent koji se može izlučiti iz matrice:

2 10 6 5 32

6 10 3 5P

= =

, 3 36 28 9 74

28 36 7 9P

= =

,

4 3136 120 17 15 17 158 2

120 136 15 17 15 17P

= = =

7 Rober M. Pirsig, u već spominjanom romanu ‘’Zen i umjetnost održavanja motocikla’’ piše: Trebate ideje, hipoteze. Tradicionalna znanstvena metoda, na nesreću, nikad ne kaže gdje da pokupite te hipoteze... Ona je dobra da vidite gdje ste bili. Dobra je za testiranje istinitosti onoga što mislite da znate, ali vam ne može reći kud trebate ići, ukoliko to kamo idete nije nastavak onoga kuda ste u prošlosti išli. Kreativnost, originalnost, inventivnost, intuitivnost, imaginacija, drugim riječima - nestandardnost, potpuno su izvan njezinog područja.


48

poučak 35

dakle, da matrica izgleda: 1 ? ?2

? ?n nP − =

Koliko se god nama činilo da se opći oblik odmah vidi, učenici ga vrlo teško

pronalaze. Većini je potrebno predložiti da se koncentriraju samo na prve elemente u matricama, ispišu ih i onda promatraju:

3, 5, 9, 17, 33, 65, ...Na koncu dolaze s rješenjem da su to potencije broja 2 uvećane za 1, pa dalje

imaju:1 2 1 2 1

22 1 2 1

n nn n

n nP −

+ −=

− +

Kako je ovo rađeno u 3. razredu kad učenici još ne znaju metodu matematičke indukcije, treba im sugerirati da rješenje provjere na nekim drugim potencijama, recimo:

Nakon toga slijedi postupak s matricom S. Tu je na početku zbunjujuće što se ne izlučuje maksimalna potencija od 2, ali kad se na to priviknu učenici brzo naprave prvi dio posla:

3 2 28 262

26 28S

=

, 4 3 82 80

280 82

S

=

, 5 4 244 2422

242 244S

=

pa promatraju niz brojeva:4, 10, 27, 82, 244, ...

49

I ponovo imaju problema prepoznati da je to potencija broja 3 uvećana za 1, što im daje matricu:

1 3 1 3 12

3 1 3 1

n nn n

n nS −

+ −=

− + .

Provjera:

Tek nakon ovoga su neki od njih mogli ići istraživati ono što je i bio originalni zadatak − odrediti potencije matrice

1 11 1

k kk k+ −

− + Dok je ovaj primjer upotrebljiv u 3. ili 4. razredu matematičke gimnazije, sljedeće

pitanje možemo postaviti bilo kome − od osnovnoškolaca do profesora.

Kako slika pokazuje, imamo kružnicu, jedan njezin polumjer i (unutarnju) točku polumjera. Što se događa ako to točka putuje po tom polumjeru istom brzinom kojom se krajnja točka polumjera (koja je na kružnici) pomiče po kružnici? Kako izgleda put koji unutarnja točka polumjera opisuje? Koliko će biti latica? Hoće li se latice “zatvoriti”?


50

poučak 35

Ovaj primjer je zanimljiv jer potiče na pogađanje: čeka se i vidi se što se dogodilo, a onda se traže argumenti za tvrdnju. Pitanje je li se doista zatvorilo ili se to samo nama čini, nameće traženje argumenata i stvaranja matematičke interpretacije odgovora. Dubina rasprave i argumenata ovisi o uzrastu učenika, ali bi raspravu bilo dobro povezati i s Arhimedom i njegovom aproksimacijom broja π. 8

I na koncu, rezimirajmo postavljajući još jedno pitanje donosi li tehnologija još nešto novo? Obično je jednostavnije shvatiti pitanje kad ga postave nestručnjaci. Nedavno mi je postavljeno pitanje, a što ćete sada (mislilo se na nastavnike matematike) raditi kada djeca imaju kalkulatore? Oni samo uzmu kalkulatore i izračunaju logaritam. Naravno, stručnjacima je jasno da nije niti do sada cilj (niti jedini, niti glavni) bio odrediti numeričku vrijednost logaritma, i da je i do sad za to trebalo pomagalo, ne tako sofisticirano kao kalkulator, ali ipak pomagalo, već naučiti prepoznati situaciju koju je moguće riješiti logaritmima. Dok na ovakva pitanja odmah vidimo odgovor i zablude onih koji ih postavljaju, kada uđemo u kolotečinu koju godinama radimo, onda nam se čini da je u njoj sve neophodno. A je li baš uvijek tako? Pogledajmo od čega se sastoji velik dio naših sati − od rješavanja jednadžbi i učenja metoda za njihovo rješavanje. Metode su često dosta “uske”, pa rješavaju samo “uske” klase jednadžbi. U početku su nam grafičke metode pomogle u vizualizaciji koja nije bila precizna. Sada je i preciznost ugrađena u grafičke programe!

Teško je dočarati efikasnost i UAU efekt koji imaju ovi vrlo učinkoviti programi. Evo par ilustracija.

Određivanje nultočke funkcije na zadanom intervalu:

8 Vidi, primjerice teskt iz Povijesti matematike za školu, str. 209.

51

Rješavanje jednadžbe zadane kao presjek dviju funkcija:

Određivanje lokalnog maksimuma funkcija:


52

poučak 35

Možda zbog tehnologije ipak izbacimo neku od metoda koje su potrebne samo specijalistima, pa stignemo napraviti nešto što će učenici i profesori podjednako rado raditi.

A sigurno ima toga što je lijepo i jednima i drugima. Izgleda da zajednički dijelimo divljenje prema ljepoti fraktala, pa za kraj evo i fraktala generiranog Newtnovom metodom približnog određivanja rješenja jednadžbe x5 – 1 = 0.

53

E-tečaj „Primjena trigonometrije na pravokutan trokut“

Maja Mumelaš, ZagrebMilojka Rataić, Konjščina

Link na tečaj: https://webct.os.carnet.hrLozinka i korisničko ime: gost

Pripreme za tečaj

Pojam koji se u posljednjih nekoliko godina vrlo često spominje je motivacija. Čovjek bi pomislio da je učenicima dovoljna motivacija za učenje činjenica da će završiti školu i na taj način steći određena prava: za zaposlenje ili daljnje školovanje. Istina je da se učenici upisuju u školu s namjerom da steknu neka prava, ali, vrlo često, nemaju namjeru ta prava zaslužiti vlastitim radom – učenjem. Tako smo mi, nastavnici, stavljeni u situaciju da nam se „mjeri“ sposobnost da nekog učenika zainteresiramo za učenje predmeta koji predajemo. Svatko od nas smišlja svoje načine da podigne razinu motiviranosti. Jedna od mogućnosti je, zasigurno, i e-learning.

Neki od ciljeva nastave matematike su: razvijanje logičkog mišljenja i zaključivanja, matematičke intuicije, mašte i stvaralaštva; stjecanje navika i umijeća kao što su sistematičnost, postupnost, ustrajnost i preciznost; usvajanje metoda algoritamskog rješavanja problema; stjecanje sposobnosti grafičkog oblikovanja i predočivanja problema. Ti ciljevi jasno pokazuju da upotreba računala u nastavi matematike nije luksuz nego potreba. Matematiku ne možete naučiti napamet već ju morate razumjeti, a to znači da traži redovito, kvalitetno, samostalno učenje. Učenike treba neprekidno podsjećati na svakodnevnu primjenu matematičkih sadržaja i približiti im te sadržaje zorno na zanimljiviji način, a tu su računalo i projektor, razni programi Sketchpad, Excel, Word, PowerPoint, Hot Potatoes... i primjereni sadržaji na webu od velike koristi.

Sistematično vođenje učenika kroz skup zadataka do suverenog vladanja propisanim sadržajem i njegovom primjenom u svakodnevnom životu, uz različitu razinu predznanja i individualne razlike među učenicima prilikom usvajanja

e-tečaj „prImjena trIgonometrIje na pravokutan trokut“

IZ NASTAVNE PRAKSE

54

poučak 35

matematičkih sadržaja, izazov je svakom nastavniku. Drugačiji prikaz sadržaja (ne linearno kao u udžbeniku, već višeslojno povezano na različite načine, kružno i u dubinu, uz bolju vizualizaciju i matematičke zakonitosti prevedene na „razumljiv jezik“), poticanje učenika na samostalan rad, usmjeravanje na istraživanje ostalih izvora na webu, slobodnija komunikacija s nastavnikom i kolegama u online okruženju, pridonosi boljem razumijevanju i primjeni matematičkog sadržaja u svakodnevnom životu, povećava razinu motiviranosti učenika na postizanje boljih rezultata i mijenja učenička razmišljanja o matematici „kao najtežem premetu“.

Zašto je nastao tečaj „Primjena trigonometrije na pravokutan trokut“?

Prema programu MZOŠ-a matematike za četverogodišnje i trogodišnje srednje škole trigonometrija je obvezno gradivo. Uz usvajanje temeljnih matematičkih znanja učenike treba osposobiti i za primjenu matematičkog mišljenja u svakodnevnom životu jer mnoga su područja ljudskog djelovanja u kojima se koristi trigonometrija: fizika, elektrotehnika, kemija, tehnička mehanika, meteorologija, građevinarstvo, arhitektura, računarska grafika, geografija, geodezija..., a cjeloživotno učenje u okruženju modernih tehnologija postaje imperativom današnjice.

Opis tečaja

U izradi tečaja tri su temeljne stavke koje smo slijedile i to navedenim redoslijedom:

1. korisnici tečaja – struktura učenika, njihovo predznanje i mogućnosti, te potreba za motivacijom i pobuđivanjem interesa;

2. postavljeni ciljevi – nastavnu strategiju, materijale, tehnologiju, način prezentacije materijala birale smo prema postavljenim ciljevima, a u svrhu pomoći učenicima da postignu definirane ciljeve učenja;

3. tečaj prati propisani program i udžbenik, što mu daje smisao i obrazovnu vrijednost.

Online tečaj koji smo izradile zamišljen je kao nadopuna f2f nastavi i trebao bi učenicima koristiti za samostalno uvježbavanje gradiva i korelaciju nastavnih sadržaja.

Nastavne jedinice, njihov redoslijed i organizacija zorno su prikazani sljedećom mapom:

55


Primarni cilj koji želimo ostvariti ovim tečajem je da, na kraju tečaja, učenici razumiju definicije trigonometrijskih funkcija šiljastog kuta u pravokutnom trokutu, mogu definirati i imenovati iste, mogu izračunati nepoznate elemente pravokutnog trokuta, te provjeriti i kritički interpretirati dobiveno rješenje.

Sekundarni cilj koji želimo ostvariti ovim tečajem priprema je učenika za cjeloživotno učenje i visoko školstvo razvijanjem i njihovih digitalnih kompetencija.

Ciljevi obrazovnog procesa koje bi učenici dostigli u pojedinoj lekciji i tečaju u cjelini, a čija se razina u okviru kognitivne kategorije prema Bloomovoj (2005.) hijerarhijskoj strukturi učenja povećava napredovanjem kroz planirani tečaj, u uskoj su vezi s izborom tehnologije i medija.

Prema Siemensu (2007.) mediji u tečaju su:- tekstualni medij obogaćen jednostavnim tabelarnim prikazom i slikom (vizualni

medij), “slika govori tisuću riječi”, koji je relativno jednostavan u izradi, pregledan, omogućava strukturirani prikaz sadržaja od jednostavnog prema složenom i promišljanje kroz vremenski odmak, ne zahtjeva velike troškove izrade i brzu vezu na Internet;

Povijesni razvojtrigonometrije

Gdje sve sve krijetrigonometrija

Definicijatrigonometrijskihfunkcija šiljastog

kuta

Opisati osnovne vezemeđu trigonometrijskimfunkcijama i prepoznati

ih u zadacima

Osnovneveze među

trigonometrijskimfunkcijama

Potrebno predznanjesvih prethodnih modula

Primjenatrigonometrije napravokutan trokut

Potrebno predznanjesvih prethodnih modula

Primjenatrigonometrije u

planimetriji isvakodnevnom

životu

Vrijednostitrigonometrijskih

funkcija kutova od30 , 45 i 60° ° °

Usvojiti vrijednostitrigonometrijskih funkcija

u prvom kvadrantu

Mjere kutova

Usvojiti izračunavanjevrijednosti trigonometrijskihfunkcija u prvom kvadrantu

pomoću kalkulatora

Računanjevrijednosti

trigonometrijskihfunkcija pomoću

kalkulatora

Usvojiti vezu međustupnjevima i radijanima

Usvojiti mjerekutova u stupnjevimaradijanima i gradima

se sve krije

56

poučak 35

- softver (Sketchpad, Cabri, Cinderela) koji omogućava primjenu animacije, interakciju učenika sa sadržajem i višestruku upotrebljivost, jednostavan i intuitivan je za uporabu, besplatan, ne zahtjeva velike troškove izrade i brzu vezu na Internet;

- medij namijenjen suradničkom radu koji nadopunjava druge medije, idealan je za online okruženje i omogućava stvaranje zajednice učenja kroz razne oblike komuniciranja;

- uživo/f2f je medij koji je u srednjoškolskom obrazovanju obvezan, zbog niže kronološke dobi učenika i višestruko poželjan jer omogućava visok stupanj interaktivnosti, učinkovitosti i mogućnosti kombiniranja sa ostalim medijima.

Kombiniranje različitih metoda učenja i pravilno objedinjavanje raznih formata medija učenicima nudi mogućnost odabira što je za njih najbolje istovremeno izbjegavajući jednoličnost pri učenju u svrhu postizanja zadanih obrazovnih ciljeva.

Odabir tehnologije

Tečaj je implementiran LMS alatom, WebCT, a odabir se temeljio na mogućnostima koje pruža: korištenje medija predviđenih planom tečaja (tekstualni medij, softver, medij namijenjen suradničkom radu); izradu ugodnog i intuitivnog radnog okruženja, u potpunosti prevedenog na hrvatski jezik, sa stranicom dobrodošlice i uputama za polaznike; izradu kalendara tečaja, tako da su učenici u svakom trenutku obaviješteni o svojim zadacima, obavezama i rokovima izvedbe istih; izbor komunikacijskih alata (forum, chat, e-mail) koji se vrlo jednostavno koriste, uz mogućnost izrade različitih tema za diskusije, pokretanje vlastitog tematskog niza, upotrebu nekoliko soba za čavrljanje i izbor individualnog ili grupnog čavrljanja; pristup službi podrške korisnicima za rad s WebCT alatom; umetanje modula sadržaja (koji omogućava organizaciju lekcija tečaja) i izradu dodatnih sadržaja za svaku lekciju; dobre mogućnosti interakcije (učenik-učenik, učenik-nastavnik, učenik-sadržaj, nastavnik-sadržaj, sadržaj-sadržaj).

57


58

poučak 35

Dizajn

Postavljeni ciljevi tečaja u cjelini i za pojedine lekcije uvjetovali su odabir i organizaciju aktivnosti, izvora znanja i procjenu znanja.

Nastavni sadržaji su metodički oblikovani u kratke lekcije obogaćene slikama, animacijama, riješenim primjerima i zadacima za vježbu. Lekcije su osmišljene tako da se na početku iznose ključni pojmovi i veze, a zatim učenik kroz riješene primjere i vježbe, istražuje kako će te pojmove primijeniti u konkretnom zadatku i povezati sa poznatim sadržajima.

59


60

poučak 35

Uz svaku lekciju priloženi su dodatni sadržaji (ciljevi lekcije, linkovi na izvore na webu, rječnik, kazalo, vođenje bilježaka, samoispitivanje), koji omogućavaju lakše razumijevanje i produbljivanje nastavnih sadržaja.

Svaka nastavna cjelina započinje uvodom u kojem su ciljevi cjeline jasno definirani da bi se učenicima ukazalo koja znanja i vještine je potrebno savladati, a završava pregledom gradiva obrađenog u pojedinim lekcijama cjeline.

Tablica sadržaja omogućava učeniku kretanje kroz tečaj redoslijedom prema vlastitom izboru, pružajući mu mogućnost pronalaženja vlastitog puta do usvajanja znanja.

61


Tečaj sadrži formativne procjene znanja u obliku samoprovjera, radnih zadataka i završnog ispita, koje služe za motiviranje i pružanje povratnih informacija učeniku i nastavniku. Nastojale smo da završni ispit u što većoj mjeri nalikuje ‘stvarnom’ ispitu znanja kojeg učenici moraju pisati u školi. Najvažniji cilj procjena znanja je kod učenika stvoriti svijest o razini vlastitog znanja i potrebi nadograđivanja istog.

62

poučak 35

63


U dizajniranju tečaja posebna pažnja posvećena je odabiru boja i izradi sličica za linkove organizacijskih stranica u obliku znakova grčkog alfabeta.

64

poučak 35

Izbor maskote tečaja, Pink Panthera, svjesno je upotrijebljena strategija da bi se sadržaj učinio atraktivnijim.

Kritički osvrt na realizirani projekt

Tečaj je završen 29. 6. 2007., tj. krajem prošle školske godine. Odmah s početkom ove školske godine obje smo, svaka u svojoj školi, odabrale 15-tak učenika da prođu kroz tečaj izvan redovitih nastavnih aktivnosti . Neki su to radili kod kuće, a neki u školi, jer kod kuće nemaju pristup Internetu. Namjerno nismo htjele raditi intervencije u njihovo proučavanje sadržaja da bismo utvrdile jesu li razumjeli „što je pjesnik htio reći?”. Sve je to trajalo nekih 5-6 tjedana. Svakodnevno su nailazili na nedoumice i pitanja su postavljali u školi, a ne kroz ponuđene oblike online komunikacije. Zaključile smo da učenici srednjoškolske dobi nisu dovoljno zreli da bi potpuno samostalno svladavali nastavne sadržaje, pokazuju potrebu da nastavnik bude prisustan i pomože im u radu, što znači da nismo pogriješile kada smo tečaj smatrale nadopunom redovitoj nastavi.

65


Uočile smo da većina učenika nije pročitala upute na početku tečaja, a i bilo je komentara da im se dijelovi tečaja sa puno teksta ne sviđaju. Suprotno tome, animacije i slikovit prikaz sadržaja su ih oduševili te su zaključili da bi željeli da sve matematičke sadržaje za srednju školu imaju prezentirane u takvom obliku.

Vrednovanje usvojenih sadržaja posebna je priča. Naime, vrlo je teško online ispitati matematička znanja, jer je, najčešće, potrebno pisati rješenja zadatka sa kompletnim postupkom. Većina učenika nadvladala je ovaj problem donoseći rješenja zadataka u školu, na papiru.

Bez obzira na navedene probleme, e-tečajem smo uspjele motivirati učenike na veći angažman u učenju, što nam je bilo najvažnije. Učenici su bili oduševljeni što su imali mogućnost proučavati matematičke sadržaje na taj način. Zaista im se sve činilo jednostavnije. Napisali su da su zadaci u tečaju lakši i jednostavniji nego u udžbeniku, a prepisani su iz udžbenika. Svi su učenici radne zadatke i završni ispit riješili bez većih teškoća. E-tečaj im je znatno povećao razinu razumijevanja trigonometrijskih sadržaja te motiviranost za usvajanjem matematičkih sadržaja općenito. Atmosfera u razredu je puno bolja. Učenici međusobno više surađuju i često raspravljaju o matematičkim temama i izvan nastavnog sata. Učvrstila se razredna zajednica i znatno poboljšala komunikacija između nastavnika i učenika. Porastao je ugled nastavnika u očima učenika, što je dosta važna činjanica u današnje doba kada je ugled nastavničke profesije u cjelini na prilično niskim granama.

E-tečaj u kombinaciji sa f2f nastavom pravo je osvježenje za sve sudionike u obrazovnom procesu. Smatramo da činjenica, što učenici nisu u potpunosti koristili sve resurse koje pruža alat WebCT, nije umanjila korisnost tečaja i bitno je povećala interes današnjih „digitalnih urođenika” za matematikom „na novi način”.

Valja još jednom naglasiti da je tečaj napravljen kao nadopuna f2f nastavi i predstavlja dodatnu alternativu učenicima za samostalno učenje. Svatko ima svoj stil učenja, pa zašto ne bismo učenicima pružili i tu mogućnost, ne namećući im to kao obavezu. Možda će se netko naći u tome i bit će mu podstrek da postiže bolje rezultate. Primjena ICT-a u nastavi za sve nas je novost i svi se u tome tražimo, svatko na svoj način. Vjerujemo da svi imamo isti cilj: unaprijediti i poboljšati naše poučavanje. Za sada još ne možemo sa sigurnošću tvrditi da e-tečajevi nužno vode ka tom cilju. Ali kako ćemo saznati, ako ne probamo?

Literatura Bloom, B. S. (1956.). Bloom’s taxonomy, Preuzeto 20.4.2007. s adrese

http://www.officeport.com/edu/blooms.htm

Siemens, G. (2007). Procjena značajki medija: Korištenje multimedije za postizanje ishoda učenja. Edupoint, 53(VII). Preuzeto 12.4.2007. s adrese http://www.carnet.hr/casopis/53/clanci/3

66

poučak 35

Što bi vaš doktor trebao znati o statistici (a možda ne zna…)

Suzanne S. Switzer i Nicolas J. Horton

Kako su statistika i statistički software postajali složeniji tako je postala složenija i njihova upotreba u medicinskim časopisima. Liječnici trebaju poznavati sve više i više statistike kako bi mogli pratiti literaturu iz svog vlastitog područja.

Kao studente i nastavnike statistike zanimalo nas je kako se statistika primjenjuje u drugim područjima. Učestalost primjene statistike u časopisu The New England Journal of Medicine (NEJM) proučavali su J. D. Emerson i G. A. Colditz te napisali i objavili članak pod naslovom „Upotreba statističke analize u The New England Journal of Medicine„. Nedavno smo ažurirali njihov rad kako bismo razmotrili pitanje koje su se statističke tehnike uobičajeno koristile u znanstvenim člancima kroz proteklih 15 godina. Evo sažetka naših saznanja.

Glavni podaci prikazani su u tablici 1, koja pokazuje učestalost statističkih metoda korištenih u originalnim znanstvenim člancima, nasuprot članaka objavljenih u promotivnim informativnim materijalima, objavljenima 1978.-1979., 1989. te 2004.-2005. Stupci za 1978.-1979. i 1989. dio su rada Emersona i Colditza koji su i definirali korištene kategorije, stupac 2004.-2005. je naš rad.

U najnovijem periodu se postotak članaka koji ne sadrže nikakve statističke metode ili sadrže samo najjednostavniju deskriptivnu statistiku nije bitno promijenio od pregleda za 1989.godinu. Veći broj kategorija zadržao je relativno konstantan postotak ili je pokazao blagi pad između 1989. i 2004.-2005.

Značajni je porast postotka članaka koji koriste kontigencijske tablice (53%), epidemiološke statistike (35%), analize doživljenja (61%), višestruke regresije (51%) višestruke usporedbe (23%) i potencije (39%). U petnaest se članaka koriste modeli prebrojavanja (Poissonova regresija/negativna binomna regresija), dok se u 70 članaka koriste modeli logističke regresije.

MATEMATIKA IZVAN MATEMATIKE

67

Što bI vaŠ doktor trebao znatI o statIstIcI (a možda ne zna…)

U „zbirnom stupcu“ navedeno je koliko je članaka „u potpunosti dostupno„ (tj. razumljivo) uz poznavanje metode iz tog retka i svih metoda iz prethodnih redaka (hijerarhiju metoda uspostavili su Emerson i Colditz). Posebno se ističe uvođenje višestruke regresije. Uključivanjem poznavanja te metode postotak „u potpunosti dostupnih članaka“ penje se od 24% na 39% (vidi tablicu).

Tablica prikazuje porast broja metoda koje se koriste. U proteklih 25 godina se, u člancima koji koriste neku metodu složeniju od deskriptivne statistike, broj korištenih metoda više nego udvostručio.

U skladu s ranijim istraživanjima ustanovili smo kontinuirani trend u kojem autori članaka povećavaju upotrebu sve novijih i složenijih statističkih metoda. Može se dogoditi da čitatelj sa znanjima statistike obuhvaćenima u tipičnom uvodnom kolegiju iz statistike ne uspije u potpunosti proniknuti u značajni dio statističkih sadržaja u okvirima originalnih članaka koji se objavljuju u NEJM. Slažemo se sa zaključkom do kojeg su došli Emerson i Colditz da „baratanje s nekoliko osnovnih statističkih tehnika može biti nedovoljno za cjelovit statistički pristup istraživanjima koje se objavljuju u časopisu.“

Kao primjer poteškoća u interpretaciji rezultata novih istraživanja i potrebe da se posjeduje dobro razumijevanje statistike razmotrit ćemo procjenu rizika lijeka Vioxx koji se propisuje za ublažavanje bolova izazvanih artritisom. Nasumična kontrolno istraživanje koje se bavilo upotrebom rofecobixa- znanstvenog naziva za Vioxx, objavljeno je u studenom 2000. u časopisu NEJM, neposredno nakon što je lijek dobio odobrenje za upotrebu od strane FDA (Američkog vladinog ureda za zdravstvo i prehranu). Istraživanje je koncipirano tako da uspoređuje utjecaj Vioxxa na gastrointestinalnu (GI) toksičnost –potencijalno po život opasan efekt – s utjecajem konkurentskog lijeka (Naproxena). Istraživači su ustanovili da Vioxx značajno smanjuje rizike GI problema (relativni rizik 0.5; 95% interval pouzdanosti = 0.3-0.6). Istraživanje je također izvještavalo o pojavi infarkta miokarda (srčanog udara) kod pacijenata, navodeći da je „pojava infarkta miokarda bila niža u naproxen grupi od one u rofecoxib grupi (0.1% prema 0.4%; relativni rizik 0.2; 95% interval pouzdanosti 0.1-0.7)“. Među osobama koje uz reumatoidni artritis imaju i neke druge komplikacije (tj. nestabilnu medicinsku situaciju, karcinom u obitelji, ovisnost o drogama, cerebrovaskularne tegobe, infarkt miokarda, ili koronarni bypass) rizik srčanog udara kod onih koji koriste Vioxx je bio gotovo pet puta veći od rizika onih koji koriste naproxen.

Obzirom da liječnici sude o rizicima na osnovu njihove ozbiljnosti te učestalosti njihova pojavljivanja, peterostruki rizik pojave srčanog udara je nešto što tipično privlači pažnju. Je li taj rezultat shvaćen kao prihvatljiv rizik koji je opravdan obzirom na smanjenje gastrointestinalne poteškoće? Bi li čitatelji drugačije sudili da

68

poučak 35

je relativni rizik bio izražen brojkom 5.0 (Vioxx prema naproxenu) umjesto podatka 0.2 (naproxen prema Vioxxu)? Ta su dva podatka matematički ekvivalentna, no njihova percepcija može biti različita. U svakom slučaju, proizvođač Merck povukao je Vioxx s tržišta ujesen 2004. godine, dobrim dijelom zbog navedenog povećanog rizika srčanog udara. Uslijedile su i mnogobrojne sudske parnice.

Mnogi znanstveni radovi zahtijevaju sofisticirane statističke metode kojima se u cijelosti može opisati složenost stanja prirode. Razumiju li liječnici sve korištene statističke metode? Imaju li liječnici vremena, u svojem pretrpanom rasporedu, posvetiti se čitanju brojnih istraživanja ili samo prelete dijelove rada koji govore o metodama i rezultatima? Neki su nam liječnici povjerili kako jedino stignu pročitati sažetke (ili samo naslove) i na taj način saznati o znanstvenim istraživanjima koja su u tijeku. Važno je znati da će mnogo puta informacije u takvom kratkom sažetku biti nepotpune. U slučaju Vioxxa, naslov rada bio je „Usporedba gornje gastrointestinalne toksičnosti Rofecoxiba i Naproxen kod bolesnika s reumatoidnim artritisom“, a konačni zaključak u sažetku bio je „Kod pacijenata s reumatoidnim artritisom liječenje rofecoxibom, selektivnim inhibitorom cyclooxygenase-2 vezan je uz bitno rjeđu pojavu klinički važnih gornjih GI pojava nego kod pacijenata liječenih naproxenom, neselektivnim inhibitorom.“Niti u naslovu, niti u zaključku sažetka nije bilo nagovještaja o povećanom riziku infarkta miokarda.

Primijetimo da dio promjena o kojima govorimo, a koje su nastupile tijekom proteklog vremena mogu biti uzrokovane poboljšanjem načina iznošenja rezultata kliničkih ispitivanja. U medicini su široko prihvaćeni standardni obrasci izvještavanja o kliničkim ispitivanjima. Ti obrasci proizlaze iz CONSORT prikaza www.consort-statement.org), liste provjera za poboljšanje izvještavanja o koncepciji istraživanja, provođenju, analizi i interpretaciji kliničkih ispitivanja. U obrascu se navodi da treba precizno navesti potencije izračuna i metode višestrukih usporedbi koje su se koristile. Prihvaćanje CONSORT liste vjerojatno je povećalo broj pojavljivanja tih tema u člancima objavljenih u novije vrijeme. Nadalje, napredak statističkih softvera mogao je vremenom doprinijeti nekim promjenama u statističkim metodama koje se upotrebljavaju, budući da softver podržava i doprinosi lakoći korištenja složenih analiza. Statističke metode koje se, primjerice, koriste u baratanju s ponovljenim mjerenjima i podatcima koji nedostaju bile su nedostupne ili razmjerno nerazvijene u trenutku prethodna dva izvještavanja (o statistici u člancima), pa je bilo i manje vjerojatno da su se koristile.

Izuzetno je važno da liječnici razumiju trenutačna znanstvena istraživanja u području medicine. Da bi ih mogli razumjeti, liječnici moraju poznavati statistički koncept u pozadini istraživanja pomoću kojeg se kvantificira djelotvornost novih tretmana ili novih lijekova. Podaci do kojih smo došli ukazuju da složene statističke metode postaju sve uobičajenije u medicinskim časopisima, te smatramo da je

69


liječnicima potrebno više fundamentalnog razumijevanja tih metoda. Radi toga nastavnici medicine i statistike trebaju razmotriti kako osposobiti buduće profesionalce u zdravstvu da razumiju statističku metodologiju koja nadilazi uobičajeni sadržaj jednosemestralnog kolegija statistike.

Primjerice, mnogi članci u NEJM sadržavaju složene modele višestruke regresije, često s podatcima koji nedostaju ili se koreliraju, relativno nove analize doživljenja ili zaključke temeljene na uzimanju novih uzoraka. Potpuna interpretacija i razumijevanje pretpostavki, rezultata i ograničenja tih članaka kao i njihovih medicinskih implikacija zahtijevaju poznavanje i razumijevanje širokog spektra statističkih koncepata. U članku „Liječničko neznanje statistike“ objavljenom u časopisu British Medical Journal autori D. R. Matthews i K. McPherson upozoravaju: „Bezbroj liječnika osuđeno je na potpuno prihvaćanje tvrdnji iznesenih u sažetcima, raspravama ili zaključcima, tako da njihova klinička praksa može biti izmijenjena na osnovu površnih i neuvjerljivih činjenica.“

Pokret reformiranja podučavanja statistike prije svega se usredotočava na koncepte, no rastuća složenost statističkih metoda predstavlja ozbiljan izazov, među ostalima i za liječnike, izdavače časopisa te nastavnike u medicini. Osim u području medicine, potrebne su i šire promjene u pristupu podučavanja uvodnih poglavlja statistike. U članku „ Poboljšavanje liječničkog razumijevanja statistike“ objavljenog u časopisu Journal of the Royal Statistical Society- Series A, Applied Statistics, autori D. G. Altman i J. M. Bland iznose načine kako poboljšati razumijevanje statistike baš za liječnike. Iako je članak objavljen prije 15 godina, tema i rasprave vezane uz nju još uvijek su relevantni.

Tablica - Statistički sadržaji u originalnim znanstvenim člancima časopisa The New England Journal of Medicine

Tablica je objavljenja uz dozvolu iz The New Journal of Medicine te NEJM Books.

70

poučak 35

Procedura* Napomene

Originalni članci koji

sadrže metode

1978 -1979.


sadrže metode 1989.


sadrže metode

2004.-2005.

Kumulativno po članku **2004.-2005.

n = 332 n =115 n = 311 %

Bez statističkih metoda ili samo deskriptivna

statistika

Rezimiranje podataka i interval pouzdanosti

27% 12% 13% 13%

t-testovi 44% 39% 26% 14%

Kontigencijske tablice 27% 36% 53% 15%

Neparametarski testovi 11% 21% 27% 17%

Epidemiološka statistika

Relativan rizik, mjere pridruživanja,

senzitivnost, itd.99% 22% 35% 18%

Pearsonova korelacija 12% 19% 3% 18%

Jednostavna linearna regresija

Regresija s jednimjednom varijablom

8% 9% 6% 18%

Analiza varijance 8% 20% 16% 20%

Transformacija 7% 7% 10% 20%

Neparametarska korelacija

4% 1% 5% 21%

Analiza doživljenjaUključuje logističku

regresiju11% 32% 61% 24%

Višestruka regresijaUključuje stupnjevitu regresijsku analizu i

izglađivanje5% 14% 51% 39%

Višestruke usporedbe Uključuje međuanalize 3% 9% 23% 41%

Prilagodbe i standardizacija

3% 9% 1% 41%

Višedimenzionalne tablice

Mantel-Haenszel procedura, logaritam-sko-linearni modeli

4% 10% 13% 44%

PotencijeUključuje izračun

veličine uzorka 3% 3% 39% 68%

Analiza isplativosti

1% 0% 0% 68%

Senzitivnost dijagnostičkih testova

***0% 0% 6% 72%

71


Analiza ponovljenih mjerenja

*

Uključuje longitudinal-nu i grupnu regresiju 12% 80%

Metoda podataka koji nedostaju

8% 87%

Ispitivanje nepodređenosti

Ispitivanje jednakosti (ravnopravnosti)

4% 91%

ROC (Reciever Operating Characteri-

stics) krivulje

Površina ispod krivulje/specifičnost

i senzitivnost 2% 93%

Zaključivanje s po-novljenim uzimanjem

uzoraka2% 94%

Analiza temeljnih komponenti/

faktora/grupacija2% 96%

Ostale metode**** 3% 9% 4% 100%

* Procedure otisnute masnim slovima predstavljaju dodatke na popis koji su koristili Emerson i Colditz (1992.).

** Kumulativno po članku označava postotak članaka koji sadrže samo tu proceduru i procedure navedene iznad nje (nije korišteno ništa od niže navedenih procedura)

*** Analiza senzitivnosti dijagnostičkih testova nije spomenuta u izvještaju iz 1978.-1979. ni iz 1989., pa je navedena vrijednost 0.

**** Metode navedene kao „Ostale“uključuju /test pridruživanja temeljen na obitelji (n = 2), Hardy- Weinberg ekvilibrijum (2), algoritam pakiranja, Christmas tree korekciju (1), tablice događaja (1), analize slučajnih šetnji (1), tablice događaja (1), Monte Carlo simulacije (1), tabele naklonosti (1), scan statistika (1).

72

poučak 35

Prevele Morana Antunac-Majcen i Tanja Soucie

73

položaj matematIčke struke u druŠtvu I u donosu na druge struke

INFORMACIJE I PRIKAZI

4. hrvatski matematički kongres

Okrugli stol

Položaj matematičke struke u društvu i u donosu na druge struke(posebno prirodoslovne)

Moderatori: I. Slapničar, J. Tambača i N. Truhar

Okruglom stolu je prisustvovalo oko 40 sudionika.

Temeljna premisa okruglog stola bila je da stanje nije zadovoljavajuće.Rasprava je vođena s ciljem pronalaženja odgovora na pitanja:

Zašto?1. Što su glavne prepreke / problemi / izazovi ?2. kako smo mi u poziciji to promijeniti?3.

koje je predložio uvodničar I. Slapničar.

U uvodu je J. Tambača isaknu da je drastično smanjen trend upisa na studij matematike u Europei (Nizozemska), i da je na primjer u Velikoj Britaniji 43 000 manje srednjoškolaca polagalo A level.

Rasprava

Prenešen komentar iz engleskih novima: “It (mathematics) is a waste of time”Dio matematika se sakrio u computer science (D. Matijević)

Na nematematičkim fakultetima predmeti se preimenuju kako bi ih mogli predavati inženjeri (npr. Numeričke metode u ...). Postojeći kadar je preopterećen – novoga nema. (Z. Božikov) U motivaciji mladih ljudi (USA) rođenih prije 1970. godine plaća je na četvrtom mjesti, dok je kod onih rođenih nakon 1970., plaća na prvom mjestu (D. Crnković).

74

poučak 35

U Češkoj je slična situacija – prije par godina moderna je bila ekonomija i management, sada je to psihologija i druge društvene znanosti (Štefan Ratschan).

Broj studenata na MO je dobar zbog otvaranje različitih zanimljivih smjerova (financijaska i poslovna matematika na kojoj ima 150 studenata 4. godine). Planira se i smjer matematička biologija. (Z. Vondraček)

Ekonimija je u svijetu jako matematizirana struka, dok u Hrvatskoj nije, nego se više svodi na poslovne škole. Radi se o pogrešnim stavovima ekonomskih, medicinskih znanosti. U drugim strukama nije prepoznata vrijednost i nužnost matematike što je loše za sve. (M. Marušić)

Svi inženjeri se bave matematikom i sve više se osjećaju kompetentnima, što nije istina, ili je samo djelomično istina za prvu generaciju. (N. Črnjarić-Žic)

Na primjer, u Hagenu su inženjeri kreirali jako loše nastavne materijale (N. Truhar)

Projekti koji se nude ne nude previše posla, a uspostaviti duboki znanstveni kontakt s drugom strukom je teško (R. Scitovski).

Promocija znanosti se uspješno vrši na festivalu znanosti – sudjelovanje matematičara nije zanemarivo ali bi moglo u nekim sredinama biti i povećano. (I. Slapničar) Predloženo je da se razmisli o zamjeni završnog rada nastupom na festivalu (D. Vukičević)

Više godina se razmišlja o osnivanju Centra / Instituta za matematiku, kao potpora drugim strukama (na primjer kroz statističke obrade). Potrebno je povećati aktivnosti (M. Marušić).

Popularizacija se može ostvariti i pokretanjem godine matematike na svim nivoima obrazovanja, u organizaciji MZOŠ (vidi Jahr der Mathematik)

Popularizacija matematike koju je MO proveo u srednjim školama na temu “Gdje matematičari rade?” bila je vrlo uspješna (M. Huzak, M. Marušić).

Matematika se jako dobro popularizira u školama – Klokani bez granica, Matka, MFL. Natjecanja iz matematike su najorganiziranija. (N. Elezović)

Ponekad se i matematičari moraju više truditi – nismo adektvatno reagirali u nekim recentnim situacijama (rasprave oko uvraštavanje matematike u državnu maturu, analiza rezultata PISA projekta) (D. Bakić) trebalo bi razraditi mehanizam institucionalnog reagiranja (HMD?)

75

Velik broj fizičara je zaposen u odnosu na broj studenata i znasntvenu djelatnost. Odnos prema prirodnim znanostima je na našu štetu (Z. Vondraček).

Treba proučiti omjer ulaska i izlaska na studije (Z. Božikov, H. Kraljević)

Položaj MO na Sveučilištu u Zagrebu je odraz statusa matematike (M. Marušić).

FER je pomogao u raspravi u vezi državne mature (R. Scitovski, N. Elezović)

Na doktorskom studiju FER-a je 10 matematičkih kolegija, postoji svijest o važnosti matematike. Suradnja s privredom je potrebna i treba se uključiti što viće matematičara. Odnos djece prema matematici je pozitivan ali nemaju dovoljno vremena. (N. Elezović)

Zaključci

Kod nas, kao i u Europi dolazi do promjene društvene klime koju treba 1. pratiti i analizirati. Smatramo da je razina matematičkog znanja studenata i srednoškolaca zadovoljavajuća.

Pokušaji preuzimanja ingerencija u području matematičko-statističkog 2. obrazovanja od strane drugih struka smatramo opasnim i za matematiku i za druge struke.

Položaj matematike s obzirom na druge porirodoslovne struke nije 3. zadovoljavajući s obzirom na broj zaposlenih.

Adekvatnom prezentacijom i popularizacijom novih studijskih programa 4. mogu se postići veliki pomaci.

U ključnim situcijama struka treba djelovati organiziranje.5.

Potrebno je više ojačati suradnju s privredom i na taj način ojačati status 6. matematike u društvu.

Podržavamo osnivanje Centra / Instituta za matematiku.7.

položaj matematIčke struke u druŠtvu I u donosu na druge struke

76

poučak 35

3. kongres nastavnika matematike Republike Hrvatske

Odluke

Na sastancima odbora 3. kongresa nastavnika matematike Republike Hrvatske razmotreni su i prihvaćeni prijedlozi, koji su usvojeni na plenarnoj sjednici 4. srpnja 2008. godine.

Usvojeni su sljedeći prijedlozi:

a) Odbor za kurikulum

Potrebno je što prije pristupiti razvoju metodologije te izradi koherentnog 1. i konzistentnog Hrvatskog nacionalnog kurikuluma za osnovno i srednje obrazovanje.

Hrvatski nacionalni kurikulum mora biti utemeljen na rezultatima recentnih 2. znanstvenih istraživanja u području odgoja i obrazovanja i izrađen u skladu s međunarodno priznatom metodologijom. Pri njegovoj izradi važno je uvažiti pozitivne primjere dokazano uspješnih inozemnih nacionalnih kurikuluma, kao i tradiciju hrvatskog školstva.

Matematika u Hrvatskom nacionalnom kurikulumu mora zauzeti mjesto 3. jednog od središnjih obrazovnih područja i nastavnih predmeta (uz materinski i stani jezik), što se mora odgovarajuće odraziti i na predviđenoj satnici za ovaj predmet.

Matematički kurikulum mora biti iskazan u terminima ishoda učenja, tj. 4. očekivanih učeničkih postignuća na završetku pojedinog obrazovnog ciklusa (razine obrazovanja). Pritom je potrebno jasno definirati minimalna potrebna postignuća za nastavak obrazovanja na višem stupnju (najniža prolazna ocjena).

Izradu matematičkog nacionalnog kurikuluma mora pratiti kvalitetna i 5. transparentna stručna javna rasprava, a njegova implementacija mora biti postupna i u nadziranim uvjetima.

77

3. kongres nastavnIka matematIke republIke Hrvatske - odluke

Ciljevi matematičkog kurikuluma trebali bi sadržavati i temeljne matematičke 6. kompetencije koje bi učenici trebali steći. To su:

matematička argumentacija,a)

sposobnost rješavanja problema i modeliranje,b)

matematički jezik i komunikacija,c)

pozitivan stav prema matematici, d)

racionalna i efikasna upotreba tehnologije.e)

Pri izradi matematičkog kurikuluma treba uvažiti da nastava matematike 7. učenicima treba omogućiti:

razvoj pozitivnog stava prema matematici i interesa za nju, te samopouzdanja a) u vlastiti matematički potencijal,

prihvaćanje matematike kao smislene aktivnosti i njene primjene kao b) korisnog alata u raznim situacijama,

uvid u povijest matematike i razvoj razumijevanja za njenu važnu ulogu u c) različitim kulturama i djelatnostima,

razvoj vještina i sposobnosti logičkog mišljenja, zaključivanja i generaliziranja, d) te matematičke argumentacije,

razvoj svijesti o vrijednosti matematičkog jezika i vještina usmenog i pisanog e) komuniciranja sadržaja i ideja u kojima je prirodno koristiti matematički jezik i simbole,

razvoj vještina i sposobnosti postavljanja, formuliranja i rješavanja problema f) uz pomoć matematike, te interpretiranja, uspoređivanja i vrednovanja rješenja u odnosu na izvornu problemsku situaciju,

razvoj vještina i sposobnosti upotrebe jednostavnih matematičkih modela g) te kritičkog pristupa pretpostavkama, ograničenjima i primjeni tih modela,

razvoj vještina racionalnog i efikasnog korištenja tehnologije (ICT i ostali h) prikladni alati).

b) Odbor za udžbenike, izdavaštvo i software

Udžbenici moraju biti usklađeni s planovima i programima1. Stručna povjerenstva za udžbenike trebaju biti birana putem javnog natječaja2. Odluke stručnih povjerenstava trebaju biti konačne (nakon odluke stručnog 3. povjerenstva o (ne)izboru pojedinog udžbenika nitko više ne bi smio imati pravo tu odluku mijenjati)

78

poučak 35

Posvetiti još više pažnje uvođenju džepnog računala u nastavu matematike 4. (objaviti priručnike za rad s džepnim računalom)Potaknuti izdavanje knjiga/knjižica u kojima bi nastavnici prezentirali načine na 5. koji su obradili pojedinu nastavnu temuPotrebno je izdati razne materijale (priručnike, zbirke, knjige ,...) koji bi bili 6. pomoć učenicima i nastavnicima prilikom raznih oblika vanjskog vrednovanja znanja (državna matura, nacionalni ispiti, Pisa projekt, ..)Potrebno je licencirati/prevesti software koji je već u uporabi u školama u 7. svijetu

c) Odbor za metodiku nastave

metodičko obrazovanje studenata matematike nastavničkih profila, u svjetlu 1. novih metoda poučavanja i uvođenja novih tehnologija, treba biti potpunije, a njihova nastavnička praksa u školama sadržajnija i vremenski dulja,

započeti rad na izradi metodičkih standarda za nastavu matematike, 2.

treba unaprijediti rad metodičkih radionica u svim županijama, posebno 3. izradom prikladnih pisanih materijala,

treba se zalagati da nastava matematike u svim školama, na svim razinama i u 4. svim županijama bude stručno i metodički primjereno izvođena,

osigurati5. kvalitetnije i potpunije matematičko obrazovanje šireg kruga učenika primjerenim metodičkim pristupom matematičkim natjecanjima (pobuđivanje interesa učenika za matematiku, produbljivanje znanja, razvijanje matematičkih sposobnosti, upoznavanje novih metoda rješavanja problema, razvijanje kreativnosti),

potrebno je6. izraditi posebnu metodiku uporabe džepnog računala u nastavi, jer neprimjerena uporaba može imati neželjene posljedice za matematičko obrazovanje učenika,

potrebno je7. izraditi posebnu metodiku uporabe računala u nastavi, jer neprimjerena uporaba može imati neželjene posljedice za matematičko obrazovanje učenika,

potrebno je8. izraditi popis softwarea i metodičke upute za njegovu uporabu.

79

3. kongres nastavnIka matematIke republIke Hrvatske - odluke

d) Odbor o vrednovanju

Vanjsko vrednovanje Osvrt na provedene nacionalne ispite u organizaciji NCVVO i njihove ciljeve1.

Osvrt na objavljene izvještaje NCVVO o provedenim nacionalnim ispitima 2.

Upoznavanje o novom ciklusu nacionalnih ispita u organizaciji NCVVO i 3. njegovim ciljevima

Izvješće o zaključcima Okruglog stola 4. Hrvatskog matematičkog kongresa u 4. Osijeku

Uloga i važnost metodike nastave matematike

koji se tiču vanjskog vrednovanja

Ocjenjivanje

Osvrt na dosadašnje materijale Kongresa / Susreta nastavnika matematike u 1. području ocjenjivanja

Upoznavanje s nekim nacionalnim i internacionalnim modelima ocjenjivanja2.

80

poučak 35

Rukopise članaka za Poučak primamo jedino u elektroničkom obliku. Preciznije, to mora biti:– format kompatibilan OpenOfficeu (što uključuje gotovo sve verzije Microsofta Worda)Molimo da uz elektroničku verziju rukopisa pošaljete i PDF verziju dokumenta. PDF verziju vašeg rukopisa trebamo za recenziranje i kasnije za kontrolu prilikom unošenja članka u konačnu verziju časopisa. Nije dovoljno poslati samo PDF verziju dokumenta (jer to nije elektronički rukopis).

Upute za autore

Ako rukopis sadrži slike molimo vas da obratitepozornost na sljedeće preporuke:a) kad je moguće

upotrijebite slike u vektorskom formatu - za tiskani časopis bolje su od rasterskih;

b) slike u rasterskom formatu moraju biti u visokoj rezoluciji;

c) nemojte crtati slike/grafove u boji - vodite računa o tomu da se prilikom nužnog prebacivanja u monokromatsku skalu boje gube; (npr. nije jasno koji je zeleni, a koji crveni graf);

d) pošaljite nam i originalne datoteke slika (bez obzira na to što su npr. te slike već ubačene u Word dokument);

e) uobičajeni su (provjereni i prihvatljivi) formati datoteka slika EPS, JPG, PNG, GIF, BMP, TIFF.

Rukopis šaljite e-mailom na adresu [email protected].

Napišite nam svoj broj telefona.

Ako imate bilo kakvih pitanja, slobodno nam se obratite na [email protected].

Uredništvo

Documents

Poučak - CARNET...metrija, priroda i filozofija matematike i primjena u školskoj matematici. Od 1988. do 1997. godine bio je glavni urednik časopisa Pythagora, časopisa Association