POVEZAVNO 3-OBARVLJIVI GRAFI - uni-lj.si

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOSKA FAKULTETA

NINA SERE

POVEZAVNO 3-OBARVLJIVIGRAFI

DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA, 2017

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOSKA FAKULTETA

Dvopredmetni ucitelj: matematika - racunalnistvo

NINA SERE

Mentor: doc. dr. PRIMOZ SPARL

POVEZAVNO 3-OBARVLJIVIGRAFI

DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA, 2017

Najprej bi se rada zahvalila svojemu mentorju, doc. dr. Primozu Sparlu, za nje-

gov cas, potrpezljivost in strokovno pomoc, ki mi jo je namenil tekom pisanja tega

diplomskega dela.

Zahvaljujem se tudi celotni svoji druzini, ki mi je tekom studija stala ob strani

in me podpirala, v prvi vrsti svojim starsem, ki so mi studij sploh omogocili in ves

cas verjeli vame.

Hvala tudi sosolkam in sosolcem, ki ste to poglavje mojega zivljenja napolnili z

lepimi spomini. Brez vas mi ne bi uspelo.

Povzetek

V diplomskem delu se ukvarjamo s kromaticnim indeksom kubicnih grafov, kjer se

omejimo na vecji del dobro znane druzine taksnih grafov, znanih pod imenom po-

sploseni Petersenovi grafi. Graf Γ je k-povezavno obarvljiv, ce se da njegove povezave

obarvati s k barvami tako, da so incidencne povezave obarvane z razlicnimi barvami.

Najmanjse tako stevilo k imenujemo kromaticni indeks grafa in ga oznacimo χ′(Γ).

Ker so posploseni Petersenovi grafi kubicni, ima vsak izmed njih po dobro znanem

Vizingovem izreku kromaticni indeks bodisi enak 3 bodisi 4. Rezultati tega diplom-

skega dela predstavljajo pomemben del dokaza, da je znameniti Petersenov graf edini

posploseni Petersenov graf, ki ni povezavno 3-obarvljiv. Z drugimi besedami, Pe-

tersenov graf GP (5, 2) je edini posploseni Petersenov graf s kromaticnim indeksom 4.

Kljucne besede: barvanje povezav, kromaticni indeks, kubicni graf, posploseni

Petersenov graf

MSC (2010) klasifikacija: 05C15

ii

Abstract

In this BSc thesis we deal with chromatic index of cubic graphs, where we ma-

inly focus on a significant part of the family of graphs, named generalized Petersen

graphs. A graph Γ is said to be k-edge-colorable, if we can color its edges with k

colors, so that incident edges are colored with different colors. The smallest such

number k is called the chromatic index and it is denoted by χ′(Γ). Due to the fact

that generalized Petersen graphs are cubic graphs, Vizing’s theorem implies that

their chromatic index is either 3 or 4. The results of this BSc thesis represent an

important part of the proof, that the famous Petersen graph is the only generalized

Petersen graph, which is not 3-edge colorable. In other words, the Petersen graph

GP (5, 2) is the only generalized Petersen graph, whose chromatic index equals 4.

Key words: edge coloring, chromatic index, cubic graph, generalized Petersen

graph

MSC (2010) classification: 05C15

iii

Kazalo

1 Uvod 1

2 Uvodni pojmi 3

2.1 Teorija grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Teorija grafov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Barvanje povezav grafa 9

4 Kromaticni indeks nekaterih GP(n,k) 13

4.1 Predstavniki prve skupine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2 Predstavniki druge skupine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.3 Predstavniki tretje skupine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5 Zakljucek 27

Literatura 29

iv

Slike

2.1 Primer upodobitve grafa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Hamiltonski cikel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Primer sodega in lihega cikla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Petersenov graf GP (5, 2) in posploseni Petersenov graf GP (6, 3). . . . 8

3.1 Barvanje povezav razlicnih grafov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Optimalni barvanji povezav drugega in cetrtega grafa iz slike 3.1. . . 11

4.1 Vzorcna slika konstrukcije 4.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2 Konstrukcija podgrafa Γ′ v GP (7, 3) in GP (11, 3). . . . . . . . . . . . 16

4.3 Dobri 3-barvanji povezav grafov GP (7, 3) in GP (11, 3). . . . . . . . . 18

4.4 Konstrukcija podgrafa Γ′ v GP (11, 5) in dobro 3-barvanje povezav

tega grafa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19


4.6 Konstrukcija grafa Γ′ v GP (11, 4) in GP (15, 4). . . . . . . . . . . . . 20

4.7 Konstrukcija grafa Γ′ v GP (13, 4) in GP (21, 8). . . . . . . . . . . . . 21

4.8 Dobro 3-barvanje povezav grafov GP (11, 4) in GP (15, 4). . . . . . . . 22

4.9 Dobro 3-barvanje povezav grafov GP (13, 4) in GP (21, 8). . . . . . . . 22


4.11 Konstrukcija podgrafa Γ′ v GP (13, 6) in GP (21, 10). . . . . . . . . . 25

4.12 Dobro 3-barvanje povezav grafov GP (13, 6) in GP (21, 10). . . . . . . 25

v

Poglavje 1

Uvod

Diplomsko delo sodi na zanimivo podrocje matematike, ki se imenuje teorija grafov.

Kljub temu, da prvi zacetki sodijo v leto 1736, se je ta veja matematike “formalno”

zacela razvijati sele v drugi polovici 20. stoletja in njen razvoj se zdalec ni koncan.

Vse do danes ostaja na tem podrocju se kar nekaj odprtih vprasanj, s katerimi se

ukvarjajo razlicni znanstveniki.

Teorija grafov, kot pove ze ime samo, proucuje grafe. Graf je v matematiki diskre-

tna struktura, ki je sestavljena iz mnozice vozlisc in povezav med njimi. Torej si

ga kljub temu, da je to abstrakten pojem, zelo lahko predstavljamo. Brez tezav ga

lahko upodobimo (ce le ni prevelik), kjer vozlisca predstavljajo tocke, povezave pa

ravne ali krive crte med njimi.

Teorija grafov se je v zadnjih desetletjih mocno razvila in tako danes poznamo kar

nekaj razlicnih podrocij le-te. Eno izmed njih je tako imenovano barvanje grafov.

Zelo znamenit problem s tega podrocja, je problem stirih barv, ki je spraseval po

tem, ali lahko vsak zemljevid pobarvamo z natanko 4 barvami tako, da bodo drzave,

ki imajo skupno mejo obarvane z razlicnimi barvami. Da je temu res tako, je bilo do-

kazano s pomocjo racunalniskega programa, zato se se vedno najde kdo, ki meni, da

problem ni razresen. Obstajajo pa tudi druge vrste barvanj, kot na primer barvanja

vozlisc grafa, barvanja povezav grafa, seznamska barvanja, . . . V tem diplomskem

delu se bomo ukvarjali z barvanjem povezav.

Graf Γ je k-povezavno obarvljiv, ce se da njegove povezave obarvati s k barvami

tako, da so incidencne povezave (povezave, ki se stikajo v skupnem vozliscu) obar-

vane z razlicnimi barvami. V praksi nas najveckrat zanima najmanjse tako stevilko

k. To stevilo imenujemo kromaticni indeks grafa in ga oznacimo z χ′(Γ). Na tem

mestu nam je v veliko pomoc dobro znan Vizingov izrek, ki vse grafe razdeli v dve

skupini. V prvi se nahajajo tisti, katerih kromaticni indeks je enak maksimalni sto-

pnji (∆(Γ)), v drugi pa tisti, katerih kromaticni indeks je enak ∆(Γ) +1. [3, 8]

Kot nakaze ze sam naslov diplomskega dela, se bomo ukvarjali s kubicnimi grafi,

1

2 POGLAVJE 1. UVOD

to so grafi stopnje 3. Glede na Vizingov izrek torej lahko trdimo, da je kromaticni

indeks kubicnih grafov enak 3 ali pa 4.

Glavni cilj diplomskega dela je obravnava posebne druzine kubicnih grafov, ime-

novanih posploseni Petersenovi grafi, in dolocitev njihovega kromaticnega indeksa.

Sestavljeno je takole. V samem zacetku bomo spoznali (oziroma ponovili) osnovne

pojme, katere bomo uporabili tekom diplomskega dela. Dotaknili se bomo tudi te-

orije grup, saj slednja igra pomembno vlogo pri obravnavi simetrij grafov, ki nam

bodo v pomoc. Kot receno, v nadaljevanju pod drobnogled ne bomo vzeli vseh

kubicnih grafov, ampak se bomo posvetili druzini posplosenih Petersenovih grafov,

kateri imajo oznako GP (n, k). Le-ta vsebuje tudi enega izmed najbolj znanih grafov,

tako imenovani Petersenov graf GP (5, 2), po katerem druzina tudi nosi ime. Kot je

omenjeno ze v zgornjih odstavkih, bomo iskali kromaticni indeks grafov GP (n, k).

Ker bi bilo to delo prevec obsezno, ce bi obravnavali vse predstavnike te druzine, se

bomo omejili le na nekatere izmed njih.

Na tem mestu je vredno omeniti dejstvo, da je dolocitev kromaticnega indeksa po-

ljubnega grafa izredno tezak problem, saj sodi med tako imenovane NP-polne pro-

bleme. Nekaj besed vec o problemih tega razreda, povemo v poglavju o barvanju

grafov. Sicer pa si lahko bralec kaj vec o zahtevnosti tega problema, prebere v [4].

Poglavje 2

Uvodni pojmi

Kot smo omenili v uvodu, bomo najprej spoznali nekaj osnovnih pojmov iz podrocja

teorije grup in teorije grafov. Za lazje razumevanje smo dodali tudi nekaj zgledov.

V tem poglavju izhajamo iz virov [6], [7] in [8].

2.1 Teorija grup

Osnovno o grupah

Definicija. Naj bo G neprazna mnozica in · notranja operacija na G (to je, za

∀g1, g2 ∈ G je g1 · g2 ∈ G). Tedaj je (G, ·) grupa, ce velja:

- Operacija · je asociativna, to je za ∀g1, g2, g3 ∈ G je (g1 · g2) · g3 = g1 · (g2 · g3)

- V mnozici G obstaja nevtralni element e, da za ∀g ∈ G velja g · e = e · g = g

- Vsak g ∈ G ima inverzni element glede na nevtralni element e, to je:

∀g ∈ G : (∃g−1 ∈ G : g · g−1 = g−1 · g = e)

Ce dodatno velja se, da je operacija · komutativna, to je, ce za ∀g1, g2 ∈ G velja

g1 · g2 = g2 · g1, je grupa (G, ·) komutativna. Kadar gre za komutativno grupo, se

namesto znaka · obicajno uporablja znak +, pri inverznem elementu pa namesto g−1

pisemo kar –g.

V splosnem znak za operacijo opuscamo, torej namesto g1 · g2 pisemo g1g2 in

govorimo kar o grupi G namesto o grupi (G, ·).V grupah velja pravilo krajsanja z leve in z desne strani, to je, za poljuben x, g1, g2 ∈G velja: xg1 = xg2 ⇒ g1 = g2 in g1x = g2x⇒ g1 = g2

Definicija. Naj bo G grupa in g ∈ G. Tedaj je red grupe G, ki ga oznacimo z |G|,enak stevilu elementov, ki jih G premore. Red elementa g je definiran kot najmanjse

naravno stevilo n, da je gn = e. Ce tak n ne obstaja, ima g neskoncen red.

3

4 POGLAVJE 2. UVODNI POJMI

Definicija. Naj bo (G, ·) grupa in H ⊆ G neprazna podmnozica. Ce je tudi (H, ·)grupa, je H podgrupa grupe G, kar zapisemo kot H ≤ G.

Dobro znano dejstvo je, da je v koncni grupi G neprazna podmnozica H njena

podgrupa natanko tedaj, ko je H zaprta za podedovano operacijo.

Definicija. Naj bo G grupa in ∅ 6= S ⊆ G poljubna neprazna podmnozica. Tedaj

je 〈S〉 najmanjsa podgrupa grupe G, ki vsebuje S. Mnozica S se imenuje mnozica

generatorjev podgrupe 〈S〉, podgrupo 〈S〉, pa imenujemo podgrupa grupe G, gene-

rirana s S.

Nekatere druzine grup

Obstaja cela vrsta zelo dobro znanih druzin grup, kot so ciklicne grupe Zn, simetricne

grupe Sn, alternirajoce grupe An, diedrske grupe Dn, itd. Za nas sta pomembni

predvsem naslednji dve.

1. Ciklicna grupa Zn

Ciklicna grupa Zn je komutativna grupa (Zn, +), kjer je Zn mnozica ostankov

pri deljenju z n, sestevamo pa po modulu n. Grupa je reda n, nevtralni element

grupe je 0, inverzni element, elementa i, pa je n− i. Vsak k ∈ Zn, za katerega

je D(k, n) = 1, je generator grupe Zn.

2. Diedrska grupa Dn

Diedrska grupa (Dn, ·), kjer je n ≥ 3, je grupa simetrij pravilnega n-kotnika

z operacijo komponiranja preslikav. Abstraktno lahko zapisemo Dn = 〈r, z :

rn = 1, z2 = 1, zrz = r−1〉 = {1, r, r2, . . . , rn−1, z, zr, zr2, . . . , zrn−1}, kjer r

predstavlja rotacijo, z pa zrcaljenje pravilnega n-kotnika. Ta grupa je reda 2n

in ni komutativna.

2.2 Teorija grafov

Definicija. Enostaven neusmerjen graf Γ = (V (Γ), E(Γ)) je urejeni par dveh mnozic

V (Γ) in E(Γ), kjer V (Γ) predstavlja neprazno mnozico vozlisc, E(Γ) pa je pod-

mnozica mnozice neurejenih parov razlicnih vozlisc iz V (Γ). Ce je jasno, za kateri

graf gre, namesto Γ = (V (Γ), E(Γ)) pisemo kar Γ = (V,E). Elementom mnozice

E(Γ) pravimo povezave grafa. Povezavo {u, v} krajse zapisemo kot uv, kar pomeni,

da uv predstavlja isto povezavo kot vu. Povezavam, ki se stikajo v skupnem vozliscu

pravimo incidencne povezave. Ce sta u, v ∈ V (Γ) taki vozlisci, da je uv ∈ E(Γ),

potem sta to sosedni vozlisci, kar zapisemo kot u∼Γv oziroma u ∼ v, ce je jasno

za kateri graf gre. Taki dve vozlisci sta krajisci povezave uv, le-ta pa je incidencna

2.2. TEORIJA GRAFOV 5

s tema dvema vozliscema. Kardinalnosti mnozice V (Γ) pravimo red grafa in jo

oznacimo z |V (Γ)| oziroma kar z |Γ|.

Slika 2.1: Primer upodobitve grafa.

Dogovor. Dogovorimo se, da bomo v nadaljevanju namesto enostaven neusmerjen

graf pisali samo graf in s tem vedno mislili na enostaven neusmerjen graf. Nasi

grafi bodo torej brez zank (povezave, katerih krajisci sta isto vozlisce) in veckratnih

povezav (med dvema razlicnima vozliscema obstaja vec povezav).

Definicija. Naj bo Γ = (V,E) graf in naj bo v ∈ V . Tedaj mnozici N(v) = {u ∈V ;u ∼ v} pravimo okolica (tudi sosescina) vozlisca v. Kardinalnosti |N(v)| pravimo

stopnja (tudi valenca) vozlisca v in jo oznacimo z deg(v). Minimalno stopnjo vozlisc

v Γ oznacimo z δ(Γ), maksimalno pa z ∆(Γ). Ce je δ(Γ) = ∆(Γ), je graf regularen

in tedaj lahko govorimo o stopnji grafa. Ce je δ(Γ) = ∆(Γ) = k, je graf k-regularen

oziroma stopnje k. Ce je k = 3, recemo, da je Γ kubicen.

Lema 2.1 (Lema o rokovanju). Naj bo Γ graf. Tedaj je vsota stopenj vseh njegovih

vozlisc enaka dvakratniku stevila njegovih povezav.

Posledica 2.2. Naj bo Γ poljuben koncen graf. Tedaj ima Γ sodo mnogo vozlisc lihe

stopnje. Ce je torej Γ regularen graf lihe stopnje, je sodega reda. Tako so torej vsi

kubicni grafi sodega reda.

Definicija. Naj bo Γ = (V,E) graf. Zaporedje vozlisc (v0, v1, . . . , vn) grafa Γ je

sprehod v Γ, ce za poljuben 1 ≤ i ≤ n velja vi−1 ∼ vi, to je, ce sta poljubni vozlisci v

tem zaporedju sosednji. Vozliscu v0 pravimo zacetno, vozliscu vn pa koncno vozlisce,

dani sprehod pa je dolzine n. Ce so vse pripadajoce povezave tega sprehoda paroma

razlicne, je to enostaven sprehod, ce pa so paroma razlicna tudi vozlisca, gre za pot.

Ce je v0 = vn, je to obhod. Obhodu, v katerem sta enaka samo v0 in vn, ostala

vozlisca pa so paroma razlicna, pravimo cikel. Cikel dolzine n se imenuje n-cikel.

Definicija. Naj bo Γ = (V,E) graf in naj bo v ∈ V . Tedaj je komponenta po-

vezanosti grafa Γ, ki vsebuje v, mnozica vseh tistih vozlisc u ∈ V , za katere v Γ


obstaja vsaj en sprehod med v in u. V primeru, ko ima Γ samo eno komponento

povezanosti, je Γ povezan graf.

Definicija. Naj bosta Γ1 = (V1, E1) in Γ2 = (V2, E2) grafa. Tedaj je Γ1 podgraf

grafa Γ2, ce je V1 ⊆ V2 in E1 ⊆ E2. Ce je V1 = V2, je Γ1 vpet podgraf grafa Γ2.

Dogovor. Od tu naprej bomo pojem cikel razumeli kot podgraf, ki je sestavljen iz

vseh vozlisc pripadajocega obhoda in vseh povezav po dveh zaporednih vozlisc na

obhodu. S tem orientacija in zacetno vozlisce izgubita pomen.

Definicija. Naj bo Γ = (V,E) graf. Tedaj ciklu dolzine |V | v Γ pravimo hamiltonski

cikel grafa Γ.

Povedano drugace, hamiltonski cikel je cikel, ki obisce vsa vozlisca v grafu, zato

je dolzine |V |. Za zgled vzemimo kar graf na sliki 2.1. Slednji vsebuje hamiltonski

cikel, eden izmed njih pa je z rdeco barvo oznacen na sliki 2.2.

Slika 2.2: Hamiltonski cikel.

Definicija. Naj bosta Γ1 = (V1, E1) in Γ2 = (V2, E2) grafa. Preslikava ϕ : V1 → V2

je izomorfizem grafov, ce je bijektivna in za poljuben par vozlisc u1, v1 ∈ V1 velja:

u1 ∼Γ1 v1 ⇐⇒ ϕ(u1) ∼Γ2 ϕ(v1).

Grafa Γ1 in Γ2 sta izomorfna, kar oznacimo z Γ1∼= Γ2, ce med njima obstaja kak

izomorfizem grafov.

Definicija. Naj bo Γ = (V,E) graf. Avtomorfizem grafa Γ je tedaj vsaka bijekcija

ϕ : V → V , ki ohranja sosednost. Za poljuben par vozlisc torej mora veljati

u ∼ v ⇐⇒ ϕ(u) ∼ ϕ(v).

Mnozico avtomorfizmov grafa Γ oznacimo z Aut(Γ) in ji recemo grupa avtomorfiz-

mov grafa Γ, kar je, glede na sledeco trditev, upraviceno poimenovanje.

Trditev 2.3. Naj bo Γ = (V,E) graf. Tedaj je mnozica Aut(Γ) za obicajno kompo-

niranje preslikav grupa.

2.2. TEORIJA GRAFOV 7

Za konec tega razdelka si oglejmo se nakaj standardnih druzin grafov. Obstaja

jih kar nekaj, recimo polni grafi Kn, cikli Cn, posploseni Petersenovi grafi GP (n, k),

Hammingovi grafi H(d, q), itd., a so za nas pomembne le prve tri omenjene druzine.

1. Polni grafi Kn

Naj bo n ≥ 1 naravno stevilo. Tedaj je polni graf reda n, ki ga oznacimo s Kn,

graf z mnozico vozlisc V = {1, 2, . . . , n}, v katerem so vsi pari vozlisc sosedni.

2. Cikli Cn

Naj bo n ≥ 3 naravno stevilo. Tedaj je cikel dolzine n, ki ga oznacimo s Cn,

graf reda n z mnozico vozlisc Zn, edine povezave pa so oblike {i, i+ 1} za vse

i ∈ Zn.

Ce je n sodo stevilo, je Cn sodi cikel, oziroma cikel sode dolzine, ce pa je

n liho stevilo, je Cn lihi cikel, oziroma cikel lihe dolzine. Ocitno je grupa

avtomorfizmov teh grafov izomorfna diedrski grupi Dn. Rotacijsko simetrijo

obicajno oznacimo z ρ, to je avtomorfizem, ki vozlisce i preslika v vozlisce i+1,

avtomorfizem, ki graf zrcali preko izbrane osi pa oznacimo s τ .

Slika 2.3: Primer sodega in lihega cikla.

Posvetimo se se druzini grafov, ki bo igrala osrednjo vlogo tega diplomskega dela.

3. Posploseni Petersenovi grafi GP (n, k)

Naj bo n ≥ 3 naravno stevilo in naj bo 1 ≤ k ≤ n− 1. Posploseni Petersenov

graf GP (n, k) je tedaj graf reda 2n z mnozico vozlisc

V = {ui ; i ∈ Zn} ∪ {vi ; i ∈ Zn}

in sosednostmi naslednjih oblik: ui ∼ vi, ui ∼ ui±1, vi ∼ vi±k za ∀i ∈ Zn.

Kot zanimivost pa lahko na tem mestu omenimo, da je druzina teh grafov ime

dobila po slavnem Petersenovem grafu GP (5, 2), slednji pa se imenuje po danskem

matematiku Juliusu Petersenu.


Trditev 2.4. Za poljubno naravno stevilo n ≥ 3 in poljuben 1 ≤ k ≤ n − 1 velja

GP (n, k) = GP (n, n− k).

Dokaz. Vsak vi je povezan z vi+k in vi−k, v Zn pa je n − k obrat elementa k, torej

n−k = −k. Vsak vi je potemtakem povezan z vi+(n−k) = vi−k in vi−(n−k) = vi−(−k) =

vi+k, kar pomeni, da imata grafa GP (n, k) in GP (n, n−k) natanko iste povezave.

Opomba. V resnici je zaradi te trditve pri sami definiciji posplosenih Petersenovih

grafov smiselno privzeti k ≤ n2, oziroma kar k < n

2, saj je v primeru, ko je n sodo

stevilo, n2

sam sebi obrat, torej je v primeru k = n2

vsako vozlisce vi povezano samo

z dvema drugima vozliscema (ui in vi+k) in tak graf ni vec regularen.

Ocitna avtomorfizma grafa GP (n, k) sta:

ρ : ui 7→ ui+1 ∧ vi 7→ vi+1 ; i ∈ Zn (2.1)

τ : ui 7→ u−i ∧ vi 7→ v−i ; i ∈ Zn (2.2)

Lahko si predstavljamo, da avtomorfizem ρ graf vrti, τ pa zrcali preko izbrane osi.

Slika 2.4: Petersenov graf GP (5, 2) in posploseni Petersenov graf GP (6, 3).

Dogovor. Vozliscem ui grafa GP (n, k), i ∈ Zn, bomo v nadaljevanju rekli zunanja

vozlisca, vozliscem vi pa notranja vozlisca. Mnozico povezav lahko razbijemo na tri

dele, torej E(GP (n, k)) = E1 ∪ E2 ∪ E3, kjer so v E1 povezave tipa uiui±1, v E2

povezave tipa vivi±k in v E3 povezave tipa uivi, kjer je i ∈ Zn. Povezavam iz E1

bomo rekli zunanje povezave, povezavam iz E2 notranje povezave, povezavam iz E3

pa spice.

Trditev 2.5. Naj bosta n in 1 ≤ k < n2

taki naravni stevili, da je D(n, k) = 1.

Tedaj je GP (n, k) ∼= GP (n, k−1).

Dokaz. Naj bo V = {ui ; i ∈ Zn} ∪ {vi ; i ∈ Zn} mnozica vozlisc grafa GP (n, k)

in V ′ = {u′i ; i ∈ Zn} ∪ {v′i ; i ∈ Zn} mnozica vozlisc grafa GP (n, k−1), kjer so

povezave definirane na obicajen nacin. Tedaj je ϕ : ui 7→ v′k−1i ∧ vi 7→ u′k−1i, kjer je

i ∈ Zn, izomorfizem grafa GP (n, k) na GP (n, k−1).

Poglavje 3

Barvanje povezav grafa

V tem poglavju se srecamo s pojmi, ki se ze bolj dotikajo glavne teme diplomskega

dela. Spoznamo tudi kljucne izreke, na katere se bomo opirali tudi v naslednjem,

najpomembnejsem poglavju. Izhajamo predvsem iz virov [3] in [8].

Definicija. Naj bo Γ = (V,E) graf. Preslikava c : E → N je dobro barvanje

povezav, ce za poljubni razlicni incidencni povezavi e, e′ ∈ E velja c(e) 6= c(e′).

χ′(Γ) je minimalno stevilko k, da obstaja dobro barvanje povezav c : E → N, za

katerega je c(e) ≤ k za vse e ∈ E. Stevilo χ′(Γ) imenujemo kromaticni indeks grafa

Γ.

Opomba. Za boljso predstavo pri barvanju konkretnih grafov stevila raje nadome-

stimo z barvami. Oglejmo si nekaj zgledov.

Slika 3.1: Barvanje povezav razlicnih grafov.

9

10 POGLAVJE 3. BARVANJE POVEZAV GRAFA

Vsi grafi na sliki 3.1 so dobro obarvani, saj so vse incidencne povezave obarvane z

razlicnimi barvami. Ce pogledamo grafe od od leve proti desni in od zgoraj navzdol

opazimo, da je prvi obarvan s k = 4 barvami, drugi s k = 6, tretji s k = 2, cetrti s

k = 4 in zadnji prav tako s k = 4 barvami. Zanima nas, ali je v teh primerih k tudi

kromaticni indeks danih grafov. Zdi se, da bo χ′(Γ) povezan z maksimalno stopnjo

grafa. Stevilo χ′(Γ) namrec ocitno ne more biti manjse od maksimalne stopnje, saj

morajo biti incidencne povezave razlicnih barv. Torej lahko zapisemo χ′(Γ) ≥ ∆(Γ).

Da s tem nismo prav dalec od prave vrednosti za χ′(Γ), nam pove spodnji izrek.

Izrek 3.1 (Vizingov izrek). Naj bo Γ poljuben graf. Tedaj velja ∆(Γ) ≤ χ′(Γ) ≤∆(Γ) + 1.

Dokaza na tem mestu ne bomo navajali, saj je le-ta v slovenskem jeziku na-

tancno razdelan ze v drugem diplomskem delu [3]. Omenimo pa, da je dolocitev

kromaticnega indeksa kljub temu, da sta mozni samo dve stevili, v splosnem zelo

netrivialen problem. Spada v razred tako imenovanih NP-polnih problemov. To so

problemi, za katere med drugim velja, da zaenkrat ne poznamo algoritma, ki bi jih

resil v polinomskem casu (glede na velikost objekta, v nasem primeru grafa). V

kolikor pa bo nekoc tak algoritem znan, bodo v polinomskem casu resljivi tudi vsi

drugi problemi iz razreda NP. Ce je graf dovolj majhen, v resnici nimamo tezav z

dolocitvijo kromaticnega indeksa. Problem nastane le, ce ima graf veliko vozlisc.

NP-polni problemi so eni izmed najbolj znanih problemov v svetu racunalnistva in

poznamo jih cel kup. Zanimivo pa je tudi to, da do danes se nihce ni dokazal,

da polinomski algoritmi zanje ne obstajajo in to omenjene probleme naredi se bolj

zanimive.

Vrnimo se na prejsnji zgled. Takoj lahko opazimo, da je χ′(C8) = 2, saj je ta

graf stopnje 2, pri nasem barvanju pa smo uporabili le dve barvi. Po drugi strani je

po Vizingovem izreku 4 ≤ χ′(K5) ≤ 5, torej nase zgornje barvanje polnega grafa K5

se ni optimalno. Za ostale tri grafe pa ne moremo zagotovo reci ali je pripadajoci k

res kromaticni indeks ali ne, saj za vsa tri barvanja velja k = ∆ + 1. Torej bi stevilo

barv v najboljsem primeru lahko zmanjsali se za 1. V nadaljevanju se bomo posvetili

le kromaticnemu indeksu nekaterih posplosenih Petersenovih grafov, tako da je za

nas v resnici zanimiv le zadnji primer, torej GP (11, 5), ki je na zgornji sliki obarvan

s stirimi barvami. Ker za grafe GP (n, k) velja, da so 3-regularni (oziroma kubicni),

lahko po Vizingovem izreku trdimo, da je 3 ≤ χ′(GP (n, k)) ≤ 4. Na vprasanje

ali lahko barvanje pri tem konkretnem grafu se izboljsamo, bomo odgovorili malce

kasneje, preden pa se lotimo dokaza naslednjega izreka, ki igra kljucno vlogo v

naslednjem poglavju, poskusimo izboljsati barvanje povezav grafa K5 in cetrtega

grafa iz zgornjega primera. Novi barvanji sta prikazani na sliki 3.2. Izkaze se, da

11

se povezav grafa K5 s stirimi barvami ne da obarvati (bralca vabimo, da poisce

ustrezno utemeljitev), tako sta na sliki 3.2 kar optimalni barvanji.

Slika 3.2: Optimalni barvanji povezav drugega in cetrtega grafa iz slike 3.1.

Izrek 3.2. Naj bo Γ = (V,E) kubicen graf reda n > 3. Tedaj je Γ povezavno 3-

obarvljiv natanko tedaj, ko vsebuje disjunktno unijo sodih ciklov, ki pokrijejo vsa

vozlisca.

Dokaz. Spomnimo se, da je graf Γ po posledici Leme o rokovanju sodega reda. De-

nimo najprej, da je Γ povezavno 3-obarvljiv in izberimo konkretno dobro barvanje

povezav s tremi barvami. Dokazimo, da vsebuje disjunktno unijo sodih ciklov, ki

pokrijejo vsa vozlisca. V resnici dokazujemo, da Γ premore vpet podgraf, izomorfen

disjunktni uniji sodih ciklov. Vsako vozlisce je stopnje 3 in ker je Γ povezavno 3-

obarvljiv, se v vsakem vozliscu stikajo vse tri barve, recimo modra, rdeca in zelena.

Oglejmo si podgraf Γ′, ki sestoji iz vseh vozlisc in vseh modrih in rdecih povezav.

Ocitno je to vpet podgraf stopnje 2, saj se v vsakem vozliscu stikata povezavi obar-

vani s tema dvema barvama. Imamo dve moznosti, glede na to ali je graf Γ povezan

ali pa je sestavljen iz vec komponent povezanosti. Ce je Γ′ povezan, je izomorfen

grafu Cn, ki je sode dolzine. Ce pa je Γ′ sestavljen iz vecih komponent povezanosti,

pa vsaka izmed njih, enako kot zgoraj, predstavlja cikel, kjer pa se zaradi dejstva,

da gre za dobro barvanje, izmenjujeta modra in rdeca barva. Torej je vsaka kompo-

nenta cikel sode dolzine in v tem primeru dobimo disjunktno unijo sodih ciklov, ki

prav tako pokrijejo vsa vozlisca.

Sedaj pa predpostavimo obratno, da torej vozlisca grafa Γ pokriva unija sodih ci-

klov. Dokazimo, da je tedaj Γ povezavno 3-obarvljiv. Ker so cikli sode dolzine, lahko

povezave vsakega od njih izmenicno obarvamo z dvema barvama, recimo z modro

12 POGLAVJE 3. BARVANJE POVEZAV GRAFA

in rdeco. Ker je Γ kubicen, v vsakem vozliscu obstaja se natanko ena povezava, ki

ni obarvana. Vse te povezave obarvamo s tretjo barvo, recimo zeleno, in dobili smo

dobro 3-barvanje povezav grafa.

Posledica 3.3. Naj bo Γ kubicen graf. Ce premore hamiltonski cikel, je povezavno

3-obarvljiv.

Dokaz. Po posledici leme o rokovanju je hamiltonski cikel sode dolzine, torej je Γ

povezavno 3-obarvljiv po izreku 3.2.

Obrat posledice ne velja. Obstajajo namrec kubicni grafi, ki so 3-povezavno

obarvljivi, a nimajo hamiltonskega cikla. Robertson je leta 1968 dokazal, da grafi

GP (n, k), za katere je n ≡ 5 (mod 6) in je k ∈ {2, n−12, n+1

2, n − 2}, ne premorejo

hamiltonskega cikla (dokaz lahko bralec najde v [5]). Malce kasneje pa bomo navedli

primer dobrega 3-barvanja povezav enega izmed grafov s temi karakteristikami, kar

dokazuje, da obrat posledice 3.3 ne velja.

Poglavje 4

Kromaticni indeks nekaterih

posplosenih Petersenovih grafov

Posvetimo se sedaj osrednjemu delu tega diplomskega dela. V tem poglavju se

ukvarjamo z vprasanjem ali doloceni predstavniki druzine posplosenih Petersenovih

grafov vsebujejo vpet podgraf, ki je izomorfen uniji sodih ciklov ali ne. Po izreku iz

prejsnjega poglavja je namrec to potreben in zadosten pogoj za to, da so povezavno

3-obarvljivi. Pri samem dokazu igra kljucno vlogo avtomorfizem τ iz (2.2). V tem

poglavju izhajamo iz clanka [2].

Tekom diplomskega dela smo ze omenili, kako zelo tezak je problem dolocitve kro-

maticnega indeksa grafov, zato ne bomo obravnavali vseh predstavnikov druzine

GP (n, k), pac pa se bomo v nasi analizi omejili na posplosene Petersenove grafe

GP (n, k), za katere velja:

- n ≥ 7 je liho stevilo,

- D(n, k) = 1,

- 2 < k < (n−1)2

.

Dokaz povezavne 3-obarvljivosti za preostale predstavnike te druzine (z izjemo

Petersenovega grafa GP (5, 2)), je predstavljen v [9]. Kljub precej strnjenemu in

skopemu zapisu je avtor zanj potreboval 11 strani, zato bi bilo nase diplomsko delo

bistveno preobsezno, ce bi vanj vkljucili se ta del. Bralca seveda vabimo, da si ta del

dokaza prebere sam. Nasa analiza, skupaj z omenjenimi rezultati v [9], pokaze, da

je slavni Petersenov graf GP (5, 2) edini posploseni Petersenov graf, ki ni povezavno

3-obarvljiv.

Grafe z zgornjimi karakteristikami bomo razdelili v tri skupine. V prvi skupini so

tisti predstavniki GP (n, k), za katere sta n in k obe lihi stevili, v drugi skupini tisti,

za katere je n ≡ 3 (mod 4) ter k sodo stevilo in n ≡ 1 (mod 4) ter k, k−1 obe sodi

13

14 POGLAVJE 4. KROMATICNI INDEKS NEKATERIH GP(N,K)

stevili, v tretji pa tisti, za katere je n ≡ 1 (mod 4) ter k sodo in k−1 liho stevilo. Ker je

naravno stevilo liho natanko tedaj, ko je kongruentno bodisi 1 bodisi 3 po modulu

4 in ker je stevilo k lahko sodo ali liho, prav tako pa tudi njegov multiplikativni

obrat k−1, je jasno, da smo z zgornjo dolocitvijo skupin pokrili vse moznosti. Grafe

GP (n, k), za katere k v Zn nima obrata, pa izlocimo ze s predpostavko D(n, k) = 1.

Zaradi lazje analize, v nadaljevanju pisemo n = 2m + 1. V naslednjih treh

razdelkih bomo za vsako od treh skupin grafovGP (n, k), podali konstrukcijo vpetega

podgrafa Γ′, in to tako, da bo avtomorfizem τ iz (2.2) tudi avtomorfizem grafa

Γ′. V vsakem razdelku pokazemo, da je Γ′ 2-regularen podgraf in da so njegove

komponente povezanosti sode dolzine. Glavna ideja dokaza sodosti komponent je,

da se spomnimo, da τ fiksira vozlisci u0 in v0 in nobenega drugega. Osredotocili se

bomo na komponento povezanosti grafa Γ′, ki vsebuje u0. Ce se izkaze, da je na njej

tudi v0, je namrec le-ta sode dolzine, ce pa temu ni tako, torej ce vsako izmed vozlisc

u0 in v0 pripada svoji komponenti, je vsaka od obeh komponent liha. V tem primeru

mora vsaka izmed teh dveh komponent vsebovati se natanko eno izmed povezav, ki

jih τ fiksira. Ce torej pokazemo, da taksnih povezav v Γ′ ni, smo s tem pokazali, da

vozlisci u0 in v0 lezita na isti komponenti povezanosti, ki je zato sode dolzine.

Omenimo se to, da bomo v vsakem razdelku zaradi lazjega dokazovanja vpeljali

pojem cetverice vozlisc. To so 4 zaporedna vozlisca na Γ′ oblike vi, ui, ui+1, vi+1 ali

pa vi, ui, ui−1, vi−1. Ocitno je vsaka komponenta povezanosti grafa Γ′, katere vsako

vozlisce pripada kaksni cetverici, cikel sode dolzine, natancneje dolzine 4a, kjer a

predstavlja stevilo cetveric v Γ′.

Preden se posvetimo vsaki skupini grafov posebej, omenimo tudi dejstvo, da je

k generator grupe Zn, saj sta n in k tuji stevili. To pomeni, da notranje povezave

notranja vozlisca povezejo v eno samo komponento.

4.1 Predstavniki prve skupine

Kot receno, so predstavniki prve skupine tisti grafi, za katere sta n in k obe lihi

stevili. Konstruirajmo naslednji vpet podgraf.

Konstrukcija 4.1. Naj bo Γ′ = (V,E ′), kjer je E ′ = E1 ∪E2 ∪E3 ∪E4, pri tem pa

je

E1 = {um+kum+k+1, um+k+1um+k+2, . . . , un−1u0, u0u1, u1u2, . . . , um−kum−k+1},E2 = {um−k+2um−k+3, um−k+4um−k+5, . . . , um+k−2um+k−1},E3 = {um−k+1vm−k+1, um−k+2vm−k+2, . . . , um+kvm+k} in

E4 = {vm+1vm+k+1, vm+2vm+k+2, . . . , vn−1vk−1, v0vk, v1vk+1, . . . , vm−kvm}Tedaj je Γ′ vpet podgraf grafa GP (n, k) z mnozico povezav E ′.

Podmnozici povezav E1 in E3 sta ocitno dobro definirani. Podrobneje si oglejmo

4.1. PREDSTAVNIKI PRVE SKUPINE 15

E2. Le-ta vsebuje povezave tipa u(m−k)+iu(m−k)+i+1, kjer je 2 ≤ i ≤ 2k − 2 sodo

stevilo. Ker lahko povezavo um+k−2um+k−1 zapisemo tudi v obliki,

um+k−2um+k−1 = um−k+2k−2um−k+2k−1 = um−k+2(k−1)um−k+2(k−1)+1, je jasno, da je

vsebovana v E2, saj je 2(k−1) sodo stevilo. Torej je tudi E2 dobro definirana. Bralec

bo opazil, da je v tej podmnozici povezav, zaradi lihosti k, vsebovana povezava

um−1um = um−k+(k−1)um−k+(k−1)+1. Prav tako pa je dobro definirana tudi E4, saj je

n− 1 = 2m+ 1− 1 = 2m > m+ 1 in 0 < m− k. Da si bomo zgornjo konstrukcijo

lazje predstavljali, si za zacetek oglejmo vzorcno sliko vpetega podgrafa opisanega

z le-to. Na sliki 4.1 je prikazan z modro barvo.

Slika 4.1: Vzorcna slika konstrukcije 4.1.

Za podgraf Γ′ je potrebno dokazati se, da je 2-regularen in sestavljen iz samih

sodih ciklov. Zapisimo ti dve dejstvi kot lemi in ju dokazimo.

Lema 4.2. Vpeti podgraf Γ′ = (V ′, E ′), opisan v konstrukciji 4.1, je 2-regularen.

Dokaz. Vsako vozlisce ui, kjer je 0 ≤ i ≤ m − k ali pa m + k + 1 ≤ i < n, je v

Γ′ povezano natanko z ui−1 in ui+1. Vozlisca ui, kjer je m − k + 1 ≤ i ≤ m + k,

so v Γ′ povezana s pripadajocim notranjim vozliscem vi in pa z natanko enim od

vozlisc ui+1 in ui−1. Torej so v Γ′ res vsa zunanja vozlisca stopnje 2. Stopnjo

preverimo se za notranja vozlisca. Oznacimo mnozico notranjih vozlisc z VN . Naj

bo VN = V1 ∪ V2 ∪ V3, kjer je V1 = {v0, v1, . . . , vm−k} ∪ {vm+k+1, vm+k+2, . . . , vn−1},V2 = {vm−k+1, vm−k+2, . . . , vm}, in V3 = {vm+1, vm+2, . . . , vm+k}. Vsak vi ∈ V1 je v

Γ′ povezan z vi±k, vsak vi ∈ V2 je v Γ′ povezan s pripadajocim zunanjim vozliscem

ui in z vi−k, vsak vi ∈ V3 pa je v Γ′ povezan s pripadajocim zunanjim vozliscem ui in

z vi+k. Torej so v Γ′ tudi vsa notranja vozlisca stopnje 2 in zato je Γ′ res 2-regularen

graf.


Ker je podgraf Γ′ 2-regularen, so torej njegove komponente povezanosti cikli.

Preden se lotimo dokaza naslednje leme, si oglejmo dva konkretna zgleda opisane

konstrukcije. Prikazana sta na sliki 4.2.

Slika 4.2: Konstrukcija podgrafa Γ′ v GP (7, 3) in GP (11, 3).

Bralec lahko na sliki 4.2 opazi, da je Γ′ v GP (7, 3) povezan graf, torej je Γ′ ha-

miltonski cikel in ker je vsak GP (n, k) sodega reda, je po izreku 3.2 graf GP (7, 3)

povezavno 3-obarvljiv. Podgraf Γ′ v GP (11, 3) sestoji iz dveh ciklov, torej je po-

trebno za vsakega posebej preveriti ali je sode dolzine. Tudi v tem primeru sta oba

cikla soda, eden dolzine 10, drugi pa dolzine 12, zato je po izreku 3.2 tudi ta graf

povezavno 3-obarvljiv. Dobili smo dva bistveno razlicna primera vpetega podgrafa

Γ′, to pa pomeni, da kljub temu, da poznamo konstrukcijo, ne vemo tocno koliko

komponent povezanosti bomo dobili. Spodnja lema pa nam pove, da so ne glede na

to, koliko jih je, vse sode dolzine.

Lema 4.3. Komponente povezanosti vpetega podgrafa Γ′, opisanega v konstrukciji

4.1, so cikli sode dolzine.

Dokaz. Po lemi 4.2 so komponente povezanosti grafa Γ′ cikli. Pokazati je torej treba,

da so sode dolzine. Ker v Zn velja −(m + k) = 2m + 1 −m − k = m − k + 1, iz

same konstrukcije sledi, da je τ tudi avtomorfizem grafa Γ′. Naj bo C0 tisti cikel

v Γ′, ki vsebuje u0. Edine povezave iz Γ′, ki jih lahko τ fiksira, so oblike uiu−i in

viv−i. Ker je k liho stevilo, sta edini povezavi tega tipa umum+1 in vn−k2vn+k

2. Naj

bo e1 = umum+1 in e2 = vn−k2vn+k

2.

Spomnimo se, da je lahko C0 v Γ′ liha komponenta le v primeru, da sta u0 in v0

v razlicnih komponentah povezanosti, vsaka od katerih vsebuje po eno povezavo

4.1. PREDSTAVNIKI PRVE SKUPINE 17

zgornje oblike. Dovolj je torej pokazati, da e1 /∈ E ′. To pa je lahko videti, saj bi bila

lahko glede na konstrukcijo povezava umum+1 kvecjemu v E2, kjer pa smo ze videli,

da so le povezave oblike um−k+ium−k+i+1 za sode i. Ker je k liho stevilo, to potem

ne gre. To pomeni, da je cikel C0 res sode dolzine.

V nadaljevanju dokaza bomo uporabljali pojem cetverice vozlisc, ki smo ga definirali

na zacetku tega poglavja. V splosnem se lahko zgodi, da je C0 kar cel Γ′, kar smo

videli na sliki 4.2 za graf GP (7, 3). V primeru, ko pa temu ni tako, vzemimo nek

vi, kjer je m + k < i ≤ n − 1 ali pa 0 ≤ i < m − k + 1, ki ni na C0, torej vi ∈ V1,

kjer so notranja vozlisca podgrafa Γ′ oznacena kot v dokazu leme 4.2. Vozlisce

vi je vsebovano na neki komponenti skupaj z vi+k, vi+2k, . . . , vi+rk, vi+(r+1)k, kjer je

i + rk < m − k + 1 in i + (r + 1)k > m − k + 1. To pomeni, da vi+rk ni element

cetverice vozlisc, vi+(r+1)k pa je. Ker je vi+(r+1)k element cetverice vozlisc, bodo v

tej komponenti vsebovani se ui+(r+1)k, ui+(r+1)k±1 in vi+(r+1)k±1, odvisno od parnosti

indeksov. Tu se “smer cikla obrne” in “zadanemo” vozlisce vi+rk±1 ∈ V1. Cikel se

nadaljuje z vozlisci vi+(r−1)k±1, . . . , vi±1 in nato naprej vi−k±1, vi−2k±1, . . . , vse dokler

za nek l vozlisce vi−lk±1 zopet ni na cetverici vozlisc. Torej so na tej komponenti se

ui±1–lk, ui±1–lk±1, vi±1–lk±1 (zopet v odvisnoti od parnosti indeksov). Na enak nacin

kot je opisano zgoraj bo cikel po tem “obratu” po l korakih “zadel” vozlisce vi, vi+2 ali

pa vi−2. Ce pridemo v vozlisce vi, bo cikel zakljucen, saj smo s tem vozliscem zaceli.

Pripadajoci cikel bo sode dolzine, ker indeksi vozlisc vj nastopajo v parih (vj in vj+1

ali pa vj in vj−1), ostala vozlisca pa pripadajo cetvericam. Ce pa pridemo v vozlisce

vi+2 (ali vi−2), lahko postopek nadaljujemo kot prej in pridemo do vi+2−1 = vi+1 ali

pa v vi+3. Tako nadaljujemo vse do vi+4, vi+5, . . . , vm−k+1. Na tem mestu pridemo

do protislovja, saj smo Γ′ konstruirali tako, da vm−k+1 lezi na C0. Torej po dveh

“obratih” zagotovo pridemo v vi, kar je bila nasa prva moznost. S tem je lema

dokazana.

Lemi 4.2 in 4.3 nam torej povesta, da je v vseh grafih prve skupine moc najti

vpet podgraf Γ′, ki je sestavljen iz unije sodih ciklov. Torej so po izreku 3.2 ti grafi

povezavno 3-obarvljivi. Na sliki 4.3 sta prikazana primera dobrih 3-barvanj povezav

v grafih GP (7, 3) in GP (11, 3), ki temeljita na konstrukciji 4.1.

Spomnimo se sedaj se primera iz 3. poglavja. Povezave grafa GP (11, 5) so tam

obarvane s stirimi barvami. Ker ta graf spada v skupino grafov iz razdelka 4.1, je

jasno, da se da njegove povezave dobro obarvati tudi s tremi barvami. Slika 4.4,

prikazuje vpet podgraf Γ′ iz konstrukcije 4.1 in pripadajoce dobro 3-barvanje tega

grafa. Na tem mestu pa omenimo se to, da je ta graf tudi primer, ki pokaze, da

obrat posledice 3.3 ne velja. Kot receno grafi GP (n, k), za katere je n ≡ 5 (mod 6) in

je k ∈ {2, n−12, n+1

2, n− 2}, nimajo hamiltonskega cikla. Graf GP (11, 5) res ustreza

tem karakteristikam, torej nima hamiltonskega cikla, je pa povezavno 3-obarvljiv.


Slika 4.3: Dobri 3-barvanji povezav grafov GP (7, 3) in GP (11, 3).

4.2 Predstavniki druge skupine

V drugi skupini so tisti predstavniki GP (n, k), za katere je n ≡ 3 (mod 4) in je k

sodo stevilo ali pa je n ≡ 1 (mod 4) in sta k in k−1 obe sodi stevili.

Konstrukcija 4.4. Naj bo Γ′ = (V,E ′) podgraf, kjer je E ′ = E1 ∪ E2 ∪ E3 ∪ E4,

pri tem pa je

E1 = {un−1u0, u0u1}E2 = {u2ju2j+1; 1 ≤ j ≤ (n−3)

2}

E3 = {u1v1, u2v2, . . . , un−1vn−1}E4 = {v2jkv(2j+1)k; 0 ≤ j ≤ n−1

2}

Tedaj je Γ′ vpet podgraf grafa GP (n, k) z mnozico povezav E ′.

Kot v prejsnjem razdelku je potrebno pokazati, da je graf Γ′, opisan v zgornji

konstrukciji, 2-regularen in da so njegove komponente povezanosti cikli sode dolzine.

Se prej pa si oglejmo vzorcno sliko konstrukcije grafa iz 4.4, ki je prikazana na sliki

4.5 z modro barvo.

Lema 4.5. Vpeti podgraf Γ′, opisan v konstrukciji 4.4, je 2-regularen.

Dokaz. Vsako vozlisce ui, 1 ≤ i ≤ n − 1, je sosedno s pripadajocim notranjim

vozliscem vi in pa z ui+1, ce je i sodo stevilo, oziroma z ui−1, ce je i liho stevilo.

Vozlisce u0 je sosedno z vozliscema un−1 in u1. Torej so v Γ′ vsa zunanja vozlisca

stopnje 2. Vsako vozlisce vi, kjer je 1 ≤ i ≤ n − 1, je sosedno s pripadajocim

vozliscem ui. Na tem mestu spomnimo, da notranje povezave vsa notranja vozlisca

v grafu GP (n, k) povezujejo v eno komponento lihe dolzine (ker je D(n, k) = 1).

Konstrukcijo smo podali tako, da v graf Γ′ dodamo vsako drugo povezavo tega cikla,

4.2. PREDSTAVNIKI DRUGE SKUPINE 19

Slika 4.4: Konstrukcija podgrafa Γ′ v GP (11, 5) in dobro 3-barvanje povezav tega

grafa.

zacensi z v0vk. Ker je notranja komponenta grafa GP (n, k) lihe dolzine, je jasno, da

sta povezavi v0vk in v0vn−k obe v Γ′. To dejstvo pa nam tudi pove, da sta to edini

dve notranji povezavi grafa GP (n, k), ki sta v Γ′ incidencni, zato je vsak vi, kjer je

1 ≤ i ≤ n− 1, soseden (poleg s pripadajocim ui) se z natanko enim od vozlisc vi+k

in vi−k. Vozlisce v0 je v Γ′ sosednje z v−k in vk. Vsa vozlisca grafa Γ′ so torej res

stopnje 2, zato je Γ′ 2-regularen.

Lema 4.5 nam pove, da so komponente povezanosti grafa Γ′ res cikli. Oglejmo

si nekaj konkretnih zgledov konstrukcije podgrafa Γ′.

Na sliki 4.6 sta prikazana vpeta podgrafa Γ′, ki smo ju s konstrukcijo 4.4 konstru-

irali v grafih GP (11, 4) in GP (15, 4). V obeh primerih je n ≡ 3 (mod 4). Tudi pri

grafih druge skupine se lahko zgodi, da je Γ′ kar hamiltonski cikel, kar lahko vidimo

pri grafu GP (11, 4). Podgraf Γ′ v grafu GP (15, 4) pa je sestavljen iz treh ciklov in

opazimo lahko, da so vsi sode dolzine (en cikel je dolzine 14, dva pa dolzine 8). Na

sliki 4.7 sta prikazani tudi konstrukciji podgrafa Γ′ v grafih GP (13, 4) in GP (21, 8).

V teh dveh primerih je n ≡ 1 (mod 4). Podgraf Γ′ je v GP (13, 4) sestavljen iz dveh

ciklov, v GP (21, 8) pa iz treh in vsi so sode dolzine.

Tudi v tem razdelku opazimo, da se podgrafi Γ′, dobljeni s konstrukcijo 4.4,

za razlicne predstavnike grafov druge skupine med seboj lahko precej razlikujejo.

Vcasih dobimo samo en cikel, vcasih je ciklov vec. Da bodo vse komponente pod-

grafa Γ′, dobljenega s konstrukcijo 4.4, vedno sode dolzine, ne glede na to iz koliko

komponent povezanosti je Γ′ sestavljen, nam pove naslednja lema. Preden pa jo

formalno zapisemo, opazimo, da je iz same konstrukcije lahko videti, da τ iz (2.2)

ohranja vsako izmed mnozic E1, E2, E3 in E4, torej je τ avtomorfizem grafa Γ′.



Kot receno, bomo tudi tokrat v dokazu uporabili cetverice vozlisc, ki smo jih vpe-

ljali na zacetku poglavja. Opazimo lahko, da z izjemo sestih vozlisc (u−1, u0, u1 in

v−1, v0, v1) vsako vozlisce grafa Γ′ pripada neki cetverici.

Slika 4.6: Konstrukcija grafa Γ′ v GP (11, 4) in GP (15, 4).

4.2. PREDSTAVNIKI DRUGE SKUPINE 21

Slika 4.7: Konstrukcija grafa Γ′ v GP (13, 4) in GP (21, 8).



Dokaz. Ker razen vozlisc ui, vi, kjer je i ∈ {0, 1, 2}, vsa vozlisca podgrafa Γ′

pripadajo cetvericam, ima lahko Γ′ kaksno liho komponento le, ce katero izmed teh

vozlisc lezi na lihi komponenti. Ker so v−1, u−1, u0, u1 in v1 vsa na isti komponenti,

je dovolj pogledati samo vozlisci u0 in v0. Ker sta umum+1 in v− k2v k

2edini povezavi,

ki ju τ fiksira, ima lahko Γ′ kaksno liho komponento le, ce Γ′ vsebuje obe zgornji

povezavi, u0 in v0 pa sta na razlicnih komponentah povezanosti Γ′.

Ce je n ≡ 3 (mod 4), je m liho stevilo, kjer je n = 2m+ 1. Torej povezave umum+1

po defeniciji ni v Γ′, kar pa glede na zgoraj pomeni, da sta vozlisci u0 in v0 vsebovani

na skupni komponenti sode dolzine. Ce pa je n ≡ 1 (mod 4), je m sodo stevilo. V

tem primeru sta v Γ′ vsebovani povezavi vk−1kv(k−1+1)k, kjer upostevamo, da je je

k−1k = 1, in ukuk+1, saj sta po predpostavki k in k−1 obe sodi stevili. Torej cikel,

ki vsebuje vozlisca v−1, u−1, u0, u1 in v1, vsebuje tudi vk+1, uk+1, uk, vk in v0.

Opazimo, da sta v tem primeru u0 in v0 vsebovani na isti komponenti povezanosti,

torej bo le-ta sode dolzine. Ker pa so vsa ostala vozlisca vsebovana na cetvericah,

je jasno, da so vse komponente povezanosti podgrafa Γ′, dobljenega s konstrukcijo

4.4, sode dolzine.

Ker nam lemi 4.5 in 4.6 zagotovita, da lahko s konstrukcijo 4.4 v predstavnikih

druge skupine dobimo vpet 2-regularen podgraf, katerega komponente povezanosti

so sode dolzine, so vsi ti grafi po izreku 3.2 povezavno 3-obarvljivi. Na slikah 4.8

in 4.9 si lahko ogledamo pripadajoca dobra 3-barvanja povezav grafov iz prejsnjega

zgleda.


Slika 4.8: Dobro 3-barvanje povezav grafov GP (11, 4) in GP (15, 4).


4.3 Predstavniki tretje skupine

Za zadnjo skupino grafov GP (n, k), ki smo jih studirali, je n ≡ 1 (mod 4), k je sodo

stevilo, njegov multiplikativni obrat k−1 pa je lih. Ker lahko v primeru, da je k−1 <n2, uporabimo konstrukcijo 4.1 za izomorfni graf GP (n, k−1), lahko privzamemo se

k−1 > n2. Podajmo konstrukcijo podgrafa Γ′.

Konstrukcija 4.7. Naj bo Γ′ = (V,E ′) graf, kjer je E ′ = E1 ∪E2 ∪E3, pri tem pa

je:

E1 = {u0u1, u2u3, u4u5, . . . , uk−2uk−1} ∪{uk−1uk, uk+1uk+2, . . . , un−k−2un−k−1, un−kun−k+1} ∪{un−k+1un−k+2, un−k+3un−k+4, . . . , un−3un−2}

4.3. PREDSTAVNIKI TRETJE SKUPINE 23

E2 = {uivi; 0 ≤ i ≤ n− 1, i /∈ {0, k − 1, n− k + 1}}E3 = {v0vk, v2kv3k, v4kv5k, . . . , v(n−k−1)kv(n−k−1+1)k} ∪{v(n−k−1+1)kv(n−k−1+2)k, v(n−k−1+3)kv(n−k−1+4)k, . . . v(k−1−2)kv(k−1−2+1)k} ∪{v(k−1−1)kv(k−1)k, v(k−1+1)kv(k−1+2)k, . . . , v−kv0}.Pri tem naj bralec opazi, da imamo v E3 povezave v−1vk−1, vk−1v2k−1, v1−2kv1−k in

v1−kv1. Glede na parnost stevil n, k in k−1, so vse tri podmnozice povezav ocitno

dobro definirane. Malce podrobneje si oglejmo samo podmnozico E3. V zacetku

razdelka, smo predpostavili, da je k−1 > n2, zato je res n − k−1 + 1 < k−1 − 1 (in s

tem n− k−1 < k−1 − 2). Torej je tudi mnozica E3 dobro definirana.

Konstrukcija 4.7 torej ne pokriva tistih predstavnikov GP (n, k), za katere je

n ≡ 1 (mod 4), k sodo stevilo, njegov multiplikativni obrat k−1 pa je lih in k−1 < n2.

Protiprimer je graf GP (17, 6), kjer se konstrukcija 4.7 ne izzide, v kar se lahko

bralec preprica sam. Kot receno to ni tezava, saj sta po trditvi 2.5 grafa GP (n, k)

in GP (n, k−1) izomorfna, zato nam dobro 3-barvanje povezav teh grafov podaja

konstrukcija 4.1, kjer vpet podgraf Γ′ konstruiramo v grafu GP (n, k−1).

Tudi v tem razdelku bomo pokazali, da je graf Γ′, opisan v konstrukciji 4.7,

2-regularen in da so njegove komponente povezanosti cikli sode dolzine. Preden to

dvoje zapisemo kot lemi in ju dokazemo, pa si na sliki 4.10 oglejmo vzorcno sliko

podgrafa Γ′ iz konstrukcije 4.7, ki je oznacen z modro barvo.


Lema 4.8. Vpet podgraf Γ′, opisan v konstrukciji 4.7, je 2-regularen.

Dokaz. Vozlisca ui, kjer je i ∈ {0, k− 1, n− k+ 1}, so sosedna z ui+1 in ui−1. Vsa

preostala vozlisca ui pa so sosedna z vi in se z ui+1 ali ui−1, odvisno od parnosti i in


od tega v katerem izmed intervalov [1, k−2], [k, n−k] in [n−k+2, n−1] je i. Torej

so vsa zunanja vozlisca res stopnje 2. Stopnjo preverimo se za notranja vozlisca.

Iz same konstrukcije je jasno, da so vozlisca vi, kjer je i ∈ {0, k − 1, n − k + 1},sosedna z vi+k in vi−k. Ocitno je tudi vsak vi, kjer je i ∈ Zn\{0, k − 1, n −k + 1}, soseden s pripadajocim zunanjim vozliscem ui. Za ta vozlisca je potrebno

pokazati, da so sosedna se s po natanko enim od notranjih vozlisc vi+k in vi−k. V

resnici je tudi to ocitno zaradi dejstva, da notranja vozlisca grafa GP (n, k) notranje

povezave povezujejo v eno komponento lihe dolzine (ker je D(n, k) = 1 in je n

liho stevilo). Konstrukcijo smo namrec podali tako, da pri pogoju, da zacnemo s

povezavo v0vk v Γ′ dodamo vsako drugo notranjo povezavo grafa GP (n, k), z dvema

izjemama. Ko pridemo do povezave vn−1vk−1, v Γ′ dodamo tudi vk−1v2k−1 in potem

zopet nadaljujemo z vsako drugo, dokler ne pridemo do povezave vn−2k+1vn−k+1, ko

dodamo tudi vn−k+1v1 in od tod prav tako nadaljujemo z vsako drugo povezavo.

Zadevo na koncu zakljucimo s povezavo vn−kv0, ki je v Γ′ incidencna z v0vk. Ti trije

pari povezav, torej vn−1vk−1 in vk−1v2k−1, vn−2k+1vn−k+1 in vn−k+1v1 ter vn−kv0 in

v0vk, so edini pari notranjih povezav grafa GP (n, k), ki so v Γ′ incidencni, zato je

res vsak vi, kjer je i ∈ Zn\{0, k − 1, n − k + 1}, poleg pripadajocega zunanjega

vozlisca ui soseden se z natanko enim izmed vozlisc vi+k in vi−k.Vsa vozlisca grafa

Γ′ so torej res stopnje 2, zato je Γ′ 2-regularen.

Lema 4.8 nam pove, da so komponente povezanosti grafa Γ′ res cikli. Konkretna

zgleda konstrukcije 4.7 sta predstavljena na sliki 4.11. Tudi v tem razdelku se Γ′

od primera do primera razlikuje. Bralec lahko opazi, da je v GP (13, 6) graf Γ′

hamiltonski cikel, v GP (21, 10) pa ni, a so njegove komponente povezanosti vseeno

sode dolzine. Po izreku 3.2 sta torej oba omenjena grafa povezavno 3-obarvljiva.

Ker pa ne vemo zagotovo ali bo Γ′ povezan ali ne, je tudi na tem mestu potrebno

podati formalen dokaz za to, da so vse njegove komponente povezanosti v vsakem

primeru sode dolzine.

V dokazu bomo tudi tokrat potrebovali dejstvo, da je τ iz (2.2) avtomorfizem

grafa Γ′. Ker je v Zn −(n − k + 1) = k − 1, je to povsem jasno iz konstrukcije

4.7. Potrebovali pa bomo tudi cetverice vozlisc. Iz konstrukcije je jasno razvidno,

da imamo le osemnajst vozlisc, ki ne pripadajo cetverici, namrec ui, vi, ui±1, vi±1 za

i ∈ {0, k − 1, n− k + 1}.



Dokaz. Podgraf Γ′ ima lahko kaksno komponento lihe dolzine le, ce katero od vozlisc

ui, vi, ui±1, vi±1 za i ∈ {0, k−1, n−k+1} lezi na lihi komponenti. Dovolj je pogledati

4.3. PREDSTAVNIKI TRETJE SKUPINE 25

Slika 4.11: Konstrukcija podgrafa Γ′ v GP (13, 6) in GP (21, 10).

le vozlisci u0 in v0, saj vozlisca vn−k+2, un−k+2, un−k+1, un−k, vn−k, v0, vk, uk, uk−1, uk−2

in vk−2 zagotovo lezijo na skupni komponenti povezanosti, prav tako pa tudi vozlisca

vn−k+1, v1, u1, u0, un−1, vn−1 in vk−1. Ce u0 in v0 lezita na skupnem ciklu, je le-ta sode

dolzine, zato predpostavimo, da lezita vsak na svojem ciklu. Potemtakem mora eden

vsebovati povezavo umum+1, drugi pa povezavo v− k2v k

2. Vendar pa povezava umum+1

zaradi sodosti m, po definiciji ni vebovana v Γ′, kar pripelje do protislovja. To po-

meni, da sta u0 in v0 na skupni komponenti povezanosti, ki je sode dolzine.

Lemi 4.8 in 4.9 nam torej povesta, da je Γ′, dobljen s konstrukcijo 4.7, res 2-

regularen in sestavljen iz unije sodih ciklov. To pa pomeni, da je vsak tak graf

po izreku 3.2 povezavno 3-obarvljiv. Preden zakljucimo to poglavje, podajmo se

pripadajoca primera dobrih 3-barvanja grafov iz slike 4.11. Predstavljeni sta na

sliki 4.12.



Ce zdruzimo rezultate vseh treh razdelkov, lahko zapisemo naslednji izrek.

Izrek 4.10. Naj bo n ≥ 7 poljubno liho naravno stevilo in 2 < k < n−12

tak, da je

D(n, k) = 1. Tedaj je graf GP (n, k) povezavno 3-obarvljiv.

Poglavje 5

Zakljucek

V diplomskem delu smo se ukvarjali s kromaticnim indeksom kubicnih grafov, pri

cemer smo se osredotocili predvsem na druzino posplosenih Petersenovih grafov

GP (n, k). Nekoliko povrsno lahko recemo, da smo kromaticni indeks dolocali za

grafe GP (n, k), kjer je n liho stevilo, stevili n in k pa sta si tuji. Pokazali smo, da

se v teh grafih (z eno izjemo) da najti dobro 3-barvanje povezav, kar smo dosegli

tako, da smo nasli vpet podgraf, izomorfen uniji sodih ciklov. Ceprav se morda zdi,

da je tak podgraf lahko najti, je potrebno kar nekaj iznajdljivosti. Obravnavane

grafe smo razdelili v 3 skupine in za vsako od njih podali konstrukcijo ustreznega

vpetega podgrafa, ki nam je omogocil,a da smo potem povezave grafa brez tezav

dobro obarvali s tremi razlicnimi barvami.

Obstaja se veliko posplosenih Petersenovih grafov, s katerimi se v diplomskem delu

nismo ukvarjali, zato lahko to diplomsko delo sluzi kot osnova za nadaljni studij.

Pri tem bralcu priporocamo Watkinsov clanek [9]. V diplomskem delu smo se oprli

tudi na dobro znani Vizingov izrek, ki nam kromaticni indeks kubicnih grafov omeji

med 3 in 4. Ker smo v tem diplomskem delu proucevali tiste kubicne grafe, za katere

je χ′(Γ) = 3, lahko studij nadaljujemo tudi tako, da se posvetimo tistim, za katere

je χ′(Γ) = 4. Takim grafom recemo snarki (pri cemer dodatno zahtevamo se to,

da nimajo tako imenovanih mostov). Najmanjsi snark je Petersenov graf GP (5, 2),

zato torej χ′(GP (5, 2)) = 4. Kot pokazejo rezultati clanka [9], skupaj z izrekom

4.10, je to pravzaprav edini posploseni Petersenov graf s kromaticnim indeksom 4.

27

28 POGLAVJE 5. ZAKLJUCEK

Literatura

[1] Alspach, B. (1983). The clasification of Hamiltonian Generalized Petersen

Graphs. Journal of Combinatorial Theory, B 34, 293-312.

[2] Castagna, F., Prins, G. (1972). Every Generalized Petersen Graph has a tait

coloring. Pacific journal of mathematics, 1, 53-58.

[3] Chiarelli, N. (2011). Vizingov izrek in snarki. Diplomsko delo, Koper: Univerza

na Primorskem, Pedagoska fakulteta.

[4] Holyer, I. (1981). The NP-Completness of Edge-Colouring. SIAM J. COMPUT,

Vol. 10, No. 1, 718-720.

[5] Kodric, K. (2012). Hamiltonskost posplosenih Petersenovih grafov. Diplomsko

delo, Ljubljana: Univerza v Ljubljani, Pedagoska fakulteta.

[6] Malnic, A. (2013). Zapiski pri predmetu algebrske strukture. Ljubljana: Pe-

dagoska fakulteta.

[7] Sparl, P. (2014). Zapiski pri predmetu abstraktna algebra. Ljubljana: Pedagoska

fakulteta.

[8] Sparl, P. (2017). Zapiski pri predmetu teorija grafov. Ljubljana: Pedagoska

fakulteta.

[9] Watkins E. M. (1969). A Theorem on Tait Colorings with an Application to the

Generalized Petersen Graphs. Journal of Combinatorial Theory, 6, 152-164.

29

Documents

POVEZAVNO 3-OBARVLJIVI GRAFI - uni-lj.si