4 面体（正３角錐）の重心〜重心を透視できる４面体づくり〜

４面体断面見取り図づくり

４面体の断面４面体を作る

• 右上図は、４面体 ABCD• 右下図は、４面体 ABCD を ABM

で切断し、 ４面体 ABCM と４面体 ABDM の二つに ２等分したもの

３垂線は一点で交わる

三角形の重心は中線を２：１に内分する点

• 左上△BCD の重心 H は、　　 BH ： HM ＝ 2 ： 1の点。

・左下４面体の一面△の重心

切断面で考える

切断面に補助線を引く

補助線を引いて推論する

△ABM において　 AG2=BG1 より AB // G2G1

よって　 △ ABM ∽ △G2G1M 　したがって　 AM ： G2M ＝ 3 ： 1=AB ： G2G1 　 （中点連結定理の拡張

により）さらに、△ ABG ∽ △G2G1G により　　　　 AG ： GG1 =3 ：１以降、　辺の長さを用いて計算して４面 　体の重心が垂線を３：１に内分す

る点であることを検証することになる。

三角錐の重心が３：１であることを計算で証明する

一辺を√２ a とすると、 BM は直角三角形 BCM より、 BM2+CM2=BC2

BM2=BC2- CM2 <*>△BCD において BG1:G1M=2:1 より =(√ ２ a) 2-(√ ２ a/2) 2 　 BG1=2BM/3=(2/3)(√6a/2 )= √6a/3 =3a2/2 (=AG2)BM=√3a/√2= √6a/2 (=AM) G1M=BM/3=(1/3)(√6a/2 )= √6a/6　　　　　　　　　　 <* へ続く >

垂線 AG1=BG2 は、 <**> AB:G2G1=3:1=AG:GG1 により AG1

2=AM2-G1M2 AG = (3/4)AG1=3/4×2a/√3=√3a/

2　 = (√6a/2 )2-(√6a/6)2 GG1=(1/4) AG1= 1/4×2a/√3=√3a/6 =4a2/3 　　　　　　　 よって AG1=2a/√3 　　　　　　　　　 (AG/GG1) = (√3/2) a/(√3/6) a　　　　 <** へ続く > 　　　　　　　 　　　 = √3/2×6/√3=3/1