PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE VIGAS BI-APOIADAS …

CENTRO UNIVERSITÁRIO CESMAC

JOSÉ SERGIO ROCHA BARBOSA MARQUES DA ROSA VALDEMIR ARAUJO AGRA JUNIOR

PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE VIGAS BI-APOIADAS UTILIZANDO ANÁLISE MATRICIAL POR UM

EQUACIONAMENTO MATEMÁTICO SEQUENCIAL ASSOCIADO COM A RESTRIÇÃO DA FLECHA

MACEIÓ-AL 2018/1

JOSÉ SERGIO ROCHA BARBOSA MARQUES DA ROSA VALDEMIR ARAUJO AGRA JUNIOR

PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE VIGAS BI-APOIADAS UTILIZANDO ANÁLISE MATRICIAL POR UM

EQUACIONAMENTO MATEMÁTICO SEQUENCIAL ASSOCIADO COM A RESTRIÇÃO DA FLECHA

Trabalho de conclusão de curso, apresentado como requisito final para a conclusão do curso de Engenharia Civil, do Centro Universitário CESMAC, sob orientação do Msc. Daniel Almeida Tenório.

MACEIÓ-AL 2018/1

REDE DE BIBLIOTECAS CESMAC

Evandro Santos Cavalcante

Bibliotecário CRB-4/1700

A994b Agra Junior, Valdemir Araujo

Pré-dimensionamento de vigas bi-apoiadas utilizando análise

matricial por um equacionamento matemático sequencial associado

com a restrição da flecha / Valdemir Araujo Agra Junior, José

Sergio Rocha Barbosa Marques da Rosa

. -- Maceió: 2018

46 f.: il.

TCC (Graduação em Engenharia civil) - Centro Universitário

CESMAC, Maceió - AL, 2018.

Orientador: Daniel Almeida Tenório

1. Concreto armado. 2. Pré-dimensionamento.

3. Vigar retangular. 4. Flecha.

I. Tenório, Daniel Almeida. II. Título.

CDU: 624.012.45

AGRADECIMENTOS

Primeiramente, agradecemos a Deus, por sempre nos guiar em nossas

escolhas e iluminar nossos caminhos.

Agradecemos à Instituição CESMAC, por toda estrutura que possibilitaram para

melhor aprendizado no nosso curso, pela preocupação na escolha dos docentes que

enriqueceram nossos conhecimentos e por sempre estarem a nossa disposição.

Agradecemos também a todos nossos professores por toda dedicação ao

passar seus ensinamentos. Agradecendo, especialmente, ao nosso orientador,

Daniel, que como professor e orientador compartilhou seus conhecimentos, sempre

com muita dedicação, não medindo esforços para nos ajudar na elaboração deste

trabalho.

Eu, José Sergio Rocha Barbosa Marques da Rosa, agradeço imensamente ao

meu pai e a minha mãe, Sergio e Madalena, por serem meus maiores exemplos, por

toda a dedicação que tiveram em minha criação, colocando minha educação sempre

em primeiro lugar, por todo o apoio em todas as minhas escolhas, por me ajudar de

todas as formas para concretização desta graduação e por todo amor e carinho. À

minha irmã, Bruna, por sempre ser minha amiga, companheira e por me ajudar em

tudo. À minha querida namorada, Karol, por toda ajuda neste trabalho, apoio,

paciência e carinho, por estar sempre ao meu lado em minhas decisões. À minha

dupla, Valdemir, por todo o companheirismo e amizade ao longo desses cinco anos,

por dividir comigo tudo de bom e ruim que aconteceu na nossa graduação e por

compartilhar seus conhecimentos neste trabalho.

Eu, Valdemir Araujo Agra Junior, agradeço imensamente a minha família, que

sempre me apoiou em todas as etapas de minha vida, e principalmente nesse período

de graduação. Em especial aos meus pais, Valdemir e Teresa Cristina, por cada

renúncia, sacrifício e apoio para me dar esta tão sonhada graduação. Agradeço

também aos meus avós que sempre me ajudaram no que estava ao alcance deles,

ao meu irmão, Paulo Victor, pelo carinho de vibrar a cada conquista. Ao meu avô

Tiquinho que sempre vibra e torce a cada conquista minha, e aguarda de forma mais

ansiosa que eu, para ver o seu neto como Engenheiro Civil. À minha dupla, Sergio,

pela ajuda no desenvolvimento deste trabalho, principalmente a paciência, o incentivo

e a amizade, que só foi fortalecida durante esta jornada.

PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE VIGAS BI-APOIADAS UTILIZANDO ANÁLISE MATRICIAL POR UM EQUACIONAMENTO MATEMÁTICO SEQUENCIAL

ASSOCIADO COM A RESTRIÇÃO DA FLECHA PRE-DESIGN OF ISOSTATIC BEAMS USING MATRIX ANALYSIS BY A SEQUENTIAL MATHEMATICAL EQUATION ASSOCIATED WITH THE

DEFLECTION RESTRICTION

José Sergio Rocha Barbosa Marques da Rosa; Graduando do curso de engenharia civil;

[email protected]. Valdemir Araujo Agra Junior;

Graduando do curso de engenharia civil; [email protected]. Daniel Almeida Tenório;

Engenheiro civil; [email protected].

RESUMO

Os procedimentos utilizados atualmente para o pré-dimensionamento advêm da experiência dos engenheiros projetistas ou de fórmulas antigas desenvolvidas para estruturas com forma e carregamentos bem definidos que relacionam um percentual do vão com a altura da viga e laje. Esses procedimentos podem ser falhos quando utilizados com lajes de formato irregular, carregamentos variáveis, carregamentos concentrados ou cargas uniformes de grande intensidade. O presente trabalho propõe a elaboração de um equacionamento matemático, utilizando a ferramenta computacional Maple, que segue uma sequência para pré-dimensionar vigas em concreto armado com seção retangular, baseada na NBR 6118:2014 considerando a seção fissurada, onde como resposta, será encontrada a altura útil da viga através de uma equação de restrição associada à flecha, bem como a armadura de aço para combater o efeito da flexão positiva, além de fazer uma análise matricial que teve por função seccionar a viga, aproximando ao máximo o valor obtido com os obtidos no pré-dimensionamento do software TQS. O algoritmo desenvolvido foi testado e os resultados obtidos foram satisfatórios.

PALAVRA-CHAVE: Concreto armado. Pré-dimensionamento. Viga. Retangular. Flecha.

ABSTRACT

The procedures currently used for the preliminary design come from the experience of structural engineers or from old formulas developed for structures with well-defined shapes and loads that relate a percentage of the span with the height of the beam and slab. These procedures can be flawed when used with irregularly shaped slabs, variable loads, concentrated loads or uniform loads of high intensity. The present work proposes the elaboration of a mathematical equation, using the computational tool Maple, that follows a sequence to pre-design beams in reinforced concrete with rectangular section based on NBR 6118:2014 considering the fissured section, as answer, will be found the useful height of the beam through an equation of restriction associated to the arrow, as well as the steel armature to combat the effect of the positive flexion, it will also pass through a matrix analysis that will split the beam in many parts, taking the obtained values as close as possible to the ones obtained in TQS. The developed algorithm was tested and the obtained results were acceptable.

KEYWORDS: Reinforced concrete. Pre-design. Rectangular. Beam. Deflection.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Seção transversal da viga..........................................................................13 Figura 2 – Elemento de seção retangular e diagramas de deformações e tensões na seção solicitada para flexão simples para concretos até C50, sem considerar a ductilidade..................................................................................................................13 Figura 3 – Elemento de seção retangular e diagramas de deformações com 𝓔𝒍𝒊𝒎 correspondente ao valor de x/d=0,45 e tensões na seção solicitada para flexão simples para concretos até C50, considerando o aumento da ductilidade...............................14 Figura 4 – Elemento de seção retangular e diagramas de deformações com correspondente ao valor de x/d=0,45 e tensões na seção solicitada para flexão simples para todas as classes de concreto, considerando o aumento da ductilidade..................................................................................................................14 Figura 5 – Relação entre a posição da linha neutra e a altura útil.............................17 Figura 6 – Deslocabilidades...................................................................................... 20 Figura 7 – Sistema hipergeométrico......................................................................... 20 Figura 8 – Configuração deformada e diagrama de momentos fletores................... 21 Figura 9 – Barra sem articulação..............................................................................22 Figura 10 – Barra com articulação na extremidade inicial.........................................22 Figura 11 – Barra com articulação na extremidade final.............................................23 Figura 12 – Barra com articulação nas duas extremidades........................................23 Figura 13 – Representação das forças generalizadas de uma barra no sistema global e no sistema local.......................................................................................................23 Figura 14 – Matriz de transformação por rotação.......................................................24 Figura 15 – Sistemas de coordenadas generalizadas adotados no método da rigidez direta...........................................................................................................................25 Figura 16 – Coeficientes de rigidez da 9ª e da 10ª coluna de uma matriz de rigidez global..........................................................................................................................26 Figura 17 – Espalhamento de matrizes de rigidez locais para a matriz de rigidez global..........................................................................................................................28 Figura 18 – Reações de engastamento perfeito axiais de barras prismáticas............29 Figura 19 – Reações de engastamento de barras prismáticas com força transversal uniformemente distribuída..........................................................................................30 Figura 20 – Reações de engastamento de barras prismáticas com força concentrada no meio do vão............................................................................................................30 Figura 21 – Reações de engastamento de barras prismáticas com força concentrada, momento concentrado e força transversal linearmente distribuída (West 1989).........31 Figura 22 – Diagonalização da linha e coluna da matriz de rigidez global correspondente ao grau de liberdade restrito..............................................................32 Figura 23 – Exemplificação de estrutura analisada....................................................35 Figura 24 – Exemplificação em 3D de viga modelada no TQS..................................41 Figura 25 – Gráfico comparativo da Ieq máxima........................................................43 Figura 26 – Gráfico comparativo da Ieq mínima........................................................43

LISTA DE EQUAÇÕES

Equação 1 – Equilíbrio dos momentos...................................................................... 15 Equação 2 – Força atuante no concreto.................................................................... 15 Equação 3 – Braço de alavanca................................................................................ 15 Equação 4 – Momento externo de cálculo............................................................... 15 Equação 5 – Posição da linha neutra...................................................................... 15 Equação 6 – Força na armadura............................................................................. 15 Equação 7 – Área de aço para tensão atuante.......................................................... 15 Equação 8 – Área de aço para tensão de escoamento........................................... 16 Equação 9 – Relação entre a linha neutra e a altura útil......................................... 16 Equação 10 – Relação entre a linha neutra e a altura útil para o limite do domínio 2 e em todo domínio 3..................................................................................................... 17 Equação 11 – Fator da flecha adicional diferida........................................................ 18 Equação 12 – Taxa de armação de compressão...................................................... 18 Equação 13 – Variação do coeficiente em função do tempo..................................... 18 Equação 14 – Coeficiente em função do tempo para t≤70 meses.............................18 Equação 15 – Coeficiente em função do tempo para t>70 meses.............................18 Equação 16 – Idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração.......................................................................................................................18 Equação 17 – Rigidez equivalente............................................................................. 19 Equação 18 – Sistema de equações de equilíbrio..................................................... 21 Equação 19 – Deslocabilidade do sistema................................................................ 21 Equação 20 – Reações de apoio............................................................................... 35 Equação 21 – Definição da distância dos nós no trecho central............................... 35 Equação 22 – Definição da distância dos nós no trecho intermediário..................... 35 Equação 23 – Definição da distância dos nós no trecho dos apoios......................... 35 Equação 24 – Momento positivo máximo referente a carga permanente.................. 35 Equação 25 – Centro de gravidade para seção retangular....................................... 36 Equação 26 – Cálculo da linha neutra para seção retangular no estádio I................ 36 Equação 27 – Área de aço para linha neutra na mesa, com a peça no estádio I...... 36 Equação 28 – Cálculo da linha neutra para seção retangular no estádio II............... 36 Equação 29 – Cálculo do momento de inércia para o estádio II................................ 37 Equação 30 – Cálculo do centro de gravidade para determinação do momento de fissuração................................................................................................................... 37 Equação 31 – Momento de inércia a flexão............................................................... 37 Equação 32 – Momento de fissuração....................................................................... 37 Equação 33 – Cálculo da rigidez equivalente............................................................ 38 Equação 34 – Cálculo da flecha máxima................................................................... 38 Equação 35 – Altura útil corrigida.............................................................................. 38 Equação 36 – Matriz de rigidez local......................................................................... 39 Equação 37 – Vetor deslocamento............................................................................ 40

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Valores do coeficiente de 𝜺 em função do tempo................................... 18 Tabela 2 – Tabela de dados utilizados para viga analisada..................................... 42 Tabela 3 – Tabela comparativa de dados encontrados no pré-dimensionamento com relação aos obtidos no TQS....................................................................................... 42 Tabela 4 – Tabela comparativa das flechas encontradas no pré-dimensionamento com relação às obtidas no TQS................................................................................. 44 Tabela 5 – Tabela comparativa das áreas de aço encontradas no pré-dimensionamento com relação às obtidas no TQS................................................... 44

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO .................................................................................................... 10

1.1 Considerações iniciais ...................................................................................... 10

1.2 Objetivos ............................................................................................................ 11

1.2.1 Objetivo geral ................................................................................................... 11

1.2.2 Objetivos específicos........................................................................................ 11

2 REFERENCIAL TEÓRICO .................................................................................. 12

3 METODOLOGIA .................................................................................................. 34

4 RESULTADOS E DISCUSSÕES ........................................................................ 41

5 CONCLUSÃO ...................................................................................................... 45

REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 46

10

1 INTRODUÇÃO

1.1 Considerações iniciais

As estruturas de concreto armado são o tipo de estrutura mais aplicadas

mundialmente na construção civil. Sua larga aplicação se dá pela moldabilidade a

formas diversas, bem como a sua interação simbiótica entre os materiais constituintes:

concreto e aço. O concreto atende às diferentes formas estruturais, apresenta preço

competitivo e boa resistência a compressão, já o aço atua onde o concreto é menos

resistente, ou seja, na capacidade de resistir aos esforços de tração. O aço está sujeito

à deterioração quando em contato com a atmosfera, sendo protegido pelo concreto

que o reveste. Juntos possibilitam resistir a esforços de compressão e tração de forma

durável e segura.

A boa concepção de uma estrutura de concreto armado se baseia numa

distribuição dos pilares de forma alinhada na horizontal e vertical quando vistos em

planta baixa, e vigas que se apoiem diretamente a eles, princípio conhecido como o

"menor caminho das cargas". Uma segunda fase relaciona-se com as dimensões

iniciais dos elementos, ou seja, pré-dimensionamento. Os procedimentos utilizados

atualmente para o pré-dimensionamento advêm da experiência dos engenheiros

projetistas ou de fórmulas antigas desenvolvidas para estruturas com forma e

carregamentos bem definidos, que relacionam um percentual do vão como a altura da

viga e laje, esses procedimentos podem ser falhos quando se tem lajes com formato

irregular, carregamentos variáveis, carregamentos concentrados ou cargas uniformes

de grande intensidade.

Com a definição das dimensões dos elementos, a partir do pré-

dimensionamento, parte-se para verificar os estados limites da estrutura, o de serviço

e último. O de serviço está associado com a verificação da fissuração e da flecha,

essas verificações podem ser feitas por diversos métodos, o mais utilizado nos

softwares de cálculo e dimensionamento, estão baseados no método dos

deslocamentos, onde tem por objetivo, a obtenção dos deslocamentos dos nós

adotados para a estrutura e por conseguinte seus esforços internos.

11

1.2 Objetivos

1.2.1 Objetivo geral

Desenvolver um método de pré-dimensionamento de vigas isostáticas com

seção retangular com qualquer carregamento linear uniformemente distribuído por

análise matricial através de um equacionamento matemático sequencial, utilizando

como restrição a flecha, segundo recomendações da NBR 6118:2014.

1.2.2 Objetivos específicos

Realizar um apanhado bibliográfico acerca dos modelos de cálculo e normas

técnicas vigentes sobre o pré-dimensionamento de vigas.

Estudar obtenção de deslocamentos e esforços em vigas por análise matricial.

Acoplar o pré-dimensionamento desenvolvido por Rosa (2016) em uma análise

matricial.

Possibilitar maior flexibilidade e precisão no pré-dimensionamento de vigas,

que atualmente são feitas manualmente pelos projetistas.

12

2 REFERENCIAL TEÓRICO

De acordo com Graziano (2005), o concreto armado é uma combinação de dois

materiais bem conhecidos pela humanidade, ou seja, o concreto e o aço, sendo este

normalmente utilizado para suprir a deficiência do concreto em regiões tracionadas.

As origens do concreto, em sua forma mais primitiva, remontam ao império egípcio e

romano, sendo hoje o segundo material mais consumido pelo homem, superado

apenas pela água. Sua história confunde-se com a do cimento, que, adicionado de

água, atua como aglomerante necessário para a união dos materiais constituintes do

concreto, costumeiramente pedra e areia, denominados agregados. O cimento, em

sua forma moderna, foi patenteado em 1824, por James Parker e Joseph Aspdin, com

a denominação de Cimento Portland.

Estima-se que no ano de 2009 foram consumidos aproximadamente 11 bilhões

de toneladas de concreto (PEDROSO, 2009).

2.1 Vigas

De acordo com a NBR 6118:2014 as vigas são elementos lineares em que a

flexão é preponderante. Em construções prediais, as vigas desempenham papel

primordial, por meio delas é que as cargas da laje são conduzidas até os pilares.

Portanto para projetar vigas, o engenheiro deve desenvolver diagramas para esforços

cortantes e momento, no qual é possível determinar a magnitude dos valores máximo

das solicitações. E por último, verificar se as deflexões estão dentro dos limites

especificados pela norma, evitando assim, que futuramente elas venham a fissurar

exageradamente e possivelmente danificar a estrutura.

Para o pré-dimensionamento de vigas, é possível encontrar as alturas das

vigas a partir das seguintes expressões: para tramos internos, ℎ𝑒𝑠𝑡 =𝑙𝑜

12; tramos

externos ou vigas bi-apoiadas, ℎ𝑒𝑠𝑡 =𝑙𝑜

10; balanços, ℎ𝑒𝑠𝑡 =

𝑙𝑜

5. E, para armadura

longitudinal em uma única camada, a relação entre a altura total e a altura útil é dada

pela seguinte expressão: ℎ = 𝑑 + 𝑐 + ɸ𝑡 + ɸ𝑙 2⁄ , onde c é o cobrimento, ɸt diâmetro

dos estribos e ɸl o diâmetro das barras longitudinais (PINHEIRO, 2007).

13

Figura 1 – Seção transversal da viga

Fonte: Pinheiro, 2007, p.39.

2.2 Dimensionamento de flexão de vigas com seção retangular

Antes de iniciar um dimensionamento para seção sob flexão simples, é

adequando indicar as possibilidades de como se comporta a seção, quanto à

ductilidade. A Figura 2 é indicada a situação para seção retangular, submetida à flexão

simples, com as possíveis deformações, para concretos de classe até C50, sem

considerar a ductilidade (x/d depende da deformação específica de cálculo -ε𝑦𝑑- do

aço e do concreto) (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2014).

Figura 2 - Elemento de seção retangular e diagramas de deformações e tensões na

seção solicitada para flexão simples para concretos até C50, sem considerar a ductilidade.

Fonte: Carvalho; Figueiredo Filho, 2014, p.126.

A Figura 3 indica a mesma situação, porém no diagrama de deformações

ε𝑦𝑑 foi substituído por ε𝑙𝑖𝑚 , que corresponde ao valor x/d = 0,45 imposta pela

NBR6118:2014 para aumentar a ductilidade do elemento.

14

Figura 3 – Mesma situação da Figura 2 com 𝛆𝒍𝒊𝒎 correspondente ao valor de

x/d=0,45, imposta pela NBR 6118:2014 (aumento da ductilidade). Fonte: Carvalho; Figueiredo Filho, 2014, p.127.

Para situação de elemento de seção retangular sob flexão simples, mas com

diagramas de deformações e tensões para todas as classes de concreto; os valores

de ε𝑙𝑖𝑚, ε𝑐𝑢, α e λ, devem ser empregados em função da classe do concreto e das

mesmas condições de ductilidade (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2014).

Figura 4 – Mesma situação da Figura 3, mas para todas as classes de concreto.

Fonte: Carvalho; Figueiredo Filho, 2014, p.127.

A dedução das fórmulas de dimensionamento de elementos de seção

retangular para concretos até C50, consiste primeiramente conhecer o fck, b𝑤, d, o

momento de cálculo Md e, sequencialmente, determina-se a área da armadura

longitudinal necessária (As) para que o elemento com seção transversal retangular

resista a esse momento. Para outras classes, adequa a equação colocando

parâmetros da classe desejada.

a) Equilíbrio da seção:

15

Equilíbrio das forças atuantes normais à seção transversal: por não haver força

externa, a força atuante no concreto (Fc) deve ser igual a força atuante na

armadura (Fs) (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2014).

Equilíbrio dos momentos: o momento das forças atuantes internas, em qualquer

ponto (neste caso, em relação ao centro de gravidade da armadura) deve ser

igual ao momento externo de cálculo:

ƩM = Md → Md = Fc. z (1)

b) Posição da linha neutra (x):

Sabendo a posição da linha neutra, é possível conhecer o domínio em que a

peça está trabalhando e calcular a resultante das tensões de compressão do

concreto (Fc) e o braço de alavanca:

Fc = (0,85 . fck). (bw). (0,8 . x) (2)

𝑧 = 𝑑 − 0,4 . 𝑥 (3)

Colocando (2) e (3) na equação (1):

Md = (0,68. x. d − 0,272. x2). bw. fcd (4)

Onde x corresponde a posição da linha neutra, na qual a Equação (11) é

fundamental para resolução do problema.

x = 0,68 . d ± √(0,68d)2−4 . 0,272 .(

Md

bw . fcd)

0,544 (5)

c) Cálculo da área necessária de armadura (As):

Com o valor de x determinado acima, encontra-se As. A força na armadura (Fs)

vem do produto da área de aço (As) pela tensão atuante no aço (fs), como exposto na

Equação (6): (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2014).

𝑀𝑑

𝑧= 𝐹𝑠 = 𝑓𝑠. 𝐴𝑠 (6)

Resulta:

As = Md

z .fs (7)

16

Caso a peça esteja trabalhando nos domínios 2 ou 3, para um melhor

aproveitamento da armadura, tem-se εs ≥ εyd , resultando para a tensão na

armadura a de escoamento ( fs = fyd) ; caso contrário, retira o valor de 𝜀𝑠 , do

diagrama de tensão x deformação do aço e calcula-se fs, porém a peça trabalharia no

domínio 4, o que não é possível. A equação ficará: (CARVALHO; FIGUEIREDO

FILHO, 2014).

As = Md

z . fyd (8)

Verificação do domínio em que a peça atingirá o estado limite último.

Tendo obtido o valor de x, no qual define a posição (profundidade) da linha

neutra, é possível verificar em que domínio a peça atingirá seu estado limite último. O

ideal é que a peça trabalhe no domínio 3, o domínio 2 também é aceitável, mas parte

do domínio 3 e 4 devem ser evitados, segundo a NBR 6118:2014 (CARVALHO;

FIGUEIREDO FILHO, 2014).

É possível saber em que domínio a seção está trabalhando, se a seção está

trabalhando no domínio 3 e se a armadura atingiu sua deformação de escoamento

com a relação entre a posição da linha neutra e as deformações.

Relação entre deformações: Na Figura 6, se tem o diagrama de

deformações, onde é possível encontrar a relação entre a linha neutra (x) e a altura

útil (d):

𝑥

𝜀𝑐=

𝑑

𝜀𝑐+ 𝜀𝑠→

𝑥

𝑑=

𝜀𝑐

𝜀𝑐+ 𝜀𝑠 (9)

17

Figura 5 – Relação entre a posição da linha neutra e a altura útil. Fonte: Carvalho; Figueiredo Filho, 2014, p.129.

Posição da linha neutra

No limite do domínio 2 e em todo domínio 3, a deformação específica do

concreto é 𝜀𝑐 = 0,0035. Adicionando esse valor na equação (9), é obtida

a seguinte equação (10):

𝑥

𝑑=

0,0035

0,0035+ 𝜀𝑠 (10)

Segundo Carvalho e Figueiredo Filho (2014):

Conclui-se que, para uma seção conhecida, a posição da linha neutra, no domínio 3, depende apenas da deformação específica do aço, e o limite entre os domínios 3 e 4 depende do tipo de aço, caracterizado pela deformação

específica de escoamento de cálculo do aço ( 𝜀𝑦𝑑 ). Com as novas

especificações da norma, não é mais possível usar os valores do domínio 3 que sejam superiores a 𝑥 = 0,45. 𝑑. Desta forma, não cabe mais o estudo do limite entre o domínio 3 e 4.

2.3 Cálculo da flecha

Faz-se necessário a verificação da flecha, já que uma das preocupações com

a mesma, é que não haja um desconforto para o usuário com a laje ou viga

deformando-se excessivamente, evitando uma grande flexão que geralmente ocorre

no meio do elemento.

A verificação da flecha também é importante para evitar que ocorram fissuras

nas paredes de fechamento e trincas em janelas. Uma estrutura com flecha pequena,

18

é um forte indicativo de que se tem baixa abertura de fissuras nas vigas e lajes,

consequentemente o aço terá uma durabilidade maior, pois para o mesmo enferrujar

é necessário contato com a atmosfera que pode ocorrer tanto através da própria

porosidade do concreto quanto com o acometimento de fissuras na estrutura.

De acordo com a NBR 6118:2014 a flecha adicional diferida, decorrente das

cargas de longa duração em função da fluência, pode ser calculada de maneira

aproximada pela multiplicação da flecha imediata pelo fator αf dado pela equação (11):

𝛼𝑓 =∆𝜀

1+50.𝜌′ (11)

Onde:

𝜌′ =𝐴𝑠 ′

𝑏𝑑 (12)

E, 𝜀 é um coeficiente em função do tempo, que pode ser obtido diretamente na

Tabela 1 ou ser calculado pelas expressões (13), (14) e (15):

∆𝜀 = 𝜀(𝑡) − 𝜀(𝑡𝑜) (13)

𝜀(𝑡) = 0,68 (0,996𝑡 )𝑡0,32 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≤ 70 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 (14)

𝜀(𝑡) = 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 > 70 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 (15)

Tabela 1 – Valores do coeficiente de 𝜀 em função do tempo.

Tempo (t)

meses0 0,5 1 2 3 4 5 10 20 40 ≥70

Coeficiente

ξ (t)0 0,54 0,64 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89 2

Fonte: NBR 6118, 2014, p. 145.

Sendo:

𝑡= tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida;

𝑡0 = idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração.

No caso de parcelas da carga de longa duração serem aplicadas em idades

diferentes, pode-se tomar 𝑡𝑜 o valor ponderado como mostra a equação (16):

𝑡0=

∑ 𝑃𝑖 𝑡𝑜𝑖∑ 𝑃𝑖

(16)

19

Onde 𝑃𝑖 representa as parcelas de cargas, 𝑡𝑜 é a idade em que se aplicou cada

parcela 𝑃𝑖, expressa em meses.

O valor da flecha total deve ser obtido multiplicando a flecha imediata por

(1+𝛼𝑓 ).

A NBR 6118:2014 estabelece a expressão (17):

(𝐸𝐼)𝑒𝑞 = 𝐸𝑐𝑠 {(𝑀𝑟

𝑀𝑎) . 𝐼𝑐 + [1 − (

𝑀𝑟

𝑀𝑎) ³] . 𝐼𝐼𝐼} ≤ 𝐸𝑐𝑠 . 𝐼𝑐 (17)

Para o cálculo da rigidez equivalente, onde 𝐼𝑐 é o momento de inércia da seção

bruta de concreto, 𝐼𝐼𝐼 o momento de inércia da seção fissurada (estádio II), 𝑀𝑎 o

momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento máximo no vão, para

vigas biapoiadas ou contínuas, e momento no apoio para balanços, para a

combinação de ações considerada nessa avaliação, 𝑀𝑟 o momento de fissuração,

que deve ser reduzido à metade, no caso de barras lisas e 𝐸𝑐𝑠 o módulo de

elasticidade secante do concreto.

2.4 Método dos deslocamentos

Segundo Martha (2010), o método dos deslocamentos pode ser considerado

como o método dual do Método das Forças. Em ambos os métodos a solução de uma

estrutura considera os três grupos de condições básicas da análise estrutural:

condições de equilíbrio, condições de compatibilidade entre deslocamentos e

deformações e condições impostas pelas leis constitutivas dos materiais.

Portanto a formulação matemática do método das forças e dos deslocamentos

é bastante semelhante, devendo a escolha do método de análise incidir num ou noutro

conforme seja mais vantajoso.

O método dos deslocamentos pode ser aplicado quer as estruturas sejam

isostáticas quer sejam hiperestáticas sendo especialmente útil na análise das

segundas, quando o grau de indeterminação estático é elevado. Este método é melhor

adaptável à programação automática que o método das forças, porque nele todos os

deslocamentos são restringidos.

20

Numa primeira fase determina-se o grau de indeterminação cinemática e

escolhe-se um sistema de coordenadas (conforme mostrado na Figura 6) para que se

possa identificar a posição e a direção dos deslocamentos dos nós.

Figura 6 – Deslocabilidades.

Fonte: Martha, 2010, p.310.

Em seguida são introduzidas forças de restrição em número igual ao grau de

indeterminação cinemática (número de restrições necessárias para eliminar os

deslocamentos dos nós da estrutura), conforme mostra a Figura 7 que impedem os

deslocamentos dos nós (as forças são do mesmo tipo, sentido e direção dos

deslocamentos impedidos).

Figura 7 – Sistema hipergeométrico.


As forças de restrição podem ser determinadas somando as forças de fixação

dos extremos das barras convergentes nos nós (um a um). Tais forças devem impedir

os deslocamentos para qualquer tipo de ação externa, quer sejam cargas, variações

de temperatura, pré-esforços etc. Estas ações podem ser consideradas

separadamente ou em conjunto.

Se na estrutura que está sendo analisada existir algum deslocamento prescrito,

por exemplo, um assentamento de apoio, as forças de restrição correspondentes ao

impedimento deste deslocamento devem ser considerados nesta etapa.

A estrutura é, então, deformada de tal modo que numa das coordenadas

generalizadas o deslocamento seja unitário e nulo em todas as outras, Figura 8. As

forças necessárias para levar a estrutura a esta configuração são então calculadas

sendo o procedimento repetido para cada uma das restantes coordenadas.

21

Figura 8 – Configuração deformada e diagrama de momentos fletores.


Para se resolver a estrutura pelo Método dos Deslocamentos, são impostas

condições de equilíbrio que determinam que os momentos externos totais introduzidos

pelas chapas fictícias sejam nulos. Utilizando a superposição dos casos básicos,

essas condições de equilíbrio resultam no seguinte sistema de equações de equilíbrio:

{𝜷𝟏𝟎 + 𝑲𝟏𝟏. 𝑫𝟏 + 𝑲𝟏𝟐. 𝑫𝟐 = 𝟎𝜷𝟐𝟎 + 𝑲𝟐𝟏. 𝑫𝟏 + 𝑲𝟐𝟐. 𝑫𝟐 = 𝟎

⇒ {𝜷𝟏𝟎

𝜷𝟐𝟎}+[

𝑲𝟏𝟏 𝑲𝟏𝟐

𝑲𝟐𝟏 𝑲𝟐𝟐].{

𝑫𝟏

𝑫𝟐}={

𝟎𝟎

} (18)

No caso geral de uma estrutura com n deslocabilidades, pode-se escrever:

{𝜷𝟎} + [𝑲]{𝑫} = {𝟎} (19)

Sendo:

{𝜷𝟎} → vetor dos termos de carga;

[𝑲] → matriz de rigidez global;

{𝑫} → vetor das deslocabilidades.

Os valores arbitrados para as incógnitas no sistema principal podem ser

quaisquer, pois os valores finais encontrados são os fatores-escala tais que corrigem

os valores arbitrados, de tal forma a serem satisfeitas as equações de compatibilidade

estática do sistema principal com a estrutura dada. O sistema de equações de

compatibilidade estática do método das deformações pode ser escrito diretamente,

22

pois tem o aspecto inicial idêntico ao do sistema de equações de compatibilidade

elástica do método das forças.

2.5 Matriz de rigidez de barra prismática

Essa seção mostra matrizes de rigidez de barra prismática no sistema de eixo

locais para diferentes condições de extremidade.

São consideradas quatro tipos de condições de extremidade: condição de

extremidade de barra sem articulação (Figura 9); condição de barra com articulação

apenas na extremidade inicial (Figura 10); condição de barra com articulação apenas

na extremidade final (Figura 11); condição de barra com articulação nas duas

extremidades (Figura 12).

Figura 9 – Barra sem articulação.


Figura 10 – Barra com articulação na extremidade inicial.


23

Figura 11 – Barra com articulação na extremidade final.


Figura 12 – Barra com articulação nas duas extremidades.


2.6 Matriz de rotação

Uma matriz no sistema de referência (f1, f2 , f3), para ser trazida para o sistema

de referência (f1’, f2’, f3’) ), conforme mostra a Figura 13, precisa ser multiplicado por

uma matriz de mudança de coordenadas [ R ].

Figura 13 – Representação das forças generalizadas de uma barra no sistema

global e no sistema local. Fonte: Martha, 2010, p.424.

É possível criar a matriz de transformação de coordenada [R], por ser a transformação

do sistema global para o local constituído pela rotação independente de dois sistemas

24

de referência, na qual resulta na Figura 14. Uma observação importante é que uma

propriedade desta matriz [R], é que sua inversa é igual a sua transposta, pois a

multiplicação dela pela sua transposta é igual a uma matriz identidade.

Figura 14 – Matriz de transformação por rotação. Fonte: Martha, 2010, p.424.

Onde β é o ângulo entre a referência dos sistemas global e local, conforme

ilustra a Figura 13.

Uma vantagem óbvia desta maneira de obter a matriz de rigidez da barra no

sistema global é o fato de ela ser montada a partir de uma matriz padrão, alterada

apenas pelo ângulo β, de fácil obtenção quando se conhecem as coordenadas dos

nós e a incidência das barras, ou seja, seu nó inicial e seu nó final, definindo o eixo x.

2.7 Associação da matriz de rigidez local no sistema global

Um dos objetivos mais marcantes do método dos deslocamentos é a soma de

contribuições de coeficientes de rigidez locais das barras para compor os coeficientes

de rigidez globais da estrutura. Para considerar a influência de uma barra na matriz

de rigidez global, é preciso transformar as propriedades mecânicas da barra, que são

definidas naturalmente pelos coeficientes de rigidez no seu sistema de eixos locais,

para o sistema de coordenadas generalizadas globais.

Para isso, é realizado uma análise entre o sistema global com o sistema local

conforme Figura 15.

25

Figura 15 – Sistemas de coordenadas generalizadas adotados no método da rigidez direta.


2.8 Montagem da matriz de rigidez global

O método dos deslocamentos determina a matriz de rigidez global de um

modelo por superposição de casos básicos. Em cada caso básico, é imposta uma

configuração deformada que isola o efeito de um grau de liberdade global. Pode-se

dizer que esse procedimento faz a montagem da matriz de rigidez global por coluna,

pois a j-ésima coluna da matriz de rigidez [k] de uma barra corresponde ao conjunto

de forças e momentos que atua nas direções das coordenadas generalizadas globais

para equilibrar a estrutura quando se impõe uma configuração deformada com grau

de liberdade 𝐃𝐣 = 1. Por exemplo, a Figura 16 mostra os coeficientes da 9ª e da 10ª

coluna da matriz de rigidez global de um pórtico genérico, que correspondem,

respectivamente, à imposição de 𝐃𝟗 = 1 e 𝐃𝟏𝟎 = 1.

26

Figura 16 – Coeficientes de rigidez da 9ª e da 10ª coluna de uma matriz de rigidez

global. Fonte: Martha, 2010, p.426.

Observando que o modelo da Figura 16 está solto no espaço, isto significa que

a matriz de rigidez global está sendo montada levando em conta todos os graus de

liberdade, inclusive os que podem estar com restrições de apoio. O procedimento de

montagem da matriz de rigidez global [K] por coluna é adequado para uma resolução

manual. Porém, esse algoritmo não é o mais adequado para uma implementação

computacional. O procedimento característico do método da rigidez direta é o da

montagem da matriz de rigidez por barra. Tal algoritmo monta a matriz de rigidez

global [K] de forma direta, somando a contribuições das matrizes de rigidez local das

barras, uma de cada vez, o que fora explicado anteriormente. Quando se impõe o grau

de liberdade D9 = 1, somente as barras com índices 1 e 3 são mobilizadas. Essas duas

barras são adjacentes ao nó associado a D9. Nesse caso, a barra com índice 2 não

sofre deformação alguma e, portanto, não contribui para a 9ª coluna da matriz de

rigidez global. De maneira análoga, somente as barras com índices 2 e 3 são

mobilizadas pela configuração deformada imposta por D10 = 1, sendo que a barra com

índice 1 não contribui para a 10ª coluna de [K].

Os coeficientes da matriz de rigidez local [k] de uma barra contribuem apenas

para os termos da matriz de rigidez global [K] associados às coordenadas

generalizadas globais dos nós inicial e final da barra. Tal afirmação parte do princípio

que não se considera restrição alguma nas deformações das barras, como, por

exemplo, a consideração de barras inextensíveis. Dessa forma, a cada nó de um

pórtico plano, são associados exatamente três graus de liberdade. Portanto, a

27

informação principal para a montagem da matriz de rigidez global a partir das matrizes

de rigidez das barras é o relacionamento entre as coordenadas generalizadas locais

de cada barra com as coordenadas generalizadas globais. Notando que só faz sentido

estabelecer esse relacionamento se as coordenadas generalizadas locais e globais

estiverem no mesmo sistema de eixos. Por isso, é preciso transformar as matrizes de

rigidez das barras dos sistemas locais para o global. Essencialmente, o

relacionamento entre coordenadas generalizadas locais e globais é uma garantia de

satisfação das condições de compatibilidade interna. Isso ocorre porque a associação

de coordenadas generalizadas locais (que se correspondem em barras adjacentes)

com uma única coordenada generalizada global é, na verdade, uma imposição de

compatibilidade entre componentes de deslocamento ou rotação das barras que se

conectam. Como no método dos deslocamentos, o método da rigidez direta trabalha

intrinsecamente satisfazendo condições de compatibilidade em todas as etapas da

metodologia. A Figura 17 mostra um exemplo para explicar como é feito o

relacionamento entre coordenadas generalizadas locais e globais. As matrizes de

rigidez locais das barras no sistema global são ilustradas na figura em separado, com

o índice da barra identificando cada matriz. Nos desenhos representativos das

matrizes, somente os coeficientes de rigidez locais não nulos são mostrados.

28

Figura 17 – Espalhamento de matrizes de rigidez locais para a matriz de rigidez

global. Fonte: Martha, 2010, p.428.

29

2.9 Reações de engastamento de barra prismática para carregamentos axiais

e transversais

A determinação das reações de engastamento perfeito, de uma barra

prismática sem articulação (biengastada), solicitada por um carregamento transversal

genérico, é feita através do teorema de Betti, seguindo um procedimento descrito por

Felton e Nelson. A Figura 18 mostra as reações de engastamento axiais de barras

prismáticas submetidas a uma força concentrada axial e a uma força distribuída

linearmente.

Figura 18 – Reações de engastamento perfeito axiais de barras prismáticas.


As Figuras 19, 20 e 21 mostram as reações de engastamento de barras

prismáticas submetidas a carregamentos transversais. As forças transversais

aplicadas têm sentido inverso ao sentido do eixo local y.

30

Figura 19 – Reações de engastamento de barras prismáticas com força

transversal uniformemente distribuída. Fonte: Martha, 2010, p.292.

Figura 20 – Reações de engastamento de barras prismáticas com força concentrada

no meio do vão. Fonte: Martha, 2010, p.293.

31

Figura 21 – Reações de engastamento de barras prismáticas com força

concentrada, momento concentrado e força transversal linearmente distribuída (West 1989).


As expressões para determinar reações de engastamento de barras isoladas

solicitadas por carregamentos externos são exatas para o caso de barras com seções

transversais que não variam ao longo do comprimento. Fato que ocorre devido aos

campos de deslocamentos externos utilizados no sistema auxiliar para a aplicação do

teorema de Bettique são proporcionais às funções de forma, e correspondem a

soluções exatas do campo de deslocamentos para barras com seção transversal

constante.

2.10 Inserção de um apoio elástico com valor muito alto do coeficiente de

rigidez

Este procedimento usa um artifício que soma ao termo da diagonal da matriz

[K], correspondente ao grau de liberdade com recalque de apoio prescrito, um

coeficiente de rigidez fictício 𝐊𝐠 com valor muito grande (por exemplo, 𝟏𝟎𝟏𝟎𝟎 vezes o

maior valor entre os termos da diagonal principal de [K]), como se fosse um apoio

32

elástico. O termo correspondente do vetor {F} é substituído por um valor igual a 𝐊𝐠

vezes o valor do recalque de apoio:

Figura 22 – Diagonalização da linha e coluna da matriz de rigidez global

correspondente ao grau de liberdade restrito Fonte: Martha, 2010, p.438.

O procedimento deve ser aplicado para cada restrição de apoio. Considerando

que um recalque de apoio não é o tipo de solicitação mais frequente, na maioria das

vezes ρi = 0. Esse procedimento é um macete numérico conhecido. Como 𝐊𝐠 tem um

valor muito grande em relação aos outros coeficientes da matriz [K], na solução da i-

ésima linha do sistema de equações, o valor de 𝐊𝐠 ofusca os valores dos outros

coeficientes, resultando em:

𝑫𝒊 ≈𝐊𝐠 . 𝛒𝐢

𝐊𝐠= 𝛒𝐢

Com isso, as modificações na matriz [K] e no vetor {F} são mínimas, as suas

dimensões são conservadas, e não se afetam as outras linhas do sistema de

equações que não estão relacionadas com a restrição de apoio.

2.11 Obtenção dos resultados da análise

Anteriormente fora tratado da montagem do sistema de equações globais de

equilíbrio resultante da formulação discreta do método da rigidez direta. Esse sistema

de equações pode ser interpretado como imposição do equilíbrio isolado de todos os

nós do modelo. A solução desse sistema de equações resulta na determinação dos

valores das deslocabilidades, isto é, valores das componentes de deslocamentos e

33

rotações nodais livres (não restritas por apoios), que são as incógnitas do método da

rigidez direta. Os resultados de uma análise estrutural de modelos reticulados

(formados por barras) vão além da determinação dos valores das deslocabilidades.

Os resultados mínimos típicos de uma análise, são, além dos deslocamentos e

rotações nodais, as componentes de reações de apoio e os esforços internos nas

extremidades das barras. Os resultados obtidos servem para continuação da análise

estrutural, utilizados para procedimentos que determinam as reações de apoio, que

correspondem aos valores das componentes de forças e momentos nos graus de

liberdade restritos por suporte, e para determinação dos esforços internos nas

extremidades das barras, que devem ser apresentados nas direções dos eixos locais

das barras, pois correspondem aos esforços normais, esforços cortantes, momentos

fletores etc. das barras. Procedimentos análogos são realizados para o caso de

modelos de grelhas.

34

3 METODOLOGIA

O cálculo do pré-dimensionamento foi baseado na determinação da altura de

uma viga biapoiada. Ao término do pré-dimensionamento, além da altura da viga, foi

encontrado uma armadura de aço para combater o efeito da flexão positiva. O pré-

dimensionamento foi baseado no equacionamento desenvolvido por Rosa (2016),

onde foi realizado um pré-dimensionamento de vigas com seção retangular onde

esses equacionamentos foram embutidos em um processo de resolução de vigas por

análise matricial, processo aplicado pelos softwares estruturais existentes.

Primeiramente, para o entendimento do problema proposto nesse trabalho de

conclusão de curso, foi realizada uma aprofundada discussão sobre o pré-

dimensionamento desenvolvido por Rosa (2016).

Em um segundo momento, foi feito uma revisão bibliográfica existente na

literatura sobre pré-dimensionamento de vigas, além disso, uma revisão bibliográfica

sobre análise matricial de vigas, começando com o processo aplicado pelo método

dos deslocamentos e também pelo método de elementos finitos para barras.

O pré-dimensionamento foi definido por um raciocínio sequencial que teve três

passos básicos: parâmetros de entrada, aplicação das equações e resposta (altura da

viga). Como parâmetros de entrada, foi fornecido todas as informações geométricas

e físicas da viga: cobrimento, espessura da viga, peso específico do concreto,

resistência a compressão do concreto (Fck), módulo de elasticidade, resistência

característica do aço (Fyk), carregamento linear e comprimento do vão.

Como resposta ficou a altura da viga, que foi encontrada através de uma

equação de restrição (equação de rigidez equivalente fornecida pela NBR 6118:2014)

associada à equação da flecha da viga. A rigidez equivalente foi utilizada na equação

da flecha associada ao modelo de cálculo de uma viga biapoiada, sendo o valor

numérico da flecha fornecido como um valor percentual do vão, sendo assim possível

obter como resposta a altura da viga.

O processo desse pré-dimensionamento se diferenciou de Rosa (2016) no que

tange à rigidez equivalente, pois em seu algoritmo, a fissuração da viga é determinada

como constante para todo seu comprimento, e sendo a mesma definida pelo máximo

momento positivo (meio do vão), agora por intermédio da análise matricial, a viga foi

35

segmentada em alguns trechos, e para cada trecho a mesma teve uma rigidez distinta

associada ao momento fletor do trecho.

Figura 23 – Exemplificação de estrutura analisada.

Fonte: Autor, 2018.

O processo de cálculo, utilizado através da ferramenta computacional Maple,

foi alimentado com os dados obtidos através da estrutura ilustrada na Figura 23,

utilizando a seguinte sequência:

1. Obter o valor da reação vertical resistida pelos os apoios:

Cálculo da reação dos apoios:

2

LqV

(20)

Sendo:

q = carga distribuída;

L = comprimento da viga.

2. Definição da distância dos nós onde a viga será seccionada:

2

L=xi1 : trecho central; (21)

3

L=xi2 : trecho intermediário; (22)

6

L=xi3 : trecho dos apoios. (23)

3. Cálculo do momento positivo máximo referente à carga permanente, peso

próprio e revestimento:

2

2)(max

xqxVxiM

(24)

36

Sendo:

x = distância até o ponto de aplicação da força;


V = reação vertical nos apoios.

4. A segunda etapa foi calcular o centro de gravidade para a seção retangular:

2

)(dhdYt (25)

5. Foi então dimensionada a viga em função da altura útil para encontrar a área

de aço com a finalidade de resistir à tração gerada pelo momento positivo.

Cálculo da linha neutra para seção retangular no estádio I:

a

cadbdbdXI

2

4)()()(

2

(26)

Onde:

a = −0,272. 𝑏𝑤. 𝐹𝑐𝑑;

b = 0,68. 𝑑. 𝑏𝑤. 𝐹𝑐𝑑;

c = −1,4. 𝑀𝑚á𝑥.

Área de aço, calculada para o momento no estádio de limite último, para linha

neutra, com a peça no estádio I:

)15.1

()(4,0

max4,1)(

FykdXId

MdAs

(27)

Sendo:

Fyk = tensão característica do aço.

6. Logo após, encontrou-se a linha neutra para o estádio II em função da altura

útil e a mesma foi aplicada para descobrir o momento de inércia no estádio II:

12

)(314)(2)(2()(

2

a

daadadadXII

(28)

Onde:

37

a1 = 𝑏𝑤

2;

a2 = 𝛼𝑒. 𝐴𝑠;

a3 = −𝑑. 𝛼𝑒. 𝐴𝑠.

Para 𝛼𝑒 = 𝐸𝑠

𝐸𝑐𝑠, sendo:

Es = Módulo de elasticidade do aço;

Ecs = Módulo secante utilizado para determinação de esforços e verificação de

estados de serviço.

Cálculo do momento de inércia para o estádio II:

23

)()(3

)()( ddXIIdAse

dXIIbwdInII

(29)

7. A próxima etapa foi encontrar o momento de inércia e usá-lo para o cálculo do

momento de fissuração da seção bruta de concreto, segundo a NBR 6118:2014:

Centro de gravidade:

2

)(dhYt (30)

Momento de inércia a flexão:

12

)()(

3dhbwdIo

(31)

Momento de fissuração:

)(

)()(

dYt

dIofctmdMr

(32)

Sendo:

= constante que vale 1,2 para seção-T e 1,5 para seção retangular,

portanto, o valor usado foi 1,5;

fctm = resistência média à tração do concreto.

8. Para concluir, utilizou-se o momento de fissuração e os momentos de inércia

dos nós para determinar a rigidez equivalente e aplicar a mesma na equação da

38

flecha, obtendo-se a altura útil, que se somada a metade da bitola do aço e o

cobrimento resultará a altura da viga.

Cálculo da rigidez equivalente, com o momento de inércia:

)(

)max(

)(1)(

)max(

)()(

33

dInIIdM

dMrdIo

dM

dMrdIeq (33)

Cálculo da flecha máxima, considerando o momento de inércia equivalente:

)(384

)(5)max(

4

dIeqEcs

Ldqdf (34)

Igualou-se a equação da flecha com o valor máximo permitido pela NBR

6118:2014, conforme sua Tabela 13.3. Para finalizar, aplicou-se um método numérico

de zero de função, para obter a altura útil da viga.

O próximo passo foi corrigir a altura útil da viga através da equação:

3)(12

bw

dIeqhco

(35)

Foi criado um processo iterativo, no qual para cada um dos cinco elementos da

viga, foi verificado o seu respectivo momento e com ele foi encontrada a rigidez

equivalente e as novas alturas corrigidas.

9. Encontrando a matriz de rigidez local

Uma vez encontrado as alturas corrigidas (hco), através da inércia equivalente

(Ieq), serão encontradas as áreas corrigidas (Ai).

Partindo das equações utilizadas no sistema de eixo local para condição de

extremidade para barra sem articulação ilustrada na Figura 9, construindo assim as

matrizes de rigidez local [k]

Onde:

E = Módulo de elasticidade do concreto;

I = Inércia equivalente da seção em análise;

39

A = Área corrigida da seção em análise;

L = Comprimento da seção em análise.

10. Encontrando a matriz de incidência para cada barra

Para relacionar a influência de uma barra na matriz de rigidez global, é preciso

transformar as propriedades mecânicas da barra, que são definidas naturalmente

pelos coeficientes de rigidez no seu sistema de eixos locais, para o sistema de

coordenadas generalizadas globais.

Sendo assim, é realizado uma análise entre o sistema global com o sistema

local mostrado Figura 15. Levando em consideração o número de seccionamentos,

foi determinado o número de nós. Para cada nó foi determinado três incógnitas,

conforme orientação do sistema de coordenadas generalizadas adotados no método

da rigidez direta. A matriz de incidência [i] tem a mesma proporção da matriz de rigidez

global.

11. Encontrando a matriz de rigidez local de cada barra

Tendo em vista que a matriz de rigidez local está solta no espaço, isto significa

que a matriz de rigidez global está sendo montada levando em conta todos os graus

de liberdade, inclusive os que podem estar com restrições de apoio. É realizada a

relação através da Equação 36, onde posiciona a matriz de rigidez local no sistema

global.

𝐊𝐢 = 𝐢𝐓. 𝐤. 𝐢 (36)

Onde:

𝐊𝐢 = Matriz de rigidez local

𝐢𝐓 = Transposta da matriz de incidência local

𝐢 = Matriz de incidência local

12. Encontrando a matriz de rigidez global

A partir do posicionamento das matrizes de rigidez local no sistema global

efetua-se o somatório das mesmas obtendo assim a matriz de rigidez global:

𝐊 = ∑𝐊𝐢

40

13. Tornando o apoio rígido através da elevação do coeficiente de rigidez (matriz

de penalidade)

Nessa etapa utiliza-se um artifício que associa a restrição de movimentos

relacionados aos apoios. Levando em conta, um valor muito alto no posicionamento

do deslocamento do apoio, na matriz de rigidez global, se comparando a um apoio

elástico. Pelo fato do algoritmo não fazer o reconhecimento desses deslocamentos

que de fato não ocorrerão. Esta foi a alternativa numérica utilizada para solução do

problema. Tendo em vista que as dimensões e os outros valores da matriz de rigidez

global não serão afetados.

14. Encontrando as reações de engastamento para carregamento distribuído que

resultam no vetor força

Na determinação das expressões que resultam nas reações de engastamento

de barras isoladas, solicitadas por carregamentos externos, que são exatas nesse

caso de barras que sofrem ações de carregamentos transversais externos. Necessita-

se da obtenção de um vetor força {F}, resultante das reações de engastamento de

barras prismáticas com força transversal uniformemente distribuída seguindo as

orientações da Figura 19.

15. Constatando os resultados da análise através do vetor deslocamento

A descoberta desse sistema de equações traz o resultado na forma de um vetor

de deslocabilidades, ou seja, valores associados aos deslocamentos e rotações de

cada nó que não são limitados por apoios, que são as chaves do método da rigidez

direta. Com isso, obtendo o vetor deslocamento:

U = (K + P)−1. F (37)

Cada linha que compõe o vetor mencionado na Equação 37, terá o valor do

deslocamento no nó. Os valores seguirão a ordem do sistema de coordenadas

generalizadas adotados no método da rigidez direta.

41

4 RESULTADOS E DISCUSSÕES

Nesta etapa, foram feitos seis exemplos (L

250,

L

300,

L

350,

L

400,

L

450 e

L

500) de vigas

bi-apoiadas, sendo o nome de cada exemplo a própria restrição de flecha para o pré-

dimensionamento. Os resultados de flecha e da área de aço foram comparados com

os encontrados através da utilização do software TQS (Tecnologia e Qualidade em

Sistemas), software de cálculo e dimensionamento estrutural, conforme Figura 24.

Figura 24 – Exemplificação em 3D de viga modelada no TQS

Fonte: Claudino e Almeida, 2017.

O exemplo no TQS faz o seccionamento da viga em cinco segmentos, onde o

momento para cada segmento é utilizado para o cálculo da inércia equivalente do

mesmo.

Notou-se uma boa convergência nos valores das inércias equivalentes (Tabela

3), bem como das inércias máxima e mínima (Figuras 25 e 26).

42

Tabela 2 – Tabela de dados utilizados para viga analisada.

Fonte: Autor, 2018.

Tabela 3 – Tabela comparativa de dados encontrados no pré-dimensionamento com relação aos obtidos no TQS.

Fonte: Autor, 2018.

Sendo:

bw = largura da viga;

h = altura da viga;

cob = cobrimento dos ferros para viga;

L = comprimento da viga;

Fck = resistência característica do concreto;


I0 = inércia da viga para o estádio I;

Ieq = inércia equivalente;

Ieqmáx = inércia equivalente da viga modelada pelo pré-dimensionamento,

para os dois trechos dos apoios;

Ieqmín = inércia equivalente da viga modelada pelo pré-dimensionamento, para

o trecho central;

IeqmáxTQS = inércia equivalente da viga modelada pelo TQS, para os dois

trechos dos apoios;

IeqmínTQS = inércia equivalente da viga modelada pelo TQS, para o trecho

central.

43

No comparativo de inércias máximas equivalentes (Figura 25), podemos

perceber a tendência à conversão dos valores, à medida que a flecha é restringida.

Isso se dá, também, pelo TQS ter utilizado valores de inércia fissuradas, à medida que

o pré-dimensionamento utilizou as inércias iniciais.

Figura 25 – Gráfico comparativo da Ieq máxima

Fonte: Autor, 2018.

Figura 26 – Gráfico comparativo da Ieq mínima

Fonte: Autor, 2018.

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

L/250 L/300 L/350 L/400 L/450 L/500

Inér

cia

Eq

uiv

alen

te M

áxim

a

Pré-dimensionamento TQS

0,00

5000,00

10000,00

15000,00

20000,00

25000,00

30000,00

35000,00

L/250 L/300 L/350 L/400 L/450 L/500

Inér

cia

Eq

uiv

alen

te M

ínim

a

Pré-dimensionamento TQS

44 Observa-se a tendência de divergência das flechas, onde começou com um

valor de 23% do algoritmo em relação ao TQS para o exemplo L/250, e terminou com

um valor de 45% do algoritmo em relação ao TQS, conforme a Tabela 4.

Tabela 4 – Tabela comparativa das flechas encontradas no pré-dimensionamento com relação às obtidas no TQS.

Fonte: Autor, 2018.

Esse aumento é passível de explicação, pois as inércias equivalentes para os

cinco segmentos do exemplo L/250 do TQS, apresentam valores próximos, logo toda

a barra terá inércia próxima a encontrada no pré-dimensionamento, à medida que a

flecha é restringida, ou seja, L/300 e assim sucessivamente, as inércias centrais dos

segmentos do TQS começam a apresentar maior divergência com relação ao pré-

dimensionamento.

Nota-se que a área de aço convergiu de forma eficaz com a obtida através do

TQS, vide Tabela 5, apresentando uma variação em torno de 0,44% a 1,04% menor

do pré-dimensionamento em relação ao TQS.

Tabela 5 – Tabela comparativa das áreas de aço encontradas no pré-dimensionamento com relação às obtidas no TQS.

Fonte: Autor, 2018.

45

5 CONCLUSÃO

O desenvolvimento e aprimoramento de um pré-dimensionamento de vigas

isostáticas é bastante importante não apenas aos estudantes de engenharia, mas

também a todos os engenheiros civis e profissionais da área que possam vir a fazer

uso de mais um método de cálculo e validação de vigas em concreto armado, tendo

em vista que os métodos convencionais e historicamente conhecidos muitas vezes

constam de tentativa e erro.

O pré-dimensionamento foi desenvolvido através do refinamento de um

algoritmo, que visava três etapas básicas: determinar a equação da rigidez

equivalente da viga, tendo como variável a altura da viga; substituir a rigidez

equivalente na equação da flecha; resolver a equação da flecha, obtendo desta forma

a altura da viga.

Tal algoritmo foi melhorado para que se fosse feito um cálculo, de forma mais

minuciosa, da viga isostática. Além disso foi adicionado ao mesmo, um novo

algoritmo, que através da aplicação do método dos deslocamentos, juntamente com

uma análise matricial e o método da rigidez direta; buscou seccionar a viga em várias

partes, obtendo um momento de inércia para cada uma delas, aproximando, portanto,

os valores obtidos no pré-dimensionamento aos obtidos no software TQS.

O algoritmo desenvolvido mostrou-se eficaz, pois foi testado e funcionou

satisfatoriamente, visto que, as áreas de aço convergiram, com uma variação de

0,44% a 1,04% inferior ao valor obtido pelo TQS. As flechas apresentaram uma

divergência entre 23,54% e 45,45%, o que foi um avanço, quando comparado ao pré-

dimensionamento desenvolvido anteriormente.

Como proposta para trabalhos futuros fica a automatização do processo, com

diferentes seccionamentos da viga, bem como a seleção de diferentes tipos de viga:

retangular, T, etc.

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REFERÊNCIAS

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Cargas para o cálculo de estruturas de edificações: NBR 6120:1980. Rio de Janeiro, 1980. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto: NBR 6118:2014. Rio de Janeiro, 2014. CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO FILHO, J. R. Concreto armado: segundo a NBR 6118:2003. 3.ed.São Carlos: EdUFSCar, 2014. GRAZIANO, F. P. Projeto e execução de estruturas de concreto armado. São Paulo: Rosa, 2005. LEONHARDT, F.; MONNING, E. Construções de concreto. Rio de Janeiro:Interciência, 1978. v.3. MARTHA, L. F. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. – Rio de Janeiro: Elsevier, 2010. PEDROSO, F. L. Concreto: as origens e a evolução do material construtivo mais usado pelo homem. Concreto e Construções, São Paulo, n. 53, jan, fev, mar. 2009. Disponível em: http://ibracon.org.br/publicacoes/revistas_ibracon/rev_construcao/pdf/Revista_Concreto_53.pdf. Acesso em: 23 nov. 2016. PINHEIRO, L. M. Fundamentos do concreto e projeto de edifícios. São Carlos, 2007. ROSA, J. S. R. B. M. da. Equacionamento matemático sequencial para pré-dimensionamento de vigas em concreto armado com seção transversal retangular e restrição de flecha e fissura. Programa semente de iniciação cientifica – PSIC/FAPEAL 2015-2016, Centro Universitário Cesmac, Alagoas, 2016. TENÓRIO, D. A. Contribuição à análise de lajes nervuradas em pavimentos de garagem, 105 f., 2011. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil em Estruturas) – Universidade Federal de Alagoas, Alagoas, 2011.

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