Sistemas de control en aeronaves

Coral Escobar

Alumnos

Escobar Martínez CoralReyes Frias Jorge Alberto

PRACTICA 4AOBJETIVOEl alumno repasara los conceptos del estado transitorio y estado estacionario para la respuesta del escalón de un sistema de control.

INVESTIGACIONEl estado de un sistema dinámico es el conjunto de variables más pequeño, de forma que el

conocimiento de estas variables en t = t0, junto con el conocimiento de la entrada para t ≥ t 0,

determinaran completamente el comportamiento del sistema en cualquier t ≥ t 0.

La respuesta en el tiempo de un sistema de control consta de dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta en estado estacionario.

ESTADO TRANSITORIOLa respuesta transitoria se refiere a la que va del estado inicial, al estado final.

Las características de desempeño de un sistema de control se especifican en términos de la respuesta transitoria para una entrada escalón unitario, puesto que esta es fácil de generar y es suficientemente drástica.

Si se conoce la respuesta para cualquier entrada. La respuesta transitoria de un sistema de control práctico muestra con frecuencia oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estacionario.

Al especificar las características de respuesta transitoria de un sistema de control para una entrada escalón unitario es común especificar:

1. Tiempo de retardo Tiempo requerido para que la respuesta alcance por primera vez la mitad del valor

final.2. Tiempo de subida

Tiempo requerido para que la respuesta pase del 10 al 90%, del 5 al 95% o del 0 a 100% de su valor final.

Para sistemas subamortiguados de segundo orden, por lo general se usa el tiempo de subida 0 a 100%.

Para sistemas sobreamortiguados, suele usarse el tiempo de levantamiento de 10 a 90%.

3. Tiempo pico Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico de

sobreelongación.4. Sobreelongación

Máximo valor del pico de la curva respuesta, medido a partir de la unidad. Si el valor final en estado estacionario de la respuesta es diferente de la unidad, es frecuente utilizar el porcentaje de Sobreelongación máxima.

5. Tiempo de asentamiento

Tiempo requerido para que la curva alcance un rango alrededor del valor final del tamaño especificado por el porcentaje absoluto del valor final (2 a 5%).

ESTADO ESTACIONARIOLa respuesta en estado estacionario, se entiende la manera como se comporta la salida del sistema conforme t tiende a infinito.

Por lo tanto, la respuesta del sistema c(t) se puede escribir como

c(t)=ctr+css(t)

Donde el primer término del miembro derecho de la ecuación es la respuesta transitoria y el segundo término es la respuesta al estado estacionario.

DESARROLLOEn este programa se realiza la comparación entre tres ecuaciones de transferencia diferentes, graficando su comportamiento ante el impulso y ante el escalón.

Lo que se puede observar de estas gráficas, es que su estado estacionario es similar, ya que tienden a la estabilidad, donde se presentan diferencias es en el comportamiento durante el estado estacionario, en el caso de la primera graficas que es la respuesta al escalón, se observa que el comportamiento de la ecuación roja y verde es idéntica con respecto al tiempo de subida y tiempo de asentamiento, mientras que la azul, presenta valores menores. En la respuesta al impulso, de igual forma se observa un comportamiento diferente en el tiempo de asentamiento y la amplitud pico, aunque todas tienden a la estabilidad.

Las otras graficas que se analizan dentro de esta práctica, presentan de igual forma un tiempo de subida de 2.2 segundos, tiempo de asentamiento de 3.91 segundos y valor final de 1

Ante el impulso su respuesta es de igual forma estable con un pico en su amplitud de 1 y tiempo de asentamiento de 3.91 segundos, en este caso el estado de transferencia 22se mantiene con la misma duración para ambos casos.

Para el último par de graficas encontramos un comportamiento idéntico en el estado de transición, la única diferencia que se encuentra en el valor final, mientras que en el par pasado el valor último es 1 en esta el valor es 5.

De igual forma para la respuesta al impulso se presenta un tiempo igual de asentamiento, pero un pico de amplitud mayor. Por lo que se puede decir que el numerador de la función de transferencia determina el pico en la amplitud o el valor final al que tendera rondar en estado estable, en caso de la respuesta al escalón.

PRACTICA 4B

Lugar Geométrico de las Raíces LGR

OBJETIVO

El alumno conocerá de manera teórica el concepto del lugar geométrico de las raíces en la

ingeniería de control y explicara el comportamiento de diferentes funciones de transferencia

INVESTIGACIÓN

rlocus:  calcula el lugar de las raíces de un modelo de bucle abierto. El lugar de las raíces da las trayectorias de polos en lazo cerrado como una función de la k ganancia de realimentación (suponiendo un voto negativo). Lugares de las raíces se utilizan para estudiar los efectos de variar las ganancias de retroalimentación sobre ubicaciones de los polos en lazo cerrado. A su vez, estos lugares ofrecen información indirecta sobre las respuestas de tiempo y frecuencia.

rlocus(sys) rlocus(sys) calcula y grafica el lugar de las raíces de los de bucle abierto modelo  sys, Esta función se puede aplicar a cualquiera de los siguientes bucles deretroalimentación negativa mediante el establecimiento de sys adecuadamente.

Las diferentes sintaxis para utilizar este comando son: rlocus(NUM,DEN) calcula y dibuja el lugar de las raíces cuando se trabaja con la función

de transferencia donde NUM y DEN son los vectores de los coeficientes en potencia descendiente de S de los polinomios del numerador y denominador de la función de transferencia G(S). MatLab generará automáticamente un conjunto de valores de la ganancia K.

rlocus(NUM,DEN,K): calcula y dibuja el lugar de las raíces cuando se trabaja con la función de transferencia y ha sido previamente definido el rango de valores de K. Por ejemplo de 0 a 100 con incrementos de 10: k=0:10:100R = rlocus(NUM,DEN,K) o [R,K] = rlocus(NUM,DEN) no dibuja el lugar de las raíces pero almacena en la matriz R, de longitud igual al número de elementos de K, la localización de las raíces. R tendrá tantas columnas como raíces existan, estas pueden además ser complejas.

rlocus(A,B,C,D), R=rlocus(A,B,C,D,K), o [R,K]=rlocus(A,B,C,D) son equivalentes a las sintaxis anteriores pero empleando las matrices de estado para hallar el lugar de las raíces.

Desarrollo

Codigo de Matlab que se utilizara para los siguientes ejemplos:

Mediante num representamos el numerador de la función de transferencia, y mediante den representamos la parte del denominar de nuestra función de transferencia, tf es el comando de función de transferencia, mientras que rlocus es el comando que utilizaremos para calcular el lugar de las raíces con step e impulse obtendremos la gráfica de escalón y de impulso respectivamente.

Desarrollo

1).

a). Grafica de impulso

b). Gráfica escalón

c). Gráfica Polos

RESULTADOS DE GRÁFICA (a, b, c)

La gráfica impulso y escalón se comportan de manera estable y esto lo podemos comprobar mediante la gráfica de polo, en la cual observamos que solo tenemos un polo el cual se encuentra en la región de estabilidad, de esta manera podemos comprobar que la función de transferencia se comporta de manera estable.

2.

a). Grafica de impulso

b). Gráfica escalón

c). Gráfica Polos

RESULTADOS DE GRÁFICA (a, b, c)

La gráfica de impulso se comporta inestable de igual manera la gráfica de escalón se comporta de manera inestable, esto lo podemos observar en la gráfica de polo, en la cual se observa un único polo el cual está ubicado en la región de inestabilidad, al comparar las gráficas de impulso y escalón con la de polos, podemos decir que la función de transferencia se comporta de manera inestable

3).

a). Grafica de impulso

b) Gráfica escalón

c) Gráfica Polos

RESULTADO DE GRÁFICA (a, b, c)

La grafica de impulso se comporta de manera estable y la gráfica de escalón se comporta de manera estable, al comparar esta grafica con la de polos podemos concluir que la función de transferencia es estable.

En la gráfica de polo podemos ver que la función de transferencia cuenta con dos polos los cuales se encuentran en la región estable, al tener la función de transferencia dos polos esto representa que la gráfica de impulso y escalón se presentara de forma senoidal.

4)

a) Grafica de impulso

b) Gráfica escalón

c) Gráfica Polos

RESULTADO DE GRÁFICA (a, b, c)

La gráfica de impulso representa que es críticamente estable, lo cual también lo podemos notar en la gráfica de escalón la cual también es críticamente estable, estas dos observaciones las podemos comprobar mediante la gráfica de polo en donde tenemos tras polos de los cuales uno se encuentra en la región de estabilidad y dos se encuentren en el eje imaginario lo cual significa que la función de transferencia es críticamente estable. La grafica de polo al presentar tres polos nos representa en la gráfica de impulso y escalón una gráfica senoidal con amplitudes muy reducidas.

5)

a) Gráfica de impulso

b) Gráfica escalón

c) Gráfica Polos

RESULTADO DE GRÁFICA (a, b, c)

La gráfica de impulso es inestable al igual que la gráfica de escalón es inestable, pero observando las gráficas notamos que al principio mostraba estabilidad hasta los 120 segundos después de esto presento la inestabilidad. Esto lo podemos comprobar en la gráfica de polo la cual representa que la función de transferencia es inestable debido a que la función de trasferencia cuenta con tres polos de los cuales uno está en la región estable y los otros dos se encuentran en la región inestable.

CONCLUSIONES

Escobar Martínez Coral

Mediante el ambiente de Matlab pudimos observar cómo se comporta el estado transitorio para la respuesta escalón y estacionario la gráfica de impulso y pudimos identificar la estabilidad o inestabilidad de nuestro sistema mediante las gráficas, por lo tanto pudimos determinar el comportamiento de las funciones de transferencia dependiendo del lugar geométrico de las raíces.

Reyes Frias Jorge Alberto

Lo que se puede observar de estas graficas es el comportamiento que tienen las ecuaciones puede ser similar, aunque se posean ecuaciones de transferencia diferentes, los valores van definidos por términos dentro del numerador o denominador, sabiendo esto, se pueden manipular sus valores para poder obtener diferentes tipos de respuesta, ya sea que se busque estabilidad o un determinado tiempo de asentamiento.

Con respecto a la segunda práctica, se puede observar claramente que la ubicación de los polos de ver determinada en gran medida por el comportamiento de la ecuación. La función que se utiliza, nos permite tener una primera aproximación al comportamiento que va a presentar nuestro sistema, así como tener una rápida visualización de si existen regiones estables y/o inestables.

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICAS

Ingeniería de control, Katsuhiko Ogata, 4 edición, Pearson. http://www.mathworks.com/help/control/ref/rlocus.html