UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE QUÍMICA

LABORATORIO DE FISICA

PRÁCTICA NÚMERO 6: “Ley de enfriamiento de Newton”

Elaborado por:

Sánchez Aguilar Eugenia MonserratGranados Arceo Jorge Rodrigo

Cid Guzmán Carlos AdriánTapia Carlos Giovanny

Grupo: 28 Horario: Miércoles 07:00-11:00

Fecha límite de entrega del informe:

08 de Abril del 2015

Profesora: Leticia María de los Ángeles González Arredondo.

Resumen

La práctica consistió en la medición de la temperatura del agua cada cierto intervalo de tiempo para

después determinar la rapidez con la que esta disminuye hasta llegar al equilibrio térmico con el

medio y así calcular una constante de enfriamiento. Primero se procedió a elevar la temperatura del

agua calentándola en la parrilla para después dejarla enfriar mientras cada cierto tiempo se

registraba su temperatura. Conforme iba bajando la temperatura, los intervalos de tiempo en que se

tomaban las lecturas del termómetro fueron cada vez mayores, ya que los valores de temperatura

variaban más lentamente. Finalmente se esperó a que llegara a un equilibrio térmico con el medio,

lo cual no ocurrió debido a falta de tiempo para la realización del experimento.

Hipótesis

Gráficamente, la temperatura en función del tiempo decaerá exponencialmente. Cuando el agua este

en su punto de ebullición y se retire de la estufa para colocarla en el soporte universal, este se

enfriara más rápidamente, y cuando comience a alcanzar la temperatura ambiental, se irá enfriando

más lentamente.

Objetivo

Obtener por métodos gráficos y analíticos la constante de enfriamiento de un líquido a partir de

datos experimentales de temperatura y tiempo.

Introducción

La ley de enfriamiento, es un proceso determinado experimentalmente por Isaac Newton, el cual

relaciona la temperatura de un cuerpo más caliente que el medio y su variación respecto al tiempo.

Éste está dado por la siguiente ecuación diferencial:

dT (t)dt

=−k (T−T0)

En la ecuación anterior “T(t)” es la función de temperatura que depende del tiempo “t” y representa

la temperatura instantánea del cuerpo, “T” es la temperatura inicial, “T0” es la temperatura del

medio y “k” es la constante de proporcionalidad, se considera negativa debido a que la temperatura

desciende. Si se expresa la ecuación anterior de la siguiente manera:

dT(T−T 0)

=−kdt

Entonces se puede integrar:

∫T i

TdT

(T−T 0)=∫

t0

t

−kdt

Si consideramos que t0=0 y que T0 es una constante, la expresión queda así:

ln|T−T 0|−ln|T i−T 0|=−kt

Para obtener una función de temperatura, primero se aplican leyes de los logaritmos, luego se

convierte cada uno de los lados de la igualdad en exponentes con base “e”, finalmente se despeja

“T” (para poder quitar el valor absoluto, se eleva al cuadrado y después se aplica la raíz cuadrada,

esto ya que al elevar al cuadrado los valores siempre son positivos y cuando se usa la raíz cuadrada,

comúnmente se toma el valor positivo de esta para fines prácticos).

ln|T−T 0

T i−T 0|=−kt

|T−T 0

T i−T0|=e−kt

√|T−T 0

T i−T 0|

2

=√¿¿

T−T 0

T i−T 0

=e−kt

T−T 0=(T i−T 0)e−kt

T=T 0+(T i−T 0)e−kt

Entonces tenemos que la función de temperatura para un tiempo “t” es:

T (t)=T 0+(T i−T 0)e−kt

Esta función partió de una ecuación diferencial de valores iniciales, lo cual quiere decir una

ecuación de primer orden sujeta a una condición y(x0)=y0, donde x0 es un cierto número en un cierto

intervalo y y0 es un número real arbitrario. Para este caso en particular tenemos T(a)=b donde a

representa el tiempo al que se toma la medida de temperatura, el cual estará sujeto a un cierto

intervalo debido a que la temperatura deja de bajar cuando alcanza el equilibrio con el medio; y b es

el valor de la temperatura en el tiempo dado.

Finalmente para poder determinar el valor de la constante de enfriamiento “k” se toma la ecuación:

T=T 0+(T i−T 0)e−kt

Y se despeja la constante:

−k=

ln( T−T 0

T i−T0)

t

Material y equipo utilizado

Parrilla eléctrica

Termómetro digital o de mercurio

2 cronómetros

Vaso de precipitado de 50 o 100 ml

Soporte universal

Nuez, pinza de tres dedos o pinza para termómetro

Guantes de carnaza, paño o pinzas para vaso de precipitados

Agua (también puede usarse café, leche, té, etc.)

Papel absorbente

Hoja de papel milimétrico

Calculadora

Procedimiento

1.- Identificar los instrumentos utilizados, anotar los datos de

resolución e incertidumbre asociada.

2.-Colocar en la parrilla, el vaso de precipitado con agua y

calentar hasta punto de ebullición.

3.-Registrar tanto la temperatura ambiente y la

temperatura de ebullición del agua.

4.-Retirar el vaso de la estufa y colocarlo en la base del

soporte universal, introducir el termómetro de manera

vertical sin tocar las paredes.

5.-Registrar la temperatura a intervalos de 2 segndos

durante 1 minuto.

6.- Sin retirar el termómetro después de la última lectura

de la tabla 1, tomar la temperatura en los intervalos indicados en las tablas 2 y 4.

7.-Complete la tabla 5 hasta que se alcance la temperatura ambiente registrada al inicio

del experimento.

Datos y resultados

Tabla 1.Registro de datos de temperatura a intervalos de 2 s.

No. Dato Tiempo (mm:ss)

Tiempo (s) T(1) (°C) T(2) (°C) T(3) (°C) T promedio (°C)

T ambiente 00:00T ebullición 00:00 0 89 94 94,4 92,5

1 00:02 2 88,7 93,8 94 92,22 00:04 4 88,6 93,6 93,9 923 00:06 6 88 93,3 93,6 91,64 00:08 8 87,4 92,9 92 90,85 00:10 10 87,1 92,1 91,5 90,26 00:12 12 86,4 91,9 91 89.87 00:14 14 86,3 91,3 90,8 89,58 00:16 16 86,2 91 90,1 89,19 00:18 18 85,1 90,4 89,3 88,310 00:20 20 84,4 90,2 89,2 87,911 00:22 22 83,5 90 88,8 87,412 00:24 24 83 89,8 88,4 87,113 00:26 26 82,6 89,2 88,2 86,714 00:28 28 82,4 88,9 87,2 86,215 00:30 30 81,6 88,4 86,6 85,516 00:32 32 81,4 87,8 86,2 85,117 00:34 34 81,2 87,2 86 84,818 00:36 36 80,4 87 85,5 84,319 00:38 38 80,1 86,8 85,2 8420 00:40 40 79,6 86,3 84,8 83,621 00:42 42 79,4 85,9 84 83,222 00:44 44 79 85,7 83,9 82,923 00:46 46 78,5 85,4 83,4 82,424 00:48 48 78,4 85 83 82,125 00:50 50 78,3 84,6 82,4 81,826 00:52 52 77,8 84,4 82,4 81,527 00:54 54 77,7 84,4 82 81,428 00:56 56 77,3 83,6 81,4 80,829 00:58 58 77,2 83,3 80,6 80,430 01:00 60 76,1 83 80,3 79,8

Tabla 2.Registro de temperatura a intervalos de 5 s. Tabla 3. Registro de temperatura a intervalos de 10 s.

No. Dato Tiempo Tiempo T (°C)(mm:ss) (s)

31 01:05 65 74,532 01:10 70 73,533 01:15 75 73,134 01:20 80 7235 01:25 85 71,436 01:30 90 70,937 01:35 95 69,738 01:40 100 69,439 01:45 105 68,940 01:50 110 68,441 01:55 115 67,742 02:00 120 67,243 02:05 125 66,544 02:10 130 6645 02:15 135 65,346 02:20 140 64,847 02:25 145 64,848 02:30 150 64,749 02:35 155 64,550 02:40 160 64,151 02:45 165 63,852 02:50 170 63,353 02:55 175 62,754 03:00 180 61,955 03:05 185 61,756 03:10 190 61,557 03:15 195 61,158 03:20 200 60,559 03:25 205 60,260 03:30 210 59,161 03:35 215 58,662 03:40 220 58,563 03:45 225 57,764 03:50 230 57,465 03:55 235 56,966 04:00 240 56,567 04:05 245 5668 04:10 250 55,669 04:15 255 55,270 04:20 260 55,171 04:25 265 5572 04:30 270 54,873 04:35 275 54,474 04:40 280 54,375 04:45 285 53,876 04:50 290 53,577 04:55 295 53,378 05:00 300 53

No. Dato Tiempo Tiempo T (°C)(mm:ss) (s)

79 05:10 310 52,780 05:20 320 52,381 05:30 330 51,782 05:40 340 5183 05:50 350 50,884 06:00 360 50,485 06:10 370 5086 06:20 380 49,587 06:30 390 4988 06:40 400 48,989 06:50 410 48,290 07:00 420 47,791 07:10 430 47,592 07:20 440 47,193 07:30 450 46,894 07:40 460 46,595 07:50 470 46,596 08:00 480 45,797 08:10 490 45,398 08:20 500 4599 08:30 510 44,9100 08:40 520 44,6101 08:50 530 44,3102 09:00 540 43,9103 09:10 550 43,6104 09:20 560 43,4105 09:30 570 43,1106 09:40 580 42,8107 09:50 590 42,7108 10:00 600 42,2109 10:10 610 42,1110 10:20 620 41,6111 10:30 630 41,3112 10:40 640 40,9113 10:50 650 40,6114 11:00 660 40,5115 11:10 670 40,2116 11:20 680 40117 11:30 690 39,6118 11:40 700 39,4119 11:50 710 39,1120 12:00 720 38,7121 12:10 730 38,6122 12:20 740 38,5123 12:30 750 38,2124 12:40 760 37,9125 12:50 770 37,8126 13:00 780 37,6

Tabla 4. Registro de temperatura a intervalos de 30 s. Tabla 5. Registro de temperatura a intervalos de 60 s.

No. Dato Tiempo Tiempo T (°C)(mm:ss) (s)

127 13:30 810 37,6128 14:00 840 36,9129 14:30 870 36,1130 15:00 900 36,3131 15:30 930 35,2132 16:00 960 34,8133 16:30 990 34,3134 17:00 1020 33,8135 17:30 1050 33,8136 18:00 1080 33,6137 18:30 1110 33,3138 19:00 1140 33,1139 19:30 1170 32,8140 20:00 1200 32,4141 20:30 1230 32,1142 21:00 1260 32143 21:30 1290 31,8144 22:00 1320 31,7145 22:30 1350 31,4146 23:00 1380 31,3147 23:30 1410 30,8148 24:00 1440 30,8149 24:30 1470 30,5150 25:00 1500 30,3151 25:30 1530 30152 26:00 1560 29,5153 26:30 1590 29,2154 27:00 1620 29,1155 27:30 1650 28,8156 28:00 1680 28,6157 28:30 1710 28,5158 29:00 1740 28,3159 29:30 1770 28160 30:00 1800 27,7161 30:30 1830 27,6162 31:00 1860 27,6163 31:30 1890 27,4164 32:00 1920 27,2

No. Dato Tiempo Tiempo T (°C)(mm:ss) (s)

165 33:00 1980 26,6166 34:00 2040 26,6167 35:00 2100 26,3168 36:00 2160 25,8169 37:00 2220 25,7170 38:00 2280 25,7171 39:00 2340 25,6172 40:00 2400 25,2173 41:00 2460174 42:00 2520175 43:00 2580176 44:00 2640177 45:00 2700178 46:00 2760179 47:00 2820180 48:00 2880181 49:00 2940182 50:00 3000183 51:00 3060184 52:00 3120185 53:00 3180186 54:00 3240187 55:00 3300188 56:00 3360189 57:00 3420190 58:00 3480191 59:00 3540192 60:00 3600

Temperatura ambiente: 21,8°CTemperatura final: 25,2

Hora: 17:00 hrs

Tiempo total del experimento: 2 hrs

Tabla 6. Datos para la construcción de gráficos

T ambiente (T0) 21,8 ºC T ebull (Ti) 92,5 ºC

No Dato Experimento

Dato No. Gráfico A B C D E

Tiempo(s) Temp. (ºC) T(t)- T0 (ºC) Ln(T(t)- T0)Ln(T(t)- T0) - ln(Ti-T0)

T ebull (Ti) 1 0 92,5 70,7 4,25844557 03 2 6 91,6 69,8 4,24563401 -0,012811599 3 18 88,3 66,5 4,19720195 -0,061243652

15 4 30 85,5 63,7 4,15418456 -0,10426103720 5 40 83,6 61,8 4,12390336 -0,13454223625 6 50 81,8 60 4,09434456 -0,16410103830 7 60 79,8 58 4,06044301 -0,19800258935 8 85 71,4 49,6 3,90399083 -0,35445476640 9 110 68,4 46,6 3,84160054 -0,41684505945 10 135 65,3 43,5 3,77276094 -0,48568466250 11 160 64,1 42,3 3,74478709 -0,51365851460 12 210 59,1 37,3 3,61899333 -0,63945227370 13 260 55,1 33,3 3,5055574 -0,75288820380 14 320 52,3 30,5 3,41772668 -0,84071891690 15 420 47,7 25,9 3,25424297 -1,004202631

100 16 520 44,6 22,8 3,12676054 -1,131685064120 17 720 38,7 16,9 2,82731362 -1,431131978140 18 1200 32,4 10,6 2,360854 -1,897591599160 19 1800 27,7 5,9 1,77495235 -2,483493249170 20 2280 25,7 3,9 1,36097655 -2,897469047

A-E relación lineal

A= -0,2366461586B= -1,280316575x10¯³

A-B relación exponencial

A=74,82603401 - -B= -5,7882x10-4

Gráfica tiempo-Temperatura (A-B).

0 500 1000 1500 2000 25000

102030405060708090

100

Exponencial

Temperatura (°C)

tiempo (s)

Tem

pera

tura

(°C)

Gráfica de Relación lineal (A-E).

0 500 1000 1500 2000 2500

-3.5000

-3.0000

-2.5000

-2.0000

-1.5000

-1.0000

-0.5000

0.0000

f(x) = − 0.00128047136107808 x − 0.236877367863914R² = 0.95388838273372

Lineal

Ln(T(t)- T0) - ln(Ti-T0)Linear (Ln(T(t)- T0) - ln(Ti-T0))

Tiempo (s)

Ln (T

(t)-T

0)-L

n(Ti

-T0)

Análisis de resultados.

Lo primero que podemos observar es que la temperatura de enfriamiento es inversamente

proporcional al tiempo, por lo que no podemos hacer una regresión lineal sólo con los datos que

medimos. Para esto debemos ver que en la Ley de enfriamiento de Newton nuestra constante K, que

es la pendiente que debemos determinar, depende de una ecuación que involucra a las funciones

logarítmicas, si nosotros hacemos la regresión como tal nos salen valores muy distintos como en

caso en el que relacionamos a A con B, a los que hacemos si volvemos a la ecuación para obtener a

K de la Ley de enfriamiento, en este caso, una vez establecidos los valores de la columna E los

podemos relacionar linealmente con los de la columna A y así nos da una pendiente (nuestra K) que

es más confiable, y observamos que es negativa debido a que estamos disminuyendo la temperatura.

Aunque las dos constantes salieron negativas, es más confiable el método con logaritmos, puesto

que esa es la forma que establece la Ley de enfriamiento.

Conclusiones

La Ley de enfriamiento nos indica cómo se enfría un líquido conforme va cambiando la

temperatura, el modelo matemático establecido es un tanto complejo porque utiliza logaritmos y

tenemos que usar regresiones exponenciales. Pudimos observar que la regresión lineal en base a los

logaritmos es más confiable, aunque también nuestros errores dependen de nuestras mediciones, ya

que no es muy fácil dar con precisión y exactitud una medida de temperatura cuando nuestros

intervalos de tiempo eran muy pequeños como en el caso del intervalo 2.

Bibliografía

Zill, Denis G. "Ecuaciones diferenciales con aplicaciones". Segunda Edición. Grupo editorial

Iberoamérica. Páginas de consulta: 21-22, 32-33, 90

R. Resnick y D. Holliday, Física Parte I, Problema 2,3 Pág. 486. CECSA, México.