Tericas de Anlisis Matemtico (28) Prctica 7 Optimizacinrea de Matemtica Ciclo Bsico Comn Universidad de Buenos Aires 1Prctica 7 Parte 2Optimizacin1. Problemas de optimizacinEjemplo 1Descomponer el nmero 36 en dos sumandos positivos de modo que el producto de uno de ellos porel cuadrado del otro sea mximo.Sinotamoscon x aunodelossumandosenlosquesedescompone36,elotrodebeser 36 x .Como ambos son positivos, se tiene que 0 x > y36 0 x > , o sea que 0 36 x < < . Queremos hallar elvalor de x en el que la funcin,2 2 3( ) (36 ) 36 p x x x x x = = alcanza su valor mximo.Lafuncin p esderivableen yporlotanto,loesenelintervalo(0;36).Sabemosquelosextremos locales de p se encuentran en los x donde ( ) 0 p x ' = .Calculamos2 3 2( ) (36 ) 72 3 3 (24 ) p x x x x x x x ' ' = = = .Como( ) 0 3 (24 ) 0 0 o =24 p x x x x x ' = = =y slo estamos estudiando la funcin en el intervalo (0;36), el nico punto crtico es =24 x .Dado que p' es continua y que tiene un nico cero en el intervalo (0;36), por el teorema de Bolzanopodemos afirmar que, tanto en (0;24) como en (24;36), el signo de p' es constante.Por lo dicho anteriormente para conocer el signo de p' , basta con calcularlo en un valor particularde cada intervalo.En(0;24),elegimos 1 x = .Como (1) 3 1 23 0 p' = > ,resultaque ( ) 0 p x ' > paratodo (0; 24) x e .Esto implica que p es estrictamente creciente en (0;24].En(24;36),elegimos 25 x = .Como (25) 3 25 ( 1) 0 p' = < ,resultaque ( ) 0 p x ' < paratodo(24;36) x e . Esto implica que p es estrictamente decreciente en [24;36).Tericas de Anlisis Matemtico (28) Prctica 7 Optimizacinrea de Matemtica Ciclo Bsico Comn Universidad de Buenos Aires 2A partir de esta informacin acerca del crecimiento y del decrecimiento de p, podemos afirmar queen 24 x = , p alcanzaunmximolocalydichomximovale2(24) 12 24 6912. p = = Damosacontinuacin un grfico aproximado de la funcin p.Los dos sumandos en los que hay que dividir 36 son 24 y 12.Ejemplo 2En el tringulo issceles de base 12 y altura 10, se inscribe un rectngulo tal que dos de sus vrticespertenecen a la base del tringulo y los otros dos pertenecen uno a cada uno de los otros dos lados.Calcular las dimensiones que debe tener el rectngulo para que su rea sea mxima.Graficamoseltringuloconsusvrticesenlospuntos(0,10),( 6, 0) y (6,0).La ecuacin de la recta por (0,10), y (6,0) es5103y x = + .Porlasimetradelafigura,paracalcularelreadelrectnguloinscritoeneltringulo,alcanzaconconsiderarlosvaloresde(0; 6) x e . As, el rea del rectngulo es25 10( ) base altura=2 10 203 3a x x x x x| |= + = + |\ ..Paraqueexistaunrectnguloenlascondicionesdelproblema,debeocurrirque 0 6 x < < .Queremos hallar el valor de x, en el que la funcin210( ) 203a x x x = + ,Tericas de Anlisis Matemtico (28) Prctica 7 Optimizacinrea de Matemtica Ciclo Bsico Comn Universidad de Buenos Aires 3alcanza su valor mximo.La funcin a es derivable en y por lo tanto, lo es en el intervalo (0;6). Sabemos que los extremoslocales de a se encuentran en los x donde ( ) 0 a x ' = .Calculamos20( ) 20 20 13 3xa x x| |' = + = + |\ ..Entonces( ) 0 1 0 33xa x x ' = + = = .Dadoque a' escontinuaen (0; 6) yqueendichointervalotieneunnicocero,utilizamoselteoremadeBolzanoypodemosafirmarque (0; 6) quedadivididoendosintervalosconsignoconstante en cada uno de ellos.Los intervalos para analizar son (0;3) y (3;6) y, por lo dicho anteriormente, para conocer el signo dea' , basta con calcularlo en un valor particular de cada intervalo.En(0;3),elegimos 1 x = .Como1(1) 20 1 03a| |' = + > |\ .,resultaque ( ) 0 a x ' > paratodo (0;3) x e .Esto implica que a es estrictamente creciente en (0;3].En (3;6), elegimos 4 x = . Como4(4) 20 1 03a| |' = + < |\ ., resulta que ( ) 0 a x ' < para todo (3; 6) x e .Estoimplicaque a esestrictamentedecrecienteen[3;6).As,en 3 x = ,lafuncinalcanzaunmximo local. Las dimensiones del rectngulo de rea mxima corresponden 3 x = y tenemos que elrectngulo tiene base = 2 6 x = y altura =5 510 3 10 53 3x + = + = .Enestecaso,lafuncin ( ) a x esunacuadrticaconcoeficienteprincipalnegativo,porlotantoalcanza su mximo en el vrtice.Ejemplo 3Seconsideranlasrectasquepasanporelpunto(9,4)yquealcortaralossemiejespositivosdeterminan tringulos rectngulos.Entre todas estas rectas, hallar aquella que(a) genera un tringulo de rea mnima;(b) hace mnima la suma de las longitudes de los catetos.Tericas de Anlisis Matemtico (28) Prctica 7 Optimizacinrea de Matemtica Ciclo Bsico Comn Universidad de Buenos Aires 4Sea m lapendientedeunarectaquepasapor(9,4).Observemosqueparaquelarectacortealossemiejespositivosdebeser 0 m < .Lasrectasqueestamosconsiderando pasan por el punto (9,4), luego son de la forma( 9) 4 y m x = + ,con 0 m < .Estasrectascortanaleje x, cuando 0 y = ,luego,4 9 49mxm m= + = ycortanaleje y cuando 0 x = ,osea4 9 y m = .(a) El rea del tringulo en funcin de la pendiente de la recta (m) es2base altura 1 9 4 1 (9 4)( ) (4 9 )2 2 2 = = = m mA m mm m.Calculamos la derivada de la funcin rea respecto de la variable m.22 21 2(9 4) 9 (9 4) 1 (9 4)(18 9 4)( )2 2| | + | |' = = = ||\ .\ .m m m m m mA mm m21 (9 4)(9 4)2 + | |= |\ .m mm.Dado que ( ; 0) me , el nico valor en el que se anula la derivada es49m = .Como A' es continua, utilizando el teorema de Bolzano podemos afirmar que su nico cero divide a( ; 0) en dos intervalos en los que el signo de A' es constante.Los intervalos para analizar son4;9| | |\ .y4; 09| | |\ .,por lo dicho anteriormente para conocer elsigno de A' , basta con calcularlo en un valor particular de cada intervalo.En4;9| | |\ .,elegimos 1 m = .Como21 (9( 1) 4)(9( 1) 4)( 1) 02 ( 1)A +' = |\ .| | | | ||\ . \ .Aresultaque ( ) 0 A m ' > paratodo4; 09| |e |\ .m .Estoimplicaque A esestrictamentecrecienteen4; 09 ||

..De esto se deduce que la funcin rea tiene un mnimo local en49m = .Dadoquelafuncinreaescontinuaen ( ; 0) ,esestrictamentedecrecientealaizquierdade49m = yestrictamentecrecientealaderechade49x = ,concluimosque A tieneunmnimoabsoluto en49m = y vale249 49 4724 929| | | | ||| | \ . \ . = = || |\ . |\ .A .Esdecirquelapendientedelarectaquepasapor(9,4)yhacemnimaelreadeltringuloes49m = , la ecuacin de dicha recta es489= + y x .(b)Sequiereahoraminimizarlasumadelaslongitudesdeloscatetosdelostringulosformadosporlasrectasquepasanporelpunto(9,4)ylossemiejespositivos.Utilizandolosclculosanteriores, y llamando L a la suma de las longitudes de los catetos en funcin de la pendiente de larecta, tenemos que4 4( ) 9 (4 9 ) 13 9 L m m mm m| |= + + = |\ .,donde ( ; 0) me .Calculamos la derivada de L respecto de m22 24 4 9( ) 9mL mm m' = = ,Tericas de Anlisis Matemtico (28) Prctica 7 Optimizacinrea de Matemtica Ciclo Bsico Comn Universidad de Buenos Aires 6y buscamos los valores que anulan la derivada22 2( ) 0 4 9 0 o3 3L m m m m ' = = = = .Como ( ; 0) me , el nico punto crtico es23m = .UtilizandoelteoremadeBolzano,analizamoselsignode L' enlosintervalos2;3| | |\ .yen2; 03| | |\ .evaluando en un punto en cada caso.En2;3| | |\ .,elegimos 1 m = .Como224 9 1(1) 5 01L ' = = < ,resultaque ( ) 0 L m ' < paratodo2;3| |e |\ .m . Esto implica que L es estrictamente decreciente en2;3| 1

(\ ].En2; 03| | |\ .elegimos13m = .Como2214 91 327 0313L| | || |\ .' = = > |\ .| | |\ .,tenemosque ( ) 0 L m ' >para todo2; 03m| |e |\ .. As, resulta que L es estrictamente creciente en2; 03 ||

..De esto se deduce que la funcin L tiene un mnimo local en23m = .Dado quees continuaen ( ; 0) , L resulta estrictamente decreciente a la izquierda de23m = yestrictamentecrecientealaderechade23m = ,porlocualconcluimosquetieneunmnimoabsolutoen23m = yvale2 4 213 9 252 3 33L| | | | = = ||| |\ . \ . |\ .ycorrespondealtringuloquecorta el eje x en 15 x = y al eje y en 10 y = .Es decir que, la pendiente de la recta que hace mnima la suma de las longitudes de los catetos es23= m , la ecuacin de dicha recta es2103= + y x .Tericas de Anlisis Matemtico (28) Prctica 7 Optimizacinrea de Matemtica Ciclo Bsico Comn Universidad de Buenos Aires 7Ejemplo 4Sea :[0; ) f + ,definidapor21( )4fxx=+.Seconsideranlostringulosdevrtices(0, 0) A = , ( , ( )) B x fx = y (2 , 0) C x = . Hallar las dimensiones del tringulo de mayor rea.Hacemos un grfico aproximado de f y de un tringulo.Sea ( ) a x el rea del tringulo ABC. Es decir2 2base altura 2 ( ) 1( )2 2 4 4x fx xa x xx x = = = =+ +.Calculamos la derivada de la funcin rea222 2 2 2 2 2( 4) 2 (2 )(2 )4( )( 4) ( 4) ( 4)x x x x xxa xx x x+ +' = = =+ + +.EntoncesTericas de Anlisis Matemtico (28) Prctica 7 Optimizacinrea de Matemtica Ciclo Bsico Comn Universidad de Buenos Aires 8( ) 0 (2 )(2 ) 0 2 o 2 a x x x x x ' = + = = = .Dado que [0; ) x e + , el nico valor en el que se anula la derivada es 2 x = .Como a' es continua en (0; ) + , utilizando el teorema deBolzano, podemos afirmar que su nicocero divide a (0; ) + en dos intervalos en los que el signo de a' es constante.Los intervalos para analizar son (0; 2) y (2; ) + , por lo dicho anteriormente, para conocer el signode a' , basta con calcularlo en un valor particular de cada intervalo.En (0; 2) , elegimos 1 x = . Como2 2(2 1)(2 1)(1) 0(1 4)a +' = >+, resulta que ( ) 0 a x ' > para todo (0; 2) x e .Estoimplicaque a esestrictamentecrecienteen (0; 2] .En (2; ) + elegimos 3 x = .Como2 2(2 3)(2 3)(3) 0(3 4)a +' = para todo1;2| |e + |\ .x . Esto implica que mes estrictamente creciente en1;2 |+|

..En resumen tenemosx10;2| | |\ .121;2| |+ |\ .1( ) 04m' paratodo (18; ) x e + . Esto implica que m es estrictamente creciente en (18; ) + .De esto se deduce que la funcin S tiene un mnimo local en 18 x = .Dadoque S escontinuaen (3; ) + ,esestrictamentedecrecientealaizquierdade 18 x = yestrictamentecrecientealaderechade 18 x = ,porloqueconcluimosque S tieneunmnimoabsoluto en 18 x = .Lasdimensionesdelapginaparalaqueelconsumodepapel esmnimoson: 18 x = y3004 2418 3y = + =.Estn en condiciones de terminar laPrctica 7.Cintia Buxton, Lisi DAlfonso, Flora Gutierrez, Gabriela Jeronimo, Gustavo Massaccesi, Juan Carlos Pedrazay Juan Sabia (2015), Optimizacin, Tericas de Anlisis Matemtico (28).