Parte 2 Modelos de Optimizacion

7/24/2019 Parte 2 Modelos de Optimizacion

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MODELOS DE OPTIMIZACIÓNRESTRINGIDA

Programación Lineal



Programación lineal La programación lineal es el planteamiento de

modelos en forma numérica y en donde lasvariables de decisión sobre las cuales se basa el

modelo son lineales



SistemaReal

SistemaReal MODELO

MODELO

Implementación

ImplementaciónResultados

ResultadosDecisión

final

Decisión

final

Decisión

óptima

Decisión

óptima

Comparación

(+) o ( -)

Austes



• !aria"les de decisión• #ar$metros % constantes• &unción de optimi'ación Ma*Min• Ecuaciones de restricción

Cu$l es la

estructura del

modelo matem$tico,



ProblemaTecnipolímeros produce 2 líneas de tubo especial flexible,

simple y reforzado. La mayor demanda la presenta el tubo

simple (!"# $ue es utilizado en construcción. l resto de la

producción se destina al tubo reforzado (%!"# utilizado

en agricultura para riego y transporte de agua. &mbos se producen con el mismo e$uipo y en el mismo departamento.

l gerente de mercadeo asegura $ue el próximo mes se

vender'n todos los rollos de !" y %!" $ue se produzcan.

La utilidad por cada !" es de )***.** y de+***.** por cada %!".

Nota: cada rollo mide 2000 metros y se vende para producir

rollos mas pequeños



El proceso rimero se realiza el aglomerado de la materia prima y luego su

extrusión. ara aglomerarlo -ay una disponibilidad de )* -r./mes

y para la extrusión 0* -r./mes. ara el !" se necesitan * -r. de

aglomerado y 2* -rs. de extrusión y para el %!" ) -rs. de

aglomerado y * de extrusión. 1ontrol de calidad, para cumplir con la producción necesita un mínimo de un * menos de -oras

por mes del disponible en aglomerado ()*#. ara el 11 del !" se

re$uiere 3* -rs. y cada %!" * -rs. La política $ue se -a mantenido

es $ue por cada !" se producen no mas de 3 %!". xiste un pedido de ) rollos de cual$uier combinación de !" y %!".

4ptimizar la producción de rollos.



Planeamieno! 5rs.

!" %!" 6isponibilidad/total

&glomerado * ) )*

xtrusión 2* * 0*

1.1. 3* * 3)

olítica 3 edido )



Planeamieno!7i identificamos como a los rollos de !" y como % a los rollos

de %!", podemos expresar las relaciones matem'ticamente de la

siguiente manera8

9estricciones

5FE 03F-E3FE 13510F30E

16010F20E15015F10E

≥+

≤⇒≤≥+

≤+

≤+



Planeamieno! l interés del problema es la optimización de las utilidades a

través de la producción de rollos de poliducto.

ue nos interesa8

s decir, maximizar la suma de utilidades

%unción 4b:etivo

4000F5000EMax. +



Planeamieno

maem"ico!

9estricciones de no

negatividad.

;. 9.

4000F5000EMax. +

0FE,5FE

03F-E13510F30E16010F20E15015F10E

≥≥+

≤

≥+

≤+

≤+



Gra#cación $e

$esig%al$a$es!<na desigualdad es una expresión matem'tica $ue contiene

un signo mayor $ue, menor $ue, mayor o igual $ue, menor o

igual $ue. studiaremos las desigualdades!igualdades $ue son

las $ue nos interesan, los pasos a seguir son8

.! 1onvertir la desigualdad en igualdad y graficar.

2.! scoger un punto de referencia (cual$uier punto $ue no

pertenezca a la recta.

3.! =aluar el punto de ensayo y verificar8a# si el punto satisface la desigualdad todos los puntos

de ese lado la satisfacen.

b# si no satisfacen la desigualdad entonces todos los

puntos $ue no estén en ese lado la satisfacen.



E&emplo '! 4

3

2

1

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-1

-2

-3

> 2

>

unto de ensayo

9egión de desigualdad

?o existe relación entre el sentido de la desigualdad y el cuadrante

2- x-2xGraficar 12 ≤



E&emplo (!@raficar el siguiente sistema lineal8

0FE,5FE03F-E

13510F30E16010F20E15015F10E

4000F5000EMax.

≥

≥+≤

≥+

≤+

≤+

+



16

14

12

10

8

6

4

2

0 2 4 6 8 10 12 14 16

%

.E + /& 0 /.

1.E + .& 0 2.

3.E + .& 0 3/

E 4 3& 0 .

E + & 0/

RE5IO6 &AC7I8LE



Región )acible s el 'rea dentro de la cual se satisfacen todas las restricciones

a las $ue esta sometido el modelo y dentro de la cual se encuentra

la solución optima localizada en un vértice.

Restriccin Redundante

s a$uella restricción $ue al $uitarla no -ace cambiar la

región factible, es decir no se encuentra dentro de la región

factible y no conforma un vértice de la misma.



Sol%ción ara encontrar la solución al sistema planteado gr'ficamente

se le dan valores totales aleatorios a la función ob:etivo y se

grafican tratando de $ue coincidan con algAn vértice de la

región factible y es en ese vértice en donde se encuentra la solución óptima.



16

14

12

10

8

6

4

2

0 2 4 6 8 10 12 14 16

%

9 0 1 . : . . .

9 0 3 1 : . . .

9 0 / . :

/ . . <?T4 4TBC4



Sol%ción!1omo se puede ver $ue el punto óptimo esta en la intersección

de las rectas

* D )% E )* y

2* D *% E 0*

7e despe:an las incógnitas ya $ue se tienen dos ecuaciones con

dos incógnitas. Cultiplicando la primera por dos y rest'ndole

la segunda se tiene8

2* D 3*% E 3**

!2* ! *% E !0*

2*% E +* lo $ue -ace $ue % E F

y E +.)



La solución encontrada debe de satisfacer todas las desigualdades.

7ubstituyendo tenemos los siguiente8 E +.), % E F

10 (4.5) + 15(7) = 15020 (4.5) + 10(7) = 16030 (4.5) + 10(7) = 205

4.5 - 3(7) = -16.5 4.5 + 7 = 11.5 4.5, 7 > 0

Comprobación

0FE,5FE03F-E

13510F30E16010F20E15015F10E

≥

≥+≤

≥+

≤+

≤+



De#niciones Las desigualdades $ue en el punto óptimo se vuelven igualdades

se conocen como RESTRICCIONES ACTIVAS, y son por las

$ue pasa la solución óptima.

10 (4.5) + 15(7) = 150

20 (4.5) + 10(7) = 160

1uando en el planteamiento de un problema existe una igualdad

siempre es activa.



De#niciones studiemos la siguiente restricción8

&l valuarla en el punto óptimo $ueda como8

30 (4.5) + 10(7) = 205

La diferencia es8

2*) G 3) E F*

xcedente

3) 2*)

xcedente

13510F30E ≥+



De#niciones studiemos la siguiente restricción8

&l valuarla en el punto óptimo $ueda como8

4.5 - 3(7) = -16.5

La diferencia es8

!0.) G * E !0.)

5olgura

!0.) *

5olgura

03F-E ≤



De#niciones7i la restricción es inactiva, para una restricción H o E

-ay excedente y para una I o E -ay -olgura.

l término solución óptima o punto óptimo se refiere a

los valores de las variables de decisión $ue maximizano minimizan (segAn el caso# la función ob:etivo.

l término valor óptimo se refiere al valor de la función

ob:etivo valuada en el punto óptimo.

n el planteamiento de un sistema lineal no pueden existir

desigualdades exactas, todas son o igualdades o desigualdad

igualdad.



El problema $e la in$%sria $e

&%g%ees *Gala+ia,- Gala+ia pro$%ce $os ipos $e &%g%ees!

. Space Ra/

. Zapper

Los rec%rsos es"n limia$os a!

. '(00 libras $e pl"sico especial-

. 10 2oras $e pro$%cción semanalmene-



Re3%erimienos $e Mar4eing-

. La pro$%cción oal no p%e$e e+ce$er $e 500 $ocenas-

. El n6mero $e $ocenas $e Space Ra/s no p%e$ee+ce$er al

n6mero $e $ocenas $e Zappers por m"s $e 170-

Re3%erimienos Tecnológicos-

. Space Ra/s re3%iere ( libras $e pl"sico / 8 min%os $epro$%cción por $ocena-

. Zappers re3%iere ' libra $e pl"sico / 1 min%os $epro$%cción

por $ocena-



Plan com6n $e pro$%cción para!

. 9abricar la ma/or cani$a$ $el pro$%co 3%e $e&e me&ores

ganancias: el c%al correspon$e a Space Ra/ ;<5 $e %ili$a$por $ocena=-

. >sar la menor cani$a$ $e rec%rsos para pro$%cir Zappers:

por3%e esos $e&an %na menor %ili$a$ ;<7 $e %ili$a$ por$ocena=-

El plan com6n $e pro$%cción consise en!Space Ra/s ? 770 $ocenas

Zappers ? '00 $ocenas

>ili$a$ ? <1@00 por semana



Sol%ción ariables $e $ecisión

. B' ? Cani$a$ pro$%ci$a $e Space Ra/s ;en $ocenas

porsemana=-

. B( ? Cani$a$ pro$%ci$a $e Zappers ;en $ocenas por

semana=-

9%nción ob&eio

. Ma+imiar la ganancia semanal-



Modelo de Programación Lineal

Ma+ 5B' 7B( ;ganancia semanal=

S%&eo a!

(B' 'B( F? '(00 ;Cani$a$ $e pl"sico=8B' 1B( F? (100 ;Tiempo $e pro$%cción= B' B( F? 500 ;Limie pro$%cción oal=

B' B( F? 170 ;Pro$%cción en e+ceso= B & H? 0 : &? ': (- ;Res%la$os posiios=



1200

600

Restricción de plástico

Factible

Restricción del plástico:

2X1+X2<=1200

X2

No Factible

Horas deProducción

3X1+X2<=200

Restricción del total de producción:

X1+X2<=!00600

800

Restricción del

e"ceso de producción: X1#X2<=$0

X1



Resol%ción gr"#ca para enconrar

la sol%ción ópima-



600

800

1200

400 600 800

X2

X1

co%en&ar con una 'anancia dada de = (2)000***

tilid* = ( 000 2,

,ntonces au%ente la 'anancia***

***- contin.e /asta ue sal'a de la re'ión actible

anancia =($003 , )



600

800

1200

400 600 800

X2

X1

RegiónFactible

Re'ión no

actible



Res%men $e la sol%ción ópima

Space Ra/s ? 150 $ocenasZappers ? (10 $ocenasGanancia ? <7010

. Esa sol%ción %ilia o$as las maerias primas;pl"sico= /

o$as las 2oras $e pro$%cción- . La pro$%cción oal son (0 $ocenas ;no 500=-

. La pro$%cción $e Space Ra/s e+ce$e a la $e Zapperspor solo (10 $ocenas / no por 170-



E&emplo! La empresa %otogr'fica 7.&. produce dos tipos de lí$uidos para

revelado de fotografías. l primero, un reactivo $uímico para

revelar fotografías en blanco y negro cuya producción cuesta

J2,)**.** por tonelada. l segundo, un reactivo $uímico para

revelar fotografías en color, cuyo costo es de J3,*** la tonelada. & partir del an'lisis de los actuales niveles de inventario y de

los pedidos pendientes, el director de producción -a estimado

$ue se deben de producir para el próximo mes al menos 3* ton.,

del reactivo para blanco y negro y 2* ton., del reactivo para

color. &dem's en bodega -ay una materia prima altamente

perecedera $ue debe de consumirse en un período de 3* días y

$ue se utiliza en los dos $uímicos, así $ue con el fin de

consumírsela debe de producir al menos 0* ton., de ambos

reactivos



E&emplo (!7i llamamos8

> E ton., producidas del reactivo para blanco y negro

>2 E ton., producidas del reactivo para colores.

Las restricciones nos $uedarían así8

> K 3*

>2 K 2*

> D >2 K 0*



1omo en este problema tenemos datos de costo, lo $ue nos

interesa es minimizar ese costo, de tal forma $ue nuestra

función ob:etivo sería8

Cinimizar 2,)** > D 3,*** >2



60

!0

40

30

20

10

0 10 20 30 40 !0 60 "0 80 #0 100

>2

>

7olución @r'fica

>2 E 2*

> E 3*

> D >2 E 0*

9egión factible

C 0

; . : . . .

C 0 - 2 .

: . . . Pto. Optimo (40,20)



E&emplo! 6isponemos de 2*.*** euros para invertir en bolsa.

?os recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo

&, $ue rinden el * y las del tipo ;, $ue rinden el

. 6ecidimos invertir un m'ximo de 3*.*** euros

en las del tipo & y como mínimo 0*.*** en las del tipo

;. &dem's $ueremos $ue la inversión en las del tipo &

sea menor $ue el doble de la inversión en ;. M1u'l

tiene $ue ser la distribución de la inversión paraobtener el m'ximo interés anualN



E&emplo! n la siguiente tabla se resumen los datos clave a cerca de dos

productos & y ; y los recursos , 9, 7 $ue se necesitan para

producirlos.

Uso de recursos por unidadproducida

Rec%rso Pro$%co A Pro$%co J Cani$a$ $eRec%rso$isponible

K ( ' (

R ' ( (

S 8 8 1Ganancia/unid

ad<8:000 <(:000

9ealice el planteamiento del problema. 9esuelva gr'fica y algebraicamente.



E&emplo!<n restaurante prepara comidas para reparto a domicilio. ara este

fin de semana 2 locales le -an ordenado menAs $ue re$uieren algAn

tipo de carne y una ensalada. n ambos menAs, el restaurante

decide colocar una pieza de carne, sin embargo variar' la ensalada

de tal forma $ue para el local & piensa colocar " medidas de

ensalada por plato y para el local ; + medidas. 6ebido a la

diferencia de clientes $ue esta atendiendo el restaurante toma la

política de servir el menA del local ; en un plato y el del local & en

dos. n total el restaurante tiene una existencia de ** piezas decarne y el e$uivalente a 20* medidas de ensalada y platos

disponibles para despac-o a domicilio tiene 0*. Las ganancias por

menAs son * pesetas los del local & y ") los del local ;.

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