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ÁLGEBRA CIENCIAS ECONÓMICAS Trabajos Prácticos 2013

Práctica Álgebra económicas UBA (71)

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Práctica Álgebra económicas UBA (71). Guía de ejercicios de álgebra ciencias económicas UBA

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  • LGEBRA CIENCIAS ECONMICAS

    Trabajos Prcticos

    2013

  • CONTENIDO PRCTICA 1 RECTAS Y PLANOS EN R2 Y R3 1 PRCTICA 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 7 PRCTICA 3 ESPACIOS VECTORIALES 14 PRCTICA 4 MATRICES 20 PRCTICA 5 PROGRAMACIN LINEAL EN R2 31 PRCTICA 6 ALGORITMO SIMPLEX 38 EJERCICIOS DE FINAL RECTAS Y PLANOS EN R2 Y R3 44 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 45 ESPACIOS VECTORIALES 46 MATRICES 47 PROGRAMACIN LINEAL EN R2 49 ALGORITMO SIMPLEX 50

  • Prctica 1

    1

    PRCTICA 1 RECTAS Y PLANOS EN R2 Y R3

    1. a) Representar en R2 los puntos: A = (3,3) B = (2,1) C = 2A D = A

    E = A + B F = B A G = B.

    b) Calcular las coordenadas de C, D, E y F. c) Representar en el plano 5 puntos de la forma kA, con k un nmero real. d) Representar en el plano 5 puntos de la forma kF, con k un nmero real.

    2. a) Encontrar un punto P de la forma (x,2x) que verifique P + (1,2) = (3,2). b) Existe un punto Q de la forma (x, x+2) que verifique Q + (1,1) = (2,5)? c) Encontrar todos los a y b en R para los cuales sea 2(a,1) + (1,3) = (5,b).

    3. Representar en R2: a) todos los puntos de abscisa 3 b) todos los puntos de abscisa mayor o igual que 3 c) todos los puntos de ordenada 1 y abscisa x tal que x2 = 16.

    4. a) Representar la recta que pasa por los puntos (1,1) y (2,2). b) En cada caso decidir si el punto P pertenece a la recta representada: i) P = (2,1); ii) P = (0,0); iii) P = (2,3); iv) P = (x,x) .

    c) Representar la recta que pasa por los puntos (1,2) y (1,5). 5. Dar las ecuaciones paramtrica e implcita de las rectas del ejercicio 4.

    6. Dar las ecuaciones paramtrica e implcita de la recta que pasa por los puntos (3,1) y (4,1).

    7. a) Dar las coordenadas de dos puntos de la recta de ecuacin x + y = 2. b) Graficarla y dar su ecuacin paramtrica.

    8. Dar la ecuacin: a) implcita de la recta L: X = (5,1) + (2,1)

  • Prctica 1

    2

    b) implcita de la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,2) c) paramtrica de la recta que pasa por los puntos (5,5) y (4,1) d) paramtrica de la recta L1: x + 3y = 1 e) implcita de la recta L2: X = (1,5) + (2,0).

    9. a) Escribir la ecuacin implcita de las rectas de los ejercicios 8.c) y 8.d). b) Determinar la pendiente de esas rectas.

    10. Dar la ecuacin de la recta: a) de pendiente 2 que pasa por (1,0) b) de pendiente 0 que pasa por (1,3).

    11. Hallar un punto P de modo que la pendiente de la recta que pasa por P y por (3,1) sea 4.

    12. Representar grficamente, en el mismo plano, las rectas L1: x + 3y = 2 y L2: x + 3y = 2.

    Comparar sus pendientes.

    13. a) Dar la ecuacin paramtrica de la recta paralela a L: X = (2,3) + (1,1) que pasa por (0,0).

    b) Dar la ecuacin implcita de la recta paralela a L: 3x + 2y = 3 que pasa por (1,1).

    14. Las ganancias de cierta empresa crecen linealmente. El primer ao fueron de $ 750 y en el quinto ao llegaron a $ 6750.

    a) Plantear la ecuacin que representa las ganancias en funcin de los aos transcurridos. Graficarla.

    b) Cul ser la ganancia a los 12 aos de instalada? c) Cundo llegar a ser de $ 21750?

    15. El costo de un viaje en taxi es una suma fija ms una cantidad por cuadra recorrida. Si cobra $ 3,90 por un recorrido de 10 cuadras y $ 6,24 por un

    recorrido de 23 cuadras:

    a) expresar el costo en funcin de las cuadras recorridas

  • Prctica 1

    3

    b) indicar la suma fija c) indicar cuntas cuadras se recorrieron si se pagaron $ 5,16.

    16. La factura mensual por el uso de un telfono celular se compone de un cargo fijo y cierta cantidad por minuto utilizado. Por un mes con

    30 minutos de uso se pagaron $ 39 y por otro, con 23 minutos de uso, se

    pagaron $ 36,20.

    Cul es el cargo fijo y cul es la cantidad que se paga por minuto?

    17. Hallar la interseccin de las rectas L1 y L2 si: a) L1: 3x + y = 3 y L2: X = (1,3) + (2,0) b) L1: 2x + 3y + 13 = 0 y L2: y = 7x + 2 c) L1: X = (4, 1) + (2,1) y L2: X = (1,2) + (0,1).

    18. En cada caso graficar las rectas, analizar las posiciones relativas y encontrar los puntos de interseccin:

    a) L1: 2x + y = 3 L2: 2x y = 1 b) L1: x + 3y = 6 L2: 2x 6y = 2 c) L1: x 2y =1 L2: 3x 6y =3 d) L1: x y = 3 L2: 2x + y = 1 e) L1: x y = 3 L2: 3x + y = 5

    19. Sean L1: x 2y = 2; L2: 2x + y = 3 y L3: X = t (1,7). Dar la ecuacin paramtrica de la recta L que pasa por el punto de

    interseccin de L1 y L2 y por el punto de interseccin de L2 y L3.

    20. L es la recta que pasa por P = (1,3) y Q = (2,4). Hallar b tal que la recta que es paralela a L y pasa por (b,5), tambin pase por (2,2).

    21. Dos empresas familiares fabrican zapatos deportivos. La empresa A hizo una inversin inicial de $ 2800 y cada par de zapatos

    que vende le rinde una ganancia de $ 7. La ganancia de la empresa B

    est dada, en funcin de los pares de zapatos vendidos, por la frmula

    g(x) = 11 x 5500.

  • Prctica 1

    4

    a) Cul de las dos empresas hizo una mayor inversin inicial? b) Cuntos pares de zapatos debe vender la empresa A para recuperar su inversin inicial?

    c) A partir de cuntos pares de zapatos vendidos, la ganancia de la empresa B ser mayor que la de la empresa A?

    22. Un fabricante de guantes tiene costos fijos mensuales de $ 2100 y de $1,20 por cada par de guantes que produce.

    Si vende cada par de guantes a $5,40, encontrar el punto de equilibrio y

    el costo de produccin en ese punto.

    Observacin: El punto de equilibrio es el nivel de produccin mensual

    necesario para cubrir el costo de produccin.

    23. La fbrica de empanadas El Repulgo invirti $ 5200 en instalaciones y obtiene $ 3,60 de ganancia por la venta de cada docena de empanadas.

    La fbrica Pachamama hizo una inversin inicial de $ 1600 y la ganancia

    que obtiene por cada docena de empanadas es la mitad de la que obtiene

    El Repulgo. A partir de cuntas docenas de empanadas El Repulgo

    obtiene ms ganancia que Pachamama ?

    24. Representar en R3: A = (2,0,0) B = (2,2,0) C = (2,2,2) D = (0,0,1) E = (0,3,1) F = (2,0,1).

    25. Si A = (0,0,2); B = (4,0,0) y C = A + B, a) representar A, B y C b) calcular las coordenadas de C.

    26. Un cubo tiene vrtices en (0,0,0); (2,0,0); (0,2,0) y (0,0,2); escribir las coordenadas de los otros 4 vrtices del cubo.

    27. a) Si A = (1,1,2); B = (1,3, 4) y C = (1,1, 0), hallar tal que A + B = C.

    b) Encontrar, si es posible, y tales que i) (1,3,0) = (1,2,1) + (0,2,2) ii) (1,2,2) = (1,2,0) + (0,2,0).

  • Prctica 1

    5

    28. Escribir la ecuacin paramtrica de la recta: a) que tiene direccin (1,1,2) y pasa por el origen de coordenadas b) que tiene direccin (1,1,2) y pasa por el punto (0,2,3) c) que es paralela a L: (2,1,1) + (2, 4,1) y pasa por el punto (0,3,2) d) que pasa por el punto (3,4,1) y por el origen de coordenadas e) que pasa por los puntos (1,5,1) y (4,3,2).

    29. Sean en R3 las rectas L1: (1,2,1) + (1,3,5) y L2 que es paralela a L1 y pasa por el punto (3,2,4)

    a) hallar el punto de L2 que tiene coordenada x3 = 0 b) decidir si los puntos (1,1,7) y (1,2,6) estn en L2.

    30. Hallar todos los valores de k para los cuales la recta que pasa por los puntos (1,1,1) y (4, k,2) es paralela a la recta L: t(1,2,1) + (0,3,2).

    31. Dadas las rectas L1: (1,2,1) + (2,3,2) L2: (0,1,1) + (1,3,1)

    L3: (2,4,2) + (1,5,0) L4: (2,4,2) + (3,5,3) a) hallar: i) L1 L2 ii) L1 L3 iii) L2 L3 iv) L1 L4 b) analizar las posiciones relativas de cada par de rectas.

    32. Sean la recta L: (1,1,2) + (0,0,3) y el punto A = (3,1,0); determinar un punto B tal que la recta que pasa por A y B sea paralela a L.

    33. Dar las coordenadas de 3 puntos que estn: a) en el plano coordenado x1x2 b) en el plano paralelo al plano coordenado x1x2, que contiene al punto (0,0,1).

    34. Escribir la ecuacin paramtrica y representar en R3 el plano: a) que pasa por los puntos A = (0,0,0), B = (1,0,0) y C = (0,1,0) b) que pasa por los puntos A = (0,0,1), B = (1,0,1) y C = (0,1,1) c) coordenado x1 x2, Comparar con a) d) que pasa por los puntos A = (0,0,0), B = (2,0,1) y C = (1,0,3) e) que pasa por los puntos A = (1,3,1), B = (2,1,1) y C = (3,4,1).

  • Prctica 1

    6

    35. Dar la ecuacin implcita de: a) todos los planos coordenados b) todos los planos del ejercicio 34.

    36. Hallar las intersecciones de los planos 1 y 2 en cada caso: a) 1: x1 = 0 2: x3 = 0 b) 1: x2 = 0 2: x3 = 2 c) 1: x1 + x3 = 0 2: x2 x3 = 0 d) 1: x 1 + x2 2x3 = 0 2: 2x1 + x3 = 2 e) 1: x 1 + x2 x3 = 0 2: 2x1 + 2x2 2x3 = 3 f) 1: x 1 + x2 x3 = 1 2: 2x1 + 2x2 2x3 = 2

    37. Dar las ecuaciones implcitas de las rectas: a) L1: (1,3,1) + (2,0,0) b) L2: (3,0,1) + (1,1,1)

    38. Dar la ecuacin implcita de un plano que contenga a la recta L: (1,1,0) + (2,0,1).

    39. Encontrar el valor de a para que la recta que pasa por (1,a,2) y (1,5,4)

    sea paralela a la recta dada por L: 12 3

    x 1x x 5

    = + = .

    40. Hallar la interseccin de la recta L con el plano si: a) L: (1,2,1) + (2,2,3) : x3 = 0

    b) L: 1 2 31 3

    x x x 1x x 2

    + = + = : x2 = 3

    c) L: 1 2 31 3

    x x x 1x x 2

    + = + = : (1,0,0) + (0,1,2) + (0,0,1)

    d) L: (0,1, 1) + (0,1,1) : x2 + x3 = 2

    e) L: (0,1, 1) + (0,1,1) : x2 + x3 = 0

  • Prctica 2

    7

    PRCTICA 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

    1. Decidir cules de los puntos A,B,C,D, son solucin del sistema S en cada caso

    a) S 1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    x x x 1x 2x 3x 2 x 5x 5x 3

    + + = + = + =

    A = (0,0,0) B = (2,1,2) C = (1,2,3) D = 4 1( , ,0)3 3

    b) S

    2 3 4

    1 2 3 4

    1 2 3

    1 2 4

    x x 2x 02x x x x 0

    x 3x x 03x 2x x 0

    + + = = + + = + =

    A = (0,0,0,0) B = (2,1,4,3) C = (2,5,13,4) D = (1,1,1,1)

    2. Dar en forma paramtrica las soluciones de cada uno de los sistemas.

    a) + = + =

    1 2 3

    2 3

    x 2x x 0 2x x 0

    b) + = + =

    1 2 3

    2 3

    x 2x x 3 2x x 4

    c) 1 2 3

    2 3

    3

    x x x 1 x x 3 2x 4

    + = = = d)

    1 2 3

    3 4

    4

    x x x 7x x 3

    x 1

    + + = + = =

    e) 1 42 4

    x x 0 x x 0

    + = + = f) 1 4

    2 4

    x x 1 x x 2

    + = + =

    3. Aplicar el mtodo de Gauss para llevar el sistema a la forma triangulada, y luego escribir las soluciones en forma paramtrica. Interpretar

    geomtricamente.

  • Prctica 2

    8

    a) + = + =

    1 2 3

    1 2 3

    x 2x 2x 1 x x x 7

    b)1 2

    1 2 3

    1 3

    3x x 1 x x x 52x x 0

    = + = + = c)

    1 2 3

    1 2

    1 2 3

    2x x 4x 12x x 34x 3x 2x 7

    + = = + =

    4. Para cada una de las siguientes matrices, encontrar una matriz triangulada por filas equivalente y determinar su rango.

    a)

    1 0 2 12 1 2 01 1 2 21 0 0 1

    b)

    2 2 2 11 0 3 23 2 3 23 4 3 5

    c)

    3 3 2 0 91 2 4 3 10 2 2 4 01 8 4 8 00 1 0 0 5

    d)

    2 2 4 4 52 1 3 1 04 3 7 3 50 1 1 5 58 3 11 6 5

    5. Para cada uno de los siguientes sistemas: a) aplicar el mtodo de Gauss para triangularlo b) hallar el rango de la matriz de coeficientes y el rango de la matriz ampliada

    c) decidir si es: incompatible, compatible determinado o compatible indeterminado

    d) si es compatible, resolverlo.

    S1 1 2 3

    1 2

    1 3

    2x x x 1 x x 33x 4x 1

    + = = + = S2

    1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    x x x 12x x 3x 25x x 11x 3

    + + = = + =

    S3

    2 3 4

    1 2 3 4

    1 2 3

    1 2 4

    x x 2x 12x x x x 2

    x x 3x 13x x 2x 2

    + + = = + + = + =

    S4

    2 3 4

    1 2 3 4

    1 2 3 4

    1 3 4

    x x x 0x 2x x 5x 0x x 2x x 0x 3 x 2x 0

    + = + = + = + =

  • Prctica 2

    9

    S5

    2 3 4

    1 2 3 4

    1 2 3 4

    1 3 4

    x x x 0 x 2x x 5x 0

    x x 2x x 0x x 2x 0

    + = + = + = + =

    S6 1 2 3 4

    1 3 4

    1 2 3 4

    2x x x 3x 1x x 2x 3

    3x 2x 3x 4x 1

    + + = + = + + =

    S7

    1 2 3 4 5

    1 3 4

    1 2 3 4 5

    1 2

    x 3x 4x 4x 3x 22x x x 2

    x x x x x 0x x 2

    + + + = + = + + + = + =

    6. Hallar las soluciones del sistema + = + = =

    1 2 3

    1 2 3

    1 2

    x x x 0x 3x 2x 1

    3x 2x 1

    que verifican la ecuacin =2x 0 .

    7. Encontrar las coordenadas de todos los puntos de la recta de ecuacin

    X = (2,2,2)+(0,1,0) que son soluciones del sistema + + = + = x y z 1

    x y 1

    8. Dadas las ecuaciones + = =

    3x y z 3 x 2y 3z 1

    agregar una tercera ecuacin de manera que el sistema lineal de tres

    ecuaciones con tres incgnitas resultante tenga a (0,2,1) como nica solucin.

    9. Una compaa de enchapados para joyas de fantasa fabrica dos mezclas distintas, ambas a base de plata y oro.

    La mezcla Premium lleva 7 g de polvo de oro por cada 3 g de polvo de plata.

    La mezcla Standard lleva 4 g de polvo de oro por cada 6 g de polvo de plata.

    La compaa posee en este momento un stock de 35 kg de polvo de oro y 30 kg

    de polvo de plata. Cuntos kg de cada tipo de mezcla debe fabricar para

    agotar el stock?

    10. Las harinas de soja, garbanzos y trigo burgul intervienen en la composicin de tres alimentos: Soji, Garbi y Burgui, fabricados por una empresa.

  • Prctica 2

    10

    En la siguiente tabla se detalla la composicin de los mismos.

    Soja Garbanzos Trigo burgul

    Soji 50 % 30 % 20 %

    Garbi 10 % 50 % 40 %

    Burgui 20 % 20 % 60 %

    La empresa pretende agotar los insumos que reciba.

    La cantidad de toneladas de cada tipo de harina a recibir est entre una de las

    tres opciones siguientes:

    Opcin I Opcin II Opcin III

    Soja 2 4 6

    Garbanzos 3 3 6

    Trigo burgul 5 3 8

    Determinar las cantidades de los tres alimentos que pueden producirse para cada opcin de insumos recibidos.

    11. Un turista que viaj a Europa visit Berln, Roma y Praga. En Berln gast por da $150 en hospedaje y $ 100 en alimentos;

    en Roma gast por da $100 en hospedaje y $ 150 en alimentos;

    en Praga gast por da $100 en hospedaje y $ 100 en alimentos.

    Por conceptos varios gast $ 50 por da en cada una de las tres ciudades.

    A su regreso, el registro de gastos indicaba en total, $ 1700 en hospedaje,

    $ 1600 en alimentos y $ 700 en gastos varios.

    Calcular cuntos das estuvo el turista en cada una de las tres ciudades, o

    bien mostrar que el registro es incorrecto.

    12. Para cada tem, dar todas las posibilidades, teniendo en cuenta que las soluciones deben ser nmeros enteros no negativos.

    i) Una compaa de detergentes fabrica los productos: LAV, BRI, CIC y PRO a partir de tres sustancias AS, SP y TS.

    La tabla siguiente muestra, en cientos de kg, las cantidades de materia

    prima necesarias para fabricar un envase de cada producto y el stock.

  • Prctica 2

    11

    LAV BRI CIC PRO stock

    AS 4 8 4 4 60

    SP 2 5 2 3 36

    TS 3 7 4 3 50

    Encontrar el nmero de envases de cada producto que se puede fabricar

    utilizando todo el material disponible.

    ii) Una empresa tiene tres mquinas para fabricar cuatro productos diferentes. Para producir una unidad del producto A se requieren 1h de la mquina I,

    2h de la mquina II y 1h de la mquina III.

    Para producir una unidad del producto B se requieren 2h de la mquina I

    y 2h de la mquina III.

    Para producir una unidad del producto C se requieren 1h de la mquina I,

    1h de la mquina II y 3h de la mquina III.

    Para producir una unidad del producto D se requieren 2h de la mquina I

    y 1h de la mquina II.

    Determinar cuntas unidades se deben fabricar de cada producto en un da

    de 8 horas, suponiendo que cada mquina se utiliza 8 horas completas.

    iii) Una compaa de transportes posee tres tipos distintos de camiones, que estn equipados para el transporte de dos clases de maquinaria pesada.

    Los camiones de tipo A pueden transportar 2 mquinas de la clase I.

    Los de tipo B pueden transportar 1 mquina de cada clase.

    Los de tipo C pueden transportar 1 mquina de la clase I y 2 de la clase II.

    La empresa debe transportar 32 mquinas de la clase I y 10 mquinas de

    la clase II.

    Determinar cuntos camiones de cada tipo se requieren para transportar

    todo el pedido, suponiendo que cada camin debe ir con la carga completa.

    13. Una empresa prepara tres clases de alimentos para perros A, B y C. Dispone de 660 kg de hueso molido, 680 kg de carne disecada y 760 kg de

    salvado de cereal.

  • Prctica 2

    12

    Para preparar 100 kg de alimento A utiliza 40 kg de hueso molido, 30 kg de

    carne disecada y 30 kg de salvado de cereal.

    Para preparar 100 kg de alimento B utiliza 40 kg de hueso molido, 50 kg de

    carne disecada y el resto de salvado de cereal.

    Para preparar 100 kg de alimento C utiliza 20 kg de hueso molido, 20 kg de

    carne disecada y el resto de salvado de cereal.

    Cuntos kg de cada alimento debe preparar para agotar el stock de materia

    prima?

    14. Determinar todos los valores de k que hacen que el sistema sea: incompatible, compatible determinado o compatible indeterminado.

    a) 1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    x 2x x 5x x 3x 1x 3x 5 x k

    + + = + = + + = b)

    1 2 3

    1 2

    1 3

    3x x 10x 1x 3x 7x kx 1

    + = + = + =

    15. Determinar los valores de k para los cuales el rango de la matriz ampliada del sistema S es igual al rango de la matriz del sistema homogneo asociado.

    S 1 2 3

    2 3

    1 2 3

    x 2x 4x 7x 2x 3

    x x kx 4

    + + = + = + =

    16. Determinar el valor de k para que el sistema tenga infinitas soluciones. Para el valor hallado, resolver el sistema.

    1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    x 3x x 24x x 2x 15x 7x kx 4

    + + = + = + + =

    17. Encontrar, en cada caso, todos los valores de a y b para los cuales el sistema cuya matriz ampliada es M, resulta compatible.

    a) M = 1 2 12 2a b

    ## b) M =

    + ##2

    1 2 3 b0 a 9 a 3 a b

  • Prctica 2

    13

    18. Se sabe que (1,2,1) es una solucin del sistema

    1 2 31 2 3

    ax x bx 1 x ax x 2

    + = + = . Encontrar todas las soluciones del sistema.

    19. Determinar todos los valores de a y b para que el sistema cuya matriz

    ampliada es A =

    ####

    1 1 1 1 20 1 1 2 32 1 1 0 a1 1 3 1 b

    tenga solucin.

    20. Encontrar todos los puntos (a,b,c) de la recta L : X = (1,1,1) + (0,1,2)

    para los cuales el sistema S 3x 2y z a x y z b

    2x 3y 2z c

    + = + = + = tiene solucin.

    21. Decidir para qu valores de el sistema S tiene solucin nica,

    para qu valores de tiene infinitas soluciones y

    para qu valores de no tiene solucin.

    Resolver el sistema para algn valor de para el cual el sistema

    admita infinitas soluciones.

    S 2x 3 y 3z x 2 x y ( 1)z y 1x 3y z z 1,5

    + = + + + = + + =

    22. Hallar todos los valores de a y b tales que los sistemas S1 y S2 tienen exactamente una solucin en comn.

    S1 + = + = =

    1 2 3

    1 2 3

    1 3

    x x x 12x x 3x 3

    x ax 2 S2

    + + = + + =1 2 3

    21 2 3

    x 4x 2x 2

    x a x 2x b

  • Prctica 3

    14

    PRCTICA 3 ESPACIOS VECTORIALES

    Definicin 1: Un espacio vectorial real es un conjunto V cuyos elementos se llaman vectores, provisto de dos operaciones: suma (+) y producto por

    escalares (.).

    La suma, que a cada par de vectores (v, w) de V le asigna el vector v + w de V y el producto por escalares, que a un nmero real y un vector v de V le asigna un vector .v de V, verifican las siguientes propiedades: i) (v + w) + s = v + (w + s) (asociatividad) ii) v + w = w + v (conmutatividad) iii) 0 + v = v + 0 = v para todo v V (existencia de elemento neutro) iv) para todo v V existe otro vector al que llamaremos v, que verifica v + (v) = (v) + v = 0 (existencia de inverso aditivo) v) para todo v V, 1.v = v vi) si R, v V y w V, .(v + w) = .v + .w (distributividad del producto por escalares respecto a la suma de V) vii) si R, R y v V, ( + ).v = .v + .v (distributividad del producto por escalares respecto a la suma de R) viii) si R, R y v V, (. ).v = .(.v) SUBESPACIOS - GENERADORES Definicin 2: Un subconjunto S de un espacio vectorial es un subespacio si:

    i) 0 S ii) Si v y w son dos vectores de S, la suma v + w S iii) Si v S y es cualquier escalar en R, el producto .v S.

  • Prctica 3

    15

    Definicin 3: Si V es un espacio vectorial real y v1, v2, , vr son vectores de V, un vector v de V que se escribe en la forma v = 1.v1 + 2.v2 + + r.vr para algn conjunto de escalares 1, 2, , r en R, es una combinacin lineal de v1, v2,, vr.

    El conjunto de todas las combinaciones lineales de v1, v2, , vr es un subespacio de V. Se llama el subespacio generado por v1, v2, , vr y se nota < v1, v2,, vr>.

    Definicin 4: En un espacio vectorial V, un conjunto C = {v1, v2, , vr} es un sistema de generadores de V si todo vector de V es combinacin lineal de los vectores de C.

    DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL BASES Definicin 5: Un conjunto C = {v1, v2, , vr} de vectores de un espacio vectorial se llama linealmente dependiente si existe un conjunto de escalares 1, 2, , r en R, no todos nulos tales que 1.v1 + 2.v2 + + r.vr = 0. En caso contrario, el conjunto se dice linealmente independiente, es decir, un conjunto C = {v1, v2, , vr} es linealmente independiente si una combinacin lineal de ellos da cero solamente si los escalares son todos cero

    ( 1.v1 + 2.v2 + + r.vr = 0 1 = 2 = = r = 0).

    Definicin 6: Un conjunto C = {v1, v2,, vr} de vectores de un espacio vectorial V es una base de V si es un conjunto de generadores linealmente independiente.

    Propiedad: Dos bases distintas de un mismo espacio vectorial tienen el mismo

    nmero de elementos.

    Definicin 7: El nmero de elementos de cualquier base de un espacio vectorial

    es la dimensin del espacio vectorial.

    En Rn el conjunto de n-uplas (1,0, ,0); (0,1,0, ,0); (0,0, ,0,1) es una base, se llama base cannica de Rn.

  • Prctica 3

    16

    1. Determinar si es posible escribir el vector v = (2,3,4) como combinacin lineal de los vectores dados:

    a) (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) b) (1,3,2), (3,0,2) c) (2,1,0), (1,3,2) d) (1,1,1), (6,9,12)

    2. Hallar el valor de k para que el vector (1,5,k) sea combinacin lineal de los

    vectores (1,1,0) y (1,2,3).

    3. Describir geomtricamente el subespacio S y decidir en cada caso si los vectores v y w pertenecen a S.

    a) S = < (3,2)> v = (1, 23

    ) w = (6,1)

    b) S = < (1,2,3)> v = ( 1 2 3, , )5 5 5

    w = (1,2,3)

    c) S = < (1,2,3), 1 2( , ,1)3 3

    > v = (2,4,6) w = ( 3 9,3, )2 2

    d) S = < (1,0,1), (1,0,1) > v = (0,0,2) w = (3,1,2) e) S = < (1,1,2), (2,1,0) > v = (1,0,2) w = (3,0,2)

    4. Si u = (1,2,1), v = (3,0,4) y S = < (1,0,1), (0,2,1) >, decidir si el vector 2u + v S.

    5. Hallar todos los valores de R para que (10,5,) no pertenezca al subespacio < (1,1,1), (2,1,3) >.

    6. Decidir si los siguientes conjuntos de vectores generan Rn:

    a) n = 2 {(3,2), (2,1)} b) n = 2 {(3,1), (9,3)} c) n = 3 {(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1)} d) n = 3 {(1,1,1), (0,1,1), (2,1,5)} e) n = 3 {(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1), (1,2,1)}

  • Prctica 3

    17

    7. Determinar el valor de a para que el vector (1,1,2) pertenezca al subespacio S = {(x1, x2, x3) / x1 + ax2 x3 = 0} .

    8. Decidir si los siguientes conjuntos de vectores son o no linealmente independientes.

    a) {(2,1), (3,2)} b) {(2,3), (4,6)} c) {(1,1,2), (1,0,1), (1,0,1)} d) {(1,1,2), (1,2,1), (0,1,1)}

    9. Hallar todos los k R para los cuales: a) (1,1,1), (3,2,0), (4,1,k) son linealmente independientes b) (4,1, k) es combinacin lineal de (1,1,1) y (3,2,0).

    10. Determinar cules de las siguientes sucesiones de vectores son base de R3. Justificar.

    a) (1,1,0), (0,1,1) b) (1,1,0), (0,1,1), (0,0,0)

    c) (1,1,0), (0,1,1), (1,1,1) d) (1,1,0), (0,1,1), (0,1,1) e) (1,2,3), (0,0,1), (1,1,1) f) (1,0,1), (1,2,3), (0,0,1), (1,2,1)

    11. Hallar base y dimensin de los siguientes subespacios

    a) S = {x R3 /1 2 3

    1 3

    1 2

    x x x 02x x 0

    x x 0

    + + = + = = }

    b) S = {x R3 / x1 + 2x2 x3 = 0}

    c) S = {x R4 / x1 + 3x2 x4 = 0}

    d) S = < (3,1,2), (2,1,1) >

  • Prctica 3

    18

    e) S = {x R4 / 1 2 3

    3 4

    4

    x x x 0x x 0

    x 0

    + = + = = }

    f) S = < (1,2,1,1), (2,1,3,0), (3,3,4,1) >

    12. Hallar dos bases distintas de cada subespacio S

    a) S = {xR3 / x1 + x2 + x3 = 0, x1 + x3 = 0} b) S = {xR4 / x1 + x3 = 0, x2 + x3 = 0}

    c) S = < (1,1,1), (2,2,4), (2,0,1) > d) S = < (1,3,0), (2,4,1) >

    13. Decidir en cada caso si B es base del subespacio S

    a) B = {(1,1,2), (0,1,3)} S = {xR3 / x1 + 3x2 + x3 = 0 } b) B = {(0,1,1), (1,1,0)} S = < (1,3,2), (1,2,1), (1,6,5) >

    c) B = {(2,1,1), (1,1,0)} S = < (2,1,1), (1,1,1) > d) B = {(2,1,1), (3,2,2)} S = < (2,1,1), (1,1,1) >

    14. a) Dado el subespacio S = {xR4 / 2x1 x2 + 3x3 = 0}, hallar una base de S que contenga al vector (0,3,1,0).

    b) Dado el subespacio S = {x R3 / x1 x2 + 2x3 = 0}, encontrar dos bases distintas de S, tales que una de ellas contenga al vector

    v = (4,2,1) y la otra contenga al vector w = (3,1,2).

    15. Hallar aR para que el vector (1,a,4) pertenezca al subespacio S = < (1,0,2), (2,1,3) >.

    16. Dados los cinco vectores (1,1,2), (2,1,1), (1,2,1), (1,2,1) y (1,2,0) hallar dos bases distintas de R3 formadas con los vectores dados.

  • Prctica 3

    19

    17. Determinar a y b para que B = {(1,1,0), (0,3,2)} sea una base del

    subespacio S = {xR3 / x1 + ax2 bx3 = 0}.

    18. Dado el subespacio S = {xR3 / x1 + x2 x3 = 0}, encontrar un vector vS tal que {(1,1,2), (2,2,1), v} sea linealmente independiente.

    19. Si S = {xR3 / x1 x2 + x3 = 0}, encontrar vS, v 0, tal que v < (1,3,1), (0,2,1) >. 20. Determinar una base y la dimensin del subespacio

    S = < (1,0,0,1), (1,0,0,1), (3,2,0,3), (2,0,0,2) >. Encontrar un vector vR4 que no pertenezca a S.

    21. Extender, si es posible, estas sucesiones de vectores a una base de R3

    a) (1,1,2) b) (2,1,0), (1,0,3) c) (1,1,3), (2,2,6)

    22. Sean el subespacio S = {xR4 / 1 2 3 4

    1 2 3

    1 2 3 4

    3x x x 2x 0x x x 0

    x x x 2x 0

    + = + = + =},

    y el vector v = (1,2,1,1). Hallar una base B de S tal que vB y escribir el vector v como combinacin lineal de los vectores de B.

    23. Si S = < (3,1,1,0), (1,2,1,3), (1,3,3,6) > y T = {xR4 / x2 + x3 + x4 = 0} a) decidir si ST b) determinar la dimensin de S c) decidir si es posible extender una base de S a una base de T; en caso afirmativo, hacerlo.

    24. Sea S = {xR5 / x1 2x3 + x5 = 0}. Determinar todos los valores de y en R de modo que los vectores v1 = (1,0,1,3,1), v2 = (0,1,1,0,2) y v3 = (3,,,9,1) formen parte de una base del subespacio S.

  • Prctica 4

    20

    PRCTICA 4 MATRICES

    1. Escribir las matrices ( )ijA a= dadas por: a) A R3x3 : aii = 1 si 1 i 3; aij = 0 si i j (matriz identidad I3)

    b) A R3x3 : aij = 0 si i > j; aii = 2 si 1 i 3; aij = j si i < j

    c) A R3x3 : aij = j i si 1 i 3, 1 j 3

    d) A R3x3 : aij = i si 1 i 3; 1 j 3

    e) A R3x2 : ai1 = i si 1 i 3; ai2 = 2i si 1 i 3

    f) A R4x4 : aij=0 si i j; aii = i2 si 1 i 4

    g) A R3x1 : ai1 = i si 1 i 3

    h) A R1x4 : a1j = j2 si 1 j 4

    2. Dados los conjuntos

    S1 = {A R3x3 : aij = aji 1 i, j 3 } (matrices simtricas)

    S2 = {A R3x3 : aij = aji 1 i, j 3 } (matrices antisimtricas)

    S3 = {A R3x3 : aij = 0 si i > j } (matrices triangulares superiores)

    S4 = {A R3x3 : aij = 0 si i j } (matrices diagonales)

    a) Escribir 3 matrices que pertenezcan a cada uno de los conjuntos dados.

    b) Decidir si cada una de estas matrices pertenece a alguno de ellos

    1 2 1

    A 2 0 31 3 1

    =

    1 0 0B 0 3 0

    0 0 2

    =

  • Prctica 4

    21

    0 2 1

    C 2 0 31 3 0

    =

    1 2 1D 0 0 3

    0 0 1

    =

    3. Dadas las matrices del ejercicio anterior, a) calcular

    A + B; 2C + B; A + B + C; 3(A+D+2B); C t +C; A At; 1 A2

    ; C + D

    b) encontrar una matriz ( )ijX x= tal que X + A = D.

    4. Dadas 1 2 5 z 2 0 1 2 5

    A B Cx y 8 w 3 1 w 1 5 10

    = = = +

    hallar, si es posible, los valores de x, y, z, w, tales que:

    a) A + 2B = C b) 2A + B = C

    5. Dadas 1 0 2 1 5 3 1 2

    A 2 1 B 1 2 C 5 5 D 4 31 1 1 0 4 1 3 1

    = = = =

    decidir si: a) C es combinacin lineal de A y B

    b) D es combinacin lineal de A y B

    c) A, B y C son linealmente dependientes

    d) A, B y D son linealmente dependientes

    6. Hallar una base del subespacio de R3x2 generado por A, B y C del ej. 5.

    7. Hallar bases de los siguientes subespacios de matrices:

    a) {A R2x2 : a11 = 0; a22 = 0} b) {A R2x2 : a11 + a22 = 0} c) {A R 3x2 : a11 + a 21 + a12 = 0; a31 + a32 = 0; a22 = a32 } d) {A R3x3 : a11 + a22 + a33 = 0; aij = aji si i j }

  • Prctica 4

    22

    8. Calcular:

    a) ( )0

    2 3 1 21

    b) ( )

    20 0 1 23

    9. Dadas las matrices A = 0 32 21 0

    B =

    1 1 00 2 21 3 0

    C =2 0 43 1 20 1 3

    D =

    0 12 5

    E = 1 1 20 0,5 8

    calcular, cuando sea posible: BA; AB; BC; CB; (AD)E; A(DE);

    AE + B; EA + B; C2 + B; EB + EC; EB A.

    10. Sean las matrices

    1 1 3 0 1 1

    A 0 2 1 B 1 2 0 y C (2A B)A1 0 2 2 2 2

    = = = . Calcular:

    a) c32 b) la primera columna de BA c) la segunda fila de A2

    11. Si 0 aA2 b =

    1 1B

    0 2 =

    3 6C

    7 10 = ,

    hallar a y b en R tales que ABt = C.

    12. Si 1 a

    Aa 1 = determinar todos los valores de a en R para los cuales

    A2 = 17 I2.

    13. Si 1 2

    A1 3

    = y 1 2x

    Bx 3

    = , determinar si existe x tal que AB = BA.

    14. Hallar una base para cada uno de los subespacios:

    a) W1 = {A R2x2 : 1 0 1 0A. .A0 1 0 1 = }

  • Prctica 4

    23

    b) W2 = {A R2x2 : 1 1 1 1A. .A0 1 0 1 = }

    c) W3 = {A R2x2 : 1 1 1 1A. .A1 1 1 1 = }

    15. Las familias Prez, Hirsch, Ferraro y Smith colaboran con la cooperadora del hospital.

    Hace dos aos donaron respectivamente $ 25000; $ 10000; $ 3000 y

    $ 8000.

    El ao pasado, la donacin fue de $ 10000; $ 3000; $ 1000 y $ 700

    respectivamente.

    Este ao, cada una don un 20% ms que el ao pasado.

    a) Presentar los datos en una matriz A R4x3. b) Dar una matriz B tal que si se multiplican convenientemente A y B, se obtenga el total donado por cada una de las cuatro familias.

    c) Dar una matriz C tal que si se multiplican convenientemente A y C, se obtenga el total donado en cada uno de los tres ltimos aos.

    d) Multiplicar la matriz A por dos matrices convenientes de modo que el producto de las tres matrices sea el total de las donaciones recibidas

    por el hospital durante los 3 aos, de las 4 familias.

    16. En las primeras 15 fechas del campeonato de ftbol, los equipos A, B, C y D tuvieron las siguientes actuaciones: el equipo A gan 4 partidos,

    empat 8 y perdi 3; el equipo B gan 3, empat 4 y perdi 8; el equipo

    C gan 4, empat 4 y perdi 7 y el equipo D gan 7 y perdi 8.

    Los equipos se asignan: 3 puntos por cada partido ganado, 1 punto por

    cada partido empatado y 0 punto por cada partido perdido.

    Escribir la informacin en forma de matriz y utilizar el producto de

    matrices para obtener el puntaje de cada uno de los equipos.

    17. a) Escribir el sistema 1 2 4

    1 3

    2 3 4

    x x 2x 22x x 2

    x x x 1

    + + = = + = en la forma A x = b.

    b) Si v1= (4,4,6,1) y v2=(1,1,0,0) son soluciones del sistema, calcular: A(v1+ v2) y A(v1 v2).

  • Prctica 4

    24

    18. Para las prximas elecciones hay 3 candidatos: X, Y, Z. En una encuesta se recogieron las siguientes opiniones:

    entre las mujeres menores de 50 aos, el 30% votar al candidato X,

    el 25% a Y y el resto a Z; entre las mayores de 50 aos, el 50% votar al

    candidato X, el 30% a Z y el resto a Y;

    entre los varones menores de 50 aos, el 25% votar al candidato X,

    el 50% a Y y el resto a Z; entre los mayores de 50 aos, el 30% votar al

    candidato X, el 40% a Y y el resto a Z.

    Se espera que concurran a votar 18000 mujeres, 7000 de ellas menores

    de 50 aos y 16000 varones, 9000 de ellos menores de 50 aos.

    Mostrar la informacin en matrices convenientes y utilizar el producto de

    matrices para estimar la cantidad de votos que obtendr cada candidato

    de conservarse las tendencias observadas en la encuesta.

    19. La matriz M =

    A B C D EA 0 1 0 1 0B 1 0 0 0 0C 0 1 0 1 1D 1 0 0 0 0E 0 0 1 0 0

    muestra los vuelos directos que

    existen entre las ciudades A, B, C, D, E.

    Por ejemplo: el coeficiente m12=1 indica un vuelo directo desde A hacia B.

    a) Dibujar un diagrama de la situacin uniendo con una flecha las ciudades que estn conectadas por vuelos directos.

    b) Calcular M2. Comprobar que M2 muestra los vuelos con una escala que hay entre esas cinco ciudades.

    20. a) Construir la matriz M correspondiente a los vuelos sin escala para la situacin siguiente:

    BC

    D

    A

  • Prctica 4

    25

    b) Determinar, analizando el diagrama, los vuelos con una escala que hay entre las 4 ciudades. Calcular M2.

    c) Calcular M3. Qu significado tiene M3?

    21. Determinar si cada una de las siguientes matrices es inversible, en caso afirmativo calcular la inversa:

    1 0 2 3

    A B0 1 6 9

    = =

    1 1 1 1

    C D2 35 0

    = =

    1 2 2 1 2 2 0 1 2

    E 1 2 3 F 1 2 0 G 2 3 10 1 3 0 4 2 2 1 4

    = = =

    22. Determinar en cada caso los valores de a, b, c que hacen que la matriz A sea inversible.

    A =a b0 c

    A =a ba b

    A =a 0 00 b 00 0 c

    23. Usar los resultados del ejercicio 21 para resolver los sistemas:

    a) D X = 12

    b) E X =

    213

    24. Calcular el determinante de las siguientes matrices:

    262 1 5A B3 2 15

    3

    = =

    3 0 1 2 1 1

    C 4 1 0 D 0 7 80 1 2 4 5 6

    = =

  • Prctica 4

    26

    25. Calcular el determinante de las siguientes matrices desarrollando por la fila o columna ms conveniente:

    A =

    1 2 1 00 0 1 01 3 0 20 0 5 1

    B =

    1 0 4 00 5 8 03 0 5 60 0 4 0

    C =

    2 0 0 1 50 0 6 0 30 9 0 0 05 4 0 0 20 0 2 0 0

    26. Si1 1 1

    A 0 1 21 0 k

    = , determinar kR para que sea det (A) = 2.

    27. Sabiendo que = a 5

    det 4,b 5

    calcular

    3 1 2det 5 a 5 .

    5 b 5

    28. a) Dadas = =

    2 0 1 2 1 0A 0 1 3 y B 2 0 1

    2 1 0 1 2 0, calcular det (AB).

    b) Dadas A =1 01 2

    y B =2 k 1

    k 2 1+ , hallar los valores de kR

    para los cuales det (AB) = 0.

    29. Dadas A = 3 1 02 1 10 1 0

    y B =

    2 1 21 0 20 0 2

    , calcular det (2A+B).

    30. Si A = 1 a0 1 y B =

    0 13 1 , determinar todos los aR para los cuales

    i) det (A + B) = 3

    ii) det (A + At ) = 29

  • Prctica 4

    27

    31. Sean A =1 2 1x 0 31 4 1

    y B =

    1 1 10 0 1x 1 5

    ; hallar todos los xR

    tales que det (AB) = det (A).

    32. Determinar cules de las siguientes matrices son inversibles

    a)2 51 1

    b)2 18 4

    c)4 1 32 0 24 1 6

    d)

    3 1 16 1 49 0 5

    e)

    1 2 0 60 0 1 30 0 0 11 2 0 0

    33. Determinar los valores de xR para los cuales la matriz dada a) no es inversible:

    i)4 1 xx 3

    ii) 2 3 43 1 21 x 1 1

    iii)

    2 1 2x 1 1 3

    2 1 x 4

    +

    b) es inversible

    i)4 xx 4

    ii) 2 5 10 1 11 x 2 3

    + iii)

    1 1 11 x 20 1 x 1

    34. Si A = 1 2 01 0 10 0 1

    y B =

    1 2 01 5 k0 k 2

    determinar todos los valores

    de kR para los cuales AB no admite inversa.

    35. Determinar en cada caso todos los valores de kR para los cuales el sistema tiene solucin nica.

    a) 1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    x x x 2x 3x 2x 3x 2x kx 1

    + + = + + = + + = b)

    1 2

    1 2 3

    2 3

    2x x 1x kx kx 2

    3x 2x 3

    + = + + = + =

    c)1 2 3

    1 3

    1 2

    x 2x x 1kx kx 23x kx k

    + + = = + =

  • Prctica 4

    28

    36. Determinar si existe kR para que el sistema tenga infinitas soluciones: 1 2 3

    1 2

    1 2 3

    x 2x x 2x 3x 1

    3x 7x kx k 3

    + + = + = + + = +

    37. Determinar en cada caso los valores de aR para los cuales el sistema no tiene solucin, tiene solucin nica, o infinitas soluciones:

    a)1 2 3

    21 2

    2 3

    x x x 1

    2x (a 3)x 3x 2x 1 a

    + + = + = + = b)

    1 2 3

    1 2 32

    1 2 3

    x x x 23x 2x 8x 5

    2x x a x a 1

    + = + + = + + =

    38. Si 1 3 2 1

    A 0 k 3 y b 0 ,0 0 k 1 2k

    = = determinar para qu valores de

    kR el sistema A x = b tiene solucin.

    39. En una economa de tres rubros interdependientes I, II y III, la matriz de

    tecnologa es C =0,8 0 0,10 0,6 0,20 0,2 0,5

    y la demanda externa es

    (en millones de pesos) de 50 para I, 80 para II y 120 para III.

    Determinar qu produccin de cada rubro se necesita para satisfacer la

    demanda externa.

    a) Plantear el sistema correspondiente al problema. b) Escribir el sistema en la forma (I C) X = D. c) Hallar el vector de produccin X que satisface la demanda externa D. d) Hallar el vector de produccin X si la demanda externa D aumenta en

    10 millones de pesos por cada rubro.

    40. Un chapista y un mecnico estn asociados y usan sus servicios mutua- mente para complementar sus trabajos.

    Cada peso de trabajo que realiza el chapista tiene un costo de $ 0,30 de

    su propio servicio y $ 0,70 de los servicios del mecnico.

  • Prctica 4

    29

    Cada peso de trabajo que realiza el mecnico tiene un costo de $ 0,30

    de los servicios del chapista y de $ 0,20 de su propio servicio.

    a) Qu demanda externa de cada taller se satisface con una produccin de $ 1400 del chapista y $ 1250 del mecnico?

    b) Para satisfacer una demanda externa de $ 350 el chapista y $280 el mecnico, cunto debe producir cada taller?

    41. En una economa de tres rubros interdependientes A, B y C, por cada peso que produce A, se requieren $ 0,9 de A; por cada peso que produce

    B, se requieren $ 0,8 de B y $ 0,2 de C; por cada peso que produce C, se

    requieren $ 0,1 de A y $ 0,9 de C.

    Calcular la produccin necesaria para satisfacer una demanda externa

    de (350, 400, 120).

    42. En una economa con tres rubros interdependientes A, B y C, para producir $ 1 de A se requieren $ 0,70 de A y $ 0,20 de B; para producir

    $ 1 de B se requieren $ 0,40 de B y $ 0,30 de C y para producir $ 1

    de C se requieren pesos de A y $ 0,80 de C. Con una produccin de $ 5000 de A, $ 2000 de B y pesos de C, se satisface una demanda externa de 4 pesos de A, pesos de B y $ 2200 de C.

    Hallar los valores de , y .

    43. Dos economas A y B tienen los dos mismos rubros interdependientes I y II.

    Las matrices de tecnologa de A y B son, respectivamente,

    A0,8 0,1

    C0,2 0,4 = y B

    0,6 0,7C

    0,4 0,1 =

    Qu demanda externa satisface B con la misma produccin que A

    satisface una demanda externa de $ 900 del rubro I y $ 800 del rubro II?

    44. Decidir si las siguientes matrices de tecnologa corresponden, o no, a economas productivas.

  • Prctica 4

    30

    i) 0,2 0,60,2 0,9 ii)

    0,4 0,40,8 0,2

    iii)0,1 0,6 0,40,3 0,2 0,30,4 0,1 0,2

    iv)

    0 0,1 0,20,6 0,1 0,20,4 0,3 0,2

    45. La economa de Costa Pobre est basada en la produccin de dos productos: bananas y aceite de man. La produccin de $ 1 de bananas

    requiere de $ 0,40 de bananas y $ 0,20 de aceite mientras que la

    produccin de $ 1 de aceite insume $ 0,40 de bananas y $ 0,80 de aceite.

    a) Determinar la matriz de tecnologa (C) del problema. b) Calcular la suma de los coeficientes de cada fila de C.

    c) Calcular la suma de los coeficientes de cada columna de C. d) Es productiva la economa de Costa Pobre? e) Hallar la produccin necesaria para satisfacer una demanda externa de $ 400 de bananas y de $ 300 de aceite.

    46. Los rubros de una economa son: la agricultura, los productos manufactu- rados y el trabajo.

    Un peso de agricultura requiere $ 0,50 de agricultura, $ 0,20 de productos

    manufacturados y $ 1 de trabajo.

    Un peso de productos manufacturados requiere $ 0,80 de productos

    manufacturados y $ 0,40 de trabajo.

    Un peso de trabajo requiere $ 0,25 de agricultura y $ 0,10 de productos

    manufacturados.

    Es productiva esta economa?

    47. Una economa tiene matriz de tecnologa C =0,2 0,20,6 0,9 .

    a) Puede satisfacer la demanda externa D =10050

    ?

    b) Es productiva esta economa?

  • Prctica 5

    31

    PRCTICA 5

    PROGRAMACIN LINEAL EN R2 1. Decidir si es verdadero (V) o falso (F):

    a) x < 7 7 < x b) x < 0 x < 2 c) x < 7 x + 3 < 4 d) x < 2 x y < 2 y e) a < b y c > 0 a c < b c f) a < b y c < 0 a c > b c

    2. Representar en la recta real los x que verifican las siguientes

    desigualdades:

    a) x + 4 < 3x 8 b) 3x + 2 5 x c) 2x 4 x + 2 5 + 4x d) (x + 3).(x 4 ) > 0 e) 2x + 3 < 8 f) 4x + 2 11

    3. Representar en el plano todos los puntos (x,y) que verifican:

    a) y 0 b) x 5 c) x 0 d) y 2 e) x y 0 f) x y 9

    4. Tengo $ 3 y quiero comprar golosinas de $ 0,50 y de $ 0,75.

    a) Plantear las inecuaciones que restringen las posibles compras

    b) Representar la regin de todos los pares (x,y) que las verifican

    c) Hacer una lista de todos los pares (x,y) que resuelven el problema y

    representarlos dentro de la regin.

    5. a) Representar el conjunto de soluciones de los siguientes sistemas

    b) Indicar cules son polgonos

    c) Calcular las coordenadas de los puntos de esquina

    i) +

    x y 1x 0

    ii) +

    x y 1x 0y 3

    iii) + +

    2x y 1x y 2

    x 2y 5

  • Prctica 5

    32

    iv)+ +

    2x y 1x y 2

    x 2y 5 v)

    0 x 3y 0

    2x y 1x 2y 5

    + + vi)

    +

    x 0y 1

    3 x y 4

    6. a) Representar en el plano los puntos A = (1,2), B = (1,4), C = (6,4).

    b) Encontrar un sistema de inecuaciones que represente la regin R que

    tiene vrtices A, B y C.

    c) Si P = (2, +5), determinar los valores de para los cuales P R.

    7. Sea la regin del plano R 3x 4y 85x 2y 30

    x 3y a

    + + +

    Determinar el valor de a de modo que (0,2) sea punto de esquina de R.

    8. Dada la funcin lineal z = 3x + 2y

    a) graficar las curvas de nivel para z = 0, z = 3, z = 5 b) determinar, si existen, los valores mximos y mnimos de la funcin z en

    cada una de las siguientes regiones e indicar en qu puntos se alcanzan:

    i) +

    2x y 4x 0y 0

    ii)

    2 x 50 y 3

    iii) + +

    2x y 1x y 2

    2x y 4

    iv) +

    2x y 1y 3

    5x 2y 1 v)

    +

    x y 1x 1y 0

    vi) 2x 3y 6

    x 0

    vii) +

    3x 2y 6x 0

    x y 2 viii)

    +

    6x 4y 12x 2y 4

    ix) + +

    3x 2y 66x 4y 12

    4 x 4

  • Prctica 5

    33

    9. Una funcin lineal sujeta a las restricciones

    + + +

    x y 2x y 8

    2x y 14x 0

    0 y 4

    alcanza

    mximo en A = (5,1) en B = (2,4).

    Determinar en cul de ellos y explicar por qu.

    10. Dada z = x + 2y, determinar en qu punto de la regin R

    alcanza su mximo y dar ese valor.

    3

    -1

    2-2

    11. Hallar el valor mximo y el valor mnimo de z = 2x4y en la regin

    R

    + +

    x y 4x 2y 6x y 12

    x 2

    e indicar en qu puntos se alcanzan.

    12. Sean R

    + + +

    x y 42x 5y 104x 5y 20

    y 9

    y f = 8x +10y.

    Determinar, si existen, los valores mximos y mnimos de f sobre R e

    indicar en qu puntos se alcanzan.

    13. Una fbrica de quesos tiene dos depsitos A y B. Transportar cada kilo

    de queso desde la fbrica hasta A, cuesta $ 0,20, y hasta B, $ 0,30.

  • Prctica 5

    34

    Por conveniencia para su distribucin posterior, la cantidad de queso

    almacenada en B es siempre mayor o igual que la almacenada en A.

    La produccin mensual de la fbrica est entre 4000 y 5000 kilos que

    deben trasladarse ntegramente a los depsitos.

    Para llevar la produccin a los depsitos, cul sera el mnimo y cul el

    mximo gasto de la fbrica?

    14. Una empresa que elabora productos alimenticios fabrica, con jugo de

    naranja, de pomelo y de manzana, dos tipos de mezclas que envasa en

    cartones de 1 litro.

    El Jugo mixto lleva una parte de jugo de naranja, una parte de jugo de

    pomelo y tres partes de jugo de manzana.

    El Jugo ctrico lleva tres partes de jugo de naranja, dos partes de jugo de

    pomelo y una parte de jugo de manzana.

    Dispone de 510 litros de jugo de naranja, 360 litros de jugo de pomelo y

    720 litros de jugo de manzana. Si vende el cartn de Jugo mixto a $ 3

    y el de Jugo ctrico a $ 2,50, cuntos cartones de cada clase debe

    producir para maximizar sus entradas?

    15. Un hortelano prepara bandejas de ensalada que puede vender a un

    supermercado o a verduleras. Por cada bandeja que vende al

    supermercado gana $ 0,90 y por cada bandeja que vende a las

    verduleras, gana $ 1,10. Puede preparar a lo sumo 2400 bandejas.

    La compra de verduleras es a lo sumo de 1800 bandejas.

    Adems, la cantidad de bandejas que vende al supermercado, ms el

    doble de las que vende a verduleras debe ser por lo menos 1000.

    Determinar las cantidades de bandejas que debe vender al supermercado

    y a verduleras para maximizar la ganancia.

  • Prctica 5

    35

    16. Un fabricante de sndwiches utiliza, para untar el pan, una mezcla de

    mayonesa y crema. Semanalmente utiliza por lo menos 10 kg de

    mayonesa y 20 kg de crema y, entre las dos sustancias, nunca menos de

    60 kg ni ms de 90 kg. La cantidad de crema que usa no puede superar

    la de mayonesa.

    El kilo de mayonesa cuesta $ 1,20 y el de crema $ 3.

    Cuntos kilos de mayonesa y cuntos de crema debe comprar por

    semana para que el costo sea mnimo?

    17. Un comerciante vende dos variedades de bebida: suave y fuerte, en

    botellas de 1 litro. Una botella de bebida suave contiene 30% de vino y

    70 % de cola y se vende a $2. Una botella de bebida fuerte contiene 50%

    de vino y 50 % de cola y se vende a $2,50.

    Si el comerciante dispone de 60 litros de vino y 80 litros de cola, cul es

    la mxima cantidad de dinero que puede recaudar con la venta?

    18. Un diseador tiene dos talleres, en ambos produce tejidos artesanales y

    estndar. Los dos talleres trabajan 5 das por semana.

    El taller 1 tiene un costo operativo de $ 30 por hora, trabaja 10 horas

    diarias y necesita 4 horas de trabajo para producir una prenda artesanal

    y 2 horas de trabajo para producir una prenda estndar.

    El taller 2 tiene un costo operativo de $ 50 por hora, trabaja 8 horas

    diarias y necesita 5 horas de trabajo para producir una prenda artesanal

    y una hora de trabajo para producir una prenda estndar.

    El diseador recibe un pedido para producir, en una semana de trabajo,

    por lo menos 10 prendas artesanales y 29 prendas estndar.

    Cuntas horas deber trabajar cada taller para que el costo de

    produccin sea mnimo?

  • Prctica 5

    36

    19. Una empresa de transporte debe trasladar paquetes de los tipos A y B.

    Los paquetes A pesan 20 kg y los B, 30 kg.

    El total de paquetes a transportar no debe superar 300, y por lo menos un

    tercio de los paquetes debe ser del tipo A.

    Cuntos paquetes de cada tipo debe transportar para que el peso total

    transportado sea mximo?

    20. Una empresa produce tres tipos diferentes de relojes en sus dos plantas.

    La planta I produce 100 relojes de dama, 60 relojes deportivos y 35

    despertadores por da y su costo operativo diario es de $ 3000.

    La planta II produce 50 relojes de dama, 90 relojes deportivos y 105

    despertadores por da y su costo operativo diario es de $ 3300.

    Si la empresa ya posee pedidos para la prxima temporada de 5000

    relojes de dama, 5400 relojes deportivos y 4200 despertadores, cuntos

    das debe operar cada planta para satisfacer los pedidos al menor costo

    posible?

    21.a) Las 20 chicas y los 10 chicos de un curso de quinto ao organizan el

    viaje de egresados para el que necesitan juntar dinero. Deciden pedir

    trabajo por las tardes en una compaa encuestadora que contrata:

    parejas:1 chico y 1 chica; equipos: 1 chico y 3 chicas.

    Cmo les conviene distribuirse para reunir la mayor cantidad posible

    de dinero si se paga $ 30 por da a cada pareja y $ 50 por da a cada

    equipo?

    b) Y si se paga $ 10 por da a la pareja y $ 40 por da al equipo?

    c) Y si se paga $ 20 por da a la pareja y $ 60 por da al equipo?

    d) Y si se paga $ 30 por da a la pareja y $ 30 por da al equipo?

    e) Y si se paga $ 50 por da a la pareja y $ 40 por da al equipo?

  • Prctica 5

    37

    22. Sean la regin R

    x 3y 1x 2y 4

    x 3y 0

    + + y la funcin z = x + 2y.

    Encontrar un valor de tal que el mximo de z sobre R se alcance en el vrtice (2,1) y el mnimo en el vrtice (1,0).

    23. Hallar, si es posible, R tal que z = 2x + y sobre la regin + + +

    3x 2y 65x 2y 10

    x 2y 2

    alcance su valor mnimo en (2,0) y su valor mximo en 6 ,25

    .

    24. Sea R la regin del plano definida por 3x y 5

    x ay 32x by 2

    + + + .

    Hallar a y b para que el punto (5,8) sea un punto de esquina de R. Para los valores hallados, calcular el mximo que alcanza z = x + 3y en R.

    25. Se sabe que en la funcin f = x + y, + = 2 y que en la regin R1,

    la funcin f alcanza su mximo en P = (4,4).

    Hallar el mximo valor de f en la regin R2.

    R1 +

    0 y 4x 2y 12

    x 0 R2

    + + +

    x y 2x y 8

    2x y 14x 0

    0 y 4

    Sugerencia: graficar las regiones R1 y R2.

  • Prctica 6

    38

    PRCTICA 6 ALGORITMO SIMPLEX

    1. a) Plantear el sistema de ecuaciones y confeccionar la tabla simplex inicial asociados a cada uno de los siguientes problemas lineales.

    b) Resolverlos e indicar en la tabla simplex correspondiente a cada paso las variables bsicas y no bsicas, la solucin factible bsica y el valor

    de z en esa solucin.

    i) Maximizar z = 3x1 +4x2 ii) Maximizar z = 7x1 +2x2 +4x3

    sujeta a

    2 3

    1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    x 6x 94x 5x x 102x 3x 4x 8

    x 0, x 0, x 0

    + + + + sujeta a

    1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    4x 5x 3x 196x x 2x 12x 0, x 0, x 0

    + + + +

    iii) Maximizar z = 2x2 +4x3 iv) Maximizar z = x1 +x2 6x3

    sujeta a

    1 3

    1 2

    1 2 3

    1 2 3

    3x 6x 63x 2x 34x 7x 2x 7

    x 0, x 0, x 0

    + + sujeta a

    1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    2x x 2x 2x x 2x 5

    3x 2x 6x 6x 0, x 0, x 0

    + + +

    v) Maximizar z = 6x17x214x3 vi) Maximizar z = 10x1 +15x2 +4x3

    sujeta a 1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    x 2x 4x 73x 5x x 12

    x 0, x 0, x 0

    + + + + sujeta a

    1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    5x 2x x 163x x x 122x 4x x 16x 0, x 0, x 0

    + + + + + +

    2. Para cada una de las siguientes tablas simplex, determinar las variables bsicas y no bsicas, la solucin factible bsica y el valor de z correspon-

    diente a dicha solucin. Indicar tambin si la tabla es final o no.

    a) b)

    1 1 0 1

    1 0 2 1

    3 4

    1 0 1 0 1 2

    1 0 2 1

    10 20

    0 3 5 0 z15 0 0 9 6 4 z100

  • Prctica 6

    39

    c) d)

    2 0 1 1/2 0 3/2 1/2 1 1/2

    1 0 00 1 1/2 0 0 1/2

    3 3/2

    1 0 1 3 0 0 2 1 0

    1 0 0 1 1 1 1 0 1

    1 7 5

    3 0 1 0 0 2 z2 10 0 0 4 0 10 z44

    3. Maximizar z = 2x1 + x2 sujeta a 1 2

    1 2

    1 2

    4x x 12x 3x 6

    x 0, x 0

    +

    a) Aplicar el mtodo simplex y analizar la tabla obtenida despus de

    pivotear una vez. Se puede seguir pivoteando?

    b) Resolver por el mtodo grfico. Obtener conclusiones. 4. La siguiente es la tabla simplex inicial de un problema estndar de maximizacin. Hallar el valor mximo de z y decir en qu punto se

    alcanza.

    1 5 2 2 2 1 0 1 2

    1 0 0 0 1 0 0 0 1

    60 30 10

    2 6 4 0 0 0 z

    5. Para la siguiente tabla simplex correspondiente a un problema estndar de maximizacin, encontrar la tabla final y decir cul es el valor mximo de z y

    en qu punto lo alcanza.

    0 0,5 0 1 0,5 1 2 0,5 0

    1 0,5 0 0 0,5 00 1,5 1

    2 13 4

    1 3 0 0 1 0 z26

    6. Dada la tabla simplex correspondiente a un problema estndar de

    maximizacin, encontrar para que el valor mximo de z sea 152

    .

    0 1 2 1 1 1

    1 1 0 1

    3 3

    0 7 1 0 2 z 7. Un estudiante que se prepara intensivamente en ingls, francs y portugus, asistir a un laboratorio de idiomas.

    En total dispone de a lo sumo 94 horas.

  • Prctica 6

    40

    La cantidad de tiempo que dedica al idioma ingls no puede superar en

    ms de 10 horas al doble de la cantidad de tiempo que dedica al idioma

    francs. El tiempo que dedica al francs y al portugus en conjunto, no

    puede superar en ms de 34 horas al tiempo que dedica al ingls.

    Si debe abonar $7 la hora de ingls, $ 3 la de francs y $ 6 la de

    portugus,cul es el mximo gasto que le puede ocasionar el laboratorio

    de idiomas?

    8. Maximizar f = 2x+ 4y sujeta a

    x 2y 6x y 2x y 3

    x 0, y 0

    + +

    a) Resolver por el mtodo simplex b) Resolver por el mtodo grfico c) Cuntas de las variables tienen indicador cero en la tabla final del algoritmo simplex? Son bsicas todas estas variables?

    9. Una empresa agroqumica produce fertilizantes. El fertilizante Especial contiene 20 % de potasio, 30 % de fosfatos y 50 %

    de nitratos. El fertilizante Super contiene 40 % de potasio, 20 % de

    fosfatos y 40 % de nitratos. El fertilizante Comn contiene 30 % de

    potasio, 30 % de fosfatos y 40 % de nitratos. La empresa posee en stock

    60 toneladas de potasio, 80 toneladas de fosfatos y 90 toneladas de

    nitratos. Si una tonelada del fertilizante Especial se vende a $ 170, una del

    Super a $ 160 y una del Comn a $ 150, cuntas toneladas de cada

    fertilizante debe producir la empresa con la materia prima disponible para

    maximizar sus ingresos por la venta? Es nica la solucin?

    10. Hallar la solucin factible que produce el mayor valor de

    z =7x1 +6x2 14x3 sujeta a 1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    5x 3x x 123x 3x 6x 22x x 4x 17

    x 4, x 4, x 0

    + + +

    .

    Sugerencia: hacer el cambio de variables 1 1y x 4= , 2 2y x 4= .

  • Prctica 6

    41

    11. Resolver los siguientes problemas lineales, convirtindolos previamente en problemas estndar de maximizacin.

    En los ejemplos de R2 dibujar las regiones de factibilidad e identificar los vrtices correspondientes a la solucin.

    a) Minimizar f = x 2y b) Minimizar f = x 4y

    sujeta a x y 4x y 1

    x 0, y 0

    + + sujeta a

    x 2y 4x y 5

    y 3x 0, y 0

    + +

    c) Minimizar f = 4x + 6y + 2z sujeta a 3x 7y 2z 9

    x 2y z 22x 5y 3z 1

    x 0, y 0, z 0

    + + + +

    d) Minimizar f = 2x 5y z sujeta a x 3z 6x y z 3x 0, y 0, z 0

    + +

    e) Minimizar 1 2 3 4f 4x 10x 6x x= + sujeta a 1 3 4

    1 2 4

    1 2 3 4

    1 2 3 4

    x x x 1x x x 2x x x x 4x 0,x 0,x 0,x 0

    + + + +

    12. El problema Maximizar z = 10x1 +15x2 + 5x3

    sujeta a

    1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    2x x 3x 123x 2x x 42x 2x 2x 8x 0, x 0, x 0

    + + + +

    tiene la siguiente tabla simplex final

    0,5 0 3,5 1,5 1 0,5 1 0 3

    1 0,5 0 0 0,5 0 0 1 1

    10 2 4

    12,5 0 2,5 0 7,5 0 z30

    Plantear el problema dual y dar la solucin.

  • Prctica 6

    42

    13. En cada caso plantear el problema dual y hallar la solucin. a) Maximizar z = 7x1 +4x2 2x3 b) Maximizar z = 4x16x2 2x3

    sujeta a 1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    2x x 2x 23x 2x 3x 8

    x 0, x 0, x 0

    + + + + sujeta a

    1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    6x 14 x 4x 182x 4 x 2x 44x 10x 6x 2

    x 0, x 0, x 0

    + + + +

    c) Maximizar z = 4x1 x2 +3x3 d) Maximizar z = 4x + 5y

    sujeta a 1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    3x 2x x 102x 4x 2x 12x 0, x 0, x 0

    + + + + sujeta a

    x 1x y 1

    2y 3x 0, y 0

    14. Resolver: a) Minimizar u = 14 w1 + 16 w2 b) Minimizar u = 3 w1 + 6 w2 + 21 w3

    sujeta a

    1 2

    1 2

    1 2

    1 2

    2w 3w 54w 6w 8

    w w 2w 0,w 0

    + + +

    sujeta a

    1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    6w 3w 7w 33w 3w 6w 93w 6 w 8w 1

    w 0, w 0, w 0

    + + + +

    c) Minimizar u = 18 w1 + 4 w2 + 2 w3 d) Minimizar u = 6 w1 +24 w2 + 14 w3

    sujeta a

    1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    6w 2w 4w 414w 4w 10w 6

    4w 2w 6w 2w 0, w 0, w 0

    + + +

    sujeta a

    1 2

    1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    w 2w 2w 2w w 3w w 3w 1

    w 0, w 0, w 0

    + + + + +

    15. La siguiente es la tabla simplex inicial de un problema estndar de maximizacin. Hallar la solucin del problema dual de minimizacin.

    1 0 2 1 3 2 1 4 1

    1 0 0 0 1 0 0 0 1

    2 8 7

    3 1 1 0 0 0 Z

  • Prctica 6

    43

    16. Para la siguiente tabla simplex correspondiente a un problema estndar de maximizacin, hallar la solucin del problema dual asociado.

    1 0 12 2 0 3 0 1 2

    1 0 5 0 1 2 0 0 1

    1 1 1

    1 0 16 0 0 6 z6 17. Un joven quiere elaborar un programa semanal de ejercicios que incluir trote, ciclismo y natacin. Planea dedicar al ciclismo por lo menos el

    mismo tiempo que le dedicar al trote y a la natacin en conjunto.

    Quiere nadar al menos 2 horas por semana.

    En el trote consume 600 caloras por hora, en el ciclismo 300 caloras por

    hora y en la natacin 300 caloras por hora.

    Si desea quemar en total al menos 3000 caloras semanales debido al

    ejercicio, determinar cuntas horas semanales deber dedicar a cada tipo

    de ejercicio para alcanzar sus objetivos en el menor tiempo posible.

    18. En el sector de produccin de una fbrica, los empleados de categora A cobran $ 8 la hora y los de categora B cobran $ 5 la hora. En la seccin

    embalaje, los empleados cobran $ 6 la hora y los aprendices $ 3 la hora.

    La fbrica necesita al menos 120 personas en produccin y 60 personas

    en embalaje. Adems debe contratar al menos el doble de empleados de

    categora A que de B. Tambin debe contratar, en la seccin embalaje,

    al menos el doble de empleados que de aprendices.

    Cuntos empleados de cada clase debe contratar para que el total que

    paga por hora en concepto de salarios sea mnimo? Cul es ese total?

    19. Tres alimentos contienen slo carbohidratos y protenas. El alimento I cuesta $ 5 el kilo y el 90 % de su peso son carbohidratos.

    El alimento II cuesta $ 10 el kilo y el 60 % de su peso son carbohidratos.

    El alimento III cuesta $ 20 el kilo y el 70 % de su peso son protenas.

    Qu combinacin de estos tres alimentos proporcionar al menos 2 kilos

    de carbohidratos y 1 kilo de protenas a un costo mnimo?

    Cul es ese costo?

  • Ejercicios de final

    44

    Marcar, en cada tem, la nica respuesta correcta

    RECTAS Y PLANOS EN R2 Y R3

    1. Si P = (2,11); 1L : y = 3x+5 y 2L : X =(1,4) + (0,3) , entonces:

    , 1 2 P L y P L , 1 2P L y P L , 1 2P L y P L , 1 2P L y P L

    2. Si P = (1,3), Q = (2,1) y X = (3,3) , la recta que pasa por X y que es paralela a la que pasa por P y Q tiene ecuacin:

    , y = x , y = 4x+7 , y = 4x+15 , y = 2x3

    3. Si L es la recta que pasa por (2,4) y por (1,1), entonces el punto de L que tiene ordenada 5 es: , (3,5) , (5,13) , (2,5) , (1,5) 4. Una panadera tiene costos fijos mensuales de $ 800 y un costo de $ 1,20 por cada kg de pan que fabrica. Si cada kg de pan se vende a $2, el punto

    de equilibrio es , 1000 , 100 , 640 , 250 5. Sean L1: y = 3x+5 ; L2: y = 2x+6 y P el punto donde se cortan L1 y L2. La recta que pasa por P y es paralela al eje x tiene ecuacin

    , X = (1,0) + (1,8) , X = (1,0) + (8,1) , X = (0,1) + (1,8) , X = (0,1) + (8,1)

    6. Sea L: X = (1,2,3) + (1,2,2). El punto en que L corta al plano xy es

    , 1,5,02

    ,1 10, ,03 3

    , (0,4,1) , (2,0,5)

    7. Sean: 1L la recta que pasa por (1,3,a) y (b, 1,8) y 2L : X = (1,1,0).

    1L y 2L son paralelas para , a = 8 y b = 3 , a = 8 y b = 5 , a = 8 y b = 2 , a = 8 y b =3 8. La recta que corta al plano x1x2 en (1,3,0) y al plano x2x3 en (0,2,1),

    corta al plano x1x3 en , ningn punto , (2,0,3)

    , 31,0,2

    ,2,0,13

  • Ejercicios de final

    45

    9. La ecuacin paramtrica del plano que pasa por (0,0,1); (1,0,1) y (0,1,1) es

    , X = (1,0,0) + (0,1,0) + (0,0,1) , X = (1,0,1) + (0,1,1) + (0,0,1) , X = (1,0,0 ) + (0,0,1) , X = (0,0,1) + (1,0,1) + (0,1,1)

    SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

    1. Los valores de a y b para los cuales (1,0, 2) es solucin del sistema

    41

    2 2

    ax y bzx y z

    ax y bz

    + + = + + = + = son , a =3 ; b = 1

    2 , a =1 ; b = 12

    , a =3 ; b =2 , inexistentes

    2. El conjunto de soluciones del sistema de matriz ampliada

    1 2 3 10 1 1 21 0 5 3

    ###

    es , { }(3,2,0) , { }( 5, 1,1) , { }( 5, 1,1) (3,2,0) + , { }( 5, 1,1) (3,2,0) +

    3. El conjunto de los kR para los cuales el sistema 2 0

    2 00

    x yx y z

    ky z

    + = + = + = tiene

    solucin nica es , , R , {3} , R {3}

    4. El conjunto de soluciones del sistema 2 1

    2 3 4 33 2

    x y zx y zx y z

    + = + = + = es

    , { }(3, 1,0) , { }( 1,1,0) ( 3,2,1) + , { }(1, 1,0) ( 2,0,0) (1, 2,1) + + , { }(3, 1,0) (5, 2,1) +

    5. Si S63

    2 9

    x y zx zx z

    + + = = + = y v = (a, a, b), entonces v es solucin de S

    , para a = 3 y b = 0 , para ningn a y b , para a = 4 y b = 1 , siempre que ab =3

  • Ejercicios de final

    46

    6. El sistema de matriz ampliada 2

    1 a 2 40 a 3 20 0 a 2 a 4

    ###

    admite infinitas

    soluciones para , a = 2 y a =2 , a =2 , a = 2 , a = 0

    7. El conjunto de valores de k para los cuales el sistema 2

    2 12

    2 3

    x y zy k z

    x y k z

    + + = + = + + = es compatible determinado es

    , { }2, 1 , { }1, 2 , R { }1, 2 , R { }2, 1

    8. El conjunto de los kR para los cuales el sistema x 2y 2z 1

    2x y 3z 1x 5y kz 2

    + + = + + = + = es

    compatible es: , , R , {0} , {3}

    9. El conjunto de soluciones del sistema x y z 2x y z 2+ = + = es

    ,{(1,1,0)} , , {(0,0,2)+(1,1,0)+(0,1,1)} ,{(0,0,2); (1,1,0)}

    10. El rango de

    1 2 3 21 4 3 10 2 2 12 2 0 1

    es , 1 , 2 , 3 , 4

    ESPACIOS VECTORIALES

    1. Sean v1=(1,0,1) ; v2=(1,2,0) ; v3=(2,2,3) y v=(1,2,2). Entonces los coeficientes a, b, c tales que v = av1 + bv2 + cv3 son

    , a =1; b = 2; c =1 , a =1; b = 2; c =1 , a =1; b = 2; c =1 , a =4; b = 1; c =2

    2. Sean v1 =(2,1,1) ; v2 =(1,1,0) y v =(4,1,k). El conjunto de valores de k para los cuales v es combinacin lineal de v1 y v2 es:

    , , R , {3} , R {3}

  • Ejercicios de final

    47

    3. Sea S = { xR3 : x1 +x2 +x3 = 0}. Un sistema de generadores de S que no es base de S es:

    , {(1,1,0); (0,1,1)} , {(1,2,1); (2,4,2); (3,6,3)} , {(1,2,3); (1,1,0); (0,1,1)} , {(1,1,0); (0,1,1); (1,0,1)}

    4. El conjunto de los aR para los que {(1,2,2); (0,a,0); (2,1,1); (3,3,1)} es linealmente independiente es , {0} , {1} , {3} ,

    5. La dimensin del subespacio generado por (1,1,3) ; (1,1,3) y (2,2,6) es , 3 , 2 , 1 , 4

    6. Una base de S = { xR4 : x1 x3 = 0 } es , ( ){ }1,0,1,0 , { }(1,0,1,0);(0,1,0,0);(0,1,0,1) , { }(1,0,1,0);(0,1,0,1) , { }(1,0,1,0);(0,1,0,0);(1,1,1,0)

    7. Si S = { xR4 : 1 23 4

    x 2x 0x x 0 = + =

    } y v =(2,1,1,1) , entonces una base

    de S que contiene a v es: , { }(2,1,0,0);(0,0,1, 1) , { }(2,1, 1,1);(0,0,0,0) , { }(2,1,0,0);(0,0,1, 1);(2,,1, 1,1) , { }(2,1, 1,1);(0,0,1, 1)

    MATRICES

    1. Si A = 1 3 12 1 12 2 2

    y B =

    1 0 10 1 00 0 1

    entonces la primera fila de A.2B

    es , (2 6 0) , (2 0 2) , (2 2 0) , (2 4 4)

    2. Si A R2x2 es tal que ija i.j= y B R2x2 es tal que ijb i j= + , 1 i, j 2 , la fila 1 de A.B est dada por , (8 16) , (16 22) , (8 11) , (11 22)

  • Ejercicios de final

    48

    3. Si A =2 14 3 entonces la inversa de la matriz A es

    , 1 121 14 3

    ,

    3 12 22 1

    , 2 1

    4 3

    , 2 41 3

    4. Si A = 1 c2 3 y B =

    1 1 20 5 02 1 1

    , entonces det B = 1 + det A

    para c igual a , 172

    , 172

    , 132

    , 0

    5. Sea A =

    1 2 2k 1 10 k 1

    . El conjunto de valores de k para los cuales A es

    inversible es , R {1; 0,5} , R {1; 0,5} , {1; 0,5} , {1; 0,5}

    6. Si A =1 3a 2

    y det (A-1) = 1

    16 entonces a es , 6 , 6 , 0 , 1116

    7. Sea A = 2

    1 1 20 1 k1 2 k

    . Un valor de k para el que A no es inversible es:

    , 2 , 1 , 2 , 0

    8. Si A R3x3 , B R3x3, A.B = 2 1 11 0 10 2 1

    y det (A) = 3, entonces el det (B)

    es , 53 , 1 , 53

    , 3

    9. La matriz de tecnologa de una economa es C =0,2 0,70,4 0,4 . Con una

    produccin de (1100;900) se satisface una demanda externa de

    , (250;100) , (6450;5800) , (120;125) , (1300;950)

  • Ejercicios de final

    49

    10. En una economa de rubros I y II, con matriz de tecnologa C, es

    I C = 0,7 0,10,5 0,2

    Cunto requiere el rubro II del rubro I para producir $1?

    , $0,2 , $0,5 , $0,1 , $0,8 11. En una economa de dos rubros interdependientes I y II, para producir $1 de I se requieren $ 0,2 de I y $ 0,4 de II, y para producir $1 de II se requieren $ 0,2 de I y $ 0,6 de II.

    La produccin que satisface una demanda externa de $ 300 de I y $ 600

    de II es , (1500,0) , (1000,2500) , (120,120) , (1500,2250)

    12. En una economa que depende de dos rubros I y II, para producir $ 1 de I se requieren $ 0,40 de I y $ 0,60 de II, y para producir $ 1 de II se

    requieren $ 0,30 de I y $ 0,80 de II.

    La matriz de tecnologa de esta economa es:

    , 0,4 0,60,3 0,8 ,

    0,6 0,60,3 0,2

    , 0,4 0,30,6 0,8 ,

    0,6 0,30,6 0,2

    13. Las matrices de tecnologa de dos economas A y B son

    CA = 0,4 0,80,5 0,2 y CB =

    0,2 0,70,5 0,1 . Entonces:

    , ambas son productivas , A es productiva y B no , B es productiva y A no , ninguna es productiva

    PROGRAMACIN LINEAL EN R2

    1. Sean R0 2x y 10

    x 4y 6

    + ;

    A = (3,6); B = (0,6); C = (2,6); D = (4,6); E = (4,2); F = (5,0); G = (4,0); H = (4,8) y O = (0,0). Los puntos esquina de R son , A, C, E, H , B, C, E, G, O , C, D, E , B, C, E, F, O

  • Ejercicios de final

    50

    2. Los puntos esquina de una regin acotada R son

    (4,6) ; (0,3) ; (1,6) y (2,2). Los valores mximo (M) y mnimo (m) de z =6x+ y en R son , M = 30; m = 0 , M = 30; m =10 , M = 0; m =18 , M = 10; m =3

    3. El mnimo de la funcin z = 7x3y en x y 2

    x 0y 5

    + es m y se alcanza en P

    para , m =15; P = (0,5) , m =6; P = (0,2) , m =14; P = (2,0) , m =6; P = (3,5)

    4. La funcin z = x+2y en R +

    x y 32 x 4

    , tiene mximo pero no tiene mnimo , no tiene mnimo ni mximo , tiene mnimo pero no tiene mximo , tiene mnimo y mximo

    5. Sobre R 4 x y 4

    x 4 , f =x +y

    , tiene mximo y mnimo , tiene mximo pero no tiene mnimo , no tiene mximo ni mnimo , tiene mnimo pero no tiene mximo

    6. Sea R el polgono de vrtices A = (2,0) ; B = (2,6) ; C = (2,6); D =(6,2) y E = (4,0). La funcin z = 4x + y alcanza valor mximo 38 sobre R para

    , = 5 , = 7 , = 233

    , ningn

    ALGORITMO SIMPLEX

    1. La siguiente tabla corresponde a un problema de maximizacin estndar: x1 x2 x3 s1 s2 s3

    1 1 1 1 0 4 1 0 1

    1 0 0

    1 1 0 0 0 1

    2

    2

    8

    0 0 8 6 0 0 f12

  • Ejercicios de final

    51

    Las variables bsicas son , x1 , x2 y x3 , x1 , x2 , s2 y s3 , x2 , s2 y s3 , x1 , x3 y s1

    2. Dado el problema: Maximizar f = x + 3y + 2z sujeto a

    x z 42x y 3

    x y 2z 2x 0, y 0, z 0

    + + + + , el punto donde f alcanza el mximo es

    , (0,0,3) , (4,1,2) , (0,2,0) , (0,0, 3)

    3. La siguiente tabla simplex corresponde a un problema de maximizacin estndar

    1 0 1

    0 1 1

    1 1 1

    1 0 0

    0 1 0

    0 0 1

    3

    2

    6

    1 2 3 0 0 0 f

    Entonces el mximo de f es M y se alcanza en P para

    , M = 7 y P = (3,2,1) , M = 7 y P = (3,2,0) , M = 4 y P = (0,2,0) , M = 7 y P = (1,2,0) 4. Esta es la tabla de un problema de maximizacin estndar:

    1 0 1

    0 1 1

    1 0 0

    1 0 0

    0 1 0

    0 1 1

    3

    2

    6

    1 0 5 0 2 0 f 4

    Entonces el mximo de f es M y se alcanza en P para

    , M = 7; P = (3,2,3) , M = 7; P = (3,2,0) , M = 4; P = (0,2,0) , M = 4; P = (3,2,6)

  • Ejercicios de final

    52

    5. La siguiente tabla simplex corresponde al problema de maximizar w =f en una regin R

    1 2 2

    1 2 3

    1 3 0

    1 0 0

    0 1 0

    0 0 1

    3

    4

    2

    1 1 1 0 0 0 w

    Entonces, en la misma regin, el mnimo de f es m y se alcanza en P para

    , m = 3 y P = (3,0,0) , m = 43 y P = (0,13

    ,0)

    , m = 3 y P = (3,0,0) , m = 43 y P = (0,13

    ,0)

    6. La siguiente tabla simplex corresponde a un problema de maximizacin estndar

    1 2 1

    0 1 0

    1 0

    1 0 0

    1 1 0 2 0 1

    8

    5

    9

    3 5 0 1 0 0 f 8

    En el prximo paso, puede ser pivote si

    , = 3 , = 1 , < 94 , > 94

    7. Esta es la tabla de un problema de maximizacin estndar

    1 0 0 1

    1 0

    1 0 0

    0 1 0

    0 1 1

    3

    5

    6

    1 0 0 2 0 f10

    En el problema dual asociado, el valor mnimo es m y se alcanza en P

    para , m =13 y P = (1,2,0) , m =10 y P = (0,2,0) , m =13 y P = (3,5) , m =13 y P = (3,5)

  • CBC PROGRAMA DE LGEBRA (CS. ECONMICAS) Unidad 1 R2. Pares ordenados. Operaciones Rectas en R2 : ecuacin implcita, pendiente; ecuacin paramtrica. Rectas paralelas, interseccin de rectas. Aplicaciones. R3. Ternas. Operaciones Rectas y planos en R3: ecuaciones implcitas y paramtricas. Posiciones relativas de dos rectas en R3. Intersecciones de:dos rectas, dos planos, un plano y una recta. Unidad 2 Sistemas de ecuaciones lineales en varias variables. Sistemas homogneos y no homogneos. Sistemas equivalentes. Matriz asociada a un sistema. Operaciones elementales entre filas. Matriz triangulada. Mtodo de triangulacin de Gauss. Rango de una matriz. Resolucin de sistemas lineales. Expresin paramtrica de las soluciones. Sistemas incompatibles, compatibles: determinados e indeterminados. Aplicaciones. Unidad 3 Espacios vectoriales. Subespacios. Sistemas de generadores. Dependencia e independencia lineal de vectores. Bases. Dimensin. Subespacios en R2 y R3: rectas y planos por el origen. Unidad 4 Matrices. Operaciones: suma, producto por escalares. Propiedades. Matriz traspuesta. Producto de matrices. Matrices cuadradas. Matriz identidad. Matriz inversa, clculo. Determinantes: clculo, propiedades. Existencia de matriz inversa. Aplicaciones: modelo de insumo-producto de Leontief. Unidad 5 Inecuaciones lineales en R2. Representacin grfica de las soluciones. Sistemas de inecuaciones lineales. Regiones. Puntos esquina. Programacin lineal en el plano. Conjunto de restricciones. Funcin objetivo. Valores mximos y mnimos. Aplicaciones. Unidad 6 Inecuaciones lineales en Rn. Forma estndar de un programa lineal. Algoritmo simplex: variables de holgura, tablas simplex. Soluciones factibles bsicas. Problemas con soluciones mltiples. Interpretacin geomtrica en R2. Modelos de produccin lineal. Minimizacin. Definicin y resolucin del problema dual. Bibliografa - Grossman, Stanley lgebra lineal. Mc Graw Hill - Grossman, Stanley Aplicaciones de lgebra lineal. Grupo editorial Iberoamrica. - Strang, Gilbert. lgebra lineal y sus aplicaciones. Addison-Wesley Iberoamericana. - Haeussler, E. y Paul, R.Matemticas para Administracin, Economa, Ciencias Sociales y de la vida.Prentice-Hall Hispanoamericana.

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