Practica de Geometria Analítica

1

INSTITUTO EDUARDO LAREDO

PROF. MARCELO BECERRA VILLANUEVA

PRCTICA DE GEOMETRA ANALTICA

2

GUIA DE GEOMETRIA ANALITICA

NOCIONES BASICAS Y LINEA RECTA.

2

12

2

12 )()( yyxxd Distancia entre dos puntos

r

rxxxp

1

21 r

ryyyp

1

21 Razn de divisin

2

21 xxxm

2

21 yyym

Punto medio

12

12

xx

yym

Pendiente

12

12

1 mm

mmtan

ngulo entre dos rectas

21 mm Paralelas

1mm 21 Perpendiculares

)( 11 xxmyy Ecuacin de la recta punto pendiente

)( 112

121 xx

xx

yyyy

Ecuacin de la recta dados dos puntos

0 CByAx Ecuacin general B

Am Pendiente;

B

Cb ordenada al origen

22

11

BA

CByAxd

Distancia de una recta a un punto.

EJERCICIOS RESUELTOS:

1.- Calcula el permetro del tringulo cuyos vrtices son A(-2,5) B(4,3) yC(7,-2).

2

12

2

12 )()( yyxxd

22 )53()24( AB

d 436 AB

d 40AB

d 324.6AB

d

22 )32()47( BC

d 259 BC

d 34BC

d 83.5BC

d

22 )52()72( CA

d 4981CA

d 130CA

d 401.11CA

d

PERMETRO: 6.32 + 5.83 + 11.40 = 23.55 u

3

2.- Encuentra las coordenadas del punto que divide al segmento de lnea A(4,-3) y

B(1,4) en la razn de 2.

r

rxxX p

1

21

3

1)2(4 pX 2pX

r

ryyYp

1

21 3

4)2(3pY

3

5pY COORDENADAS: P(2, 5/3)

3.- Encuentra el ngulo de inclinacin de la lnea que pasa por los puntos

L(-3,-5) y M(6,7).

12

12

xx

yym

36

57

m

9

12m

9

12tan )

9

12(tan 1 EL NGULO ES: 13.53

4.- Escribe la ecuacin de la lnea recta en su forma general que pasa por los puntos

C(2,-3) y D(4,2).

x y

2 3 = -3x + 4 + 4y 2x + 12 2y

4 2 = -5x +2y + 16 ECUACIN: 5x 2y 16 = 0

x y

5.- Determina la ecuacin de la lnea que pasa por (-2,3) y es perpendicular a la lnea

2x 3y + 6 = 0

3

2

3

2

B

Am )(: 11 xxmyylarPerpendicu )2(

2

33 xy

6362 xy ECUACIN: 3x + 2y = 0

6.-Encuentra la pendiente, ordenada y abscisa al origen de la recta

5x 2y 10 = 0

2

5

2

5

B

Am 5

2

10

B

Cb 2

5

10

A

Ca

PENDIENTE: m= 5/2 ORDENADA: b= -5 ABSCISA: a= 2

4

7.-Encuentra el ngulo agudo entre las rectas: 2x + 3y 4 = 0 ,

3x + y + 5 = 0

3

21

B

Am 3

1

32 m

9

7

3

3

7

3

61

3

23

1tan

12

12

mm

mm 125.142)

9

7tan( 875.37

ANGULO AGUDO: 37.875

8.-Calcula la distancia del punto (5,2) a la recta 2x 4y + 3 = 0

22

11

BA

CByAxd

11.1

47.4

5

164

3)2(4)5(2

d

DISTANCIA: 1.118u

9.-Encuentra la ecuacin general de la mediatriz que pasa por el lado AB, en el

tringulo cuyos vrtices son A(4,1) , B(2,-3) y C(-3,-5).

Mediatriz F AB 22

4

42

13

12

12

xx

yym

32

24

Px 1

2

31

Py Pm (3,-1)

F (3,-1) )( 11 xxmyy )3(2

11 xy

m = -1/2 322 xy 012 yx

ECUACIN: x + 2y 1 = 0

EJERCICIOS PARA RESOLVER.

1. Halla el valor de x si la distancia entre (x, 2) y (1, 2) es 5 Sol. x1 = 2, x2 = -4

2. Demuestra que los puntos A(2, 2), B(6, 6) y C(2, 2) son los vrtices de un tringulo issceles.

3. Demuestra que los puntos A(2, 8), B(6, 1) y C(0, 4) son los vrtices de un tringulo rectngulo.

5

4. Halla el permetro de los tringulos cuyos vrtices son

a) A(4, 4), B(6, 6) y C(0, 3) Sol. 29.06 b) A(-2,5), B(4,3) y C(7,-2) Sol : 23.56

5.- Demuestra que el tringulo cuyos vrtices son, )4,3(),1,2(),2,5( CBA es

escaleno.

6.- Prueba que los puntos (2, 3), (1, 2) y (4, 1) son colineales por cualquier

mtodo y encuentra la ecuacin de la recta Sol. x+3y-7=0

7.- Demuestra que los siguientes puntos son colineales, por cualquier mtodo.

a) A(4, 2), B(0, 1), C(4, 0)

b) A(6, 2), B(2, 1), C(2, 4)

8.- Encuentra las coordenadas del punto que divide al segmento de lnea

A(4,-3) y B(1,4) en la razn 2. Sol : P(2, 5/3)

9.- Encuentra las coordenadas del punto P, tal que PB

APr s,

A B y r( , ), ( , )4 2 2 52

3 Sol. P(8/5, -16/5)

10.- Encuentra los puntos de triseccin del segmento cuyos extremos son los puntos

A(2, 5) y B(3, 6). Sol. P(4/3, -7/3), Q(-1/3, 4/3)

11.- Un segmento de recta tiene por extremos los puntos A(1, 2) y B(5, 6). Determina las

coordenadas del punto C, tales que AC/CB =1/4. Sol. P(9/5, 2/5)

12.- Encuentra el ngulo de inclinacin de la lnea que pasa por los puntos L(-3,-5) y

M(6,7). Sol : 53.13

13.- Encuentra el ngulo agudo entre las rectas:

a) 0432 yx y 053 yx Sol : 37.87

b) 2 3 7 0x y y 5 2 10 0x y Sol. 78.11

14- Encuentra los ngulos interiores del tringulo cuyos vrtices son los puntos.

A(4, 2), B(6, 1), C(0, 1) Sol. A=109.65, B=37.88, C=32.46

15.-Dos rectas se cortan formando un ngulo de 45, sabiendo que la recta final tiene una

pendiente m = 3. Calcula la pendiente de la recta inicial. Sol. m=1/2

16.-Halla el rea del tringulo o polgono cuyos vertices son:

a) A(2, 4), B(3, 6), C(1, 7) Sol. 13.5 u2

b) A(3, 1), B(5, 6), C(2, 8), D(4,5) Sol. 70 u2 c) A(5,1), B(3,6), C(1,-4), D(-2,-3) Sol. 31 u2

6

17.- Aplicando la condicin de perpendicularidad, demuestra que el tringulo es

rectngulo A(3, 2), B(5, 4), C(1, 2)

18.- Escribe la ecuacin de la lnea recta en su forma general que pasa por los

puntos C(2,-3) y D(4,2). Sol : 5x-2y-16=0

19.- Halla la ecuacin de la recta de pendiente m=1/2, que forma con los ejes de

coordenadas un tringulo de 16 unidades de rea. Sol. x-2y+8=0, x-2y-8=0

20.- Determina la ecuacin de la lnea que pasa por (-2,3) y es perpendicular a

la lnea 2x-3y+6=0 Sol : 3x+2y=0

21.- Dada la ecuacin general de la recta, determinar la pendiente, ordenada al

origen, abscisa al origen y su grfica.

a) 5 4 20 0x y Sol. m=-5/4, b=5, a=4 b) 01025 yx Sol : m=5/2, a=2, b=-5

22.- Encuentra la ecuacin de la recta que pasa por el punto (4, 2) y es paralela a la

recta 2x3y+4=0 Sol. 2x-3y-2=0

23.-Encuentra la ecuacin de la recta que pasa por el punto (4, 4) y es perpendicular a la

recta que pasa por los puntos A(2, 3) y B(6, 1). Sol. x-y-8=0

24.-Encuentra la ecuacin general de la mediatriz que pasa por el lado AB, en el tringulo

cuyos vrtices son A(4,1), B(2,-3) y C(-3,-5) Sol : x+2y-1=0

25.-Halla la ecuacin de la mediana que pasa por el vrtice A del tringulo cuyos vrtices

son A(2, 3), B(5, 7) y C(3, 4) Sol. 5x+2y-16=0

26.- Halla la ecuacin de la altura que pasa por el vrtice C del tringulo cuyos vrtices son

A(2, 3), B(5, 7) y C(3, 4) Sol. 3x+4y-7=0

27.- Calcula la distancia del punto (5,2) a la recta 2x - 4y + 3 = 0. Sol : d= 5

2= 1.11u

28- Calcula la distancia entre el punto P(4, -1) y la recta que pasa por el punto

A(2, 3) con pendiente de -3/4. Sol. 3x+4y-18=0, d=2

29.- Calcula la distancia entre el punto A(2, 1) y la recta que pasa por los

puntos B(5, 4) y C(2, 3) Sol. 4.74 u

30.- Encuentra la distancia entre las rectas paralelas

a) 072169 yx y 075169 yx Sol. d = 8 u

b) 022 yx y 0342 yx Sol. d=1.56 u

7

CIRCUNFERENCIA.

222 ryx Ecuacin de la circunferencia con centro en el origen

222 )()( rkyhx Ecuacin de la circunferencia con centro en (h, k)

022 FEyDxCyAx Ecuacin general, con A=C

A

Dh

2

A

Ek

2

A2

AF4EDr

22


1.- Encuentra la ecuacin general de la circunferencia con centro en el origen y las

coordenadas de los extremos de un dimetro son P(3,4) y Q(-3,-4).

C (0,0) 2122

12 )()( yyxxd 5169 d

222 ryx ECUACIN: 2522 yx

2.- Encuentra la ecuacin general de una circunferencia cuyos extremos de un

dimetro son A(5,-6) , B(-7,2).

12

75

Px 212

2

12 )( yyxxd 22 )62()51( d

22

26

Py 521636 d

Pm (-1,-2) 222 )()( rkyhx 52)2()1( 22 yx

0524412 22 yyxx ECUACIN: x2 + y

2 + 2x + 4y 47 = 0

3.- Encuentra la ecuacin general de la circunferencia con centro C(-4,-1) y es

tangente a la recta 3x + 2y 12 = 0.

22

11

BA

CByAxd

211.7

605.3

26

49

12)1(2)4(3

r

222 )()( rkyhx 52)1()4( 22 yx

05212168 22 yyxx ECUACIN: 0352822 yxyx

4.- Dada la ecuacin de la circunferencia 36x2 + 36y

2 24x + 108y + 85 = 0.

Determina que representa.

Dividiendo entre 36: 036

85

36

108

36

2422 yxyx 036

853

36

2422 yxyx

Asociando: 36

853

3

2 22 yyxx

8

Completando: 4

9

9

1

36

85

2

33

3

1

3

22

2

2

2

yyxx

036

0)

2

3()

3

1( 22 yx SOLUCIN: Punto

5.- Dada la ecuacin de la circunferencia, determine las coordenadas del centro y la

longitud del radio 2x2 + 2y

2 16x 4y + 16 = 0.

082822 yxyx 1168)1(2)4(8 2222 yyxx

9)1()4( 22 yx

C ( 4 , 1 ) y radio = 3

6.- Encuentra la ecuacin en su forma ordinaria de la circunferencia que pasa por los

puntos A(3,2) y B(-3,8) y su centro est sobre la recta x 4y 4 = 0.

Punto medio

52

82

02

33

m

m

y

x

pendiente 133

28

ABm

Ecuacin de la mediatriz 05

)0(15

yx

xy

El centro en la interseccin 2_____05

1____044

yx

yx x=-8 y=-3 C(-8, -3)

Radio 146)32()83( 22 r

Ecuacin de la circunferencia. ECUACIN: (x+8)2+(y+3)

2=146


1.- Halla la ecuacin de la circunferencia, que cumple con las condiciones sealadas.

a) Centro en el origen, radio 8. Sol. 6422 yx

b) Centro en (-2,3) y radio 4. Sol. 36422 yxyx

c) Centro en (-2,1) y pasa por el punto (4, 3) Sol. 40)1()2( 22 yx

d) Centro en (4, -1) y pasa por el punto(-1, 3). Sol. 0242822 yxyx

e) Dimetro con extremos en (2, 3), y (4, -1) Sol. 5)1()3( 22 yx

f) centro en (-4, 3) y es tangente al eje y. Sol. 096822 yxyx

g) Centro en (2, 5) y tangente a la recta 3x + 4y 1 = 0 Sol. 25)5()2( 22 yx

h) Centro (-2, 3) y tangente a la recta 20x 21y 42 = 0 0126422 yxyx

9

2.- Halla el centro y el radio de las circunferencias siguientes reduciendo primero a su

forma ordinaria:

a) 01210822 yxyx Sol. C(4, -5), 53r

b) 07822 yxyx Sol. C(4, 7/2), 2

113r

c) 01561022 22 yxyx Sol C(5/2, -3/2), r = 4

3.- Encuentra el centro y el radio de la circunferencia de ecuacin. Utilizando las frmulas.

a) 02216422 22 yxyx Sol. r=3, C(1, -4)

b) 054622 yxyx Sol. r=8, C(-3, 2)

4.- Halla la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos (1, -4) y (5, 2) y que tiene

su centro en la recta x-2y+9=0. Sol. 0476622 yxyx

5.- Determina la ecuacin, centro y radio de la circunferencia que pasa por los tres puntos

A(1, 2), B(3, 1) y C(-3, -1) Sol. 010322 yxyx

6.- Determina la ecuacin general de la circunferencia que pasa por el punto (1, 2) y que es

tangente a la recta 2x+3y-18=0 en el punto (3, 4). Sol.

7.- Dada la ecuacin, determina que representa, un punto, una circunferencia o un

conjunto vaco

a) 095108243636 22 yxyx Sol. Conjunto vaco.

b) 058121622 22 yxyx Un punto.

c) 06082844 22 yxyx Conjunto vaco.

d) 0178641616 22 yxyx Circ. Real.

8.- Determina la ecuacin de la circunferencia que pasa por el punto (5, -1) y que es

concntrica a la circunferencia 0308622 yxyx

Sol.

9.- Encuentra la ecuacin de la circunferencia de centro en (-2, 4) y pasa por la

interseccin de las rectas 4x-7y+10=0, y 3x+2y-7=0.

Sol.

10.- Halla la ecuacin de la circunferencia concntrica con 0181022 yxyx y que

es tangente a la recta 20x-21y-42=0.

Sol.

10

PARABOLA

Vrtice en (h, k)

ECUACION

ORDINARIA

TIPO FOCO DIRECTRIZ LADO RECTO

(y-k)2 =4p(x-h) horizontal (hp, k) x = hp 4p

(x-h)2=4p(y-k) Vertical (h, kp) y = k p 4p


1.- Encuentra la ecuacin general de la parbola con foco en (5,1) y directriz la recta

y + 7 = 0.

p = 4 )(4)( 2 kyphx ]3)[4(4)5( 2 yx

481625102 yxx

ECUACIN: 02316102 yxx

2.- Encuentra la ecuacin en su forma general de la parbola con foco en F(2,5) y

ecuacin de su directriz y = 1.

)(4)( 2 kyphx )3)(2(4)2( 2 yx

248442 yxx

ECUACIN: x2 4x 8y + 28 = 0

3.- Encuentra la ecuacin general de la parbola con focos en (0,-2) y directriz la

recta: x 5 = 0.

p = 2.5 )(4)( 2 hxpky

]5.2)[5.2(4)2( 2 xy 2510442 xyy

ECUACIN: 0214102 yxy

4.- Dada la ecuacin de la parbola, encontrar las coordenadas del vrtice y foco y la

ecuacin de la directriz: 2y2 12y 24x 30 = 0.

Factorizando y Completando T.C.P. 183024))36(2 22 xyy

4824)3(2 2 xy )2(24)3(2 2 xy Div. Entre 2: )2(12)3( 2 xy

4p = 12 p = 3 Vrtice: (-2, 3)

F (h+p, k) Foco (1, 3)

Ec. Direc. x = h p Ecuacin Directriz: x = 5

11

5.- Encuentra las coordenadas del vrtice y del foco y la ecuacin de la directriz de la

parbola: 2y2 8x 8y 32 = 0.

Dividiendo entre 2: 016442 yxy 4164)2(4 22 xyy

204)2( 2 xy )5(4)2( 2 xy

p = 1 VRTICE (-5, 2)

F (h + p, k) FOCO (-4, 2)

Ec. Direc. x = h - p x = -6 DIRECTRIZ x + 6 = 0

6.- Un arco parablico tiene una altura de 20m y 20m de ancho. Cul es la altura del

arco a 5m del centro?

)(4)( 2 kyphx

V (h,k) V(0,20) P(x,y) P(10, 0)

100 = -4p (-20) 100 = 80 p p = 1.25

Sustituimos: x2 = -4 (1.25) (y-20) x

2 = -5 (y-20)

S x = 5 : 25 = -5y + 100 5y = 100 15 5y = 75

ALTURA: y = 15 m


1.- Halla la ecuacin de la parbola con:

a) con vrtice en el origen y foco (0, 3/5) Sol.- x2= -12/5 y, 5x2=-12y

b) vrtice en el origen y foco (7/2, 0) Sol.- y2=-14x

c) vrtice en el origen y directriz x = Sol.- y2=-3x

d) Vrtice en (3,3) y directriz x=1, Sol. 0596162 yxy

e) Foco en (4, 3) y directriz y=5 Sol. 0631622 yxx

f) Vrtice (2, 3) y Foco (1, 3) Sol.- y2+12x+6y-15=0

2.- De la ecuacin de la parbola, halla las coordenadas del vrtice, del foco y la

ecuacin de la directriz, traza la grfica.

a) 082 yx Sol.- V(0,0), p=2, F(0,2), direc. y=-2

b) y x2 24 0 Sol.- V(0,0), F(6,0), direc. x=-6

c) 031822 yxx Sol.- V(1,-4), F(1,-2), Y=-6 p=2

d) 0168122 2 yxy Sol. V(2, 2), F(7/2, 2), x=1/2

e) 060202052 yxy Sol.- V(-4,2), p=1, F(-3,2), x=-5

f) 0164122 yxy Sol.- V(-1,2), F(-4,2), direc. X=2

12

3.- Un arco parablico tiene una altura de 30 metros y una luz (ancho) de 45

metros. Halla la altura del punto del arco situado a 8 metros del centro. Sol. 26.20m

4.- Un arco parablico tiene una altura de 9 metros y de base 12 metros. Halla

la ecuacin y la altura de los puntos del arco situados 4 metros del centro.

Sol. )9(42 yx , y=5m

5.- El cable de suspencin de un puente colgante adquiere la forma de un arco de

parbola. Los pilares que lo soportan tienen una altura de 25m y estn separados una

distancia de 200m, quedando el punto mas bajo del cable a una altura de 5m sobre la

calzada del puente usando el piso del puente como el eje x y como eje y el de

simetra de la parbola. Halle la ecuacin de esta. Calcula la altura de un punto

situado a 50m del centro del puente? Sol.- y= 10m

6.- El cable de suspencin de un puente colgante adquiere la forma de un arco

de parbola. Los pilares que lo soportan tienen una altura de 30m y estn

separados una distancia de 100m, quedando el punto mas bajo del cable

sobre la calzada del puente. Halle la ecuacin de esta. Calcula la altura de un

punto situado a 25m del centro del puente. Sol.- y=7.5m

7.- La distancia entre dos soportes verticales de un puente colgante es de

100m y la flecha del cable es de 15m. Obtn la altura del cable a 30m del

centro del mismo. Sol.- y= 5.4m

13

ELIPSE.

ECUACIN VRTICES FOCOS COVERTICES

1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx

V(h a, k)

F(h c, k)

B(h, kb)

1)()(

2

2

2

2

a

ky

b

hx

V(h, k a)

F(h, k c)

B(hb, k)

LR=a

b22

e=c/a

EJE MAYOR = 2a

EJE MENOR = 2b

1.- Encuentra la ecuacin de la elipse en su forma general con focos en F(0,25) y

F(0,-25) y vrtices en V(0,30) y V(0,-30).

a=30, c=25, 625900222 cab ; b2=275

Elipse vertical con centro en el origen

1)()(

2

2

2

2

a

ky

b

hx 1

900275

22

yx

Ecuacin ordinaria

ECUACIN: 0247500275900 22 yx

2.-Encuentra la ecuacin de una elipse en su forma general dadas las siguientes

condiciones: C(1,4) , F(1,8) y excentricidad 1/5.

Elipse Vertical

c = 4

a = 20 a

ce

5

1

a

4

5

1

3842 b 222 cab 164002 b

Ecuacin:

1)()(

2

2

2

2

a

ky

b

hx 1

400

)4(

384

)1( 22

yx

1400

168

384

12 22

yyxx

015360061443072384400800400 22 yyxx

01470563072800384400 22 yxyx

Dividiendo entre 16: 09191192502425 22 yxyx

ECUACIN: 09191192502425 22 yxyx

14

3.- Dada la ecuacin, encontrar las coordenadas de los vrtices, focos, as

como la longitud del lado recto y la excentricidad:

9x2 + y

2 54x 8y + 88 = 0

Asociando y Factorizando: 88)8()6(9 22 yyxx

Completando T. C. P. : 168188))4(8())3(6(9 2222 yyxx

9)4()3(9 22 yx Diviendo entre 9: 19

)4(

9

)3(9 22

yx

* Elipse Vertical 19

)4(

1

)3( 22

yx C ( 3, 4)

a = 3 F ( h, kc ) V ( h, ka)

b = 1 F ( 3, 4+ 8 ) V ( 3, 7)

c = 8 F ( 3, 4 8 ) V ( 3, 1)

LR = a

b 22

3

)1(2

32LR

e = c/a 3

8e

4.- Determina si la siguiente ecuacin representa una elipse, un punto o un

conjunto vaco. 5x2 + y

2 10x 2y + 71 = 0

71)2()2(5 22 yyxx 1571)1(2))1(2(5 2222 yyxx

65)2()1(5 22 yx

CONJUNTO VACO

5.- Un arco tiene forma de semielipse con ancho de 150m, siendo su mxima altura

de 45m. Encuentra la altura de los soportes situados a 50m de la orilla hacia el

centro del arco.

a = 45 * Elipse Vertical

b = 75

12

2

2

2

a

y

b

x 1

20255625

22

yx

S x = 25

120255625

625 2

y

1139062556251265625 2 y

1265625113906255625 2 y

5625

101250002 y 18002 y ALTURA: y = 42.42m

15


1.-Halla la ecuacin de la elipse, conociendo los siguientes datos.

a) Vrtices (5, 0), focos en (3, 0) Sol. 11625

22

yx

b) Vrtices en (0, 6), excentricidad 2/3 Sol. 13620

22

yx

c) C(0, 0), pasa por (3,3), un vrtice en (0, 5) Sol. 12516/225

22

yx

d) Focos (4, 0), Lado recto = 18/5 Sol. 1925

22

yx

e) V(2,1), V(8,1), F(3,1),F(7,1) Sol. 089185095 22 yxyx

f) F(2, -1) F(10, -1) excentricidad=2/3 Sol. 036722403620 22 yxyx

g) V(3, 1) V(3, 7) L.R=2/3 Sol. 0888549 22 yxyx

2.-Determine vrtices, focos, lado recto, excentricidad y centro de la elipse con ecuacin:

a) 01892 22 yx Sol. V(3,0), F(7, 0), LR=4/3, e=7/3, C(0,0)

b) 02045 22 yx Sol. V(0, 5), F(0, 1), LR=8/5, e=1/5, C(0,0)

c) 02724643 22 yxyx , Sol.V(1,3),V(-3,3),F(0,3),F(-2,3)LR=3,e=1/2,

d) 081365469 22 yxyx , Sol. V(-3,6),V(-3,0),F(-3,4.73),F(-3,1.27), LR=4,

e=3/3, C(-3,3)

3.-Un arco tiene forma de semielipse con ancho de 150m, siendo su mxima altura de 45m.

Encontrar la altura de dos soportes situados a 25m del centro del arco. Sol. 302 m.

4.- El arco de un paso subterrneo es una semielipse de 90 m. de ancho y 30 m. de altura.

a) Halla el ancho situado a 10m de altura b) Obtener la altura de un punto situado a 20m. de la orilla. Sol. a) 42.42m, b) 25m.

5.- Un jardinero desea trazar una elipse ayudado con un lazo y 2 estacas. Las estacas las

coloca en los focos de la elipse separadas 7m. De que longitud ser el lazo para que

atado en las estacas se pueda trazar una elipse de 0.625 de excentricidad. Sol. 11.2m

6.- La rbita de la tierra es una elipse con el sol en uno de sus focos, la longitud del eje

mayor es 287 millones de kilmetros y la excentricidad es de 1/62. Halla la mxima y la

mnima distancia de la tierra al sol. Sol. Mx. 1.5 millones, Mn 1.41 millones Km.

16

HIPERBOLA.

ECUACIN

ORDINARIA

VRTICES

FOCOS

COVRTICES

1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx

V(h a, k)

F(h c, k)

B(h, k b)

1)()(

2

2

2

2

b

hx

a

ky

V(h, k a)

F(h, k c)

B(h b, k)

a

bLR

22

e=c/a

E. Trans = 2a

E. Conjug. = 2b


1.-Encuentra la ecuacin de la hiprbola en su forma general, con focos en (1,6) y

(1,0) y su excentricidad 3/2.

c = 3 Ecuacin:

a = 2 a

ce

2

3

a

3

2

3 63 a 1

)()(2

2

2

2

b

hx

a

ky

52 b 222 acb 492 b 15

)1(

4

)3( 22

xy

020)12(4)96(5 22 xxyy

02048445305 22 xxyy

ECUACIN: 02183045 22 xyxy

2.- Dada la ecuacin de la hiprbola, encontrar las coordenadas de un vrtice, la

ecuacin de una asntota y la longitud del lado recto.

14

)3(

1

)2( 22

yx 1

)()(2

2

2

2

b

ky

a

hx C (-2, -3)

a = 1 V (ha, k) 02

3

1

2:

yxAsntotas

b = 2 V (-1, -3)

V (-3, -3) Lado Recto : 1

)4(22 2

a

b L.R = 8

17

3.- Dada la ecuacin de la hiprbola, encontrar las coordenadas de los

vrtices, la excentricidad y las ecuaciones de las asntotas: 9x2 16y

2

18x 64y 199 = 0.

Asociando y Factorizando: 199)4(16)2(9 22 yyxx

Completando T. C. P.:

649199))2(4(16))1(2(9 2222 yyxx

144)2(16)1(9 22 yx Diviendo entre 144: 1144

)2(16

144

)1(9 22

yx

* Hiprbola Horizontal 19

)2(

16

)1( 22

yx C ( 1, 2)

a = 4 F ( h c, k ) V ( h a, k))

b = 3 F ( 6, 2) V ( 5, 2)

c = 5 F ( 4,2) V (3, 2)

LR = a

b 22

4

)9(2

29LR

a

ce

45e

4.- Encuentra la ecuacin de la hiprbola vertical en su forma general, cuyas

ecuaciones de las asntotas x 2y + 1 = 0, x + 2y 3 = 0, y distancia entre los

vrtices 2.

012 yx 2a = 2 a = 1

032 yx b = 2

2x 2 = 0

12

2x 1

)1()(2

2

2

2

b

x

a

ky 1

4

)1(

1

)1( 22

xy

032 yx 04)12(1)12(4 22 xxyy

1 + 2y 3 = 0 0412484 22 xxyy

2y = 3 1

1y ECUACIN: 01284 22 xyxy

C ( 1, 1)

18

5.- Dada la ecuacin de la hiprbola, encontrar las coordenadas de un vrtice y la

ecuacin de una asntota: 9x2 16y

2 36x 32y 124 = 0.

Fact. y Completando. T.C.P.: 1636124))1(2(16))2(4(9 2222 yyxx

144)1(16)2(9 22 yx 1144

)1(16

144

)2(9 22

yx

19

)1(

16

)2( 22

yx * Hiprbola Horizontal

C (2, -1)

a = 4

b = 3 Asntotas:

V (h a, k) V (6, -1) y V (-2, -1) 3x+4y-2=0 ; 3x-4y-10=0


1.- Halla la ecuacin de la hiprbola en su forma ordinaria, que tiene su centro en el origen,

de acuerdo a los datos:

a) Vrtices (4, 0), Focos (6,0) Sol. 12016

22

yx

b) Vrtices (0, 5) y un extremo del eje conjugado (3, 0) Sol. 1925

22

xy

c) Focos (3,0), lado recto = 5 Sol. 154

22

yx

d) Focos (7, 0), excentricidad=2 Sol. 1

4147

449

22

yx

e) Vrtices (0, 2), lado recto=9 Sol. 194

22

xy

f) Vrtices (3, 0), excentricidad=4/3 Sol. 179

22

yx

2.- Encuentra las coordenadas del centro, vrtices, focos, la longitud de cada lado recto,

la excentricidad y las ecuaciones de las asntotas de las hiprbolas.

a) 01892 22 yx Sol. C(0, 0), V(3, 0), F(11, 0) e=11/3, LR=4/3,

asntotas 2x 3y=0

b) 03649 22 yx Sol. C(0, 0), V(2, 0), F(13, 0) e=13/2, LR=9,

asntotas 3x 2y=0

c) 03694 22 yx Sol. C(0, 0), V(0, 2), F(0, 13) e=13/2, LR=9,

asntotas 3y 2x=0

d) 02045 22 yx Sol. C(0, 0), V(0, 2), F(0, 3) e=3/2, LR=5,

asntotas 5y 2x=0

19

3.-Halla la ecuacin de la hiprbola si te dan los siguientes datos.

a) V(3, 4), V(3, 0) F(3,5), F(3, -1). Sol. 036202454 22 yxyx

b) V(3, 4), V(5, 4) F(2,4), F(6, 4). Sol. 0298243 22 yxyx

c) V(2, 4),V(6, 4), excentricidad=3/2 Sol. 04324045 22 yxyx

d) F(1, 6), F(1, 0), excentricidad=3/2 Sol. 02130845 22 yxxy

e) V(3, 3), V(3, -3), LR=8/3 Sol. 01175494 22 xxy

4.- De la ecuacin de la hiprbola, encuentra las coordenadas del centro, vrtices, focos,

la longitud de cada lado recto, la excentricidad y las ecuaciones de las asntotas.

a) a) 0482045 22 yxyx Sol. C(2,1),V(4, 1),V(0, 1),F(5, 1),F(-1, 1),

e=3/2, LR=5, 5(x-2) 2(y-1)=0

b) 02124634 22 yxxy Sol. C(-1,3),V(-1,4.73),V(-1,1.27), F(-1,3+7),

F(-1,3-7), e=7/3, LR=8/3, 2(y-3) 3(x+1) =0

c) 036164 22 yxyx Sol . C(-2,-3),V(-1,-3),V(-3,-3), F(-2+5,-3),

F(-2-5, -3), e=5, LR=8, 2(x+2) (y+3) =0

d) 0910165 22 yxyx Sol. C(-2,-1),F(1,-1),F(-5,-1), V(-2+5,-1),

V(-2-5, -1), e=3/5, LR=8/5, 2(x+2) 5(y+1) =0

e) 0124323616922 yxyx

Sol.- V(6,-1), V(-2,-1), e=5/4, 3x+4y-2=0, 3x-4y-10=0

f) 014184922 yxyx

Sol.- V(1,-1), V(-5,-1), e=10/3, x+3y+5=0, x-3y-1=0

g) 0362410042522 xyxy

Sol.- V(-3,4), V(-3,0) e=29/2, 2x-5y+16=0, 2x+5y-4=0

20

TRASLACIN, ROTACIN DE EJES Y ECUACIN DE SEGUNDO GRADO

Forma general de la Ecuacin de segundo grado.

022 FEyDxCyBxyAx

TRASLACIN: h'xx ; k'yy

ROTACIN:

cosysenxy;senycosx x:II Mtodo b

FF

cosEDsenE

EsencosDD

cosCcosBsenAsenC

0'BcosCsen2BsencosBcosAsen2B

CsencosBsencosAA

Rotacin de ngulo

CA

B2Tan

:I Mtodo a

''''

'

'

'

22'

22'

22'

Ecuacin general de segundo grado. I = B2 - 4AC Indicador o Discriminante

Si: < 0 Elipse o Circunferencia.

= 0 Parbola.

> 0 Hiprbola.


1.- Transformar la ecuacin 01135489422 yxyx , mediante una

traslacin de los ejes coordenados.

Primer mtodo:

Se sustituyen en la ecuacin x por x+h la y por y+k.

0113k'y54h'x8k'y9h'x4 22 ,desarrollando los binomios al cuadrado:

0113k'y54h'x8k'ky2'y9h'hx2'x4 2222

21

Efectuando los productos:

0113k54'y54h8'x8k9'ky18'y9h4'hx8'x4 2222

Agrupando trminos semejantes y reordenando:

0113k54h8k9h4'y54k18'x8h8'y9'x4 2222

La ecuacin transformada no debe tener trminos de primer grado, se igualan acero los

coeficientes de x y y , con lo cual: 8h-8=0 y 18k-54=0, entonces: h=1 y k=3

Por lo tanto, el nuevo origen est en (1,3). Al sustituir los valores de h y k, la ecuacin

transformada nos queda as: 036'y9'x422 .

Segundo mtodo:

Como esta ecuacin de segundo grado no tiene el trmino en xy, puede efectuarse la

transformacin completando cuadrados. La ecuacin dada se escribe de la siguiente

manera: 113y54y9x8x4 22 . Factorizando:

113y6y9x2x4 22 , completando los cuadrados y sumando la misma cantidad a los dos miembros de la ecuacin tenemos:

8141139y6y91x2x4 22 .

Factorizando en el primer miembro y sumando en el segundo:

363y91x4 22 , sustituyendo x-1=x, y-3=y se obtiene la ecuacin

transformada: 036'y9'x422 .

2.- Simplifique mediante una rotacin de ejes la ecuacin: 09y5xy6x5 22 , en

otra que no tenga trmino en xy.

Utilizando las frmulas del mtodo I:

452

90

902

2ArcTan

2Tan

0

6

55

6

CA

B2Tan

22

Por trigonometra se sabe que: 2

245cos

2

245sen y , por lo que al sustituir en

A,B,C,D,E,F. Se tiene:

9'F,0'E,0'D

2'C4

8

4

10

4

12

4

10

2

25

2

2

2

26

2

25'C

0'B

8'A4

32

4

25

4

26

4

25

2

25

2

2

2

26

2

25'A

22

2

La ecuacin dada se transforma en: 09'y2'x8 22 .

Utilizando las frmulas del mtodo II:

Al sustituir los valores de sen45 y cos45 en las frmulas de rotacin del mtodo II se

obtiene:2

'y2'x2'y

2

2'x

2

2y,

2

'y2'x2

2

2'x

2

2x

.

Sustituyendo los valores de x y y en la ecuacin:

092

'y2'x25

2

'y2'x2

2

'y2'x26

2

'y2'x25

2

,

efectuando operaciones

:ndosimplifica , 36'y8'x32

:semejantes trminosreduciendo ,36'y10'y'x20'x10'y12'x12'y10'y'x20'x10

94

'y2'y'x4'x25

4

'y2'x26

4

'y2'y'x4'x25

22

222222

222222

La ecuacin dada se transforma en: 09'y2'x8 22


1.- Determina que cnica representa cada una de las siguientes ecuaciones.

a) 01682 22 xyxyx Sol. Parbola

b) 022622323 22 yxyxyx Sol. Elipse

c) 095585611244 22 yxyxyx Sol. Hiprbola

d) 032422 yxyx Sol. Circunferencia

e) 01441672412 22 xyxy Sol. Hiprbola.

f) 082 yx Sol. Parbola

23

2.- Eliminar los trminos de primer grado de las ecuaciones siguientes, por medio de

una traslacin de ejes.

a) 05462 xyy Sol . xy 42

b) 0108643 22 yxyx Sol. 0943 22 xx

c) 017101252 22 yxyx Sol. 04052 22 yx

d) 01121233 22 yxyx Sol. 02533 22 yx

3.- Mediante una traslacin de ejes, simplificar la ecuacin en otra que carezca de

trminos de primer grado, indicando el nuevo origen y el tipo de curva de que se

trata.

a) 04202522 yxyx Sol.- x2+5y2=25, O(-1,2), Elipse

b) x y x y2 24 4 8 8 0 Sol.- x2+4y2 =16, O(2,1), Elipse

c) 01710125222 yxyx Sol.- 2x2+5y2=40, O(3,-1) Elipse

d) 013864322 yxyx Sol.- 3x2-4y2=12, O(1,-1) Hiprbola

4.- Transformar las siguientes ecuaciones mediante una rotacin para que desaparezca

el trmino Bxy.

a) 03016823 22 yxyxyx Sol. 01526222 22 yxyx

b) 083 22 yxyx Sol. 0165 22 xy

c) 02245 22 yxyx Sol. 026 22 yx

d) 052403625 22 yxyx Sol. 3x2+52y2-52=0

24

COORDENADAS POLARES.

)(2 12212

212 Cosrrrrd Distancia entre dos puntos.

Cosrx ; Senry Rectangulares a polares

222 yxr ; x

ytanarc. Polares a rectangulares

)(2

11221 SenrrArea Area entre el polo y dos puntos


1.- Traza la grfica de la ecuacin dada en coordenadas polares:

a) r = 4(1+cos) (cardioide)

0 30 60 90 120| 150 180 210 240 270 300 330

r 8 7.46 6 4 2 0.53 0 0.53 2 4 6 7.46

2.- Halla la distancia entre los puntos A(2, 75) y B(-3, 60) y el rea:

Se sustituyen los valores en la frmula: )7560()3)(2(2)3(2 22 CosAB

96.459.245911.194 AB

El rea

7764.0)7560()3)(2(

2

1 SenA

3.- Transforma la ecuacin rectangular a polar. 038622 yxyx

Se cambia x2+y

2=r

2 , x por rCos, y por rSen

03862 rSenrCosr

4.- Transforma la ecuacin polar a rectangular. Sen

r

2

4

42 rSenr Sustituyendo r y rsen, 42 22 yyx

Transponiendo -y, elevando al cuadrado y simplificando obtenemos.

016834 22 yyx ecuacin de una elipse

25


1.- Halla la distancia entre los puntos dados en coordenadas polares:

a) (6, 45), y (10, 90) Sol. 7.15 b) (30, 30) y (30, -90) Sol. 51.96 c) (3, 150) y (-2, 60) Sol. 3.6

d) (1, 4/3) y ( 3, /3) Sol. 4

2.- Halla el rea de los tringulos cuyos vrtices son el polo y los pares de puntos del

ejercicio uno Sol. a) 21.21 u2 b) 389.71 u

2 c) 3 u

2 d) 0

3.- Traza la grfica de la ecuacin dada en coordenadas polares.

a) sen2

6

r Sol. Elipse.

b) cos1

3

r Sol. Parbola.

c) sen3cos2 r Sol. circunferencia.

d) Senr 21 Sol. e) )1(3 Senr

f) 242 Cosr

4.- Transforma las ecuacines rectangulares a polares.

a) 632 22 yx Sol. 22

2

sen3cos2

6

r

b) 05462 xyy

c) 02012432 22 yxyx

d) 2xy Sol. 422 Senr

5.- Transforma las ecuaciones polares a rectangulares e indica de que curva se trata.

a) cos32

4

r

b) cos22

7

r

c) sen23

2

r

d) sen4r Sol. 0422 xyx circunferencia.

26

ECUACIONES PARAMTRICAS.


1.- Halla la ecuacin rectangular de la curva cuyas ecuaciones paramtricas son:

Tanx 41 y Secy 32

eliminando el parmetro utilizando la relacin entre tangente y secante.

221 SecTan Se despeja Tangente y Secante de las ecaucaiones paramtricas.

4

1

xTan y

3

2

ySec

Sustituyendo: 9

)2(

16

)1(1

22

yx

O sea. 116

)1(

9

)2( 22

xy

2.- Halla la ecuacin rectangular de la curva cuyas ecuaciones paramtricas son:

x=4t, y=5t-2

Se elimina el parmetro "t" despejandola en cada ecuacin e igualando.

4

xt y

5

2

yt Igualando

5

2

4

yx ECUACION 0845 yx


1.- En cada uno de los ejercicios siguientes, traza la curva correspondiente, partiendo de sus

ecuaciones paramtricas y encuentra la ecuacin rectangular de la curva.

a) cos2

5x y sen

5

2y Sol. 10016625 22 yx

b) Senx 2 ; Cosy 3 Sol. 03649 22 yx

c) tx 4 ; ty 5 Sol. 045 yx

d) 33 tx ; tty 63 2 Sol. 0932 yx

e) 24tx ; 2

5

ty Sol. 20xy

f) Cosx2

3 ; Seny

3

2 Sol. 0368116 22 yx

g) Tanx 2 ; Coty 3 Sol. 6xy

h) 43 Cosx ; 22 Seny Sol. 064363294 22 yxyx

i) 12 Secx ; 13 Tany Sol. 03181849 22 yxyx

j) Senx 6 ; Cscy 2 Sol. 12xy

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Practica de Geometria Analítica