Tema Geometría Analítica

Profesor: Juan SanmartínMatemáticas

Módulo de un Vector. Ecuaciones de la Recta. Producto Escalar.

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Ejercicio.- Dados los puntos A(-2,4), B(3,-2) y C(5,3). Calcula las coordenadas y los módulos de los siguientes vectores

ABAB yy,xxABu 42,2-3

BCBC yy,xxBCv 2-3,35

6,5

5,2

Para calcular las coordenadas de un vector se restan las coordenadas del punto final menos las del inicial de la siguiente manera.

2u

2u yxu

22 65 61

ABu

BCv

El módulo de un vector se calcula realizando la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus coordenadas, igual que en el teorema de Pitágoras ya que están relacionados.

2v

2v yxv

22 52 29

Ejercicio.- Halla la ecuación vectorial y paramétrica de la recta que pasa por los siguientes

puntos: A(-3,-2) y B(3,5).

ABAB yy,xxABu 2-5,3-3 7,6

Para obtener las ecuaciones vectorial y paramétrica debemos obtener primero el vector director (quién nos indica la dirección de la recta… ABu

7,6

2,3

ABu

A uuAA y,xty,xyx,

6,7t3,-2-yx,

Ecuación Vectorial

uA

uA

ytyyxtxx

7263

tytx

Ecuación Paramétrica

Aquí podríamos utilizar A o B indistintamente

Ejercicio.- Halla la ecuación continua y general de la recta que pasa por los siguientes puntos

A(4,3) y B(7,-2).

ABAB yy,xxABu 324,7 5,3

Para obtener las ecuaciones continua y general debemos obtener primero el vector director (quién nos indica la dirección de la recta… ABu

5,3

3,4

ABu

A

u

A

u

A

yyy

xxx

53

34

yx

Ecuación continua

0CByAx Ecuación general

Aquí podríamos utilizar A o B indistintamente

3345 yx

93y205x 20-93y50 x

0923y5 x

Ejercicio.- Halla la ecuación punto pendiente de la recta que pasa por los siguientes puntos A(-

1,-5), B(2,4).

ABAB yy,xxABu 5-,41-2 9,3

Para obtener ecuación punto pendiente debemos obtener primero el vector director (quién nos indica la dirección de la recta…

u

u

xy

m

Definimos Ordenada en el Origen b como el valor que toma y cuando x=0. Es decir, conde la recta corta al eje y.

Definimos pendiente m como lo que aumenta la recta en las Y cuando aumenta una unidad en las X. Representa la tangente de la recta con el eje de X.

339

AA xxmyy

bxmy

1-x35y 335y x 5-33y x

2-3y x

Ecuación punto pendiente

Ejercicio Dados los puntos A(-2,4), B(3,-2) y C(5,3). Calcula las coordenadas y los módulos de los

siguientes vectores

ABAB yy,xxABu 42,2-3

CBCB yy,xxBCv 2-3,35

6,5

5,2

Para calcular las coordenadas de un vector se restan las coordenadas del punto final menos las del inicial de la siguiente manera.

2u

2u yxu

22 65 61

ABu

BCv

El módulo de un vector se calcula realizando la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus coordenadas, igual que en el teorema de Pitágoras ya que están relacionados.

2v

2v yxv

22 52 29

Calcula el valor de m para que los vectores y sean perpendiculares.

Dos vectores son perpendiculares cuando forman un ángulo de 90º. Para calcularlo vamos a utilizar el producto escalar

m22,u 31,-v m

m22,u

31,-v m

cosvuv,ucosvuvu

vuvu yyxxvu

Producto Escalar

0º90cos entonces 0vu

032m1m2-vu

06m22m

2-6m2m 2-m4

21

42-m

Ejercicio.- Siendo los vértices de un triángulo A(3,1), B(2,-2) y C(0,0), comprueba que sus ángulos suman180º.

0,0C22,B

3,1A

Lo que primero vamos a hacer es la representación de los tres puntos. Para ello utilizamos Geogebra. Os invito a ver el capítulo de videos de Geogebra.

ABAB yy,xxABu 123,2

ACAC yy,xxACv 13,00

31,

13,

Vamos a calcular el producto escalar de los vectores AB y AC para poder obtener el ángulo de ambas rectas.

31,ABu

13,ACv cosvuv,ucosvuvu

vuvu yyxxvu

Producto Escalar

2u

2u yxu

22 31 10

2v

2v yxv

22 13 10

1-3-3-1vu

33 6

vuvucos

1010

6

106

6,0

0,6cos6)arcocos(0, 1 53,13º

2u

2u yxu

22 31 10

2v

2v yxv

22 22 8

232-1vu

62 4

vuvucos

810

4

54

4 45,0

51

0,45cos45)arcocos(0, 1 º26,63

0,0C22,B

3,1A BABA yy,xxBAu 21,23

BCBC yy,xxBCv 20,20

3,1

2,2

2u

2u yxu

22 13 10

2v

2v yxv

22 22 8

2-123vu

26 4

vuvucos

810

4

54

4 45,0

51

0,45cos45)arcocos(0, 1 º26,63

0,0C22,B

3,1A CACA yy,xxCAu 01,03

CBCB yy,xxCBv 02,02

1,3

2,2

º180º75,179º26,63º26,63º13,53

Ejercicio Siendo los vértices de un triángulo A(-1,1), B(5,2) y C(2,0), comprueba que sus ángulos suman180º.

2,0C5,2B

1,1-A

Lo que primero vamos a hacer es la representación de los tres puntos. Para ello utilizamos Geogebra. Os invito a ver el capítulo de videos de Geogebra.

ABAB yy,xxABu 1,21-5

ACAC yy,xxACv 1,01-2

1,6

13,

Vamos a calcular el producto escalar de los vectores AB y AC para poder obtener el ángulo de ambas rectas.

1,6ABu

13,ACv cosvuv,ucosvuvu

vuvu yyxxvu

Producto Escalar

2u

2u yxu

22 16 37

2v

2v yxv

22 13 10

1-136vu 118 17

vuvucos

1037

17

88,0

0,88cos88)arcocos(0, 1 º9,72

2u

2u yxu

22 16 37

2v

2v yxv

22 23 13

2-1-3-6vu

218 20

vuvucos

1337

20

91,0

0,91cos91)arcocos(0, 1 º2,24

BABA yy,xxBAu 21,51

BCBC yy,xxBCv 20,52

1,6

2,3

2,0C5,2B

1,1-A

2u

2u yxu

22 13 10

2v

2v yxv

22 23 13

2133vu

29 7

vuvucos

1310

7

61,0

0,61-cos,61)arcocos(-0 1 º9,127

CACA yy,xxCAu 01,21

CBCB yy,xxCBv 02,25

1,3

2,3

º180º9,127º2,24º9,27

2,0C5,2B

1,1-A

Fin de Tema

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