Escuela Superior Politécnica del Litoral Práctica 3 de Métodos Cuantitativos II

1. Dadas la siguientes series, desarrolle los cinco primeros términos.

a)+∞∑n=1

3

2n−1

b)+∞∑n=1

(−1)n+1

n!

c)+∞∑n=1

2n + 1

2n+1

d)+∞∑n=1

(−1)2n+1

(n+ 1)(n+ 2)

2. Calcule las suma de las siguientes series convergentes.

a)+∞∑n=1

4

n(n+ 2)

b)+∞∑n=0

(−1

2

)nc)

+∞∑n=1

1

(2n+ 1)(2n+ 3)

d)+∞∑n=0

(1

2n− 1

3n

)

3. Justi�que si las siguientes series son convergentes o divergentes.

a)+∞∑n=1

n+ 1

2n− 1

b)+∞∑n=1

(π4

)nc)

+∞∑n=1

(1,075)n

d)+∞∑n=1

(1

n− 1

n+ 2

)

e)+∞∑n=0

e−n

f )+∞∑n=0

(−1)n

g)+∞∑n=0

(1

2n− 1

n

)

h)+∞∑n=0

(1

2n− 5n

)

4. Empleando algún criterio adecuado, determine si las siguientes series convergen

o divergen.

a)+∞∑n=1

3n

n3

b)+∞∑n=2

n

ln(n)

c)1

2+

1

5+

1

10+

1

17+

1

26+ ...

d)+∞∑n=1

1

n3

e)+∞∑n=1

1

n1/3

f ) 1 +1√2+

1√3+

1√4+ ...

g)+∞∑n=1

2

3n+ 5

h)+∞∑n=1

1

nn

SS/momi 1

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i)+∞∑n=1

(1 +

1

n

)nj )

+∞∑n=1

(1

n+ 1− 1

n+ 2

)

k)+∞∑n=1

√n

n

l)+∞∑n=1

2n

n2

m)+∞∑n=1

(n+ 1

2n+ 1

)nn)

+∞∑n=1

n!

10n

ñ)+∞∑n=1

(−1)n+11× 3× 5× ...× (2n− 1)

1× 4× 7× ...× (3n− 2)

o)+∞∑n=1

4n

3n + 1

p)+∞∑n=1

(−1)n+1

2n

q)+∞∑n=1

cos(n)

2n

r)+∞∑n=1

2n

4n2 − 1

5. Construya la serie de Maclaurin de las siguientes funciones.

a) f(x) = e3x.

b) f(x) =x

x+ 1.

c) f(x) = x2e−x.

6. Construya la serie de Taylor de las siguientes funciones en el punto x0 dado.

a) f(x) =√x; x0 = 1.

b) f(x) =1

x; x0 = 1.

c) f(x) = x2cos(x); x0 = π.

7. Mediante técnicas diversas, determine:

a)

∫ (x√x− 1

x√x

)dx.

b)

∫ (√2x + e

√2x+5

)dx.

c)

∫(x− 7) 3

√1− 2x dx.

d)

∫dt

et − e−t.

e)

∫ √x

1 + 3√xdx.

f )

∫x3 − 1

x3(x− 4)2(x− 1)dx.

g)

∫t5√t2 + 4dt.

h)

∫1

x(x2 + 1)2dx.

i)

∫1

x2 − 8x+ 15dx.

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j )

∫xe2x

(2x+ 1)2dx.

k)

∫1

2x2 + 2x+ 1dx.

l)

∫1

1 + sen(x)dx.

m)

∫1

t2√1 + t2

dt.

n)

∫x2 + 7x+ 2

x3 + x2 − 2dx.

ñ)

∫ (log3(x)

x+e

3x

x2

)dx.

o)

∫ex+e

x

dx.

p)

∫1√

9x2 + 6x+ 2dx.

q)

∫e−t ln(1 + e−t)

1 + e−tdt.

r)

∫x3

1 + x4dx.

s)

∫ (2

x ln2(x)+ x 3−x

2

)dx.

t)

∫arctan(cot(x))dx.

u)

∫1

x√1 + 3ln2x

dx.

v)

∫1

1 + exdx.

w)

∫x

x3 + x2 + x+ 1dx.

8. Empleando propiedades y el teorema fundamental del cálculo, evalúe las si-

guientes integrales de�nidas.

a)

∫ 2

−1(x− x2)dx

b)

∫ 2π

0

sen(x)ecos(x)dx.

c)

∫ 0

−1

x− 1√x2 + 1

dx

d)

∫ 1/2

0

x2√1− x2

dx

e)

∫ 2

−2(x√1 + cos8(x) + 10)dx.

f )

∫ π

0

|x− 1|cos(x)dx

9. Determine de ser posible, el valor de las siguientes integrales impropias.

a)

∫ +∞

0

x4

(1 + x5)2dx.

b)

∫ 1

−1

1

x2dx.

c)

∫ +∞

1

1

(x− 1)2dx.

d)

∫ 2

1

2x+ 4

x2 − 2xdx.

e)

∫ +∞

−∞

1

x2 + 6x+ 10dx.

f )

∫ 1

0

1

x3 − 5x2dx.

g)

∫ +∞

−∞sen(x)dx.

h)

∫ +∞

0

1

x3 + 1dx.

i)

∫ 1

−1

1√1− x2

dx.

j )

∫ +∞

−∞2−xdx.

k)

∫ +∞

0

xe−|2x|dx.

l)

∫ 4

1

1

(x− 2)1/3dx.

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10. La tasa de crecimientodP

dtde una población de bacterias, es directamente

proporcional a la raíz cuadrada de t, donde P es el tamaño de la población y

t es el tiempo en días, 0 ≤ t ≤ 10. El tamaño inicial de la población es de 250

unidades de bacterias y después de 4 días la población ha crecido hasta 400

bacterias. Calcule el tamaño de la población al cabo de 9 días.

11. La tasa de depreciacióndV

dtde una máquina es inversamente proporcional al

cuadrado de (t+1), donde que V es el valor de la máquina en dólares y t es el

tiempo en años transcurridos desde que se compró la máquina. El valor inicial

de la máquina fue de 500 dólares y su valor decreció 100 dólares en el primer

año. Determine el valor de la máquina después de 4 años de haberla comprado.

12. Determine el área de las siguientes regiones.

a) Acotada por las curvas y = x2; y = 2 + x.

b) Limitada por las curvas y = x2 − 4; y = −x2 − 2x y la recta x = −3.

c) R = {(x, y) ∈ R2/y2 + 1 ≤ x ≤ y + 3}.

d) Limitada por las curvas: xy = 1; xy = 2; y = 2x; y =1

2x; x, y ≥ 0.

e) Limitada por las curvas y = ln(x); y = ex; el segmento de recta que va

del punto (1, e) al punto (e, 1) y los ejes coordenados.

f ) R = {(x, y) ∈ R2/2x3 ≤ y ≤ x+ 14; y ≥ 0;x+ 3y2 ≥ 0}.

g) Limitada por las curvas y =2

3

√x3 + 1; y =

2

3

√(x− 1)3; 3x + 3y = 8;

x, y ≥ 0.

13. Calcule de ser posible, el área de las siguiente regiones no acotadas. En este

caso, utilice integrales impropias.

a) R ={(x, y) ∈ R2/0 ≤ y ≤ e−|x+2|}.

b) Limitada por las curvas y =1

x2 + 1; y =

1

2x, el eje X; ubicada en el I

Cuadrante.

c) R =

{(x, y) ∈ R2/

x+ 2

4≤ y ≤ 1

x+ 2;x ≥ −2

}.

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d) Limitada por las curvas y = x3; y =1

x2y el eje X, ubicada en el I

Cuadrante.

e) R = {(x, y) ∈ R2/ln(x) ≤ y ≤ 1; 0 ≤ x ≤ e}.

14. Considere f una función continua en R2. Cambiar el orden de integración de

las siguientes integrales. Dibuje la región de integración correspondiente.

a)

∫ 2

0

∫ 5−y2

√y2

f(x, y)dxdy.

b)

∫ 2

0

∫ √2x√2x−x2

f(x, y)dydx.

c)

∫ π2

−π2

∫ 3cos(x)

0

f(x, y)dydx.

d)

∫ a

0

∫ √a2−y2

a2−y22a

f(x, y)dxdy.

15. Evalúe las siguientes integrales. Dibuje la región de integración y elija un orden

de integración adecuado.

a)

∫R

∫xydA; R es la región limitada por el eje X y la semicircunferencia

superior de (x− 2)2 + y2 = 1.

b)

∫R

∫y2sen(x)dA; R es la región limitada por las curvas:

y = 0, y = 1 + cos(x), x = 0, x = π.

c)

∫R

∫exy dA; R es la región limitada por x = y2; x = 0; y = 1, ubicada en

el I Cuadrante.

d)

∫R

∫x2eydA; R es la región comprendida entre las rectas y = x; y = −x;

−a ≤ x ≤ a; a ≥ 0.

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