Escuela Superior Politécnica del Litoral Práctica 3 de Métodos Cuantitativos II
1. Dadas la siguientes series, desarrolle los cinco primeros términos.
a)+∞∑n=1
3
2n−1
b)+∞∑n=1
(−1)n+1
n!
c)+∞∑n=1
2n + 1
2n+1
d)+∞∑n=1
(−1)2n+1
(n+ 1)(n+ 2)
2. Calcule las suma de las siguientes series convergentes.
a)+∞∑n=1
4
n(n+ 2)
b)+∞∑n=0
(−1
2
)nc)
+∞∑n=1
1
(2n+ 1)(2n+ 3)
d)+∞∑n=0
(1
2n− 1
3n
)
3. Justi�que si las siguientes series son convergentes o divergentes.
a)+∞∑n=1
n+ 1
2n− 1
b)+∞∑n=1
(π4
)nc)
+∞∑n=1
(1,075)n
d)+∞∑n=1
(1
n− 1
n+ 2
)
e)+∞∑n=0
e−n
f )+∞∑n=0
(−1)n
g)+∞∑n=0
(1
2n− 1
n
)
h)+∞∑n=0
(1
2n− 5n
)
4. Empleando algún criterio adecuado, determine si las siguientes series convergen
o divergen.
a)+∞∑n=1
3n
n3
b)+∞∑n=2
n
ln(n)
c)1
2+
1
5+
1
10+
1
17+
1
26+ ...
d)+∞∑n=1
1
n3
e)+∞∑n=1
1
n1/3
f ) 1 +1√2+
1√3+
1√4+ ...
g)+∞∑n=1
2
3n+ 5
h)+∞∑n=1
1
nn
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i)+∞∑n=1
(1 +
1
n
)nj )
+∞∑n=1
(1
n+ 1− 1
n+ 2
)
k)+∞∑n=1
√n
n
l)+∞∑n=1
2n
n2
m)+∞∑n=1
(n+ 1
2n+ 1
)nn)
+∞∑n=1
n!
10n
ñ)+∞∑n=1
(−1)n+11× 3× 5× ...× (2n− 1)
1× 4× 7× ...× (3n− 2)
o)+∞∑n=1
4n
3n + 1
p)+∞∑n=1
(−1)n+1
2n
q)+∞∑n=1
cos(n)
2n
r)+∞∑n=1
2n
4n2 − 1
5. Construya la serie de Maclaurin de las siguientes funciones.
a) f(x) = e3x.
b) f(x) =x
x+ 1.
c) f(x) = x2e−x.
6. Construya la serie de Taylor de las siguientes funciones en el punto x0 dado.
a) f(x) =√x; x0 = 1.
b) f(x) =1
x; x0 = 1.
c) f(x) = x2cos(x); x0 = π.
7. Mediante técnicas diversas, determine:
a)
∫ (x√x− 1
x√x
)dx.
b)
∫ (√2x + e
√2x+5
)dx.
c)
∫(x− 7) 3
√1− 2x dx.
d)
∫dt
et − e−t.
e)
∫ √x
1 + 3√xdx.
f )
∫x3 − 1
x3(x− 4)2(x− 1)dx.
g)
∫t5√t2 + 4dt.
h)
∫1
x(x2 + 1)2dx.
i)
∫1
x2 − 8x+ 15dx.
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j )
∫xe2x
(2x+ 1)2dx.
k)
∫1
2x2 + 2x+ 1dx.
l)
∫1
1 + sen(x)dx.
m)
∫1
t2√1 + t2
dt.
n)
∫x2 + 7x+ 2
x3 + x2 − 2dx.
ñ)
∫ (log3(x)
x+e
3x
x2
)dx.
o)
∫ex+e
x
dx.
p)
∫1√
9x2 + 6x+ 2dx.
q)
∫e−t ln(1 + e−t)
1 + e−tdt.
r)
∫x3
1 + x4dx.
s)
∫ (2
x ln2(x)+ x 3−x
2
)dx.
t)
∫arctan(cot(x))dx.
u)
∫1
x√1 + 3ln2x
dx.
v)
∫1
1 + exdx.
w)
∫x
x3 + x2 + x+ 1dx.
8. Empleando propiedades y el teorema fundamental del cálculo, evalúe las si-
guientes integrales de�nidas.
a)
∫ 2
−1(x− x2)dx
b)
∫ 2π
0
sen(x)ecos(x)dx.
c)
∫ 0
−1
x− 1√x2 + 1
dx
d)
∫ 1/2
0
x2√1− x2
dx
e)
∫ 2
−2(x√1 + cos8(x) + 10)dx.
f )
∫ π
0
|x− 1|cos(x)dx
9. Determine de ser posible, el valor de las siguientes integrales impropias.
a)
∫ +∞
0
x4
(1 + x5)2dx.
b)
∫ 1
−1
1
x2dx.
c)
∫ +∞
1
1
(x− 1)2dx.
d)
∫ 2
1
2x+ 4
x2 − 2xdx.
e)
∫ +∞
−∞
1
x2 + 6x+ 10dx.
f )
∫ 1
0
1
x3 − 5x2dx.
g)
∫ +∞
−∞sen(x)dx.
h)
∫ +∞
0
1
x3 + 1dx.
i)
∫ 1
−1
1√1− x2
dx.
j )
∫ +∞
−∞2−xdx.
k)
∫ +∞
0
xe−|2x|dx.
l)
∫ 4
1
1
(x− 2)1/3dx.
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10. La tasa de crecimientodP
dtde una población de bacterias, es directamente
proporcional a la raíz cuadrada de t, donde P es el tamaño de la población y
t es el tiempo en días, 0 ≤ t ≤ 10. El tamaño inicial de la población es de 250
unidades de bacterias y después de 4 días la población ha crecido hasta 400
bacterias. Calcule el tamaño de la población al cabo de 9 días.
11. La tasa de depreciacióndV
dtde una máquina es inversamente proporcional al
cuadrado de (t+1), donde que V es el valor de la máquina en dólares y t es el
tiempo en años transcurridos desde que se compró la máquina. El valor inicial
de la máquina fue de 500 dólares y su valor decreció 100 dólares en el primer
año. Determine el valor de la máquina después de 4 años de haberla comprado.
12. Determine el área de las siguientes regiones.
a) Acotada por las curvas y = x2; y = 2 + x.
b) Limitada por las curvas y = x2 − 4; y = −x2 − 2x y la recta x = −3.
c) R = {(x, y) ∈ R2/y2 + 1 ≤ x ≤ y + 3}.
d) Limitada por las curvas: xy = 1; xy = 2; y = 2x; y =1
2x; x, y ≥ 0.
e) Limitada por las curvas y = ln(x); y = ex; el segmento de recta que va
del punto (1, e) al punto (e, 1) y los ejes coordenados.
f ) R = {(x, y) ∈ R2/2x3 ≤ y ≤ x+ 14; y ≥ 0;x+ 3y2 ≥ 0}.
g) Limitada por las curvas y =2
3
√x3 + 1; y =
2
3
√(x− 1)3; 3x + 3y = 8;
x, y ≥ 0.
13. Calcule de ser posible, el área de las siguiente regiones no acotadas. En este
caso, utilice integrales impropias.
a) R ={(x, y) ∈ R2/0 ≤ y ≤ e−|x+2|}.
b) Limitada por las curvas y =1
x2 + 1; y =
1
2x, el eje X; ubicada en el I
Cuadrante.
c) R =
{(x, y) ∈ R2/
x+ 2
4≤ y ≤ 1
x+ 2;x ≥ −2
}.
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d) Limitada por las curvas y = x3; y =1
x2y el eje X, ubicada en el I
Cuadrante.
e) R = {(x, y) ∈ R2/ln(x) ≤ y ≤ 1; 0 ≤ x ≤ e}.
14. Considere f una función continua en R2. Cambiar el orden de integración de
las siguientes integrales. Dibuje la región de integración correspondiente.
a)
∫ 2
0
∫ 5−y2
√y2
f(x, y)dxdy.
b)
∫ 2
0
∫ √2x√2x−x2
f(x, y)dydx.
c)
∫ π2
−π2
∫ 3cos(x)
0
f(x, y)dydx.
d)
∫ a
0
∫ √a2−y2
a2−y22a
f(x, y)dxdy.
15. Evalúe las siguientes integrales. Dibuje la región de integración y elija un orden
de integración adecuado.
a)
∫R
∫xydA; R es la región limitada por el eje X y la semicircunferencia
superior de (x− 2)2 + y2 = 1.
b)
∫R
∫y2sen(x)dA; R es la región limitada por las curvas:
y = 0, y = 1 + cos(x), x = 0, x = π.
c)
∫R
∫exy dA; R es la región limitada por x = y2; x = 0; y = 1, ubicada en
el I Cuadrante.
d)
∫R
∫x2eydA; R es la región comprendida entre las rectas y = x; y = −x;
−a ≤ x ≤ a; a ≥ 0.
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