CONSTANTE ELÁSTICA DEL RESORTE Y EL MÓDULO DE RIGIDEZ DEL ALAMBRE

1.- OBJETIVOS

Describir el comportamiento elástico de un resorte de acero. Determinar experimentalmente la constante elástica del resorte por los métodos elástico y

dinámico. Determinar el módulo de rigidez del acero.

2.- FUNDAMENTO TEORICO

Elasticidad.

Es la propiedad por lo cual los cuerpos deformados recuperan su forma y dimensiones originales cuando cesa la acción de la fuerza deformadora. Los materiales no deformables se les llaman inelásticos como por ejemplo la arcilla, el plomo, plastilina, etc.Todo los cuerpos pueden deformarse elásticamente hasta un cierto límite (limite elástico), por encima del cual estos quedan deformados permanentemente. Esta deformación es llamada deformación plástica.

Rigidez.

La rigidez es la capacidad de un objeto sólido o elemento estructural para soportar  esfuerzos sin adquirir grandes deformaciones o desplazamientos.

Los coeficientes de rigidez son magnitudes físicas que cuantifican la rigidez de un elemento resistente bajo diversas configuraciones de carga. Normalmente las rigideces se calculan como la razón entre una fuerza aplicada y el desplazamiento obtenido por la aplicación de esa fuerza.

Ley de Hooke.

Cuando un objeto de somete a fuerzas externas, sufre cambios de tamaño o de forma, o de ambos. Esta ley establece que dentro de los límites elásticos, la fuerza deformadora F y el valor de la deformación x, son proporcionales.

F=k ∆ L ………………. (1)

Donde k es una constante de proporcionalidad llamada constante elástica o constante de fuerza del resorte

La deformación llamada también elongación es el estiramiento del resorte de la posición de equilibrio (posición del resorte sin aplicar ninguna fuerza). De la ecuación (1) se tiene:

k= F∆ L

………………. (2)

La ecuación F=kx tiene la forma de la ecuación de la recta Y=BX. Si hacemos las siguientes sustituciones: Y=F; X=x, entonces, la pendiente B de la recta F vs x, representa a la constante de elasticidad del resorte, k.

La reacción de la fuerza deformadora (fuerza externa), es la fuerza interna denominada fuerza restauradora o fuerza elástica del resorte FS, la cual es de la misma magnitud que la fuerza deformadora. Esto es; FS=-kx. Un cuerpo de masa m que se encuentra bajo la acción de una fuerza restauradora realiza un movimiento oscilatorio armónico simple, cuyo periodo es:

T=2 π (√m /k )…………(3)

La ecuación también puede reescribirse de la siguiente forma:

T=(2π /√k )√m…………(4)

Que tiene la forma de la ecuación de la recta: y=Bx . Si hacemos las sustituciones y=T , x=√m, la

pendiente de la recta T vs .√m es:

B=2 π /√ k…………. (5)

Cuando un resorte se estira por efecto de una fuerza de tracción, aumente la separación de sus espiras sucesivas de modo que el esfuerzo que soporte es, en realidad, es un esfuerzo constante o de cizalladura, tal como se ilustra en la figura 2.

La teoría respectiva permite relacionar al módulo elástico de rigidez o de cizalladura G del material, con la constante elástica del resorte k del siguiente modo:

k=G r4/ 4 N R3………….. (6)

Donde. N es el número de espirales del resorte. R es el radio de la espira, r el radio del alambre.

3.- MATERIALES E INSTRUMENTOS

DE LABORATORIO:

MATERIALES:

- Hilo(2.m)

- Resorte de acero.

- Soporte.

- Cuaderno de apuntes

INSTRUMENTOS

- Cronómetro (precisión 0,01 seg.)

- Regla de 60 cm (1mm)

- Vernier (0.05mm).

- Pesas (100gr, 200gr, 500gr)

EQUIPOS:

- Soporte universal

- Mesa

- Sillas.

3.2 DE GABINETE

MATERIALES:

- Lapiceros

- Corrector.

- Cuaderno

- Hojas milimetradas

- Calculadoras

INSTRUMENTOS

- Regla(1mm)

EQUIPOS

- Laptop

- Escritorio

Método estático

a) Mida la, longitud inicial L0 de referencia que podría ser la longitud original del resorte.

b) Coloque la primera pesa y mida la deformación x=∆ L=Lf −L0 que experimenta el resorte.

El valor de la fuerza deformadora esta dada por F=mg, donde m es la masa de la pesa.c) Añada sucesivamente pesas anotando en cada vez la masa total m y el valor de la elongación.

Tabla N°1 Datos del resorte

Longitud inicial(L0)

Número de

espiras

Radio del alambre(r)

Radio de las espiras (R)

4.5 cm 47 0.04 cm 0.56 cm

Tabla N°2 Deformación del resorte

Masas[Kg] F[N]

Carga Descarga

Longitud final

(L¿¿ f )[m ]¿∆ L[m ]

Longitud final

(L¿¿ f )[m ]¿∆ L[m ]

0.1 0.981 0.046 0.001 0.0465 0.0015 0.2 1.962 0.055 0.01 0.0555 0.0105 0.3 2.943 0.068 0.023 0.0685 0.0235 0.5 4.905 0.0915 0.0465 0.0935 0.0485 0.8 7.848 0.1335 0.0885

Ahora hallaremos el valor de “k”:

Haciendo uso de la ecuación: F=kx

Donde:

F=Pesodel portapesask=constante derigidezx=Deformación delresorte

Para realizar los cálculos de algunas de nuestras graficas se procederá a trabajar con todos los decimales medidos en la práctica como es en el caso de las deformaciones, ya que al promediar al centésimo estas vemos que para los primeros datos obtenidos con la pesa de 100gr, esta seria 0, y por lo tanto al calcular el valor de la constante de rigidez (“k”) esta seria indeterminada ya que no está determinada la división entre 0.

Tabla N°3 Valores de “k” para cada pesa

GARGA DESCARGA

F[N] ∆ L k ¿ ∆ L[m ] k ¿

0.98 0.001 981 0.0015 654

1.96 0.01 196.2 0.0105 186.857143

2.94 0.023 127.956522 0.0235 125.234043

4.91 0.0465 105.483871 0.0485 101.134021

7.85 0.0885 88.6779661

Debido a que la deformación de la pesa de 100gr es de 1mm para la carga y 1.5mm para la descarga es que el valor de la constante de rigidez (“k”) son en ambos casos muy elevada ya que mientras más aproximada a 0 sean las deformaciones la contante de rigidez se elevaría mucho más.Además como se observa en la tabla Nº 3 mientras mayor sea el peso que se le hace sujetar al resorte la constante de rigidez disminuye lo cual la hace más precisa ya que la elongación y el periodo de oscilación dato que se utilizara más adelante son medidos con mayor exactitud.

Método dinámico

Sujetar al resorte una o más pesas y hacerla oscilar. Sugerencia: utilice la misma secuencia de pesas empleadas en el método estático. Ensaye mediciones del tiempo de 5 oscilaciones completas, asegurándose que no exista una dificultad en el conteo de las oscilaciones a causa de su rapidez. Si este fuera el caso, añadir nuevas pesas y ensaye hasta encontrar las condiciones propicias para la medida del tiempo.Aumentar la masa sujeta al resorte el con una pesa apropiada para variar el valor de la masa oscilante y en cada vez medir el tiempo de 5 oscilaciones.

Tabla N°4 Periodo de las 5 oscilaciones del resorte

MASAS [Kg]

T1 [s] T2 [s] T3 [s] T4 [s] √m [kg]

0.1 1.26 1.25 1.39 1.35 0.320.2 1.77 1.53 1.6 1.72 0.450.3 1.91 1.94 1.89 1.81 0.550.5 2.27 2.16 2.32 2.37 0.710.8 2.87 2.78 2.62 2.88 0.89

Tabla N°5 Periodo de oscilación del resorte.

MASAS [Kg]

T1[s] T2 [s] T3 [s] T4 [s] T (promedio) [s]

0.1 0.25 0.25 0.28 0.27 0.260.2 0.35 0.31 0.32 0.34 0.330.3 0.38 0.39 0.38 0.36 0.380.5 0.45 0.43 0.46 0.47 0.460.8 0.57 0.56 0.52 0.58 0.56

4.- PROCEDIMIENTO Y ANALISIS

Análisis grafico

Método estático

4.1.- En un papel milimetrado y con los datos de la tabla N°2; graficar F vs ΔL.Anote el valor de la pendiente e intercepto.

a) En el gráfico N°1 (F vs ΔL) medimos el ángulo:

CARGA:

tag α= 10.0125

tag α=80

DESCARGA

tag β= 10.0125

tag β=80

Como se puede observar al ángulo es igual para ambos casos, esto porque las rectas están casi superpuestas.

b) Ahora medimos el intercepto de la recta con el eje “y”.

CARGA:

A=1.10N

DESCARGA

A=1.05N

4.2.- Escriba la ecuación empírica que representa la relación F=f (ΔL)

CARGA: F=1.10+80 (ΔL)

DESCARGA: F=1.05+80 (ΔL)

Como observamos en ambas ecuaciones empíricas el valor de el intercepto de la recta con el eje “y” no es cero aunque debería serlo, esto no ocurre debido a que nuestro resorte fue pequeño y además debido al error en la medición de la deformación.

4.3 ¿Que magnitud física representa la pendiente?

Representa la constante de rigidez “k”

Método dinámico

4.4.- Haciendo uso del papel milimetrado y con los datos de la tabla N°4, graficar:a) T vs . m

b) T vs .√m

4.5.- De la graficaT vs .√m anote el valor del intercepto y de la pendiente.

El intercepto A=0.09 seg .La pendiente B= 0.5

4.6.- Escriba la ecuación empírica que representa la relación T=f (m) :

T=A+B√mDonde:

B= pendiente de la rectaA= intercepto

Reemplazando los datos obtenidos anteriormente:

T=0.09+0.5 √m

Nuevamente el valor del intercepto es diferente de cero esto debido a que las primeras mediciones del periodo (T) son realizadas con pesas cuya masa oscila entre 100 y 300 gr. las cuales hacen que la oscilación del resorte sea más rápida y por lo tanto difícil de medir con precisión.

4.7.- Con la ecuación (5) despeje y calcule la constante elástica (k) del resorte.

B=2 π /√kReemplazando B obtenido anteriormente:

k=¿

k=157.91[ N /m ]

4.8.- Calcule el módulo de rigidez o de cizallladura del alambre con el que está hecho el resorte:

k= G r4

4 N R3

G=4 kN R3

r4 ………….(α )

Remplazando en la formula (α ) los datos de la tabla Nº 1:

G=4 (157.91 ) (47 )¿¿

G=20.37 × 1010

Análisis estadístico o regresión lineal

Método Estático: Para obtener estos resultados emplearemos el método de mínimos cuadrados:Método Mínimos Cuadrados:

A=∑ x i2∑ yi−∑ xi∑ xiyi

N∑ x i2−¿¿

B=N∑ xiyi−∑ xi∑ yi

N ∑ x i2−¿¿

y=A+Bx

4.9.- Usando una calculadora científica o cualquier software, calcular la pendiente y el intercepto de la

función F=f ( ∆ L ).Utilice los datos de la tabla N° 2

Carga:

A= 0.19803−0.1708460.053123−0.028561

A=¿1.11

B=5.054603−3.1499910.053123−0.28561

B=¿77.55

Ecuación empírica F vs. ΔL:F=1.11+77.55 ∆ L

4.10.- Con estos resultados, calcule el módulo de rigidez del alambre.

G=4 kN R3

r4

G=4 (77.55 )(47 )(0.0056)3

(0.0004 )4

G=10 × 1010 Pa

Método dinámico

4.11.- Usando una calculadora científica o cualquier software, calcular la pendiente y el intercepto de

la función T vs .√m . Utilice los datos de la tabla N°4 y Nº5

A=3.781−3.6818919.5−8.483809

A=¿0.1

B=6.320413−5.7962699.5−8.483809

B=¿0.52

Ecuación empírica Tvs .√m :

T=0.1+0.52√m

4.12.- Calcule la constante elástica del resorte y el módulo de rigidez del alambre.

Calculando la constante elástica:

B=2 π /√k

k=¿

k=146[ N /m ]

Calculando el módulo de rigidez:

G=4 (146 ) (47 )(0.0056)3

(0.0004)4

G=18.83 × 1010 Pa

5.- RESULTADOS:

Tabla Nº6 Constante elástica del resorte y el módulo de rigidez del alambre

Análisis Estadístico

Ecuación empírica K( N/m) G (Pa)

Método estático a)

Carga:

F=1.10+8 0 (ΔL)

Descarga:

F=1.05+80 (ΔL)

80 10.32 ×1010

b) F=1.11+77.55 ∆ L 77.55 10 ×1010

Método dinámico

a) T=0.09+26.57 √m 157.91 20.37 ×1010

b) T=0.1+0.52√m 146 18.83 ×1010

6.- CONCLUSIONES

6.1.- Calcule el error porcentual de G obtenido por regresión lineal para ambos métodos (estático y dinámico) comparándolos con el valor del modulo de rigidez del acero dado por la bibliografía (8,4x1010 Pa)

e %=|ΔGG |x1 00 %

METODO ESTÁTICO

a) e %=|10.32−8.48.4 |x100 %

e %=22.86 %

b) e %=|10−8.48.4 |x 100 %

e %=19.05%

METODO DINÁMICO

a) e %=|20.37−8.48.4 |x 100 %

e %=142.5%

b) e %=|18.83−8.48.4 |x 100 %

e %=124.17 %

6.2.- ¿Qué características experimentales describen el comportamiento elástico del resorte utilizado?

6.3.- ¿Cuál de los dos métodos experimentales (estático o dinámico) es más confiable para hallar k y G? ¿Por qué?El método estático por que es más preciso medir la deformación del resorte que medir el periodo de vibración de este. Además como se puede observar en la tabla Nº6 el valor de la constante de rigidez “k” para el método dinámico varían mucho lo cual no pasa con el método estático.