UNIVERSIDAD DEL BIO BIOFACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

Metodos Numericos (220023)

Practica 2

Sistemas de ecuaciones lineales { I

El objetivo de este laboratorio es aprender a utilizar ecientemente las herramientas de MATLABpara la solucion de sistemas de ecuaciones lineales Ax = b.

1. (a) Haga un programa function que genere una matriz tridiagonal de orden n de la forma

A =

0BBBBBBB@

a b

0c

. . .. . .

. . .. . . b

0 c a

1CCCCCCCA2 Rnn:

Los datos de entrada deben ser los valores de n, a, b y c, y la salida la matriz A.

(b) Mediante el comando Matlab det, determine si la matriz tridiagonal A correspondiente an = 10, a = 4; b = 2 y c = 3 es no singular.

(c) Mediante el comando Matlab norm, obtenga kAk1, kAk2 y kAk1.A n = 6; a = 4 n = 8; a = 1 n = 12; a = 1

b = 4; c = 2 b = 1; c = 3 b = 2; c = 2kAk1kAk2kAk1

(d) Resuelva el sistema Ax = b con la matriz tridiagonal dada en (b) y un segundo miembrob 2 Rn cualquiera, de la siguiente forma:

>> b=rand(n,1)

>> x=A\b

(e) Obtenga kxk1, kxk2 y kxk1.jjxjj1jjxjj2jjxjj1

(f) Calcule los residuos r = bAx respectivos. Que observa?.

>> r=b-A*x

1

2. Sean

A =

0BBBB@n+ 1 1 11

. . .. . . 1

.... . .

. . . 11 1 n+ 1

1CCCCA 2 Rnn y b =0BBBB@

1......1

1CCCCA 2 Rn:Hacer un programa function que:

(a) Genere la matriz anterior para cualquier n 2 N;(b) Para n = 10, resuelva el sistema Ax = b;

>> x=

3. Sean

B =

0BBBBBB@

n2 1 n n nn

. . .. . .

......

.... . .

. . . n...

n n n2 1 nn n n2 1

1CCCCCCA 2 Rnn:

(a) Hacer un programa function que genere la matriz anterior para n arbitrario.

(b) Indicar los valores propios de B para n = 8.

>> vB=eig(B)

2

4. El objeto de este ejercicio es demostrar que no es conveniente resolver un sistema de ecuacionesmediante la inversa de la matriz del mismo.

Considere el siguiente programa rutero:

nn=[100:100:500];

t1=[];

t2=[];

for n=nn

A=rand(n);

y=ones(n,1);

t0=cputime;

x=inv(A)*y;

t1=[t1 cputime-t0];

t0=cputime;

x=A\y;

t2=[t2 cputime-t0];

end

plot(nn,t1,'*-',nn,t2,'o-')

(a) Analice lo que hace este programa, ejecutelo e indique que alternativa es la mas conveniente.

ROV-NSG28/09/2015

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