UNIVERSIDAD DEL BIO BIOFACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Metodos Numericos (220023)
Practica 2
Sistemas de ecuaciones lineales { I
El objetivo de este laboratorio es aprender a utilizar ecientemente las herramientas de MATLABpara la solucion de sistemas de ecuaciones lineales Ax = b.
1. (a) Haga un programa function que genere una matriz tridiagonal de orden n de la forma
A =
0BBBBBBB@
a b
0c
. . .. . .
. . .. . . b
0 c a
1CCCCCCCA2 Rnn:
Los datos de entrada deben ser los valores de n, a, b y c, y la salida la matriz A.
(b) Mediante el comando Matlab det, determine si la matriz tridiagonal A correspondiente an = 10, a = 4; b = 2 y c = 3 es no singular.
(c) Mediante el comando Matlab norm, obtenga kAk1, kAk2 y kAk1.A n = 6; a = 4 n = 8; a = 1 n = 12; a = 1
b = 4; c = 2 b = 1; c = 3 b = 2; c = 2kAk1kAk2kAk1
(d) Resuelva el sistema Ax = b con la matriz tridiagonal dada en (b) y un segundo miembrob 2 Rn cualquiera, de la siguiente forma:
>> b=rand(n,1)
>> x=A\b
(e) Obtenga kxk1, kxk2 y kxk1.jjxjj1jjxjj2jjxjj1
(f) Calcule los residuos r = bAx respectivos. Que observa?.
>> r=b-A*x
1
2. Sean
A =
0BBBB@n+ 1 1 11
. . .. . . 1
.... . .
. . . 11 1 n+ 1
1CCCCA 2 Rnn y b =0BBBB@
1......1
1CCCCA 2 Rn:Hacer un programa function que:
(a) Genere la matriz anterior para cualquier n 2 N;(b) Para n = 10, resuelva el sistema Ax = b;
>> x=
3. Sean
B =
0BBBBBB@
n2 1 n n nn
. . .. . .
......
.... . .
. . . n...
n n n2 1 nn n n2 1
1CCCCCCA 2 Rnn:
(a) Hacer un programa function que genere la matriz anterior para n arbitrario.
(b) Indicar los valores propios de B para n = 8.
>> vB=eig(B)
2
4. El objeto de este ejercicio es demostrar que no es conveniente resolver un sistema de ecuacionesmediante la inversa de la matriz del mismo.
Considere el siguiente programa rutero:
nn=[100:100:500];
t1=[];
t2=[];
for n=nn
A=rand(n);
y=ones(n,1);
t0=cputime;
x=inv(A)*y;
t1=[t1 cputime-t0];
t0=cputime;
x=A\y;
t2=[t2 cputime-t0];
end
plot(nn,t1,'*-',nn,t2,'o-')
(a) Analice lo que hace este programa, ejecutelo e indique que alternativa es la mas conveniente.
ROV-NSG28/09/2015
3