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UTN - FACULTAD REGIONAL DELTA

MATEMÁTICA SUPERIOR APLICADA

PRÁCTICA 2

TRANSFORMADA DE LAPLACE Y SUS APLICACIONES A ECUACIONES DIFERENCIALES

Transformada de Laplace - cálculo 1-Usando la definición, hallar la transformada de Laplace de las siguientes funciones, y explicitar para qué valores de s existe la transformada.

���

<≤≤

=

===

>===

tt

ttfg

attff

attfe

etfd

attfc

ttf

cctfa

at

a

2201

)()

)sin()())cos()()

)()

0con)()

)(b)constantecon)()

2

h)

���

���

�

<≤≤

≤≤

tsi

tsit

tsi

πππ

π

40

42)sin(200

i)

���

���

�

≤<≤<≤

tsi

tsi

tsie t

2/312/310

10

2- Sean las siguientes gráficas de f (t), determine las respectivas transformadas de Laplace y grafíquelas.

Existencia, unicidad e inversa de la transformada de Laplace.

20 24

8

f(t)

t 8

-10

30 10

10

f(t)

t

2

3-Decidir cuales de las siguientes funciones tienen transformada de Laplace para los intervalos especificados. Probar su existencia en cada caso posible y justificar en los casos de imposibilidad.

[ )+∞= ;0)() 2 enttfa

[ )+∞= ;0)5sin(2)() enttfb

[ )∞+= ;0)()4

enetfc t

4- La función s

sF1

)( = es la transformada de Laplace de 1=)t(f . Demuestre que

ssF

1)( = también resulta ser la transformada de la función:

��

��

�

>=−

<≤=

3131

301)(

tsi

tsi

tsi

tg ;

De acuerdo con este hecho, ¿Qué se puede afirmar de la unicidad de la transformada de Laplace? Justifique. 5- Hallar, con ayuda de tabla, la transformada de Laplace de las funciones f(t): (una tabla de transformadas de Laplace se encuentra, por ejemplo en las pág. 358 a 361 de Kreyszig: Matemáticas Avanzadas para la Ingeniería, volumen I.)

a) t5 b) sen (3 t) c) t

1

6- Hallar, con ayuda de tabla, la transformada inversa de Laplace de las funciones

).(sF

819

)()

)()

2 +=

=

ssFb

sc

sFa

( )( )151

)()

21

)()

−−=

−=

sssFd

ssFc

e) ��

��

+=

253

)(2s

ssF

7- a) Usando el teorema de la transformada de la integral de una función, y que

sents

=��

��

+℘−

11

21 , determinar �

�

��

++℘−

241 1

sss

3

b) Lo mismo, para determinar ��

��

���

��

+−℘−

sss53

11

21

8- Usando el primer teorema de traslación , y las transformadas de Laplace de las

funciones seno y coseno, determinar la transformada inversa de Laplace para las siguientes funciones ).(sF

a) ,)(

)(22 ω+−

−=as

assF b)

22)()(

ωω

+−=

assF

9- Expresar las siguientes funciones en términos de la función de Heaviside y

establecer su gráfica, luego encontrar sus transformadas de Laplace:

��

��

�

≥<≤

<=

90964

60)(

tsi

tsi

tsi

tg ��

��

�

≥−<≤−

<≤=

64622

200)(

tsit

tsi

tsi

th

10- Hallar la transformada de Laplace de las siguientes funciones.

a) ���

<≥−

=5 si 0 5 si )5(

)(3

t

tttg b)

���

<≥+

=1 si 0 1 si 9

)(2

t

tttg

c) )t(u)t()t(g 74 −−= d) ��

��

�

≥<≤

<=

90964

60)(

tsitsi

tsi

tg

11- Hallar ��

��

+℘ −−

12111

241

se s

12- Dados los siguientes gráficos, exprese en términos de la función de Heaviside y encuentre las transformadas de Laplace correspondientes.

4 3

1

f(t)

t 2

f(t)

3

2

t 1 f(t)

2

1

t 1

4

13- Determine y grafique f(t) si ))(( tf℘ están dadas por ;

a) ( )ss ees

sF 643)( −− −= b)

2

3

)(s

esF

s−

= c) ( )sss eees

sF 322

21

)( −−− −+=

d) sess

sF π−��

��

+−=

1

11)(

2 e)

se

ssF s 32)(

3+= − f) ( )ss ee

ss

sF ππ 22 9

)( −− −+

=

14- Resuelva el problema con valor inicial ( Nota: en adelante, en caso de necesitar

hacer una descomposición en fracciones simples, usar software)

a- ���

≥<≤

====+−4 si 2

4 0 si 0)(0)0(')0();(2'3''

tt

tgyytgyyy

b- ���

≥<≤

====+2 si 4- 20 si 0

)(0)0(')0();('2''tt

tgyytgyy

Delta de Dirac - Convolución

15- Calcular

dttebdttea stst��

+∞−

+∞− −

00

)() )6() δδ

16- Halle la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales, donde aparece la

función Delta de Dirac.

0)0(';0)0()1(35'4'')0)0(';0)0()3(450'14'')

==−=−−==−=++

yysityyyb

yysityyya

δδ

Derivada e integral de la transformada de Laplace. 17- Determinar la transformada de las siguientes funciones.

)1()4(4sinh)( )sin()(

)2/sin()( )cos()( )sin()(

0

2

−−=−=−

=−=−=−

� thtttfvduuutfiv

tttfiiitttfiitttfit

18- Obtener la transformada de Laplace de las siguientes funciones.

19- Calcular las siguientes convoluciones usando Mathcad (busque en el Help de Mathcad la forma de calcular integrales definidas)

tt

tt

eetfatttftatfv

ttfetfeatftf42

2

*)( vii))sin(*)( vi))6cos(*)()

)sin(*1)(iv) *)(iii) *)(ii) 4*3)(i)−

−

======= π

)(1

)( 1

)( ))cos(1(2

)( )8sin(1

)( 52 ttt

eet

tfivte

tfiiitt

tfiitt

tfi −=−−=−−=−=−

5

20- Determinar la transformada inversa de Laplace, utilizando convolución.

)3(

2)()

)2(4

)() )25(

1)() 322 +

=+

=+

=sss

sFcss

sFbss

sFa

21- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales según los valores iniciales

0)0(')0( == yy utilizando convolución. tthyydeyyctyybtyya t )2(4'') 9'') 3'') )6sin(36'') 9 −=+=+=+=+ −

22- Sea f (t) una función continua o seccionalmente continua; obtener la solución de las

siguientes ecuaciones diferenciales.

0)0(';1)0()(11'12'')0)0(';0)0()(3'4'')2)0(';1)0()(3'4'')

===++===+−

−===++

yysitfyyyc

yysitfyyyb

yysitfyyya

23- Resolver las siguientes ecuaciones integrales:

ττττ

τττττ

ττ dyettyddetytyc

dtytttybdytttya

tt

t

tt

)(6)() )(1)()

)()sin()sin()() )()()()

0

)(2

0

00

��

��

−−− ++=−+−=

−+=−+=

Transformada de Laplace de una función periódica 24- Hallar la transformada de las siguientes funciones periódicas.

���

<≤<≤

=���

<≤−<≤

=ππ

π20

0sin4)()

631301

)()tsi

tsittfb

tsi

tsitfa

25- Encontrar las transformadas de las siguientes funciones periódicas cuyos gráficos se

exhiben a continuación.

1

4 3 2 1 t

f (t)

8 6 4 2

-2

t

f (t)