Anfanger-Praktikum III

Praktikumsbericht:

HeißluftmotorKritischer Punkt

Michael SeidlingTimo Raab

Wintersemester7. Januar 2013

Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

1 Einfuhrung 4

2 Grundlagen 42.1 Hauptsatze der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 1. Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.2 2. Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.3 3. Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Ideale Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Reale Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3.1 Van der Waals-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.2 Kritischer Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.3 Maxwell-Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Joule-Thomson-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4.1 Inversionstemperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5 Linde-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.6 Kreisprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.6.1 Carnot-Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.6.2 Stirling-Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.7 Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.7.1 Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.8 Warmeaquivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Versuch 143.1 Aufbau & Durchfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1.1 Heißluftmotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.1.2 Kritischer Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Auswertung Heißluftmotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2.1 Stoffmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2.2 pV-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2.3 Energiebetrachtung bei der Kaltemaschine . . . . . . . . . . . . . 173.2.4 Energiebetrachtung bei der belasteten Warmemaschine . . . . . . 193.2.5 Abhangigkeit von Drehzahl und Leistung . . . . . . . . . . . . . . 203.2.6 Fehlerbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Auswertung Kritischer Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.1 Bestimmung der van der Waals-Konstanten . . . . . . . . . . . . 223.3.2 Fehlerbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4 Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Fragen & Aufgaben 24

5 Anhang 28Abbildungsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2

Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis

Tabellenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3

2 GRUNDLAGEN

1 Einfuhrung

Die”Versuche

”Heißluftmotor“ und

”Kritischer Punkt“ beschaftigen sich mit der Ther-

modynamik. Es wird das Verhalten von Gasen bei Veranderung von Druck, Temperaturund Volumen untersucht und welche Nutzen man daraus ziehen kann.

2 Grundlagen

2.1 Hauptsatze der Thermodynamik

In der Thermodynamik wird Arbeit und Warme mit dem Zustand eines Systems in Ver-bindung gebracht. Dies geschieht mithilfe der Zustandsgroßen wie beispielsweise Druckund Temperatur, aber auch Entropie und innerer Energie.

Entropie Die Entropie ist ein Maß fur die Ordnung des Systems. Je wahrscheinlicher einZustand des Systems, desto großer die Entropie. Definiert ist die Anderung der Entropie∆S als der Austausch der Warmemenge QR bei einem reversiblen Kreisprozesses mitder Warmeubertragungstemperatur T .

∆S =QR

T(1)

Die Anderung der Entropie ist also nicht vom Weg im p/V -Diagramm abhangig sondernnur vom Start und Endpunkt.

Innere Energie Unter innerer Energie versteht man die gesamte Energie in dem Sys-tem, soweit sie vom Zustand abhangt. Im wesentlichen handelt es sich also um thermi-sche, chemische und Kernenergie sowie den Binnendruck.

2.1.1 1. Hauptsatz der Thermodynamik

Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass eine Anderung der inneren Energie∆U durch die Anderung der Warmemenge ∆Q und durch geleistete mechanische Arbeit∆W hervorgerufen wird:

∆U = ∆Q+ ∆W (2)

Dadurch sind Perpetuum mobile 1. Art verboten, jedoch kann es noch Perpetuum mobile2. Art geben, die in einem Kreisprozess bei einem kalten Warmespeicher Warme ent-nehmen, die dabei gewonnene Arbeit in Warme umwandeln und dann dem warmerenEnergiespeicher zufuhren. Dadurch wurde der warme Speicher immer warmer werdenund der kalte immer kalter.

4

2.2 Ideale Gase 2 GRUNDLAGEN

2.1.2 2. Hauptsatz der Thermodynamik

Der 2. Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass eine vollstandige Umwandlung vonWarme in mechanische Arbeit in einem Kreisprozess nicht moglich ist. Somit ist ausge-schlossen, dass es eine Perpetuum mobile 2. Art gibt, das zum Beispiel zum Beschleuni-gen seine Umgebung abkuhlt, aber durch die Reibung die Umgebung wieder erwarmt,dies ware nach dem 1. Hauptsatz noch moglich. Mathematisch formuliert sagt man, dassdie Anderung der Entropie ∆S immer gilt:

∆S ≥ 0 (3)

Wobei das Gleichheitszeichen nur bei reversiblen Kreisprozessen gilt.

2.1.3 3. Hauptsatz der Thermodynamik

Dieser Hauptsatz sagt aus, das der Absolutwert der Entropie am absoluten Nullpunktauch 0 ist.

2.2 Ideale Gase

Ein”ideales Gas“ ist ein Gas, in dem es keine Wechselwirkung zwischen den Teilchen

gibt. Die Zustandsgleichung setzt die thermischen Zustandsgroßen, Druck p, TemperaturT , Volumen V und Stoffmenge n, in einen Zusammenhang:

pV = nRT (4)

Dabei ist R die universelle molare Gaskonstante:

R = (8,331 447 2± 0,000 001 5)J

mol K(5)

Im Folgenden wird diese aber als Fehlerfrei betrachtet.

5

2.3 Reale Gase 2 GRUNDLAGEN

2.3 Reale Gase

In einem realen Gas wechselwirken die Teilchen im Gegensatz zu einem idealen Gas.Das bedeutet beispielsweise, dass es unter einer gewissen Temperatur bei einer Volu-menerniedrigung zur Verflussigung kommt. Auf dieses Phanomen wird im Kapitel 2.3.2genauer eingegangen. Deshalb wurde die Zustandsgleichung der idealen Gase zur soge-nannten Virialgleichung erweitert. Hier spielt die Wechselwirkung der Teilchen bei derKompression des Gases eine Rolle. Bei kleinem Druck verhalt sich ein reales Gas nahezuideal, bei hohen Drucken jedoch wird die Kompression erschwert. Deshalb wurde derKompressionsfaktor Z eingefuhrt, der sich aus den temperaturabhangigen Virialkoeffi-zienten ergibt.

pV = ZnRT (6)

Z = 1 +B(T )

V+C(T )

V 2+ ...

Hier ist B(T ) der zweite und C(T ) der dritte Virialkoeffizient. Diese konnen experimen-tell fur jedes Gas bestimmt werden.

2.3.1 Van der Waals-Gleichung

Aufgrund der Unanschaulichkeit der Virialgleichung, machte van der Waals eine an-schaulicherer Naherung. Er betrachtete die Molekule als feste Kugeln, die einander nichtdurchdringen konnen. Deshalb konnen die Teilchen sich nur in einem Volumen der GroßeV − nb frei bewegen. Dabei ist b eine van der Waals-Konstante, die eine Teilchenei-genschaft ist. Die Anziehungskraft bei sehr niedrigem Druck ist mit einer anderen vander Waals-Konstanten a verbunden. Durch diese Krafte ist der Druck geringer als beiidealen Gasen. Deshalb wird es uber den Druck mit einbezogen und ist proportional zu( nV

)2. Daher gilt fur die van der Waals-Gleichung:(p+ a

( nV

)2)(V − nb) = nRT (7)

nb bezeichnet man als Kovolumen und a(nV

)2als Binnendruck. Die damit zusammenhangen-

den Konstanten werden uber Regressionsgeraden bestimmt und sind stoffspezifisch, je-doch temperaturunabhangig.

2.3.2 Kritischer Punkt

Bei realen Gasen kommt es zu einer Verflussigung, wenn man unter einer bestimmtenTemperatur das Volumen verringert. In diesem Bereich, dem 2-Phasengebiet, ist derDruck konstant. Verringert man das Volumen dann weiter, steigt der Druck stark, daFlussigkeiten nahezu inkomressibel sind. Der Punkt, welcher das 2 Phasengebiet nachoben abschließt wird Kritischer Punkt genannt. Dieser Punkt ist invariant fur jedes Gasund ist bei einem charakteristischen Druck pK , charakteristischer Temperatur TK undeinem charakteristischen molaren Volumen VK,m. Oberhalb dieser Temperatur ist keine

6

2.3 Reale Gase 2 GRUNDLAGEN

Verflussigung mehr festzustellen. Dieses Gemisch nennt man definitionsgemaß Gas, aberes kann eine viel großere Dichte haben als man es von Gasen erwartet. Deshallb nenntman es auch

”uberkritisches Fluid“. Der Kritische Punkt stellt einen Wendepunkt der

Isotherme dar. So kann man bei der Kenntnis dieses Punktes die van der Waals-Konstanten bestimmen.

p =RT

V − b− a

V 2(8)

0 =

(∂p

∂Vm

)TK

= − RT

(VK,m − b)2+

2a

V 3K,m

(9)

0 =

(∂2p

∂V 2m

)TK

=2RT

(VK,m − b)3− 6a

V 4K,m

(10)

Multipliziert man Gleichung (9) mit ( 3VK,m

) und setzt es mit Gleichung (10) gleich, erhaltman:

3RTK(VK,m − b)2VK,m

=2RTK

(VK,m − b)3(11)

⇒ VK,m = 3b (12)

Mit dem Ergebnis geht man wieder in Gleichung (9) und erhalt:

0 = −RTK4b2

+2a

27b3(13)

⇒ TK =8a

27Rb(14)

Mit diesen Erkenntnissen kann man in die van der Waals-Gleichung (8) gehen underhalt:

pK =R 8a

27Rb

2b− a

9b(15)

⇒ pK =a

27b2(16)

Damit kann man auch die van der Waals-Konstanten bestimmen:

b =RTK8pK

(17)

a =27

64

R2T 2K

pK(18)

2.3.3 Maxwell-Gerade

Die van der Waals-Gleichung ist im 2-Phasengebiet fur p(V ) leider falsch. Deshalbwurde von Maxwell eine Korrekturgerade vorgeschlagen, die sogenannte Maxwell-Gerade. Dabei wird eine Gerade durch die Funktion 3. Grades gelegt, sodass der Bereichzwischen Funktion und Gerade nach oben und nach unten Gleich groß ist, wie in Abbil-dung (1) gezeigt.

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2.4 Joule-Thomson-Effekt 2 GRUNDLAGEN

Abbildung 1: Skizze eines PV-Diagramms

2.4 Joule-Thomson-Effekt

Dehnt sich ein reales Gas aus, ist dies mit einer Temperaturanderung verbunden. DieserEffekt wird Joule-Thomson-Effekt genannt. Dies geschieht ohne eine Anderung desDrucks. Der Grund dafur ist, dass bei einer Volumenvergroßerung der mittlere Abstandzwischen den Molekulen vergroßert wird. Da gegen die Krafte, die zwischen den Mo-lekulen wirken, gearbeitet wird, sinkt die Temperatur. Jedoch ist dies nicht immer derFall. Ist die Temperatur am Anfang unter einer gewissen Temperatur, der

”Inversion-

stemperatur“, dann erwarmt sich das Gas bei einer Volumenvergroßerung.

2.4.1 Inversionstemperatur

Die Inversionstemperatur TI ist fur jedes Gas verschieden. Man kann sie aus der Glei-chung (8) und der inneren Energie U (aus Demtroder Seite 345) herleiten, indem manbeachtet, dass die Enthalpie H konstant bleibt, da es sich um einen adiabatischen, d.h.δQ = 0, Vorgang handelt.

H = U + pV (19)

=f

2RT − a

V+

(RT

V − b− a

V 2

)(20)

dH =∂H

∂VdV +

∂H

∂TdT = 0 (21)

⇒ dT = −∂H∂V

dV∂H∂T

(22)

≈ bRT − 2a(f2

+ 1)RV 2

dV (23)

Der Nenner ist immer positiv, somit ist der Zahler ausschlaggebend fur das Vorzeichen.Ist also 2a > bRT ist die Temperaturanderung negativ, fur 2a < bRT positiv. DieInversionstemperatur ist demnach also:

TI =2a

bR(24)

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2.5 Linde-Verfahren 2 GRUNDLAGEN

2.5 Linde-Verfahren

Das Linde-Verfahren ist ein Verfahren, das dazu dient, Gase zu verflussigen. Dazu wirdder Aufbau nach Abbildung 2 verwendet.

Abbildung 2: Schematischer Aufbau zur Realisierung des Linde-Verfahrens (Quelle:Demtroder)

Der Kolben presst die Luft, die durch das Ventil 2 gekommen ist in den Trockner undwird im Kuhler weiter gekuhlt. Danach wird die Luft durch ein Drosselventil gepresst,wo sich die Luft aufgrund des Joule-Thomson-Effekts weiter abkuhlt. Die Luft, die nununterhalb der Sidetemperatur ist, verflussigt sich und wird in dem Behalter gesammelt.Der Rest der gekuhlten Luft stromt uber einen Gegenstromkuhler wieder uber das Ventil2 in den Kolben und der Kreislauf beginnt erneut.

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2.6 Kreisprozesse 2 GRUNDLAGEN

2.6 Kreisprozesse

Nach dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik wirkt eine Warmemaschine immer zwi-schen zwei Warmespeichern. Dabei wird der kaltere immer warmer und der warmereimmer kalter. Jedoch wird ein Teil der Warme nach dem 1. Hauptsatz in MechanischeArbeit umgewandelt. Es gibt verschiedene Moglichkeiten Warme, in mechanische Arbeitumzuformen, am sinnvollsten sind jedoch Kreisprozesse.

2.6.1 Carnot-Prozess

Der Carnot-Prozess besteht aus 4 Schritten, die in Abbildung (3) veranschaulichtwerden.

Abbildung 3: p-V-Diagramm und T-S-Diagramm mit isothermen und adiabatischenStufen

Isotherme Expansion(Zustand 1→ 2) Ein Gasbehalter ist in Kontakt mit dem war-men Warmespeicher Tw. Das Gas im Warmespeicher expandiert in den Behalter undnimmt dabei die Warmemenge Qw von dem Warmespeicher auf. Dadurch sinkt derDruck von p1 auf p2. Die Entropie steigt dabei um den Wert:

∆S =Qw

TW(25)

Adiabatische Expansion(Zustand 2→ 3) Der Gasbehalter wird von dem Warmespei-cher getrennt und ist dadurch dann thermisch isoliert. Das Gas in dem Behalter kuhltsich also bei der Expansion ab. V3 wird dabei so gewahlt, das die Temperatur auf diedes Warmespeichers Tk fallt.

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2.6 Kreisprozesse 2 GRUNDLAGEN

Isotherme Kompression(Zustand 3→ 4) Der Gasbehalter wird mit dem Warmespei-cher Tk verbunden. Das Gas gibt bei der Kompression die Warmemenge Qk ab, dadurchnimmt die Entropie um der Wert (26) ab.

∆S =Qk

Tk(26)

Adiabatische Kompression(Zustand 4→ 1) Der Behalter wird wieder thermisch iso-liert und dann wird das Gas weiter komprimiert, sodass die Temperatur des Warmespei-chers Tw erreicht wird, und der Kreislauf beginnt erneut.

Bei diesem Prozess wird die Warme Qw bei hoher Temperatur Tw aufgenommen unddie Warme Qk bei der Temperatur Tk abgegeben. Die Differenz Qw − Qk = A wird alsmechanische Arbeit von der

”Warmekraftmaschiene“ abgegeben.

Wird der Kreislauf ruckwarts durchlaufen, also 1 → 4 → 3 → 2 → 1, wird mit demAufwand A die Warme Qk dem Warmespeicher Tk entnommen und dem WarmespeicherTw die Warme Qw = A+Qk zugefuhrt. Das ist das Prinzip einer

”Kaltemaschine“.

2.6.2 Stirling-Prozess

Abbildung 4: p-V-Diagramm mit isothermen und isochoren Stufen

Der Stirling-Prozess hat ebenso 4 Schritte wie der Carnot- Prozess. Jedoch sinddie beiden adiabaten Prozesse isochore Prozesse. Da aber bei beiden isochoren Prozessenkeine mechanische Arbeit verrichtet wird, da dass Volumen konstant bleibt, muss diezugefuhrte und abgefuhrte Warmemenge identisch sein. Man sieht auch in Abbildung

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2.7 Leistung 2 GRUNDLAGEN

(4), dass das Volumen bei den isochoren Prozessen konstant bleibt und sich der Druckandert.Technisch umsetzen kann man das wie in Bild (5) gezeigt. Dabei ist der Verdrangerkolbenum 90 dem Arbeitskolben voraus. Der Verdrangerkolben schiebt die Luft abwechselnvon dem oberen warmen Teil in den unteren kalten teil des Motors. Bei dem Durchgangder Luft durch den Warmespeicher, der aus Metallspanen besteht, wird die Warmegespeichert (2→ 3) bzw. abgegeben (4→ 1).

Abbildung 5: Die technische Realisierung eines Stirling-Motors (Quelle: Demtroder )

2.7 Leistung

Leistung ist ein Maß dafur, wie viel Arbeit ∆W pro Zeiteinheit ∆t verrichtet wordenist.Die mechanische Leistung Pm berechnet sich bei einer Drehung uber die Drehzahl νund dem Drehmoment M . Die elektrische Leistung Pe aus der Spannung U und derStromstarke I, bzw. mit dem elektrischen Widerstand R:

P =∆W

∆t(27)

Pm = 2πMν (28)

Pe = UI =U2

R(29)

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2.8 Warmeaquivalent 2 GRUNDLAGEN

2.7.1 Wirkungsgrad

Der Wirkungsgrad η ist das Verhaltnis von erhaltener Leistung Pa und der dazu benotig-ten Leistung Pb:

η =PaPb

(30)

Dieser Wert ist liegt immer zwischen 0 und 1 und ist ein Maß fur die Effizienz.

Carnot-Maschine Bei der Carnot-Maschine gilt:

|∆S| = Qw

Tw=Qk

Tk(31)

Der Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses ist demnach also:

η =Qw −Qk

Qw

=Tw − TkTw

(32)

Fur die Stirling-Maschine ist der Wirkungsgrad identisch, da die isothermen Prozesseidentisch ablaufen.

2.8 Warmeaquivalent

Das Warmeaquivalent ist ein historisch bedingter Umrechnungsfaktor zwischen den derelektrischen und mechanischen Energieeinheit Joule und Energieeinheit der Warmemen-ge Kalorien.

1 J = 0,239 cal (33)

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3 VERSUCH

3 Versuch

3.1 Aufbau & Durchfuhrung

3.1.1 Heißluftmotor

Fur den Versuch Heißluftmotor wird das Computerprogramm CASSY R©Lab benotigt.Damit kann man die Signale des Sensors aufnehmen und speichern.Zudem wird der Umgebungsluftdruck pLab im Labor benotigt.

Kaltemaschine Nach der Kalibrierung des Sensors, nimmt man den Stirling-Motorin Betrieb, dabei achtet man darauf, das dieser als Kaltemaschine fungiert. Sobald dieTemperaturen (T1 und T2) an den Sensoren konstant sind, misst man diese sowie dieDrehzahl ν und notiert sich aus dem pV -Diagramm die Extrema von Druck (pmin undpmax) und Volumen (Vmin und Vmax). Anschließend wird die Betriebsspannung des Elek-tromotors U und der Strom I gemessen.

Warmekraftmaschine Der Stirling-Motor wird nun als Warmekraftmaschine ver-wendet und die Sensoren werden neu kalibriert. Zudem ersetzt man im vorherigen Auf-bau den Motor durch eine Skala zur Drehmomentmessung.Man notiert sich den Fullstand des Brenners, damit man zusammen mit der gemessenenBetriebszeit, den durchschnittlichen Verbrauch des Brenners bestimmen kann. Der Bren-ner wird so positioniert, dass er den Kolben erhitzt. Mit der Messung kann erst wiederbegonnen werden, wenn die Temperaturen (T1 und T2) wieder konstant sind. Gemessenwird neben der Drehzahl ν auch das Drehmoment M . Ebenso werden wieder aus dempV -Diagramm die Extrema von Druck (pmin und pmax) und Volumen (Vmin und Vmax)notiert.Anschließend wird die Abhangigkeit des Drehmoments M von der Drehzahl ν unter-sucht. Dazu misst man fur mindestens 10 verschiedene Werte von ν das DrehmomentM .Danach wird die von der Drehzahl abhangige elektrische Leistung des Motors gemessen.Hierzu misst man bei verschiedenen Widerstanden R die Drehzahl ν und die SpannungU .

3.1.2 Kritischer Punkt

Man nimmt fur 10 verschiedene Temperaturen im Bereich 0 C < Ti < 55 C die p(V )-Kurven von Schwefelhexafluorid SF6 auf. dabei wahlt man im Bereich der KritischenTemperatur TK = 45 C kleinere Abstande. Zudem beobachtet man das Verhalten desGases.

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3.2 Auswertung Heißluftmotor 3 VERSUCH

3.2 Auswertung Heißluftmotor

Der Stirling-Prozess des Heißluftmotors wurde im Versuch drei mal gemessen. Ein-mal als Kaltemaschine, einmal unbelastet und einmal belastet. Zur Umrechnung derMesswerte in die realen Großen benotigt man folgende Umrechnungen:

• Volumen V in cm3, gemessen UA in mV:

0V=32 cm3 (34)

∆V

∆UA=

1 cm3

50 mV(35)

• Druck p in hPa, gemessen UB in mV:

0V=pLabor = 996,7 hPa (36)

∆V

∆UB=

1 hPa

2 mV(37)

• Temperatur T in K gemessen in TC in C:

T =TC + 273, 15 (38)

3.2.1 Stoffmenge

Nach der Umrechnung kann man die daran beteiligte Stoffmenge aus der Gleichung (4)mit dem Fehler, nach Gleichung (40) bestimmen:

n =pV

RT(39)

δn =V

RTδp+

p

RTδV +

pV

RT 2δT (40)

Man kann so fur jeden der 3 Vorgange jeweils auf 2 Varianten die Stoffmenge bestimmen:

• (Tmax, Vmin, pmax)

• (Tmin, Vmax, pmin)

Da wir mehrere Messungen dieser Großen vorgenommen haben wurde uber diese gemit-telt und die Standardabweichung als Fehler genommen.

q =1

N

N∑i=0

qi (41)

δq =

√√√√ 1

N − 1

N∑i=0

(q − qi)2 (42)

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3.2 Auswertung Heißluftmotor 3 VERSUCH

Dabei ist qi ein beliebiger Messwert, N die Anzahl der Messungen und q der gemittelteWert. Man erhalt die in Tabelle 1 angegebenen Werte.

T ¯Vmax ¯pmax n(Tmax,Pmax,Vmin) n(Tmin,Pmin,Vmax)

in K in cm3 in hPa in mmol in mmolKaltemachine max 291,2 ± 0,2 44,20 ± 0,08 1157 ± 2 1,472 ± 0,002 1,501 ± 0,001

min 302,8 ± 0,4 32,02 ± 0,08 822 ± 2unbelastet max 338,8 ± 0,3 44,19 ± 0,01 1205 ± 1 1,136 ± 0,001 1,258 ± 0,002

min 408,5 ± 0,2 32,017 ± 0,005 802 ± 1belastet max 335,4 ± 0,3 44,18 ± 0,01 1085 ± 1 0,983 ± 0,001 1,260 ± 0,002

min 425,6 ± 0,4 32,016 ± 0,007 795 ± 1

Tabelle 1: Stoffmengen bei verschiedenen Betriebsarten der Warmekraftmaschine

Uber diese 6 auf verschiedene Weise errechneten Stoffmengen wird arithmetisch ge-mittelt. Als zusatzlichen Fehler wird hier die Standardabweichung angenommen:

δn = δn+

√√√√1

5

6∑i=0

(n− ni)2 (43)

Es ergibt sich eine am Kreislauf beteiligte Stoffmenge von 1, 27± 0, 4 mmol.

3.2.2 pV-Diagramme

Bei der Durchfuhrung wurde mit CASSY R©Lab das pV -Diagramm aufgenommen. Beiden verschiedenen Betriebsarten hat man unterschiedliche Umlaufsinne und wie man inden Abbildungen (6) sieht, auch leicht verschiedene Kurven. Das hangt damit zusammen,das der Flacheninhalt eines geschlossenen Umlaufs die verrichtete oder aufgenommeneArbeit ist.

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3.2 Auswertung Heißluftmotor 3 VERSUCH

(a) Kaltemachine (b) Warmemaschine unbelastet

(c) Warmemaschine belastet (d) Idealer Strirling-Prozess im Ver-gleich zu unseren Messungen

Abbildung 6: Aufgenommene pV -Diagramme des Stirling-Motors

Zu beachten ist, das der Umlaufsinn in Diagramm (6(a)) gegen den Uhrzeigersinnverlauft, somit der Stirling-Motor also Energie aufnimmt und in den anderen beidenFallen Energie abgibt. Man sieht auch, das die Flache in den geschlossenen Kurven inallen drei Fallen unterschiedlich ist. Zudem sieht man, dass im Idealfall mehr Arbeitverrichtet wird. Die isochoren Prozesse sind bei unseren Messungen nicht so perfekt wiesie sein sollten.

3.2.3 Energiebetrachtung bei der Kaltemaschine

Zunachst berechnen wir die Energiemenge, die der Motor, der den Stirling-Motorantreibt, pro Umlauf aufwendet:

Wel = UIt = UI60

ν(44)

δWel = I60

νδU + U

60

νδI + UI

60

ν2δν (45)

Dabei ist U die Spannung die an dem Motor anliegt, I der Strom und ν die gemesseneDrehzahl. Es ergibt sich eine Elektrische Leistung von Wel = 0, 74± 0, 02J.

Idealer Stirling-Prozess Betrachtet man den Stirling-Prozess theoretisch, kann mandie Volumenarbeit WV aus der Stoffmenge n, den Temperaturen ∆T und der VoluminaVmin, Vmax berechnen.

WV = −nR∆T lnVmaxVmin

(46)

17

3.2 Auswertung Heißluftmotor 3 VERSUCH

Mit dem Fehler:

δWV = R∆T lnVmaxVmin

δn+ nR lnVmaxVmin

(δTmin + δTmax) +nR∆T

VmaxδVmax +

nR∆T

VminδVmin

(47)

Es ergibt sich eine Arbeit von WV = −0, 04 ± 0, 01J, die also aufzubringen ist, sodassdie Kaltemaschine lauft.Des weiteren ist interessant, wie viel Warmemenge Qt pro Umlauf der kalten Seite ent-zogen wird. Man erhalt:

Qt = −nRTmin lnVmaxVmin

(48)

Mit dem Fehler:

δQt = RTmin lnVmaxVmin

δn+ nR lnVmaxVmin

δTmin +nRTminVmax

δVmax +nRTminVmin

δVmin (49)

Man erhalt eine Warmemenge von ∆Qt = −1, 0± 0, 3J. Womit diese Warmemenge alsodem Kalten Warmespeicher entzogen wird.

Experimentelle Bestimmung dieser Großen Mit unseren Aufzeichnungen aus CAS-SY R©Lab konnen wir mittels eines Applets

”Stirling-Calculator“ durch nummerische

Integration diese Großen bestimmen. Uber alle Messungen wird gemittelt und neben derStandardabweichung nehmen wir zusatzlich einen Fehler von 1% an denn die Messungkonnte nicht unter Idealbedingungen durchgefuhrt werden, beispielsweise hatte die Tem-peratur leichte Schwankungen wahrend den Messungen. Das Programm errechnete eineArbeit von W ∗ = (−0,146± 0,002) J und eine Warmemenge von Q∗ = (−1,12± 0,02) J.Man erkennt, dass die real aufgebrachte Arbeit um einiges großer ist als die theoretischbenotigte Arbeit. Dies liegt an der Betrachtung der Vernachlassigung von Reibungsef-fekten in der Theorie. Jedoch ist die transportierte Warmemenge in der Theorie undPraxis fast identisch.Berechnet man die sich daraus ergebenden Wirkungsgrade, mittels:

η =Q

W(50)

δη =δQ

W+QδW

W 2(51)

Erhalt man:

ηideal =Qt

WV

= 25± 13 (52)

ηreal =Q∗

W ∗ = 7, 6± 1, 4 (53)

ηel =Q∗

−Wel

= 1, 51± 0, 07 (54)

(55)

18

3.2 Auswertung Heißluftmotor 3 VERSUCH

Man erkennt, dass die Wirkungsgerade sehr unterschiedlich sind. Es zeigt schon, dass diebeiden experimentell bestimmten Wirkungsgrade um einiges kleiner sind als der Theo-retische Wert, was auf die Vernachlassigung der Reibung in dem theoretischen Modellzuruckzufuhren ist. Ebenso zeigt es, dass die Arbeit, die der Motor in das System desStirling-Motors bringt großer ist als die, die im System letztendlich ankommt.

3.2.4 Energiebetrachtung bei der belasteten Warmemaschine

Hierzu bestimmt man als Erstes die Leistung PB des Brenners , mit dem man den Stir-ling-Motor betreibt. Dazu wird der Heizwert H des verwendeten Heizmittels, Spiritus,benotigt, er betragt H = 27MJ

kg. Zudem benotigt man die Massendifferenz ∆m und die

Zeit t, die er gebrannt hat.

PB =H∆m

tδPB =

Hδ∆m

t+H∆mδt

t2(56)

Man erhalt eine Gesamtleistung des Brenners von PB = 233 ± 2W. Daraus errechnetman die zugefuhrte Energie pro Umlauf mit der Drehzahl ν:

W =P

ν(57)

δW =δP

ν+Pδν

ν2(58)

Man erhalt eine Arbeit von WB = (27,3± 0,8) J.

Idealer Stirling-Prozess Zu beachten ist, dass im Vergleich zu der Kaltepumpe hierdiese Arbeit nicht zugefuhrt werden muss, sondern geleistet wird. Somit hat man imVergleich zu Gleichung (46) ein anderes Vorzeichen. Der Fehler berechnet sich aberweiterhin nach Gleichung (47).

WV = nR∆T lnVmaxVmin

(59)

Es ergibt sich eine geleistete Arbeit pro Umdrehung von WV = (0,30± 0,01) J.Bei der Energiemenge betrachten wir nun die Warmemenge Qt die dem WarmespeicherZugefuhrt wird. Es ergibt sich also:

∆Qt = −nRTmax lnVminVmax

(60)

Mit dem Fehler:

δ∆Qt = RTmax lnVminVmax

δn+ nR lnVminVmax

δTmax +nRTmaxVmin

δVmin +nRTmaxVmax

δVmax (61)

Es wird, der warmen Seite, eine Warmemenge von Qt = (1,4± 0,5) J zugefuhrt.

19

3.2 Auswertung Heißluftmotor 3 VERSUCH

Experimentelle Bestimmung dieser Großen Wiederum konnen wir aus unseren Da-ten aus CASSY R©Lab mittels dem

”Stirling-Calculator“ die Zugefuhrte Warme Q∗ und

die im Prozess verrichtete Arbeit W ∗ bestimmen lassen.

W ∗ = (0,138± 0,004) J

Q∗ = (1,26± 0,02) J

Der Fehler wurde wie bei der Kaltemaschine bestimmt. Aus dem gemessenen Drehmo-ment M , das am Motor anlag, kann man mit Hilfe der Kreisfrequenz ω bzw. der Drehzahlν die Mechanische Leistung des Motors bestimmen:

PM = Mω = 2πMν (62)

δPM = 2πνδM + 2πMδν (63)

Es ergibt sich eine Leistung PM = (0,27± 0,03) W.Daraus bestimmt man nach Gleichung (57) mit dem Fehler (58) die Arbeit WM =(0,032± 0,004) J.Daraus kann man verschiedene Wirkungsgerade bestimmen:

ηideal =WV

Qt

= 0, 22± 0, 08 (64)

ηreal =W ∗

Q∗ = 0, 11± 0, 05 (65)

ηmech. =WM

Q∗ = 0, 025± 0, 004 (66)

ηtherm. =W ∗

WB

= 0, 0051± 0, 0003 (67)

ηgesamt =WM

WB

= 0, 0012± 0, 0002 (68)

Man sieht hier schon, das der Wirkungsgrad stark davon abhangt, was man betrach-tet. Idealerweise hatte der Stirling-Motor einen Wirkungsgrad ηideal von 22% mit denReibungskraften nur noch von ηreal = 11%. Betrachtet man nun noch die Weiterverarbei-tung in mechanische Arbeit hat man nur noch einen Wirkungsgrad von ηmech. = 2, 5 %.Betrachtet man zudem noch wie viel Energie man wirklich benotigt hat um die Warme-menge Q∗ an den Stirling-Motor zu liefern, betragt der Wirkungsgrad des Motorsnun noch ηtherm. = 0, 51 % bzw. ηgesamt = 0, 12 %. Der Motor hat dementsprechend inder Theorie einen hohen Wirkungsgrad, der aber in der Realisierung zu ziemlich hohenVerlusten fuhrt.

3.2.5 Abhangigkeit von Drehzahl und Leistung

Bei der Messung der mechanischen Leistung in Abhangigkeit von der Drehzahl mussuns ein Fehler unterlaufen sein. Die gemessenen Werte sind widerspruchlich und zeigenkeinerlei Regelmaßigkeit. Vermutlich liegt das an der Durchfuhrung der Messung des

20

3.2 Auswertung Heißluftmotor 3 VERSUCH

Drehmoments. Wir hatten Probleme mit dem fixieren des Drehmomentmessers am Mo-tor, deshalb musste man ihn mit dem Finger diesen am Motor halten. Dabei muss derMotor vermutlich bei verschiedenen Drehzahlen unterschiedlich gedampft worden sein.Deshalb wird im Folgenden nur die Messung der elektrischen Leistung beachtet.Fur die Umrechnung von Spannung U und Widerstand R in Leistung P nimmt man:

P =U2

R(69)

δP =2U

RδU +

U2

R2δR (70)

Wobei δU = 0,01 V und δRR

= 1%. Das Ergebnis ist in Abbildung (7) abgebildet.

Abbildung 7: Elektrische Leistung in Abhangigkeit von der Drehzahl

Man sieht, dass der Motor eine ideale Drehzahl hat, an der er die hochste Leistungbringt. In unserem Fall waren das ca. 480 Umdrehungen in der Minute.

3.2.6 Fehlerbetrachtung

Man sieht bei unseren Ergebnissen, dass die Idee einen solchen Motor zu realisierenmoglich ist. Man stellt aber doch fest, dass die Vernachlassigung der Reibung in derTheorie in der Praxis einige Probleme darstellt. Der erwartet hohe Wirkungsgrad wirdnicht erreicht. Aber vor allem als Kaltemaschine hat der Stirling-Motor uberzeugt.Abgesehen davon, dass die Messung der mechanischen Leistung gar nicht funktionierthat, muss man noch sagen, dass es bei der Durchfuhrung zu kleineren Problemen kam.Beispielsweise konnten wir in unserem Brenner keine großere Flamme einstellen, da sonstder Docht nicht mehr in dem Spiritus gewesen ware. Wahrscheinlich hatten wir danngroßere elektrische Leistungen erzielen konnen und die Messung bis zu einem Widerstandvon 10 Ω durchfuhren konnen.Besser fur den experimentell bestimmten Wirkungsgrad ware gewesen, wenn man denBrenner besser positioniert hatte.

21

3.3 Auswertung Kritischer Punkt 3 VERSUCH

3.3 Auswertung Kritischer Punkt

Unsere Messwerte des Drucks in Abhangigkeit vom Volumen, bei verschiedenen Tempe-raturen, wurde in dem pV -Diagramm, Abbildung (8), dargestellt.

Abbildung 8: pV -Diagramm

Aus diesem Diagramm kann man die Daten des Kritischen Punktes ablesen. In unse-rem Fall sieht man, dass die Isotherme von 5 C bis 40,5 C jeweils einen Bereich haben,in dem der Druck bei abnehmendem Volumen naherungsweise Konstant ist.Dies ist beiden Isothermen bei 43,8 C, 45,2 C und 46,5 C nicht mehr eindeutig bestimmbar, somitmuss die Kritische Temperatur TK in diesem Bereich liegen.Aus diesen drei Kurven bestimmen wir jeweils den Wendepunkt in der Kurve und mit-teln die X-Werte und die Y-Werte dieser Punkte sodass wir auf das kritische VolumenVK und den Kritischen Druck pk kommen.Fur den Kritischen Punkt erhalten wir inklusive der Unsicherheiten folgende Werte:

TK = (45,2± 0,9) C = (318,4± 0,9) K (71)

VK = (0,20± 0,02) cm3 = (0,20± 0,02) · 10−3 l (72)

pK = (39,5± 0,7) bar = (3,95± 0,07) · 106 Pa (73)

3.3.1 Bestimmung der van der Waals-Konstanten

Aus den Gleichungen (18) und (17) kann man mittels der bestimmten Daten des Kriti-schen Punktes die van der Waals-Konstanten bestimmen. Außerdem lasst sich mittelsder Beziehung,

VK = 3bn (74)

⇔ n =3b

VK(75)

22

3.3 Auswertung Kritischer Punkt 3 VERSUCH

wobei n die Stoffmenge ist, selbige bestimmen. Fur die Fehler gilt:

δa =27R2

64

(2TKpK

δTK +T 2K

p2KδpK

)(76)

δb =R

8

(δTKpK

+TKp2K

δpK

)(77)

δn = 3

(δb

VK+

b

V 2K

δVK

)(78)

Es ergibt sich:

a = (0,752± 0,004)m6 mPa

mol2(79)

b = (8,4± 0,2) · 10−5 dm3

mol(80)

n = (1,26± 0,05) mol (81)

Um die Dampfdruckkurve darzustellen wurde die Hohe der Maxwellgeraden bei denIsothermen bestimmt. Beim Ablesen der Hohe der Maxwellgeraden wurde ein Fehlervon δp = 0, 4bar angenommen und die Temperatur hatte einen Fehler von δT = 0, 3C.Die Messwerte sind in Abbildung (9) dargestellt.

Abbildung 9: Dampfdruckkurve von SF6

Des weiteren konnen wir aus den bisher bestimmten Werten die Inversionstemperaturvon SF6, mittels Gleichung (24), bestimmen. Fur den Fehler gilt:

δTI =2

bRδa+

2a

b2Rδb (82)

Somit erhalt man eine Inversionstemperatur von TI = (2149± 57) K = (1875± 57) C.

23

3.4 Anwendung 4 FRAGEN & AUFGABEN

3.3.2 Fehlerbetrachtung

Vergleicht man unsere Messergebnisse mit den Literaturwerten aus www.gestis.itrust.devergleicht, stellt man fest, dass die Werte fur Kritische Temperatur TKrit = 45,6 Cund Kritischen Druck pKrit = 37,6 bar innerhalb unserer Genauigkeit liegen. Jedochweicht das Kritische Volumen Vkrit,m = 197 · 10−3 dm

mol3von unserer Messung deutlich ab.

Vermutlich liegt dies an der Eichung unserer Volumenskala wobei unser Startvolumenvermutlich zu klein ist. Dennoch kann man sagen, das die Messung trotz Problemen mitder Temperatureinstellung gut gelungen ist. Besser fur unsere Messungen ware allerdingsgewesen, wenn die Temperatur genauer einstellbar und dann auf diesem Niveau konstantgeblieben ware. Zudem ware die Genauigkeit besser, wenn wir bei unseren Messungengesehen hatten, wann das Schwefelhexafluorid beginnt sich zu verflussigen. So waren wirgezwungen unsere Volumenintervalle nach Gefuhl zu wahlen.

3.4 Anwendung

Stirling-Motor Der Stirling-Motor wurde im 19. Jahrhundert fur viele Anwendun-gen genutzt, wie als Motor fur Drehbanke, Sagen und Ventilatoren. Am Anfang des20. Jahrhunderts wurde er dann von Diesel- und Otto-Motoren ersetzt. Mitte des 20.Jahrhunderts wurde der Stirling-Motor in der Physik und Chemie als Tieftemperatur-Kaltemaschine eingesetzt. Im Zuge des Umstiegs auf umweltfreundlichere Energiequellenkam das Prinzip in Kraft-Warme-Kopplungs-Anlagen zum Einsatz.

Kritischer Punkt Beispielsweise beruht der Benson-Kessel auf diesem Prinzip. Erarbeitet uberhalb des Kritischen Punktes von Wasser und so wird verhindert, dass sichWasser abscheiden kann.Zudem wird versucht den Verbrauch von Benzin- und Diesel-Motoren zu senken indemman uberkritischen Treibstoff verwendet.Außerdem kann man uberkritisches CO2 benutzen um giftige organische Substanzen zulosen, da sich in uberkritischem CO2 nahezu alle organischen Stoffe losen. Ein Vorteilist, dass man dies in einem Kreisprozess realisieren kann und zudem umweltfreundlichist.

4 Fragen & Aufgaben

Heißluftmotor 1 Beschreiben Sie anhand des pV -Diagramms die Funktionsweise des

”Heißluftmotors“

• als Warmepumpe und

• als Kaltemaschine

Welchen Umlaufsinn hat die durchlaufene Kurve jeweils?Ist im Grundlagenteil Kapitel 2.6.1 geschehen

24

4 FRAGEN & AUFGABEN

Heißluftmotor 2 Was versteht man unter einem”

perpetuum mobile zweiter Art“?Formulieren Sie den II. Hauptsatz der Warmelehre unter Verwendung der Begriffe

•”

perpetuum mobile zweiter Art“ bzw.

• Entropie.

im Grundlagenteil Kapitel 2.1.

Heißluftmotor 3 Wie hoch sind die typischen Wirkungsgrade gebrauchlicher Automo-toren (Otto-Motor, Diesel-Motor)? Vergleichen Sie diese mit dem Wirkungsgrad einesStirling-Motors.

Motor maximaler Wirkungsgrad ν in %Stirling 66Otto 45Diesel 50

Der Stirling-Motor kann wie in Kapitel 2.6.2 theoretisch den Wirkungsgrad desCarnot-Prozesses erreichen. Jedoch entstehen in der Wirklichkeit Reibungsverlusteund die idealen Temperaturen konnen nicht erreicht werden, sodass die Realisierung vonOtto- und Dieselmotoren lukrativer ist.

Heißluftmotor 4 Finden Sie einen Weg die Integrale aus

W = −∮pdV (83)

W12 = −∫ V2

V1

pdV (84)

auf die numerisch berechenbaren Integrale∮UydUx (85)∫ Ux,max

Ux,min

UydUx (86)

(87)

zuruckzufuhren. Die Funktionen

V =

(∆U

∆V

)−1

Ux + V0 (88)

p =

(∆U

∆V

)−1

Uy + pLab (89)

25

4 FRAGEN & AUFGABEN

konnten dabei hilfreich sein.

∮pdV =

∮ (∆U

∆V

)−1

Uy + pLabdV (90)

=

∮ ((∆p

∆U

)Uy + pLab

)∆V

∆UdUx (91)

=

∮∆p

∆U· ∆V

∆UUyUx +

∮pLab

∆V

∆UdUx︸ ︷︷ ︸

=0

(92)

=∆p

∆U· ∆V

∆U

∮UyUx (93)

(94)

Nahezu analog funktioniert das mit Gleichung (84)

Heißluftmotor 5 Der Wirkungsgrad des Stirling-Motors kann mit einem technischenTrick maximiert werden. Im Idealfall nimmt er dann den Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses an. Wie konnte der Trick funktionieren?Mit einer Kurbelwelle, siehe Grundlagenteil 2.6.2.

Kritischer-Punkt 1 Es gibt einen direkten Zusammenhang zwischen den kritischenGroßen und den van der Waals-Koeffizienten. Leiten Sie ausgehend von der vander Waals- Gleichung (7) die folgenden Beziehungen her:

TK =8a

27Rb(95)

pK =a

27b2(96)

VK,m = 3b (97)

Ist im Grundlagenteil Kapitel2.3.2 geschehen.

Kritischer-Punkt 2 Berechnen Sie die innere Energie eines van der Waals-Gasesin Abhangigkeit von Temperatur und Volumen bei konstanter Teilchenzahl. Zeigen Siedann, dass insbesondere die isotherme partielle Ableitung der inneren Energie eines vander Waals -Gases nach dem Volumen gleich dem Binnendruck dieses Gases ist:(

∂U

∂Vm

)T

=a

V 2m

(98)

26

4 FRAGEN & AUFGABEN

Die Formel fur die innere Energie, die in Gleichung 20 verwendet wurde leitet manpartiell ab und erhalt den gewunschten Zusammenhang:

U(T, Vm) =fRT

2− a

V 2m

(99)(∂U

∂Vm

)T

=a

V 2m

(100)

Kritischer-Punkt 3 Leiten Sie eine Beziehung zwischen den van der Waals-Konstantena und b und den beiden Inversionstemperaturen des Joule-Thomson-Effektes her.Siehe Grundlagenteil 2.4.1.

Kritischer-Punkt 4 Welchem Teil der van der Waals-Kurven entsprechen keinerealen Zustande? Erlautern Sie die Bedeutung der Maxwell-Geraden.Im Grundlagenteil Kapitel 2.3.3

27

Literatur

5 Anhang

Abbildungsverzeichnis

1 Skizze eines PV-Diagramms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Schematischer Aufbau zur Realisierung des Linde-Verfahrens (Quelle:

Demtroder) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 p-V-Diagramm und T-S-Diagramm mit isothermen und adiabatischen

Stufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 p-V-Diagramm mit isothermen und isochoren Stufen . . . . . . . . . . . 115 Die technische Realisierung eines Stirling-Motors (Quelle: Demtroder ) 126 Aufgenommene pV -Diagramme des Stirling-Motors . . . . . . . . . . . 177 Elektrische Leistung in Abhangigkeit von der Drehzahl . . . . . . . . . . 218 pV -Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Dampfdruckkurve von SF6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Tabellenverzeichnis

1 Stoffmengen bei verschiedenen Betriebsarten der Warmekraftmaschine . . 16

Literatur

Anfangerpraktikum: Versuchsanleitung. Universitat Konstanz, 2012

Bronstein: Taschenbuch der Mathematik. Harrri Deutsch Verlag, 2008

Demtroder, Wolfgang: Experimentalphysik. Springer, 2008

www.analytica-world.com: http://www.analytica-world.com/de/news/105121/messzelle-spart-energie.html.

www.chemiestudent.de: http://download.chemiestudent.de/protokol/pc/pdf/benny/jt.pdf.

www.frustfrei-lernen.de: http://www.frustfrei-lernen.de/thermodynamik/thermodynamik-uebersicht.html.

www.gestis.itrust.de: http://gestis.itrust.de/nxt/gateway.dll/gestis de/005220.xml?f=templates$fn=default.htm$3.0.

www.old.stirlingmaschine.de: http://old.stirlingmaschine.de/deutsch/pdf/ende der eiszeit.pdf.

www.tscombustion.com: http://www.tscombustion.com/.

www.uni-bayreth.de: http://www.fsmpi.uni-bayreuth.de/thermo/.

www.uni-bremen.de: http://www.ifp.uni-bremen.de/ryder/lv/gk/tdy.pdf.

28

Literatur Literatur

www.wissen.de: http://www.wissen.de/lexikon/kritische-zustandsgroessen.

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