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ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL
A. Ramos Nov. 2006
Estruturas de Betão Armado II17 – Pré-Esforço – Perdas
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ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL
A. Ramos Nov. 2006
17 – Pré-Esforço – Perdas
Força Máxima de Tensionamento (Força de Puxe)
A força aplicada à armadura de pré-esforço, Pmax (ou seja, a força na extremidade activa durante a aplicação do pré-esforço), não deve exceder o seguinte valor:
Pmax = Ap ⋅ σp,max
Em que:
Ap área da secção transversal da armadura de pré-esforço
σp,max tensão máxima aplicada à armadura de pré-esforço = min { 0.8· fpk ; 0.9· fp0,1k}
fpk Valor característico da tensão de rotura à tracção do aço das armaduras de pré-esforço
fp0,1k Valor característico da tensão limite convencional de proporcionalidade a 0,1% à tracção do aço das armaduras de pré-esforço
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A. Ramos Nov. 2006
17 – Pré-Esforço – Perdas
Perdas Instantâneas de Pré-Esforço
Pós-tensão:• Perdas por atrito cordão/bainha;
• Perdas por reentrada das cunhas na ancoragem activa;
• Perdas por deformação instantânea do betão.
Pré-tensão:• Perdas por relaxação inicial da armadura entre o
tensionamento do aço e a transferência do p.e. Ao betão;
• Perdas por escorregamento dos fios nas zonas de amarração;
• Perdas por deformação instantânea do betão.
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17 – Pré-Esforço – Perdas
Perdas Por Atrito
Em que:P Pré-esforço aplicadodP Perda de pré-esforço no
comprimento dsdb ângulo de desvio no
comprimento dsqds força de desvio em dsm coeficiente de atrito
02
)(2
0 =+−−=∑ ββ ddPPdPqdsFr
dsdPqPdqds ββ ==
00 =+=∑ dsqdPFt μ
βμβμ dPdPdPdP −==+ 0
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17 – Pré-Esforço – Perdas
Perdas Por Atrito (continuação)
∫∫ −=xxP
PddP
Pm
0
)(
0
1 βμ βμ−=− 0ln)(ln PxPmo
Onde b é o somatório dos ângulos de desvio do cabo desde a origem (ancoragem activa) até à secção x
μβ−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
0
0 )(lnP
xPm μβ−= eP
xPm
0
0 )(
μβ−= ePxPm 00 )( )()( 00 xPPxP m−=Δ μ
( )μβμ
−−=Δ ePxP 1)( 0
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17 – Pré-Esforço – Perdas
Perdas Por Atrito (EC2)
Para ter em conta igualmente desvios do cabo devido às tolerâncias de posicionamento, a expressão apresentada pelo EC2 para cálculo das perdas por atrito é a seguinte:
)1(P)(P )k(maxμ
xex +−−=Δ βμ
Em que:b soma dos desvios angulares ao longo de um comprimento x
(independentemente da sua direcção ou do seu sinal)μ coeficiente de atrito entre a armadura de pré-esforço e a sua
bainhak desvio angular parasita para as armaduras interiores (por
unidade de comprimento) x distância ao longo da armadura a partir do ponto em que a força
de pré-esforço é igual a Pmax (força na extremidade activa durante a aplicação do pré-esforço)
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17 – Pré-Esforço – Perdas
Perdas Por Atrito (EC2)Os valores de μ e k são dados na Aprovação Técnica Europeia aplicável. O valor de μ depende das características da superfície das armaduras e da bainha, da presença de ferrugem, do alongamento das armaduras e do seu traçado.O valor de k para o desvio angular parasita depende da qualidade da execução, da distância entre os apoios das armaduras, do tipo da bainha ou do ducto, e do grau de vibração na betonagem.
Na ausência de dados de uma Aprovação Técnica Europeia, os valores dos desvios angulares parasitas para as armaduras interiores situam-se, em geral, no intervalo 0,005 < k < 0,01 por metro.
1) para armaduras que preenchem cerca de metade da bainha
----0,33Varão liso
----0,65Barra nervurada
0,100,160,120,240,19Cordão
0,120,180,140,250,17Fio trefilado a frio
Bainha de HDPE/
lubrificada
Bainha de aço/
lubrificada
Bainha de HDPE/ não lubrificada
Bainha de aço/ não lubrificada
Armaduras exteriores não aderentesArmaduras interiores 1)Coeficientes de atrito
μ para armaduras interiores pós-
tensionadas e para armaduras exteriores
não aderentes
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17 – Pré-Esforço – Perdas
Perdas Por Reentrada das CunhasNo caso de cabos com traçado parabólico, a perda por atrito épraticamente constante ao longo do cabo:
( )l
klPlP l +
≈Δ βμμ 0
A reentrada das cunhas, no instante da aplicação do pré-esforço, corresponde a uma diminuição do alongamento do cabo de cerca de Dl ≈6mm
c é o comprimento do troço de cabo
afectado pela reentrada das
cunhas
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17 – Pré-Esforço – Perdas
Perdas Por Reentrada das Cunhas (continuação)
Perdas na origem (x=0)
clP
xPslμΔ
==Δ 2)0(
Perdas na secção x ≤ c
( )xclP
xPsl −Δ
=Δ μ2)(
dxlc
∫ Δ=Δ0
ε
( ) dxxcAEl
Pdx
AExPl
c
pp
c
pp
c ∫∫ −Δ
=Δ
=Δ00
12)( μ
21 cAEl
Pl
pp
μΔ=Δ
lP
AElc pp
μΔΔ
=
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17 – Pré-Esforço – Perdas
Perdas Por Deformação Instantânea do BetãoNuma viga com n cabos de pré-esforço, a deformação do betão aquando do pré-esforço do cabo i vai causar deformação da peça de betão e correspondente encurtamento nos cabos já pré-esforçados. A este encurtamento corresponderá uma perda de pré-esforço que pode ser estimada, de forma aproximada pela seguinte expressão:
PcPcm
Pel A
tEE
nnP σ
)(21−
=Δ
Em que:n número de cabos de pré-esforçoEP Valor de cálculo do módulo de elasticidade do aço de
pré-esforçoEcm Módulo de elasticidade secante do betãoscP tensão no betão, ao nível dos cabos de pré-esforço, devido à
aplicação do pré-esforçoAp área total de aço de pré-esforço
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17 – Pré-Esforço – Perdas
Perdas Por Deformação Instantânea do Betão (continuação)
( )iTotal PnnP Δ
−=Δ
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Perda de pré-esforço num cabo devido àaplicação do pré-esforço no cabo i
nA
nEEP PcP
cm
Pi
σ=Δ PcP
cm
PTotal A
tEE
nnP σ
)(21−
=Δ
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17 – Pré-Esforço – PerdasPerdas Diferidas
As perdas diferidas podem ser calculadas considerando as duas causas seguintes de redução da tensão:
• redução da extensão, provocada pela deformação do betão sob acções permanentes devida à fluência e à retracção;
• redução de tensão no aço devida à relaxação.De forma simplificada podemos avaliar as perdas diferidas na secção x sob acções permanentes utilizando a seguinte expressão:
)]t,t(8,01[)zΙA1(
AA
EE
1
,).t,t(EE
σ8,0EεAσAP
02
0
,
ϕ
σϕ
+++
+Δ+=Δ=Δ ++++
cpc
c
c
p
cm
p
QPccm
pprpcs
prscpprsc
A expressão anterior aplica-se a armaduras aderentes considerando os valores locais das tensões e a armaduras não aderentes considerando os valores médios das tensões. Os valores médios devem ser calculados entre secções rectas definidas pelos pontos teóricos de inflexão das armaduras no caso de pré-esforço exterior ou calculados ao longo de todo o comprimento das armaduras no caso de pré-esforço interior.
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17 – Pré-Esforço – Perdas
Perdas DiferidasEm que:Δσp,c+s+r valor absoluto da variação de tensão nas armaduras devida à fluência, à
retracção e à relaxação na secção x, no instante t
εcs extensão estimada de retracção, em valor absoluto
Ep módulo de elasticidade do aço de pré-esforço Ecm Módulo de elasticidade do betão
Δσpr valor absoluto da variação de tensão nas armaduras na secção x, no instante t, devida à relaxação do aço de pré-esforço. É determinado para uma tensão σp = σp(G+Pm0+ ψ2Q) em que σp = σp(G+Pm0+ ψ2Q) é a tensão inicial nas armaduras devida ao pré-esforço inicial e às acções quase-permanentes
ϕ(t,t0) coeficiente de fluência no instante t para uma aplicação das cargas no instante t0
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17 – Pré-Esforço – Perdas
Perdas Diferidas
Em que (continuação):σc,QP tensão no betão ao nível das armaduras, devida ao peso próprio e ao pré-
esforço inicial e, sempre que for relevante, a outras acções quase-permanentes. O valor de σc,QP pode resultar de parte do peso próprio e do pré-esforço inicial ou da combinação de acções quase-permanente considerada na sua totalidade (sc(G+Pm0+y2Q)), consoante a fase de construção considerada
Ap área de todas as armaduras de pré-esforço na secção x
Ac área da secção transversal de betãoΙc momento de inércia da secção de betão
zcp distância entre o centro de gravidade da secção de betão e as armaduras de pré-esforço
As tensões de compressão e as correspondentes extensões indicadas na expressão anterior devem ser consideradas com sinalpositivo.
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17 – Pré-Esforço – Perdas
Perdas Diferidas
Cálculo da extensão de retracção
A extensão total de retracção é constituída por duas componentes, a extensão de retracção de secagem e a extensão de retracção autogénea. A extensão de retracção por secagem evolui lentamente, uma vez que é função da migração da água através do betão endurecido. A extensão de retracção autogénea desenvolve-se durante o endurecimento do betão. Desenvolve-se, portanto, na sua maior parte nos primeiros dias após a betonagem. A retracção autogénea éuma função linear da resistência do betão. Deve ser considerada de modo específico quando se coloca betão novo sobre betão endurecido. Assim, o valor da extensão total de retracção εcs é igual a:
εcs = εcd + εca
Em que:εcs extensão total de retracção
εcd extensão de retracção por secagem
εca extensão de retracção autogénea
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17 – Pré-Esforço – Perdas
Perdas Diferidas
Cálculo da extensão de retracção por secagem
O valor final da extensão de retracção por secagem, εcd,∞, é igual a kh⋅εcd,0.
O valor para εcd,0 pode ser obtido no Quadro 3.2 do EC2:
Quadro 3.2 - Valores nominais da retracção livre por secagem εcd,0 (em 0/00) para o betão com cimentos CEM da Classe N
0,000,070,130,210,250,2790/105
0,000,080,150,240,280,3080/95
0,000,100,190,300,360,3860/75
0,000,130,240,380,460,4840/50
0,000,170,300,490,580,6220/25
1009080604020
Humidade Relativa (em 0/0)fck/fck,cube(MPa)
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17 – Pré-Esforço – Perdas
Perdas Diferidas
Cálculo da extensão de retracção por secagem
Kh é um coeficiente que depende da espessura equivalente, h0, de acordo com o Quadro 3.3 do EC2:
Quadro 3.3 - Valores de kh
1,00,850,750,70
100200300≥ 500
khh0
h0 é a espessura equivalente (mm) da secção transversal = 2Ac/u
em que: Ac área da secção transversal do betãou perímetro da parte da secção transversal exposta à secagem
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17 – Pré-Esforço – Perdas
Perdas Diferidas
Cálculo da extensão de retracção autogénea
A extensão de retracção autogénea é dada por:
εca (t) = βas(t) εca(∞)
Em que:εca(∞) = 2,5 (fck – 10) 10-6
e
βas(t) =1 – exp (– 0,2t 0,5)
em que t é expresso em dias.Para t=∞ considerar cerca de 20 800 dias( 500 000 horas)
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17 – Pré-Esforço – Perdas
Perdas Diferidas
Coeficiente de fluência
O coeficiente de fluência, ϕ(t,t0), pode ser obtido através da figura 3.1 do EC2, desde que o betão não esteja submetido a uma tensão de compressão superior a 0,45 fck (t0) na idade t0, idade do betão àdata do primeiro carregamento.
01,02,03,04,05,06,07,0100
50
30
1
2
3
5
10
20
t 0
ϕ (∞, t 0)
SN R
100 300 500 700 900 1100 1300 1500
C20/25C25/30C30/37C35/45C40/50C45/55C50/60 C55/67C60/75 C70/85
C90/105C80/95
h 0 (mm)
01,02,03,04,05,06,0100
50
30
1
23
5
10
20
t 0
ϕ (∞, t 0)
SN R
100 300 500 700 900 1100 1300 1500h 0 (mm)
C20/25C25/30C30/37C35/45
C55/67C70/85C90/105C80/95
C45/55C40/50
C60/75C50/60
ambiente exterior - RH = 80%
ambiente interior - RH = 50%
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Perdas Diferidas
Coeficiente de fluência
Quando a tensão de compressão do betão na idade t0 excede o valor 0,45 fck(t0), deve considerar-se a não linearidade da fluência. Uma tensão tão elevada pode ocorrer em resultado de pré-tensão, por exemplo, ao nível dos cabos nos elementos de betão pré-fabricado. Neste caso, o coeficiente teórico de fluência não linear deve ser obtido por:
ϕk(∞, t0) = ϕ (∞, t0) exp (1,5 (kσ – 0,45))
Em que:ϕk(∞, t0) coeficiente teórico de fluência não linear, que substitui ϕ (∞, t0)
ks razão tensões-resistências σc/fcm(t0), em que σc é a tensão de compressão e fcm(t0) é a resistência média à compressão do betão à data do carregamento.
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17 – Pré-Esforço – Perdas
Perdas Diferidas
Relaxação
No EC2, definem-se três classes de relaxação:
Classe 1: fios ou cordões – relaxação normal -ρ1000 = 8%Classe 2: fios ou cordões – baixa relaxação - ρ1000 = 2.5%Classe 3: barras laminadas a quente e com tratamento complementar - ρ1000 = 4%
ρ1000, é a perda devida à relaxação (em %) às 1000 horas depois da aplicação de pré-esforço e a uma temperatura média de 20°C. O valor de ρ1000 é expresso em percentagem da tensão inicial e é obtido para uma tensão inicial igual a 0,7fpk.
Os valores a longo prazo (finais) das perdas devidas à relaxação podem ser estimados para um tempo t igual a 500 000 horas (ou seja, cerca de 57 anos).
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17 – Pré-Esforço – Perdas
Perdas Diferidas - Relaxação
Em queΔσpr valor absoluto das perdas de pré-esforço devidas à relaxaçãoσpi Para a pós-tensão, σpi é o valor absoluto da tensão inicial de pré-esforço σpi = σpm0
Para a pré-tensão, σpi é a tensão de tracção máxima aplicada nos cabos deduzidas as perdas instantâneas que ocorrem durante as operações de pré-esforço
t tempo depois da aplicação de pré-esforço (em horas)μ = σpi /fpk, em que fpk é o valor característico da resistência à tracção do aço de pré-
esforçoρ1000 valor da perda devida à relaxação (em %), às 1000 horas depois da aplicação de
pré-esforço e a uma temperatura média de 20°C.
Classe 1μ
μσ tρσ
0,75 ( 1 )pr 6,7 5
1000pi
Δ5,39 e 10
1000
−−⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Classe 2μ
μσ tρσ
0,75 ( 1 )pr 9,1 5
1000pi
Δ0,66 e 10
1000
−−⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Classe 3μ
μσ tρσ
0,75 ( 1 )pr 8 5
1000pi
Δ1,98 e 10
1000
−−⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠