Precorso di Matematica Maria Margherita Obertino

Università degli Studi di Torino – Di.S.A.F.A.

MATEMATICA – CdS Scienze e Tecnologie Agrarie e Scienze Forestali ed Ambientali

!  Divisione tra polinomi (§ 2.2 del testo)

!  La regola di Ruffini (§ 2.3 del testo)

!  I prodotti notevoli (§ 2.3 del testo)

!  Scomposizione dei polinomi in fattori primi (§ 2.4 del testo)

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Divisione tra due polinomi Dati due polinomi nella stessa lettera P(x) e D(x) di gradi n ed m,

se n≥m esistono e sono univocamente determinati

!  un polinimio q(x) di gradi n-m

!  un polinomio r(x) di grado t<m

tali che

P(x) = q(x)D(x) + r(x)

Dividendo Divisore Quoziente

Resto

Se r(x) = 0 " P(x) è divisibile per D(x) e la divisione si dice esatta

Risolvere la divisione P(x):D(x) equivale a trovare I polinomi q(x) e r(x)

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Divisione tra due polinomi: procedimento P(x) : D(x)

1.  Si ordinano i due polinomi P e D secondo le potenze decrescenti

di una lettera, indicando con 0 ogni grado mancante in P

2.  Si divide il termine di grado massimo di P per il termine di grado

massimo D, ottenendo il primo termine del quoziente

3.  Si moltiplica il divisore D per il primo termine del quoziente e si

sottrae quanto ottenuto dal dividendo " primo resto parziale

4.  Se il grado del resto parziale è maggiore o uguale a quello del

divisore D si continua la divisione assumendo come dividendo il

resto parziale

5.  …

Esempi: (3x4 −10x3 − 5x2 +11x +10) : (3x + 2)

(14a2 + 6a3 − 7) : (2a2 + 4a− 5)

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Divisione di un polinomio per un binomio di primo grado

P(x) : D(x) con D(x) = (x + a)

Teorema di Ruffini

Condizione necessaria e sufficiente affinchè un polinomio P(X) sia

divisibile per un binomio del tipo x+a è che si annulli per x= -a

P(x) = q(x) (x+a) ⇒ P(-a)=0 <

Dalla dimostrazione deriva un secondo metodo per la divisione di un polinimio per un binomio di primo grado. Esempi: (5x3 −3x +1) : (x − 2)

(2bx3 − 7b2x2 +3b3x − b4 ) : (x + b)

(x3 +8x2 + 6x − 4) : (2x +3)

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Prodotti notevoli

Somma per differenza: (A+B)(A-B) = A2-B2

Quadrato di un binomio: (A+B)2 = A2+2AB+B2

Quadrato di un trinomio: (A+B+C)2 = A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC

Cubo di un binomio: (A+B)3 = A3+3A2B+3AB2+B3

(A-B)3 = A3-3A2B+3AB2-B3

Alcuni tipi di moltiplicazioni tra polinomi (prodotti notevoli) si possono effettuare in modo rapido, ricordando semplici regole

(A+B)(A-B)=A2 – AB + BA - B2 = A2-B2

Esempio:

(A+B)2 = (A+B)(A+B)= A2 + AB + BA + B2 = A2 + 2AB + B2

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Potenza di un binomio: (A+B)n

(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3

!  Polinomio omogeneo di terzo grado !  Le potenze del primo termine (A) decrescono da 3 a 0 !  Le potenze del secondo termine (B) crescono da 0 a 3

Osserviamo:

Generalizzando: ∀n ∈ N!  lo sviluppo di (A+B)n contiene sempre n+1 termini !  i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli

estremi sono uguali !  in ogni termine dello sviluppo gli esponenti del primo termine A

decrescono da An ad A0=1 e gli esponenti del secondo termine B crescono da B0=1 a Bn

!  i coefficienti possono essere disposti secondo uno schema detto Triangolo di Tartaglia

(A+B)n = An+..An-1B + ……. + ..ABn-1+Bn

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Coefficienti dello sviluppo di (A+B)n

!  Triangolo di Tartaglia

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

+

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

!  ogni riga inizia e termina con 1 !  ogni altro numero si ottiene sommando quelli sovrastanti della

riga precedente

(A+B)0 = 1

(A+B)1 = 1A +1B

(A+B)2 = 1A2 + 2AB +1B2

(A+B)3 = 1A3 + 3A2B + 3AB2 + 1B3

(A+B)4 =

(A+B)5 =

……

1A4 + 4A3B + 6A2B2 + 4AB3 +1B4

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Quadrato di un polinomio (A+B+C+…)2

Generalizzazione di:

" Quadrato di un trinomio: (A+B+C)2 = A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC

(A+B+C)2 = (A+B+C) (A+B+C) = = A2+AB+AC+AB+B2+BC+AC+BC+C2 = = A2 + B2 + C2 +2AB + 2AC + 2BC

Il quadrato di un polinomio di un numero qualsiasi di termini è un polinomio avente per termini: •  il quadrato di tutti i termini •  il doppio prodotto (con il relativo segno) di ciascun termine

per tutti quelli che lo seguono

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Scomposizione di un polinomio in fattori primi

Come un numero può essere scritto come il prodotto di potenze di numeri primi (numeri naturali divisibili solo per 1 e per se stessi):

12 = 3 22

180 = 5 22 32

così un polinomio può essere scritto come prodotto di polinomi non ulteriormente divisibili (fattori primi):

A2-B2 = (A+B)(A-B)

La scomposizione in fattori primi è un’operazione che in algebra ha molta importanza in quanto consente di !  determinare M.C.D. e m.c.m. di polinomi !  semplificare frazioni algebriche !  risolvere equazioni/disequazioni polinomiali e fratte !  …

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Raccoglimento a fattore comune Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all�addizione:

A(B+C) = AB+AC

Viceversa

AB+AC = A(B+C)

Quindi, se i termini di un polinomio sono tutti divisibili per uno stesso fattore [A], quest�ultimo può essere messo in evidenza scrivendolo fuori da una parentesi; all�interno della parentesi andrà scritto un nuovo polinomio ottenuto dal precedente dividendo ogni suo termine per il fattore in questione [A]

9a2 − 6ab+3ac = 3a 9a2

3a−6ab3a

+3ac3a

"

#$

%

&'= 3a(3a− 2b+ c)

Raccoglimento a fattore parziale:

ax + bx + ay+ by = x(a+ b)+ y(a+ b)= (a+ b)(x + y)

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Scomposizione mediante i prodotti notevoli

Binomi "

•differenza di quadratia2 − b2 = a− b( ) ⋅ a+ b( )•differenza di cubi

a3-b3 = a− b( ) ⋅ a2 + a ⋅b+ b2( )•somma di cubi

a3 + b3 = a+ b( ) ⋅ a2 − a ⋅b+ b2( )

Trinomi "

•quadrato di binomio

a2 ± 2ab+ b2 = a± b( )2

•trinomio notevolex2 + a+ b( ) ⋅ x + ab = x + a( ) ⋅ x+ b( )

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Scomposizione mediante i prodotti notevoli (II)

Quadrinomi "

•cubo di binomio

a3 ±3a2b+3ab2 ± b3 = a± b( )3

•raccoglimento a fattor comune parzialeax + bx + ay+ by = x ⋅ a+ b( )+ y ⋅ a+ b( ) == a+ b( ) ⋅ x + y( )

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3a− 2b( )4

7xy− 2x( ) −7xy− 2x( )

R. 81a4 − 216a3b+ 216a2b− 96ab3 +16b4"# $%

R. 4x2 − 49x2y2"# $%

5x3y−10x2y2 + 5x2y R. 5x2y(x − 2y+1)"# $%

Esercizi Prodotti notevoli:

Scomposizione in fattori primi:

2ax + 2bx +3a+3b+ a2 + ab R. (a+ b)(2x +3+ a)[ ]

a(x + y)+ ab(x + y)2 R. a(x + y)(1+ bx + by)[ ]

1+ x( )2 − (1− x)2 + 4x R. 8x[ ]

(2+ a− b)(2− a+ b)+ (a− b)2 R. 4[ ]x2 + 2x −3 R. (x +3)(x −1)[ ]