Precorso Matematica

CAPITOLO 0INSIEMI

Teoria in sintesi:

Il concetto di insieme in genere è assunto come primitivo, suoi sinonimi sono aggregato,collezione…; un insieme è definito assegnandone i suoi elementi.

Un insieme viene indicato con una lettera maiuscola e:� mediante parentesi graffe, specificandone gli elementi o alcuni di essi

es: A = � �dcba ,,, , N = � �,...,...,2,1,0 n� mediante parentesi graffe, con la proprietà caratteristica degli elementi dell’insieme

es: P = � �Nnn �:2 (è l’insieme dei numeri pari)� mediante diagrammi in cui si elencano gli elementi o alcuni di essi

es:

Per indicare che l’elemento a appartiene all’insieme A scriviamo: a�A,per indicare che l’elemento e non appartiene all’insieme A scriviamo e� A.

Definizione: si dice che B è sottoinsieme di A se per qualunque x�B è anche x�A.Per indicare che B è sottoinsieme di A , cioè che B è contenuto in A, scriviamo B�A oppure A�B.

Definizione: due insiemi si dicono uguali se contengono gli stessi elementi.

Quindi è A = B se A� B e B�A.

Il simbolo � è usato per indicare l’insieme vuoto, cioè un insieme privo di elementi.Operazioni insiemistiche fondamentali:

� unione: A�B è l’insieme costituito dagli elementi appartenenti ad A o a B;in simboli: A�B = � �BxoppureAxx ��: .

� intersezione: A�B è l’insieme costituito dagli elementi appartenenti ad A e a B;in simboli: A�B = � �BxeAxx ��: .

� differenza di A e b e si scrive A\B l’insieme degli x che appartengono ad A e nonappartengono a B, in simboli: A\B = � �BxeAxx ��: .

Definizione: due insiemi che non hanno elementi in comune, cioè tali che A�B = �, si diconodisgiunti.

Definizione: Se un insieme B è sottoinsieme di un insieme A gli elementi che appartengono ad Ama non a B costituiscono un insieme detto complementare di B rispetto ad A.

Quando è ben chiaro l’insieme (detto insieme universo) in cui è contenuto l’insieme B, il

complementare di B si indica di solito soprassegnando il nome dell’insieme es: ___B .

ESERCIZI1. Siano A e B due insiemi disgiunti, A contiene 8 elementi e B 5. Quanti elementi ha A�B ?

[13]

2. Siano A e B due insiemi non disgiunti, A contiene 8 elementi e B 5. Quanti elementi ha A�B ?[non si può dire ]

3. Siano A e B due insiemi non disgiunti, A contiene 8 elementi e B 5, ma 3 elementi appartengono ad entrambigli insiemi. Quanti elementi ha A�B. ? [10]

4. Siano A e B due insiemi, A contiene 8 elementi e B 5, ma B è sottoinsieme di A . Quanti elementi ha A�B ?[8]

5. Si può scrivere che: numero elementi di A�B = numero elementi da A + numero elementi di B – numeroelementi di A�B.? [si]

6. Da un’indagine fatta nelle scuole italiane si ha che il 30% degli studenti amano la matematica , il 40% deglistudenti amano la fisica, il 15% degli studenti amano entrambe.Quanti studenti non amano nessuna delle duematerie?

[Il problema può essere schematizzato dal seguente diagramma:

Infatti nel 30% degli studenti che amano la matematica e nel 40% degli studenti che amano la fisica ècompreso anche il 15% degli studenti che amano entrambe.Gli studenti che amano solo la matematica sono dati da M \ F.Quelli che amano solo la fisica da F \ M.Quelli che amano entrambe da M � F.Quelli che amano o la matematica o la fisica (cioè almeno una delle due) da M � F.

Quelli che non amano nessuna di esse dal complementare di M � F che si indica con ___________

FM � e sono il45%. ]

7. Col diagramma seguente si rappresentano 30 persone di cui 10 giocano solo a tennis, 3 solo a pallavolo, 2 soloa pallacanestro, 1 sia a pallavolo che a tennis, 3 sia a pallavolo che a pallacanestro.

Indicare le persone che non fanno nessuno di questi sport [insieme complementare]

Le persone che fanno almeno uno sport [insieme unione]

Le persone che fanno almeno 2 sport

Le persone che giocano a tennis

8. In una officina di riparazioni auto c’è la seguente tabella di lavori da eseguire:Auto in garage Auto ancora da riparare

94 70Si hanno inoltre le seguenti informazioni:22 auto devono riparare solamente i freni;23 auto devono riparare freni trasmissione ed impianto elettrico;25 auto hanno almeno freni e trasmissione guasti;28 auto hanno almeno freni ed impianto elettrico guasti;10 auto hanno i freni a posto, ma né impianto elettrico né trasmissione funzionanti;il numero delle auto che devono riparare solo l’impianto elettrico è uguale al numero di auto che devono riparare solo la trasmissione.Quante auto devono riparare solo i freni?Quante devono riparare i freni?Quante almeno i freni e la trasmissione?Quante freni e trasmissione ma non impianto elettrico?Quante non hanno guasti?Quante non hanno guasti i freni?

Il problema è schematizzato dalla figura seguente:

Quante auto devono riparare solo i freni? F \ F�T \ F�E=F \ T \ E

Quante devono riparare i freni? F

Quante almeno i freni e la trasmissione? F�T

Quante solo i freni e la trasmissione? F�T \ F�T�E= F�T \ E

Quante freni e trasmissione e, impianto elettrico? F�T�E

Quante non hanno guasti? _______________

ETF ��

Quante non hanno guasti i freni___F

9. Sia A =� �2dimultipli e B = � �4dimultipli e C = � �8dimultipliDa quali elementi sono formati i seguenti insiemi?A�B�C [A]A�B�C [C](A�B)�C [C](A�B)�C [B]

10. Quanti elementi ha l’insieme �? E l’insieme ��?

ELEMENTI DI LOGICAPREMESSAQuesta parte non è strettamente necessaria come prerequisito matematico, tuttavia è indispensabileche uno studente distingua chiaramente ipotesi, tesi, condizione necessaria, e/o sufficiente, ilragionamento per contraddizione eccetera. Ne consigliamo comunque la lettura, con particolareattenzione agli esempi. Le tabelle di verità sono utili per la comprensione delle parti seguenti, manon è indispensabile saperle costruire.

Teoria in sintesi:

La logica si occupa di come impostare ragionamenti corretti, cioè di come dedurre correttamente dapremesse ritenute vere conseguenze coerenti.

Potremmo definirla in senso lato come la scienza che studia le procedure necessarie perché ladeduzione sia rigorosa, corretta ed efficace, codificando le regole e le leggi per dedurre in modorigoroso.

Problema: gli abitanti di un’isola sono esclusivamente di due tipi: cavalieri che dicono sempre laverità e furfanti che mentono sempreTre abitanti di quest’isola, A B e C stavano assieme in un giardino: Passò un forestiero e chiese adA :”lei è un furfante o un cavaliere?”A rispose qualcosa che il forestiero non riuscì a capire. Allora questi chiese a B “che cosa hadetto?” B rispose: “ha detto che è un furfante”A questo punto C disse: non creda a B, egli sta mentendo”.Cosa sono A B e C?

(sia un cavaliere che un furfante non diranno mai “io sono un furfante” così che B ha mentito, maallora C ha detto la verità, quindi è un cavaliere, mentre è impossibile sapere cosa sia A)

Raymond Smullyan, Qual è il titolo di questo libro? Zanichelli

Introduciamo ora il vocabolario essenziale per una corretta interpretazione logica di enunciati edimostrazioni.Definizione: linguaggio è l’insieme delle parole che hanno senso compiuto costruite a partire dallelettere dell’alfabeto.

Un linguaggio matematico utilizza un alfabeto particolare costituito da:� simboli di costanti o di variabili individuali: a,b,c,…x,y,z,… (nomi)� simboli di variabili o costanti enunciative: A, B,… (proposizioni)� simboli di relazione P(.) Q(.)… (predicati)� simboli logici: �,�,,,� (connettivi logici)

�, (quantificatori)� simboli ausiliari: simboli di punteggiatura, parentesi, operatori matematici…

Definizione: proposizione è un’espressione linguistica per la quale ha senso stabilire se è veraoppure falsa (a prescindere dal fatto che si sappia quale delle due circostanze si verifica).

Vi sono poi alcuni operatori, detti connettivi logici, che trasformano una o più proposizioni in altre.

Definizione: connettivo è un particolare elemento linguistico che collega due proposizioni.A ciascuno di essi corrisponde una operazione elementare.

Quando si considerano più proposizioni simultaneamente può essere utile scrivere una tabella diverità, cioè una tabella in cui nelle colonne compaiono le diverse proposizioni e nelle righe vero ofalso.

I principali connettivi logici sono:� il connettivo � indica la negazione.

La proposizione �A indica la negazione dell’enunciato A ed è vera solo se A è falsa, cioè lasua tabella di verità è:

A �AV FF V

Questo connettivo si legge “non” , anche se nel linguaggio naturale l’uso del non è talvoltadiverso: per es “non ho visto nulla “ non equivale a “ho visto qualcosa” come stabilirebbeinvece la tabella vista; “non desidero partire” non è la negazione di “desidero partire”, masignifica “desidero non partire”.Talvolta il connettivo non invece che col simbolo � si indica soprassegnando laproposizione che si vuole negare, come se indicassimo l’insieme complementare.

� il connettivo � che indica la congiunzione.La proposizione A�B indica la congiunzione degli enunciati A e B ed è vera solo se lo sonosia A che B.

A B A�BV V VV F FF V FF F F

Questo connettivo si legge “e” anche se non sempre nel linguaggio naturale la congiunzione“e” ha lo stesso significato: per es dire che la maglia dell’inter è nera e azzurra non significacha la maglia dell’inter è nera e la maglia dell’inter è azzurra.

� Il connettivo � indica la disgiunzione.La proposizione AB indica la disgiunzione degli enunciati A e B ed è vera se lo è almenoA oppure B.

A B A�BV V VV F VF V VF F F

Questo connettivo si legge “o” , un o non esclusivo, nel senso che non è esclusa lapossibilità che entrambe le proposizioni siano vere come ad esempio: “oggi scrivo o dormo”significa che posso fare o l’una o l’altra o entrambe le cose, la proposizione è falsa solo nelcaso in cui non ne faccia nessuna delle due, cioè nel caso in cui “scrivo” “dormo” sianoentrambe false.

Un esempio di o esclusivo è invece: se lancio una moneta esce testa o croce, in questo casosi può avere o il primo evento o il secondo, ma non entrambi contemporaneamente, laproposizione è falsa sia nel caso in cui sia vero “esce testa” “esce croce”, sia nel caso in cuientrambe siano false.

� Il connettivo � indica l’ implicazione.La proposizione A�B traduce la forma se…allora…la sua tabella di verità è:

A B A�BV V VV F FF V VF F V

Osserviamo in questo caso che la proposizione risulta falsa solo nel caso in cui da premessavera si ottiene una conseguenza falsa, cioè se la premessa è vera necessariamente anche laconseguenza deve essere vera, mentre se la premessa è falsa la conseguenza può essereindifferentemente vera o falsa; ad esempio la proposizione “chi beve birra campa cent’anni”è falsa solo nel caso in cui essendo vera la premessa “bevo birra” è falsa la conseguenza“campo cent’anni”.

� Il connettivo � indica la doppia implicazione.La proposizione A��B traduce la forma se e solo se, la sua tabella di verità è:

A B A�BV V VV F FF V FF F V

Come nell’algebra elementare, useremo le parentesi per indicare l’ordine in cui si compiono le varieoperazioni, conveniamo comunque che l’operatore � abbia la precedenza su tutti gli altri.

ESERCIZI1. Dire quali delle seguenti sono delle proposizioni

a. Roma è la capitale d’Italiab. Questo libro è belloc. Chiudi la finestrad. Dante ha scritto l’Eneidee. La miliardesima cifra di � è 5f. Domani pioveràg. Sono sicuro che pioveh. Tizio sa che piovei. 2+(=j. 2+( = 0

[sono proposizioni la a,d,e,j]

2. Con quali connettivi posso esprimere le seguenti proposizioni?a. Mario non gioca a calciob. Mario gioca a calcio e a basketc. Mario gioca a calcio o a basketd. In questo momento Mario gioca a calcio o a baskete. Il computer è acceso o spento

[a: �, b:�, c:, d: è un o esclusivo se C corrisponde a “Mario gioca a calcio” e B a“Mario gioca a basket, si ha: (C��B)(�C�B), e: anche questo è un o esclusivo,

quindi…]

3. In che casi sono false le seguenti implicazioni?a. Se la cartina di tornasole è rossa allora la sostanza è acidab. Quando avrai imparato a cucinare verrò a cenac. Se sei saggio ridid. Il cane abbaia se sente rumoree. Se la benzina finisce la macchina si fermaf. Se n è divisibile per 9 allora lo è anche per 3g. Se Mario è un violinista allora gli asini volano

[ricordiamo che l’implicazione logica è falsa solo nel caso in cui da una premessa vera siottiene una conseguenza falsa, quindi le proposizioni risultano false solo nei seguenticasi: a: la cartina di tornasole è rossa, la sostanza non è acidab: ho imparato a cucinare ma non sei venuto a cenac: sei saggio ma non ridi d: il cane sente rumore e non abbaiae: la benzina è finita e la macchina non si fermaf: n è divisibile per 9 ma non lo è per 3g: Mario è un violinista ma gli asini non volano

4. Dimostrare che la proposizione A�B equivale alla �AB[Infatti la a tabella di verità di �AB è:

A B �A �A�B V V F VV F F FF V V VF F V V

che coincide con quella di A�B. Osserviamo che la proposizione “se c’è il sole facciouna passeggiata” equivale infatti alla “o non c’è il sole oppure faccio una passeggiata”]

5. Nell’isola di Smullyan (dove ci sono i furfanti che mentono sempre e i cavalieri che diconosempre la verità) si svolge il seguente dialogo tra A e B: A: Siamo entrambi furfanti B: Io mi chiamo Giuseppe e tu Andrea Che cosa si può dedurre?

[che B è un cavaliere e che la sua frase è vera, infatti sia un cavaliere che un furfante nondiranno mai “io sono un furfante” così A ha mentito, quindi è un furfante, e ha mentito anche aproposito di B che è un cavaliere e che quindi ha detto la verità. Se lavoriamo con le tavole diverità si ha che:

A è uncavaliere

B è uncavaliere

Siamo entrambi furfanti formalizzata è:

Io mi chiamo Giuseppe etu Andrea

V V �A��B =F VV F �A�B = F FF V �(A��B) = V VF F �(�A��B)=F F

La riga che risolve l’es è quella colorata in rosso.]

6. Chiarire in ciascuna delle seguenti frasi il significato del connettivo “o”a. Nel prezzo è compresa la consumazione del formaggio o della fruttab. Se a è un numero intero non nullo o un numero positivo la potenza aa è definita

nell’insieme dei reali.c. Il prodotto a.b è nullo se e solo se a = 0 oppure b = 0[a: o esclusivo, b:o, c:o]

7. Un’ordinanza stabilisce che “se una persona parcheggia in via Milano allora viene multata”.In che caso l’ordinanza è falsa?[solo se A parcheggia e non viene multato, è vera se parcheggia e viene multato, ma anchese non parcheggia]

8. Angelo Bruno e Carlo sono tre studenti che hanno sostenuto un esame. Se A,B,Cformalizzano rispettivamente le proposizioni “Angelo ha superato l’esame”, “Bruno hasuperato l’esame”, “Carlo ha superato l’esame”, formalizzare le seguenti proposizioni:

a. solo Carlo ha superato l’esameb. solo Angelo non ha superato l’esamec. Almeno uno tra Angelo Bruno e Carlo ha superato l’esamed. Almeno due tra Angelo Bruno e Carlo hanno superato l’esamee. Al più due tra Angelo Bruno e Carlo hanno superato l’esamef. Esattamente due tra Angelo Bruno e Carlo hanno superato l’esame

[a. C��A��Bb. C�B��Ac. ABCd. (A�B)(A�C)(B�C)e. �A�B�C = �(A�B�C)f. (A�B��C)(A�C��B)(B�C��A)]

9. Angelo Bruno e Carlo sono gli unici tre membri di una commissione che vota una proposta.Se A,B,C formalizzano rispettivamente le proposizioni “Angelo ha votato a favore”, “Brunoha votato a favore”, “Carlo ha votato a favore”, formalizzare le seguenti proposizioni:

a. La votazione è stata unanimeb. La proposta è passata a maggioranzac. La proposta ha avuto un numero dispari di voti favorevolid. La proposta è stata respinta, ma non all’unanimitàe. La proposta è stata respinta col voto contrario di Bruno

[a. C�A�Bb. (A�B)(A�C)(B�C) (in questo è inclusa anche l’unanimità)c. (A�B�C)(A��B��C)(�A ��B�C)(�AB�C)d. �B�(�A�C)]

10. Due amici A e B sono seduti nel salotto di A. B domanda: ”quanti anni hanno i tuoi trefigli?”A: “il prodotto delle età è 36” (1)B: “non mi basta”A: “la somma delle età è il numero civico della casa di fronteB esce, guarda il numero, rientra e dice: “non mi basta ancora” (2)A: “Il maggiore ha gli occhi azzurri” (3)B: “ora so le loro età”

Quali sono?[ Le età sono 9,2,2dalla prima informazione si ha che le età possibili sono1 1 36 somma=381 2 18 211 3 12 161 4 9 141 6 6 13 *2 2 9 13 *2 3 6 113 3 4 10dall’informazione 2 si ha che l’unica soluzione ambigua è (*), visto che il numero che da lasomma delle età non è ancora sufficientedall’informazione 3 se vi è un maggiore la soluzione è 2,2,9]

11. Dimostrare che ��P = P.

12. Dimostrare che �(PQ) non è equivalente a (�P)(�Q)[infatti �(PQ) è equivalente a (�P)� (�Q)]

Teoria in sintesi:

Un ragionamento si presenta come una sequenza finita di proposizioni. L’ultima proposizione di unragionamento detta conclusione è preceduta solitamente da quindi (o espressioni analoghe), le altreproposizioni sono le premesse. L’ordine in cui si presentano le premesse è inessenziale.Un ragionamento si distingue da una generica sequenza di proposizioni perché si propone diricondurre la verità della conclusione a quella delle premesse.Un ragionamento è corretto quando la conclusione è conseguenza logica dell’insieme dellepremesse, ossia quando non può succedere che le premesse siano tutte vere e la conclusione falsa.

Tutti sono disposti a ritenere corretto il seguente ragionamento:

2 è pari o 3 è pari3 non è pari_____________ (separiamo con una linea le premesse dalla conseguenza)2 è pari

Esistono tipi di implicazione che rivestono notevole importanza nell’ambito delle deduzioni

Se chiamiamo A�B implicazione direttaallora è: B�A implicazione inversa

�A��B implicazione contraria�B��A implicazione contronominale

Proposizione: l’implicazione diretta e la contronominale assumono gli stessi valori di verità.Infatti dalla tavola di verità si ha che:

A B A�B �B��A V V V V

V F F FF V V VF F V V

Questa è una proprietà fondamentale: A�B equivale a �B��A e non è altro che uno dei principidella dimostrazione per assurdo: provare che dall’ipotesi segue la tesi è lo stesso che provare chenegando la tesi si ottiene che pure l’ipotesi è falsa.Se dalla verità di una proposizione A si deduce la verità di una proposizione B si dice chel’implicazione A�B è dimostrata.A tale proposizione (A�B) si dà il nome di teorema, e in particolare A prende il nome di ipotesi, Bdi tesi.La dimostrazione è l’insieme di passaggi logici che dall’ipotesi porta alla tesi.

Un teorema, essendo una proposizione, può essere vero o falso:partendo da ipotesi A vera il teorema è:è vero quando A (ipotesi) e B (tesi) sono vere,è falso quando A (ipotesi) è vera e B (tesi) è falsa.Le proprietà che si utilizzano nella dimostrazione di un teorema possono essere state assunte comevere (assiomi) oppure possono essere state precedentemente dimostrate.

Esempio: Teorema: se non mi fermo a prendere il caffè e il treno arriva puntuale allora giungo al lavoro inorario.Il treno arriva puntuale e non giungo al lavoro in orario, quindi mi sono fermato a prendere il caffè.Le proposizioni contenute sono: C: prendo il caffèT: il treno arriva puntualeO: arrivo in orario al lavoroNella prima parte del teorema c’è la premessa, che costituisce l’assioma da cui partire: se non mifermo a prendere il caffè e il treno arriva puntuale allora giungo al lavoro in orario, �C�T�O.L’enunciato del teorema è: il treno arriva puntuale e non giungo al lavoro in orario, quindi mi sonofermato a prendere il caffè, T��O�C.L’ipotesi è T��O .La tesi C.Separando la tesi posso scrivere anche:�C�T�OT��O _________C

Definizione: si chiama lemma un teorema il cui scopo è quello di facilitare la dimostrazione di altriteoremi più importanti

Definizione: si chiama corollario un teorema che consegue direttamente dalla dimostrazione di unaltro teorema.

Considerato il teorema con ipotesi la proposizione A e tesi la proposizione B cioè:A�B,si dice che B è condizione necessaria per il verificarsi di A (si può dire anche A solo se B), mentresi dice che A è condizione sufficiente per il verificarsi di B (si può dire anche sa A allora B) .

Se poi vale:A��Bsi dice che B è condizione necessaria e sufficiente per il verificarsi di A (e anche A lo è per B).

Esempi: � C. S. perché un’equazione di secondo grado abbia radici reali è che a e c siano discordi.� C. S. perché x�3 è che x sia multiplo di 3.� C. N. perché un intero sia un quadrato è che la sua cifra delle unità appartenga all’insieme

� �9,6,5,4,1,0 .� C. N. S. perché un’equazione di secondo grado abbia radici reali distinte è che il

discriminante sia > 0

Osservazione: al posto di “se A allora B” si usano anche:se A,BB, se AA solo se BB supposto che AA è condizione sufficiente per BB è condizione necessaria per ASolo se B, allora A.

Osservazione: il bicondizionale “A se e solo se B” equivale a:se A allora B e se B allora Acondizione necessaria e sufficiente affinché A è B.

Osservazione: se A è condizione necessaria per B allora B è condizione sufficiente per A eviceversa.

Le condizioni necessarie vengono utilizzate come “test”.Le condizioni necessarie e sufficienti sono dette anche proprietà caratteristiche.Le condizioni sufficienti prendono anche il nome di “criteri”.

ESERCIZI

1. Formalizzare il seguente teorema: se esco allora compero il giornale; se non compero il giornalenon ho da leggere. Leggo quindi sono uscito. [ dette E: esco, G: compero il giornale, L: leggo gli assiomi che compaiono nella prima parte sono: E�G, �G��L il teorema è L�E. Separando la tesi dall’ipotesi posso anche scrivere: E�G �G��L L __________ E

Questo teorema è falso! Infatti da �G��L, passando alla contronominale, che è una proposizioneequivalente si ha: L�G (leggo, ho comperato il giornale) ma non L�E ].

2. Completare ciascuno degli schemi di ragionamento seguenti: a. P�Q

Q�R P

_______ ………

b. P�Q �Q

_______ ………

c. P�Q �P�Q

_______ ………

[a: R, b:�P (è la contronominale) c: Q (Q è sempre vera)

3. Considerati i due enunciati: a: la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 180°b: un triangolo con tre lati uguali è equilatero

in cosa differiscono? [a è un teorema e b una definizione]

Teoria in sintesi:

Se consideriamo proposizioni come: “tutti i numeri divisibili per 4 sono pari”, oppure “vi è unnumero pari primo”, in esse vengono utilizzati dei quantificatori: “vi è un” in questo caso si puòintendere come esiste ( ) e “tutti”come per ogni (�).Per formalizzare le proposizioni quantificate occorre introdurre delle lettere che stanno per individuigenerici; Introduciamo allora il concetto di predicato;Definizione: chiamiamo predicato ogni frase, contenente una o più variabili, che divieneproposizione quando viene specificato il valore delle variabili;esempio: “nel luogo x sta piovendo”.

Un predicato può essere trasformato in proposizione anche usando i quantificatori;

esempi: “sta piovendo in ogni luogo”: �x Px;“c’è un luogo dove sta piovendo” (nel senso che esiste un valore di x, almeno uno, ma nonnecessariamente uno solo, per cui Px è vera): x Px;se P = “essere numero primo” �x Px significa che ogni numero x è primo,mentre x Px significa che esiste un numero x che è primo;per ogni numero x, se x è divisibile per 4, allora x è pari, in simboli diventa:�x(Px�Qx) dove P indica essere divisibile per 4 e Q essere pari.

Notiamo che per negare una proposizione contenete quantificatori si ha:

� �(�x Px) equivale a “non è vero che Px è sempre vera” cioè “esiste almeno un x per cuiPx è falsa” cioè: x �Px

� �( x Px) equivale a “non è vero che esiste un x per cui Px è vera” cioè “non esistenessun x per cui Px è vera” cioè “per tutti gli x Px è falsa” cioè: �x �Px

ESERCIZI

1. Formalizzare le seguenti frasi:a. Vi è un numero pari primo;b. Tutti i numeri maggiori di 8 sono anche maggiori di 6;c. Per ogni numero ne esiste uno maggiore;d. Se due numeri hanno lo stesso successore allora sono uguali;e. Anche nel Sahara qualche volta piove;f. In ogni luogo c’è qualche giorno in cui piove; g. C’è un giorno in cui piove dappertutto;

[a: esiste un numero x tale che x è pari, x è primo : x(Px�Qx) b: tutti i numeri x se sono maggiori di 8 allora sono maggiori di 6:�x(Px�Qx) c: per ogni numero x esiste un numero y tale che y>x : �x y y>x d: per ogni numero x e per ogni numero y se sucessore di x=successore di y allora x=y: �x �y(S(x)=S(y)) �x=y e: esiste un giorno x in cui nel Sahara piove: x Px-Sahara f: per ogni luogo x esiste qualche giorno y in cui piove: �x y Pxy g: esiste un giorno y in cui in ogni luogo x piove: y �x Pxy

2. Che differenza c’è tra le scritture �x y (x+y=0) e x �y (x+y=0)? [�x y (x+y=0) significa che preso un qualsiasi x esiste un y tale che x+y=0; y dipende dalla scelta di x x �y (x+y=0) significa che esiste un x per ogni y, cioè x è lo stesso per tutti gli y è come dire per ogni uomo esiste un padre, oppure esiste un padre che è lo stesso per ogni uomo]

3. Se Pxy è “l’uomo x osserva la stella y” scrivere:a. �x Pxyb. �y x Pxyc. x �y Pxyd. y �x Pxye. �x y Pxy

[a : tutti gli uomini osservano la stella y b: per ogni stella esiste un uomo che la osserva c: esiste un uomo che osserva ogni stella d: esiste una stella osservata da tutti gli uomini ]

4. Se Px è “x è un cavallo” e Qx “x è bianco” scrivere �(�x Px�Qx) [ non tutti i cavalli sono bianchi, il che equivale a dire che esiste un cavallo che non è bianco, cioè: x (Px��Qx)].

5. Precisare che quantificatore è indicato con l’articolo “un” nelle seguenti frasi:a. un quadrato è anche un rombob. due rette si dicono sghembe se non giacciono su uno stesso pianoc. un numero reale positivo ammette sempre una radice quadrata

[a: �

b: non uno stesso piano c: �numero positivo la sua radice quadrata]

6. Stabilisci se le seguenti scritture sono equivalentia. x Ax � x Bx x (Ax �Bx)b. �x Ax �x Bx �x (Ax Bx)c. �x Ax � �x Bx �x (Ax �Bx)

[a: no basta per es A = pari B= dispari b: no basta per es A=pari B=primo c: si]

7. Stabilisci se il seguente ragionamento è corretto dopo averlo formalizzato: ip1: tutti amano chi ama qualcuno ip2: Alessandro non ama se stesso tesi: Alessandro non ama Bea [V, infatti se uno ama qualcuno è amato da tutti, anche da sé stesso…..]

CAPITOLO 1

DIVISIBILITA’

Teoria in sintesi

� Saper scomporre in fattori un polinomio è un’operazione utile in quelle stesse situazioni incui serve saper scomporre un numero: semplificare una frazione, sommare due frazioni,calcolare il MCD e mcm. Si tratta di frazioni algebriche anziché numeriche. Scomporre infattori vuol dire scrivere un’espressione (numerica o letterale) sotto forma di prodotto.Tuttavia non esiste un metodo generale per scomporre in fattori un polinomio.

� Per dividere un polinomio per un monomio si dividono tutti i termini del polinomio per ilmonomio; quindi si sommano i singoli quozienti ottenuti. Per la divisione tra due polinomi,il secondo dei quali non sia un monomio, dovremo seguire altre regole. Ci occuperemo per ilmomento unicamente di polinomi contenenti una sola variabile, usualmente indicata con x.Indicheremo i polinomi dei quali tratteremo con lettere maiuscole, seguite da una parentesinella quale è racchiusa la lettera x. Per esempio potremo indicare con A(x) un polinomiofunzione della variabile x, indicheremo poi con A(1), A(-3), e così via i valori che talepolinomio assume per x = -1, x = -3 ….

� Facciamo presente che per i polinomi vale il seguente principio, detto principio di identitàdei polinomi, al quale dovremo far riferimento quando illustreremo come si calcola in unadeterminata particolare situazione, il resto della divisione tra due polinomi.

� Principio di identità dei polinomi: due polinomi A(x) e B(x), nella stessa variabile x, sidicono IDENTICI se e solo se assumono valori uguali per ogni valore attribuito ad x.

Si ha che:condizione necessaria e sufficiente affinché due polinomi siano identici è che siano uguali icoefficienti delle potenze delle variabili aventi lo stesso esponente.Detto A(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + …+ an xn e B(x) = b0 + b1x + b2 x2 + …+ bn xn , si haA(x) = B(x) se e solo se a0 = b0, a1 = b1, a2 = b2,….an = bn.

Enunciamo ora, senza dimostrarlo, un importante teorema relativo all’esistenza e unicità delquoziente e del resto tra due dati polinomi A(x) e B(x).

Se A(x) e B(x) sono due polinomi nella lettera x, di grado rispettivamente n e m (con m >0 e n �m) allora esistono e sono unici, due polinomi Q(x) e R(x) tali che:

A(x) = B(x) Q(x) + R(x) dove Q(x) ha grado n – m e R(x) ha grado minore di m.Il polinomio Q(x) è detto quoziente e R(x) è detto resto della divisione tra A(x) e B(x).

� I valori che sostituiti in un polinomio P(x) lo rendono uguale a zero si chiamano zeri delpolinomio.

� Vogliamo ora enunciare una regola (detta di Ruffini) che ci permette di eseguire molto piùrapidamente la divisione tra due polinomi nel caso particolare in cui il polinomio divisore

sia di grado 1 ed il coefficiente del suo termine di primo grado sia 1, ossia nel caso in cui ildivisore sia un binomio del tipo x + a dove a rappresenta un qualsiasi numero reale.Il quoziente tra un polinomio A(x), di grado n, ordinato secondo le potenze descrescenti di x

e scritto in forma completa, ed il binomio B(x) = x + a, è un polinomio di grado n – 1, anch’essoordinato rispetto alle potenze descrescenti di x. I coefficienti dei suoi singoli termini si trovano nelseguente modo: il primo coefficiente è uguale al primo coefficiente del dividendo; tutti gli altri siottengono moltiplicando il precedente per –a e aggiungendo al prodotto ottenuto il corrispondentecoefficiente del dividendo di ugual posto. Il prodotto dell’ultimo coefficiente del quoziente per – a,aggiunto al termine di grado zero di A(x) dà il resto della divisione.

� Scomporre in fattori P(x) = x3 –2x2 –2x + 4.

Cerchiamo tutti i divisori del tipo x – a con a intero. I valori da assegnare ad a sono i divisori del termine di gradozero, ossia +4. Quindi i possibili divisori sono: x –1 ; x +1; x - 2; x + 2; x – 4; x + 4. Per verificare se uno di questiè un divisore di P(x), applichiamo il teorema del resto, ricordando che il resto nella divisione per x – a è R = P(a).P(1) = 1 –2 –2 + 4 = 1: perciò il polinomio non è divisibile per x –1P(2) = 8 – 8 – 4 +4 = 0: quindi il polinomio è divisibile per x –2.Eseguiamo ora la divisione: (x3 –2x2 –2x + 4) : (x –2)

1 -2 -2 4

2 2 0 -41 0 -2 0

Perciò (x3 –2x2 –2x + 4) = (x –2)(x2 –2) = (x –2) (x - �2) (x + �2)

� Se un numero intero è uno zero di un polinomio a coefficienti interi, allora è un divisore deltermine di grado zero del polinomio.

Il resto della divisione tra il polinomio A(x) ed il binomio x + a è il valore che assume ilpolinomio A(x) attribuendo alla variabile x il valore – a. La condizione necessaria e sufficiente,perché il polinomio A(x) sia divisibile per il binomio x + a è che sia A(-a) = 0.

� Si chiama frazione algebrica una frazione il cui numeratore e denominatore sonoespressioni algebriche. In simboli, se con A(x) e B(x) indichiamo due polinomi, una frazione

algebrica ha la forma )x(B)x(A .

DIVISIONE FRA POLINOMI

Per dividere un polinomio P(x) per un altro polinomio D(x):a. si ordinano i due polinomi secondo le potenze decrescenti di x. Se il polinomio dividendo è

incompleto, si introducono i termini mancanti con coefficiente nullo.b. Si divide il primo termine di P(x) per il primo termine di D(x); il quoziente è il primo

termine del polinomio quoziente Q(x).c. Si moltiplica questo primo termine per il divisore e lo si sottrae dal dividendo. Si ottiene il

primo resto parziale.d. Si procede di nuovo come dal primo punto considerando come dividendo il resto parziale. Si

ripete l’algoritmo finché si ottiene un resto parziale di grado inferiore a quello del divisore.e. Se il resto è zero, allora P(x) è divisibile per D(x).

OSSERVAZIONE: il grado del polinomio quoziente è uguale alla differenza tra i gradi deldividendo e del divisore. Il resto è un polinomio di grado inferiore a quello del polinomio divisore.

Esempi

� Esegui la seguente divisione: 32

3

�xx

(1)

x3 x2 + 3x

-x3 – 3x-- - 3x

L’espressione (1) si può scrivere nella forma: 32

3

�xx

= x - 3

32�xx

� Esegui la seguente divisione: (x4 – 9x3 + 18x2+ 7x –3): (x –6) (2)

x4 – 9x3 +18x2 +7x -3 x - 6

x3 –3x2+ 7-x4 + 6x3 -- -3x3 + 18x2 + 7x -3 +3x3 – 18 x2

-- -- 7x -3 - 7x +42 -- 39

L’espressione (2) può essere scritta nella forma:

(x4 – 9x3 + 18x2+ 7x –3): (x –6) = x3 – 3x2 +7 +6

39�x

.

TEOREMA DEL RESTO

Il teorema del resto ci fornisce un metodo per ottenere, in alcuni casi, un divisore; è possibileutilizzare poi l’algoritmo di Ruffini per eseguire la divisione, determinare il quoziente e quindiscomporre in fattori il polinomio di partenza. Se il quoziente è a sua volta scomponibile, si puòprocedere di nuovo con il teorema del resto o con uno dei metodi già noti per scomporre in fattori.

ESERCIZI� Senza eseguire l’operazione, calcolare il resto della seguente divisione: (x4 – 9x3 +18x2 +7x –38) : (x – 6).

Se P(x) = (x4 – 9x3 +18x2 +7x –38) per il teorema del resto è sufficiente calcolare P(6) = 64 –9 63 + 18 62 + 7 6 –38= 1296 –1944 + 648 + 42 –38 = 4 . Quindi il resto della divisione di P(x) per x – 6 è 4.

� Senza eseguire l’operazione, calcolare il resto della seguente divisione: (3x4 + x + 5x2 –5x3 –2): (3x –2)

Il dividendo non è nella forma (x � k). Dividendo il polinomio assegnato, che chiamo P(x), per (3x –2) otteniamo:P(x) = Q(x) (3x –2) + RSe al posto di x sostituiamo 2/3, otteniamo: P(2/3) = Q(2/3) 0 + R = R. Quindi per trovare il resto R dobbiamo sostituire ad x il valore 2/3, cioè il valore per cui3x –2 = 0.P(2/3) = 3 16/81 – 5 8/27 + 5 4/9 + 2/3 – 2 = 0. Il resto R = 0.

OSSERVAZIONE: si ricorda che il teorema del resto è applicabile qualora il divisore sia un binomio di primogrado.

� Scomporre in fattori P(x) = 2x3 –3x - 1.

Cerchiamo tutti i divisori del tipo x – a con a intero. I valori da assegnare ad a sono i divisori del termine di gradozero, ossia -1. Quindi i possibili divisori sono: x –1 ; x +1. Per verificare se uno di questi è un divisore di P(x),applichiamo il teorema del resto, ricordando che il resto nella divisione per x – a è R = P(a).P(1) = 2 – 3 –1 = -2 � 0: perciò il polinomio non è divisibile per x –1P(-1) = -2 + 3 –1 = 0: quindi il polinomio è divisibile per x + 1.Eseguiamo ora la divisione: (2x3 –3x – 1): (x +1)

2 0 -3 -1

-1 -2 2 12 -2 -1 0

Perciò 2x3 –3x – 1 = (x + 1) ( 2x2 – 2x –1).Il trinomio di secondo grado è a sua volta scomponibile, ricercando le soluzioni x1 e x2, in a(x-x1)(x –x2).

TEST DI AUTOVALUTAZIONE

1. Eseguire la seguente divisione: (2/3 a3 + 2a2 – a4 +1) : (a3 –2) 2. Dopo aver trovato un divisore con il teorema del resto, scomporre in fattori i seguenti polinomi

utilizzando la regola di Ruffini: a. x5 +3x4 –16 x – 48b. 2x3 –9x2 – 8x +15

3. Fattorizzare:a. x6 – a6 con a reale assegnato.b. x3 –3x2 +3x –1 –y3 c. (2x-1)2 – 4x2 +1 + (4x-2)(x+2)

SOLUZIONI

1. Q(x) = -a +2/3 R(x) = 2a2 – 2a + 7/32. a.(x + 2)(x +3)(x –2)(x2+4)b. 2(x-1)(x-5)(x +3/2)3.a. (x - a)(x + a)(x2 –ax +a2)(x2 +ax +a2)b. (x –1 –y)(x2 + y2 –xy –2x +y +1)c. 2(2x –1)(x +1)

ESERCIZI DI APPROFONDIMENTO

1. La scomposizione di 3(x +1)(x – 1) + (x+1)2 + x +1 è:a. (x+1)(4x-1)b. 2(x+1)(2x –1)c. (x+1)(4x+1)d. 2(x+1)(2x-1) + x+1 [a]

2. E’ data l’espressione x2 + 1 -2x +2ax –2a. Quale proposizione è vera?a. il polinomio non è scomponibile

b. il polinomio può essere scomposto come (x-1)(x+1+2a)c. il polinomio può essere scomposto come (x-1)(x-1+2a)d. il polinomio può essere scomposto come (x-1)(x-1+a) [c]

3. Un polinomio P di grado n viene scomposto in fattori: P = AB. Siano p e q i gradi dei polinomi A e B.Allora:

a. p+q < nb. p+q = nc. p=1 e q=1d. pq= n [b]

4. Quale valore di k va assegnato affinché il polinomio P(x) sia divisibile per il binomio D(x), con P(x)= x3 –6x2 +kx +4 e D(x) = x –4 ?

a. 7/3b. 2/3c. 14/3d. 28/5 [c]

5. Applicando il teorema di Ruffini, la divisione del polinomio P(x) per il binomio A(x) dà comequoziente: ( P(x) = x4 – x3 + x2 – 2x +1 A(x) = x-1)a. x3 + x –1b. x –x3 + 1c. x2 – x +1d. x3 +x +1

[a]

6.Qual è il resto di (2x4 –2x +12 x3 –1) : ( x2-1) , senza eseguire la divisione?a. 11b. –14c. non si può calcolare visto che il binomio divisore è di grado superiore al primod. 0 [c]

7. Applicando l’algoritmo della divisione, (x4 +3x2 –4) : (x2-4) dà come quoziente:a. x2 –7b. x4 +2x2 –1c. x3-2x +2d. x2+1 [d]

8. La fattorizzazione di x2 –1 –2(x2 +4x+3) utilizzando i prodotti notevoli è data da:a. (x+1)(-x + 9)b. –(x+1)(x+7)c. –(x+1)(x+9)d. (x+1)(-x-3) [b]

9. La scomposizione di x2 – 4x +4 –16a4 utilizzando i prodotti notevoli è data da:a. (x – 2 + 2a)(x - 2-2a)b. (x –2 – 4a)(x –2 + 4a)c. (x –2 – 4a2)(x –2 + 4a2)d. (x –2 –a) ( x –2 +a) [c]

10. Applicando il teorema del resto e quello di Ruffini, per quali valori di n possiamo dire che il binomioan – bn è divisibile per a +b?a. se e solo se n è parib. se e solo se n è multiplo di 5c. se e solo se n è disparid. se e solo se n è multiplo di 11 [a]

APPENDICE

� Un polinomio P(x) si può scomporre in fattori se esistono due polinomi A(x) e B(x) tali cheP(x) = A(x) B(x). I metodi utilizzati, oltre a quelli indicati, possono essere:

a. raccoglimento a fattor comune ( totale o parziale) b. uso dei prodotti notevoli.

Si ricordano i prodotti notevoli fondamentali:

� A2 – B2 = (A+B)(A-B)� (A � B)2 = A2 � 2AB +B2

� (A � B)3 = A3 � 3AB2 +3AB2 � B3

� A3 � B3 = (A � B)(A2 � AB + B2)

OSSERVAZIONE: in generale, se un trinomio di secondo grado ha la forma x2 + sx + p, dove s e psono rispettivamente la somma ed il prodotto di due numeri x1 e x2, esso si può fattorizzare in (x-x1) (x-x2).

� Analizziamo alcune espressioni letterali per “scoprire” proprietà dei numeri: consideriamoi quadrati dei numeri naturali:0,1, 4, 9, 16, 25,…..e così via; se calcoliamo la differenza fra iquadrati di due numeri successivi, otteniamo:

1 – 0 = 14 –1 = 39 – 4 = 516 – 9 = 7

…….cioè i numeri dispari. Attraverso il calcolo letterale possiamo controllare che ciò è vero ingenerale. Sia infatti n un qualunque numero naturale e n + 1 il suo successivo.La differenza tra i quadrati del successivo di un numero ed il numero stesso :

(n +1)2 – n2 = n2 + 2n +1 – n2 = 2n + 1è un’espressione che rappresenta tutti i numeri dispari.Consideriamo ora i cubi dei numeri naturali: 0,1, 8, 27, 64,…… Ci chiediamo se valgono lestesse considerazioni precedenti. Esaminiamo alcuni casi particolari:

1 – 0 = 18 – 1 = 7

27 – 8 = 1964 – 27 = 37

…….In generale si ha: (n+1)3 – n3 = n3 + 3n2 + 3n + 1 – n3 = 3n2 + 3n + 1.E’ difficile leggere nell’espressione ottenuta se il numero rappresentato è pari o dispari.Scriviamo allora 3n2 + 3n + 1 = 3n (n+1) + 1.Si ha che:

a. se n è pari, allora 3n è pari, n+1 dispari, 3n(n+1) è pari, 3n(n+1) +1 è disparib. se n è dispari, allora 3n è dispari, n+1 è pari, 3n(n+1) è pari, 3n(n+1) +1 è dispari.

Abbiamo dunque verificato che anche la differenza tra i cubi di due numeri successivi èsempre dispari. Essa rappresenta però solo numeri dispari, non tutti i numeri dispari.

CAPITOLO 2

COORDINATE CARTESIANE E GEOMETRIA ANALITICA

Teoria in sintesi

� Dati due insiemi non vuoti A e B, si chiama funzione di A in B una legge che facorrispondere ad ogni elemento x di A, uno ed un solo elemento y di B.

� Se indichiamo con f la funzione di A in B (in simboli f:A�B), con y l’elemento di B che lafunzione f associa all’elemento x di A, allora y=f(x) cioè y è l’immagine di x tramite f

Esempi

Sono funzioni :

1. f(x)=x+1 f: Z � Z (in questo caso l’insieme A=Z e l’insieme B=Z)f associa ad ogni numero intero il suo successivo. Ogni x in Z ha una ed una sola immagine y in Z e dunque lalegge data è una funzione.

2. f(x)= x2 f: R�R f associa ad ogni numero reale il suo quadrato. Si tratta di una funzione poiché ogni numeroreale x ha una ed una sola immagine y in R. In questo esempio due numeri reali x1, x2 con x1� x2 possono averela stessa immagine y; pensiamo ad x1=1 ed x2=-1 per i quali f(1)=1 ed f(-1)=1, oppure x1=2 ed x2=-2 per i qualif(2)=4 ed f(-2)=4 e così per ogni coppia di numeri reali costituita da un numero e dal suo opposto.Graficamente:

le rette y=k con k>0 intersecano la parabola in due punti x1 ed x2 distinti (nel grafico riportato sopra y=2, x1=-�2 ed x2=�2)

3. Sia A l’insieme dei punti del diametro AB di una circonferenza e B l’insieme dei punti della circonferenzastessa. La legge che associa ad ogni punto x di A i corrispondenti valori y di B non è una funzione poiché ogni x inA ha due immagini y ed y’ in B.

Qualche richiamo sulla lettura dei grafici .

Riportiamo ora qualche esempio di lettura ed interpretazione dei grafici cartesiani di funzioni,chepotrà essere utile in seguito.

a. Data la funzione:

dal grafico si può osservare che:� L’insieme A di definizione di f(x) è A=�x�R : -1�x�1�� L’insieme B delle immagini di A è B=�y�R : -3�y�5�� f(x)�5 per ogni x�A� f(-1)=-3 cioè l’immagine di x=-1 è y=-3, ovvero la funzione assume in x=-1 il

valore y=-3� f(1)=3 cioè l’immagine di x=1 èy=3, ovvero la funzione assume in x=-1 il valore y=3

� f(-4/5)=0, cioè la funzione si annulla (interseca l’asse x ) per x=-4/5� y(0)=f(0)=4, cioè la funzione interseca l’asse y in y=4� la funzione è positiva, cioè il suo grafico sta nel semipiano delle y positive

(corrispondente al primo e secondo quadrante del piano cartesiano), per –4/5<x<1, ènegativa per –1<x<-4/5

� y(-2/5)<y(1/5) :

� f(x)�2.5 per x�-2/5

b. Data la funzione:

� 1�f(x) �3 per ogni -��x�� . Dunque la funzione è limitata nel suo insieme didefinizioneA=�x�R : -��x��

� 1�f(x) �2 per -��x�0 � 2�f(x) �3 per 0�x�� f(0)=2� f(�/2)>f(�) anche se �/2<�

c. Date le funzioni : 13)(

�

��

xxxf e 3)( 2

�� xxg

� Vediamo se il punto di coordinate A(2,1) appartiene ad f(x) o a g(x). Per farlosostituiamo le coordinate del punto nell’equazione di f(x) e di g(x).f(2)=-5/3�1 e dunque A non appartiene alla funzione poiché le sue coordinate nonsoddisfano l’equazione. A appartiene a g(x): infatti g(2)=1.

� I grafici delle due funzioni date sono:

� Se indichiamo con x1ed x2 le ascisse dei punti di intersezione tra le due curve,possiamo osservare che:

� )()( xgxf � per x<x2 -1<x<0 .x>x1.

� )()( xgxf � per x2<x<-1 0<x<x1

� f(x) e g(x) hanno tre intersezioni di ascisse: x1 (positiva), x2 (negativa), x=0 cioè:)()( xgxf � per x=x1, x=0, x=x2

GEOMETRIA ANALITICA

EQUAZIONE DELLA RETTA

Teoria in sintesi

� Dati due punti A e B nel piano, essi individuano (univocamente) una retta.� La retta è rappresentata da un’equazione di primo grado in due variabili:

(*) ax+by+c=0 con a,b,c numeri realiche è detta equazione generale della retta.

Tutti e soli i punti le cui coordinate soddisfano l’equazione (*) cioè le soluzionidell’equazione, sono i punti del piano appartenenti alla retta

� Nell’equazione (*) notate il diverso significato che assumono le lettere a,b,c (parametri ocostanti) ed x,y (variabili)

� Ogni equazione del tipo : y=mx+q rappresenta una retta (equazione esplicita dellaretta). m è detto coefficiente angolare , m=-a/b, mentre q è l’ordinata all’origine (l’ordinatadel punto in cui la retta incontra l’asse y)

� Dati due punti A(x1,y1) e B(x2,y2), 12

12

xxyy

∆x∆ym

�

�

�� con x2�x1

� Se m=0 l’equazione y=q rappresenta una retta parallela all’asse x (che coincide con l’asse xnel caso q=0)

� Le rette parallele all’asse y non sono rappresentate nell’equazione in forma esplicita� L’equazione: y-y0=m(x-x0) è l’equazione di una famiglia di rette di centro P cioè

rappresenta tutte le rette (tranne quella parallela all’asse y) che passano per il punto P(x0,y0)

Esempi

1.Grafico della retta Tracciare nel piano cartesiano il grafico della retta: 3x-2y+1=0� Cerchiamo due punti appartenenti alla retta, cioè due punti che siano soluzione dell’equazione data. Si sceglie

un valore di x ( ad es. x=1) e, sostituendo nell’equazione si trova il corrispondente valore di y (y=2)� Ripetiamo l’operazione con un secondo valore di x e calcoliamo il corrispondente valore di y. x=3, y=5� A questo punto tracciamo il grafico:

2.Stabilire quali dei seguenti punti appartengono alla retta: y=2x-1� A(1,1).Appartiene alla retta data perché sostituendo le sue coordinate nell’equazione si ottiene 1=2-1 e dunque A la soddisfa� B(-2,3)Non appartiene perché sostituendo le sue coordinate nell’equazione si ottiene 3=-4-1 e dunque B non lasoddisfa

3.Scrivere l’equazione della retta passante per A(-3,1) e B(2,-2)

� 53

3212 ��

�

��m

� per calcolare q, sostituiamo il coefficiente angolare trovato e le coordinate di uno dei due punti dati

nell’equazione y=mx+q : q��

��

562 da cui si ottiene q=-4/5

� la retta cercata è : y=(-3/5)x-4/5� allo stesso risultato si poteva arrivare utilizzando la formula della retta passante per due punti (vedi

appendice):2

1

12

1

xxxx

yyyy

�

�

�

�

�

che applicata nel nostro caso ci porta all’equazione.

323

121

�

��

��

� xy , cioè 5y+3x+4=0

4.Dire se i punti O(0,0) e P(1,-3) stanno dalla stessa parte o da parti opposte rispetto alle rette r)x+y+5=0 ed s)3x-y+8=0� La retta r individua due semipiani : uno dato dall’insieme dei punti del piano per cui risulta x+y+5>0, l’altro

dai punti per cui x+y+5<0 ( la retta r è individuata dai punti per cui x+y+5=0)� La retta s individua i due semipiani: 3x-y+8>0 e 3x-y+8<0� Sostituendo le coordinate dei punti dati nelle disuguaglianze precedenti, si ottiene:O(0,0): 0+0+5>0 veraP(1,-3) 1-3+5>0veraDunque P ed O stanno dalla stessa parte rispetto alla retta r. Analogamente per s si trova:O(0,0) 0+0+8>0 veraP(1,-3) 3+3+8>0 vera. Dunque P ed O stanno dalla stessa parte anche rispetto ad s

Verifichiamolo graficamente:

5.La funzione f(x) è data dalla legge:

��

��

��

02013

)(xperxperx

xf

Tracciarne il grafico

� Si tratta di disegnare due semirette: una (la retta y=3x-1)definita per x>0 , l’altra (la retta y=-2) per x<0

� La funzione è definita su tutto l’asse reale esclusa l’origine

6.Scrivere l’equazione della famiglia di rette di centro P(-2,4)� L’equazione avrà la forma: y-y0=m(x-x0) . Nel nostro caso: y-4=m(x+2)

Cioè y=mx+2m+4

OsservazioneLe infinite rette di equazione y=mx+q con m fissato, rappresentano al variare di q la famiglia dellerette parallele alla retta passante per l’origine di equazione y=mx. Ad es. l’equazione y=4x+q rappresenta la famiglia di rette parallele alla retta per l’origine y=4x


1) Scrivere l’equazione della retta passante per i punti: A(-1,2) e B(3,-1)2) Scrivere l’equazione della retta passante per i punti: A(1,6) e B(1,23)

3) Tracciare il grafico della funzione:��

��

�

��

��

�

2120

0)(

xperxperx

xperxxf

4) Scrivere l’equazione del fascio di rette di centro P(1/2,-7)5) Riconoscere tra le seguenti equazioni quali rappresentano una famiglia di rette passanti per

un punto e quali una famiglia di rette parallele ad una retta per l’origine:a. 3x+5y+k=0b. 2y+3mx-m=0c. –4y+hx+2=0d. kx+ky-2k+3=0 con k�0

SOLUZIONI

1) 3x+4y-5=02) x=13)

4) y+7=m(x-1/2)5) a . rette parallele a y=(-3/5)x

b . 2y=-m(3x-1),famiglia di rette con centro P(1/3,0)c : 2(2y-1)=hx, famiglia di rette con centro P(0,1/2)d y=-x+2k-3, rette parallele a y=-x


1.Scrivere le equazioni delle rette passanti per i punti A(1/3,2) e B(-2,-4/5) [6x-5y+8=0]2.Scrivere le equazioni delle rette passanti per i punti A(0,0) e B(3,-2) [y=(-2/3)x]3.Nel fascio di rette parallele alla retta 3x+2y=0, determinare l’equazione della retta che passa per P(1,-5)

[3x+2y+7=0]4.Scrivere l’equazione della famiglia di rette di centro A(-1,1) e determinare la retta passante per B(0,2)

[x-y+2=0]

5.Dire se i punti O(0,0) e P(1,-3) stanno dalla stessa parte o da parti opposte rispetto alle rette: r)2x-y+5=0, s) x-3y-5=0, t) 10x+24y+15=0 [dalla stessa parte solo rispetto ad r]

LE CONICHE: CIRCONFERENZA, PARABOLA,ELLISSE, IPERBOLE

Teoria in sintesi

Queste curve si chiamano coniche perché sono ottenute tramite l’intersezione di una superficieconica con un piano.Si possono definire tutte come luoghi geometrici e, di conseguenza, ricavarne l'equazione algebricache le rappresenta nel piano cartesiano.Lo vedremo come esempio per la circonferenza.

LA CIRCONFERENZA

� La circonferenza è il luogogeometrico dei punti equidistanti daun punto C, detto centro.

� Si ottiene tagliando un cono con unpiano perpendicolare al suo asse.

� La distanza fra ognuno dei suoi puntie il centro è il raggio dellacirconferenza.

� Note le coordinate del centro C (�;�) e la misura r del raggio, l'equazione dellacirconferenza è allora

222 )()( ryx �� (equazione canonica)� Svolgendo i calcoli nell’equazione precedente si ottiene:

x2+y2+ax+by+c=0 (*)dove a=-2, b=-2�, c=2+�2-r2 ( e dunque r2=(a2/4)+(b2/4)-c)

� Assegnata un’equazione di secondo grado in cui i coefficienti di x2 e di y2 sono uguali traloro, non è detto che essa rappresenti sempre una circonferenza. Infatti l’equazione (*)rappresenta una circonferenza solo se (a2/4)+(b2/4)-c>0 cioè se il quadrato del raggio èpositivo

Esempi

1.Determinare l’equazione della circonferenza di centro C(2,-1) e raggio r=3� Utilizzando l’equazione canonica della circonferenza, possiamo scrivere:

(x-2)2+(y+1)2=9, che è l’equazione richiesta2.Dire se le seguenti equazioni rappresentano o no delle circonferenze ed in caso affermativo determinare centro eraggio:

� x2+y2-8x+6y=0. Calcoliamo il centro C(4,-3) ed il raggio r2=16+9=25>0 e quindi l’equazione data è unacirconferenza di centro C e raggio 5

� x2+y2+10x-4y+29=0 Calcoliamo il centro C(-5,2) ed il raggio r2= 25+4-29=0 e quindi l’equazione datanon rappresenta una circonferenza

� x2+y2-2x+y+9=0 Calcoliamo il centro C(1,-1/2) ed il raggio r2=1+1/4-9<0 e quindi non è una circonferenza� 2x2+3y2-2x+3y-1=0. Non è una circonferenza perché i coefficienti di x2 e di y2 non sono uguali� 4x2+4y2+25y=0. Per poter calcolare il centro ed il raggio dividiamo l’equazione per 4 ed otteniamo:

x2+y2+(25/4)y=0 da cui C(-25/8,0) ed r2=(-25/8)2 cioè r=25/8

3.Stabilire se il punto A(1,-2) è interno o esterno alle circonferenze:� x2+y2=1. Il punto A è esterno alla circonferenza data se x2

1+y21>1, interno se x2

1+y21<1 quando sostituiamo al

posto di x1 ed y1 le coordinate di A. Nel nostro caso risulta 1+4>1 e dunque A è esterno alla circonferenza� x2+y2-10x+8y=0. Come nel caso precedente, sostituendo le coordinate di A nella circonferenza, otteniamo

1+4-10-16<0 e dunque il punto è interno alla circonferenza data� x2+y2=5. In questo caso : 1+4=5 e quindi il punto sta sulla circonferenza.

Graficamente i tre casi precedenti si rappresentano:

TEST DI AUTOVALUTAZIONE1.Stabilire quali delle seguenti equazioni rappresentano delle circonferenze:

a. x2+y2-2x+4y+7=0b. 2x2+2y2-x+5y-1=0c. x2+y2-2x=0

2.Determinare la circonferenza avente centro C(-1,-1/2) ed r=3/23.Stabilire se il punto A(1,-2) appartiene oppure no alla circonferenza x2+y2+2x-4y+1=0. In caso negativostabilire se è interno o esterno

SOLUZIONI1.

a. no.b. C(1/4,-5/4) ed r=�34/4c. C(1,0) ed r=1

2. x2+y2+2x+y-1=03.E’ esterno


1. per quali valori di h parametro reale, l’equazione x2+y2-2x+hy+h=0 rappresenta una circonferenza?Scelto uno di tali valori, determinare centro e raggio[h�2; per h=2 C(1,-1) e raggio nullo]

2. determinare la circonferenza avente come diametro il segmento AB con A(2,-6) e B(-4,2).(suggerimento: il punto medio del segmento AB è il centro della circonferenza ed il raggio è dato dalsegmento CA o dal segmento CB)[x2+y2+2x+4y-20=0]

3. scrivere l’equazione della circonferenza che passa per l’origine ed ha centro in C(6,-8) [(x-6)2+(y+8)2=100]

LA PARABOLA

La parabola è il luogo geometrico dei puntiequidistanti da una retta (direttrice) e da unpunto (fuoco). La retta passante per il fuoco eperpendicolare alla direttrice si chiama assedella parabola.L'asse della parabola è un asse di simmetria einterseca la parabola nel vertice.Una parabola con asse parallelo all'asse y èrappresentata da un'equazione del tipo

cbxaxy ��2 (con a�0).

Concavità e apertura della parabola dipendono dal parametro a.

Esercizi

1.Trovare le coordinate del vertice, dell’asse di simmetria , della direttrice, del fuoco delle parabole:� y=x2-x-12. Per trovare il vertice calcoliamo l’ascissa x=-b/2a, che nel nostro caso assume il valore x=1/2 e

l’ordinata y=a4�

� =449

442

��

�

�

aacb

. L’asse di simmetria avrà allora equazione x=1/2, il fuoco

coordinate x=1/2 e y= 124

1��

��

a, la direttrice y=

225

41

��

�a

� y=x2-4x+3 )1,2( �V , )43,2( �F , x=2 è l’equazione dell’asse, y=-5/4 quella della direttrice

Per l’ellisse e l’iperbole richiamiamo solo brevemente la forma delle loro equazioni, e le relazioniche legano le coordinate dei punti caratteristici per la loro determinazione come luoghi geometrici.

L’ELLISSE

E’ il luogo dei punti del piano per cui è costante la somma delle distanze da due punti fissi dettifuochi� Equazione dell’ellisse riferita al centro degli assi cartesiani e con i fuochi sull’asse x

12

2

2

2

��

by

ax

centro O(0,0) fuochi )0,(1 cF � e )0,(2 cF , essendo

222 bac ��

vertici A(a,0), B(b,0), -A, -B

aba

ace

22�

��

N.B.: L’eccentricità e indica la forma più o meno schiacciata dell’ellisse: 10 �� e .

IPERBOLE

E’ il luogo dei punti del piano per cui è costante la differenza delle distanze da due punti fissi dettifuochi� Equazione dell’iperbole riferita al centro degli assi cartesiani e con i fuochi sull’asse x

12

2

2

2

��

by

ax

dove b2=a2-c2, a e b sono il semiasse maggiore e minore rispettivamente, i fuochi hanno coordinate

F1(-c,0), F2(c,0) ed asintoti le rette di equazioni xaby �� . Il grafico di un’iperbole con i fuochi

sull’asse x è del tipo:

L’eccentricità dell’iperbole è data dal rapporto : a

baace

22�

�� . Nell’iperbole e>1

APPENDICE

Riportiamo di seguito alcune formule di geometria analitica che può essere utile ricordare.

LA RETTA

1.Rette particolari� Se a=0 la retta è parallela all’asse x ed ha equazione : by+c=0 (retta orizzontale)� Se b=0 la retta è parallela all’asse y ed ha equazione : ax+c=0(retta verticale)� Se c=0 la retta passa per l’origine

2.Condizione di allineamento di tre punti. Dati tre punti A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) che abbiano

ascisse diverse, sono allineati se e solo se:13

12

13

12

xxxx

yyyy

�

�

�

�

�

3.Retta per due punti . Dati due punti A(x1,y1), B(x2,y2) con x1�x2 ed y1�y2, allora la retta che passa

per A e B ha equazione: 12

1

12

1

xxxx

yyyy

�

�

�

�

�

4.Equazioni delle bisettrici degli assi cartesiani. Bisettrice del primo e terzo quadrante : y=xBisettrice del secondo e quarto quadrante: y=-x5.Rette parallele. Due rette di equazioni y=mx+q e y=m’x+q’ sono parallele se m=m’. Se le rettesono nella forma ax+by+c=0 e a’x+b’y+c’=0, sono parallele se ab’=a’b6.Rette perpendicolari. . Due rette di equazioni y=mx+q e y=m’x+q’ sono perpendicolari se mm’=-1 Se le rette sono nella forma ax+by+c=0 e a’x+b’y+c’=0, sono perpendicolari se aa’+bb’=07.Distanza di un punto da una retta. La distanza di un punto P(x0,y0) dalla retta r è data da:

22

00

ba

cbyaxd

�

��

� oppure12

00

�

��

�

m

qmxyd

a seconda che la retta sia scritta in forma implicita o in forma esplicita

LA CIRCONFERENZA

1.Si segnalano i seguenti casi particolari dell’equazione x2+y2+ax+by+c=0

a=0, il centro appartiene all’asse y:b=0, il centro appartiene all’asse x;c=0, la circonferenza passa per l’origine degli assi.

2.Determinazione dell’equazione della circonferenza. Per determinare l’equazione di unacirconferenza è necessario determinare i tre parametri (a, b, c) dell’equazione generale di unacirconferenza.Ad esempio citiamo i seguenti casi:

� sono note le coordinate del centro e il raggio;� sono note le coordinate degli estremi di un diametro;� la circonferenza passa per un punto e sono note le coordinate del centro;� la circonferenza passa per tre punti non allineati;� la circonferenza passa per due punti e il centro appartiene a una retta nota;� sono note le coordinate del centro e la circonferenza è tangente a una retta nota.

Vediamo un esempio per chiarire le idee.

Esempio

Determinare l’equazione della circonferenza che passa per A(0,3), B(-4,1), C(1,1).Si parte dall’equazione x2+y2+ax+by+c=0 e si impone che sia soddisfatta dalle coordinate dei tre

punti dati. Si ottiene allora il sistema: ��

��

�

��

��

��

01104116

039

cbacba

cb che come soluzioni ha i valori

��

��

�

��

��

�

32

3

cba

la circonferenza ha equazione. x2+y2+3x+-2y-3=0

3.Rette secanti, tangenti o esterne ad una circonferenzaDato il sistema formato dall’equazione della circonferenza e da quella della retta

��

��

��

0022

cybxacbyaxyx

nell'equazione di secondo grado che risolve il sistema (ricavando una delle due variabili in funzionedell’altra nella seconda equazione), abbiamo allora le tre possibilità alternative:

� 0�� , la retta è secante;� 0�� , la retta è tangente;� 0�� , la retta è esterna.

Dato un punto );( 00 yxP e una circonferenza di equazione 022�� cbyaxyx , nella ricerca

delle tangenti condotte dal un punto P alla circonferenza, si possono presentare tre casi.

� P è esterno alla circonferenza, le rette per P tangenti alla circonferenza sono due;� P appartiene alla circonferenza, la retta tangente è una sola;� P è interno alla circonferenza, non esistono rette tangenti uscenti da P.

Per determinare le equazioni delle eventuali rette tangenti, si possono seguire due metodi.

I METODO

� si scrive l'equazione del fascio di rette passanti per ),( 00 yxP

);( 00 xxmyy ��

� si scrive il sistema fra le equazioni del fascio e la circonferenza:

��

��

��

��

��

��

...))((

)(;

0

)(2

002

00

2200

xxmyx

xxmyy

cbyaxyx

xxmyy

� con il metodo di sostituzione si ottiene quindi un'equazione di secondo grado nella variabile x;� si impone la condizione di tangenza, ossia 0�� ;� si risolve l'equazione di secondo grado rispetto a m;

se 21 mm � , le rette tangenti sono due e il punto P è esterno alla circonferenza;se 21 mm � , la retta tangente è una sola e il punto P appartiene alla circonferenza;se �21 , mm R, non esistono rette tangenti e il punto P è interno alla circonferenza;

� si sostituisce il valore o i valori trovati di m nell'equazione del fascio di rette.

N.B.: E’ sempre conveniente controllare graficamente i risultati ottenuti…!

Esempio

Scrivere l'equazione delle rette passanti per P(0,-4) e tangenti alla circonferenza 422�� yx .

L'equazione della retta generica passante per P è:

)0()4( �� xmy

intersecando con la circonferenza otteniamo

��

��

��

��

��

��

0128)1(4

;4

42222 mxmx

mxyyx

mxy

imponendo 04�

� si ottiene

0)1(12)4(4

22��

� mm

che ci dà coefficiente angolare delle rette tangenti 3��m .

Le due rette quindi sono:43 �� xy

II METODO

� si determinano le coordinate del centro C e del raggio r della circonferenza;� si scrive l’equazione del fascio di rette passanti per ),( 00 yxP

)( 00 xxmyy �� ,

cioè

000 �� mxyymx ;

� si applica la formula della distanza fra le rette e il centro C;� si pone tale distanza uguale al raggio e si risolve l’equazione in m;� si sostituisce il valore o i valori trovati di m nell’equazione del fascio di rette.

Attenzione: Se il punto P appartiene alla circonferenza, allora la retta tangente è semplicemente laretta per P perpendicolare a PC.4.Intersezione tra due circonferenzeDue circonferenze possono essere secanti in due punti, tangenti in uno stesso punto (esternamente ointernamente), una interna all'altra, concentriche o esterne.

Per determinare gli eventuali punti di intersezione o il punto di tangenza, occorre risolvere ilsistema formato dalle equazioni delle due circonferenze.

��

��

��

��

00

22

22

cybxayxcbyaxyx

E' conveniente risolvere il sistema con il metodo di riduzione.Sottraendo le due equazioni, si ottiene infatti l'equazione di primo grado

0)()()( �� ccybbxaa

che è l’asse radicale, nella quale si potrà ricavare x in funzione di y (per esempio) e sostituirla poiin una delle due equazioni della circonferenza.

PARABOLA

1.Riassumiamo alcune caratteristiche della parabola nel seguente schema. Per i casi particolari (b=0; c=0; b=c=0) lo studente è invitato a completare lo schema riassuntivo.

PARABOLEEquazione cbxaxy ��

2 )0(2�� bcaxy )0(2

�� cbxaxy )0(2�� cbaxy

Assea

bx2

�� x=? x=? x=?

Vertice��

��

� ��

aabV

4;

2V ? V ? V=O (perché?)

Fuoco��

��

� ��

aabF

41;

2F ? F ? F ?

Direttricea

y4

1 �� y= ? y= ? y= ?

Figure

2.Equazione di una parabola con asse parallelo all'asse x.E’ del tipo

cbyayx ��2 (con a�0).

dove a, b, c sono coefficienti reali e a�0.

3.Determinazione dell’equazione della parabola.Anche nell'equazione della parabola (come inquella della circonferenza) cbxaxy ��

2 (o cbyayx ��2 ) sono presenti i tre coefficienti a, b

e c. Per poterli determinare occorrono in genere tre condizioni.Alcune possibili condizioni sono le seguenti:

� sono note le coordinate del vertice e del fuoco;� sono note le coordinate del vertice (o del fuoco) e l'equazione della direttrice;� la parabola passa per tre punti non allineati;� la parabola passa per due punti e si conosce l'equazione dell'asse;� la parabola passa per un punto e sono note le coordinate del vertice (o del fuoco);� la parabola passa per un punto e sono note le coordinate dell'asse e della direttrice.Vediamo un esempio:EsempioScrivere l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y che ha vertice in V(1,2) e passaper il punto A(2,1)Considero l’equazione y=ax2+bx+c ed impongo che soddisfi le condizioni date:

��

�

��

�

�

��

��

��

24

4

12

124

2

abac

ab

cba

da cui si ricava ��

��

�

��

��

��

abacab

cba

842

124

2

sostituendo il valore di b nelle altre due

equazioni : ��

��

�

��

��

��

aaacab

caa

8442

144

2

da cui ��

��

�

�

��

�

12

1

abc

(attenzione! a�0 nell’equazione della

parabola)

4.Tangenti ad una parabolaLe rette tangenti a una parabola, uscenti da un punto ),( 00 yxP , possono essere due, una onessuna.Per determinare le equazioni delle eventuali rette passanti per ),( 00 yxP e tangenti alla parabola,si procede nel seguente modo:

� si scrive l'equazione del fascio di rette passanti per ),( 00 yxP ,)( 00 xxmyy �� ;

� si scrive il sistema fra le equazioni del fascio e della parabola:

��

��

��

cbxaxy

xxmyy2

00 )(

� si perviene all'equazione di secondo grado in x:

;0)()( 002

�� ymxcxmbax

� si calcola � :)(4)( 00

2 ymxcamb �� ;

� si pone la condizione di tangenza, ossia 0�� :

0)(4)( 002

�� ymxcamb , ossia 0)44()2(2 02

02

�� ayacbaxbmm ;

� si risolve l'equazione di secondo grado rispetto a m:

- se 21 mm � , le rette tangenti sono due ed il punto P è esterno alla parabola- se 21 mm � , la retta tangente è una sola e il punto P appartiene alla parabola;- l’equazione non ha soluzioni ed il punto P è interno alla parabola

� se si trova il valore (o i valori) di m, si sostituisce nell'equazione del fascio di rettedeterminando così le equazioni delle rette tangenti.

CAPITOLO 3EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ALGEBRICHE

Teoria in sintesi

� Un insieme di numeri e lettere collegati da operazioni da eseguire su di essi costituisconoun’espressione. Le lettere che compaiono in un’espressione possono avere due diversisignificati: possono essere costanti (ed indicate con a,b,c,…), o variabili (ed indicate conx,y,z,..)

� Si ha un’ uguaglianza tra due espressioni quando esse sono identicamente uguali perqualsiasi valore delle variabili che vi compaiono e per cui esse hanno significato. Adesempio sono uguaglianze le seguenti:

1. � ��

� � 1111 2

��

�

� xperxxx

2. 222

22

�

�

��

�

� xperxx

xx

� Un’equazione è un’uguaglianza tra due espressioni verificata solo per alcuni valori dellevariabili che vi compaiono

� Risolvere un’equazione significa determinare l’insieme delle soluzioni S, ossial’insieme di quei particolari valori che, assegnati alle variabili soddisfanol’equazione trasformandola in uguaglianza

� Si dice grado di un’equazione algebrica razionale intera (e cioè un’equazione in cuicompaiono solo operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione ed in cui leincognite non compaiono a denominatore) rispetto ad un’incognita, il grado massimo concui compare l’incognita

� Due equazioni sono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni

EQUAZIONI LINEARI

Sono equazioni algebriche di primo grado che possono essere scritte nella forma:

ax+b=0 con a,b��detta forma canonica o normaleL’equazione lineare può essere classificata in tre modi diversi a seconda dei valori di a e b

1. a��0 (cioe’ a appartiene all’insieme dei numeri reali senza lo zero), l’equazione e’

determinata ed ammette la soluzione abx ��

2. se a=0 e b��0 l’equazione e’ impossibile, cioè non ammette soluzioni3. se a=0 e b=0 l’equazione ha come soluzione qualsiasi valore reale di x

Nel caso in cui l’equazione risulti determinata, trovarne la soluzione significa calcolarel’ascissa del punto in cui la retta y=ax+b incontra l’asse x:

in questo caso la soluzione è x=2� Nel caso in cui l’equazione risulti impossibile, la retta y=b non ha alcuna

intersezione con l’asse x , essa è infatti parallela all’asse delle ascisse:

� Nel caso in cui l’equazione risulti verificata da qualsiasi valore reale di x, la retta chela rappresenta coincide con l’asse delle ascisse (y=0)

Esempi

Equazione determinata

� 12951

23

�� xxx facendo il m.c.m. si ottiene :

� 291023 �� xxx che, in forma normale e’ equivalente a:

� 042 ��x che ha come unica soluzione� 2�xEquazione impossibile� 3x-4=2x+x+1 che, in forma normale è equivalente a:� 0x-5=0 che non ha alcuna soluzione

Equazione che ha come soluzione qualsiasi valore reale di x

� 12961

23

�� xxx facendo il m.c.m. si ottiene:

� 291223 �� xxx che, in forma normale è equivalente a:� 0x+0=0 soddisfatta da ogni valore reale di x

Discussione di un’equazione letterale� )21(3 xbkx �� Risolviamo l’equazione rispetto all’incognita x e discutiamolaPortiamola in forma normale:� xbkx 63��

� 36 �� bxkx� � � 36 �� bkx

Discutiamo l’equazione, cioè studiamo al variare dei parametri k,b, la risolubilità dell’equazione� se k=-6 e b�3 l’equazione è impossibile : in questo caso infatti si ha 0x=b-3�0� se k=-6 e b=3 l’equazione è un’identità (e quindi l’insieme delle soluzioni è �) : in questo caso infatti si ha

0x=0

� se k�-6 l’equazione ammette l’unica soluzione 63

�

��

kbx


Risolvere le equazioni:1. )1()13(2)2()1(3 �� xxxx2. )2(2)1(73)2(4 �� yyyy3. � � � � � � � �223 22123 �� xxxx

4. � � � � � �54324

213

21

21 2

��

��

��

�

��

� xxxxxx

5. Discutere e risolvere l’equazione:)1)(()(4 �� xabxabbx

SOLUZIONI:1. x=02. �x��3. impossibile4. x=-6/5

5. eimpossibilbease

aebsebabxbse

00

;x00;2

0

��

��

��


1. � � � �� 22 1442131353 �� xxxxxx [-23/14]

2. � � 03

13

2213 ��

��

��

��

� ��

��

xxxx [0]

3. � � � �393 2�� abaxa [a�3 x=a+b+3; se a=3 �x��]

4. � � � � 22 22 babxabax �� [a�2b x=a+b; se a=2b �x��]

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Teoria in sintesi

Consideriamo ora le equazioni algebriche di secondo grado in un’incognita la cui forma normale è:02

�� cbxax a�0Risolvere un’equazione di secondo grado significa trovare le intersezioni, se esistono,della parabolay= 02

�� cbxax con l’asse x:

la cui formula risolutiva e’. a

acbbx2

42

2,1��

� (1)

� il termine �� acb 42 e’ detto discriminante� La formula risolutiva può essere applicata a qualsiasi equazione di secondo grado il cui

discriminante sia maggiore o uguale a zero; risulta però più semplice risolvere le equazioniincomplete ricorrendo alle regole note di scomposizione dei polinomi e di annullamento delprodotto

Le soluzioni di un’equazione di secondo grado dipendono dal valore del discriminante ed inparticolare:

� Se ∆>0 l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte date dalla formula (1)� Se ∆<0 l’equazione non ammette soluzioni reali

� Se ∆=0 l’equazione ha due soluzioni reali e coincidenti della forma: a

bx2

��

Per risolvere un’equazione di secondo grado e’ quindi necessario calcolare prima il discriminanteper verificare se l’equazione ammette o no soluzioni reali

Esempi

Risolvere le seguenti equazioni di secondo grado

1. 4x2+27x-7=0

� ∆= 841>0 l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte

� 8

84127 ��x che risolta fornisce le due soluzioni x1=-7 e x2=1/4

2. 49x2-36=0 l’equazione è equivalente a:

� 49362

�x con ∆>0

� 76

��x sono le due soluzioni reali e distinte

3. 053 2�� xx l’equazione è equivalente a:

� � � 053 ��xx che ha come soluzioni

� 0�x3

35��x

4.4x2-12x+9=0

� ∆=0 ho due soluzioni reali e coincidenti

� x1=x2=3/2

5. 13x2+7x+1=0

� ∆=-3<0 l’equazione non ha soluzioni reali


Risolvere le equazioni:

1. x2+1=0

2. � � � � 6134322 22�� xxx

3. � �� )23(2531 2 xxxxx ��

4. � �xxxx ��

��

�� 251

2123

SOLUZIONI

1. nessuna soluzione reale

2. x1=1 x2=-1

3. x1=5/2 x2=-5/2

4. x1=1 x2=7


1. 3)1(2)2(4 2�� xxxx [�1]

2. � ��

151

51

3221

531 2xxxxx �

��

��

[0;6]

3. � �� 07332212 2�� xxxxx [1;-5/2]

4. � � � � 0412222

�� xxx [ ]21;2 �

EQUAZIONI FRAZIONARIE NUMERICHE

Risolviamo l’equazione:

)2(566

51

1034

2 xx

xx

xx �

��

�

��

��

� calcoliamo il m.c.m. fra i denominatori e per fare questo scomponiamo il trinomio checompare al primo denominatore ricordando la regola della scomposizione del trinomio disecondo grado: ))(( 21

2 xxxxacbxax �� dove x1 e x2 rappresentano le soluzioni realidell’equazione 02

�� cbxax . Nel nostro caso si ottiene: )5)(2(1032�� xxxx

� )2(5

665

1)5)(2(

4�

��

�

��

�� xx

xx

xxnella terza frazione si sono moltiplicati il numeratore ed

il denominatore per –1 per ottenere il fattore (x-2) che compare anche nel primodenominatore.

� � ��

� �� 525

566215525

20��

��

�� xxxxxx

xx

� moltiplicando a sinistra e a destra per 5(x-2)(x+5) elimino i denominatori supposto che sianodiversi da zero, e cioè se : x�2 e x�-5

� � � xxxxx 3063062520 22��

� 03111 2�� xx

� 0)3111( ��xx

� quindi le soluzioni sono : x=0 ed x=-31/11, entrambe diverse da 2 e –5, valori che avevamoscartato perché per quei valori l’equazione era priva di significato. Dunque le soluzionitrovate sono entrambe accettabili

ESERCIZI

1. 4

)4(222

21

2

2

�

��

�

��

�

�

xx

xx

xx

nessuna soluzione

2. 021214;1

1

22

��

�

��

�

�

xx

xxx

(Si possono semplificare i conti?)

3. xxx4

16

211

�

�

�� ]2,5[ �

4. 1

11

134

11

�

��

�

��

� xx

xx ��

��

��

21,2

5. 45

25

86107

2�

��

�

�

��

�

xx

xxxx ]5[

6. 012

4144

1)1(2

2

�

�

�

��

��

xx

xxx

��

��

�

92,0

7. ��

��

��

�

�

97

41

242229

89

31

2232 xxxxxxxxx

)4)(3(8.. �� xxxmcm

8. 021

221:

22

22

��

��

�

��

�

��

�

��

�

� xxx

xx

xx

[impossibile]

N.B.: L'equazione risolutiva, dopo aver svolto i passaggi è: 0653 2�� xx

Equazioni letterali

1. 053 2�� axx [

35,0 a

� in questa equazione a può essere qualunque?]

2. 09 22�� ax [Qual'è l'unico caso per cui questa equazione è possibile?]

3. 02 2�� bax [

ab2

� , se a, b > 0: discutere attentamente gli altri casi]

DISEQUAZIONI ALGEBRICHE

Teoria in sintesi

� Le diseguaglianze (A�B) tra due espressioni A,B possono presentarsi nelle forme: A<B,A>B, A�B, A�B. A e B possono contenere costanti e variabili.

� Diciamo che una diseguaglianza è soddisfatta quando risulta vera per qualsiasi valoreassunto dalle variabili che eventualmente vi compaiono.

Esempi

Sono diseguaglianze:

� 4>3

� x2+4>0

� (x-1)2�0

� Le disequazioni sono diseguaglianze che contengono delle variabili e che sonosoddisfatte solo da particolari valori assunti dalle variabili stesse. Tali valoricostituiscono l’insieme delle soluzioni della disequazione

DISEQUAZIONI LINEARI IN UN’INCOGNITALe soluzioni di una disequazione intera di primo grado sono rappresentate graficamente da unasemiretta.Risolvere la disequazione ax+b>0 è come chiedersi per quali valori di x è positiva la rettay=ax+b. Ad esempio se vogliamo risolvere la disequazione 3x+4>0, graficamente otteniamo:

Esempi

Risolvere le disequazioni:

1. 56

343

3��

�

��

�

xxxeliminiamo i denominatori

� 60123694 �� xxx

� 6920 �� x dividiamo entrambi i membri per –20 e quindi cambiamo il verso della disequazione(vedi appendice)

� 2069

��x

ESERCIZI

1. � � � ��

4514

2152312 22 xxxxx ��

�� [x>5/13]

2. 222

313

232

2132

21

��

��

��

�

��

��

�

��

��

�

��

�� xxxxx [x<-17/72]

3. � � � �� 2532213215122 22�� xxxxxx [nessun valore di x]

DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Teoria in sintesi

� METODO GRAFICO (uso della parabola)

Per dare una interpretazione grafica delle disequazioni di secondo grado

00

2

2

��

��

cbxaxcbxax

a) si disegna la parabola;b) si cercano gli eventuali punti di intersezione della parabola con l'asse x;c) si considerano le soluzioni delle disequazioni che sono date dalle ascisse dei punti della

parabola che hanno ordinata positiva )00( 2�� cbxaxy oppure negativa

)00( 2�� cbxaxy .

I casi possibili risultano riassunti nel seguente schema:

� Se 02�� cbxax

� Se 02�� cbxax

Si costruisca per questo caso lo schema riassuntivo in modo analogo. Si ricordi che in questo caso siprocede considerando la parte di parabola che sta nel semipiano delle y negative.

Esempio .1. Risolvere graficamente la disequazione: 0232�� xx

i due rami della parabola che rappresentano le soluzioni della disequazione data sono colorati in rosso e rappresentano ivalori di x<-2 oppure x>-1

2.Risolvere graficamente la disequazione : 3x2+x+1�0

la parabola si trova tutta nel semipino delle y>0 e dunque non è mai negativa e non si annulla per alcun valore di x datoche non ha intersezioni con l’asse delle ascisse. La disequazione data non ha soluzioni nel campo reale.

3.Risolvere la disequazione: 4x2-4x+1>0

la parabola è positiva per ogni valore di x reale ed interseca l’asse x in x=1/2, valore che annulla il trinomio di secondogrado. Dunque la disequazione data è verificata per ogni x reale con x�1/2.

(notiamo che il trinomio dato rappresenta il quadrato di un binomio)

DECOMPOSIZIONE DEL TRINOMIO DI SECONDO GRADO

La risoluzione analitica delle disequazioni

)0(0 22�� cbxaxcbxax

avviene nel modo seguente, supposto il coefficiente a>0 (nel caso a<0 e’ sufficiente cambiare isegni per riportarsi a questo caso)

a. 02�� cbxax

1. 0�� dette 21; xx le due soluzioni di 02�� cbxax e posto 21 xx � si ha

))(( 212 xxxxacbxax ��

E quindi, dalle regole dei segni, otteniamo la soluzione

21 xxxx ��

(N.B.: Il simbolo � , preso in prestito dalla logica, sta a significare che si considera l’unionedei due insiemi 21 , xxxx �� ).

2. 0��2

12 )( xxacbxax ��

quindi soluzione 1xxx ��

3. 0�� soluzione ��xb.Invece per la disequazione 02

�� cbxax in modo analogo si ottiene:

1. 210 xxx �� , ossia per valori interni all'intervallo di estremi 21 , xx ;

2. 0�� non è mai verificata;

3. 0�� non è mai verificata;

Esempi

a) 01312;042025;023 222�� xxxxxx

� risolviamo la prima disequazione: 132025 21 �� xx e dunque siamo nel caso b.2 , le

soluzioni saranno 132

�� x .

� Risolviamo la seconda: 520 21 �� xx dunque la disequazione è verificata per ogni x reale con

52

�x (Caso a.2)

� Risolviamo la terza: 039 �� dunque la disequazione è verificata per ogni x reale � (caso a.3)

b) 0189143 23�� xxx

� � �� 06533 2�� xxx è la scomposizione del polinomio dato utilizzando la regola di

Ruffini� � � 03 ��x 3��x studiamo il segno di ogni fattore

� 0653 2�� xx

6975

697597 21

��

�� xx e dunque la disequazione è

verificata per 6

9756

975 ��

�� xx

� Osserviamo ora lo schema seguente e ricordiamo che la disequazione data richiede che il prodotto deifattori sia maggiore o uguale a zero:

6975

69753 ��

�

� Dunque le soluzioni della disequazione data sono: 6

9756

9753 ��

�� xx

c) 0633 24�� xx

� Posto 2xt � , la disequazione ammette due radici 2,1 �� tt� Pertanto la disequazione data si può scomporre in � �� 0213 �� tt cioè � �� 0213 22

�� xx

� Studiando il segno dei singoli fattori:

2202

0103

2

2

��

��

��

xxx

xxx

� Dal grafico seguente risulta quindi (essendo la disequazione data minore di zero):

22�

� Le soluzioni sono 22 �� x

TEST DI AUTOVERIFICA


a) 012023 22�� xxxx

b) 0526 24�� xx

c) 06420 24�� xx

d) � � 0

12

3

52

�

�

�

xxx

SOLUZIONI

a) ]43[;]12[ �� xxxb)�x��c) 4224 �� xxd) 0<x<1


1) xx 5522 2�� [

231 �� xx ]

2) 0152 24�� xx [ 55 �� x ]

3) � ��

02324

�

��

��

xxxxx

(si proceda studiando il segno dei singoli fattori) [ 30224 �� xxx ]

4) � �

011252

42

23

�

�

��

xxxxx

[2304 �� xx ]

APPENDICE

EQUAZIONI

� Principi di equivalenza delle equazioni:

1. Sommando o sottraendo ad entrambi i membri di un’equazione uno stesso numero, si ottieneun’equazione equivalente a quella data2. Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero diverso dazero, si ottiene un’equazione equivalente a quella data

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

aacbbx

242

�� (1)

� il termine �� acb 42 e’ detto discriminante� se b≠0 e c≠0, l’equazione e’ completa� se b=0 e c≠0, l’equazione è incompleta ed è detta pura� se c=0 e b≠0, l’equazione è incompleta ed è detta spuria

EQUAZIONI IRRAZIONALI

Un'equazione è irrazionale se contiene almeno un radicale nel cui radicando compare l'incognita.

Ad esempio

xx 342 �� , è un'equazione irrazionale;624 ��x , non è un'equazione irrazionale.

Data un'equazione A(x)=B(x), consideriamo l'equazione � �� nn xBxA � :� se n è pari, essa ha come soluzioni, oltre a quelle di A(x)=B(x), anche quelle di A(x)=-B(x);� se n è dispari, essa è equivalente a quella data.

EsempioRisolvere la seguente equazione

912 �� xx

e l'equazione

22 )9()12( �� xx

Si ottengono le stesse soluzioni? Le due equazioni sono equivalenti?

[La prima equazione dà come soluzione 10��x , la seconda invece ��

��

�

�

��

3810

2

1

x

x]

Per risolvere un'equazione irrazionale

)()( xBxAn�

è necessario "liberarci" in qualche modo dei radicali presenti, per ricondurre il problema allasoluzione di una equazione razionale che ci dia buone informazioni sulle soluzioni dell'equazioneiniziale. Per fare questo operativamente dobbiamo:

� elevare a n entrambi i membri dell'equazione;� controllare se n è pari o dispari: se n è dispari, le soluzioni dell'equazione ottenuta sono le stesse

dell'equazione irrazionale; se n è pari, possiamo eseguire il controllo delle soluzioni medianteverifica.

Esempio

62632�� xxx

Elevando entrambi i membri al quadrato otteniamo

042273 2�� xx equivalente all’equazione : 01492

�� xxche ci dà come soluzioni 2;7 21 �� xx .Questi valori saranno anche soluzione dell'equazione di partenza?Per verificarlo sostituiamo 7 e 2 nell'equazione irrazionale data.

Sostituiamo x=7

Primo membro Secondo membro

862149 �� 8672 ��

Ora sostituiamo x=22664 �� 26)2(2 ��

Nel secondo caso, poiché i due membri dell'equazione non hanno lo stesso valore, la radice x=2 nonè soluzione dell'equazione irrazionale.

N.B.: C'è un altro metodo per verificare quali soluzioni sono accettabili? Si, bisogna imporre la nonnegatività del radicando e del secondo membro, ottenendo così la condizione 3�x

DISEGUAGLIANZE E DISEQUAZIONI

� proprietà delle disuguaglianze:

1.dati tre numeri a,b,c reali: se a<b allora a�c<b�c, se a>b allora a�c>b�c

2.dati tre numeri a,b,c reali diversi da zero, se a>b oppure a<b e c>0 allora ac>bc oppureac<bc; se a>b oppure a<b e c<0 allora ac<bc oppure ac>bc

DISEQUAZIONI IRRAZIONALI

Le disequazioni irrazionali del tipo )()( xBxA � sono equivalenti a un sistema di tredisequazioni:

��

��

�

�

�

�

��2)]([)(

0)(0)(

)()(xBxA

xAxB

xBxA

Mentre le disequazioni irrazionali del tipo )()( xBxA � hanno come insieme di soluzionel'unione degli insiemi delle soluzioni di due sistemi, ognuno di due disequazioni:

��

�

��

��

�

�� 2)]([)(

0)(0)(0)(

)()(xBxA

xBxAxB

xBxA

Esempio

125 2�� xx (oppure 2251 xx �� )

La disequazione ha senso quando��

��

�

��

��

��

22

2

)1(2501

025

xxx

x

N.B.: La prima condizione è necessaria perché esista la radice, la seconda perché se 1�x ladisuguaglianza in questione non sarà mai verificata (perché si chiede che una quantità positiva alprimo membro sia � di una quantità negativa al secondo membro!).Si ottiene quindi, dopo brevi passaggi,

��

��

�

��

�

��

0121

55

2 xxx

x

Le soluzioni accettabili sono quindi 54 �� x .Potrebbe essere utile provare a fare i grafici di

22 )1(,1,25 �� xxx

per capire la discussione algebrica del sistema.

Esercizi1. Risolvere le seguenti equazioni irrazionali, controllando l'accettabilità delle soluzioni.

)1(352 �� xx [Perché la soluzione 92 non è accettabile?]

xxxx ��2)1(1)2(3 [0; -4]

)31(32)13(

51 xxx �� [-5]

2262 �� xxx [Perché la soluzione 13� non è accettabile?]

(dopo aver elevato al quadrato due volte, si ottiene 43 2�� x ….)

xx �2 [0; 41 ]

2. Risolvere le seguenti disequazioni irrazionali:

xxx �� 232��

��

��

320 x

131 �� xx ��

��

�� 0

31 x

N.B.: il grafico riassuntivo di questa disequazione irrazionale è il seguente

-131

� 0

651 �� xx � �3�x

CAPITOLO 4SISTEMI

Teoria in sintesi

� Una coppia di equazioni di primo grado in due variabili si chiama sistema lineare diequazioni. Soluzione del sistema è l’insieme di tutte e sole le soluzioni comuni alle dueequazioni, cioè tutte le coppie (x,y) che soddisfano contemporaneamente le due equazioni.

� Un sistema di due equazioni di primo grado in due variabili è scritto in forma normale

quando assume la forma: ��

��

��

'cy'bx'acbyax

con a,b,c,a’,b’,c’ � R.

� INTEPRETAZIONE GRAFICA: un’equazione di primo grado in due incognite ammetteinfinite soluzioni. Ognuna di queste è interpretabile come un punto sul piano cartesiano.Ricordiamo che un’equazione di primo grado in due variabili ha come rappresentazioneuna retta, e viceversa ad ogni retta corrisponde un’equazione lineare in due variabili.

� Nella tabella è considerato uno stesso problema dal punto di vista algebrico e dal punto divista geometrico:

Equazioni lineari in x, y Insieme delle soluzioni Soluzione del sistemaax + by = c I1 = � �);.....y,x();y,x( 2211 I1 � I2 = (x1, y1)a’x + b’y = c’ I2 = � �);.....y,x();y,x( 3311 RETTE PUNTI DELLE RETTE PUNTO INTERSEZIONE

DELLE RETTE

� Trovare le soluzioni di un sistema lineare corrisponde geometricamente allo studiodell’intersezione di due rette di equazioni date.1

� Due sistemi si dicono equivalenti se ammettono la stessa soluzione.

1 Se non si ricordano alcune relazioni fra punti del piano cartesiano e l’equazione della retta si riveda il cap.2“Coordinate cartesiane e geometria Analitica”

SISTEMI DETERMINATI, INDETERMINATI E IMPOSSIBILI

Sistema impossibile

Consideriamo il seguente sistema: ��

��

��

1222

yxyx

. Risolviamo le due equazioni rispetto

all’incognita y:

��

��

��

1222

yxyx

� ��

��

�

��

��

212

xy

xy

Uguagliando i due secondi membri si ottiene: x + 2 = x + ½ che è un’equazione impossibile.Graficamente abbiamo l’equazione di due rette con uguale coefficiente angolare, ma diversaintercetta sull’asse delle y, cioè due rette parallele.

Sistema indeterminato

Sia dato il sistema: ��

��

�

��

��

223

432

yx

yx. Risolviamo entrambe le equazioni rispetto a y:

��

��

�

��

��

34

32

34

32

xy

xy .

Uguagliando i due secondi membri si ottiene l’equazione in x:

34

32

34

32

�� xx che è un’equazione indeterminata (ammette ogni valore come soluzione).

Quindi il sistema ammette infinite soluzioni. Graficamente abbiamo l’equazione di due rette conuguale coefficiente angolare e uguale intercetta sull’asse delle y, cioè due rette coincidenti con tuttii punti in comune.

In generale: scrivendo, secondo il procedimento del confronto, il sistema: ��

��

��

'cy'bx'acbyax

in modo

che le due equazioni assumano la forma esplicita dell’equazione della retta, si ottiene la forma:

��

��

�

��

��

'b'cx

'b'ay

bcx

bay

ciascuna delle due equazioni corrisponde ad una retta di coefficiente angolare rispettivamente:m = -a/b e m’ = -a’/b’. Abbiamo allora tre casi possibili.

RETTE INCIDENTI RETTE PARALLELEDISTINTE

RETTE PARALLELECOINCIDENTI

Coefficienti angolari differenti:a / b � a’ / b’

Coefficienti angolari uguali, mac / b � c’ / b’

Coefficienti angolari uguali ec / b = c’ / b’

Il sistema ammette unasoluzione . Si dice determinato

Il sistema non ha soluzioni.E’ impossibile.

Il sistema ha infinite soluzioni.E’ indeterminato.

RISOLUZIONE DI UN SISTEMA LINEARE

Metodo del confronto

Dato il sistema espresso in forma normale, ��

��

��

'cy'bx'acbyax

, si possono risolvere entrambe le

equazioni rispetto alla stessa incognita (ad esempio y, in modo da ottenere la forma esplicitadell’equazione della retta) e poi uguagliare i secondi membri dell’equazione.

Esempio

Dato il sistema: ��

��

��

3342

yxyx

:

a. Risolviamo entrambe le equazioni rispetto alla lettera y: ��

��

�

��

��

331

42

xy

xy

b. Uguagliamo i secondi membri: 2x – 4 = -1/3 x + 3c. Risolviamo l’equazione in x: 7/3 x = 7 � x = 3d. Sostituiamo il valore di x in una delle due equazioni: y = 2 .3 – 4 = 2e. (3 ; 2) è la soluzione del sistema.

Verifichiamo graficamente rappresentando sul piano cartesiano le due rette di equazioniy = 2x – 4 e y = - 1/3 x + 3:

In sintesi:1. si risolvono le due equazioni rispetto alla stessa incognita y;2. si uguagliano i secondi membri delle due equazioni;3. si risolve l’equazione in x ottenuta;4. si sostituisce il valore ottenuto nella prima equazione, ottenendo così il valore dell’altra variabile.

Metodo di sostituzione

Esso consiste nel ricavare un’incognita da una delle due equazioni, per poi sostituire il valoreottenuto nell’altra equazione.

Esempio

E’ dato il sistema: ��

��

��

32523

yxyx

:

a. Ricaviamo x dalla seconda equazione: ��

��

��

32523

yxyx

b. Sostituiamo il valore della x nella prima equazione : otteniamo così un’equazione nella sola incognita y:

��

��

��

3252323

yxy)y(

c. Risolvendola si ottiene: y = -1/2

d. Ora possiamo sostituire il valore di y nella seconda equazione e ricavare il valore di x:

��

��

�

��

��

21

3212

y

)(x

e. La soluzione del sistema è (2, -1/2 ).E’ sempre opportuno accompagnare la soluzione algebrica del sistema con quella grafica.

Sistema in forma normale ��

��

��

32523

yxyx

Sistema in forma esplicita

��

��

�

��

��

23

21

25

23

xy

xy

In sintesi:1. si risolve una delle due equazione rispetto a una delle incognite;2. si sostituisce il valore così ottenuto nell’altra equazione, che si trasforma in un’equazione in una incognita;3. si risolve l’equazione;4. si sostituisce il valore ottenuto nella prima equazione, ottenendo così il valore dell’altra variabile.

Metodo di addizione o sottrazione

Se in un sistema si sostituisce un’equazione con quella ottenuta sommando o sottraendo ad entrambii membri di un’equazione i due membri dell’altra, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.Dimostriamo che questo metodo è valido in generale. Infatti se (x1, y1) è soluzione del sistema:

��

��

��

00

'cy'bx'acbyax

è anche soluzione dell’equazione (ax + by + c) + ( a’x + b’y + c’) = 0 (1).

La dimostrazione è immediata, poiché (x1, y1) rende nulli i due fattori in parentesi ed è perciòsoluzione dell’equazione (1). Quindi se a una delle equazione del sistema sostituiamo un’equazioneequivalente, l’insieme delle soluzioni non cambia.

Esempio

Sia dato il sistema: ��

��

��

32523

yxyx

. Se ai due membri della prima equazione si sommano i due della seconda ( che sono

uguali fra loro) si ottiene:

3x + 2y = 5 x – 2y = 34x -- = 8

Si ottiene così il sistema ��

��

�

3284yx

x. Dalla prima equazione si ricava il valore della x = 2 e sostituendo nella seconda

equazione si ha y = -1/2. E’ facile verificare che (2, -1/2) è la soluzione del sistema ��

��

��

32523

yxyx

e quindi esso è

equivalente al sistema ��

��

�

3284yx

x.

Si chiama combinazione lineare di due equazioni l’equazione che si ottiene sommando tra loro i relativi membri delledue equazioni, moltiplicati o divisi per un qualunque numero (diverso da zero).

EsempioI equazione 3x – 2y + 5 = 0II equazione 2x + 4y +1 = 0Combinazione lineare k(3x – 2y + 5) + h(2x + 4y +1) = 0 � h,k � R

Metodo della combinazione lineare

Un sistema di equazioni di primo grado in due incognite è equivalente a un altro sistema chesostituisca a una delle equazioni una qualunque combinazione lineare delle stesse.

Esempio

Risolvere il seguente sistema: ��

��

��

1645532

yxyx

.

Si moltiplicano i due membri della prima equazione per 5 e quelli della seconda per (-2), in modo che sommandomembro a membro le due equazioni, sparisca l’incognita x.

��

��

��

1645532

yxyx

� ��

��

��

32810251510

yxyx

� 15 y – 8y = 25 –32 � y = -1.

Sostituendo in una qualunque delle due equazioni, si trova x = 4. La soluzione del sistema è perciò (4, -1).

In sintesi:1. si moltiplicano entrambi i fattori di una o di entrambe le equazioni per fattori non nulli, scelti in modo che i

coefficienti ottenuti relativi a una variabile siano opposti;2. si sommano membro a membro le due equazioni ottenendo un’equazione in un’incognita;3. si risolve l’equazione nell’incognita;4. si sostituisce il valore ottenuto nella prima equazione, ottenendo così il valore dell’altra variabile.


1. Risolvere i seguenti sistemi applicando il metodo risolutivo indicato a lato:

a. ��

��

�

��

��

14

142xy

yx metodo del confronto

b. ��

��

�

��

��

x./yx

)y(x

5132

321

3 metodo di sostituzione

c. ��

��

��

8430532

yxyx

metodo di combinazione lineare

2. Risolvere i seguenti sistemi con il metodo che si ritiene più opportuno, evidenziando tutti i passiutilizzati:

a.

��

��

�

��

��

0523150

5503

2

)x(y.

)yx(.)yx(

b. ��

��

�

��

��

��

14

612

302

yxyx

3. Senza risolvere i sistemi, indicare quali tra i seguenti sono determinati, indeterminati o impossibili.Controllare le conclusioni mediante la rappresentazione grafica.

a. ��

��

��

03632

xyyx

b. ��

��

��

0432

yxyx

c. ��

��

��

1212

xyyx

4. Stabilire per quali valori dei parametri indicati il sistema è determinato:

a. ��

��

��

byxayx23

4 b.

��

��

��

ay)ba(axayax

23

c. ��

��

��

byyxbyx

22235

SOLUZIONI

1. a. (3/2 ; 7) b. (2; 13/3) ; c.(-4; -1)2. a.(4; 2) b. (6; 3)3. a. impossibile (infatti le rette sono parallele distinte); b. determinato (infatti le rette sono incidenti);

c. indeterminato (infatti le rette sono parallele coincidenti).4. a. per ogni valore di a e b visto che le rette sono incidenti (coefficiente angolare –1/4 per la prima e –

1/3 per la seconda); b. per b = 0 e a = 3/2 il sistema è indeterminato; per b = 0 e a � 3/2 il sistema èimpossibile; per b � 0 e � a il sistema è determinato; c. per b = 5 il sistema è impossibile; per b � 5 ilsistema è determinato.


1. Vero o Falso?a. Se (a,b) è la soluzione di un sistema di due equazioni lineari, il punto P(a;b) è il punto di intersezione delle retteche rappresentano le equazioni del sistema. [V]b. L’equazione 3x +2y = 6 ammette una sola soluzione. [F]c. Risolvere un sistema significa trovare quella coppia ordinata di valori che è soluzione di almeno una delleequazioni che lo determinano. [F]d. Due sistemi equivalenti hanno almeno una soluzione in comune. [F]

e. Si consideri il generico sistema: ��

��

��

'cy'bx'acbyax

: se ab’ = a’b allora il sistema ha infinite soluzioni; se c=c’=0

il sistema ha almeno una soluzione; se ab’ � a’b il sistema ammette come soluzione una coppia ordinata di valori. [FFV]

f. Le soluzioni di un sistema dipendono dal metodo utilizzato. [F]

g. Il sistema ��

��

��

22 ayxayax

è determinato per qualunque valore di a. [F]

h. Il sistema ��

��

��

2222

yxayax

per a = 1 è indeterminato. [V]

SISTEMI DI DISEQUAZIONI IN DUE VARIABILI

Dato un trinomio ax + by +c = 0 e chiamata d la retta di equazione ax + by +c = 0, possiamosuddividere il piano cartesiano in tre parti:

� tutti i punti (x,y) della retta d: ax + by +c = 0

� due semipiani individuati dalla retta d: ��

��

��

00

cbyaxcbyax

L’insieme delle soluzioni di una disequazione lineare in sue incognite è l’insieme delle coppie (x,y)di numeri reali che soddisfano la disequazione. Questo insieme è graficamente uno dei duesemipiani individuato dalla retta frontiera di equazione ax + by + c = 0.

� Semipiani chiusi ed aperti: nelle disequazioni ad un’incognita si incontrano espressioni dellaforma ax + b > 0 o cx + d � 0. Nel secondo caso anche l’estremo dell’intervallo fa partedella soluzione e si dice che l’intervallo è chiuso. Nel caso delle disequazioni in duevariabili, se nella disequazione anziché il segno < o > compare � o �, significa che l’insiemedelle soluzioni è l’unione dell’insieme della disequazione e dell’equazione. In pratica questovuol dire che anche la retta di frontiera appartiene all’insieme delle soluzioni.

fig 1 fig. 2Nella figura 1, la frontiera non appartiene all’insieme delle soluzioni ( 3x –2y < 6) . Il semipianoè aperto.Nella figura 2, la frontiera appartiene all’insieme delle soluzioni. Il semipiano è chiuso.

� Un sistema di due (o più) disequazione in due variabili è un insieme di due (o più)disequazioni. La soluzione di un sistema è l’insieme delle coppie di numeri reali chesoddisfano contemporaneamente le disequazione.

� Pertanto si risolvono separatamente le singole disequazione lineari in due incognite e sideterminano gli insiemi delle soluzioni I1, I2,…. Si trova quindi l’insieme S = I1 � I2 � I3che è l’insieme delle soluzioni del sistema.

� Graficamente l’insieme delle soluzioni del sistema è la figura poligonale piana intersezionedei semipiani che individuano gli insiemi soluzione delle singole disequazione lineari I1, I2

��

��

��

022

yxxy

��

��

��

13

xyxy

La soluzione del sistema è la zona del pianoevidenziata in rosso

Il sistema non ha soluzioni ( le rette sonoparallele)

Esempi

1. Determinare il dominio piano individuato da:

��

�

��

�

�

��

��

��

��

012012

0303

xyyx

xyxy

SOLUZIONEAnalizziamo le rette che definiscono la frontiera del dominio:y = - x - 3: parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante che interseca l’asse delle y nel punto dicoordinate (0,-3);y = x – 3: parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante che interseca l’asse delle y nel punto di coordinate (0,-3);y = -3x +1: retta avente coefficiente angolare –3, che interseca l’asse delle y nel punto di coordinate (0,1);y = 3x + 1: retta avente coefficiente angolare 3, simmetrica della precedente rispetto all’asse delle y, che intersecalo stesso asse nel punto di coordinate (0,1).Rappresentiamo graficamente la frontiera ricordando che le coppie ordinate di punti che appartengono alle ultimedue rette non sono incluse.

Il dominio richiesto è rappresentato dalla parte colorata.

2. Determinare il dominio piano individuato da: ��

��

�

��

��

��

04204

yxx

xyx.

SOLUZIONE

La frontiera di questo dominio è determinata da:y = x: bisettrice del primo e terzo quadrante;y = -x: bisettrice del secondo e quarto quadrante;x = 4: parallela all’asse delle y;y = 2x – 4 : retta di coefficiente angolare 2, che interseca l’asse delle y nel punto di coordinate (0,-4).

Il dominio richiesto è dato dalla parte di piano colorata.

SISTEMI DI DISEQUAZIONI

Per risolvere una disequazione fratta

0)()(�

xBxA

si studiano separatamente i segni del numeratore (N) e del denominatore (D), poi si determina ilsegno della frazione utilizzando la regola dei segni.La frazione si annulla se e solo se il numeratore è 0; non esiste se il numeratore è nullo.

Esempio

2;02;01;01;0

;021

��

��

�

�

�

xxDxxN

xx

-2 1D>0N>0

+ - +

le soluzioni sono quindi x < -2 � x > 1

Per risolvere un sistema di disequazioni si risolvono le singole disequazioni; poi si determina in quali intervalli sonoverificate contemporaneamente tutte le disequazioni.Lo schema può essere il seguente:

��

��

�

�

�

�

0)(0)(0)(

xCxBxA

Esempio

��

��

�

��

��

�

��

��

�

�

��

��

a

a

a

xxx

x

xxx

x

3124312

01012

022

-4 -1 2 31a

2a

3a

Sistema impossibile.

Per risolvere sistemi di disequazioni oppure disequazioni razionali fratte è possibile riferirsi alle rappresentazionegrafiche delle curve coinvolte.

Ad esempio, risolviamo la disequazione 2212

xx�

�� 0. (1)

L’interpretazione grafica della (1) è legata al seguente sistema:

��

�

��

�

�

�

��

��

0

2

12

2

1

22

1

yy

xy

xy

.

Rappresentiamo le due curve: y1 è una retta e y2 è una parabola.

La retta interseca l’asse delle x nel punto x = – 0.5 , mentre la parabola nei punti x = - �2 e x = �2.Dal grafico sopra indicato possiamo dedurre che:per x < -�2 sia la retta che la parabola giacciono nel semipiano delle y negative, pertanto il loro rapporto positivo; per -�2 < x < - 0.5 la retta giace nel semipiano delle y negative, mentre la parabola giace nel semipiano positivo delle y,quindi il loro rapporto è negativo; per – 0.5 <x < �2 sia la parabola che la retta giacciono nel semipiano delle y positivo,quindi il loro rapporto è positivo; per x > �2 la parabola giace nel semipiano delle y negativo, mentre la retta in quellopositivo, quindi il loro rapporto è negativo.Fatte queste considerazioni, giungiamo alla soluzione (evidenziata in rosso sull’asse delle x):x < -�2 � - 0.5 � x < �2 , dove il valore x 0 – 0.5 è incluso in quanto annulla il numeratore.


1. Risolvere le seguenti disequazioni:a. x2 + 2x –15 > 0b. x2 + 6x + 9 � 0c. (x2 –1)(x2 – 5) � 0

d. xx

�

�

21

� 0

e. 212

153 2��

�

�� xx

xx

2. Scrivere una disequazione frazionaria che abbia come insieme delle soluzioni S =� �107 �� xx .

3. Quali sono i valori di x affinché sia verificata 1/x < x ?

SOLUZIONE

1. a. x < -5 � x > 3; b. x � -3; c. -�5 � x � -1 � 1 � x � �5 ; d. x � 1 � x > 2 ; e. x � -5 - �28 �-5 + �28 � x < ½.

2. Può essere la disequazione �

�

�

71

x)x(x

0.

3. –1 < x < 0 � x > 1

APPENDICE

SISTEMI DI SECONDO GRADO

Nello studio delle equazioni delle rette nel piano cartesiano, abbiamo osservato che esiste unacorrispondenza tra il problema geometrico intersezione di due rette e il problema algebricorisoluzione di un sistema lineare.Questa corrispondenza può essere estesa anche al caso di un sistema di secondo grado. Il principio èdel tutto generale: le coordinate di un punto di una curva sono soluzioni dell’equazionerappresentativa della curva. Se due curve hanno uno o più punti comuni, le coordinate di questipunti sono soluzioni del sistema delle equazioni delle curve.

� Per la risoluzione algebrica si procede nel seguente modo:

a. si risolve l’equazione lineare rispetto ad un’incognita;b. si sostituisce il valore dell’incognita così determinato nell’equazione di II grado (si ottiene

un’equazione di secondo grado in una incognita che si chiama equazione risolvente delsistema);

c. si risolve l’equazione di secondo grado così ottenuta;d. si sostituiscono i valori così determinati per l’incognita nell’equazione lineare;e. si determinano i valori dell’altra variabile.

Casi particolari

Intersezione con l’asse delle x

Il sistema è: ��

��

��

�

cbxaxy

y2

0 ; l’equazione risolvente è 02

�� cbxax .

Le intersezioni della parabola con l’asse delle x sono (se esistono) le soluzioni dell’equazione diII grado. Si dice anche che sono zeri della funzione y = ax2 + bx + c, cioè i punti in cui lafunzione ha valore zero.

� Intersezione con una retta parallela all’asse delle y

Il sistema è ��

��

��

�

cbxaxy

kx2 .

Sostituendo ad x il valore k si trova un valore (ed uno solo) per y. Il sistema ha sempre una eduna sola soluzione: (k, ak2 + bk + c).

� Nel risolvere un sistema di secondo grado si ottiene un’equazione di secondo grado inun’incognita. Si hanno tre casi possibili.

Figura Segno di � Esempi� > 0

L’equazione ha due soluzionidistinte. Anche il sistemaammette due soluzioni,quindiretta e parabola hanno due puntiin comune (sono secanti).

��

��

��

��

1

332xy

xy

Equazione risolvente:x2–3x+2 = 0� = 9 – 8 = 1 > 0Soluzioni: x1 = 1 x2 = 2 y1 = 0 y2 = 3

� < 0

Non si hanno soluzioni reali. Ilsistema è impossibile. Retta eparabola sono esterne.

��

��

��

��

1

32xy

xy

Equazione risolvente:x2+x+ 4 = 0� < 0Nessuna soluzione reale.

� = 0

Due soluzioni coincidenti.E’ il caso di tangenza tra retta eparabola.

��

��

��

��

2

322xy

xy

Equazione risolvente: x2-2x+1 = 0� = 4 – 4 = 0Infatti l’equazione risolvente siscrive nella forma: (x-1)2 = 0Soluzioni: x1 = x2 = 1 y1 = y2 = -1

Esempi

� Risolvere il seguente sistema di secondo grado e interpretarlo graficamente:

��

��

��

��

12122

xyxxy

SOLUZIONE

Per la risoluzione algebrica di questo sistema si utilizza il metodo del confronto, visto che le dueequazioni sono esplicitate nella variabile y.Pertanto: 2x + 1 = x2 + 2x +1 � x2 = 0 � x = 0 e x = 0. Abbiamo cioè due soluzioni coincidentiin x = 0. Deduciamo quindi che la retta di equazione y = 2x +1 è tangente alla parabolay = (x+1)2 nel suo punto di ascissa nulla.La verifica geometrica è associata alla determinazione del � dell’equazione di secondo gradoottenuta: l’equazione risolvente risulta: x 2 = 0, il cui valore di � è 0. Pertanto è verificata laconclusione precedente.Le soluzioni del sistema sono: (0,1) ; (0,1).

� Determinare le intersezioni con l’asse delle ascisse della seguente parabola: y = -x2 + 7x –6.

SOLUZIONE

Per determinare le intersezioni della parabola data con l’asse delle ascisse si risolve il seguente

sistema: ��

��

�

��

0672

yxxy . Sempre utilizzando il metodo del confronto si ha: -x2 + 7x –6 = 0

� x2 - 7x + 6 = 0 � x1,2 = 2

24497 �� x1 = 6 e x2 = 1. Pertanto le soluzioni del sistema

sono: (1,0) e (6,0). Come si può vedere dalla risolvente il � è positivo, quindi la retta è secantela parabola.

� Risolvere il sistema: ��

��

��

��

1352 22

yxxxyyx .

SOLUZIONE

Questo sistema è di secondo grado ma non rientra nella trattazione posizione reciproca retta eparabola. Pertanto procediamo utilizzando uno dei metodi già analizzati in precedenza.Si risolve la seconda equazione rispetto ad x: x = 1 + y; si sostituisce nella prima equazione:(1+y)2–2y2+5(1+y)y=3(1+y); si riduce ora questa equazione in forma normale rispetto ad y:4y2 + 4y –2 = 0; si ricavano ora i valori di y dall’equazione di secondo grado: 2y2 + 2y –1 = 0,

ossia: y1 = 2

31�� e y2 = 2

31�� e si determinano i corrispondenti valori di x. Le soluzioni

sono: (2

31� ,2

31�� ) e (2

31� ,2

31�� ).


1. Risolvere i seguenti sistemi di secondo grado ed interpretarli graficamente:

a. ��

��

��

��

0359 2

xyxy

b. ��

��

��

��

0320122

xyyxx

c. ��

��

��

��

051682

xxxy

2. Decidere la posizione delle seguenti coppie di curve (retta e parabola):a. y = 2x e y = -x2 + 4;b. y = -x + 5 e y = x2 –x + 5;c. y = -3x + 1 e y = 0.5 x2 – x + 4

3. Risolvere il sistema di secondo grado:

��

��

��

��

21322 22

yxyxyx

Soluzioni1. a. � ( retta esterna alla parabola); b. (2,1) (2,1) ( retta tangente alla parabola); c. (5,1) (retta

secante la parabola).2. a. secanti; b. tangenti; c. esterne3. (3,1) e (-7,-9)


1. Rispondere Vero o Falso alle seguenti questioni:a. se una retta è tangente ad una parabola, il sistema dello loro equazioni ha � > 0 [F]b. Se il vertice di una parabola ha ascissa k, la retta tangente alla parabola nel vertice haequazione y = k . [F]c. Un sistema di secondo grado ammette al massimo due soluzioni. [V]

d. In un sistema di secondo grado un’equazione ed una sola è di secondo grado. [V]

e. Un sistema di secondo grado è rappresentabile geometricamente solo come l’intersezione diuna parabola con una retta. [F]

f. Le soluzioni di un sistema di secondo grado sono soluzioni di tutte le equazioni del sistema.[V]

g. Data la parabola di equazione y = x2 + 1 e le rette y = k, se k = 1 allora la retta è tangente allaparabola nel suo vertice. [V]

l. Dato il sistema ��

��

��

��

03922

yxyx esso ammette come unica soluzione (-3,0). [V]

CAPITOLO 5ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESPONENZIALI

Teoria in sintesi

Potenze con esponente reale

La potenza xa è definita:

� ; ogniper ,0 se R�� xa

� �

�� Rxa gli soli e per tutti ,0 se

� . gli soli e per tutti ,0 se Z�� xa

� Sono definite:

� � � � � �

. 3

13

; 77

; 333

22

3 232

2

�

�

��

�

� Non sono definite:

� � . 0 ; 0 ; 2 303 ��

Casi particolari :

� ; ogniper ,11 , 1 R�� x a x

� ; ogniper ,1 , 0 0 �

�� Ra ax

FUNZIONE ESPONENZIALE

Si chiama funzione esponenziale ogni funzione del tipo :

.xaay x R�� fissato, 0con ,

� Il dominio della funzione, cioè l'insieme dei valori che si possono attribuire a x è tutto R ;

� il codominio, cioè l'insieme dei valori che la funzione assume è R+ (la funzione esponenziale

è sempre strettamente positiva).

Si distinguono tre casi:

� : 1�a funzione crescente : ; yx aayx ��

� : 1�a funzione costante : ; ogni per1 R�� xa x

� : 10 �� a funzione decrescente : . yx aayx ��

I seguenti grafici illustrano il comportamento della funzione esponenziale y=ax nei vari casi

EQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMI

Teoria in sintesi

Un'equazione si dice esponenziale quando l'incognita compare soltanto nell'esponente di una o più potenze.

L'equazione esponenziale più semplice (elementare) è del tipo :

. equazionedell' incognital' è ; 0 e 0con , xbaba x��

Un'equazione esponenziale del tipo ba x� può essere impossibile, può ammettere come soluzione

ogni valore di x reale, o essere determinata :� impossibile se ; 51 oppure 32 :esempio ; 1 e 1 oppure ,0 ��

xxabb� verificata da ogni valore reale di x se ; 11 : esempio ; 1 ,1 ��

xba� determinata se . 53 : esempio ; 0 1 0 ��

xb,a,a

Si chiama logaritmo in base a di b l'unica soluzione dell'equazione esponenziale elementare

nel caso determinato, cioè l'esponente x da assegnare alla base a per ottenere il numero b .

Esempi:1.Supponiamo di dover risolvere un'equazione esponenziale ba x

� :� se a e b si scrivono come potenze (razionali) della stessa base, si eguagliano gli esponenti :

; 3 22 82 3�� xxx

� se a e b non si scrivono come potenze (razionali) della stessa base, le soluzioni si scrivonosotto forma di logaritmi : . 3 32 2logxx

��

2.Risolvere l’equazione esponenziale: 13333

3 222

��xx

x

� 333393 222��

xxx Sommando otteniamo:� 337 2

��x

� 7332

�x che, risolta utilizzando i logaritmi:

� 73log2 3�x e, quindi

� 73log

21

3�x

3.Risolvere l’equazione esponenziale: � � 11

81

412

�

�

�� x

xx

utilizzando le proprietà delle potenze (vedi appendice), otteniamo:

� 12 8222

��

��xxx

� � � 132 222 ��

��

�

xxx

� 332 222

��

�xxx dato che le basi sono uguali, possiamo uguagliare gli esponenti

� 3322�� xxx che è un’equazione di secondo grado in x

� 0122�� xx le soluzioni sono quindi:

� � � 101 2�� xx

4. Risolviamo l'equazione: 622 3��

�xx .

� Osserviamo che: xx

222

33

��

� L'equazione assegnata è equivalente a: x

x

x

x

xx

226

2822 6

282

x�

��

��

� Il denominatore, essendo una funzione esponenziale, non può assumere il valore zero. Possiamo moltiplicareper x2 entrambi i membri, ottenendo:

� � 082622

��xx .

a = bx

x = log ba

a = base dell’eponenziale e del logaritmo

� Si vede chiaramente la struttura di equazione algebrica di II grado nell'incognita x2 .Risolvendo tale equazione(può essere utile introdurre una variabile ausiliaria xz 2� per rendere più evidente la natura di equazione disecondo grado: 0862

�� zz ) si ha:22 �

x 1�x oppure 42 �

x 2�x


1. Tenendo presente che nm

n m xx � , scrivere le seguenti potenze sotto forma di radice:

a) ;31 ;4 ;3

23

32

85

��

��

�

2. Scrivere le seguenti radici sotto forma di potenza con esponente razionale:a) ;0.25 ;243 ;2 446 5

3. Risolvere le seguenti equazioni esponenziali:

a) ��

��

��

29 2162 x

b) ��

��

��

65

212

aaaa xx

c) � �1 7222 11��

�� xxx

d) ��

��

� ��

537

37 753 5 log

logloglogx

e) � �2 ;1 33393 12��

�xxx

SOLUZIONI

1.a) 8 53 b) 3 24 c) 23

31

2.a) 65

2 b) 45

3 c)41

41��

��

�

3.a) ��

��

�

29 b) [5/6] c) [1] d) �

�

��

� ��

5log3log7log

37log5

e)[-1,2]


1. Scrivere le seguenti potenze sotto forma di radice:

a) .3

11 ;41 ;2

52

32

34 ��

�

��

��

��

��

�

2. Scrivere le seguenti radici sotto forma di potenza con esponente razionale:

a) .7194 125

1 ;2561 ;

21

3. Risolvere le seguenti equazioni esponenziali:

a. ��

��

��

21 428 xx

b. � �soluzione nessuna 224 �� xx

c. � �1 0; 433 1��

�xx

d. ��

��

��

23 ;1 5226

loglogxx

e. � �3 ;3 032252 232 logxx

��

FUNZIONE LOGARITMICA

Teoria in sintesi

� Si chiama funzione logaritmica ogni funzione del tipo :

�

�� Rxaaxy a fissato, 1 e 0con , log

� La funzione logaritmica è l'inversa dell'esponenziale, pertanto dominio e codominio risultano scambiati rispetto a quelli della funzione esponenziale.

� Il dominio della funzione, cioè l'insieme dei valori che si possono attribuire a x è R+ ;

� il codominio, cioè l'insieme dei valori che la funzione assume è R .

Si distinguono due casi:

� : 1�a funzione crescente : ; ylogxlogyx aa ��

� : 10 �� a funzione decrescente : ; ylogxlogyx aa ��

I grafici della funzione logaritmica si ottengono da quelli della funzione esponenziale per simmetria rispetto alla bisettrice del I e III quadrante ( xy � ) ; i grafici che seguono illustrano il comportamento della funzione logaritmica xy alog� nei due casi :

EQUAZIONI LOGARITMICHE

Teoria in sintesi

� Un'equazione si dice logaritmica quando l'incognita compare soltanto nell'argomento di uno o più logaritmi.

� L'equazione logaritmica più semplice (elementare) è del tipo :

. equazionedell' incognital' è 0 ; e 0con , log �� xbabxa R

� La sua soluzione, per quanto detto a proposito dell'equazione esponenziale, è : bax � .

Per risolvere un'equazione logaritmica conviene:

1. (quando è possibile) trasformare l'equazione data in una equivalente del tipo� � � �xBlogxAlog aa � , applicando le proprietà dei logaritmi (vedi appendice)

2. determinare le soluzioni dell'equazione � � � �xBxA � ;

3. eseguire il controllo mediante verifica diretta dei valori di x calcolati al punto 2 ;

4. in alternativa al punto 3, associare all'equazione di cui al punto 2 tutte le condizionidi esistenza sui logaritmi (ricordiamo che un logaritmo è definito soltanto per valori positivi del suo argomento), per selezionare le soluzioni accettabili.

Esempi

1. Risolviamo l'equazione: 735 �� x .

� Possiamo trasformare l'equazione eseguendo il logaritmo (in una base qualsiasi, per esempio in base 10) delprimo e del secondo membro:

� � 735 loglog x �� .� Applichiamo la proprietà 2) dei logaritmi: (appendice)

735 logloglog x�� .

� Applichiamo la proprietà 1) dei logaritmi:735 loglogxlog �� .

� Isolando x otteniamo:

357

logloglogx �

� (*) .

� In alternativa potevamo isolare x3 , ottenendo:

573 �

x .

� Prendendo il logaritmo in base 3 di entrambi i membri si ha:

� 5757

333 logloglogx ��

� Utilizzando la formula di cambiamento di base 4) si ottiene (*).

2. Risolviamo l'equazione logaritmica:� � � � 221 333 �� xlogxlogxlog .

� Imponiamo le condizioni di esistenza sui logaritmi dell'equazione data, ricordando che gli argomenti devono essere positivi:

��

��

�

��

�

�

�

��

��

�

�

�

�

2 021

0

0201

xxxx

xxx

� cioè alla variabile x si possono assegnare solo i valori maggiori di 2.� Risolviamo l'equazione applicando la proprietà 3) dei logaritmi e osservando che 2

3 32 log� :

��

�

��

�

�

�

�

233 32

1 xlogxxlog

� Uguagliando gli argomenti si ha la seguente equazione equivalente:

215711 0911

921

212 �

��

�,xxxx

xx

.

� Il valore 2

15711 ��x è minore di 2, quindi non è compatibile con le condizioni

di esistenza. L'unica soluzione dell'equazione è data da:

215711 �

�x .


Risolvere le seguenti equazioni logaritmiche:

a) � � 31log2 ��xb) � � � � 5log1log2log �� xxc) � � 3log2log2 22 �� xx

d) � � log211log 33 xx ��

SOLUZIONI

a)[9] b)[�] c)[6] d) ��

��

� �

253


Risolvi le seguenti equazioni logaritmiche:

a) � � ��

��

��

25 52 xloglogxlog

b) � � � � ��

��

�� 9 ;

23 28121 logxlogxlog

c) � �810loglog3 39 �� xxd) � �16,2054log2log2 4 �� xx

DISEQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE

Teoria in sintesi

� Le disequazioni esponenziali si presentano nella forma: ba x� oppure ba x

�

� Risolvere queste disequazioni significa stabilire per quali valori di x la curvaesponenziale si trova rispettivamente al di sotto o al di sopra della retta y=b:

� (1) Nel caso a>1 si ha pertanto ba x� :

e la disequazione risulta verificata per bx alog� . � (2) ba x

� se bx alog�

� (3) Nel caso 0<a<1 abbiamo ba x� se:

e la disequazione è verificata per bx alog�

� (4) ba x� , se bx alog�

� notiamo che, nel caso a>1, se b<0 (e cioè la retta si trova nel semipiano delle ordinatenegative),la disequazione ba x

� non ammette soluzioni reali , mentre la disequazioneba x

� è verificata per ogni valore reale di x

Un discorso analogo vale per le disequazioni logaritmiche bxa �log oppure bxa �log Il grafico che segue rappresenta le due situazioni nel caso (5) a>1 (6) 0<a<1

� notiamo che le disequazioni logaritmiche bxobx aa �� loglog hanno soluzionisolo positive (x>0 per l’esistenza del logaritmo), mentre possono avere soluzioni perogni valore reale di b

Esempi


� 25log2510 10�� xx

� xdi reale valorequalsiasi1010 ��x

� 381

21

��

��

xx

(la base dell’esponenziale è minore di 1, caso (3) della teoria in sintesi)

� 2551

4

��

��

��

xx

. La disequazione è definita per ogni x�0. La scriviamo come 24

51

51 �

�

�

�

�

�

�

��

�

�

�

�

� xx

e,

poiché la base è minore di 1, otteniamo : 24��

�

xx

. Risolvendola :

0:0,34:004302424

��

��

��

�� xDxN

xx

xxx

xx

xx

da cui: 034

�� x

� 10log5 ��x-1010 5x0 essere dovrà logaritmo, del esistenzal'per 0 xpoiché e,5 ��

�x

� 2

21 2

12log ��

��

�� xx poiché la base del logaritmo è minore di 1 (caso (6) della teoria in sintesi)

� � � � �32log4log 33 �� xx . Poniamo innanzitutto le condizioni di esistenza dei due logaritmi:

��

��

�

��

��

��

��

��

234

03204

x

x

xx

che, dovendo valere entrambe portano all’unica condizione: 23

��x .

Risolviamo ora la disequazione. Dato che la base è maggiore di 1, dovrà essere 324 �� xx cheha come soluzione 1 xcioè ,1 �� x . Confrontando la soluzione ottenuta con le condizioni

poste, si ha la soluzione della disequazione logaritmica data: 123

�� x

� 08log6log 22

2 �� xx . Posto xy 2log� e la condizione x>0 , si ottiene la disequazione

0862�� yy . Calcoliamo il 43236 �� e quindi le soluzioni sono:

242

262,1 ��

�� yeyy . Quindi la disequazione è verificata per y<2 o y>4.

Dato che xy 2log� , dobbiamo risolvere le due disequazioni 42log2 �� xx e

164log2 �� xx . Poiché avevamo la condizione x>0 posta sul logaritmo, le soluzioni sono:0<x<4 e x>16


Risolvere le disequazioni:a. 042 7

��x

b. 028

12�

�

�

x

x

c. 01621022��

xx

d. � ��

2

22

1

512.0

xxx

�

�

��

��

��

e. � � 112log31 ��x

f. x

x10

10 log21log ��

g. 03log4log 323 �� xx

SOLUZIONIa. qualsiasi valore reale di b. 0<x<3 c. 1<x<3 d.x<1/4e.x>2/3 f.1/10<x<1 ; x>100


1. ��

��

��

72log1222 2

11 xxxx

2. � �00512

��x

3. � �053

52

51

1 ��

��

�

xx

x

4. � � � � � � � �22log1log2log21

21

2

21 �� xxxx

5. � �1011log10 �� xx

APPENDICE

ESPONENZIALI

1.proprietà delle potenze. Le proprietà delle potenze valgono per esponenti reali:

� �

� �

11 5.

; 4.

; : 3. ; 2.

; 1.

: vale a tiappartenen ogniper ,0 Se

x

xx

xxx

yxyx

yxyx

yxyx

aaa

baba

aaaaaa

aa

x, ya

��

��

��

��

�

��

�

�

�

�

�

R

LOGARITMI

1.Il logaritmo risulta essere l'operazione inversa dell'esponenziale, pertanto le limitazioni cuiè soggetto l'esponenziale si riflettono sul logaritmo: fissata la base a>0 , deve essere b>0 ,inoltre valgono i casi particolari: . poichè, 1 ; 1 poichè, 01 10 aaalogalog aa ��

2.Proprietà dei logaritmi. Analogamente, alle proprietà degli esponenziali precedentementeelencate corrispondono le seguenti proprietà dei logaritmi:

. logaritmi nei base di ocambiament di formula );0( loglog

log 4)

; )0 ,0 ; 0( logloglog 3)

);0 ,0 ; 0( logloglog 2) ; )0 ; 0( loglog 1)

��

��

��

��

a, b, cba

b

ayxyxyx

ayxyxyxaxxyx

c

ca

aaa

aaa

ya

3. I logaritmi che compaiono sulle calcolatrici sono in base 10�a oppure in base 7182,ea �� :xlog indica il xlog10 , detto anche logaritmo decimale; xln , indica il xloge , detto anche

logaritmo naturale o neperiano.

CAPITOLO 6

TRIGONOMETRIA

Teoria in sintesi

� Le principali unità di misura degli angoli piani sono: il grado sessagesimale (deg sullecalcolatrici), il grado centesimale (grad sulle calcolatrici) e l’angolo radiante (rad sullecalcolatrici). In matematica viene usata abitualmente la misura lineare degli angoli che hacome unità di misura il radiante.Tale modalità di misurazione si fonda sulla corrispondenzabiunivoca che sussiste tra gli angoli al centro di una circonferenza e gli archi corrispondenti,e consente di trasferire il problema della misura di un angolo alla misura di un arcorettificato.

Si dice angolo radiante quell’angolo � al centro di una circonferenza che sottende un arcoavente misura uguale al raggio. La misura in radianti di un generico angolo � è data dalrapporto �/�.

In base alla proporzionalità diretta tra angoli � al centro ed i relativi archi di lunghezza � in unacirconferenza, possiamo scrivere:

� : � = a : r

Dalla relazione sopra indicata si mette in evidenza che la misura in radianti di un angolo è ugualealla misura lineare di un arco, calcolata rispetto al raggio della circonferenza cui angolo ed arcoappartengono.Se � è l’angolo giro, allora l’arco a ad esso corrispondente è tutta la circonferenza: di conseguenzaabbiamo la proporzione:

rr�

��

� 2

cioè:� / � = 2�

che indica che l’angolo giro è 2� volte l’angolo radiante.

� Stabilite le convenzioni di misura in radianti e ricordando che un angolo è definito positivoquando viene scelto il verso antiorario, consideriamo un angolo orientato � di vertice V e

lati a e b. Preso sulla seconda semiretta un punto P arbitrario, purché distinto dal vertice V,proiettiamolo sulla prima semiretta a: sia H il piede della perpendicolare da P su a.

Consideriamo nel triangolo rettangolo VHP i rapporti fra i segmenti orientati:HP / VP VH / VP HP / VH

Si dimostra che: HP / VP VH / VP HP / VH dipendono unicamente dall’angolo � e non dallascelta del punto P sulla semiretta b.1

� I tre rapporti scritti in precedenza individuano allora tre funzioni dell’angolo � che vengonochiamate:

�� sinVPHP �� cos

VPVH �� tg

VHHP (rispettivamente seno, coseno e tangente di �)

Passando dagli angoli alle loro misure relative dobbiamo sottolineare che: la funzione tangente èdefinita per � � �/2 + k� con k � Z.Ricordiamo che i valori per il quali tg � non è definita sono quelli che annullano la funzionecoseno. Infatti vale la seguente identità:

tg � = sin � / cos � con � � �/2 + k� e k � Z

� Una relazione che riveste particolare importanza, essendo la versione goniometrica delteorema di Pitagora è l’identità fondamentale della trigonometria. Riferendosi alla figuraprecedente e applicando il teorema di Pitagora al triangolo VHP si ha: (VH)2 + (HP)2 =(VP)2. Dividendo questa relazione per (VP)2 ( sempre nell’ipotesi P � V) si ha:

122�� )

VPHP()

VPVH(

da cui: cos2

� + sin2 � = 1

� Oltre ai rapporti definiti possiamo introdurre anche i loro reciproci, con i quali si ottengonofunzioni che riportiamo nel seguente riquadro insieme ai valori di � per i quali esse nonsono definite:

cosec � = 1 / sin � � � k� con k � Zsec � = 1 / cos � � � �/2 + k�cotg � = cos � / sin � � � k�(rispettivamente cosecante di � , secante di �, e cotangente di �)

1 La dimostrazione è riportata nell’appendice a trigonometria.

NOTO sen� cos� tg�

sen� sen� ��2sen1

��

�

2sen1

sen

cos� ��2cos1 cos�

�

��

cos

2cos1

tg��

�

2tg1

tg

��2tg1

1tg�

cotg��

2ctg1

1

��

�

2ctg1

ctg�ctg

1

VALORI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE DI ARCHI PARTICOLARI

� sen� cos� tg�

15° = �/124

26 �

426 � 32 �

18° = �/104

15 �

45210�

5525�

30° = �/6 1/2 3 /2 3 /3

45° = �/4 2 /2 2 /2 1

60° = �/3 3 /2 1/2 3

90° = �/2 1 0 non esiste

180° = � 0 -1 0

270° = 3/2� -1 0 non esiste

0° = 360° = 2� 0 1 0

ANGOLI COMPLEMENTARI, SUPPLEMENTARI ED ESPLEMENTARI

Consideriamo un triangolo rettangolo ABC di lati a, b, c ed angoli � e � oltre all’angolo retto (comein figura).

Si ha che b/a = sin � e b/a = cos � . Poiché il rapporto b/a è il medesimo deve valere la seguenterelazione: sin � = cos �. Ma � e � sono angoli complementari, pertanto � = �/2 - �; possiamo quindiriscrivere le relazioni sopra indicate così: sin � = cos (�/2 - �) (1) . Uscendo dall’ambitogeometrico strettamente determinato dai triangoli rettangoli e riferendosi ad angoli di misurarelativa � qualsiasi non è difficile riconoscere che le relazione (1) continua a valere.

Angoli complementari: sin � = cos (�/2 - �) cos � = sin (�/2 - �) Da queste due si può ottenere la relazione per la tangente e la cotangente di angoli complementari: tg � = sin � / cos � = cos ( �/2 - �) / sin (�/2 - �) = cotg (�/2 - �).

tg � = cotg (�/2 - �) � � � �/2 + k� cotg � = tg (�/2 - �) � � � k�

Da evidenti simmetrie sulla circonferenza si deducono poi i valori delle funzioni trigonometriche dialtri archi particolari.

Angoli supplementari: sin � = sin (� - �) cos � = - cos (� - �) tg � = - tg ( � - �)

Angoli esplementari: sin � = - sin (2� - �) cos � = cos (2� - �) tg � = - tg (2� - �)

Angoli opposti: sin � = - sin(- �) cos � = cos (- �) tg � = - tg (- �)

Esempi

1. Si vuole calcolare la misura in radianti dell’angolo interno � del pentagono regolare.

SOLUZIONE

Da un teorema di geometria sappiamo che la somma degli angoli di un poligono è data da tanti angoli piatti quantisono i lati meno due: dunque per un poligono di n lati, dà (n –2) angoli piatti. Nel nostro caso poiché si tratta di unpoligono regolare di n = 5 lati e altrettanti angoli �, abbiamo: 5 �° = (5 – 2) 180°, ovvero �° = 108°. Per avere lamisura di � in radianti, possiamo impostare proporzione:

108° : 180° = � : �da cui si ha: � = 3/5 � .

2. Quale relazione sussiste tra gli angoli che misurano (in gradi) � = 100° e � = 460° ?

SOLUZIONE

Essi differiscono di un giro completo, pertanto diremo che � è congruente a �.

3. Gli angoli che misurano (in radianti) �/2 e 15/2 � sono congruenti?

SOLUZIONE

Questi due angoli differiscono di 7�, ossia tre giri e mezzo, perciò non sono congruenti.

4. Determinare i valori delle funzioni dell’angolo � di cui è assegnato il coseno: cos � = 1/3, sapendo che 3/2 � <� < 2�.

SOLUZIONE

L’intervallo a cui appartiene � ci dice che il suo seno e la sua tangente saranno negativi. Perciò la scelta del segno èstabilita.Avremo:

sin � = - 911� = -

98

= - 3

22

tg � = sin � / cos � = -3

22 3 = - 22

5. Sapendo che sin � = 5

2, determinare i valori di cos � e tg �.

SOLUZIONE

Le informazioni che dà questo testo non sono sufficienti a determinare l’angolo � univocamente. Infatti dalla

rappresentazione grafica emerge che abbiamo due angoli che soddisfano la relazione sin � = 5

2. Il primo ha il

valore del coseno pari alla distanza OA ed il secondo è la distanza OB, con segno negativo.

Avremo cioè:

cos �1 = + 541� = 1/�5 tg �1 = 2/�5 . �5 = 2

cos �2 = - 1/�5 tg �2 = - 2.


1. Dopo aver disegnato gli archi corrispondenti a cos � = 23

, trovare dell’arco nel quarto quadrante

le altre funzioni trigonometriche.

2. Sapendo che � è acuto e positivo e che sen � = 3/5 calcolarne le altre funzioni trigonometriche.

3. Ragionando solo sulla circonferenza goniometrica completare con i segni > = < le seguenti:

46...........

6�� sensensen �

4cos

6cos...........

6cos ��

�

0...........36�� sensen �

0...........3

cos6

cos ��

�

4. Ragionando solo sulla circonferenza goniometrica provare che:

sen��–�� ) = sen �

sen (��–��) = cos �

sen (�� ) = - sen �

sen��- sen �

5. Semplificare le seguenti espressioni:

tg��)sen(�-�) cos(� + �) + tg2(�-�)cos2(-�)=

sen4� – sen2� – cos4� + cos2��

6. Verificare le seguenti identità:a. tg � + cotg � = 1/(sin � . cos �)b. tg2 � - sin2 � = tg2 � . sin2 �

c. 11

��

��

��

��

tgtg

cossincossin

SOLUZIONI

1. sin � = -1/2 ; tg � = -1/�3 ; cotg � = - �32. cos � = 4/5 ; tg � = ¾ ; cotg � = 4/33. a. < b. < c. < d. >5. a. 0 b. 0


1. Senza usare la calcolatrice, utilizzando le funzioni degli angoli noti, calcolare il valore delle seguentiespressioni:

a. sin(3/4 �) cos(�/3) – tg(�/6) tg(4/3 �) [�2 /4 – 1]b. �2 cos(�/4) + 2�3 sin(�/3) [4]

c. )(gcot)cos()(tg

)/(cos)/(sin

323

632

3767 22

��

��

��

�

��[(2�3 –1)-1]

2. Determinare per quali valori del parametro reale k hanno significato le seguenti relazioni. Calcolare poi lerestanti funzioni dell’angolo.

a. sin � = k2 – 4 [-�5 � k � -�3 � �3 � k � �5]b. cos � = 2 - �k [1 � k � 9]c. cos � = 1 – 2/k � < � < 1.5 � [1 < k < 2]d. tg � = k2 – 2k 1.5 � < � � 2� [0 � k � 2 ]

3. Utilizzando le relazioni fra le funzioni di angoli associati, semplificare le seguenti espressioni, trasformandolein modo che contengano il solo argomento �:

a. sin(� + �) . sin(� - �) + sin(�/2 - �) . cos(-�) + 1 [2cos2 �]b. (tg � + 1) ( -1 – tg(� - �)) + 2 cos2 (�/2 - �) + 2 cos2 (� - 3�) [(cos �)-2]

c. )cos()sin(

)cos(tg)(tg

)sin(

��

��

��

��

� 5121

[sin �]

4. Stabilire quali relazioni devono valere tra gli angoli � e � affinché valgano le seguenti uguaglianze:a. sin � - cos � = 0 [� + � = �/2 + 2k� � � - � = �/2 + 2k�]b. sin � + cos � = 0 [� - � = - �/2 + 2k� � � + � = 3/2 � + 2k�]c. tg � + tg � = 0 [� = - � + k�]

FUNZIONI GONIOMETRICHE

Con le scelte fatte sulla definizione dell’angolo, possiamo considerare le funzioni goniometrichecome funzioni reali di variabile reale, scriverne le equazioni nelle abituali denominazioni dellevariabili y = sin x, y = cos x, y = tg x…. e rappresentarne i grafici in un sistema di riferimento xOymonometrico.

� Cominciamo con y = sin x .

La curva rappresentata viene chiamata sinusoide. Vediamo alcune caratteristiche interessanti.� Periodicità: la funzione è stata rappresentata per x � [-�,�], intervallo di ampiezza pari a

2�. Pertanto il periodo della funzione è T = 2�. La parte di grafico nella semiretta delleascisse negative va interpretata come inversione del verso di rotazione sulla circonferenzagoniometrica.

� Limitatezza: il codominio della funzione non può assumere valori al di fuori dell’intervalloy � [-1, 1]. Questa caratteristica si esprime dicendo che y = sin x è una funzione limitata: ilvalore –1 è il minimo ed il valore 1 è il massimo, tra quelli che essa può assumere.

� Estremanti: per la periodicità della funzione ci sono infiniti punti in cui essa assume ilvalore di massimo, di ascissa x = �/2 + 2k� con k � Z, e infiniti punti in cui essa assume ilvalore di minimo, di ascissa x = -�/2 + 2k� con k � Z

� Zeri: sono da segnalare anche gli infiniti punti in cui la sinusoide interseca l’asse delleascisse, ovvero gli infiniti zeri della funzione y = sin x, di ascissa x = k�, con k interorelativo.

� Simmetrie: la sinusoide ha molte simmetrie assiali e centrali: evidenziamo solo le due piùsignificative.

a. la curva è simmetrica rispetto all’origine O: infatti la funzione seno è dispari e �x � R vale:sin(- x) = - sin x;

b. il grafico è simmetrico rispetto alla retta di equazione x = �/2. infatti secondo la relazionetra gli archi supplementari, vale:� x � R, sin (� - x) = sin x. Ora, gli archi �1 = � - x e �2 =x sono simmetrici rispetto a x = �/2 , che è il loro punto medio: (�1 + �2) /2 = �/2.

Rappresentiamo ora la funzione y = cos x:

Potremmo seguire il procedimento adottato per la funzione seno in riferimento allacirconferenza goniometrica. Ma ricordiamo l’identità trovata nel paragrafo precedente:

� x � R vale: cos x = sin(x + �/2)Quindi il grafico della funzione coseno può essere ottenuto dal grafico della sinusoide mediantel’applicazione di una traslazione di vettore v (-�/2, 0).

La curva ottenuta viene chiamata cosinusoide. La simmetria della sinusoide rispetto alla retta x= �/2 si trasforma nella simmetria della cosinusoide rispetto all’asse delle ordinate, ossia al fattoche la funzione coseno è una funzione pari, per la quale vale: � x � R: cos(-x) = cos x.Anche le altre proprietà della funzione coseno sono ereditate dalla funzione seno.

Analizziamo ora il grafico della funzione y = tg x:

� non è limitata: e il suo codominio è tutto l’asse reale;� non ha estremanti� non è definita in x = �/2: perciò anche il dominio non sarà costituito da tutto l’asse

reale.� Periodicità: T = �;

� Dominio: D = �

�

�

�

�

��

�

� Zk,kx:Rx2

� Codominio: C = R� Zeri: x = k�, con k � Z� In corrispondenza dei valori esclusi dal dominio, abbiamo che tutte le rette di equazioni

x = �/2 + k� sono asintoti verticali per la funzione� Ogni zero della funzione è anche centro di simmetria per il suo grafico; in particolare

questo è simmetrico rispetto all’origine: vuol dire che la funzione tangente è dispari: � x � �/2 + k� vale tg (- x) = - tg x.

Esempi

� Rappresentare il grafico della funzione y = sin (x - �) per x � [0, 2�].

Il grafico della funzione data si costruisce a partire dal grafico della funzione y = sin x a cui si è applicata unatraslazione di vettore v (�,0).Ossia:

Questo è il grafico della funzione y = - sin x. Per verificare la validità dell’affermazione, si consideri l’identità: sin(x - �) = sin (- (� - x)) = - sin(� - x) = - sin x per ogni x reale.� Rappresentare il grafico della funzione y = 2 cos (�/2 – x) per x � [0, 2�].Il grafico della funzione proposta si ottiene dal grafico di y = cos x mediante una traslazione di vettore v (�/2, 0) euna dilatazione di 2 unità lungo l’asse delle y. Si vuole ricordare che la funzione coseno è una funzione pari e chevale l’identità:

cos(�/2 – x) = sin x � x R

� Rappresentare la funzione y = sin |x| in x � [-2�, 2�].Il grafico della funzione indicata si determina a partire dal grafico della funzione y = sin x, ribaltando nel semipianodelle x negative la parte di grafico che sta nel semipiano delle x � 0.


Rappresentare i grafici delle seguenti funzioni goniometriche per x � [- 2�, 2�] avendo cura di indicareda quale grafico si deduce e quali sono le trasformazioni applicate:a. y = - sin (�/2 – x)b. y = cos |x|c. y = tg(�/2 – x)d. y = 1-cos(x - �)

SOLUZIONIa. y = sin x : traslazione di vettore v(�/2, 0) e riflessione rispetto all’asse delle x;b. y = cos x: riflessione nel semipiano delle x < 0 della parte di grafico che sta nel semipiano delle x �

0;c. y = tg x: riflessione rispetto all’asse delle x e traslazione di vettore v(�/2, 0);d. y = cos x: traslazione di vettore v(�, 0), riflessione rispetto all’asse delle x e traslazione di vettore

v(1, 0).


1. La funzione y = sin x è una funzione:a. limitata, ossia il suo codominio è [-1,1];b. illimitata;c. sempre positiva;

d. sempre negativa. [a]

2. La funzione y = cos (�/2 - x)a. è definita solo per x � [-�/2, 3/2 �];b. è periodica di periodo T = �;c. è per ogni x la funzione y = sin x;d. è illimitata [c]

3. La determinazione delle funzioni y = cos x e y = sin x:a. è legata alla misura dell’angolo in radianti;b. dipende sia dalla definizione della misura lineare dell’angolo, che dal suo orientamento, positivo in

senso antiorario e negativo in senso orario;c. non dipende dall’angolo scelto;d. nessuna delle precedenti risposte è corretta. [b]

4. La funzione y = tg x:a. è illimitata;b. esiste per ogni valore di x reale;c. ha x = �/2 come unico asintoto verticale. [a]

5. L’espressione sin � = 3k –1 con k reale ha senso se:a. 2 < k < 3;b. 1 < k < 4/3;c. 1 � k � 2;d. 0 � k � 2/3. [d]

6. Il grafico della funzione y = sin (x + �/4):a. è ottenuto dal grafico di y = sin x mediante una traslazione di vettore v(�/4, 0)b. è ottenuto dal grafico di y = sin x mediante una traslazione di vettore v(�, 0)c. è ottenuto dal grafico di y = sin x mediante una traslazione di vettore v( -�/4, 0)d. è ottenuto dal grafico di y = sin x mediante una traslazione di vettore v( -�/2, 0) [c]

7. Il grafico della funzione y = 3 cos x :a. è ottenuto dal grafico di y = sin x mediante una traslazione di vettore v(�/4, 0)b. è ottenuto dal grafico di y = cos x mediante una traslazione di vettore v(�, 0)c. è ottenuto dal grafico di y = cos x mediante una dilatazione di 1/3 sull’asse yd. è ottenuto dal grafico di y = cos x mediante una dilatazione di 3 sull’asse y.

[d]8. Il grafico della funzione y = cos 2x: a. è ottenuto dal grafico di y = cos x mediante una dilatazione di ½ sull’asse xb. è ottenuto dal grafico di y = cos x mediante una dilatazione di 2 sull’asse xc. è ottenuto dal grafico di y = cos x mediante una traslazione di vettore v(�/4, 0)d. è ottenuto dal grafico di y = sin x mediante una traslazione di vettore v(�/2, 0) [a]

9. La funzione y = cotg x:a. è l’inversa della funzione y = tg xb. è la reciproca della funzione y = tg xc. è limitata d. nessuna delle precedenti risposte è corretta.

[b]10. La funzione y = 1/ sin x a. è limitata tra [-1,1] visto che lo è la funzione y = sin xb. è sempre definita per ogni valore di x realec. è illimitatad. essendo –1 � sin x � 1 , la funzione sarà definita per y < -1 � y > 1.

[c]

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE

� PRIMO GRADO, elementari

sinx = hcosx = hcon h� [-1, 1]

Ricordando la definizione delle funzioni sinx e cosx queste equazioni si risolvono intersecando lacirconferenza (di equazione 122

�� yx ) con l’equazione

1. y = h2. x = h

(che rappresenta una retta)

Esempio

� sen x = ½

Può essere interpretata come : ��

�

��

2/1122

yyx

disegnando la circonferenza goniometrica e la retta y = 1/2 si ha:

I punti di intersezione sono posizionati nel primo quadrante��x = �/6, e nel secondo, x ��/6 = 5�/6In questo modo abbiamo trovato le due soluzioni, ma ricordando che la funzione seno è periodica diperiodo 2� se voglio ottenere tutte le soluzioni dell’equazione ho:x = �/6 + 2k�,x = 5�/6 + 2k�, con �k Z

� cos x = -1/2

Disegnando la circonferenza goniometrica e la retta x = -1/2 si ha:

In questo caso i punti di intersezione sono posti nel secondo e terzo quadrante.L’arco con cos x = + ½ è x ��/3, quindi quello posto nel secondo quadrante sarà x = � – �/3 = 2/3 �mentre quello nel terzo quadrante sarà. x = � + �/3 = 4/3 �Le soluzioni sono quindi, tenendo conte del periodo:x = 2/3 ��k�x = 4/3 ��k��con� �k Z��

� PRIMO GRADO, lineari

3. asenx + bcosx = h

Si risolvono intersecando la circonferenza (di equazione 122�� yx ) con l’equazione

ay + bx =h(che rappresenta una retta)

Esempi

� senx + cos x =1Si pone y = senx, x= cosx e si interseca la retta y = -x + 1 così ottenuta con la circonferenza diequazione x 2 + y2 =1

Si ottengono i punti (0,1) e (1,0) che corrispondono alle soluzioni x = 0, x ��/2

considerando poi il periodo si ha:x = 0 + 2k�, x ��/2 + 2k��con �k Z.

� SECONDO GRADO

1. Se l’equazione data contiene una sola funzione trigonometrica si risolve mediante la formula

generale delle equazioni di secondo grado, ossia a

acbbx2

42

2,1��

� .

2. Se contiene più di una funzione si cerca, mediante le formule viste precedentemente, ditrasformarla in una che contenga una sola funzione trigonometrica.

Esempio

� 01coscos2 2�� xx

Applicando la formula risolutiva si ha:

2/1;14

811cos 2,1 ��

�x

ora risolvo le equazioni cos x = ½, cos x = -1

x = �/3 ��k� x = ��k�

x = -�/3 ��k��con �k Z.

� Risolvere : cos2x – sen2x + cos x = 0

E’ di secondo grado, ed in essa non compare una sola funzione goniometrica; ricordando che

sen2x = 1 – cos2x si ha:

cos2x –1 + cos2x + cos x = 0

2 cos2x + cos x – 1 = 0da cui si ottiene l’equazione precedente .


1. Risolvere le seguenti equazioni:a. sen (2x –�/2) = ½b. 2cos2x – cos x – 1= 0c. cos x = sen2x – cos2xd. sen ��/4 + x) + sen ��/4 –x) = 1e. sen x = sen 2xf. 2 cos x + 2 sen x = 3 +1

SOLUZIONI

a. [x = �/3 +2k�, x=2�/3 + 2k�]b. [ x = 2k�, x = �2�/3 + 2k�]c. [x = � + 2k�, x = ��/3 + 2k�]d. [x = ��/4 + 2k�]e. [x = k�, x = ��/3 + 2k�]f. [x =��/6 + 2k�, x = �/3 + 2k�]

RISOLUZIONE DI DISEQUAZIONI TRIGONOMETRICHE

DISEQUAZIONI ELEMENTARI

Consideriamo ad esempio la disequazione sen x > ½

Disegnando la circonferenza e la retta y = ½ cerco tutti gli archi per cui l’ordinata è maggiore di ½,ed ottengo la soluzione

�/6 + 2k��x�� 5�/6 + 2k�, con �k Z.

quindi ricordando che - 1 sen �� 1; - 1 cos �� 1

Disequazione: ax �sen

:1�a impossibile:1��a sempre vera

:1��a vera �� kx 223

��

:11 �� a �� kxk 2221 �� , con �k Z

Disequazione ax �sen:1��a impossibile

:1�a sempre vera

:1�a vera �

� kx 22��

:11 �� a �� kxk 22222 �� , con �k Z

Disequazione ax �cos:1�a impossibile

:1��a sempre vera:1��a vera �� kx 2��

:11 �� a �� kxk 22 �� , con aarccos�� , �k Z

Disequazione ax �cos:1�a sempre vera

:1��a impossibile:1��a vera �� kx 2��

:11 �� a �� kxk 222 �� , con �k Z

DISEQUAZIONI LINEARI

Nel caso di una disequazione lineare del tipo asenx + bcosx > (<) h si procede come per l’equazionecorrispondente, cioè si risolve intersecando la circonferenza di equazione 122

�� yx con ladisequazione ay + bx >h (che rappresenta un semipiano)

Esempio

� senx + cos x <1Si pone y = senx, x= cosx e si interseca il sempipiano y < -x + 1 così ottenuto con la circonferenzadi equazione x 2 + y2 =1

Si ottiene così la soluzione: �/2+ 2k�� x <2� + 2k��con �k Z

DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Si risolvono come le disequazioni di secondo grado, scegliendo gli intervalli interni o esterni allesoluzioni trovate, si ottengono così delle disequazioni di primo grado che si risolvono comeprecedentemente visto.

Esempio

� 2sen2x –sen x –1 >0

risolvendo l’equazione 2sen2x –sen x –1 =0 ottengo, mediante la formula risolutiva delle equazionidi secondo grado: sen x = 1 sen x = -1/2, da cui, prendendo i valori esterni si ha:sen x > 1 sen x < -1/2cioè:

sen x >1 non dà soluzioni, mentre sen x < ½ ha come soluzioni 7�/6 + 2k� < x < 11�/6 + 2k��con�k Z

Esistono identità goniometriche, alcune importanti, altre meno. A titolo di esempio riportiamo leformule di addizione. Altre si trovano in Appendice.

FORMULE DI ADDIZIONE

sen(�+�) = sin�cos� + cos�sin�cos(� + �) = cos�cos� -sin�sin�

��

��

tgtgtgtgtg

�

�

��

1)(


1. Risolvere le seguenti disequazioni:

a. cos x > ½b. 2 cos2x – cos x < 0c. sen x + cos 2x < 1 d. cos x - 3 sen x > 0e. 3 sen x + cos x > 1

f. 03cos2�

�

senxx

SOLUZIONI

a. [-�/3 + 2k��< x < �/3 + 2k�]b. [�/3 + 2k��< x < �/2 + 2k�, 3�/2 + 2k��< x < 5�/3 + 2k�]c. [�/6 + 2k��< x < 5�/6 + 2k� , � + 2k��< x < 2� + 2k�]d. [-5�/6 + 2k��< x < �/6 + 2k�]e. [ 2k��< x < 2�/3 + 2k�]f. [�� + 2k��< x < 2� + 2k�]

APPENDICE

� Dimostriamo che dato l’angolo in figura

i rapporti HP / VP , VH / VP, HP / VH dipendono unicamente dall’angolo � e non dalla scelta delpunto P sulla semiretta b.

Consideriamo sulla semiretta b un altro punto P’ � P � V e proiettiamolo sulla retta a nel punto H �H’. I triangoli VHP e VH’P’ sono simili perché triangoli con i lati paralleli. Dunque avremo:

H’P’ / VP’ = HP / VP ; VH’/ VP’ = VH / VP ; H’P’ / VH’ = HP / VP I rapporti sopra indicati rimangono perciò costanti al variare del punto P sulla semiretta b, cioèdipendono solamente dall’angolo �. Infatti, solo se variasse l’angolo i triangoli che si otterrebberonon sarebbero più simili, come evidenziato in figura.

� FORMULE DI TRIGONOMETRIA

FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

sen(� � �) = sin�cos� � cos�sin�cos(� � �) = cos�cos� � sin�sin�

��

��

tgtgtgtg)(tg

�1

FORMULE DI DUPLICAZIONE(si ottengono dalle precedenti ponendo � = �)

sin 2� = 2 sin� cos�cos 2� = cos2 � - sin2 � = 1 – 2sin2 � = 2 cos2 � - 1

tg 2� = ��

�

212

tgtg

FORMULE DI BISEZIONE(si ottengono dalle precedenti dimezzando l’angolo �)

sin 2� =

21 ��

�cos

cos 2� =

21 ��

�cos

tg 2� =

��

��

coscos

11 =

��

��

�

��

cossin

sincos

11

FORMULE PARAMETRICHE

(espressioni di sin �, cos � in funzione razionale di t = tg 2� )

sin � = 21

2tt

�

cos � = 2

2

11

tt

�

�

tg � = 21

2tt

�

FORMULE DI PROSTAFERESI

sin p + sin q = 2 sin 2

qp � cos 2

qp �

sin p – sin q = 2 cos 2

qp � sin 2

qp �

cos p + cos q = 2 cos 2

qp � cos 2

qp �

cos p – cos q = - 2 sin 2

qp � sin 2

qp �

FORMULE DI WERNER

sin � sin � = ½ [cos (� - �) – cos (� + �)]cos � cos � = ½ [cos (� + �) + cos (� - �)]sin� cos � = ½ [sin (� + �) + sin (� - �)]

GLOSSARIO

AlgebricoNumero algebrico è un numero soluzione di un’equazione P(x)=0 dove P(x) è un polinomio in x acoefficienti razionali relativi.

AlgoritmoProcedimento di calcolo, finito e non ambiguo, tale da poter essere codificato in linguaggio diprogrammazione.

Analisi infinitesimaleBranca della matematica che, partendo dal concetto di limite, studia le funzioni e le loro proprietà.

AntisimmetricaProprietà antisimmetrica: se a è in relazione con b e b è in relazione con a allora a e b sono uguali,oppure la sua contronominale: se a e b sono diversi ed a è in relazione con b, allora b non è inrelazione con a.

ApertoIntervallo aperto: sottoinsieme di R del tipo a<x<b, cioè che non include nessuno degli estremidell’intervallo stesso. In generale, un insieme è aperto quando per ogni suo punto esiste un intornotutto contenuto nell’insieme stesso.

AppartieneIl simbolo ��si legge appartiene ed è usato per indicare che un oggetto è elemento di un insieme.

Per negare questo predicato si utilizza la seguente scrittura: x � X che si legge "x non appartiene adX".

AreaMisura della porzione di superficie delimitata da un particolare contorno.

AsintotoUna retta costituisce un asintoto per una curva se è possibile determinare dei punti della curva per iquali la distanza dalla retta si può rendere minore di un qualunque numero positivo, arbitrariamentepiccolo.

AssiomaProposizione che si assume come vera senza dimostrazione; ad esempio ”per due punti distintipassa una e una sola retta”. Oggi il termine assioma è utilizzato come sinonimo di postulato. InEuclide invece il termine postulato è specifico della geometria, mentre con assioma si indica unaproprietà non dimostrata che riguarda tutte le discipline: per esempio “il tutto è maggiore dellaparte”.

AssociativaDato un insieme S in cui è definita un’ operazione *, si dice che vale la proprietà associativadell’operazione * nell’insieme S se, per ogni terna di elementi a,b,c di S si ha: (a*b)*c=a*(b*c).

Assoluto

Dato il numero reale x si dice valore assoluto di x, e si indica col simbolo |x|, il numero stesso sequesto è positivo o nullo, il suo opposto se esso è negativo. Le proprietà fondamentali del valoreassoluto sono le seguenti: |x|�0 �x�R |x| = 0 se e solo se x = 0|a| - |b| � |a + b| � |a| + |b| �a,b�R||a| - |b|| � |a - b| �a,b�Rx1 > x2 � |x1| > |x2| se x1,x2 > 0x1 > x2 � |x1| < |x2| se x1,x2 < 0

AssurdoDimostrazione per assurdo: tecnica per dimostrare che consiste nel negare la tesi e nel far vedereche ne consegue una contraddizione o con l’ipotesi o con un postulato o con un teoremaprecedentemente dimostrato.

BaricentroE’ il centro di massa.

Binomiale

Coefficiente binomiale è il simbolo !

)1)...(1()!(!

!n

knnnknk

nkn ��

��

��

��

che compare nello

sviluppo della potenza di un binomio. Il simbolo ��

��

�

kn

indica le combinazioni di n elementi a

classi di k.

BinomioPolinomio costituito da due monomi.

Teorema del binomio: ��

�

��

��

��

n

k

kknn bakn

ba0

)(

ConvessoUn dominio T si dice convesso se, dati due punti qualsiasi A e B in T, tutto il segmento AB ècontenuto in T.

Coordinate polari

Le ��

�

�

�

�

sincos

ryrx

definiscono una trasformazione biunivoca tra la striscia A del piano (r,� ) definita

dalle limitazioni r>0, 0<� <2� e il campo B dato dal piano xy.

ChiusoUn insieme è chiuso rispetto ad una operazione * se, comunque si prendano due elementi a e b ditale insieme, il risultato dell’operazione a*b è ancora un elemento di tale insieme.Insieme chiuso: se il suo complementare è un aperto, cioè se tutti i suoi punti di accumulazione gliappartengono.

CodominioData una funzione y=f(x), definita in un insieme I e a valori in un insieme A si chiama codominio ilsottoinsieme di A costituito dagli elementi di A che hanno almeno una controimmagine in I.

CoefficienteParte numerica che è moltiplicata per una parte letterale.

CoimplicazioneOperazione logica. Date due proposizione p e q , pq è vera quando p e q sono entrambe vere oentrambe false. Come operazione logica è equivalente all’enunciato se e solo se .

CombinazioniCombinazioni semplici: dati n elementi, si dicono combinazioni semplici di classe k (con k�N,k �n) tutti i sottoinsiemi di k elementi che si possono formare con gli elementi dati, senza ripetizionie senza considerare l’ordine con il quale gli elementi compaiono nei sottoinsiemi.

Il numero delle combinazioni semplici si indica con )!(!

!knk

nkn

��

�

��

� .

Combinazioni con ripetizione: dati n elementi, si dicono combinazioni con ripetizione di classe k(con k�N) tutti i sottoinsiemi di k elementi che si possono formare con gli elementi dati, senzaconsiderare l’ordine con il quale gli elementi compaiono nei sottoinsiemi.

Il numero delle combinazioni con ripetizione è dato da ��

��

� �

kkn 1

.

Commensurabili Si dicono commensurabili due grandezze omogenee che ammettono qualche sottomultiplo comune.Il rapporto fra due grandezze commensurabili è un numero razionale.

CommutativaDefinita un’operazione * in un insieme I si dice che l’operazione gode della proprietà commutativase a*b = b*a per ogni a,b appartenenti ad esse.

ComplementareInsieme complementare: dato un insieme I e un suo sottoinsieme A si definisce insiemecomplementare di A rispetto ad I l’insieme I – A.

ConcavaFigura concava: figura in cui esistono due punti interni che possono essere congiunti con unsegmento non completamente contenuto nella figura stessa.

ConfrontoIn senso generico si possono confrontare due numeri reali o due figure: confrontare due numeri realivuol dire stabilire se sono uguali o quali di essi è il maggiore, confrontare due figure vuol direstabilire se sono congruenti o quale delle due ha estensione maggiore.

ConicaCurva ottenuta intersecando un cono indefinito a due falde con un piano non passante per il suovertice.L’equazione di una conica è un’equazione di secondo grado: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey +f = 0 cona,b,c non contemporaneamente nulli. Si dice degenere se la sua equazione può essere scomposta infattori di primo grado.In una conica non degenere detto = b2 – 4ac se è: < 0 si tratta di una ellisse o di una circonferenza come caso particolare

= 0 si tratta di una parabola > 0 si tratta di un’iperbole

ConnettivoIn logica si chiamano connettivi proposizionali i termini: non (negazione), e (congiunzione), o (nelsenso di vel), o (nel senso di aut), implica, coimplica (o equivale). Tali termini servono a collegare(“connettere”) proposizioni elementari.

ContronominaleData la proposizione composta p�q si chiama sua contronominale la proposizione �q ��p (ilsimbolo �indica la negazione non). Se la proposizione è vera è vera anche la sua contronominale.

ConvessaFigura convessa: figura in cui, presi comunque due punti interni, il segmento che li congiunge èinteramente contenuto nella figura stessa.

CorollarioSi definisce corollario di un teorema una sua conseguenza immediata.

CosecanteDato un angolo orientato xOy, descritto dal raggio vettore Oy rispetto alla semiretta origine Ox, sidefinisce cosecante il rapporto costante tra la distanza di un punto qualunque P di Oy da O e ladistanza di P dalla retta Ox.

Quindi è: cosec = OP/PH ed è cosec =

�sen1 .

CosenoDato un angolo orientato xOy, descritto dal raggio vettore Oy rispetto alla semiretta origine Ox, sidefinisce coseno il rapporto costante tra la distanza di H proiezione su Ox di un punto qualunque Pdi Oy e la distanza di P da O.

Quindi è: cos = OH/OP .Teorema del coseno: in un triangolo qualsiasi è:

a2 = b2 + c2 – 2bc cos .

CotangenteDato un angolo orientato xOy, descritto dal raggio vettore Oy rispetto alla semiretta origine Ox, sidefinisce cotangente il rapporto costante tra la distanza della proiezione H di un punto qualunque Pdi Oy da O e la distanza di P da H.

Si indica con cotg ed è cotg = OH/PH

cotg =��

�

tgsen1cos

� .

DecimaleNumero decimale: numero non intero, costituito da una parte intera che precede la virgola, dallavirgola e da una parte che segue la virgola detta mantissa.

DefinizioneFrase a volte esprimibile anche con formule matematiche, che descrive in modo univoco, nonambiguo, un oggetto matematico, partendo da grandezze o enti già noti.Una definizione è ben formata se :- l’insieme formato dai nuovi enti definiti non deve essere vuoto

- nell’insieme universo ci deve essere qualche elemento che non gode della proprietà oggettodella definizione.

DegenereCaso che verifica solo formalmente una definizione generale, ma rappresenta un caso estremo.

DensoUn insieme ordinato I si dice denso se per ogni coppia a, b di elementi di I, con a<b, tra a e b vi èsempre almeno un elemento di I.Un sottoinsieme X di I si dice denso in I se per ogni coppia a, b di elementi di I, con a<b, tra a e b viè sempre almeno un elemento di X.

DiscretoUn insieme A si dice discreto se per ogni suo elemento esiste almeno un intorno (definito in unaltro insieme) in cui non cadono elementi di A. Gli insiemi N e Z dei numeri naturali e dei numeri interi relativi sono insiemi discreti.

Disequazione di secondo grado

ax2+bx+c>0 con a>0 ax2+bx+c<0 con a>0

0��

x<x1 v x>x2 x1<x<x2

0��

x� x1 x�R

0��

� x�R x�R

ax2+bx+c�0 con a>0 ax2+bx+c�0 con a>0

0��

x�x1 v x�x2 x1�x�x2

0��

� x�Rx=

ab

2�

0��

� x�R x�R

DisgiuntiDue insiemi si dicono disgiunti se hanno intersezione vuota.

DisgiunzioneOperazione logica ottenuta dall’uso del connettivo VEL (o inclusivo).

DispariNumero dispari: un numero intero positivo si dice dispari se diviso per due ha resto diverso da zero.Funzione dispari: una funzione y=f(x) di dominio A si dice dispari se, per ogni x di A, anche –xappartiene ad A e si ha f(-x)=-f(x).Le funzioni dispari hanno grafico simmetrico rispetto all’origine degli assi.

DisposizioneDisposizioni semplici di n elementi di classe k, con k non maggiore di n, tutti i possibiliraggruppamenti che si ottengono prendendo k elementi diversi fra gli n assegnati, considerandodistinti due gruppi se differiscono o per la composizione del raggruppamento o per l’ordine deglielementi che lo compongono.Il numero delle disposizioni di n elementi di classe k si indica con Dn,k .Si ha Dn,k=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)(prodotto di k fattori decrescenti a partire da n).Disposizioni con ripetizione: si chiamano disposizioni con ripetizione con n elementi di classe k(con k minore, uguale o maggiore di n) tutti i possibili raggruppamenti che si ottengono prendendok elementi, distinti o no, fra gli n assegnati, considerando diversi due gruppi che differiscono o perla composizione del raggruppamento o per l’ordine degli elementi. Il numero delle disposizioni conripetizione di n elementi di classe k si indica col simbolo D*n,k.Si ha D*n,k=nk .

DistributivaProprietà distributiva: date due operazioni: * e o definite sugli elementi di un insieme I, si dice chevale la proprietà distributiva di * rispetto a o se per ogni terna di elementi a, b, c apparteneti ad I siha: a * (b o c) = (a * b) o (a * c)

DominioUn insieme I di punti che sia chiuso e tale per cui per ogni punto di I in ogni suo intorno cadonoinfiniti punti interni ad I.Dominio di una funzione è il suo campo di esistenza.

eSi indica con e il numero trascendente e=2,7182818459…

EccentricitàIn una conica si chiama eccentricità il rapporto costante tra la distanza di un punto della conica daun fuoco e la distanza della direttrice relativa a quel fuoco. Le coniche quindi possono esseredefinite come luogo dei punti del piano per i quali tale eccentricità è appunto costante.Se l’eccentricità è minore di uno si ha una ellisse o come caso particolare una circonferenza.Se l’eccentricità è uguale ad uno si ha la parabola.Se l’eccentricità è maggiore di uno si ottiene l’iperbole.

ElementoTermine primitivo utilizzato per definire un membro di un insieme.

EllisseLuogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi dettifuochi. A tale costante si da il valore 2a.La sua equazione è:

12

2

2

2

�by

ax

Dove a e b sono detti semiassi, c semidistanza focale, e vale che c2 = a2 - b2 nel caso in cui a>boppure c2 = b2 - a2 nel caso in cui b>a. L’area delimitata dall’ellisse è data da S = πab.

EquazioneUguaglianza tra due espressioni una almeno delle quali contenente una o più incognite, soddisfattaper particolari valori assegnati alle incognite, dette soluzioni dell’equazione.Nel caso di equazioni algebriche a coefficienti interi si ha che:un’equazione di secondo grado ha equazione ridotta a forma normale ax2 + bx + c = 0 e la suaformula risolutiva è:

aacbbx

242

��

Se però b è pari si ha la seguente formula detta formula ridotta:

aacbb

x��

�

2)2/(2/

Per le equazioni di terzo e quarto grado esistono formule risolutive molto laboriose, mentre è statodimostrato che non esistono formule risolutive per le equazioni di grado superiore al quarto.Teorema fondamentale dell’algebra: un’equazione algebrica di grado n in C ha nel campo deinumeri complessi n radici, se ognuna è contata esattamente tante volte quanto indica la suamolteplicità.Ogni equazione che ammette una soluzione complessa ammette anche la sua coniugata.Quindi un’equazione di grado dispari ammette almeno una soluzione reale, mentre un’equazione digrado pari può non avere soluzioni reali.

Equazione di secondo gradoSi dice equazione di secondo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo:

a x2 + b x + c = 0.

La soluzione si ottiene con i seguenti passaggi:

Discussione di una equazione di secondo grado:

a � 0 e b2 � 4ac > 0se e solo se l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte

a � 0 e b2 � 4ac = 0se e solo se l'equazione ammette due soluzioni reali coincidenti

a � 0 e b2 � 4ac < 0se e solo se l'equazione ammette due soluzioni complesse e coniugate, pertanto non ammette inquesto caso soluzioni reali

Relazioni fra le soluzioni e i coefficienti dell'equazione a x2 + b x + c = 0

Interpretazione grafica della risoluzione di un'equazione di secondo grado

y = ax2 + bx + c con a � 0ha come rappresentazione grafica la parabola con asse parallelo all'asse y, e vertice V di coordinate:

Se a < 0 allora la parabola è "rivolta verso il basso"Se a > 0 allora la parabola è "rivolta verso l'alto"

Se b2 � 4ac > 0 la parabola y = ax2 + bx + c interseca l'asse delle ascisse nei punti A(x1, 0), B(x2, 0)con x1, x2 soluzioni dell'equazione di secondo grado ax2 + bx + c = 0

Se b2 � 4ac = 0 la parabola y = ax2 + bx + c è tangente all'asse delle ascisse nel punto A(x1, 0)con x1 soluzione con molteplicità due dell'equazione di secondo grado ax2 + bx + c = 0

Se b2 � 4ac < 0 la parabola y = ax2 + bx + c non interseca l'asse delle ascisse

EquivalentiDue equazioni o disequazioni si dicono equivalenti se ammettono le stesse soluzioni.Due elementi di un insieme si dicono equivalenti se appartengono alla stessa classe di equivalenza.

EquivalenzaUna relazione binaria definita in un insieme I si dice di equivalenza se gode delle proprietàriflessiva, simmetrica e transitiva.

EsponenzialeFunzione esponenziale: funzione trascendente di equazione y = ax con a�1 ed a>0. Il suo campo diesistenza è tutto R, mentre l’insieme immagine è R+. Per a>1 la funzione è strettamente crescente, mentre per 0<a<1 è strettamente decrescente.Nel caso particolare di a = e (si indica con e il numero trascendente e=2,7182818459….) si ha lafunzione esponenziale y = ex.Notazione esponenziale: notazione scientifica, in cui un numero viene rappresentato nella formaN = a * 10k con k� Z e 0 < a < 1. A è detto mantissa mentre k caratteristica.

EspressioneInsieme di numeri e lettere legati tra loro da segni di operazioni.

EsternoUn punto si dice esterno rispetto ad un insieme I se esiste almeno un suo intorno che non contieneelementi di I.

Fascio

In geometria euclidea si dice fascio di rette con centro proprio C l’insieme di tutte le rette di unpiano passanti per uno stesso punto C, detto centro del fascio. Si dice fascio di rette impropriol’insieme di tutte le infinite rette che hanno la stessa direzione, ovvero l’insieme di tutte le retteparallele ad una retta data ( si ricordi quindi che hanno in comune un punto improprio).In geometria analitica si ottiene un fascio date due rette r ed s rispettivamente di equazioneax+by+c=0 e a’x+b’y+c=0, dalla combinazione lineare: (*) h(ax+by+c)+l(a’x+b’y+c’)=0con h ed l non contemporaneamente nulli.. Alle rette r ed s si dà il nome di generatrici del fascio.Ponendo l�0 e utilizzando il parametro k=h/l l’equazione del fascio di rette diventa:k(ax+by+c)+a’x+b’y+c’=0 che contiene tutte le rette del fascio tranne la ax+by+c=0 che non siottiene per nessun valore di K. Fascio di circonferenze: l’insieme di tutte le circonferenze che hanno un medesimo centro o chehanno un dato asse radicale. Si chiamano punti base di un fascio di circonferenze i punti comuni atutte le circonferenze del fascio. Un fascio di circonferenze può avere due punti base (distinti ocoincidenti) o nessun punto base.Si chiama equazione di un fascio di circonferenze non concentriche l’equazione:(1) h(x2+y2+ax+by+c)+l(x2+y2+a’x+b’y+c’)=0 oppure x2+y2+ax+by+c+k(x2+y2+a’x+b’y+c’)=0

FattorialeSi definisce fattoriale di n e si scrive n! il prodotto n.(n-1).(n-2)………2.1 di tutti gli n numeridecrescenti a partire da n.

FinitoChe ha termine. Un insieme si dice finito se e solo se non è equipotente a nessun sottoinsiemeproprio di sé stesso.

FocaleAsse focale: asse di simmetria di una conica che contiene i fuochi della conica stessa.Distanza focale: in una conica distanza fra un fuoco e il centro della conica, di solito indicata con lalettera c.

Funzione:Fissati due insiemi non vuoti e non necessariamente distinti, A e B, si dice che è data una funzione,f,da A in B se è assegnata una “regola” che ad ogni elemento dell’insieme A fa corrispondere uno edun solo elemento appartenente all’insieme B.

L’insieme A si dice dominio della funzione, l’insieme B si dice insieme immagine.Se x è un qualsiasi elemento dell’insieme A con f(x) si indica l’elemento che per la f corrisponde a x;f(x) si chiama immagine di x in B; se y è un elemento di B , l’elemento x tale che y=f(x) si dicecontroimmagine di y in A.

Fuoco

Si chiama fuoco di una conica un punto F del suo piano tale che per ogni punto P della conica siacostante il rapporto fra la distanza di P da F e da una retta fissa detta direttrice associata ad F .L’ellisse e l’iperbole hanno due fuochi. La circonferenza ha due fuochi coincidenti con il centrodella circonferenza( la direttrice è una retta non reale); la parabola ha un solo fuoco. GoniometriaParte della matematica che si occupa della misurazione degli angoli, costituita in particolare dalladefinizione delle funzioni angolari (seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante) dallaricerca della loro proprietà e delle relazioni che intercorrono tra di esse.Relazioni fondamentali della goniometria sono:

Goniometrica (circonferenza)circonferenza avente centro nell’origine e raggio l’unità. La sua equazione è: x2 + y2 = 1.

GradoSi dice grado di un monomio la somma degli esponenti delle lettere che lo compongono.Si dice grado di un polinomio il massimo dei gradi dei monomi che lo costituiscono.Data un equazione P(x) = 0 dove P(x) è un polinomio in x, si chiama grado dell’equazione il gradodel polinomio P. Non si dà, invece, una definizione di grado per le equazioni non algebriche.Si chiama grado di un sistema composto da equazioni algebriche il prodotto dei gradi delleequazioni che compongono il sistema.

GraficoGrafico di una funzione: Data una funzione y=f(x) si chiama grafico il luogo dei punti P (x,f(x)),con x appartenente al campo di esistenza, in un piano cartesiano ortogonale.

xecx

xx

xxgx

xxtgx

xx

sen1cos

cos1sec

sencoscot

cossen

1cossen 22

�

�

�

�

��

ImmaginarioUn numero immaginario si ottiene moltiplicando un numero reale per i, dove si intende con i laradice quadrata di meno uno.

ImmagineData una funzione y=f(x) di dominio A e codominio B si chiama immagine di x � A l’elemento dif(x) � B unico per definizione che la legge associa ad x.Si chiama insieme immagine il sottoinsieme di B costituito dalla totalità delle immagini di tutti glielementi di A.

ImplicazioneConnettivo che nella logica delle proposizioni indicato con l’enunciato del tipo “se A, allora B” o insimboli con A � B. L’implicazione, per definizione, è falsa solo nel caso in cui è vera A ed è falsaB.

IncommensurabiliDue grandezze omogenee che non ammettono alcun sottomultiplo in comune.Il rapporto di due grandezze incommensurabile è un numero irrazionale.

IndeterminatoUn sistema, o un problema, si dice indeterminato se ammette infinite soluzioni.

InsiemeCollezione, aggregato di elementi soggetti alla sola condizione che sia sempre possibile stabiliresenza ambiguità se un elemento qualsiasi appartiene o no a tale aggregato.

Insieme di esistenzaSinonimo di campo di esistenza.

Insieme di variabilitàSinonimo di codominio.

IntersezioneDati due insiemi A e B, si chiama loro intersezione, e si indica con il simbolo A � B, l’insieme i cuielementi appartengono sia all’insieme A, sia all’insieme B. Due insiemi la cui intersezionecorrisponde all’insieme vuoto sono detti disgiunti.

IntervalloSottoinsieme non vuoto dell’insieme dei numeri reali. Un intervallo può essere chiuso, se contiene isuoi estremi ad esempio a�x�b, o aperto, se non contiene i suoi estremi, ad esempio a<x<b.Un intervallo di dice limitato se esistono due numeri, h e k, tali che ogni elemento dell’intervallo èminore di h e maggiore di k.

Intervalli

Si adottano le seguenti notazioni:

IntornoNell’insieme dei numeri reali, si chiama intorno di a�R un intervallo limitato aperto con centro in a(a-�,a+�).Si chiama “intorno di più infinito” un intervallo (m, + �); si chiama “intorno di meno infinito” unintervallo (- �, m); si chiama intorno destro di a un intervallo che ammette a come estremo sinistro[a,a+�).; si chiama intorno sinistro di a un intervallo che ammette a come estremo destro(a-�,a].

Inverso

Inverso di un elemento a in un insieme I rispetto all’operazione * è quell’elemento a’ tale chea*a?=a’*a=u dove u è l’elemento neutro.Inverso di a, con a diverso da zero, rispetto alla moltiplicazione è 1/a.

IperboleL’iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delladistanza da due punti fissi detti fuochi.In un riferimento cartesiano ortogonale in cui i fuochi abbiano coordinate (-c, 0) e (c, 0), l’iperboleha equazione:

xa

yb

2

2

2

2 1� � (dove sia b c a2 2 2� � )

I due punti A e A’ dell’iperbole per i quali OA = OA’ = a sono detti vertici dell’iperbole.Il semento AA’ è detto asse trasverso dell’iperbole; esso ha lunghezza 2a. Il segmento di estremi(0,-b) e (0,b) è detto asse non traverso e ha lunghezza 2b. Le due rette bx + ay = = e bx – ay = 0sono detti asintoti dell’iperbole.

IrrazionaleNumero irrazionale: numero decimale illimitato che non può essere trasformato in frazione. Sono,ad esempio, irrazionali i numeri 2 , e.Nelle operazioni di misura il numero irrazionale proviene dal rapporto di due grandezzeincommensurabili.Funzione irrazionale: una funzione si dice irrazionale se nella sua espressione analitica la variabilecompare, almeno una volta, sotto il segno di radice.

MaggioranteDato un insieme numerico A, si chiama maggiorante di A un numero b tale che b � a, per ogni aappartenente ad A.

MantissaDato un numero reale x, si chiama sua mantissa il numero x-�x, dove �x detto parte intera di x, è ilmassimo intero minore o uguale a x. La mantissa di un numero è sempre positiva e compresa trazero ed uno.La funzione y =mant(x) è quindi data da: y =mant(x) = x-�x

MassimoDato un insieme I totalmente ordinato si chiama massimo di I, se esiste, l’elemento M di I tale cheM� x, per ogni x appartenente a I.Un sottoinsieme di Z limitato superiormente ( o inferiormente) è dotato di massimo ( o di minimo).In Q ed in R un sottoinsieme limitato può non avere massimo .

MatriceSi definisce matrice un insieme di n m elementi ordinati secondo due indici, cioè per righe e percolonne. Si dice matrice quadrata la matrice n n e il numero n si definisce ordine della matrice.Ad ogni matrice quadrata si può associare un numero detto determinante della matrice.

MinimoDato un insieme I totalmente ordinato si chiama minimo di I, se esiste, l’elemento M di I tale cheM� x, per ogni x appartenente a I.Un sottoinsieme di Z limitato superiormente ( o inferiormente) è dotato di massimo ( o di minimo).

In Q ed in R un sottoinsieme limitato può non avere minimo .

MinoranteDato un insieme numerico A, si chiama minorante di A un numero b tale che b � a, per ogni aappartenente ad A.

ModuloSi definisce modulo di un numero complesso z = a + ib il numero reale positivo 22 bar �� . Ilmodulo di un numero complesso geometricamente esprime la sua distanza dall’origine.Nel campo reale si usa modulo come sinonimo di valore assoluto.Dato il numero reale x si dice valore assoluto di x, e si indica col simbolo |x|, il numero stesso sequesto è positivo o nullo, il suo opposto se esso è negativo. Le proprietà fondamentali del valoreassoluto sono le seguenti: |x|�0 �x�R |x| = 0 se e solo se x = 0|a| - |b| � |a + b| � |a| + |b| �a,b�R||a| - |b|| � |a - b| �a,b�Rx1 > x2 � |x1| > |x2| se x1,x2 > 0x1 > x2 � |x1| < |x2| se x1,x2 < 0

Molteplicitàw si dice radice con molteplicità m del polinomio P(x) se esiste un polinomio Q(x) tale che:

w non è radice di Q(x)

P(x) = (x – w)m . Q(x)

NegazioneLa negazione è un connettivo logico. La negazione di una proposizione P, che in genere si indicacon �P, è vera quando P è falsa ed è falsa quando P è vera.

NeutroIn un insieme I in cui è definita un’operazione * si chiama elemento neutro, se esiste, l’elemento utale che: u*a=a*u=a per ogni elemento a appartenente ad I.

NormaleRetta o segmento normale: retta o segmento perpendicolare.Normale ad una curva: retta perpendicolare ad una tangente nel punto di tangenza alla curva.Forma normale : forma canonica.

NotevoleProdotto notevole: nel calcolo letterale si chiamano “prodotti notevoli” quei prodotti fra polinomiche, per la frequenza con cui s’incontrano nella pratica, si eseguono ricordando a memoria ilrisultato.Si considerano prodotti notevoli i seguenti: quadrato del binomio : (a+b)2= a2 + 2ab +b2

prodotto di una somma per una differenza di quantità uguali: (a+b) (a-b)= a2 -b2

cubo del binomio: (a+b)3= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

quadrato del trinomio: (a+b+c)2= a2 + b2 + c2 + 2ab +2bc +2ac

UaaU ** �

Aa��

prodotto uguale a somma (o differenza) di cubi : (a+b) (a2-ab+b2) = a3+b3

(a-b) (a2+ab+b2 ) = a3-b3 .

NumerabileUn insieme si dice numerabile se si può porre in corrispondenza biunivoca con l’insieme N deinumeri naturali o con un suo sottoinsieme infinito.

NumeroNumero naturale: dati due insiemi finiti, A e B, si dice che essi sono equipotenti, se sono entrambivuoti oppure se esiste una corrispondenza biunivoca tra A e B. Nell’insieme T di tutti gli insiemicon un numero finito di elementi si considera, quindi, la relazione R secondo cui due insiemi di Tsono in relazione se e solo se sono equipotenti.La relazione R è una relazione di equivalenza; essa gode, infatti, delle proprietà riflessiva, transitivae simmetrica. Si definisce numero naturale ogni classe di equivalenza individuata dalla relazione R.L’insieme dei numeri naturali, cui appartiene anche lo zero, si indica con la lettera N.Numero intero relativo: indicato con N l’insieme dei numeri naturali, sia N x N il prodottocartesiano di N per N.Date due coppie (a,b) (c,d) in N x N, si dice che esse sono in relazione se e solo se a+d = c+b.La relazione R cosi definita è una relazione di equivalenza che, quindi, determina una partizionedegli elementi di N in classi di equivalenza (insieme quoziente). Chiamiamo un numero interorelativo ognuna delle classi di equivalenza individuate dalla relazione R.L’insieme dei numeri interi relativi si indica con la lettera Z.Definizione di numero razionale: nell’insieme Z x Z0 due coppie ordinate (a,b) (c,d) si dicono inrelazione se e solo se ad =bc. La relazione che in questo modo si definisce è una relazione diequivalenza e determina un insieme quoziente: si chiama numero razionale ognuno degli elementidi tale insieme quoziente.L’insieme dei numeri razionali si indica con la lettera Q.In Q non vale la proprietà dell’estremo superiore: può accadere, cioè, che vi siano sottoinsiemilimitati di Q che non ammettono estremo superiore.Definizione di numero reale: si chiama numero reale una partizione dell’insieme Q in due classi(A.B) in cui ogni elemento della prima è minore di ogni elemento della seconda, e che sianoindefinitamente ravvicinate, cioè preso un numero �>0 arbitrariamente piccolo, è sempre possibiletrovare un elemento a�A e un elemento b�B tali che |b-a|<�.L’insieme di tutte le partizioni di Q come sopra definite costituisce l’insieme dei numeri reali R.Nell’insieme R vale la proprietà dell’estremo superiore: ogni sottoinsieme limitato ha estremosuperiore.Definizione di numero complesso: si definisce numero complesso una coppia ordinata di numerireali, solitamente si indica con z=a+ib. L’insieme di tutti i numeri complessi si indica con la letteraC. L’insieme C, a differenza di tutti gli altri insiemi numerici prima definiti, non è un insiemeordinato.

OCongiunzione utilizzata in senso inclusivo (vel) sia nelle definizioni di unione di insiemi, sia nelledefinizioni di alternativa, oppure in senso esclusivo col significato di aut; in questo caso dà luogo ein logica al connettivo XOR.

OmograficaFunzione omografica:

funzione di espressione analitica dcxbaxy

�

�� è un’iperbole con asintoti paralleli agli assi il

cui centro ha coordinate (-d/c ; a/c) .

Omotetia di centro O e rapporto k:Trasformazione del piano in cui si fissa un punto O, detto centro, e siano A e A’ due punti allineaticon esso e tali che OA’/OA = k. Dato un punto P del piano, si chiama suo omotetico il punto P’appartenente alla retta OP per il quale OP:OP’=OA:OA’ e che cade rispetto ad O dalla stessa partedi P, secondo che ciò accada o no per A’ nei confronti di A.

Le equazioni che danno tale trasformazione sono: ��

�

�

kyykxx

''

OppostoSi dice opposto di un numero a reale il numero –a, cioè l’elemento inverso di a rispetto allasomma.

ParabolaSi chiama parabola il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso, dettofuoco, e da una retta fissa, detta direttrice.La parabola è una conica, cioè si ottiene anche come sezione piana di un doppio cono di rotazioneindefinito con un piano parallelo a una generatrice del cono.Proprietà notevoli della parabola sono le seguenti:� le due tangenti condotte a una parabola da un punto della sua direttrice sono l’una perpendicolare

all’altra, e il segmento che congiunge i punti di tangenza passa per il fuoco;� la normale alla parabola condotta per un punto P della parabola biseca l’angolo formato dal

raggio focale FP e la parallela per P all’asse di simmetria della curva;� la parabola è una conica con eccentricità e = 1;� la sottonormale relativa all’asse in una parabola è costante ed è uguale al parametro.Una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate ha equazione:y ax bx c� � �

2

in cui è:

� Vertice: V ��

��

��

ba

b aca2

44

2

; ;

� Fuoco: F ��

��

��

ba

b aca2

1 44

2

; ;

� asse: xba

� �

2;

� direttrice: yb a

a� �

� �1 44

2

.

La parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle ascisse ha equazione:x ay by c� � �

2

mentre le equazioni per il calcolo di V, F, asse e direttrice si ritrovano invertendo le ascisse con leordinate, e le lettere x con le y e le y con le x in quelle precedenti.

PariUn numero naturale si dice pari se è divisibile per due.

Funzione pari: Una funzione y=f(x) di dominio I si dice pari se, per ogni x di I, anche -x appartienead I e si ha f(-x) = f(x).Le funzioni pari hanno grafico simmetrico rispetto all’asse delle ordinate.

Parte

Parte intera: si definisce parte intera di un numero reale a e si indica con � �a il massimo numerointero minore o uguale ad a.In informatica la parte intera di un numero a si indica con int(a).

PartiInsieme delle parti: dato un insieme A si chiama insieme delle parti di A, e si indica con il simboloP(A), l’insieme di tutti i sottoinsiemi, propri ed impropri, di A.Se A ha n elementi, l’insieme delle parti di A è costituito da 2n elementi.

PartizioneSi dice che è data una partizione di un insieme A se A si ottiene come l’unione di insiemi Ai taliche:� ogni insieme Ai non è vuoto;� ogni elemento di A appartiene ad uno dei sottoinsiemi Ai;� l’intersezione tra due qualsiasi sottoinsiemi Ai è vuota cioè sono disgiunti.Una relazione di equivalenza R definita in un insieme A, induce una partizione nella quale ognisottoinsieme Ai contiene elementi equivalenti di A.L’insieme delle classi di una partizione si chiama insieme quoziente dell’insieme A rispetto allarelazione R e si indica con A / R.

PeriodoSi definisce periodo di una funzione f (quindi periodica) il minore dei numeri T positivi e non nulliper cui f(x + T) = f(x), per ogni x appartenente al dominio di f(x).Le funzioni seno e coseno, ad esempio, hanno periodo 2�; le funzioni tangente e cotangente hannoperiodo �.

PermutazionePermutazioni semplici: in un insieme finito di n elementi distinti, si chiamano permutazioni tutti ipossibili allineamenti che si possono formare con gli n elementi, considerando distinti gruppi conelementi disposti in ordine diverso. Il numero delle permutazioni in un insieme di n elementi è dato da:n! =n(n-1)(n-2) .... 1Permutazioni con ripetizione: in un insieme finito di n elementi non tutti distinti, tutti i possibiligruppi che si possono formare con gli n elementi assegnati, considerando distinti gruppi conelementi disposti in ordine diverso.Se h1, h2, ..., hn, indicano il numero degli elementi fra loro coincidenti, il numero delle permutazionicon ripetizione in un insieme di n elementi è dato da:

!!....!!

21 nn hhh

nP �

Polarecoordinate polari: in un piano è assegnato un riferimento polare se è data una semiretta orientata x,detta asse polare, avente come origine un punto O, detto polo, e se inoltre è fissata un’unità dimisura u.Considerato positivo il verso antiorario delle rotazioni, ogni punto P del piano è individuato da duecoordinate, dette coordinate polari, che sono nell’ordine la distanza, r, di P da O detta modulo el’angolo orientato � (misurato in radianti), detto anomalia che l’asse polare forma con la semirettaorientata OP. Se l’anomalia appartiene all’intervallo [0, 2�), (o all’intervallo (-�,�]) allora vi ècorrispondenza biunivoca fra i punti del piano e le coppie ordinate (r; �).

È possibile, in un piano qualsiasi, passare da coordinate cartesiane a coordinate polari, e viceversa,utilizzando le seguenti formule:r x y

x x y y x yx ry r

� �

� � � �

�

�

2 2

2 2 2 2cos / ;sen /cossen

� �

�

�

PolinomioSi chiama polinomio una somma algebrica di monomi, anche eventualmente nulli.Si definisce grado del polinomio il massimo grado dei suoi termini mentre grado del polinomiorispetto ad una lettera il massimo grado, rispetto a quella lettera, dei suoi termini.

Proprietà fondamentale dei polinomi: due polinomi in una variabile, entrambi di grado n, cheassumono gli stessi valori per n+1 valori della variabile sono identici.

PostulatoProposizione che si ammette vera senza dimostrazione.In Euclide il termine postulato era riferito solo a proprietà geometriche mentre ora postulato èsinonimo di assioma.In una teoria matematica i postulati hanno anche il ruolo di definire implicitamente i terminiprimitivi.

PotenzaDato un numero reale a e un numero intero positivo n si definisce potenza di base a ed esponente n,e si indica con an, il prodotto di n fattori tutti uguali ad a.Si ha che a0 = 1, se a è diverso da 0. Non ha invece significato l’espressione 00.

Inoltre è: aa

pp

�

�

1

Proprietà delle potenze:� una potenza con esponente dispari conserva il segno della sua base e si annulla quando si annulla

la sua base;� una potenza con esponente pari ha sempre segno positivo, qualunque sia la sua base, e si annulla

quando si annulla la sua base.

- a a a n ma a aa a n m

n m n m

n m n m

n m nm

� � �

�

� � �

�

�

( , ):

( ) ( , )

0 0

0 0 (ab)n = anam

Funzione potenza: y = xn è una funzione detta funzione potenza. La funzione potenza ha comedominio R e come condominio l’insieme dei numeri reali non negativi, se n è pari, tutto R, se n èdispari.Potenza con esponente razionale: se a è un numero reale positivo, n un numero naturale ed m unnumero intero positivo, si definisce:a an

m nm�

Potenza con esponente irrazionale: se a è un numero reale positivo e � è un numero irrazionale, sidefinisce a� l’elemento di separazione di due classi contigue, di potenze con esponente razionale,che hanno come elementi aq e ap, con q e p valori approssimati per difetto e per eccesso di �.

PrimoUn numero naturale n si dice primo se ammette come divisori solo 1 e sé stesso.

Prodotto cartesianoDati due insiemi A e B, si definisce prodotto cartesiano di A e B, e si indica con A x B, l’insiemecostituito da tutte le coppie ordinate aventi come primo elemento un elemento appartenente ad A esecondo appartenente a B.Se A e B sono insiemi finiti, rispettivamente di n ed m elementi, il prodotto cartesiano A x B hanxm elementi.

ProgressioneSi chiama progressione una successione in cui ogni termine si ottiene dal precedente nel seguentemodo:

Progressione aritmetica: una successione numerica in cui la differenza fra ogni termine diverso dalprimo e il suo precedente è costante ( xn+1 - xn = d).A tale costante d si dà il nome di ragione della progressione.I termini successivi si possono calcolare o dal precedente sommando d oppure come:a a n r dn r� � �( )e in particolare, se r = 1:

dnaan )1(1 ��

La somma dei termini di una successione aritmetica è data da:

Sa a

nn

n�

�

�1

2Progressione geometrica: una successione il cui rapporto fra ogni termine diverso dal primo e ilprecedente è uguale ad un valore costante ( x x qn n�

� �1 ).A tale costante q si dà il nome di ragione della progressione.I termini successivi possono essere calcolati o dal termine precedente moltiplicato per q oppurecome:a a qn r

n r�

�

in particolare, se r = 1, si ha 1

1�

�n

n qaaIl prodotto di n termini di una progressione geometrica è dato da:

� �P a an n

n

� 1

Mentre la somma di n termini è data da:

S aqqn

n

�

�

�1

11

Se la progressione geometrica (serie geometrica) è costituita da infiniti termini e ragione in valoreassoluto minore di uno la somma è data da:

Sa

q�

�

�

1

1mentre la somma non assume valore finito negli altri casi.

ProposizioneEnunciato verbale cui si può attribuire il valore di vero o falso.

QuantificatoreUno dei due operatori logici: per ogni (�), esiste almeno un (�). Il primo è detto quantificatoreuniversale, il secondo quantificatore esistenziale. Quando il quantificatore esistenziale è seguito da !esso è usato per “esiste uno ed un solo elemento”.

R

Simbolo con cui si indica l’insieme dei numeri reali.

radSimbolo con cui si indica l’unità di misura radiante.

RadianteUnità di misura degli angoli. Data una circonferenza di centro O, siano r ed s due semirette orientateuscenti da O e che intersecano la circonferenza in P e Q. Si dice che �rs ha l’ampiezza di unradiante quando la lunghezza dell’arco PQ rettificato è uguale alla lunghezza del segmento OP(ossia del raggio).La misura in radianti di un angolo si ottiene con:

� �

PQOP

L’angolo di 1 rad, in gradi sessagesimali, misura 57°17’44”,81.Per passare da gradi a radianti, o viceversa, si applica la proporzione:

�� :018: rg ��

RadicaleSi chiama radicale il simbolo

an

dove n, numero intero positivo, prende il nome di indice del radicale mentre a è detto radicando.

RadiceRadice di un numero: dato un numero reale positivo o nullo a e un numero intero positivo n sidefinisce radice n-esima aritmetica di a, il numero reale non negativo b tale che b an

� e si scrive:b an�

Dato un numero reale a e un numero intero positivo n si chiama radice n-esima algebrica di a unnumero reale, positivo o negativo, la cui potenza n-esima sia a.Dalle definizioni precedenti si ha:� se l’indice n è pari, un numero positivo ha due radici n-esime algebriche, una opposta all’altra, e

una radice n-esima aritmetica, corrispondente alla radice algebrica positiva;� se l’indice n è pari, un numero negativo non ha né radici n-esime algebriche, né radice n-esima

aritmetica;� se l’indice n è dispari, un numero positivo ha una sola radice algebrica ed una radice aritmetica,

tra loro coincidenti;� se l’indice n è dispari, un numero negativo non ha radice aritmetica, e ha una radice algebrica

negativa.

Radice di un polinomio: dato un polinomio P(x) si chiama radice di P(x), o zero di P(x), un numeroa tale che P(a)=0.Si chiama molteplicità di una radice la potenza a cui si eleva (x - a) nella scomposizione delpolinomio stesso.

RagioneIn una progressione aritmetica: differenza costante d fra un termine diverso dal primo e il suoprecedente. In simboli: d = an –an-1.In una progressione geometrica: rapporto costante q tra fra un termine diverso dal primo e il suoprecedente. In simboli: q = an /an-1.

Razionale

Un numero si dice razionale se è esprimibile come frazione. Sono numeri razionali i numeri interi, inumeri decimali finiti e i numeri decimali periodici.

RealeUn numero reale è o un numero intero, o un numero decimale finito, o un numero decimaleperiodico, o un numero decimale illimitato non periodico.Rappresentazione decimale dei numeri reali:un numero reale, non razionale ha un allineamento non finito e non periodico di decimali.Ad es. 2 = 1.4142135623…..

Reciproco Dato un insieme I e un suo elemento a si definisce reciproco o inverso di a rispetto all’operazione *quel numero a-1 tale che a*a-1= a-1 *a =u, dove u è l’elemento neutro dell’insieme 1. Dato un numero reale a si definisce reciproco o inverso di a rispetto all’operazione operazione *(prodotto) quel numero a-1 tale che a*a-1= a-1 *a =1.

RelazioneDato un insieme A, si dice relazione binaria, R, nell’insieme A, un sottoinsieme R del prodottocartesiano A x A.Se a e b sono due elementi di A, si dice che a è in relazione con b, e si scrive aRb, se e solo se lacoppia ordinata (a, b) appartiene al sottoinsieme R.Una relazione binaria in un insieme A può verificare qualcuna delle seguenti cinque proprietà:� riflessiva: aRa per ogni a � A (ovvero I è contenuta in R);� antiriflessiva: per ogni a � A non si ha mai aRa;� transitiva: se aRb e bRc, allora aRc;� simmetrica: se aRb allora bRa ;� anti-simmetrica: se aRb allora bRa se e solo se a = b.Una relazione che verifica le proprietà riflessiva, transitiva e simmetrica si dice relazione diequivalenza.Una relazione che verifica le proprietà riflessiva, transitiva e antisimmetrica si dice relazione diordine parziale.Una relazione si dice di ordine in senso stretto se verifica le proprietà antiriflessiva, transitiva eantisimmetrica.Una relazione di ordine si dice totale se dati due qualsiasi elementi, a e b, di A si ha sempre o a �b o b � a.

RotazioneSi dice rotazione di centro O e ampiezza � la trasformazione che mantiene fisso il punto O, dettocentro, e associa ad ogni punto P del piano, distinto da O, un punto �P tale che la distanza OP siauguale alla distanza OP� e che l’angolo POP� sia uguale ad ��Equazioni della rotazione di centro O ed ampiezza �:

RuffiniRegola di Ruffini: regola utilizzata per dividere un polinomio di grado n per un binomio di primogrado del tipo (x-a).

SecanteUna retta r seca una curva C in un punto P, se P è un punto comune ad r e a C e se con P noncoincidono altri punti comuni ad r e a C.Secante di un angolo: dato un angolo orientato xOy, si definisce sua secante il rapporto costante, seesiste, fra la distanza di un qualunque punto P (diverso da O) dall’origine O e la distanza orientatadella proiezione H di P sulla retta Ox da O. La secante di un angolo x si indica con secx.

Quindi è: sec� = OP/OH.Dalla definizione data segue che, per tutti gli angoli diversi da �/2+k� , è: sec�=1/cos�.

SemifattorialeDato un numero naturale positivo n, si chiama suo semifattoriale, e si indica con il simbolo n!!, ilprodotto di n per tutti i numeri pari ad esso precedenti, se n è pari; il prodotto di n per tutti i numeridispari precedenti n, se n è dispari.

SemirettaUn qualsiasi sottoinsieme connesso e non limitato di una retta.

SenoSeno di un angolo: dato un angolo orientato xOy, si definisce suo seno il rapporto costante fra ladistanza di un qualunque punto P dalla retta Ox e la distanza di P dall’origine O. Il seno di unangolo � si indica con sen� ed è un numero privo di dimensioni, appartenente all’intervallo [-1;1].

Quindi è: sen� = PH/OP.Teorema dei seni: in un triangolo qualsiasi è:

�� senc

senb

sena

��

SignificativeSi dicono cifre significative di un numero n le sue cifre che non sono affette da errore, più la primacifra incerta.

SimmetriaSimmetria assiale: due punti distinti A e B, si dicono simmetrici rispetto a una retta r se il loropunto medio appartiene ad r e se il segmento AB è perpendicolare alla retta r.Chiamiamo simmetria assiale, di asse r, la trasformazione del piano in sé che ad ogni punto delpiano associa il suo simmetrico rispetto alla retta r.In un riferimento cartesiano ortogonale le equazioni di una simmetria assiale sono le seguenti.

Rispetto all’asse delle x Rispetto all’asse delle y

��

��

�

yyxx

''

��

�

��

yyxx

''

Rispetto alla retta y=h Rispetto alla retta x=h

��

��

�

yhyxx

2''

��

�

��

yyxhx

'2'

Rispetto alla retta y=x Rispetto alla retta y= -x

��

�

�

xyyx

''

��

��

��

xyyx

''

Simmetria centrale: due punti A e B si dicono simmetrici rispetto a un punto O se O è il puntomedio del segmento AB.Si dice simmetria centrale, rispetto a un dato punto O detto centro, una trasformazione del piano insé che ad ogni punto A del piano associa il suo simmetrico, A1 rispetto ad O.Le equazioni di una simmetria centrale sono date da:rispetto all’origine O(0,0) rispetto al punto A (a,b)

��

��

��

yyxx

''

��

��

��

ybyxax

2'2'

SommatoriaSimbolo, dato dalla lettera greca sigma maiuscola �, usato per indicare in forma concisal’operazione di somma.

SottoinsiemeSi dice che B è sottoinsieme di A e si scrive B � A (oppure A � B se ogni elemento di B è unelemento di A. In simboli: � x � B : x � A .Si osservi che A = B se e solo se (A � B e B � A)

inoltre �� A (qualunque sia A).

Un sottoinsieme B di A diverso da A e dall'insieme vuoto si dice sottoinsieme proprioe si scrive B � A (oppure A � B)

Proprietà della relazione inclusione: siano A, B, C insiemi qualsiasi, si ha:

A � A (proprietà riflessiva)

se A � B e B � A allora A = B (proprietà antisimmetrica)

se A � B e B � C allora A � C ( proprietà transitiva)

Tangente Una retta si dice tangente ad una curva in un punto P se nel punto P la retta e la curva hanno incomune due punti coincidenti. Il concetto di tangente è un concetto locale: una retta r può esseretangente ad una curva in un punto e secante alla stessa curva in un altro punto. Si può dire ancheche la tangente ad una curva in un punto P è la posizione limite, se esiste , della retta secante cheunisce i punti P e Q della curva, al tendere di Q a P.

Tangente di un angolo Dato un angolo orientato xOy , descritto dal raggio vettore Oy rispetto alla semiretta origine Ox , sichiama sua tangente il rapporto, se esiste, della distanza orientata di un qualunque punto P di Oy,diverso da O, dalla retta Ox e la distanza orientata della proiezione di P su Ox dall’origine O.La tangente di un angolo � si indica col simbolo tg�. Quindi tg�= PH/OH

Inoltre è: tg� = �

�

cossen .

Funzione tangentePonendo y= tg x si ottiene l’espressione analitica di una funzione , detta funzione tangente , definitaper x diverso da ��k��e con codominio R.

TransitivaProprietà transitiva: se, presi tre elementi a, b, c di un insieme I ed una relazione R, si dice che larelazione R gode della proprietà transitiva se quando vale: aRb e bRc allora aRc.

TraslazioneChiamiamo traslazione una trasformazione geometrica in cui due punti si corrispondono se ilsegmento che li unisce è congruente ed equiverso ad un segmento orientato dato , detto vettore ditraslazione. In un riferimento cartesiano ortogonale le equazioni di una traslazione qualsiasi divettore v=(a,b) sono:

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UnioneDati due insiemi A e B si chiama loro unione, e si indica con il simbolo A � B, l’insieme i cuielementi sono elementi di A o elementi di B.

UnitàElemento u che, in una struttura algebrica A, in cui è definita una operazione * , gode dellaproprietà che u*a=a*u=a per ogni a di A, l’unità è anche detta elemento neutro. Nel campo deinumeri reali prende il nome di elemento unità il numero 1, cioè l’elemento neutro rispetto alprodotto.

UnivocaSinonimo di “a un sol valore”. Una funzione è una corrispondenza univoca, cioè tale che ad ognielemento del dominio corrisponde uno e un solo elemento del codominio.

Valore assoluto Dato il numero reale x si dice valore assoluto di x, e si indica col simbolo |x|, il numero stesso sequesto è positivo o nullo, il suo opposto se esso è negativo. Le proprietà fondamentali del valoreassoluto sono le seguenti: |x|�0 �x�R |x| = 0 se e solo se x = 0|a| - |b| � |a + b| � |a| + |b| �a,b�R||a| - |b|| � |a - b| �a,b�Rx1 > x2 � |x1| > |x2| se x1,x2 > 0x1 > x2 � |x1| < |x2| se x1,x2 < 0

VariabileQuantità non conosciuta, che può assumere tutti i valori numerici appartenenti a un determinatoinsieme numerico.

VeritàTavola di verità: tabella dove si riportano i valori di verità di una proposizione logica composta, alvariare di tutti i possibili valori di verità che possono assumere le proposizioni elementaricomponenti.

VuotoInsieme vuoto: insieme privo di elementi. E’ un sottoinsieme improprio di qualunque insieme e siindica con: �

BIBLIOGRAFIA

Bernardi LogicaBoeri-Chiti Precorso di matematica ed ZanichelliBramanti Precalculus ed Progetto Leonardo-BolognaMaraschini-Palma Format spe ed ParaviaG.Zwirner, L.Scaglianti Pensare la matematica ed. CedamBruno, Cavalieri, Lattanzio Metodi e Moduli di Matematica ed.A.MondatoriAndreini,Manara,Prestipino Matematica Controluce ed.Mc Graw-HillTonolini,Manenti Calvi Fondamenti e percorsi ed.Minerva ItalicaCremaschi Matematica per problemi ed. Zanichelli

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