predavanja8-2014.pdf

Pripreme za predavanja iz Fizike 1 doc. dr. sc. Sanda Plesli

1

Gravitacija. Inercijski sustavi

Keplerovi zakoni

16. st. Nikola Kopernik postavio teoriju heliocentrikog sustava pretpostavivi da Zemlja nije sredite svemira (kao to je bilo prema Ptolomejevom geocentrikom sustavu), ve da se s ostalim planetima okree oko Sunca.

Johannes Kepler (1571 1630), njemaki astronom pronaao je 3 zakona gibanja planeta oko Sunca iz kojih je kasnije Newton izveo opi zakon gravitacije.

1. Svi planeti se kreu po elipsama u ijem se jednom aritu nalazi Sunce.

2. Radijus vektor (tj. vektor koji ide od sredita Sunca do sredita planeta) u jednakim vremenskim intervalima opisuje jednake povrine.

3. Kvadrati ophodnih vremena planeta oko Sunca odnose se kao kubovi velikih poluosi njihovih eliptinih putanja: T12 : T22 = a13 : a23


2

Newtonov opi zakon gravitacije

Prouavanjem gibanja nebeskih tijela otkriveno je da meu tijelima postoji privlana sila nazvana gravitacija koja je uzrok gibanja nebeskih tijela i Zemljine sile tee. Gravitacijska sila djeluje meu svim tijelima, ali ju je esto teko opaziti zbog relativno slabog intenziteta. Iz injenice da akceleracija slobodnog pada ne ovisi o masi tijela koje pada zakljuujemo da je gravitacijska sila proporcionalna masi tijela. Po zakonu akcije i reakcije, sila kojom jedno tijelo privlai drugo, jednaka je po iznosu sili kojom drugo tijelo privlai prvo gravitacijska sila mora biti proporcionalna umnoku masa obaju tijela. Gravitacijska sila ovisi i o udaljenosti meu tijelima obrnuto je proporcionalna kvadratu udaljenosti.

SLIKA: Gravitacijska sila izmeu 2 materijalne toke i 2 tijela Kulii slika 8.1. str. 119

0221

12 rr

mGmF rr

=

Za odreivanje gravitacijske sile meu tijelima, masu tijela ralanimo na elementarne mase mi, od kojih se svaka moe smatrati materijalnom tokom. Sila kojom takva materijalna toka prvog tijela mase mi djeluje na materijalnu toku mase mj drugog tijela je:

oijij

jiij r

r

mmGF r

r

2

= ,

rij udaljenost elementarnih masa oijrr

- jedinini vektor usmjeren od mase im prema masi jm

Sila kojom prvo tijelo djeluje na drugo dobije se zbrajanjem:

=

ioij

ij

ji

jr

r

mmGF r

r

212

Zbrajanje, tj. integriranje je sloeno osim za kuglasta tijela konstantne gustoe (homogena tijela) ili radijalno ovisne gustoe (centralno simetrina raspodjela mase).


3

Newtonov zakon gravitacije jedan od osnovnih zakona mehanike i jedno od najveih dostignua u povijesti znanosti.

ODREIVANJE GRAVITACIJSKE KONSTANTE CAVENDISHOVA TORZIONA VAGA


4

Gravitacijsko polje, potencijal i potencijalna energija

GRAVITACIJSKO POLJE

Odreeno tijelo mase m djeluje na sva ostala tijela u prostoru gravitacijskom silom danom Newtonovim zakonom:

orr

mmGF rr

221

12 =

Svako tijelo, koje ima masu, oko sebe u prostoru stvara gravitacijsko polje. Prostor oko svakog tijela ima posebna svojstva. Umjesto raunanja uzajamnog djelovanja dvaju tijela, nai emo polje jednog tijela i utjecaj tog polja na drugo tijelo.

Tijelo mase m1 proizvodi u prostoru oko sebe gravitacijsko polje. to smo blie tijelu, polje je jae, a kako se udaljavamo, polje pada s kvadratom udaljenosti. Svako tijelo mase m2, koje se nae u tom polju osjea njegovo djelovanje to mu je vea masa, vee je djelovanje.

Jakost gravitacijskog polja tijela mase m1 je omjer gravitacijske sile i mase tijela na koje djeluje ta sila:

o

o rr

mGr

r

m

mGmm

F rrv

r

21

22

21

2

12===

Jedinica za jakost gravitacijskog polja je N/kg ili m/s2 (ista kao za akceleraciju).

Gravitacijsko polje je vektorsko polje i svakoj toki prostora oko nekog tijela mase m1 pridruen je vektor dan zadnjom relacijom. Smjer gravitacijskog polja uvijek je prema tijelu koje ga je proizvelo. Ako ima vie materijalnih toaka masa m1, m2 .... mn, svaka od njih proizvest e u prostoru svoje gravitacijsko polje.

Ukupna sila na materijalnu toku mase m u nekoj toki prostora T bit e:

)...(... 2121 nn mmmmF rrrrrrr

++=+++=

gdje je ir

gravitacijsko polje mase mi.

Slijedi da je ukupno gravitacijsko polje vektorski zbroj pojedinih polja:

nrrrr

...21 ++=


5

GRAVITACIJSKA POTENCIJALNA ENERGIJA I POTENCIJAL

Od prije znamo da je gravitacijska sila konzervativna i da tijela u polju te sile imaju potencijalnu energiju. Sad emo raunati rad dizanja (npr. rad potreban za lansiranje rakete, satelita i sl.). Pretpostavimo da masu m2 iz poloaja r1 dovoljno sporo (bez ubrzavanja) dovedemo u poloaj r2 u gravitacijskom polju mase m1.

SLIKA: Raunanje gravitacijske potencijalne energije Kulii slika 8.5. str. 127

Pri tom je sila Fr , kojom se tijelo stalno podie, u ravnotei s gravitacijskom silom GFr

:

GFFrr

=

Rad obavljen pri premjetanju tijela je:

===

21212

21 112

1

2

1rr

mGmdrr

mmGFdrWr

r

r

r

Ovo je rad potreban da bi se tijelo mase m2 u gravitacijskom polju tijela mase m1 podiglo od r1 do r2. Taj rad ne ovisi o putu ve samo o poetnom i konanom poloaju tijela mase m1 i m2, pa se moe izraziti razlikom potencijalnih energija:

)11()()(21

2112rr

mGmrErEW pp ==

Obino se uzima da je Ep (r) = 0 kad su tijela beskonano daleko jer je tada i sila jednaka 0. Uz taj dogovor, uvrtavanjem r1 , r2 = r u zadnji izraz, dobijemo potencijalnu energiju dvaju tijela masa m1 i m2 udaljenih za r:

r

mmGrEp 21)( =

Potencijalna energija je uvijek negativna i raste kad se poveava udaljenost r.


6

Kad se radi o potencijalnoj energiji nekog tijela s obzirom na Zemlju, esto se uzima da je na Zemljinoj povrini Ep = 0.

Uvrstimo r1 = RZ (polumjer Zemlje) i r2 = r i dobijemo potencijalnu energiju:

)11()( 1rR

mGmrEZ

Zp = ili rRRr

mGmrEZ

ZZp

= 1)(

Ako je visina h = r RZ


7

Veza izmeu gravitacijskog polja i potencijala je:

0rdrd =r


8

Ubrzanje sile tee

Na svako tijelo na Zemljinoj povrini djeluje privlana sila vertikalno prema dolje, koja se zove sila tea. Zemlja daje svakom tijelu, koje slobodno pada, odreenu akceleraciju padanja, tzv. akceleraciju sile tee gr . Sila tea koja djeluje na tijelo mase m je .gmG rr =

Tijelo e mirovati s obzirom na Zemljinu povrinu ako se sila tea Gr uravnotei sa silom reakcije oslonca ili objesita, pa je teina tijela (po definiciji sila kojom tijelo djeluje na oslonac ili na objesite) jednaka sili tei koja djeluje na tijelo.

Referentni sustav vezan za Zemlju nije inercijski jer Zemlja krui oko Sunca i vrti se oko svoje osi. Akceleracija zbog gibanja oko Sunca mnogo je manja nego zbog vrtnje Zemlje oko vlastite osi, pa ovo drugo uzimamo kao glavni uzrok neinercijalnosti sustava. Zbog toga na tijelo mase m, koje se nalazi na Zemljinoj povrini, djeluje inercijska sila, poznata kao centrifugalna sila cfF

r.

Tako je sila tea zapravo rezultanta gravitacijske i centrifugalne sile:

cfG FFGrrr

+=

SLIKA: Sila tea Kulii slika 8.4. str. 125

Sila tea Gr

se razlikuje od gravitacijske sile GFr

i po smjeru i po iznosu, ali ne previe jer je cfF

r


9

Dogovorom utvrena normirana vrijednost je: 22 m/s81,9m/s80665,9 =ng to odgovara = 450

Gravitacijsko polje Zemlje, a time i akceleracija sile tee se mijenja s udaljenou r od sredita Zemlje kao 1/r2. U toki na nadmorskoj visini h, udaljenoj za RZ + h od sredita Zemlje, gravitacijsko polje iznosi:

222 )()( hR

RRmG

hRmG

Z

Z

Z

Z

Z

ZZ +

=

+=

Ako zanemarimo maleni doprinos centrifugalne akceleracije, gravitacijsko polje je: g

hRR

gZ

ZZ =+

=2

0 )(

g je akceleracija sile tee, a go akceleracija na Zemljinoj povrini:

20Z

Z

RmGg =


10

Troma i teka masa. Princip ekvivalencije

U dinamici smo se susreli s tromom masom da bismo iskazali tromost ili inerciju nekog tijela. Svako tijelo je tromo jer je za njegovo ubrzanje potrebna odreena sila. Tromu ili inertnu masu mi moemo odrediti mjerenjem akceleracije koju tijelo dobije pod utjecajem odreene sile F = mia (tzv. dinamiko mjerenje mase). Za istu silu akcelaracija je obrnuto proporcionalna inertnoj masi tijela.

Masa se pojavljuje u izrazu za gravitacijsku silu kao takoer jednog svojstva tijela. To je teka ili gravitacijska masa.

Gravitacijska sila za tijelo blizu Zemljine povrine je: Z

Zggg R

mmGF =

mg gravitacijska masa tijela mZg gravitacijska masa Zemlje RZ polumjer Zemlje

Pod djelovanjem gravitacijske sile tijelo dobije akceleraciju: i

g

Z

Zg

i

g

m

m

Rm

Gm

Fa 2==

Pokusi sa slobodnim padom pokazuju da je ta akceleracija za sva tijela jednaka bez obzira na njihov oblik, masu i materijal od kojeg su nainjena.

Budui je i 2Z

Zg

Rm

G za sva tijela jednako, slijedi da je omjer teke i trome mase za sva tijela jednaki. Zato ne razlikujemo tromu i teku masu i govorimo samo o masi m.

Osnova principa ekvivalencije je upravo tolika tonost proporcionalnosti teke i trome mase.

Princip ekvivalencije kae da ne moemo razlikovati inercijski sustav u gravitacijskom polju, gdje je ubrzavanje gravitacije g, od neinercijskog sustava daleko od svih drugih tijela, koji se giba ubrzano s .ga rr =

Gravitacijska sila gmg r na tijelo u prvom inercijskom sustavu jednaka je inercijskoj sili gmam iirr

= u drugom neinercijskom sustavu jer su teka i troma masa jednake.

To je osnova Einsteinove ope teorije relativnosti.


11

Inercijski sustavi. Galileijeve transformacije

Da bismo opisali neko gibanje, moramo odabrati odreeni koordinatni sustav i prouavati gibanje relativno prema njemu. Vektor poloaja, brzina i akceleracija materijalne toke ovise o izboru referentnog sustava pa se mijenjaju prijelazom iz jednog sustava u drugi. Obino se odabire referentni sustav vezan za Zemljinu povrinu (npr. laboratorij), ali se mogu izabrati i drugi sustavi, koji se u odnosu na laboratorijski sustav gibaju jednoliko ili ubrzano. Vanjske sile, koje djeluju na tijelo, ovise samo o meusobnom poloaju tijela i okoline, a ne o izboru sustava.

Budui da 2. Newtonov zakon kae da je a proporcionalna F, taj zakon ima isti oblik u svim sustavima u kojima je akceleracija tijela jednaka.

To su inercijski referentni sustavi koji se jedan u odnosu na drugi gibaju jednoliko po pravcu.

Za tijela u ubrzanim sustavima ne vrijedi 1. Newtonov zakon )00( == aF rr

: iako ne djeluje vanjska sila, tijelo se ubrzava.

Sustavi u kojima vrijede Newtonovi zakoni (posebno 1. Newtonov zakon) su inercijski sustavi. Ako je sustav S inercijski, tada je inercijski svaki drugi sustav S' koji se u odnosu prema njemu giba jednoliko po pravcu ili miruje.

Razmotrimo 2 inercijska sustava S i S', koji se jedan prema drugom gibaju stalnom brzinom 0v

r. Radi jednostavnosti pretpostavimo da su to pravokutni Kartezijevi

koordinatni sustavi ije se osi x i x' poklapaju, a osi y i y', te z i z' su paralelne. U poetnom trenutku t = t' = 0 sustavi se poklapaju, tj. ishodita 0 i 0' su u istoj toki. Poloaj materijalne toke u referentnom sustavu S odreen je vektorom poloaja r , a u referentnom sustavu S' vektorom poloaja 'rr .

SLIKA: Izvod Galilejevih transformacija Kulii slika 7.1. str. 109


12

Ishodita oba sustava vezana su vektorom '000 =rr

, a vektori poloaja vezani su relacijom: 0' rrr rrr += . Promatrai u oba sustava sinhroniziraju svoje satove tako da pokazuju isto vrijeme u oba sustava: t = t'.

+==+=+=+=+= 0''/''/' 0000 aadtvd

dtvd

dtvd

dtd

vvvdtrd

dtrd

dtrd

dtd

rrrrr

vr

- brzina u sustavu S 'v

r- brzina u sustavu S'

0vr

- brzina sustava S' prema sustavu S

'aa =

ar

- akceleracija tijela u sustavu S 'a

r- akceleracija tijela u sustavu S'

Relacije umjesto u vektorskom obliku moemo pisati i pomou komponenata:

x = x' + vot y = y' z = z'

'aarr

=

vx = vx' + vo vy = vy' vz = vz'

To su Galileijeve transformacije za koordinate, brzine i akceleracije materijalne toke u inercijskim sustavima S i S'.

Primjeri:

- metarske vrpce se ne mijenjaju ako se jedna prema drugoj relativno gibaju - satovi pokazuju isto vrijeme bez obzira na to da li miruju ili se relativno gibaju

jedan prema drugom - u klasinoj fizici gibanje ne utjee na vrijeme i prostor duinski i vremenski

intervali su apsolutni i ne ovise o koordinatnom sustavu.

Ako na materijalnu toku u sustavu S djeluje sila Fr , tada je po 2. Newtonovom zakonu: amF r

r= .

Kako je 'aa rr = , a masa m u klasinoj fizici ne ovisi o brzini, slijedi da je:

FamamFrrrr

=== ''


13

2. Newtonov zakon ima isti oblik u oba inercijska sustava.

Zakljuujemo da Newtonovi zakoni imaju isti oblik u svim inercijskim sustavima oni su invarijatni s obzirom na Galilejeve transformacije. Budui se iz Newtonovih zakona izvode ostali zakoni mehanike, slijedi da svi zakoni mehanike imaju isti oblik u svim inercijskim sustavima. Svi inercijski sustavi su meusobno jednako vrijedni i ni na koji nain ne moemo pokusima ustanoviti koji sustav miruje, a koji se jednoliko giba. Svaki od njih moemo smatrati apsolutno mirnim, to znai da nema apsolutno mirnog sustava.

To je Galilejev princip relativnosti koji vrijedi u klasinoj mehanici.

Zadaci: 1. Na kojoj udaljenosti od sredita Zemlje treba kruiti satelit da bi se promatrau na

Zemlji inio stacionarnim? (Rj. m1022,4 7=r ) 2. Pretpostavite da je putanja Venere oko Sunca krunica. Udaljenost Venerine

putanje od Sunca je 0,722 puta kraa od udaljenosti Zemljine putanje od Sunca. Koliko Zemljinih godina traje Venerina godina? (Rj. 613,0=

Z

V

TT )

3. Koliko bi morao trajati dan na Zemlji da bi tijela na ekvatoru bila u besteinskom stanju? (Rj. h4,1=T )

Documents

predavanja8-2014.pdf