MATRIČNA ANALIZAOpšteMetoda sila i metoda deformacije su dvije osnovne metode i u klasičnoj i u matričnoj formulaciji. U klasičnoj formulaciji dati statički sistem se posmatra kao cjelina (system approache). U proračunu se usvaja ona metoda koja je pogodnija za analizu datog sistema. Izbor metode zavisi od statičke ili deformacijske neodređenost nosača. Ako je statička neodređenost manja bira se metoda sila ili obrnuto.

1) Uslovi kompatibilnosti čvorova 2) Uslovi ravnoteže čvorova 3) Uslovi oslanjanja sistema

U matričnoj formulaciji metode sila i metode deformacija osnovu čini štap kao element sistema (element approache). Sistem je diskretan, sastavljen od pojedinih štapova – elemenata sistema koji su međusobno vezani u diskretnim tačkama čvorovima sistema.

Analiza diskretnog sistema se sastoji od sljedeća dva dijela:1) Analiza elementa (štapa)2) Analiza strukture (sistema elemenata-štapova)

U analizi elementa polazi se od osnovnih jednačina teorije štapa i uspostavlja veza između generalisanih sila i generalisanih pomjeranja u čvorovima na krajevima elemenata. U analizi strukture, odnosno, sistema štapova kao cjeline polazi se od veza između sila i pomjeranja koje važe za pojedine elemente. Na osnovu tih relacija formiraju se odgovarajuće jednačine za strukturu štapova uz vođenje računa o vezama u čvorovima, uslovima ravnoteže i načinu oslanjanja.

. U tu svrhu koriste se:

Nepoznate u metodi deformacije su komponente pomjeranja u i v i obrtanja čvorova .

K* - matrica krutosti sistema elemenata

q* - vektor nepoznatih parametara pomjeranja

S* - vektor čvornog opterećenja sistema

U dobijenom sistemu jednačina nepoznate su parametri u čvorovima.

To mogu biti generalisane sile (sile i momenti) i/ili

generalisana pomjeranja (komponentalna pomjeranja i obrtanja)

U zavisnosti od izbora nepoznatih u analizi postoje tri metode:

Metoda deformacije

Metoda sila

Mješovita ili hibridna metoda.

Zbog svoje opštosti i jednostavnosti najviše je u primjeni metoda deformacije, pa je ona predmet naših razmatranja.

Uvodimo pojmove:R – vektor sila

q – vektor pomjeranja

k – matrica krutostiZa svaki štap može se napisati sljedeća veza ove tri veličine: R=k qNa osnovu analize strukture (sistema štapova) i formiranih matrica krutosti pojedinih štapova formira se matrica krutosti sistema štapova K*:

K* q* = S*

gdje su:

Na osnovu principa superpozicije uticaja, uticaji u sistemu se računaju na način koji je dat na slici kao zbir uticaja ekvivalentnog sistema koji je deformacijski određen i uticaja usled ekvivalentnog opterećenja:

Ovo opterećenje se naziva ekvivalentno čvorno opterećenje.

Na slici (a) štapovi su opterećeni opterećenjem usled kojeg se određuju reaktivne sile i momenti uz pretpostavku da su ui, vi, i =0. Odnosno, reaktivne sile i momenti su određeni u sistemu u kojem se čvorovi ne pomjeranju i presjeci ne obrću (deformacijski određen sistem).

Sistem na slici (b) opterećen je u čvorovima i to opterećenjem koje je po intenzitetu jednako opterećenju u čvorovima sistema štapova ali sa promijenjenim znakom.

dati sistem (a) ekvivalentni sistem (b) ekvivalentno opterećenje

ui, vi, i =0 ui, vi, i

Iz navedenog sistema jednačina određuju se nepoznati parametri pomjeranja q*, a zatim se iz relacije određuju sile na krajevima štapova, odnosno čvorovima elemenata.

= +

Znači u analizi, na nivou elementa, pored veze generalisanih sila i generalisanih pomjeranja u čvorovima elementa koja se uspostavlja preko matrice krutosti elementa, određuje se i vektor ekvivalentnog opterećenja elementa.

U čvoru sa kruto vezanim štapovima, prema definiciji krute veze, svi kruto vezani štapovi obrću se za isti ugao tako da je ukupan broj nepoznatih uglova obrtanja jednak broju grupa kruto vezanih štapova u sistemu, m:

Ovaj stav predstavlja osnovu koncepta matrične analize metodom deformacije.

On praktično znači da se pri određivanju pomjeranja i obrtanja čvorova sistema spoljašnji uticaji duž pojedinih štapova zamjenjuju ekvivalentnim opterećenjem na njegovim krajevima, odnosno, u čvorovima sistema što je znatno pogodnije za analizu od stvarno zadatog opterećenja.

Ekvivalentno opterećenje se određuje u kinematički određenom sistemu i jednako je negativnim vrijednostima reakcija oslonaca totalno uklještenih štapova.

Kinematička (deformacijska) neodređenost sistemaUkupan broj nepoznatih, međusobno nezavisnih parametara pomjeranja, predstavlja kinematički ilideformacijsku neodređenost sistema.

U slučaju ravnih sistema svaki čvor ima dvije komponente pomjeranja, stoga će k čvorova u sistemuimati 2k nepoznatih komponentalnih pomjeranja.

i’ ii

2 53 6

1 4

Ukupan broj nezavisnih parametara pomjeranja sistema umanjuje se za broj spriječenih ili zadatih pomjeranja u osloncima.

Ukupan broj deformacijski nepoznatih određuje se pomoću izraza:

nt = (2k – zo) + mOvim izrazom definisan je broj deformacijski nepoznatih za slučaj kada se ne zanemaruje uticaj normalnih sila na deformaciju sistema.

U približnoj metodi deformacija uticaj normalnih sila na deformaciju nosača se zanemaruje, iz tog razloga broj deformacijski nepoznatih se određuje primjenom izraza:

np= [2k – (zo+zs)] + m Na slici je prikazan je način određivanja deformacijski neodređenih veličina za oba navedena slučaja:

2 31 1

tačna metoda deformacije

nt = (2k – zo) + m =(2x4-4)+2=6

nepoznate: 1, 2, 3, 4, 5 i 6

približna metoda deformacije

np= (2k – zo – zs) + m =(2x4-4-3)+2=3

nepoznate: 1, 2 i 3

P1 P2

1 2 2

Veze između sila i pomjeranjaZa elastično tijelo definišu se dva osnovna pojma matrične analize linijskih nosača:

Matrica fleksibilnosti

Matrica krutostiPosmatraćemo prostu gredu opterećenu silom P1 u tački 1 i momentom P2 u tački 2, kako je to prikazano na slici.Nosač je idealno elastičan, a pomjeranja 1 i 2 su male veličine.

P1=1

1 2f f21

P2=1

1 2f f22

2

1

2221

1211

2

1

PP

ffff

01

2221

1211

2

1

ffff

21

11

2

1

ff

Primjenom superpozicije uticaja pomjeranja napadnih tačakageneralisanih sila P1 i P2 , mogu se sračunati na sljedeći način:

sijedi

10

2221

1211

2

1

ffff

22

12

2

1

ff

P1=1 i P2=0

P1=0 i P2=1

sijedi

Koeficijenti f11 i f21 predstavljaju vertikalno pomjeranje tačke 1 i obrtanje tačke 2, usleddejstva sile P1=1, dok koeficijenti f12 i f22 predstavljaju vertikalno pomjeranje u tački 1 iobrtanje u tački 2, usled dejstva momenta P2=1.

k11 k21

1 2 2

k12 k22

1 2 2

fij , i,j=1,2 su koeficijenti gipkosti ili koeficijenti fleksibilnosti nosača koji odgovaraju silama Pi(i=1,2).

Veze između sila i pomjeranja date su u sljedećem obliku:

2

1

2221

1211

2

1

kkkk

PP

01

2221

1211

2

1

kkkk

PP

10

2221

1211

2

1

kkkk

PP

Koeficijenti k11 i k21 predstavljaju silu u tački 1 i moment u tački 2 usled kojihnastaju pomjeranja 1=1 i 2=0, dok koeficijenti k12 i k22 predstavljaju silu u tački 1 i moment u tački 2 kada je obrtanje 2=1 i 1=0.

i

21

11

2

1

kk

PP

i

22

12

2

1

kk

PP

kij , i,j=1,2 su koeficijenti krutosti nosača koji odgovaraju pomjeranjima 1 i 2.

n

j

nnnjn

iniji

nj

n

i

R

R

R

fff

fff

fff

q

q

q

...

...

.....................

.....................

......

...

...1

1

1

11111

RFq

Veze pomjeranja i sila mogu da se uopšte za proizvoljan nosač na koji djeluje proizvoljansistem sila Ri u tačkama i =1,2,...,n i odgovarajućim generalisanim pomjeranjima qi utačkama i=1,...,n:

Skraćeni matrični oblik:

Elementi j-te kolone matrice fleksibilnosti F predstavljaju generalisana pomjeranja

qi, i=1,...,n usled dejstva jedinične sile Rj=1, dok su sve ostale sile jednake nuli.

F - matrica fleksibilnosti

n

j

nnnjn

iniji

nj

n

i

q

q

q

kkk

kkk

kkk

R

R

R

...

...

.....................

.....................

......

...

...1

1

1

11111

qkR

jiij ff

Na sličan način, zavisnost sila i pomjeranja uopšte za proizvoljan nosač može se prikazati u sljedećem obliku:

ili u skraćnom matričnom obliku

Na osnovu Maxwell-ovog stava o uzajamnosti pomjeranja slijedi da je matrica fleksibilnosti simetrična, slijedi:

Iz navedene relacije vidi se da je F=K-1 pa se zaključuje da je i matrica krutosti, takođe,simetrična.

Elementi j-te kolone matrice k predstavljaju generalisane sile Ri u tačkama i=1,...,n usled jediničnog generalisanog pomjeranja qj=1 dok su sva ostala generalisana pomjeranja jednaka nuli.

F = FTodnosno:

Formiranje matrica krutosti svih elemenata-štapova zadatog nosača

Određivanje vektora ekvivalentnog čvornog opterećenja za sve štapove koji su

opterećeni, Q

Formiranje matrica krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu

Formiranje matrice krutosti sistema štapova K* i vektora slobodnih članova S*

Određivanje vektora nepoznatih pomjeranja sistema štapova q*

Određivanje nepoznatih sila na krajevima štapova R

Algoritam za proračun uticaja u nosaču, primjenom matrične analize, ima sljedeće korake:

Prikazaćemo matričnu analizu za:

Ravne linijske nosače (puni i rešetkasti nosači)

Prostorne nosače (puni i rešetkasti nosači)

Roštilje.

Osnovne nepoznate, konvencija i oznake

Matrična analiza štapa U matričnoj analizi štap je osnovni element. Najjednostavniji je model pravog prizmatičnog štapa sa čvorovima na njegovimkrajevima koji se razmatra u dekartovom koordinatnom sistemu.Složeno naponsko stanje štapa u ravni može se razdvojiti na: aksijalno naprezanje,savijanje i torziju.Za aksijalno naprezanje i savijanje prikazaće se postupak izvođenja matrice krutostidirektnim i varijacionim postupkom, dok će matrica krutosti torzije biti izvedena direktnimpostupkom.

Na slici je prikazan prav prizmatičan štap proizvoljnog poprečnog presjeka dužine l, krajevi štapasu označeni sa i i k.Postavljen je Descartes-ov pravougli koordinatni sistem x,y,z tako da se osa x poklapa sa osomštapa a ose y i z sa pravcima glavnih osa inercije. Sistem (x,y,z) naziva se lokalni koordinatnisistem.

Sistem (x,y,z) naziva se lokalni koordinatni sistem.

xk

y

iz

vk, Tyk uk, Nk

vi, Tyi wk,Tzk

ui, Ni +konvencija

wi, Tzi

yk,Myk xk,Mxk zk,Mzk

yi, Myi zi,Mzi

xi,Mxi

nTkTiT qqqqqq ...21

Broj stepeni slobode čvora jednak je broju generalisanih pomjeranja čvorova, dok je broj stepeni slobode štapa jednak zbiru stepeni slobode u čvorovima.

Vektor pomjeranja štapa:

n-broj stepeni slobode štapa

Osnovne kinematičke veličine u čvorovima su generalisana pomjeranja u, v, w u pravcima x, y, z i obrtanja x, y, z oko osa x,y,z, respektivno.

Za generalisana pomjeranja u čvorovima upotrebljavaju se i nazivi parametripomjeranja ili stepeni slobode.

Vektori pomjeranja krajeva štapa i i k je:

zkykxkkkkziyixiiiiT wvuwvuq

][ zkykxkkkkTk wvuq

][ ziyixiiiiTi wvuq

][ ziyixiziyiiTi MMMTTNR

][ zkykxkzkykkTk MMMTTNR

zkykxkzkykkziyixiziyiiT MMMTTNMMMTTNR

nTkTiT RRRRRR ...21

Osnovne statičke veličine u čvorovima prostornog štapa su generalisane sile Nx, Ty, Tz, Mx, My, Mz.

Generalisane sile u čvorovima i i k prikazuju se kao komponente vektora sila Ri i Rk:

Vektor generalisanih sila štapa može se napisati u sljedećem obliku:

TkTiT qqq iiiTi vuq

kkkTk vuq

kkkiiiTkTiT vuvuqqqqqqqqq 654321

Za štap u ravni, lokalni koordinatni sistem je xoy, pri čemu se osa x poklapa saosom štapa

Slijedi da su komponente vektora pomjeranja za štap u ravni:

Subvektori vektora pomjeranja su qiT i qkT:

vk ukk x

k y

vii

ui i

+

Tk NkMk

Ti ikMi

Ni

xk

y ik

i lik

i

i

i

i

MTN

R

k

k

k

k

MTN

R

6

5

4

3

2

1

RRRRRR

MTNMTN

RR

R

k

k

k

i

i

i

k

i

qkR

n

j

nnnjn

iniji

nj

n

i

q

q

q

kkk

kkk

kkk

R

R

R

...

...

.....................

.....................

......

...

...1

1

1

11111

Vektor sila na krajevima štapova je:

Veze između vektora generalisanih sila R i vektora generalisanih pomjeranja q dat je sa:

razvijeni matrični oblik:

Vektor sila štapa sastoji od subvektora sila u čvorovima štapa:

Matrica krutosti štapa

TnjijjTni kkkRRR 11

Ako je qj=1 a qi=0 za i≠j tada slijedi:

Element kij matrice krutosti štapa jednak je generalisanoj sili Ri koja nastaje usledgeneralisanog pomjeranja qj=1, pri čemu su sva ostala pomjeranja jednaka nuli.

nj

ij

j

nnnjn

iniji

nj

n

i

k

k

k

kkk

kkk

kkk

R

R

R

...

...

0...1...0

.....................

.....................

......

...

...1

1

1

11111

Matrica kojom se uspostavlja neposredna veza između generalisanih sila igeneralisanih pomjeranja na krajevima štapa naziva se MATRICA KRUTOSTIŠTAPA.

Matrica krutosti štapa je simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu kij=kji što je posledica Maxwell-ovog stava o uzajamnosti pomjeranja.

Ovo predstavlja geometrijsko-statičko tumačenje elementa matrice krutosti štapa i putkojim se definiše postupak za određivanje elemenata matrice krutosti.

Ovaj način određivanja matrice krutosti štapa naziva se direktan postupak ili direktnametoda.

62

52

42

32

22

12

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

000010

kkkkkk

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

RRRRRR

Matrica k je simetrična matrica za koju ne postoji inverzna matrica, izrazloga što su tri komponente sila na krajevima štapa međusobno nezavisnea druge tri se mogu odrediti iz uslova ravnoteže (linearno zavisne) štapa.

01

65431

2

qqqqqqk32

k62k42

k12k22 k52

Primjer određivanja članova matrice krutosti štapa u ravni:

Reakcije obostrano uklještenogštapa predstavljaju članove drugekolone matrice krutosti štapa i-k.

stanje q2=1

q22 q5 5q3 3 q6 6

q11 q4 4

q2=1

Matrica krutosti štapa je kvadratna matrica reda nxn, gdje je n broj stepeni slobodepomjeranja elementa/štapa.

k

k

k

i

i

i

QQQQQQ

MTNMTN

6

5

4

3

2

1

Vektor ekvivalentnog opterećenja

Vektor ekvivalentnog opterećenja čine negativne vrijednosti reakcija krajeva totalnouklještenog štapa usled zadatog opterećenja koje djeluje na štap.

Zadato opterećenje može biti raspodijeljeno opterećenje p i m, koncentrisane sile imomenti P, M, temperaturna promjena t i temperaturna razlika t.

Koncentrisano opterećenje na krajevima štapa kojim se zamjenjuju spoljašnji uticaji koji djeluju duž ose štapa naziva se EKVIVALENTNO OPTEREĆENJE.

Za komponente ekvivalentnog opterećenja (sile i momenti) u čvorovima štapa važi istakonvencija kao i za generalisane sile.

+

Ti TkMi p Mk

Ni t, t Nk

ekvivalentno čvorno opt.

Ti TkMi Mk

Ni Nk

Q3 Q6Q1 Q4

Q2 Q5

k

i

NN

R

k

i

uu

q

k

i

k

i

uu

kkkk

NN

2221

1211

Štap koji je u stanju aksijalnog naprezanja prikazan je na slici, geometrijske i materijalnekarakteristike štapa su dužina štapa l, površina poprečnog presjeka F i modul elastičnosti E.

ui, Ni E,F uk, Nkl

Direktan postupak određivanja matrice krutosti i vektora ekvivalentnog opterećenjaNaponsko stanje u ravni razdvajamo na:

Ukupno naprezanje dobijamo superpozicijom ova dva naprezanja.

Aksijalno naprezanje štapa

aksijalno naprezanje

i savijanje silama u ravni xoy

Parametri pomjeranja u čvorovima i i k su pomjeranja u pravcu ose štapa ui i uk pa element ima dva stepena slobode pomjeranja, po jedan u svakom čvoru. Generalisane sile u čvorovima su aksijalne sile Ni i Nk.

11 12 11

21 22 21

10

i

k

N k k kN k k k

lll 1

lEE l

EFFEFN

11

21

i

k

EFN k lN k EF

l

a) za slučaj kada je q1=1 i q2=0 slijedi da je:

l =ui=1

Kada se vrijednost normalne sile ubaci u veze sila i pomjeranja, vodeći računa o pozitivnoj konvenciji za sile:

Na osnovu geometrijsko-statičkog tumačenja

k11 k21E,F,l

q1=ui=1

+R1 R2

lEFFEFN

22

12

2221

1211

10

kk

kkkk

NN

k

i

1111

2221

1211

lEF

kkkk

k

b) za slučaj kada je q1=0 i q2=1 slijedi da je:

Matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa je:

lEF

lEF

kk

NN

k

i

22

12

k12 k22E,F,l

q2=uk=1

tk

i

ok

i

NN

NN

QQ

2

1

Nosač sa slike je jedan put statički neodređen i za određivanje reakcija Noi i Nok može se primijeniti metoda sila:

Vektor ekvivalentnog opterećenja može nastati od opterećenja duž ose štapa i uticaja temperature.

Vektor ekvivalentnog opterećenja je :

Q1o=Noi Q2o = Nokp(x)

tl

Q1o ekvivalentno čvorno opterećenje Q2o

X1=1- N1

010111 X

11101 /X

ldxNEFl

0

2111

EF=const

l

dxNNEF0

0110

ok

i

NN

QQ

2

1

11

221 lp

QQ

o

Za slučaj kada je opterećenje ravnomjerno raspoređeno p(x)=po=const:

Vektor ekvivalentnog opterećenja je :

Q1o=Noi Q2o = Nokp(x)=p0

l

X1=1- N1

010111 X

11101 /X

popol

+ Nopol

ldxNEFl

0

2111

EF=const

2/200

0110 lpdxNNEFl

2// 011101 lpX

p0l/2 ekvivalentno čvorno opterećenje X1= p0l/2

p0l-X1 X1

Za slučaj kada je t=const:

Vektor ekvivalentnog opterećenja je :

Q1t=Nti Q2t = Ntkt

l

X1=1- N1

01111 tX

1111 / tX

ldxNEFl

0

2111

EF=const

lEFtdxtNEFEF tl

tt 0

11

tEFtX 11101 /X1 ekvivalentno čvorno opterećenje X1

X1 t X1

11

2

1 tEFQQ

t

+R1 R4

k

k

i

i

MTMT

RRRR

R

4

3

2

1

k

k

i

i

v

v

qqqq

q

4

3

2

1

Štap dužine l, momenta inercije presjeka je I i modula eleastičnosti materijala E izložen je savijanju u ravni xoy.

yi, Mi E,I k, Mk

i k xvi, Ti vk, Tk

Vektor generalisanih pomjeranja:

Savijanje u ravni

Generalisana pomjeranja su poprečna pomjeranja vi i vk i obrtanja krajeva štapa i i kšto znači da element ima četiri stepena slobode pomjeranja, po dva u svakom čvoru. Konvencija o pozitivnom znaku za sile i pomjeranja:

Vektor generalisanih sila:

Matrica krutosti štapa je reda nxn, za savijanje je reda 4x4 zbog čega je vezageneralisanih sila i generalisanih pomjeranja data sa:

4

3

2

1

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

qqqq

kkkkkkkkkkkkkkkk

RRRR Zbog simetrije matrice krutosti

kij=kji

Pokazano je da se koeficijenti kij, i,j=1,2,3,4 mogu odrediti kao reakcije obostranouklještenog štapa usled jediničnih pomjeranja i obrtanja njegovih krajeva.S obzirom da se radi o savijanju u ravni obostrano uklješten štap je dva puta statičkineodređen, i može se jednostavno riješiti primjenom metode sila.

01212111 cXX

02222112 cXX

l

ik

kiik dxEI

MM

0

j

jijic cC

Uslovne jednačine metode sila u tom slučaju su:

koeficijenti i slobodni članovi ovih jednačina definisani sa:

Mi, Mk, Cji su momenti i reakcije oslonca od nepoznatih Xi=1 a cj zadatapomjeranja ili obrtanja oslonaca.

STATIČKO-GEOMETRIJSKO ZNAČENJE

k21 k41 q1=1 N1(x)

k11 k31

Stanje q1=1

Stanje q2=1k22 N2(x) k42

q2=1

k12 k32

Stanje q3=1

k23 k43 N3(x) q3=1

k13 k33

Stanje q4=1k24 k44

q4=1k14 N3(x) k34

01212111 cXX

02222112 cXX

l

ik

kiik dxEI

MM

0

j

jijic cC

41

31

21

11

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0001

kkkk

kkkkkkkkkkkkkkkk

RRRR

k21 k41 q1=1 N1(x)

k11 k31

Stanje q1=1

Određivanje Ri (i=1,2,3,4) primjenom metode sila:

EI=const

E,I

l

Osnovni sistem, n=2:

X1 X2

Dijagrami u osnovnom sistemu:

1/l 1/l

M1X1 =1,0

X2 =1,0

M21/l

1/l

302

2

0

12

2211lMdxMEIEI

ll

60212112

ldxMMEIEIl

lEIEIEI cc

121 21

6l

EIX

226l

EIX

32112l

EITT

Iz ravnoteže štapa

l

llEI

kkkk

MTMT

RRRR

k

k

i

i

612612

3

41

31

21

11

4

3

2

1

01212111 cXX

02222112 cXX

l

ik

kiik dxEI

MM

0

j

jijic cC

42

32

22

12

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0010

kkkk

kkkkkkkkkkkkkkkk

RRRR

Određivanje Ri (i=1,2,3,4) primjenom metode sila:

EI=const

E,I

l

Osnovni sistem, n=2:

X1 X2

Dijagrami u osnovnom sistemu:

1/l 1/l

M1X1 =1,0

X2 =1,0

M21/l

1/l

302

2

0

12

2211lMdxMEIEI

ll

60212112

ldxMMEIEIl

EIEI c 1

lEIX 41 l

EIX 22

221

6l

EITT Iz ravnoteže štapa

2

2

3

42

32

22

12

4

3

2

1

26

46

ll

ll

lEI

kkkk

MTMT

RRRR

k

k

i

i

Stanje q2=1

k22 N2(x) k42 q2=1

k12 k32

02 cEI

01212111 cXX

02222112 cXX

l

ik

kiik dxEI

MM

0

j

jijic cC

43

33

23

13

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

0100

kkkk

kkkkkkkkkkkkkkkk

RRRRStanje q3=1

Određivanje Ri (i=1,2,3,4) primjenom metode sila:

EI=const

E,I

l

Osnovni sistem, n=2:

X1 X2

Dijagrami u osnovnom sistemu:

1/l 1/l

M1X1 =1,0

X2 =1,0

M21/l

1/l

302

2

0

12

2211lMdxMEIEI

ll

60212112

ldxMMEIEIl

lEIEIEI cc

121

21

6l

EIX 22

6l

EIX

321

12l

EITT Iz ravnoteže štapa

l

llEI

kkkk

MTMT

RRRR

k

k

i

i

612612

3

43

33

23

13

4

3

2

1

k23 k43 N3(x) q3=1

k13 k33

01212111 cXX

02222112 cXX

l

ik

kiik dxEI

MM

0

j

jijic cC

44

34

24

14

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

1000

kkkk

kkkkkkkkkkkkkkkk

RRRR

Određivanje Ri (i=1,2,3,4) primjenom metode sila:

EI=const

E,I

l

Osnovni sistem, n=2:

X1 X2

Dijagrami u osnovnom sistemu:

1/l 1/l

M1X1 =1,0

X2 =1,0

M21/l

1/l

302

2

0

12

2211lMdxMEIEI

ll

60212112

ldxMMEIEIl

01 cEI

lEIX 21 l

EIX 42

221

6l

EITT Iz ravnoteže štapa

2

2

3

44

34

24

14

4

3

2

1

46

26

ll

ll

lEI

kkkk

MTMT

RRRR

k

k

i

i

Stanje q4=1

EIEI c 2

k24 k44

q4=1k14 N3(x) k34

22

22

3

4626612612

2646612612

llllll

llllll

lEIk

Matrica krutosti štapa opterećenog na čisto savijanje ima sljedeći oblik

Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja štapa opterećenog na čisto savijanje ima sljedeći oblik

4

3

2

1

QQQQ

Q

tk

k

i

i

ok

k

i

i

MTMT

MTMT

Q1 p(x) Q3

Q2 t Q4

Komponente vektora ekvivalentnog opterećenja jednake su negativnimvrijednostima reakcija totalno uklještenog štapa usled zadatih spoljašnjihuticaja koji mogu biti opterećenje upravno na osu štapa i temperaturnarazlika t .

p(x)=po=const

E,I

lOsnovni sistem, n=2:X1 X2

010212111 XX

020222112 XX

Metoda sila:

l

ik

kiik dxEI

MM

0

l

ik

oiio dxEI

MM

0

X2 =1,0

M2 X1 =1,0

M1 30

22

0

12

2211lMdxMEIEI

ll

60212112

ldxMMEIEIl

M0

Mk =pol2/12

MMi =pol2/12

Ti =pol/2 Tk =pol/2

Ekvivalentno čvorno opterećenjeQ2=pol2/12

Q1=pol/2

Q4=pol2/12

Q3=pol/2

24

3

011

lpdxMMEI ol

oo

24

3

022

lpdxMMEI ol

oo

02463

3

21 lpXlXl o

02436

3

21 lpXlXl o

12

2

1lpX o

12

2

2lpX o

221lpTT o

p(x)=po=const

E,I

l

Mk =pol2/12

MMi =pol2/12

Ti =pol/2 Tk =pol/2

Ekvivalentno čvorno opterećenjeQ2=pol2/12

Q1=pol/2

Q4=pol2/12

Q3=pol/2

12

2

1lpX o

12

2

2lpX o

221lpTT o

12

2

12

2

2

2

4

3

2

1

lp

lp

lp

lp

QQQQ

Q

o

o

o

o

+Q2 Q4

Q1 Q3

l

tiit dxhtM

0

htlEIEIEI ttt 221

0263 21

htlEIXlXl t

0236 21

htlEIXlXl t h

tEIXX t

21

021 TT

1010

4

3

2

1

htEI

QQQQ

Q t

t

t Vodeći računa o pozitivnojkonvenciji za sile vektorekvivalentnog opterećenja je:

Za slučaj kada na štap djeluje temperaturna razlika t

tE,I

l

mijenjaju se slobodni članovi

Za EI=const

Uslovne jednačine i rješenja jednačina

Ravni štap može da primi i prenese spoljašnje uticaje koji djeluju u pravcu ose štapa px kao iopterećenje upravno na osu štapa py, temperaturnu promjenu u osi štapa t i temperaturnurazliku t duž ose štapa:

Pošto spoljašnji uticaji predstavljaju zbir uticaja koji se javljaju u slučaju

aksijalnog naprezanja i u slučaju savijanja slijedi da se matrica krutosti i

vektor ekvivalentnog opterećenja ravnog štapa mogu dobiti superpozicijom

matrica krutosti i vektora ekvivalentnog opterećenja za aksijalno naprezanje

štapa i savijanje.

Matrica krutosti i vektor ekvivalentnog opterećenja ravnog prizmatičnog štapa

ypy

i, Mi vi, Ti k, Mk vk, Tkx

ui, Ni px, t, t uk, Nklik

Štap u ravni ima šest stepeni slobode, po tri u svakom čvoru, što je jednako zbiru stepenislobode aksijalnog naprezanja i savijanja:

Vodeći računa o oznakama generalisanih sila i generalisanih pomjeranja 1,…,6 postavljajući u matrici krutosti 6x6 svaki od članova na odgovarajuće mjesto dobija se matrica krutosti štapa:

3 25 6

1 4

22

22

3

4626612612

2646612612

llllll

llllll

lEIksav

2 3 5 6 2356

1111

lEFkaks

1 4 14

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEF

lEF

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEF

lEF

kkk savaks

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

22

2323

22

2323

1 2 3 4 5 61

2

3

4

5

6

1

2 2

3 31

5 44

6 5

6

aks sav

o,t

QQ QQ QQ

Q Q QQ QQQ Q

Q

tok

k

k

i

i

i

MTNMTN

,

Superpozicijom vektor ekvivalentnog opterećenja štapa i-k u ravni definisan je sa :