KINEMATIKA

(I predavanje)

UVOD U KINEMATIKU

Kinematika je dio mehanike u kojem se proučavaju zakoni kretanja tačke i tijela pri čemu se ne uzimaju u obzir sile kao uzročnik promjene stanja kretanja. Drugim riječima, kinematika proučava geometriju kretanja tačke ili tijela u toku vremena. Kinematika se može podijeliti na:

- Kinematiku tačke - Kinematiku tijela

Kinematika tijela se može podijeliti na:

- Elementarna kretanja tijela (translacija i rotacija)- Ravno kretanje tijela - Sferno kretanje tijela- Opšti slučaj kretanja tijela u prostoru- Složeno kretanje tačke - Složeno kretanje tijela

Osnovne veličine u kinematici su dužina [L] sa osnovnom jedinicom 1m, i vrijeme [ T ] sa osnovnom jedinicom 1s.

1. KINEMATIKA TAČKE1.1. Vektorski način proučavanja kretanja tačke

1.1.1. Radijus vektor tačke, brzina tačke, ubrzanje tačke

Neka se tačka M kreće u prostoru

Tada je položaj tačke M u svakom trenutku potpuno određen radijus vektorom te tačke r=r(t) ... (1). To je vektorska funkcija skalarnog elementa, pri čemu je t – vrijeme i pri čemu radijus vektor r=OM polazi iz nekog nepomičnog pola O. Izraz (1) predstavlja zakon kretanja tačke M. Funkcija (1) mora biti jednoznačna.

Putanja ili trajektorija tačke se definiše kao linija koja povezuje sve položaje pokretne tačke M. Trajektorija tačke M je ustvari hodograf radijus vektora r.

Hodograf nekog vektora se definiše kao linija koja spaja vrhove tog vektora u položajima u kojem se taj vektor nađe. Da bismo okarakterisali promjenu radijus vektora u nekom vremenskom intervalu Δt, definisat ćemo srednju brzinu kao vektor

Da bismo u svakom trenutku okarakterisali promjenu radijus vektora tačke po vremenu definisat ćemo brzinu tačke u trenutku t u obliku

Prema tome, brzina tačke M u nekom trenutku jednaka je prvom izvodu radijus vektora

te tačke po vremenu u tom trenutku. Kraće možemo pisati

Za razliku od vektora srednje brzine koji ima pravac tetive koja prolazi kroz dva posmatrana položaja, vektor trenutne brzine v ima pravac tangente na putanju tačke u datom položaju.

U cilju karakterisanja promjene vektora brzine tačke u nekom vremenskom intervalu Δt definisat ćemo vektor srednjeg ubrzanja asr u obliku

Vidimo da vektor Δv, pa prema tome i vektor srednjeg ubrzanja asr , ima usmjerenje ka udubljenoj (konkavnoj) strani trajektorije.

Definisat ćemo i vektor ubrzanja tačke u datom trenutku u

obliku

Vidimo da je ubrzanje tačke u nekom trenutku jednako prvom izvodu vektora brzine tačke po vremenu, odnosno drugom izvodu radijus vektora tačke po vremenu. Kraće

možemo pisati .

I vektor ubrzanja tačke u datom trenutku je usmjeren u udubljenu stranu trajektorije.

1.1.2. Sektorska brzina

Pri kretanju tačke M radijus vektor tačke opisuje neku površ čije izvodnice prolaze kroz nepomični pol O.

Posmatrat ćemo kako se mijenja površina sektora kojeg prebriše radijus vektor u toku kretanja, po vremenu. U tom cilju ćemo posmatrati površinu elementarnog sekotra dσ pri

ćemu taj elementarni sektor možemo posmatrati kao elementarni trougao.

Definisat ćemo i vektor u obliku

pri čemu je vektor okomit na posmatrani elementarni trougao kojeg formiraju vektori r i dr.

Sektorska brzina u vektorskom obliku se definiše kao

Prema tome, sektorska brzina je jednaka polovini momenta brzine u odnosu na nepomični pol O iz kojeg polazi radijus vektor tačke.

(II predavanje)

1.2. Analitički način definisanja kretanja tačke 1.2.1. Kretanje tačke izraženo preko Dekartovih koordinata

Da bismo analizirali kretanje tačke preko Dekartovih pravouglih koordinata potrebno je znati jednačine kretanja u obliku

x = x (t)

y = y (t) ... (1)

z = z (t)

Ako iz jednačina kretanja eliminišemo parametar t, dobit' ćemo jednačinu putanje tačke. Radijus vektor tačke će imati oblik

r

= x

i

+ y

j

+ z

k

... (2)

Brzina tačke će biti v= drdt ; v=x i + y j + z k ... (3).

Projekcije vektora brzine na pojedine ose će biti v x = x, v y = y, v z = z ... (4)

Intenzitet brzine je odnosno ...(5)

Orijentacija vektora brzine je određena uglovima koje taj vektor zaklapa sa pojedinim

osama. ... (6)

Vektor ubrzanja tačke će biti a = dvdt ; a = x i + y j + z k ...(7)

Projekcije vektora ubrzanja na pojedine ose će biti biti a x =x, a y = y , a z =z ...(8)

Intenzitet vektora ubrzanja je ... (9)

Uglovi koje vektor ubrzanja zaklapa sa pojedinim osama određeni su izrazima

...(10)

Ako se tačka kreće u ravni, tada se prethodna analiza može prikazati preko dvije ose koje leže u toj ravni.

Kretanje tačke posmatrano u polarnom koordinatnom sistemu

Često je u slučaju kretanja tačke u ravni pogodno to kretanje posmatrati u polarnom koordinatnom sistemu.

Jednačine kretanja tačke u ovom slučaju su:

r = r ( t )

φ = φ ( t )

pri čemu je r = |r| - polarni radijus i φ - polarni ugao.

Putanja tačke će se dobiti ako iz jednačina kretanja (1) eliminišemo parametar t tako da

će se dobiti r = r (φ ) ... (2) Radijus vektor tačke je r = r ρ0 ... (3) pri čemu je ρ0

jedinični vektor duž radijus vektora.

Brzina tačke će biti v = drdt = r p0+ r ˙ρ0 .... (4)

Potrebno je naći izvod jediničnog vektora ρ0 po vremenu

... (5)

… ( 1 )

Vidimo da je izvod jediničnog vektora po vremenu jednak umnošku izvoda ugla zakretanja tog vektora po vremenu i jediničnog vektora koji je okomit na posmatrani vektor, a orijentisan je u smislu pozitivne orijentacije pomenutog ugla. Analogno ovome je

... (6)

Ako izraz (5) uvrstimo u izraz (4) dobit ćemo da je

... (7)

Vidimo da se vektor brzine sastoji od dvije međusobno okomite komponente i to:

a) Radijalne komponente vr = r ρ0 i b) Cirkularne (transferzalne)

komponente v φ = r φ p0

... (8)

Vektor ubrzanja tačke dobit ćemo diferenciranjem izraza (7) po vremenu

... (9)

Uvrštavajući u izraz (9) pojedine izvode jediničnih vektora po vremenu

... (10)

Vidimo da se i vektor ubrzanja sastoji iz međusobno okomite komponente i to:

a) Radijalne

b) Cirkularne (transferzalne) komponente

Intenzitet je

Dobijene izraze ćemo u cilju ilustracije primjene ovog metoda primjeniti na dva specijalna slučaja kretanja tačke i to:

a) Pravolinijsko i b) Kružno kretanje.

a) Pravolinijsko kretanje

Ishodište O ćemo postaviti na pravac putanje tačke. U tom slučaju

je φ = const. ; φ = φ = 00

Tada je brzina v = r ρ0 + r φ p0

⟹

A ubrzanje je jednako

⟹

b) Kružno kretanje

Ako ishodište O postavimo u centar kružnice tada je r = R = const. , r = r = 0

pa je

i

Prirodni način definisanja kretanja tačke

Da bismo prirodnim načinom definisali kretanje tačke, potrebno je sljedeće:

1. Poznavati putanju (trajektoriju) tačke2. Na toj putanji odabrati ishodišnu tačku od koje ćemo mjeriti neku lučnu mjeru na

putanji

v = r ρ0

a = r ρ0

0 0 0

v = r φ p0

a = - r φ2 ρ0 + rφ p0

3. Definisati pozitivni I negativni smjer orijentacije4. Poznavati zakon kretanja tačke s = s ( t ) … (1) , gdje je s pomenuta lučna

mjera tačke

Potrebno je naći vektor brzine tačke

Brzina tačke će biti v = drdt ; Vektor dr se po intenzitetu može poistovjetiti sa

elementom luka putanje ds = MM 1, a pravac vektora dr leži na pravcu tangente τ tako da možemo pisati

d r = dr τ 0 = ds τ 0 ...(2)

v = ds τ 0dt v = s τ 0 ... (3)

Projekcija vektora brzine na tangentu v τ = s ... (4) , a intenzitet brzine je

v = | s| ... (5)

Diferencirajući izraz (3) po vremenu dobit ćemo ubrzanje tačke

a = d vdt = s τ 0 + s ˙τ0 ... (6)

Potrebno je naći izvod jediničnog vektora τ 0 po vremenu. Taj izvod će biti

˙τ 0 = dθdt

n0 ...(7)

Pri tome je dθ elementarni ugao pomjeranja pravca CM pri čemu je C centar krivine putanje u datom položaju.

Pošto je dθ = dsRk , gdje je Rk – radijus krivine

trajektorije u datom položaju, tada je

˙τ 0 = 1Rk

dsdt n0 ... (8)

(III predavanje)

Uvrštavanjem izraza (8) u (6) dobit ćemo odnosno

.... (9)Vidimo da se vektor ubrzanja tačke sastoji od dvije komponente i to:

1) Tangencijalne komponente a τ = s τ0 = v τ τ0 .... (10) i

2) Normalnog ubrzanja (normalne komponente) an = v 2Rk n0 ...(11)

a=a τ + a

n

Svi dobijeni vektori se mogu prikazati u prirodnom trijedru

Ose prirodnog trijedra su tangenta sa jediničnim vektorom τ0 , glavna normala sa jediničnim vektorom n0, i binormala sa jediničnim vektorom b0 . Svi dobijeni vekroti se nalaze u oskulatornoj ravni koja se nalazi između tangente i glavne normale. Oskulatorna ravan je takva ravan u

kojoj se može smjestiti elementarni dio neke krive u okolini posmatrane tačke.

Specijalni slučajevi kretanja tačke prikazane preko prirodnog načina definisanja kretanja

(a) Slučaj kada je v τ = const.

...(a)Izraz (a) predstavlja zakon ravnomjernog krivolinijskog kretanja tačke.

(b) Neka je a τ = const.

... (b)Izraz (b) predstavlja zakon jednoliko promjenjivog krivolinijskog kretanja tačke.

(c) Ako se tačka kreće po pravcu tada je Rk = ∞

U ovom slučaju ubrzanje ima samo tangencijalnu komponentu.