Predavanje 9

Sveučilište u RijeciFakultet za menadžment u turizmu i ugostiteljstvu

Sveučilišni preddiplomski studij“Poslovna ekonomija u turizmu i hotelijerstvu”

Temeljni predmetS T A T I S T I K A

PREDAVANJE 9:

OSNOVNA ANALIZA VREMENSKIH NIZOVA

Ciljevi predavanja

• Definirati pojam i vrste vremenskih nizova• Prikazati različite načine grafičkog prikazivanja vremenskih

nizova• Definirati pojam i vrste indeksa• Objasniti postupak izračunavanja baznih i verižnih indeksa• Objasniti značenje baznih i verižnih indeksa• Grafički prikazati bazne i verižne indekse• Definirati pojam trenda• Objasniti postupak izračunavanja jednadžbe linearnog trenda s

ishodištem na početku i u sredini vremenskog niza• Objasniti značenje izračunatih parametara.

Uvod

• Prikupljanje, praćenje i analiza statističkih podataka u vremenuvažan je dio statističke djelatnosti poduzeća.

• Primjena: za uspješno poslovno odlučivanje potrebno je raspolagati s točnim i ažurnim podacima o broju zaposlenih, dnevnoj i mjesečnoj proizvodnji, priljevu i odljevu sredstava, kretanju opsega izvoza i uvoza, ...

• Statistička analiza vremenskih nizova sastoji se od njihova grafičkog prikazivanja i primjene različitih brojčanih postupaka.

• Svrha statističke analize vremenskih nizova je pružiti pokazatelje razvoja pojava u vremenu. Rezultati analize koriste se za prosudbu proteklog i predviđanje budućeg razvoja promatranih pojava.

Definicija i vrste vremenskih nizova

• Vremenski niz je skup kronološki uređenih vrijednosti neke pojave.

• Veličine tj. vrijednosti (y1, y2, ..., yN) koje tvore niz nazivaju se frekvencije vremenskog niza. Broj frekvencija predstavlja duljinu niza.

• Vremenski niz nastaje uređivanjem statističkih podataka koji se odnose na dva ili više razdoblja.

• Obzirom na vremensku definiciju (promatranje pojave u nekom trenutku ili u vremenskom intervalu), razlikujemo dvije vrstevremenskih nizova:

(1) intervalni vremenski niz(2) trenutačni vremenski niz

Intervalni vremenski niz

• Vrijednosti članova (frekvencije) intervalnog VN nastaju zbrajanjem vrijednosti pojave po vremenskim intervalima.

• Interval promatranja može biti dan, tjedan, mjesec, godina,...• Intervalni VN ima svojstvo kumulativnosti, jer se vrijednosti

njegovih članova mogu postupno zbrajati, a dobiveni članovi kumulativnog niza imaju smisleno značenje (npr. zbrajanjem dnevnih proizvodnji dobiva se tjedna proizvodnja; zbrajanjem broja noćenja turista po mjesecima dobiva se ukupan broj noćenja turista u godini).

• Primjer intervalnog VN: Dolasci turista u Republiku Hrvatsku u razdoblju od 2000. do 2006. godine; Broj posjeta odabranoj web-stranici po mjesecima u 2006. godini; Prosječne dnevne temperature u primorskim gradovima po mjesecima.

Trenutačni vremenski niz

• Vrijednosti članova (frekvencije) trenutačnog VN nastaju promatranjem pojave u određenom trenutku.

• Članovi niza pokazuju stanje pojave u određenim vremenskim točkama, te nemaju svojstvo kumulativnosti (ne zbrajaju se) (npr. praćenje broja zaposlenih na određeni dan; stanje tekućeg računa na određeni datum; vrijednost imovine krajem godine;...)

• Primjer trenutačnog VN: Smještajni kapaciteti po kategoriji hotela u RH (stanje 31.8.2005.); Broj stanovnika po odabranim županijama u RH (stanje-popis 2001.); Dolasci turista prema vrstama objekata (stanje 31.5.2006.).

Grafičko prikazivanje vremenskih nizova

• Osnovno sredstvo u analizi vremenskog niza je grafički prikaz. • Grafičkim prikazom postiže se jasnija i preglednija slika

kretanja vrijednosti, te se uočavaju temeljna obilježja promatrane pojave kroz vrijeme.

• Vremenski se nizovi grafički prikazuju površinskim i linijskim grafikonima. Površinski grafikon VN crta se kao i histogram (međusobno spojeni stupci jednakih osnovica). Linijski grafikon VN nastaje spajanjem točaka ucrtanih u pravokutni koordinatni sustav.

• Postoje i drugi načini prikazivanja VN: polarni dijagram, grafikoni s trodimenzionalnim efektom (kvadri i valjci jednakih osnovica).

• Intervalni VN prikazuje se površinskim i linijskim grafikonima, dok se trenutačni VN grafički prikazuje samo linijskim grafikonima.


• VN se grafički prikazuje u pravokutnom koordinatnom sustavu. Na osi apscisa (os x) nalazi se mjerilo za vrijeme (godina, mjesec,...), a na osi ordinata (os y) mjerilo za vrijednosti niza.

• Grafikon VN treba sadržavati oznake, kao i svaki drugi statistički grafikon: naslov, naznaku pojava na osima x i y, izvor, legendu (ako je potrebno).

• Osim jednog niza, grafički se mogu usporediti dva ili više VN. Vremenski nizovi se grafički mogu uspoređivati ako su im vrijednosti iskazane u istim mjernim jedinicama te ako između frekvencija ne postoje prevelike brojčane razlike.

• Vremenski nizovi se grafički najčešće uspoređuju linijskim grafikonom i grafikonom višestrukih stupaca.

• Ne preporuča se istodobna usporedba više od triju VN zbog nepreglednosti grafičkog prikaza.


• Linijski grafikon

Uvoz u Primorsko-goranskoj županiji

0

100

200

300

400

500

600

700

800

2000. 2001. 2002. 2003. 2004.Godine

Izvor: Statistički ljetopis PGŽ, 2005., str. 249.

Uvo

z (u

mil.U

SD)


• Površinski grafikon (histogram)Uvoz u Primorsko-goranskoj županiji

0100200300400500600700800

2000. 2001. 2002. 2003. 2004.

GodineIzvor: Statistički ljetopis PGŽ, 2005., str. 249.

Uvo

z (u

mil.

USD

)


• Grafikon s trodimenzionalnim efektom

020406080

100120140

Br. putnika (u mil.)

2004. 2005. 2006.

GodinaIzvor: www.dzs.hr, 4.4.2007.

Prevezeni putnici po vrstama prijevoza

Željeznički prijevoz Cestovni prijevoz Pomorski i obalni prijevoz


• Polarni dijagram

Uvoz u Primorsko-gornskoj županiji

0

200

400

600

8002000.

2001.

2002.2003.

2004.


• Uspoređivanje VN – linijski grafikon


0

20

40

60

80

2004. 2005. 2006.

GodineIzvor: www.dzs.hr, 4.4.2007.

Br.

putn

ika

(u m

il.)



• Uspoređivanje VN – višestruki stupci


0

20

40

60

80

2004. 2005. 2006.

GodineIzvor: w w w .dzs.hr, 4.4.2007.

Br.

putn

ika

(u m

il.)


Indeksi vremenskog niza

• Osim grafičke analize provodi se i brojčana (numerička) analiza vremenskih nizova, u kojoj važnu ulogu imaju relativni brojevi dinamike tj. indeksi.

• Indeksi vremenskog niza su relativni brojevi koji izražavaju odnos stanja jedne pojave ili skupine pojava u različitim razdobljima ili vremenskim točkama.

• Razlikujemo dvije vrste indeksa:- individualni indeksi- skupni indeksi

Individualni indeksi

• Individualni indeksi su relativni pokazatelji dinamike kretanja vrijednosti pojave vremenskog niza. Njima se uspoređuje stanje jedne pojave u različitim vremenskim intervalima.

• Indeksi su pozitivni brojevi, koji mogu biti veći, jednaki ili manji od 100.

• Individualni indeksi se javljaju u dva oblika:(1) verižni indeksi(2) indeksi na stalnoj bazi (bazni indeksi)

Verižni indeksi

• Verižni indeksi pokazuju relativne promjene pojave u tekućem razdoblju u odnosu na prethodno razdoblje, tj. za koliko % se vrijednost pojave u jednom razdoblju promijenila u odnosu na prethodno razdoblje.

• Oznaka za verižni indeks = Vt

• Izračunavanje: svaki član (frekvencija) vremenskog niza se podijeli s prethodnim članom (frekvencijom) i pomnoži sa sto, tj.

• Prema načinu izračunavanja, verižni indeksi su relativni brojevi s promjenljivim osnovama.

,...100,100,1003

4

2

3

1

2 ⋅⋅⋅YY

YY

YY

Verižni indeksi

• Formula:

• Verižni indeksi mogu se grafički prikazivati na dva načina: - linijskim grafikonom isprekidanim linijama- površinskim grafikonom (pravokutnici jednakih osnovica)

• Pomoću verižnih indeksa izračunava se stopa promjene (st). To je relativna promjena vrijednosti neke pojave u tekućem razdoblju u odnosu na prethodno razdoblje.

1001

⋅=−t

tt Y

YV

100−= tt Vs

Verižni indeksi

PRIMJER 1.

Noćenja domaćih turista u planinskim mjestima u RH

Izvor: SLJRH, 2002., str. 387.

• Na temelju podataka iz tablice izračunajte verižne indekse brojanoćenja domaćih turista u planinskim mjestima.

• Prikažite verižne indekse grafički. • Napišite zaključak.

Godina 1997. 1998. 1999. 2000. 2001.Br. noćenja

54 43 53 83 67

Verižni indeksi

• RJEŠENJE:

Godina Br. noćenja Vt st

1997. 54 - -1998. 43 79,63 -20,371999. 53 123,26 23,26

2000. 83 156,60 56,602001. 67 80,72 -19,28

Verižni indeksi

• Postupak izračunavanja verižnih indeksa:

• Postupak izračunavanja stopa promjena:...

26,1231004353

63,791005443

1999

1998

=⋅=

=⋅=

V

V

...26,2310026,12337,2010063,79

1999

1998

=−=−=−=

ss

Verižni indeksi

• Grafički prikaz-linijski grafikon:Verižni indeksi broja noćenja domaćih turista u planinskim mjestima

70

90

110

130

150

1996 1997 1998 1999 2000 2001

Godine

Veriž

ni in

deks

i

Verižni indeksi

• Grafički prikaz-površinski grafikon:Verižni indeksi broja noćenja domaćih turista u planinskim mjestima

70

90

110

130

150

1997 1998 1999 2000 2001

Godine

Veriž

ni in

deks

i

Verižni indeksi

Zaključak:

Na temelju izračunatih verižnih indeksa i stopa promjene, te grafičkog prikaza, može se zaključiti, kako je u 1998. godini zabilježen pad broja noćenja za 20,37% u odnosu na prethodnu godinu. Sljedeće godine bilježi se povećanje broja noćenja za 23,26% u odnosu na 1998. godinu. Najveći porast broja noćenja ostvaren je u 2000. godini, kada je broj noćenja veći za 56,60% u odnosu na prethodnu godinu. U 2001. godini zabilježen je pad broja ostvarenih noćenja za 19,28% u odnosu na godinu ranije.

Indeksi na stalnoj bazi (bazni indeksi)

• Bazni indeksi pokazuju relativne promjene pojave u tekućem razdoblju u odnosu na bazno razdoblje, tj. za koliko % se vrijednost pojave u jednom razdoblju promijenila u odnosu na odabrano bazno razdoblje.

• Uobičajena oznaka za bazno razdoblje je da je baza jednaka 100 (npr. 1997. godina = 100).

• Često se za bazu uzima vrijednost člana prvog razdoblja. Osim toga može se upotrijebiti neka veličina izvan niza ili aritmetička sredina niza.

• Oznaka za bazni indeks = It

• Izračunavanje: svaki član (frekvencija) u nizu se podijeli s frekvencijom iz baznog razdoblja i pomnoži sa sto, tj.

,...100,100,100 321 ⋅⋅⋅bbb Y

YYY

YY


Prema načinu izračunavanja, bazni indeksi su relativni brojevi sjednakim osnovama.

• Formula:

• Bazni indeksi mogu se grafički prikazivati na dva načina: - linijskim grafikonom (kontinuirana linija)- površinskim grafikonom (pravokutnici jednakih osnovica).

• Stopa promjene (st) je relativna promjena vrijednosti neke pojave u tekućem razdoblju u odnosu na bazno razdoblje.

100⋅=b

tt Y

YI

100−= tt Is


PRIMJER 2.



• Na temelju podataka iz tablice izračunajte bazne indekse broja noćenja domaćih turista u planinskim mjestima (1997. = 100).

• Prikažite bazne indekse grafički. • Napišite zaključak.

Godina 1997. 1998. 1999. 2000. 2001.

Br. noćenja 54 43 53 83 67


• RJEŠENJE:

Godina Br. noćenja It(1997.=100)

st

1997. 54 100 -

1998. 43 79,63 -20,37

1999. 53 98,15 -1,85

2000. 83 153,70 53,70

2001. 67 124,07 24,70


• Postupak izračunavanja baznih indeksa:

• Postupak izračunavanja stopa promjena:...

15,981005453100

63,791005443100

1999

1998

=⋅=⋅=

=⋅=⋅=

b

t

b

t

YY

I

YY

I

...85,110015,98100

37,2010063,79100

1999

1998

−=−=−=−=−=−=

t

t

IsIs


• Grafički prikaz – linijski grafikon

Bazni indeksi broja noćenja domaćih turista u planinskim mjestima (1997.=100)

70

80

90100

110

120

130140

150

160

1997 1998 1999 2000 2001

Godine

Baz

ni in

deks

i


• Grafički prikaz – jednostavni stupci

Bazni indeksi broja noćenja domaćih turista u planinskim mjestima (1997.=100)

70

90

110

130

150

1997 1998 1999 2000 2001

Godine

Inde

ks


Zaključak:

Na temelju izračunatih pokazatelja i grafičkog prikaza vidljivo je kako je najveće smanjenje broja noćenja domaćih turista u odnosu na bazno razdoblje (1997. godina) zabilježeno u 1998. godini, kada je broj noćenja bio manji za 20,37%. U 1999. godinibroj noćenja je za 1,85% manji u usporedbi s baznom godinom, dok se sljedeće godine bilježi povećanje broja noćenja za 53,70% u odnosu na 1997. godinu. U posljednjoj promatranoj godini (2001.) broj noćenja je porastao za 24,70% u odnosu na bazno razdoblje.

Skupni indeksi

• Za iskazivanje dinamike skupine različitih pojava koriste se skupni indeksi.

• Skupni indeksi su relativni brojevi, koji služe za istodobno praćenje razvoja u vremenu dviju ili više pojava.

• Razdoblje u kojem se iskazuje dinamika pojave naziva se tekuće ili izvještajno razdoblje, a razdoblje u odnosu na koje se dinamika iskazuje naziva se bazno razdoblje.

• Osnovne vrste skupnih indeksa:- skupni indeks cijena- skupni indeks količina- skupni indeks vrijednosti.

• Specijalni oblici skupnih indeksa: indeks fizičkog obujma, indeks troškova života.

Trend modeli

• Ukoliko promatrani vremenski niz ima pravilnosti u promjenama vrijednosti u određenom razdoblju, radi se o nizu koji ima trend (VN može imati tendenciju rasta ili pada). Tada se kretanje promatrane pojave može prikazati odgovarajućim trend-modelom.

• Trend je dinamična srednja vrijednost koja pokazuje opću tendenciju kretanja pojave u vremenu.

• Vrste trendova:- linearni trend- paraboličan trend- eksponencijalni trend.

Linearni trend

• Model linearnog trenda objašnjava linearno kretanje vrijednosti promatranog vremenskog niza kroz vrijeme. To znači, da se promatrana pojava s vremenom povećava ili se smanjuje za približno isti apsolutni iznos.

• Model linearnog trenda jednak je modelu jednostavne linearne regresije u kojem je nezavisna varijabla X vrijeme.

• Linearni trend se grafički prikazuje linijskim grafikonom.• Kako bi se olakšalo izračunavanje i kasnija interpretacija

rezultata, originalne vrijednosti za vremenske jedinice (godine,mjeseci,...) transformiraju se u varijablu X, koja može poprimiti vrijednosti 0, 1, 2, 3,... Ukoliko se vrijednost 0 dodijeli prvom članu vremenskog niza, radi se o jednadžbi trenda s ishodištem na početku promatranog razdoblja. Ako se 0 dodijeli srednjem članu niza, radi se o jednadžbi trenda s ishodištem u sredini promatranog razdoblja.

Linearni trend(ishodište na početku)

• Jednadžba linearnog trenda s ishodištem na početku razdoblja:

xbaYc ⋅+=

∑ ∑∑ ∑

−

−=

XXXYXXY

b2

XbYa ⋅−=

NY

Y i∑=NX

X i∑=

Linearni trend (ishodište u sredini)

• Jednadžba linearnog trenda s ishodištem u sredini razdoblja:

xbaYc ⋅+=

NY

a ∑=∑∑= 2X

XYb

Linearni trend

• Značenje koeficijenta b:Koeficijent b u jednadžbi linearnog trenda pokazuje prosječno povećanje ili smanjenje promatrane pojave u jedinici vremena.

• Značenje koeficijenta a:Koeficijent a je konstantan član. To je vrijednost trenda za razdoblje koje prethodi prvom razdoblju u nizu (vrijednost varijable x=0).

• Trend vrijednosti (Yc): određuju se tako da se u jednadžbu trenda redom uvrštavaju vrijednosti varijable vrijeme (x). Zbrojvrijednosti članova promatranog vremenskog niza jednak je zbroju vrijednosti trenda (∑Y=∑Yc).

Linearni trend

• Određivanje ishodišta na početku niza:


Izvor: SLJRH 2002., str. 387.

Godine Broj noćenja Ishodištex

1997. 54 01998. 43 11999. 53 22000. 83 32001. 67 4

Linearni trend

• Određivanje ishodišta u sredini niza (za neparan broj godina):


Izvor: SLJRH 2002., str. 387.

Godine Broj noćenja IshodišteX

1997. 54 -21998. 43 -11999. 53 02000. 83 12001. 67 2

Linearni trend

• Određivanje ishodišta u sredini niza (za paran broj godina):

Broj registriranih Internet domena pri Carnetu

Izvor: www.dns.hr, 5.7.2006.

Godina Broj domena Ishodište X2000. 5 631 -52001. 9 592 -32002. 14 790 -12003. 20 711 12004. 27 540 32005. 35 204 5

http://www.dns.hr/

Linearni trend

PRIMJER 3.



• Izračunajte jednadžbu linearnog trenda s ishodištem na početku niza.

• Izračunajte jednadžbu trenda s ishodištem u sredini niza.• Izračunajte trend vrijednosti.• Jednadžbu trenda prikažite grafički.• Napišite zaključak.

Godina 1997. 1998. 1999. 2000. 2001.Br. noćenja 54 43 53 83 67

Linearni trend

RJEŠENJE:Ishodište na početku niza

Godina Broj noćenja (Y) X XY X2 Yc

1997. 54 0 0 0 46,80

1998. 43 1 43 1 53,40

1999. 53 2 106 4 60,00

2000. 83 3 249 9 66,60

2001. 67 4 268 16 73,20

∑ 300 10 666 30 300,00

Linearni trend

• Određivanje jednadžbe:

xbaYc ⋅+=

6,61066

102303002666

2 ==⋅−⋅−

=−

−⋅=∑ ∑∑ ∑

xxxyxyx

b

2510===∑

Nx

x 605

300===∑

Ny

y

8,4626,660 =⋅−=⋅−= xbya

xYc ⋅+= 6,68,46

Linearni trend

• Izračunavanje trend vrijednosti (Yc):

...00,6026,680,4640,5316,680,4680,4606,680,46

3

2

1

=⋅+==⋅+==⋅+=

YYY

Linearni trend

Zaključak:

U jednadžbi linearnog trenda za promatrani vremenski niz koeficijent b iznosi 6,6, što znači da se u razdoblju od 1997. do 2001. godine broj noćenja domaćih turista u planinskim mjestima RH povećavao linearno, u prosjeku za 6,6 noćenja godišnje. Prematrendu, procjena broja noćenja za 1996. godinu iznosi (zaokruženo) 47 noćenja (koeficijent a).

Prema trendu, očekivani broj noćenja u 1997. godini iznosi 46,80 (trend vrijednost u 1997. godini), dok je stvarni broj noćenja 54. Razlika, tj. odstupanje je 7,2 noćenja.

Linearni trend

Ishodište u sredini niza

Godina Broj noćenja (Y) X XY X2 Yc

1997. 54 -2 -108 4 46,801998. 43 -1 -43 1 53,401999. 53 0 0 0 60,002000. 83 1 83 1 66,602001. 67 2 134 4 73,20∑ 300 - 66 10 300,00

Linearni trend

• Određivanje jednadžbe:

bxaYc +=

6,61066

2 ==⋅

=∑∑

xyx

b

605

300===∑

Ny

a

xYc ⋅+= 6,660

Linearni trend

• Izračunavanje trend vrijednosti (Yc):

...00,6006,660

40,53)1(6,66080,46)2(6,660

3

2

1

=⋅+==−⋅+==−⋅+=

YYY

Linearni trend

• Grafički prikaz:


0102030405060708090

1997 1998 1999 2000 2001

GodineIzvor: SLJRH 2002, str. 387.

Bro

j noć

enja

Br. noćenja

Trend

Linearni trend

Zaključak:

Iz grafikona je vidljivo kako se broj noćenja domaćih turista uplaninskim mjestima smanjuje u razdoblju od 1997. do 1998. godine. U sljedećim godinama broj noćenja raste, te je u 2000. godini ostvaren najveći broj noćenja. Nakon te godine se bilježiponovni pad broja noćenja. Najmanji broj noćenja je ostvaren u 1998. godini.

LITERATURA:

Šošić, I., Serdar, V., Uvod u statistiku, Školska knjiga, Zagreb, 2000., str. 137-173.Šošić, I., Statistika – udžbenik za srednje škole sa zbirkom zadataka, Školska knjiga, Zagreb, 2006., str. 236-303.Papić, M., Primijenjena statistika u MS Excelu, Zoro, Zagreb, 2005., str. 175-204.Gogala, Z., Osnove statistike, Sinergija, Zagreb, 2001., str. 157-202.Rozga, A., i Grčić, B., Poslovna statistika, Veleučilište u Splitu, Split, 2000., str. 167-188.

Documents

Predavanje 9