Upload
lisovici
View
224
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
zgz
Citation preview
Glava 1
Furijeov trigonometrijski red.
Furijeov integral
1.0.1 Razvijanje funkcija u Furijeov red, na intervalu (0, ℓ).Produzenje poluintervala
U raznim problemima fizike i tehnike javlja se potreba da se u Furijeov red razvije funkcija u nekomkonacnom intervalu, recimo (0, ℓ). To moze da se postigne tako sto cemo izvrsiti translaciju koordinatnogsistema (odnosno uvesti smenu) za ℓ/2, pa zatim, za, u opstem slucaju neprekidnu funkciju f(x), izvrsitiproduzenje, kako je to ranije objasnjeno (ℓ izabrati za period).
Drugi nacin, koji je prakticniji, sastoji se u sledecem. Uzeti da je period 2ℓ i prosiriti polaznu funkciju nainterval (−ℓ, 0). Tada, posto je funkcija data samo na intervalu (0, ℓ), mozemo da izvrsimo njeno prosirenjena interval (−ℓ, 0), tako da je njeno prosirenje parna ili neparna funkcija. Ovaj postupak demonstriran jena slici 4.3.
Slika 1.1: Produzenje neperiodicne funkcije
Ovakvo prosirenje je pogodno, jer u ovim slucajevima razvijanje funkcije u Furijeov red svodi se na
1
Furijeov sinus ili kosinus red (zbog parnosti ili neparnosti prosirene funkcije), a zadrzavamo se samo uintervalu u kome je polazna funkcija definisana.
Primer. Razviti u Furijeov red funkciju
f(x) =
2k
ℓx, 0 < x <
ℓ
2,
2k
ℓ(ℓ − x),
ℓ
2< x < ℓ.
Resenje. Prvo skicirajmo datu funkciju.
Slika 1.2:
Prema uslovima teoreme o konvergentnosti Furijeovog reda, potrebno je da je funkcija periodicna. Zbogtoga cemo da izvrsimo produzenje polazne funkcije i to na: a) parnu i b) neparnu periodicnu funkciju.
a) Prvo skicirajmo ovako prosirenu funkciju, prema uputstvu datom ranije.
Slika 1.3:
U ovom slucaju (parna funkcija), prema (??), dobijamo:
a0
2=
1
ℓ
2k
ℓ
ℓ/2∫
0
xdx +2k
ℓ
ℓ∫
ℓ/2
(ℓ − x) dx
,
an =2
ℓ
2k
ℓ
ℓ/2∫
0
x cosnπ
ℓxdx +
2k
ℓ
ℓ∫
ℓ/2
(ℓ − x) cosnπ
ℓxdx
,
bn = 0.
2
Integracijom dobijamo za koeficijente Furijeovog reda:
a0
2=
k
2,
an =4k
n2π2
(
2 cosnπ
2− cosnπ − 1
)
,
bn = 0.
Analizirajuci gornje izraze vidimo da su razliciti od nule (an 6= 0) samo clanovi n = 2, 6, 10, 14, . . . ,pa Furijeov red polazne parno prosirene funkcije ima oblik
f(x) =k
2−
16k
π2
(
1
22cos
2π
ℓx +
1
62cos
6π
ℓx + . . .
)
.
b) Skicirajmo sada neparno prosirenje.
Slika 1.4:
U ovom slucaju (neparna funkcija), prema (??), dobijamo:
an = 0,
bn =2
ℓ
2k
ℓ
ℓ/2∫
0
x sinnπ
ℓxdx +
2k
ℓ
ℓ∫
ℓ/2
(ℓ − x) sinnπ
ℓxdx
.
Odavde, parcijalnom integracijom, dobijamo
bn =8k
n2π2sin
nπ
2.
Konacno, Furijeov red, za neparno prosirenje, dobija oblik
f(x) =8k
π2
(
1
12sin
π
ℓx −
1
32sin
3π
ℓx +
1
52sin
5π
ℓx − . . .
)
.
1.0.2 Aproksimacija funkcije trigonometrijskim polinomom. Srednja kvadratna
greska
Neka je data periodicna dunkcija f(x), periode 2π, koja moze da se predstavi Furijeovim redom.Aproksimirajmo posmatranu funkciju trigonometrijskim polinomom N -tog reda
f(x) ≈α0
2+
N∑
k=1
(αk cos kx + βk sin kx) ≡ PN (x). (1.1)
3
Koeficijenti ovog polinoma, αk i βk, su za sada neodre -deni. Mozemo da ih izrazimo na vise nacina.Me -dutim, jasno je da nas interesuje onaj oblik za koji imamo najbolju aproksimaciju, tj. najmanju greskuaproksimacije, pri fiksiranom N .
U tom cilju, prvo definisimo gresku aproksimacije. I gresku mozemo da definisemo na vise nacina.Najprirodnije je definisati je izrazom
|f(x) − PN (x)| = ∆N , za x ∈ [−ℓ, ℓ].
Me -dutim, u postavljenom zadatku, pogodnije je da se greska definise preko integrala i to u obliku
∆N =1
2π
π∫
−π
[f(x) − PN (x)]2
dx. (1.2)
Ovako definisano ∆N zove se srednja kvadratna greska. Postavljeni zadatak se sastoji u tome da, zafiksno N , odredimo oblik koeficijenata αk i βk, polinoma (1.1), tako da ∆N bude minimalno.
Posmatrajmo prvo podintegralnu funkciju. Kako je (f −PN )2 = f2 − 2fPN + P 2N , to iz (1.2) dobijamo
∆N =1
2π
π∫
−π
[f(x) − PN (x)]2
dx =1
2π
π∫
−π
[
f2 − 2fPN + P 2N
]
dx. (1.3)
Dalje, kako po pretpostavci, funkciju f(x) mozemo da predstavimo konvergentnim Furijeovim redom, toza
∫
fPN dx dobijamo
π∫
−π
f PN dx =
=
π∫
−π
[
a0
2+
∞∑
k=1
(ak cos kx + bk sin kx)
]
·
[
α0
2+
N∑
k=1
(αk cos kx + βk sinkx)
]
dx =
= π
[
a0α0
2+
N∑
k=1
(akαk + bkβk)
]
. (1.4)
Ovde smo iskoristili da je∫
cos kxdx = 0,∫
sin kxdx = 0 i∫
sin kx cos kxdx = 0.Na slican nacin dobijamo i za
∫
P 2N dx
π∫
−π
P 2N dx = π
[
α20
2+
N∑
k=1
(
α2k + β2
k
)
]
. (1.5)
Iz poslednje dve relacije (1.4) i (1.5), dobijamo
π∫
−π
[
P 2N − 2fPN
]
dx = π
{
(α0 − a0)2
2+
N∑
k=1
[
(αk − ak)2 + (βk − bk)2]
}
−
− π
[
a20
2+
N∑
k=1
(
a2k + b2
k
)
]
, (1.6)
pri cemu smo iskoristili sledece veze:
(αk − ak)2 = α2k − 2αkak + a2
k, α2k − 2akαk = (αk − ak)2 − a2
k
(βk − bk)2
= β2k − 2βkbk + b2
k, β2k − 2bkβk = (βk − bk)2 − b2
k.
4
Ako sada zamenimo (1.6) u (1.3), dobijamo
2∆N =1
π
π∫
−π
f2 dx −
[
a20
2+
N∑
k=1
(
a2k + b2
k
)
]
+ (1.7)
+
{
(α0 − a0)2
2+
N∑
k=1
[
(αk − ak)2
+ (βk − bk)2]
}
.
Kako je zadatak da se odrede koeficijenti αk i βk, tako da ∆N bude minimalno, to iz (1.7) zakljucujemoda treba da vazi
(α0 − a0)2
2+
N∑
k=1
[
(αk − ak)2
+ (βk − bk)2]
= 0. (1.8)
Jasno je da bi se ovaj clan stalno povecavao (zbir kvadrata), sa porastom N , pa bi na taj nacin i samagreska rasla. Iz tog razloga smo uzeli da je jednak nuli.
Iz relacija (1.8) dobijamo za trazene koeficijente:
α0 = a0, αk = ak, βk = bk. (1.9)
Odavde zakljucujemo da je najbolja srednjekvadratna aproksimacija, za integrabilnu, periodicnu funkcijuf(x), za x ∈ [−π, π], data trigonometrijskim polinomom PN (x) ciji su koeficijent Furijeovi koeficijentifunkcije f(x).
Neke posledice
Zapazimo da je greska
∆N =1
2π
π∫
−π
[f(x) − PN (x)]2 dx
nenegativna, jer je podintegralna funkcija kvadrat realne funkcije. Odatle sledi, prema (1.7) i (1.8), da je
2∆N =1
π
π∫
−π
f2(x) dx −
[
a20
2+
N∑
k=1
(
a2k + b2
k
)
]
≥ 0,
odnosno
1
π
π∫
−π
f2(x) dx ≥a20
2+
N∑
k=1
(
a2k + b2
k
)
, za N = 0, 1, . . . , (1.10)
Ovaj izraz (1.10) poznat je u literaturi kao Beselova nejednakost. Dalje, zapazimo da leva strananejednakosti ne zavisi od N . Odatle sledi da pri N → ∞ desna strana ostaje ogranicena, a to znaci da jered kvadrata Furijeovih koeficijenata
a20
2+
∞∑
k=1
(
a2k + b2
k
)
konvergentan.Kao posledica ove konvergencije je
limk→∞
ak = 0, limk→∞
bk = 0,
5
tj.
limk→∞
ak = 0 ⇒ limk→∞
π∫
−π
f(x) cos kxdx = 0, (1.11)
limk→∞
bk = 0 ⇒ limk→∞
π∫
−π
f(x) sin kxdx = 0. (1.12)
Dakle, Furijeovi koeficijenti ogranicene i integrabilne funkcije teze nuli, kad k → ∞.Relacije (1.11) i (1.12) poznate su u literaturi kao Rimanova teorema.Ako ∆N → 0, kada N → ∞, tada nejednakost (1.10) postaje
1
π
π∫
−π
f2(x) dx =a20
2+
∞∑
k=1
(
a2k + b2
k
)
. (1.13)
Pokazimo sada kako se prethodne relacije mogu prosiriti na proizvoljan (ali konacan) period (−ℓ, ℓ).Posmatrajmo neku periodicnu funkciju ϕ(t), sa periodom (−π, π), tj. ϕ(t) = ϕ(t+2π), i neku periodicnu
funkciju f(x), sa periodom (−ℓ, ℓ), tj. f(x) = f(x + 2ℓ). Uvedimo sada smenu x =ℓ
πt, pri cemu je
f(x) = f
(
ℓ
πt
)
= ϕ(t).
Prema prethodnim smenama imamo
ϕ(t + 2π) = f
[
ℓ
π(t + 2π)
]
= f
(
ℓ
πt + 2ℓ
)
= f(x + 2ℓ) = f(x) = ϕ(t).
Dalje, za trigonometrijske redove je
ϕ(t) =a0
2+
∞∑
k=1
(ak cos kt + bk sinkt)
f(x) =a0
2+
∞∑
k=1
(
ak coskπ
ℓx + bk sin
kπ
ℓx
)
,
gde su odgovarajuci koeficijenti, recimo ak
ak =1
π
π∫
−π
ϕ(t) cos kt dt =1
ℓ
ℓ∫
−ℓ
f(x) coskπ
ℓxdx.
Ovde smo izvrsili smenu granica integracije, jer je:
za t1 = −π x1 =ℓ
π(−π) = −ℓ
a za t2 = π x2 =ℓ
π(π) = ℓ,
a diferencijal dt =π
ℓdx, odnosno
1
πdt =
1
ℓdx.
Dakle, pokazali smo za koeficijente ak kako se izracunavaju za proizvoljan period. Na slican nacin dobijamoi izraz za bk.
6
Lako moze da se pokaze da relacija (1.13) vazi i za proizvoljan period 2ℓ, tj.
1
ℓ
ℓ∫
−ℓ
f2(x) dx =a20
2+
∞∑
k=1
(
a2k + b2
k
)
. (1.14)
Ova relacija (1.14) poznata je kao Parsevalova 1 identicnost Furijeovog reda.Napomenimo, da u slucaju da je funkcija periodicna na intervalu (a, b), tada, kao i u prethodnom
slucaju, dobijamo (za period b − a)
f(x) =a0
2+
∞∑
k=1
ak cos2πk
b − a(x − a) + bk sin
2πk
b − a(x − a),
ak =2
b − a
b∫
a
f(x) cos2πk
b − a(x − a) dx,
bk =2
b − a
b∫
a
f(x) sin2πk
b − a(x − a) dx.
1.0.3 Kompleksan oblik Furijeovog reda
Ako iskoristimo Ojlerove formule za kompleksne brojeve:
coskπx
ℓ=
ekπx
ℓi + e−
kπx
ℓi
2, sin
kπx
ℓ=
ekπx
ℓi − e−
kπx
ℓi
2i,
Furijeov red funkcije f(x) mozemo da napisemo u obliku
f(x) =a0
2+
∞∑
k=1
ak − bki
2e
kπx
ℓi +
∞∑
k=1
ak + bki
2e−
kπx
ℓi =
=a0
2+
−1∑
−∞
ak + bki
2e
kπx
ℓi +
∞∑
1
ak − bki
2e
kπx
ℓi =
=
∞∑
−∞
ckekπx
ℓi.
Ovde je
ck =
ak − bki
2k > 0,
a0
2k = 0,
ak + bki
2k < 0,
pri cemu ck moze da se odredi relacijom
ck =1
2ℓ
ℓ∫
−ℓ
f(x)e−kπx
ℓi dx.
1Marie Antoine Parseval (1755-1836), poznati francuski matematicar.
7
1.0.4 Furijeov integral
Predstavljanje funkcije Furijeovim redom se veoma koristi u mnogim problemima matematicke fizike,ali vazi samo za periodicne funkcije. Pokazali smo kako neka funkcija, definisana u konacnom intervalu(a, b) moze da se prosiri tako da dobijemo periodicnu parnu ili neparnu funkciju. Me -dutim, cesti suproblemi u kojima se javljaju funkcije definisane u intervalu (−∞,∞), a nisu periodicne. Tu klasu funkcijane mozemo da prosirimo na periodicne funkcije, na opisani nacin. Postavlja se pitanje: da li je moguceprosiriti Furijeovu ideju i na takve funkcije?
Posmatrajmo neku funkciju f(x), koja je delimicno glatka funkcija u intervalu [−ℓ, ℓ]. Njen Furijeovred (??) je oblika
f(x) =a0
2+
∞∑
k=1
(
ak coskπ
ℓx + bk sin
kπ
ℓx
)
, (1.15)
pri cemu su koeficijenti ak i bk odre -deni relacijama (??)
ak =1
ℓ
ℓ∫
−ℓ
f(t) coskπ
ℓt dt, bk =
1
ℓ
ℓ∫
−ℓ
f(t) sinkπ
ℓt dt, k = 0, 1, 2, . . . (1.16)
Zamenom (1.16) u (1.15), a s obzirom da je
coskπ
ℓx cos
kπ
ℓt + sin
kπ
ℓx sin
kπ
ℓt = cos
kπ
ℓ(x − t),
dobijamo
f(x) =1
2ℓ
ℓ∫
−ℓ
f(t) dt +∞∑
k=1
1
ℓ
ℓ∫
−ℓ
f(t) coskπ
ℓ(t − x) dt. (1.17)
Prethodno postavljeno pitanje svodi se na pitanje: cemu teze ovi integrali kada ℓ → ∞ ?Pretpostavimo da je funkcija f(x) apsolutno integrabilna u intervalu (−ℓ, ℓ), tj.
ℓ∫
−ℓ
|f(t)| dt < M, gde je M konacan broj.
Koristeci ovaj uslov, dobijamo
limℓ→∞
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
2ℓ
ℓ∫
−ℓ
f(t) dt
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤ limℓ→∞
1
2ℓ
ℓ∫
−ℓ
|f(t)| dt < limℓ→∞
1
2ℓM = 0. (1.18)
Iskoristivsi (1.18), relacija (1.17) postaje
f(x) = limℓ→∞
∞∑
k=1
1
ℓ
ℓ∫
−ℓ
f(t) coskπ
ℓ(t − x) dt. (1.19)
Uvedimo smenu
αk =kπ
ℓ, k = 0, 1, 2, . . .
pri cemu je
∆αk = αk+1 − αk =(k + 1)π
ℓ−
kπ
ℓ=
π
ℓ(1.20)
8
i1
ℓ=
∆αk
π. (1.21)
Iz smene se vidi da se novo uvedena promenljiva αk menja u intervalu (0, +∞).Koristeci ove smene, relacija (1.19) dobija oblik
f(x) =1
πlim
ℓ→∞
∞∑
k=1
∆αk
ℓ∫
−ℓ
f(t) cosαk(t − x) dt, (1.22)
odnosno, kada pre -demo na granicnu vrednost
f(x) =1
π
∞∫
0
dα
∞∫
−∞
f(t) cosα(t − x) dt. (1.23)
Relacija (1.23) poznata je u literaturi kao Furijeova formula, a odgovarajuci integral kao Furijeov
integral.
Teorema 1 Neka je funkcija f(x):
- deo po deo (delimicno) glatka u svakom konacnom intervalu i
- apsolutno integrabilna u intervalu (−∞,∞).
Tada funkcija f(x)moze da se zameni Furijeovim integralom (1.23) za svako x, sem u tackama prekidaprve vrste xo, u kojima vrednost funkcije f(xo) treba zameniti sa
f(xo − 0) + f(xo + 0)
2.
Furijeovu formulu mozemo da predstavimo i relacijom
f(x) =
∫
∞
0
[A(λ) cosλx + B(λ) sin λx] dλ, (1.24)
gde je:
A(λ) =1
π
∞∫
−∞
f(x) cosλxdx,
B(λ) =1
π
∞∫
−∞
f(x) sin λxdx.
9