Preferenciák,rendezések,

reprezentálhatóság

Preferencia relációkPreferencia relációk

xx yy akkor és csak akkor áll fenn, ha az " akkor és csak akkor áll fenn, ha az "xx legalább legalább olyan jó-e, mintolyan jó-e, mint y ?y ?" " kérdésre a válasz igen.kérdésre a válasz igen.

Az Az xx yy reláció esetében azt mondjuk, hogy reláció esetében azt mondjuk, hogy xx preferáltpreferált yy-hoz képest -hoz képest ( P )( P ) ..

Legyen az Legyen az xx yy reláció a kiindulás. Ekkor könnyen reláció a kiindulás. Ekkor könnyen belátható, hogy az (belátható, hogy az (x,yx,y) elempárra az alábbi négy, ) elempárra az alábbi négy, egymást kölcsönösen kizáró eset lehetséges:egymást kölcsönösen kizáró eset lehetséges:

(1) (1) xx RR yy és és yy RR xx ) ), amelyet az , amelyet az xx ~ ~ yy módon jelölünk módon jelölünk és azt mondjuk, hogy az és azt mondjuk, hogy az xx és és yy indifferensek ( I )indifferensek ( I ) ..

(2) (2) NEM(NEM(xx RR yy) és NEM() és NEM(yy RR xx ) ), amelyet , amelyet xx ? ? yy módon módon jelölünk,jelölünk, és azt mondjuk, hogy és azt mondjuk, hogy xx és és yy nem nem összehasonlítható ( J )összehasonlítható ( J ) ..

(3) (3) xx yy és NEM( és NEM(yy xx ) ) , amelyet , amelyet xx yy módon módon jelölünk és azt mondjuk, hogy jelölünk és azt mondjuk, hogy xx szigorúan preferált szigorúan preferált yy--hoz képest hoz képest ( S )( S ) ..

(4) (4) NEM( NEM(xx yy) és ) és yy xx , azaz , azaz yy szigorúan preferált szigorúan preferált xx--hez képest. (Az hez képest. (Az xx yy és és yy xx jelölések jelölések egyenértékűek.)egyenértékűek.)

TranzitivitásTranzitivitás: egy X halmazon értelmezett : egy X halmazon értelmezett RR bináris reláció bináris reláció tranzitív, ha xRy és yRz teljesüléséből következik xRz, azaz: tranzitív, ha xRy és yRz teljesüléséből következik xRz, azaz: xRy és yRz xRy és yRz xRz (minden X-beli x,y,z xRz (minden X-beli x,y,z elemre).elemre).

Negatív tranzitivitásNegatív tranzitivitás: NEM(xRy) és NEM(yRz) : NEM(xRy) és NEM(yRz) NEM(xRz) NEM(xRz)

ReflexivitásReflexivitás: xRx: xRx

IrreflexivitásIrreflexivitás: NEM(xRx): NEM(xRx)

SzimmetriaSzimmetria: xRy : xRy yRx yRx

AszimmetriaAszimmetria: xRy : xRy NEM(yRx) NEM(yRx)

AntiszimmetriaAntiszimmetria: xRy és yRx : xRy és yRx x = y x = y

TeljességTeljesség: xRy és/vagy yRx teljesül minden x,y : xRy és/vagy yRx teljesül minden x,y X -re. X -re.

A definíciókból következően (1/2):

• Az aszimmetrikus bináris reláció irreflexív.

• Egy irreflexív és tranzitív bináris reláció aszimmetrikus.

• Az R bináris reláció negatív tranzitív akkor és csak akkor, ha [ aRb aRc vagy cRb aRc vagy cRb ].

A definíciókból következően (2/2):

Definíció: Egy tranzitív relációt rendezésnek nevezünk.

Attól függően, hogy a tranzitivitás mellett milyen tulajdonságokat teszünk fel még a relációra, a rendezések különböző típusai adódnak.

Számunkra a három legfontosabb típus:• gyenge rendezés: reflexív és teljes;• lineáris rendezés: antiszimmetrikus, reflexív és teljes;• szigorú lineáris rendezés: irreflexív és teljes.

Kérdés: milyen feltételek mellett lehet hasznossági/értékelő függvénnyel reprezentálni a preferenciákat (a rendezést)?

Az értékelő függvény létezése

Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon, melynek megszámlálhatóan sok indifferenciaosztálya van. Ekkor létezik olyan u: X → függvény, amelyre

minden x,y X-re.