Preferenssi-informaatio DEA-malleissa + sovellus

Preferenssi-informaatio DEA-malleissa + sovellusMat-2.4142 Optimointiopin seminaariKevät 2013

Esitelmä 5Juuso Saarnikko

Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään.

Johdatus

• Aikaisemmin DEA-mallien painoja ja kertoimia ei selkeästi rajoitettu– Oletettiin esimerkiksi vain painojen ei-negatiivisuus

• Tämä esitelmä tuo siihen uutta näkökulmaa

• Lähestytään ongelmien tavoitteiden keskinäisiä suhteita ja mietitään miten päätöksentekijä näitä ”preferoi”– Esiteltävät menetelmät antavat mahdollisuuden vertailla eri

tuotoksia ja panoksia ja niiden merkitystä

• Suuret erot ja nollaksi/ykköseksi menevät kertoimet ongelma tähän asti– Tuodaan rajoite estämään tällaiset tapaukset

Mallinnetaan DEA-ongelmaa rajoitteiden avulla• 2 päänäkökulmaa

– Assurance region method (Varmistusaluemenetelmä)– Cone-ratio method (Kartiosuhdemenetelmä)

• Menetelmien avulla tuodaan kerroinvektoreille v ja u rajoitteita– Rajoitteet voidaan muodostaa esimerkiksi asiantuntija-

arvioiden perusteella• Ei tarvittu vielä aikaisemmissa menetelmissä

Sisältö

• Teoriaosuus– AR-metodi– Cone-ratio metodi

• Kaksi keskeistä sovellusta– Energiateknisen laboratorion maantieteellinen sijainti Texasissa– Texasilaisten pankkien tehokkuuden analysointi

• Harjoitustehtävän #5 esittely

Preferenssi-informaatio

• Tuodaan päätöksentekijöiden näkökulmia mukaan ongelmanratkaisun määrittelyyn– Esimerkiksi rajoitetaan tuotosten ja panosten suhteita jollekin

määrätylle välille antamalla minimi- ja maksimirajat AR-metodin käyttö

• Halutaan verrata päätöksentekoyksikköjen tuotos/panos suhteita ja tehokkuutta joihinkin hyväksi havaittuihin vertailuyksikköihin– Kuinka tuotosten ja panosten painot voidaan/halutaan näin

määrittää ja rajoittaa Cone-ratio metodin käyttö

ASSURANCE REGION METHOD (VARMISTUSALUEMENETELMÄ)

Assurance region method (Varmistusaluemenetelmä)

• Painojen rajoitus suhteellinen

• Josta voidaan johtaa lineaariset rajoitteet

Source: (1) Cooper, William W., Seiford, Lawrence M., Tone Kaoru: Data Envelopment Analysis, A Comprehensive Text with Models, Applications, References

and DEA-Solver Software (2007), sivut 177-213

(1)

(1)

Mitä tämä tarkoittaa matemaattisesti?

• CCR

• CCR-AR

(1)



(1) (1)

Duaalin ja slackien puolella huomataan vastaavat muutokset• CCR

• CCR-AR



(1)

(1)

AR-tehokkuus

• Vastaavasti kuin aikaisemminkin, DMU tehokas jos– tehokkuus θ*=1– ja slackit

• Vastaavasti AR-epätehokkaille yksiköille saadaan duaaliratkaisun kautta projektiot:



(1)

AR:n hyödyt

• AR-metodi usein pienentää tehokkuuslukemaa ja aikaisemmin tehokkaaksi tunnistetut DMU:t voivat rajoitteiden vallitessa muuttua epätehokkaiksi– Helpompi saada eroavaisuutta eri DMU:n välille ja näin tukea

päätöksentekoa

• Halu määrittää eri panoksien tai tuotosten suhteellista tärkeyttä– Koska tarkkoja arvoja ei välttämättä etukäteen tiedetä on suhteellinen

rajoite hyvä tapa– Saadaan näin myös enemmän järkeenkäypiä vastauksia

• Kertoimien arvot taipuvat usein rajoille tulee valita siis tarkasti

Tehokkaassa rintamassa tapahtuvat muutokset graafisesti• Tehokkaassa rintamassa tapahtuu muutoksia AR-

metodin käytöstä johtuen – Kirjan esimerkki:

– Lähtötiedot:

– Ratkaisut:



(1)

(1)

Esimerkki jatkuu



(1)

(1)

(1)

Esimerkki jatkuu



(1)

Esimerkki jatkuu

• Lisätään tehtävään rajoite



(1)

CONE-RATIO METHOD (KARTIOSUHDEMENETELMÄ)

Cone-ratio kartiosuhdemalli

• Kartiosuhdemenetelmä tuo toisenlaisen näkökulman painojen rajoittamiseen/muodostamiseen

• Ei suoria suhderajoitteita kuten AR-mallissa– Sallittu alue painoille u,v rajataan kartion muotoiseksi alueeksi

suuntavektoreista muodostuvan matriisin avulla

– Suuntavektoreiden oikea määrääminen tärkeää• Katsotaan tarkemmin lisää sovelluksen avulla

Cone-ratio kartiosuhdemallin esitys



(1) (1)

(1)

Cone-ratio-mallin primaali ja duaali

• Tavallinen CCR-mallin esitys

• Sijoitetaan u:n ja v: paikalle ratkaisut edelliseltä kalvolta

• Saadaan CR-primaali

• Sekä CR-duaali

• Jossa CR-rajoitteiden avulla saadut panos/tuotosmatriisit



(1)

(1)

(1)

(1)

Cone-ratio-malli

• Rajoitteiden parametrien valinta: – Ekspertit– Tavallinen CCR mallinnuksen tueksi

• Hyödyt:– Tietyille muuttujille/painoille ei tarvitse asettaa rajaa– Voidaan valita benchmark-joukko, jonka avulla voidaan

muodostaa tarvittavat suuntavektorit• Näin voidaan muodostaa rajoitteet painovektoreille ilman niiden

suhteellisuuden analysointia

SOVELLUKSIA

#1 Texasin pankit

• DEA:n avulla haluttiin kartoittaa pankkien toimintaa vuosien 1984 ja 1985 välillä– Laman uskottiin vaikuttavan heikentävästi pankkien toimintaa ja

tätä haluttiin myös tutkia

• Cone-ratio-malli valittiin menetelmäksi selvittää pankkien toiminnan tehokkuutta– Ongelma liian monimutkainen AR-mallille

• Ongelma haluttiin pitää tarpeeksi yksinkertaisena, joten valittiin 4 panosta ja 4 tuotosta pankin toimintaan liittyen

Käytetyt metodit

• Valittiin viranomaisten konsultaation perusteella ns. verrokkipankit joihin muiden pankkien toimintaa verrattiin

• Nämä käytiin läpi vielä CCR-mallin avulla ennen kuin lopulliset verrokit päätettiin

• Pyrittiin tarkkailemaan, mitkä pankit ovat näiden valossa tehokkaita/tehottomia

• Sovelluksessa haluttiin siis määrittää mm. eri pankkien riskisyyttä taseen ja tuloslaskelman lukujen perusteella

Tuotokset ja panokset



(1)

Suoritettu analyysi

• Asiantuntija-arviot löysivät 5 verrokkipankkia• Näistä kuitenkin vain 3 selvisi CCR-analyysin

läpi verrokkipankeiksi

• Ja tämän menetelmän avulla saatu data mallinnettiin kerroinmatriiseihin A ja B



(1)

Tulokset



(1)

#2 Energiateknologialaboratorion sijoittaminen Texasissa• Ongelmana oli kartoittaa optimaalinen sijainti korkean

teknologian laboratoriolle Texasin osavaltiossa

• Mallinnettiin AR-mallin avulla

• Datan analysoinnin ja oikeiden tuotosten ja panosten määrittämisen jälkeen pystyttiin oikeasti löytämään optimaalinen sijainti AR-mallin avulla

• AR-mallien sovelluksien “äiti”

Muuttujia

• Inputteja– Läheisyys lentokentälle– Läheisyys yliopistoihin– Teknologian ja asumisalueiden läheisyys– Rakennus- ja kokonaiskustannukset– Ympäristötekijät– yms

• Päätöksentekokriteereitä– Sosiaalisen hyvinvoinnin maksimointi– Hyötyjen ja haittojen erotuksen maksimointi– yms

Vaikeuksia, ja DEA:n tuoma ratkaisu

• Kaikkia muuttujia päätöksenteossa ei pystytty mallintamaan rahassa

• DEA:n ja AR:n avulla tämä ei ole vaatimus Pystyttiin hyödyntämään niitä mallinnuksessa

• Ongelmanratkaisuna ei ollut tarkoitus löytää yhtä optimia sijaintia, vaan mallintaa miten yksittäisiä mallit suhtautuvat toisiinsa

• Muodostettiin AR-mallien avulla päätelmiä, minkä päätöksentekokriteereiden kanssa mikäkin sijainti vaikuttaa parhaalta– Näin pystyttiin antamaan suosituksia löydettyjen painosuhteiden avulla jokaiselle

tekijälle siitä, mikä sijainti olisi optimaalisin

• DEA:n perusteella analysoitua optimisijaintia testattiin myös muilla arviointimenetelmillä ja sen tulokset osoittautuivat soveltuviksi

YHTEENVETO + KOTITEHTÄVÄ #5

Yhteenveto

• Assurance region- ja Cone-ratio-metodi esiteltiin keinoina ratkaista DEA-ongelmia tiettyjen rajoitteiden vallitessa

• AR-mallilla pystytään antamaan ylä- ja alarajat tuotosten ja panosten painojen suhteille

• CR-mallin avulla saadaan määritettyä mahdolliset joukot painoille v ja u suuntavektoreiden avulla (käyttäen esim. verrokkiyksiköitä)

• Molempiin malleihin liittyvät sovellukset esitettiin

Kotitehtävä

• Tehtävän lähtötiedot on annettu seuraavilla kalvoilla

1. Tehtävänäsi on määrittää, mitkä CCR-mallin ratkaisun tehokkaat DMU:t säilyvät tehokkaina myös AR-mallissa kun tehtävään liitetään rajoite on

2. Mikä on tehottomaksi (u<1) jääneen DMU:n tehokkuus AR-mallissa?

• Apua tehtävän ratkomiseen löydät kirjan kappaleen 6.2.3 avulla

Kotitehtävä



(1)

Kotitehtävä



(1)

Lähteet

• Cooper, William W., Seiford, Lawrence M., Tone Kaoru: Data Envelopment Analysis, A Comprehensive Text with Models, Applications, References and DEA-Solver Software (2007), sivut 177-213

• Thompson, Russell G., Singleton, F.D., Jr., Thrall, Robert M., Smith, Barton A.: Comparative Site Evaluations for Locating a High-Energy Physics Lab in Texas, The Institute of Management Sciences (1986)

• Allen, R., Athanassopoulos, A., Dyson, R. G., Thanassoulis, E.: Weights restrictions and value judgements in Data Envelopment Analysis: Evolution, development and future directions, Annals of Operations Research 73 (1997)

Documents

Preferenssi-informaatio DEA-malleissa + sovellus