Pregled formula za pismeni ispit - bkovacic.weebly.com · i ≥ ≤ ≤(). ( ) +∞ ∫ +∞ ∫ ( ) +∞ ∫ +∞ ∫ ≥ ≤ +∞ ∫ −∞ ∫.)

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

PREGLED DEFINICIJA I FORMULA

ZA PISANI DIO ISPITA IZ

MATEMATIKE 2


PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPITA IZ MATEMATIKE 2

© mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 1

SADRŽAJ

1. INTEGRALNI RAČUN I PRIMJENE .............................................................................................................. 2

1.1. Primitivna funkcija i neodređeni integral ............................................................................................................................................... 2

1.2. Metoda zamjene (supstitucije) ............................................................................................................................................................... 2

1.3. Metoda djelomične (parcijalne) integracije ............................................................................................................................................ 2

1.4. Integriranje pravih racionalnih funkcija ................................................................................................................................................. 2

1.5. Metoda neodređenih koeficijenata ......................................................................................................................................................... 3

1.6. Integriranje nepravih racionalnih funkcija ............................................................................................................................................. 3

1.7. Integriranje iracionalnih funkcija ........................................................................................................................................................... 3

1.8. Integriranje trigonometrijskih i hiperbolnih funkcija ............................................................................................................................. 4

1.9. Integriranje iracionalnih funkcija pomoću trigonometrijskih i hiperbolnih zamjena .............................................................................. 5

1.10. Izračunavanje određenoga integrala ( )

b

a

f x dx⋅∫ .................................................................................................................................. 5

1.11. Neke primjene određenoga integrala ................................................................................................................................................... 5

1.12. Tablica neodređenih integrala .............................................................................................................................................................. 6

1.13. Osnovna pravila za integriranje ........................................................................................................................................................... 7

2. NEPRAVI INTEGRALI .................................................................................................................................. 8

2.1. Integrali s beskonačnim granicama ........................................................................................................................................................ 8

2.2. Integrali neomeđenih funkcija ............................................................................................................................................................... 8

2.3. Kriteriji usporedbe za neprave integrale ................................................................................................................................................ 8

3. REDOVI REALNIH BROJEVA ...................................................................................................................... 9

3.1. Pravila za ispitivanje konvergencije reda na∑ ................................................................................................................................... 9

3.2. Pravilo za računanje s redovima .......................................................................................................................................................... 10

3.3. Neki posebni redovi realnih brojeva .................................................................................................................................................... 10

4. TAYLOROV I MACLAURINOV RED ........................................................................................................... 10

4.1. Osnovni razvoji u MacLaurinov red .................................................................................................................................................... 10

4.2. Korisni identiteti (n – te derivacije) ..................................................................................................................................................... 11

5. FOURIEROV RED ....................................................................................................................................... 11

5.1. Fourierov red (ne)parne funkcije ......................................................................................................................................................... 12

5.2. Korisni identiteti za računanje Fourierovih koeficijenata .................................................................................................................... 13

6. LINEARNE (NE)HOMOGENE REKURZIJE S KONSTANTNIM KOEFICIJENTIMA ..................................... 14

6.1. Linearna homogena rekurzija s konstantnim koeficijentima reda r ...................................................................................................... 14

6.2. Linearna nehomogena rekurzija s konstantnim koeficijentima reda r .................................................................................................. 14

7. OBIČNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE ................................................................................................. 15

7.1. Obična diferencijalna jednadžba 1. reda sa separiranim varijablama ................................................................................................... 15

7.2. Homogena obična diferencijalna jednadžba 1. reda ............................................................................................................................. 15

7.3. Nehomogena linearna obična diferencijalna jednadžba 1. reda............................................................................................................ 15

7.4. Bernoullijeva obična diferencijalna jednadžba .................................................................................................................................... 16

7.5. Homogena linearna diferencijalna jednadžba 2. reda s konstantnim koeficijentima ............................................................................ 16

7.6. Nehomogena linearna diferencijalna jednadžba 2. reda s konstantnim koeficijentima ........................................................................ 16

7.7. Princip superpozicije rješenja obične diferencijalne jednadžbe 2. reda ................................................................................................ 17

7.8. Metoda varijacije konstanti .................................................................................................................................................................. 17

7.9. Laplaceovi transformati ....................................................................................................................................................................... 18

7.10. Tablica Laplaceovih transformata ...................................................................................................................................................... 19

8. DODATAK I. ............................................................................................................................................... 20

8.1. Tablica derivacija elementarnih funkcija ............................................................................................................................................. 20

8.2. Osnovna pravila za deriviranje ............................................................................................................................................................ 21

8.3. Neke karakteristične granične vrijednosti nizova................................................................................................................................. 21

8.4. Neke karakteristične (obostrane) granične vrijednosti funkcija ........................................................................................................... 21

8.5. Neke karakteristične jednostrane granične vrijednosti funkcija ........................................................................................................... 21

9. DODATAK II. .............................................................................................................................................. 22

9.1. Formule iz algebre ............................................................................................................................................................................... 22

9.2. Formule iz planimetrije........................................................................................................................................................................ 22

9.3. Formule iz stereometrije ...................................................................................................................................................................... 22

9.4. Formule iz analitičke geometrije u ravnini .......................................................................................................................................... 23

9.5. Formule iz trigonometrije .................................................................................................................................................................... 23




1. INTEGRALNI RAČUN I PRIMJENE

1.1. Primitivna funkcija i neodređeni integral Neka je f integrabilna realna funkcija jedne realne varijable. Funkciju F nazivamo primitivna funkcija funkcije f ako vrijedi

jednakost F ' = f. Skup svih primitivnih funkcija funkcije f naziva se neodređeni integral funkcije f, te se piše:

{ }( ) ( ) :f x dx F x C C⋅ = + ∈∫ R .

(Radi jednostavnosti, vitičaste zagrade se obično ispuštaju.) U zapisu ( )f x dx⋅∫ funkciju f nazivamo podintegralna funkcija,

dok je dx diferencijal nezavisne varijable.

Vrijedi sljedeći

Poučak 1. Neka su F1 i F2 dvije različite primitivne funkcije funkcije f. Tada je D(F1) = D(F2), te postoji jedinstven C ∈ R

takav da za svaki x ∈ D(F1) vrijedi: F1(x) = F2(x) + C.

1.2. Metoda zamjene (supstitucije)

Neodređeni integral ( )f x dx⋅∫ u nekim se slučajevima može svesti na tablični integral koristeći sljedeći algoritam:

Korak 1. Zamijeniti t = g(x) ili x = g–1(t), te 1

'( )dx dt

g x= ⋅ , gdje je g „nova“ integrabilna realna funkcija jedne realne

varijable.

Korak 2. Zapisati polaznu podintegralnu funkciju kao funkciju varijable t, pri čemu treba uvažiti obje gornje zamjene.

Korak 3. Odrediti neodređeni integral funkcije dobivene u Koraku 2. Dobiveni izraz je skup funkcija čija je nezavisna

varijabla t.

Korak 4. U izrazu dobivenom u Koraku 3. zamijeniti t s g(x) i pojednostavniti dobiveni izraz. Dobiveno rješenje je traženi

neodređeni integral.

1.3. Metoda djelomične (parcijalne) integracije

Primijenjuje se u slučajevima kad je polazni integral oblika 1 2( ) ( )f x f x dx⋅ ⋅∫ , gdje su f1 realna funkcija jedne realne

varijable koju je jednostavno derivirati, a f2 realna funkcija jedne realne varijable koju je jednostavno integrirati.

Korak 1. Odrediti u' i v iz sljedeće sheme: 1 2

'

1 2

( ) ( )

( ) ( )

u f x v f x dx

du f x dx dv f x dx

= = ⋅

= ⋅ = ⋅

∫ .

Korak 2. Polazni integral jednak je I u v v du= ⋅ − ⋅∫ .

Za funkciju u obično se izabiru funkcije ln x, arcsin x, arccos x, arctg x i sl.

1.4. Integriranje pravih racionalnih funkcija

Tip 1. 2

dx

a x b x c⋅ + ⋅ +∫ , gdje je a ≠ 0.

Integriranje se provodi zamjenom 2

bt x

a= +

⋅ . Dobije se tablični integral

22

4

dt

ba t c

a⋅ + −

⋅

∫ .

Tip 2. 2

m x ndx

a x b x c

⋅ +⋅

⋅ + ⋅ +∫ , gdje su a, m ≠ 0.

Korak 1. Odrediti realne brojeve Č i Ć iz jednakosti m ⋅ x + n = Č ⋅ (2 ⋅ a ⋅ x + b) + Ć.

Korak 2. 2

2 2ln( )

m x n dxdx Č a x b x c Ć

a x b x c a x b x c

⋅ +⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +∫ ∫ , pri čemu se posljednji integral svodi na Tip 1.

Integiranje ostalih pravih racionalnih funkcija provodi se pomoću metode neodređenih koeficijenata, pogodnim zamjenama,

djelomičnom integracijom itd. Integriranje nepravih racionalnih funkcija svodi se na zbroj integrala polinoma i integrala

prave racionalne funkcije.




1.5. Metoda neodređenih koeficijenata

Nazivnike pravih racionalnih funkcija čiji je stupanj barem 3 možemo napisati kao umnožak konačnoga broja polinoma 1.

stupnja i polinoma 2. stupnja (tj. rastaviti na faktore). Takve racionalne funkcije možemo rastaviti na parcijalne razlomke, te

njihovo integriranje svesti ili na tablične integrale ili na integrale polinoma stupnja 2. Neki od tipičnih rastava na parcijalne

razlomke navedeni su u donjoj tablici.

Izraz u nazivniku Pripadni rastav

0 1( ) ( )x x x x− ⋅ − 1 2

0 1

A A

x x x x+

− −

(x – x0)n

1

0 0

...( )

n

n

A A

x x x x+ +

− −

a ⋅ x2 + b ⋅ x + c 1 2

2

A x A

a x b x c

⋅ +

⋅ + ⋅ +

(a ⋅ x2 + b ⋅ x + c)n 1 2 2 1 2

2 2...

( )

n n

n

A x A A x A

a x b x c a x b x c

⋅ − ⋅⋅ + ⋅ ++ +

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

Ukupan broj međusobno različitih razlomaka koji se pojavljuju u rastavu polazne racionalne funkcije na parcijalne razlomke

jednak je zbroju kratnosti svih međusobno različitih faktora koji se pojavljuju u rastavu nazivnika polazne racionalne

funkcije.

1.6. Integriranje nepravih racionalnih funkcija

Integriranje neprave racionalne funkcije 1

2

( )

( )

f xdx

f x⋅∫ , pri čemu je deg(f1) ≥ deg(f2) , provodi se na sljedeći način:

Korak 1. Odrediti polinome Q i R takve da je f1 = Q ⋅ f2 + R, pri čemu je deg(R) < deg(f2).

Korak 2. 1

2 2

( ) ( )( )

( ) ( )

f x R xdx Q x dx dx

f x f x⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫ . Prvi integral je integral polinoma (koji se svodi na zbroj tabličnih integrala),

a drugi integral prave racionalne funkcije.

1.7. Integriranje iracionalnih funkcija

Tip 1. 2a x b x c dx⋅ + ⋅ + ⋅∫ ili

2

dx

a x b x c⋅ + ⋅ +∫ , gdje je a ≠ 0

Ako je a > 0, integriranje se provodi zamjenom 2

bt x

a= +

⋅. Ako je a < 0, onda se radikand napiše u obliku (–1) ⋅ p1(x), gdje

je p1 polinom stupnja 2 čiji je vodeći koeficijent strogo veći od nule, te se primijeni zamjena istovjetna onoj u slučaju a > 0.

Tip 2. 2

m x ndx

a x b x c

⋅ +⋅

⋅ + ⋅ +∫

Korak 1. Odredimo realne brojeve Č i Ć iz jednakosti m ⋅ x + n = Č ⋅ (2 ⋅ a ⋅ x + b) + Ć.

Korak 2. 2

2 22

m x n dxdx Č a x b x c Ć

a x b x c a x b x c

⋅ +⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +∫ ∫ , pri čemu se posljednji integral svodi na

Tip 1.




Tip 3. 2

( )nP xdx

a x b x c⋅

⋅ + ⋅ +∫ , gdje je Pn polinom stupnja n.

Korak 1. Polazni integral zapisati u obliku: 2

12 2

( )( )n

n

P x dxdx Q x a x b x c

a x b x c a x b x cα−⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +∫ ∫ , pri

čemu je Qn - 1 polinom stupnja n – 1, a α realna konstanta.

Korak 2. Deriviranjem jednakosti iz Koraka 1. i izjednačavanjem koeficijenata uz iste potencije odredimo nepoznati polinom

Q i konstantu α.

Korak 3. Preostali integral odredimo kao integral u Tipu 2.

1.8. Integriranje trigonometrijskih i hiperbolnih funkcija

Tip 1. sin cosm nx x dx⋅ ⋅∫ ili sh chm nx x dx⋅ ⋅∫ , gdje su m i n nenegativni cijeli brojevi.

Ako je m neparan broj, tj. broj oblika m = 2 ⋅ k + 1, onda integral treba zapisati u obliku 2sin sin cosk nx x x dx⋅⋅ ⋅ ⋅∫ (odnosno

2sh sh chk nx x x dx⋅⋅ ⋅ ⋅∫ ), pa zamijeniti t = cos x (odnosno t = ch x) uz korištenje identiteta sin2x = 1 – cos2x (odnosno, sh2x =

= ch2x – 1).

Ako je n neparan broj, tj. broj oblika n = 2 ⋅ k + 1, onda integral treba zapisati u obliku 2cos cos sink mx x x dx⋅⋅ ⋅ ⋅∫ (odnosno

2ch ch shk nx x x dx⋅⋅ ⋅ ⋅∫ ), pa zamijeniti t = sin x (odnosno t = sh x) uz korištenje identiteta cos2x = 1 – sin2x (odnosno, ch2x =

= sh2x + 1).

Ako su m i n parni brojevi, treba primijeniti formule pretvorbe:

[ ]

[ ]

2

2

1sin 1 cos(2 )

2

1cos 1 cos(2 )

2

1sin cos sin(2 )

2

x x

x x

x x x

= ⋅ − ⋅

= ⋅ + ⋅

⋅ = ⋅ ⋅

, odnosno

[ ]

[ ]

2

2

1sh ch(2 ) 1

2

1ch ch(2 ) 1

2

1sh ch sh(2 )

2

x x

x x

x x x

= ⋅ ⋅ −

= ⋅ ⋅ +

⋅ = ⋅ ⋅

.

Tip 2. cos( ) cos( ) , sin( ) cos( ) , sin( ) sin( )m x n x dx m x n x dx m x n x dx⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫

Pri integriranju se koriste formule pretvorbe umnoška trigonometrijskih funkcija u njihov zbroj:

[ ] [ ]{ }

[ ] [ ]{ }

[ ] [ ]{ }

1sin( ) cos( ) sin ( ) sin ( )

2

1sin( ) sin( ) cos ( ) cos ( )

2

1cos( ) cos( ) cos ( ) cos ( )

2

m x n x m n x m n x

m x n x m n x m n x

m x n x m n x m n x

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ + − ⋅

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ − + ⋅

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ + − ⋅

Tip 3. (sin ,cos )R x x∫ , gdje je R racionalna funkcija

Pri integriranju se koristi zamjena tg2

xt

=

, te se primjenjuju identiteti:

Ako za funkciju R vrijedi identitet R(–sin x, –cos x) ≡ R(sin x, cos x), uvodi se zamjena t = tg x, odnosno x = arctg t, te se

primjenjuju identiteti

2

2 2 2

2 1 2sin , cos ,

1 1 1

t tx x dx dt

t t t

−= = =

+ + +

22 2

1 1sin , cos ,

11 1

tx x dx dt

tt t= = =

++ +




1.9. Integriranje iracionalnih funkcija pomoću trigonometrijskih i hiperbolnih zamjena

1.10. Izračunavanje određenoga integrala ( )

b

a

f x dx⋅∫

Korak 1. Odrediti pripadni neodređeni integral ( )f x dx⋅∫ .

Korak 2. U rezultatu Koraka 1. odabrati c = 0. Dobiva se funkcija F(x).

Korak 3. ( ) ( ) ( )

b

a

f x dx F b F a⋅ = −∫ (Newton – Leibnizova formula).

1.11. Neke primjene određenoga integrala

Prosječna vrijednost funkcije f neprekidne na segmentu [a, b]: 1

( )b

a

f f x dxb a

= ⋅ ⋅− ∫

Površina ravninskoga lika omeđenoga krivuljama y = f(x), y = 0, x = a i x = b: ( )

b

a

P f x dx= ⋅∫ .

Duljina luka grafa krivulje y = f(x) između točaka x = a i x = b: [ ]2

1 '( )

b

a

d f x dx= + ⋅∫ .

Obujam rotacijskoga tijela nastaloga rotacijom krivocrtnoga trapeza omeđenoga krivuljama y = f(x), y = 0, x = a i x = b oko

osi x: [ ]2

( )

b

x

a

V f x dxπ= ⋅ ⋅∫ .

Obujam rotacijskoga tijela nastaloga rotacijom krivocrtnoga trapeza omeđenoga krivuljama y = f(x), y = 0, x = a i x = b oko

osi y: [ ]2 ( )

b

y

a

V x f x dxπ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ .

Oplošje rotacijskoga tijela nastaloga rotacijom krivocrtnoga trapeza omeđenoga krivuljama y = f(x), y = 0, x = a i x = b oko

osi x: [ ]2

2 ( ) 1 '( )

b

a

O f x f x dxπ= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅∫ .

Težište T ravne ploče omeđene osi apscisa, pravcima x = a i x = b, te krivuljama y = f (x) i y = g(x) takvima da su f i g realne

funkcije neprekidne na segmentu [a, b] i da za svaki x ∈ [a, b] vrijedi nejednakost g(x) ≤ f (x):

[ ]

[ ]

[ ] [ ]{ }

[ ]

2 2( ) ( ) ( ) ( )

,

( ) ( ) 2 ( ) ( )

b b

a a

b b

a a

x f x g x dx f x g x dx

T

f x g x dx f x g x dx

⋅ − ⋅ − ⋅

=

− ⋅ ⋅ − ⋅

∫ ∫

∫ ∫

( )

( )

( )

2 2

2 2

2 2

trigonometrijska hiperbolnatip integrala

zamjena zamjena

, sin th

, tg sh

, ch cos

R x a x x a t x a t

R x a x x a t x a t

aR x x a x x a t

t

− = ⋅ = ⋅

+ = ⋅ = ⋅

− = = ⋅




1.12. Tablica neodređenih integrala

f(x) ( )f x dx⋅∫

a a ⋅ x

(a ⋅ x + b)n, n ≠ –1 11 1( )

1

na x b

a n

+⋅ ⋅ ⋅ ++

2ax b+ ( )2 2ln

2 2

x ba x b a x a x b

a⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ +

⋅

2 2 2b a x− ⋅ , a ∈ R+

22 2 2 arcsin

2 2

x b a xb a x

a b

⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅

⋅

1

a x b⋅ ±, a ∈ R\{0}

1ln a x b

a⋅ ⋅ ±

2 2 2

1

a x b⋅ + , a, b ∈ R+ 1arctg

a x

a b b

⋅ ⋅

⋅

2 2 2

1

a x b⋅ − , a, b ∈ R+ 1

ln2

a x b

a b a x b

⋅ −⋅

⋅ ⋅ ⋅ +

2 2 2

1

b a x− ⋅ , a, b ∈ R+ 1

ln2

a x b

a b a x b

⋅ +⋅

⋅ ⋅ ⋅ −

2 2 2

1

a x b⋅ + , a ∈ R+ 2 2 21

ln a x a x ba

⋅ ⋅ + ⋅ +

2 2 2

1

a x b⋅ − , a ∈ R+ 2 2 21

ln a x a x ba

⋅ ⋅ + ⋅ −

2 2 2

1

b a x− ⋅ , a, b ∈ R+ 1

arcsina x

a b

⋅ ⋅

ax, a ∈ R+ ln

xa

a

ea ⋅ x + b

1 a x bea

⋅ +⋅

sin(ax + b), a ∈ R\{0} 1

cos( )a x ba

− ⋅ ⋅ +

cos (ax + b), a ∈ R\{0} 1

sin( )a x ba

⋅ ⋅ +

tg (ax + b), a ∈ R\{0} 1

ln cos( )a x ba

− ⋅ ⋅ +

ctg (ax + b), a ∈ R\{0} 1

ln sin( )a x ba

⋅ ⋅ +




Tablica neodređenih integrala (nastavak)

f(x) ( )f x dx∫

1

sin( )a x b⋅ +, a ∈ R\{0} 1

ln tg2

a x b

a

⋅ + ⋅

1

cos( )a x b⋅ +, a ∈ R\{0} 1

ln tg2 4

a x b π

a

⋅ + ⋅ +

2

1

sin ( )a x b⋅ +, a ∈ R\{0}

1ctg( )a x b

a− ⋅ ⋅ +

2

1

cos ( )a x b⋅ +, a ∈ R\{0}

1tg( )a x b

a⋅ ⋅ +

sh(a ⋅ x + b), a ∈ R\{0} 1

ch( )a x ba

⋅ ⋅ +

ch(a ⋅ x + b), a ∈ R\{0} 1

sh( )a x ba

⋅ ⋅ +

1

sh( )a x b⋅ + 1

ln th2

a x b

a

⋅ + ⋅

1

ch( )a x b⋅ + 2

arctg th2

a x b

a

⋅ + ⋅

2

1

sh ( )a x b⋅ +, a ∈ R\{0}

1cth( )a x b

a− ⋅ ⋅ + , a ∈ R\{0}

2

1

ch ( )a x b⋅ +, a ∈ R\{0}

1th( )a x b

a⋅ ⋅ + , a ∈ R\{0}

th(ax + b), a ∈ R\{0} 1

ln ch( )a x ba

⋅ ⋅ +

cth(ax + b), a ∈ R\{0} 1

ln sh( )a x ba

⋅ ⋅ +

1.13. Osnovna pravila za integriranje

[ ]

[ ]

.) ( ) ( )

.) ( ) ( ) ( ) ( )

.) Ako je neparna funkcija integrabilna na , , onda je ( ) 0.

.) Ako je parna funkcija integr

a

a

a f x dx a f x dx

f x g x dx f x dx g x dx

f a a f x dx

f

−

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

± ⋅ = ⋅ ± ⋅

− ⋅ =

∫ ∫∫ ∫ ∫

∫

1

2

3

4 [ ]0

abilna na , , onda je ( ) 2 ( ) .

a a

a

a a f x dx f x dx−

− ⋅ = ⋅ ⋅∫ ∫




2. NEPRAVI INTEGRALI

Nepravi integrali su određeni integrali kod kojih podintegralna funkcija nije omeđena na intervalu integracije ili je barem

jedna granica „beskonačna“. Njihovo je izračunavanje „kombinacija“ izračunavanja određenih integrala pomoću Newton-

Leibnizove formule i izračunavanja graničnih vrijednosti.

2.1. Integrali s beskonačnim granicama

Uz pretpostavku da je podintegralna funkcija omeđena na promatranim intervalima, definira se:

Tip 1. ( ) lim ( )

b b

aa

f x dx f x dx→−∞

−∞

⋅ = ⋅

∫ ∫

Tip 2. ( ) lim ( )

b

ba a

f x dx f x dx

+∞

→+∞

⋅ = ⋅

∫ ∫

Tip 3. ( ) ( ) ( )

c

c

f x dx f x dx f x dx

+∞ +∞

−∞ −∞

⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫ , za bilo koji c ∈ R (obično je pogodno uzeti c = 0).

Ako svaka od navedenih graničnih vrijednosti postoji, kaže se da pripadni nepravi integral konvergira. U suprotnom, kaže se

da nepravi integral divergira.

2.2. Integrali neomeđenih funkcija

Neka je realna funkcija f neomeđena na segmentu [a, b]. Ako je f neomeđena u a, tj. ako je lim ( )x a

f x→ +

= ±∞ , tada se definira:

0( ) lim ( )

b b

a a

f x dx f x dxε

ε→ +

+

⋅ = ⋅

∫ ∫ .

Ako je f neomeđena u b, tj. ako je lim ( )x b

f x→ −

= ±∞ , tada se definira:

0( ) lim ( )

b b

a a

f x dx f x dx

ε

ε

−

→ +

⋅ = ⋅

∫ ∫ .

Ako je f neomeđena u točki c ∈ ⟨a, b⟩, tada se definira:

0 0( ) lim ( ) lim ( )

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

ε

ε εε

−

→ + → ++

⋅ = ⋅ + ⋅

∫ ∫ ∫ .

Ako svaka od navedenih graničnih vrijednosti postoji, kažemo da pripadni nepravi integral konvergira. U suprotnom, kažemo

da pripadni nepravi integral divergira.

2.3. Kriteriji usporedbe za neprave integrale

Kriterij 1. Neka su a ∈ R proizvoljna, ali fiksirana konstanta, te f, f1 i f2 realne funkcije takve da za svaki x ≥ a vrijedi

nejednakost

f1(x) ≤ f (x) ≤ f2(x).

Tada:

– ako integral 2 ( )a

f x dx

+∞

⋅∫ konvergira, onda i integral ( )a

f x dx

+∞

⋅∫ konvergira;

– ako integral 1( )a

f x dx

+∞

⋅∫ divergira, onda i integral ( )a

f x dx

+∞

⋅∫ divergira.

(Analogne tvrdnje vrijede i ako se pretpostavka x ≥ a zamijeni pretpostavkom x ≤ a, a integral zamijeni a

+∞

∫ integralom

a

−∞

∫ .)




Kriterij 2. Neka su f i g realne funkcije neomeđene na segmentu [a, b] i takve da za svaki x ∈ ⟨a, b⟩ vrijedi: |f (x)| ≤ g(x).

Tada ako integral ( )

b

a

g x dx⋅∫ konvergira, onda i integral ( )

b

a

f x dx⋅∫ konvergira.

Prigodom primjene kriterija usporedbe često se koriste sljedeći rezultati:

– integrali i

a

m m

a

dx dx

x x

+∞

−∞

∫ ∫ konvergiraju za m > 1, a divergiraju za m ≤ 1;

– za svaki b ∈ [a, +∞⟩ integral ( )

b

m

a

dx

b x−∫ konvergira za m < 1, a divergira za m ≥ 1.

3. REDOVI REALNIH BROJEVA

Neka je (an)n∈N zadani niz. Niz (sn)n∈N definiran s 1

n

n k

k

s a=

=∑ naziva se niz djelomičnih zbrojeva (niz parcijalnih suma)

zadanoga niza. Uređeni par ((an)n∈N, (sn)n∈N) naziva se red. Umjesto ((an)n∈N, (sn)n∈N) koriste se oznake 1

, n n

n

a a+∞

=

∑ ∑ itd.

Red na∑ je konvergentan ukoliko niz (sn)n∈N ima graničnu vrijednost S. U tom slučaju S nazivamo zbrojem reda. U

suprotnom, red na∑ je divergentan.

3.1. Pravila za ispitivanje konvergencije reda na∑

Pravilo 1. Ako vrijedi lim 0nn

a A→+∞

= ≠ , red je divergentan.

Pravilo 2. (Cauchyjev kriterij) Ako postoji lim nn

na r

→+∞= , onda je red

konvergentan ako je 1;

divergentan ako je 1.n

ra

r

<

>∑ . (Ako je r = 1, nema

odluke.)

Pravilo 3. (D'Alembertov kriterij) Ako postoji 1lim n

nn

ar

a

+

→+∞= , onda je red

konvergentan ako je 1;

divergentan ako je 1.n

ra

r

<

>∑ . (Ako je r = 1,

nema odluke.)

Pravilo 4. (Raabeov kriterij) Ako postoji 1lim 1 n

nn

an r

a

+

→+∞

⋅ − =

, onda je red divergentan ako je 1;

konvergentan ako je 1.n

ra

r

<

>∑ . (Ako je r = 1,

nema odluke.)

Pravilo 5. (Leibnizov kriterij) Alternirajući red ( 1)n

na− ⋅∑ konvergira ako niz (an)n∈N strogo pada i ima graničnu vrijednost

jednaku 0. Ekvivalentno: Ako red na∑ konvergira, onda i red na∑ konvergira.

Pravilo 6. (kriterij usporedbe) Neka su (an)n∈N i (bn)n∈N nizovi takvi da za svaki n ∈ N vrijedi nejednakost an ≤ bn. Tada:

– ako je nb∑ konvergentan, onda je i na∑ konvergentan;

– ako je na∑ divergentan, onda je i nb∑ divergentan.

Pravilo 7. (kriterij usporedbe II) Neka su na∑ i nb∑ redovi takvi da je lim 0n

nn

ac

b→+∞= > . Tada ako je nb∑ konvergentan

(divergentan), onda je i na∑ konvergentan (divergentan).

Pravilo 8. (Cauchyjev integralni kriterij) Ako je a strogo pozitivna, neprekidna i monotono padajuća funkcija na intervalu

⟨c, +∞⟩, onda red n

n c

a+∞

=

∑ i nepravi integral ( )c

a x dx

+∞

⋅∫ istodobno ili konvergiraju ili divergiraju.




3.2. Pravilo za računanje s redovima

n nc a c a⋅ = ⋅∑ ∑ , za svaki c ∈ R.

3.3. Neki posebni redovi realnih brojeva

Harmonijski red je red 1

1

n n

+∞

=

∑ . Taj red divergira.

Dirichletov red je red 1

1p

n n

+∞

=

∑ . Taj red konvergira za p > 1, a divergira za p ≤ 1.

Geometrijski red je red 0

n

n

a x+∞

=

⋅∑ . Taj red konvergira za |x| < 1 i u tom je slučaju njegov zbroj jednak 1

aS

x=

−. Za |x| ≥ 1 red

divergira.

4. TAYLOROV I MACLAURINOV RED

Oznaka: n! = 1 ⋅ … ⋅ n.

Taylorov razvoj realne funkcije f u red oko točke x = c takve da je f beskonačno mnogo puta derivabilna u c definiran je s: ( ) ( )

2 3 4

0

( ) ''( ) '''( ) ( )( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...

! 2 6 24

n IVn

n

f c f c f c f cf x x c f c f c x c x c x c x c

n

+∞

=

= ⋅ − = + ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − +∑

Prvih m + 1 članova reda tvore Taylorov polinom stupnja m (oznaka: Tm(x)).

Posebno, za c = 0 i za funkciju f beskonačno mnogo puta derivabilnu u 0 dobiva se MacLaurinov razvoj funkcije f u red

definiran s: ( ) ( )

2 3 4

0

(0) ''(0) '''(0) (0)( ) (0) '(0) ...

! 2 6 24

n IVn

n

f f f ff x x f f x x x x

n

+∞

=

= ⋅ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +∑

Prvih m + 1 članova reda tvore MacLaurinov polinom stupnja m (oznaka: Mm(x)).

4.1. Osnovni razvoji u MacLaurinov red

0

2 1

0

2

0

0

. , za svaki ;!

. sin ( 1) , za svaki ;(2 1)!

. cos ( 1) , za svaki ;(2 )!

( 1) ... ( 1). (1 ) , za svaki 1,1 ;

!

1.

1

nx

n

nn

n

nn

n

m n

n

m

m

xe x

n

xx x

n

xx x

n

m m m nx x x

n

xx

+∞

=

⋅ ++∞

=

⋅+∞

=

+∞

=

= ∈

= − ⋅ ∈⋅ +

= − ⋅ ∈⋅

⋅ − ⋅ ⋅ − ++ = ⋅ ∈ −

=−

∑

∑

∑

∑

I R

II R

III R

IV

V0

0

1

1

2 1

1

, za svaki i svaki 1,1 ;

1. ( 1) , za svaki i svaki 1,1 ;

1

. ln(1 ) ( 1) , za svaki 1,1 ;

1. ln 2 , za svaki 1,1

1 2 1

n

n

n m n

mn

nn

n

n

n

m x

x m xx

xx x

n

x xx

x n

+∞⋅

=

+∞⋅

=

+∞−

=

⋅ −+∞

=

∈ ∈ −

= − ⋅ ∈ ∈ −+

+ = − ⋅ ∈ −

+ = ⋅ ∈ −

− ⋅ −

∑

∑

∑

∑

N

VI N

VII

VIII .

Napomena: Navedeni razvoji ne vrijede za opći Taylorov razvoj realne funkcije f u red potencija oko točke c ∈ Df. U takvim slučajevima

treba koristiti definicijsku formulu za opći član Taylorova razvoja u red ili eventualno „gotovu“ formulu za n –tu derivaciju funkcije f.




4.2. Korisni identiteti (n – te derivacije)

1 1( )

1

( ) 1 1

1

2

( )

1 ( 1) ( 1)! . ( ) ( ) ;

( )

(2 1)

. ( ) ( ) ( 1) ;2

. ( ) sin( ) ( ) sin , za svaki ;2

. ( ) cos(

n nn

n

n

n

n n k

n

n n

n af x f x

a x b a x b

ka

f x a x b f x

x

f x a x b f x a a x b n n

f x a x

π

− −

−

− =

−

− ⋅ − ⋅= ⇒ =

⋅ + ⋅ +

⋅ −

= ⋅ + ⇒ = − ⋅ ⋅

= ⋅ + ⇒ = ⋅ ⋅ + + ⋅ ∈

= ⋅ +

∏

I

II

III N

IV( )

( )

( ) 1

( )

) ( ) cos , za svaki ;2

. ( ) ( ) ;

( 1)! . ( ) ln( ) ( ) ( 1) ;

( )

sh( ), za neparne ;. ( ) ch ( ) ( )

n n

a x b n n a x b

nn n

n

n

n

n

b f x a a x b n n

f x e f x a e

n af x a x b f x

a x b

a a x b nf x a x b f x

a

π

⋅ + ⋅ +

−

⇒ = ⋅ ⋅ + + ⋅ ∈

= ⇒ = ⋅

− ⋅= ⋅ + ⇒ = − ⋅

⋅ +

⋅ ⋅ + ∈= ⋅ + ⇒ =

⋅

N

V

VI

NVII

( )

ch( ), za parne ;

ch( ), za neparne ;. ( ) sh ( ) ( )

sh( ), za parne .

n

n

n

a x b n

a a x b nf x a x b f x

a a x b n

⋅ + ∈

⋅ ⋅ + ∈= ⋅ + ⇒ =

⋅ ⋅ + ∈

N

NVIII

N

5. FOURIEROV RED

Periodičnu realnu funkciju f definiranu na temeljnom segmentu [a, b] moguće je razviti u Fourierov red ako istodobno

vrijede sljedeći uvjeti (tzv. Dirichletovi uvjeti):

– Na segmentu [a, b] funkcija f ima najviše konačno mnogo točaka prekida i ti prekidi su uklonjivi (tj. prve vrste).

– Funkcija f je monotona na segmentu [a, b], odnosno f na tome segmentu ima najviše konačno mnogo strogih

ekstrema.

Ako je a = –π i b = π, onda se pripadni koeficijenti razvoja funkcije u Fourierov red (tzv. Fourierovi koeficijenti) računaju

prema sljedećim formulama:

0

1( ) ,

2

1( ) cos( ) ,

1( ) sin( ) .

n

n

a f x dx

a f x n x dx

b f x n x dx

π

π

π

π

π

π

π

π

π

−

−

−

= ⋅ ⋅⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∫

∫

∫

U tom slučaju razvoj funkcije f u Fourierov red glasi:

[ ]0

1

( ) cos( ) sin( )n n

n

f x a a n x b n x+∞

=

= + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∑ .

Prvih m + 1 članova reda tvore Fourierov polinom stupnja m (oznaka: Fm(x)):

0 1 1( ) ( ) cos sin ... cos( ) sin( )m m mf x F x a a x b x a m x b m x≈ = + ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ .

U općem slučaju, tj. ako je f definirana na segmentu [a, a + T], gdje je T temeljni period funkcije f, Fourierovi koeficijenti

računaju se prema sljedećim formulama:




0

1( ) ,

2 2( ) cos ,

2 2( ) sin .

a T

a

a T

n

a

a T

n

a

a f x dxT

na f x x dx

T T

nb f x x dx

T T

π

π

+

+

+

= ⋅ ⋅

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∫

∫

∫

U tom slučaju razvoj funkcije f u Fourierov red glasi:

0

1

2 2( ) cos sinn n

n

n nf x a a x b x

T T

π π+∞

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

∑ .

5.1. Fourierov red (ne)parne funkcije

Ako je funkcija f parna na segmentu [a, a + T], onda za svaki n ∈ N vrijedi bn = 0. Tada se Fourierovi koeficijenti an mogu

računati prema pojednostavljenim formulama:

0

0

0

2

0

0

2

0

1( )

za i 22

( ) cos( )

2( )

za 2

4 2( ) cos

n

T

T

n

a f x dx

a T

a f x n x dx

a f x dxT T

a

na f x x dx

T L

π

π

ππ π

π

π

= ⋅ ⋅

= − = ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

= −

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∫

∫

∫

∫

Pripadni razvoj funkcije u Fourierov red jednak je:

0

1

0

1

( ) cos( ) , za i 2 ;

2( ) cos , za .

n

n

n

n

f x a a n x a T

nf x a a x a T

T

π π

π

+∞

=

+∞

=

= + ⋅ ⋅ = − = ⋅

⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ = −

∑

∑

Ako je funkcija f neparna na segmentu [a, a + T], onda za svaki n ∈ N vrijedi an = a0 = 0. Ako je a = –π i T = 2 ⋅ π, onda za

svaki k ∈ Z vrijedi i f (k ⋅ π) = 0. Tada se Fourierovi koeficijenti mogu računati prema pojednostavljenim formulama:

0

2

0

2( ) sin( ) (za i 2 )

4 2( ) sin za .

2

n

T

n

b f x n x dx a T

n Tb f x x dx a

T L

π

π ππ

π

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − = ⋅

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = −

∫

∫

Pripadni razvoj funkcije u Fourierov red jednak je:

1

1

( ) sin( ) (za i 2 );

2( ) sin (za ).

n

n

n

n

f x b n x a T

nf x b x a T

T

π π

π

+∞

=

+∞

=

= ⋅ ⋅ = − = ⋅

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = −

∑

∑




5.2. Korisni identiteti za računanje Fourierovih koeficijenata

1, za neparne ;. cos( ) ( 1)

1, za parne .

. sin( ) 0, za sve .

1, za 4 2;

. cos 0, za 2 1; ( )2

1, za 4 .

1, za 4 1;

. sin 0, za 22

nn

nn

n n

n k

n n k k

n k

n k

n n

π

π

π

π

− ∈⋅ = − =

∈⋅ = ∈

− = ⋅ −

⋅ = = ⋅ − ∈ = ⋅

− = ⋅ −

⋅ = =

NI

N

II N

III N

IV ; ( )

1, za 4 3.

. sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) 0, za sve , .

0, za , , ;. cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

, za .

k k

n k

n x dx n x dx m x n x dx m n

m n m nm x n x dx m x n x dx

m n

π π π

π π π

π π

π ππ

− − −

− −

⋅ ∈ = ⋅ −

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ∈

∈ ≠⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ∈

∫ ∫ ∫

∫ ∫

N

V N

NVI

N

VII

[ ]

[ ]

2

2

1. sin( ) cos( ) , .

1. cos( ) sin( ) , .

1. ( ) sin( ) sin( ) ( ) cos( ) , .

1. ( ) cos( ) cos( ) ( ) sin( )

n x dx n x C Cn

n x dx n x C Cn

a x b n x dx a n x a n x b n n x C Cn

a x b n x dx a n x a n x b n n x Cn

⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ + ∈

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ∈

⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ∈

⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +

∫

∫

∫

∫

R

VIII R

IX R

X

2

2 2 2 2

3

2

2 2 2 2

3

, .

. ( ) sin( )

1 = (2 ) cos( ) (2 ) sin( ) , .

. ( ) cos( )

1 = (2 ) cos( ) (

C

a x b x c n x dx

a a n x b n x c n n x a n x b n n x C Cn

a x b x c n x dx

a n x b n n x a n x b n x c nn

∈

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ∈

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

∫

∫

R

XI

R

XII

[ ]

[ ]

2 2

2 2

2 ) sin( ) , .

1. sin( ) sin( ) cos( ) , .

1. cos( ) sin( ) cos( ) , .

. ch( ) cos( )

1

2

a x b a x b

a x b a x b

a

a n x C C

e n x dx e a n x n n x C Cn a

e n x dx e n n x a n x C Cn a

a x b n x dx

e

⋅ + ⋅ +

⋅ + ⋅ +

− ⋅ ⋅ ⋅ + ∈

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ∈+

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ∈+

⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =

=⋅

∫

∫

∫

R

XIII R

XIV R

XV

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

( 1) sin( ) ( 1) cos( ) , .( )

. ch( ) sin( )

1 ( 1) sin( ) ( 1) cos( ) , .

2 ( )

. sh(

a x b a x b

x b

a x b a x b

a x b

n e n x a e n x C Cn a

a x b n x dx

a e n x n e n x C Ce n a

a

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

⋅ +

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

⋅ +

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ∈ ⋅ +

⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + ∈ ⋅ ⋅ +

∫

R

XVI

R

XVII

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

) cos( )

1 ( 1) sin( ) ( 1) cos( ) , .

2 ( )

. sh( ) sin( )

1 ( 1) sin( ) (

2 ( )

a x b a x b

a x b

a x b a x b

a x b

x b n x dx

n e n x a e n x C Ce n a

a x b n x dx

a e n x n ee n a

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

⋅ +

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

⋅ +

⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ∈ ⋅ ⋅ +

⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅⋅ ⋅ +

∫

∫

R

XVIII

1) cos( ) , .n x C C − ⋅ ⋅ + ∈ R




6. LINEARNE (NE)HOMOGENE REKURZIJE S

KONSTANTNIM KOEFICIJENTIMA

6.1. Linearna homogena rekurzija s konstantnim koeficijentima reda r

To je relacija oblika an + α1 ⋅ an – 1 + … + αr ⋅ an – r = 0, pri čemu su r ∈ [n] i α1,…, αr ∈ R konstante. Uz nju se često zadaje

točno r početnih uvjeta: a1 = β1, …, ar = βr, pri čemu su β1,…, βr ∈ R konstante.

Ideja rješavanja:

1.) Riješimo pripadnu karakterističnu jednadžbu kr + α1 ⋅ kr – 1 + … + αr = 0. Dobijemo rješenja k1,…, kr. Ona ne moraju

biti nužno različita, pa za svaki i = 1, …, r označimo s mi kratnost rješenja ki (tj. koliko se puta to rješenje pojavljuje u

gornjem „popisu“). Za prirodne brojeve mi mora vrijediti jednakost 1

r

i

i

m r=

=∑ .

2.) Opće rješenje gornje rekurzije je 1 1 2 2

1 2

1 1

11 1 1 21 2 2 1( ... ) ( ... ) ... ( ...m m m mh

n m m ra A A n k A A n k A− −= + + ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ + + +

1)r r

r

m m

rm rA n k−+ ⋅ ⋅ , pri čemu su A11,…,

1rmA ∈ R konstante, a mi kratnost rješenja ki.

3.) Nepoznate konstante A11,…, 1rmA izračunavamo koristeći početne uvjete. Tako dobijemo Cramerov sustav od r

linearnih jednadžbi s r nepoznanica koji ima jedinstveno rješenje.

6.2. Linearna nehomogena rekurzija s konstantnim koeficijentima reda r

To je relacija oblika an + α1 ⋅ an – 1 + … + αr ⋅ an – r = f (n), pri čemu su r ∈ [n], α1,…, αr ∈ R konstante i f realna funkcija

varijable n. Uz nju se često zadaje točno r početnih uvjeta: a1 = β1, …, ar = βr, pri čemu su β1,…, βr ∈ R konstante.

Ideja rješavanja:

1.) Gore opisanim postupkom (koraci 1. i 2.) odredi se opće rješenje pripadne homogene rekurzije.

2.) Partikularno rješenje p

na te rekurzije odredi se pomoću sljedeće tablice:

funkcija f (n) partikularno rješenje p

na

Ć ⋅ bn

– ako b nije rješenje karakteristične jednadžbe: p

na = A ⋅ bn

– ako b jest rješenje karakteristične jednadžbe i ima kratnost m: p

na = A ⋅ nm ⋅ bn

polinom stupnja

l

– ako 1 nije rješenje karakteristične jednadžbe: 1

1 1 0...p l l

n l la Č n Č n Č l Č−−= ⋅ + ⋅ + + ⋅ +

– ako 1 jest rješenje karakteristične jednadžbe i ima kratnost m: 1

1 1 0( ... )p m l l

n l la n Č n Č n Č l Č−−= ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ +

Đ ⋅ ns ⋅ bn

– ako b nije rješenje karakteristične jednadžbe: 1

1 1 0( ... )p s s n

n s sa Č n Č n Č s Č b−

−= ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅

– ako b jest rješenje karakteristične jednadžbe i ima kratnost m: 1

1 1 0( ... )p m s s n

n s sa n Č n Č n Č s Č b−

−= ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅

3.) Opće rješenje polazne nehomogene rekurzije je O h p

n n na a a= + .

4.) Sve nepoznate konstante u tom rješenju odredimo iz početnih uvjeta analogno kao u slučaju linearne homogene

rekurzije (u izraz za O

na uvrštavamo n = 1, … n = r, te 1 1,...,O O

r ra aβ β= = .)




7. OBIČNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

7.1. Obična diferencijalna jednadžba 1. reda sa separiranim varijablama

Opći oblik:

y' = f(x) ⋅ g(y) ili F1(x) · G1(y) · dx + F2(x) · G2(y) · dy = 0.

Opće rješenje: Ovisno o obliku u kojemu je jednadžba zapisana, rješenje se dobije integriranjem:

2 1

1 2

( ) ( )( ) ili

( ) ( ) ( )

G y F xdyf x dx C dy dx C

g y G y F x= ⋅ + ⋅ = − ⋅ +∫ ∫ ∫ ∫

7.2. Homogena obična diferencijalna jednadžba 1. reda

Opći oblik:

'y

y fx

=

, odnosno 1 1 1

2 2 2

'a x b y c

y fa x b y c

⋅ + ⋅ +=

⋅ + ⋅ + .

Metode rješavanja:

1. Jednadžba oblika 'y

y fx

=

rješava se zamjenom

yu

x= , pri čemu je u = u(x) nova nepoznata funkcija.

Pritom treba uvažiti da je y = u ⋅ x i y' = u' ⋅ x + u.

2. Jednadžba oblika 1 1 1

2 2 2

'a x b y c

y fa x b y c

⋅ + ⋅ +=

⋅ + ⋅ + rješava se tako da se najprije izračuna determinanta

1 1

2 2

a b

a b.

Ako je ta determinanta jednaka 0, uvodi se zamjena u = a1 ⋅ x + b1 ⋅ y + c1, pri čemu je u = u(x) nova nepoznata

funkcija. Pritom treba izraziti a2 ⋅ x + b2 ⋅ y + c2 kao linearnu funkciju argumenta u, te uvažiti da je

1

1

1' ( ' )y u a

b= ⋅ − .

Ako je promatrana determinanta različita od nule, treba riješiti sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije

nepoznanice (č i ć)

a1 ⋅ č + b1 ⋅ ć + c1 = 0

a2 ⋅ č + b2 ⋅ ć + c2 = 0

pa zamijeniti u = x – č (odnosno, x = u + č) i v = y – ć (odnosno, y = v + ć i y' = v'). Tako se dobije nova

homogena obična diferencijalna jednadžba 1. reda kojoj je nezavisna varijabla u, a nepoznata funkcija v = v(u).

7.3. Nehomogena linearna obična diferencijalna jednadžba 1. reda

Opći oblik:

y' + P(x) ⋅ y = Q(x)

Opće rješenje:

( ) ( )

( ) , P x dx P x dx

y e e Q x dx C C− ⋅ ⋅ ∫ ∫= ⋅ ⋅ ⋅ + ∈

∫ R

Napomena: Ako je Q ≡ 0, dobiva se homogena linearna obična diferencijalna jednadžba 1. reda.




7.4. Bernoullijeva obična diferencijalna jednadžba

Opći oblik:

y' + P(x) ⋅ y = Q(x) ⋅ yk, gdje je k ∈ R\{0,1}.

Opće rješenje (u implicitnom obliku):

(1 ) ( )

1

(1 ) ( )

(1 ) ( )

k P x dx

k

k P x dx

ey

k e Q x dx C

− ⋅ ⋅

−

− ⋅ ⋅

∫=

∫− ⋅ ⋅ ⋅ +∫.

7.5. Homogena linearna diferencijalna jednadžba 2. reda s konstantnim koeficijentima

Opći oblik:

y'' + p · y' + q · y = 0

Rješenje: Najprije se riješi karakteristična jednadžba k2 + p · k + q = 0. Ako su k1 i k2 rješenja te jednadžbe, opće

rješenje polazne jednadžbe dobiva se pomoću sljedeće tablice:

tip rješenja karakteristične jednadžbe opće rješenje

k1, k2 ∈ R, k1 ≠ k2 1 2

1 2 1 2, ,k x k x

y C e C e C C⋅ ⋅= ⋅ + ⋅ ∈R

k1, k2 ∈ R, k1 = k2 1

1 2 1 2( ), ,k x

y e C C x C C⋅= ⋅ + ⋅ ∈R

k1 = a + b · i ∈ C, 2 1k k= [ ]1 2 1 2cos( ) sin( ) , ,

a xy e C b x C b x C C

⋅= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ∈R

7.6. Nehomogena linearna diferencijalna jednadžba 2. reda s konstantnim koeficijentima

Opći oblik:

y'' + p · y' + q · y = f(x)

Ideja rješavanja:

1. Riješiti pripadnu homogenu linearnu diferencijalnu jednadžbu 2. reda s konstantnim koeficijentima. Neka je

yO opće rješenje te jednadžbe.

2. Odrediti bilo koje partikularno rješenje yP polazne jednadžbe.

3. Opće rješenje polazne jednadžbe je zbroj yO + yP.

Tablica za određivanje oblika partikularnoga rješenja u pojedinim slučajevima:

oblik funkcije f (x) oblik partikularnoga rješenja p(x)

an ⋅ xn + … +a1 ⋅ x + a0

(polinom stupnja n)

polinom stupnja n + r, gdje je r red najniže derivacije

nepoznate funkcije koji se pojavljuje u jednadžbi

1

ili i

nb xb x

i

i

a e a e⋅⋅

=

⋅ ⋅∑ , gdje je:

0, ako nije rješenje karakteristične jednadžbe;

1,ako je jednostruko rješenje karakteristične jednadžbe;

2,ako je dvostruko rješenje karakteristične jednadžbe.

s b xa x e

b

s b

b

⋅⋅ ⋅

=

a ⋅ sin(b ⋅ x), a ⋅ cos(b ⋅ x)

ili c ⋅ sin(b ⋅ x) + d ⋅ cos(b ⋅ x)

xs ⋅ [m ⋅ cos(b ⋅ x) + n ⋅ sin(b ⋅ x)], gdje je


1, ako jest rješenje karakteristične jednadžbe.

z b is

z b i

= ⋅=

= ⋅




oblik funkcije f (x) oblik partikularnoga rješenja p(x)

(an ⋅ xn + … +a1 ⋅ x + a0) ⋅ e

b ⋅ x

1

1 1 0( ... ) , gdje je:


1, ako je jednostruko rješenje karakteristične jednadžbe;

2, ako je dvostruko rješenje karakteristi

s n n b x

n nx c x c x c x c e

b

s b

b

− ⋅−⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅

=

čne jednadžbe.

( ) cos( ), sin( ),

( ) cos( ) ( ) sin( ),

gdje su:

( ) polinom stupnja ;

( ) polinom stupnja .

n n

n m

n

m

P x b x P b x

P x b x P x b x

P x n

P x m

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

=

=

[ ]

{ }

0 0

cos( ) ( ) sin( ) ,gdje su:


1, ako jest rješenje karakteristične jednadžbe;

max , ,

( ) ... , ( ) ...

s

l l

l l

l l l l

x Q b x R x b x

k a b is

k a b i

l m n

Q x a x a R x c x c

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= + ⋅=

= + ⋅

=

= ⋅ + + = ⋅ + + (polinomi stupnja )l

[ ]

cos( ), sin( ),

cos( ) sin( )

a x a x

a x

e b x e b x

e b x b x

⋅ ⋅

⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ + ⋅

[ ]cos( ) sin( ) , gdje je:


1, ako jest rješenje karakteristične jednadžbe.

s a xx e M b x N b x

k a b is

k a b i

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= + ⋅=

= + ⋅

[ ]

( ) cos( ), sin( ),

( ) cos( ) ( ) sin( ) ,

gdje su:

( ) polinom stupnja ;

( ) polinom stupnja .

a x a x

n n

a x

n m

n

m

P x e b x P e b x

e P x b x P x b x

P x n

P x m

⋅ ⋅

⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

=

=

[ ]

{ }

0

( ) cos( ) ( ) sin( ) , gdje su:


1, ako jest rješenje karakteristične jednadžbe;

max , ,

( ) ... , ( )

s a x

l l

l

l l l l

x e Q x b x R x b x

k a b is

k a b i

l m n

Q x a x a R x c

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= + ⋅=

= + ⋅

=

= ⋅ + + = ⋅ 0... (polinomi stupnja )lx c l+ +

7.7. Princip superpozicije rješenja obične diferencijalne jednadžbe 2. reda

Neka je yi opće rješenje obične diferencijalne jednadžbe

y'' + p ⋅ y' + q ⋅ y = fi , za svaki i = 1, …, n.

Tada je 1

n

i

i

y=

∑ opće rješenje obične diferencijalne jednadžbe

y'' + p ⋅ y' + q ⋅ y = 1

n

i

i

f=

∑ .

7.8. Metoda varijacije konstanti

Osnovna ideja metode varijacije konstanti za nehomogenu linearnu običnu diferencijalnu jednadžbu 2. reda je

interpretirati konstante C1 i C2 koje se pojavljuju u rješenju pripadne homogene jednadžbe kao realne funkcije

varijable x. Te funkcije se potom određuju rješavanjem sustava funkcionalnih jednadžbi

' '

1 1 2 2

' ' ' '

1 1 2 1

( ) ( ) 0

( ) ( ) ( )

C x y C x y

C x y C x y f x

⋅ + ⋅ =

⋅ + ⋅ =

gdje su y1 i y2 bazična rješenja pripadne homogene obične diferencijalne jednadžbe 2. reda. Tada je opće rješenje

polazne nehomogene linearne obične diferencijalne jednadžbe 2. reda s konstantnim koeficijentima

y = C1(x) · y1 + C2(x) · y2.




7.9. Laplaceovi transformati

Laplaceov transformat (oznaka: F(s)) nenegativne realne funkcije f je realna funkcija

0

( ) ( )s x

F s f x e dx

+∞− ⋅= ⋅ ⋅∫ .

Piše se: F = L( f ). Pridruživanje koje realnoj funkciji f pridružuje funkciju F naziva se Laplaceova

transformacija. Ona je linearan operator, tj. za svake dvije nenegativne realne funkcije f i g, te za svaka dva

realna broja a i b vrijedi jednakost:

L(a ⋅ f + b ⋅ g) = a ⋅ L( f ) + b ⋅ L( g ).

Osnovna svojstva Laplaceovih transformata:

Neka je f = f (x) nenegativna realna funkcija i neka je F = F(s) njezin Laplaceov transformat. Tada vrijedi:

1. L( f ') = s ⋅ F(s) – f (0).

2. L( f '') = s2 ⋅ F(s) – s ⋅ f (0) – f '(0).

3. L[f (a ⋅ x)] = 1 s

Fa a

⋅

.

4. L1 x

fa a

⋅

= F (a ⋅ s).

5. L[ea ⋅ x ⋅ f (x)] = F (s – a).

6. L0

( )( )

xF s

f t dts

⋅ =

∫ .

Prigodom određivanja Laplaceova transformata često se primijenjuju sljedeći identiteti:

2

2 22

3

2 2

1. ;

1. ;

2 2. ;

sin( ) cos( ). sin( ) ;

( )

sin( ) cos(. cos( )

s x

s x

s x

s x

s x

s x

s x

s x

s x

e dx Cs e

s xx e dx C

s e

s x s xx e dx C

s e

s a x a a xa x e dx C

s a e

a a x s a xa x e dx

− ⋅

⋅

− ⋅

⋅

− ⋅

⋅

− ⋅

⋅

− ⋅

⋅ = − +⋅

⋅ +⋅ ⋅ = − +

⋅

⋅ + ⋅ ⋅ +⋅ ⋅ = − +

⋅

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ = − +

+ ⋅

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ =

∫

∫

∫

∫

∫

I

II

III

IV

V2 2

);

( )

( ). ( ) postoji lim 0.

s x

s xx

Cs a e

f xF s

e

⋅

⋅→+∞

++ ⋅

⇒ =VI




7.10. Tablica Laplaceovih transformata

funkcija f(x) Laplaceov transformat F(s)

1 s

1

a a

s

x 2

1

s

x2

3

2

s

x3

4

6

s

xn

1

!+ns

n

ea · x

1

s a−

x · ea · x

2

1

( )s a−

x2 · e

a · x 3

2

( )s a−

sin(a · x) 2 2

a

s a+

cos(a · x) 2 2

s

s a+

x · sin(a · x) 2 2 2

2

( )

a s

s a

⋅ ⋅

+

x · cos(a · x)

2 2

2 2 2( )

s a

s a

−

+

ea · x

· sin(b · x) 2 2( )

b

s a b− +

ea · x

· cos(b · x) 2 2( )

s a

s a b

−

− +

ch(a · x) 2 2

s

s a−

sh(a · x) 2 2

a

s a−




8. DODATAK I.

8.1. Tablica derivacija elementarnih funkcija

f (x) f '(x)

c 0

xc c ⋅ xc – 1

ax ax ⋅ ln a

logax 1

ln a x⋅

ex ex

ln x 1

x

sin x cos x

cos x –sin x

tg x 2

1

cos x

ctg x 2

1

sin x−

arcsin x

2

1

1 x−

arccos x

2

1

1 x−

−

arctg x 2

1

1x +

arcctg x –

2

1

1x +

ch x sh x

sh x ch x

th x 2

1

ch x

cth x 2

1

sh x−

arsh x

2

1

1x +

arch x

2

1

1x −

arth x

2

1

1 x−

arcth x

2

1

1 x−

Napomena: a > 0 i c ∈ R su realne konstante.

Jednadžba tangente i normale na krivulju y = f (x) u točki T = (xT, yT):

... '( ) ( )

1... ( )

'( )

T T T

T T

T

t y f x x x y

n y x x yf x

= ⋅ − +

= − ⋅ − +




8.2. Osnovna pravila za deriviranje

( ) ( )

'

2

'

. ( ) ' ' . ( ) ' ' '

' '. ( ) ' ' ' .

. ' ' ' . ( ) '( )a x

a f a f f g f g

f f g f gf g f g f g

g g

f g f g g f x e f x± ⋅

⋅ = ⋅ ± = ±

⋅ − ⋅⋅ = ⋅ + ⋅ =

= ⋅ ⋅ = ±

I II

III IV

V VI� � [ ]( ) a xa f x e± ⋅⋅ ⋅

8.3. Neke karakteristične granične vrijednosti nizova

( )

0

0

. lim 0, za svaki i svaki .

. ( 0) lim .

0, za 0 1;. lim

, za 1 i 0.

. lim 1 ;

0, za

. lim

kn

mk

k

k mm m

nk m

k

k

n

n

n

a

n

n

n

aa k

n

a na

bb

b n

ab a

a b

ae

n

a

a

→+∞

=

→+∞

=

→+∞

→+∞

→+∞

± = ∈ ∈

⋅

≠ ⇒ =

⋅

< <⋅ =

+∞ > ≠

+ =

=

∑

∑

I R N

II

III

IV

V

1;

1, za 1;

, za 1;

. lim 1, za svaki 0;

. lim 1.

n

n

n

n

a

a

a a

n

→+∞

→+∞

<

=

+∞ >

= >

=

VI

VII

8.4. Neke karakteristične (obostrane) granične vrijednosti funkcija

0

. lim 0 (za 0). . lim (za 0).

. lim ( ) , za svaki 0. . lim .

. lim 1

n nx x

x x

x

a an n

x x

aa x a

x

a

x

→±∞ →+∞

→±∞ → ±

→+∞

= > = +∞ <

⋅ = ±∞ ≠ = ±∞

+

I II

III IV

V

1

0 0

0 0

1 lnlim(1 ) . . lim (za 0, 0).

ln(1 ). lim (za 0). . lim arcctg .

2

x xax

x x

x x

a aa x e a b

b x b

a x ab x

b x b

π

→ →

→ →

−= + ⋅ = = > ≠

⋅

+ ⋅= ≠ =

⋅

VI

VII VIII

8.5. Neke karakteristične jednostrane granične vrijednosti funkcija

0 0

2 2

. lim tg , lim tg . . lim ctg lim ctg , lim ctg lim ctg .

. lim arctg , lim arctg 2

x x x xx x

x x

x x x x x x

x x

π π π π

π π

→ − → − → + → +→ − → +

→−∞ →+∞

= +∞ = −∞ = = −∞ = = +∞

= − =

I II

III . . lim arcctg , lim arcctg 02

0, za 1;0, za 0, 1 ;. lim lim . lim l

, za 0, 1 ;, za 1;

x x

x x x

x x x

x x

aaa a e

aa

π→−∞ →+∞

→+∞ →−∞ →−∞

= =

> ∈ = = =

+∞ ∈+∞ >

IV

V VI im 0;

. lim th lim cth 1, lim th lim cth 1. . lim arcth 0.

x

x

x x x x x

e

x x x x x

−

→+∞

→−∞ →−∞ →+∞ →+∞ →±∞

=

= = − = = =VII VIII




9. DODATAK II.

9.1. Formule iz algebre

Osnovni algebarski identiteti:

1. (x ± y)2 = x2 ± 2 ⋅ x ⋅ y + y2.

2. (x ± y)3 = x3 ± 3 ⋅ x2 ⋅ y + 3 ⋅ x ⋅ y2 ± y3.

3. (x – y) ⋅ (x + y) = x2 – y2.

4. x3 ± y3 = (x ± y) ⋅ (x2 ∓ x ⋅ y + y2).

Potencije imaginarne jedinice: Za svaki k ∈ Z vrijedi: i4 ⋅k = 1, i4 ⋅k + 1 = i, i4 ⋅k + 2 = –1, i4 ⋅k + 3 = –i.

Osnovna svojstva eksponencijalne i logaritamske funkcije:

0. 1.

. .

1.

.

. ( ) .

. .

.

m n m n

n

n

mm n

n

m n m n

m

n m n

m n m n

a

a a a

aa

aa

a

a a

a a

a a

+

−

−

⋅

⋅

=

⋅ =

=

=

=

=

=

1

2

3

4

5

6

7

. log 1 0.

. log 1.

. log ( ) log log .

. log log log .

. log ( ) log .

1. log ( ) log .

log. log .

log

a

a

a a a

a a a

y

a a

n

a a

ab

a

a

x y x y

xx y

y

x y x

x xn

xx

b

=

=

⋅ = +

= −

= ⋅

= ⋅

=

1

2

3

4

5

6

7

Formula za rješenje kvadratne jednadžbe a ⋅ x2 + b ⋅ x + c = 0: 2 2

1 2

4 4,

2 2

b b a c b b a cx x

a a

− + − ⋅ ⋅ − − − ⋅ ⋅= =

⋅ ⋅.

Vièteove formule za rješenja kvadratne jednadžbe a ⋅ x2 + b ⋅ x + c = 0: 1 2 1 2, b c

x x x xa a

+ = − ⋅ = .

9.2. Formule iz planimetrije

Heronova formula za površinu trokuta sa stranicama a, b i c: ( ) ( ) ( ), 2

a b cP s s a s b s c s

+ += ⋅ − ⋅ − ⋅ − =

Opseg i površina trokuta: O = a + b + c, 1 1 1

2 2 2a b cP a v b v c v= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ;

Opseg i površina usporednika: O = 2 ⋅ (a + b), P = a ⋅ b ⋅ sin ϕ (ϕ – kut između stranica a i b)

Opseg i površina kruga polumjera r: O = 2 ⋅ r ⋅ π, P = r2 ⋅ π.

Površina elipse s poluosima a i b: P = a ⋅ b ⋅ π

9.3. Formule iz stereometrije

Oplošje i obujam kocke stranice a: O = 6 ⋅ a2, V = a3;

Oplošje i obujam kugle polumjera r: 2 344 ,

3O r V rπ π= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ;

Oplošje i obujam uspravne prizme: O = 2 ⋅ B + P, V = B ⋅ h; (B – površina osnovke, P – površina pobočja, h – visina prizme)

Oplošje i obujam uspravne piramide: O = B + P, V = 1

3B h⋅ ⋅ ; (B – površina osnovke, P – površina pobočja, h – visina piramide)

Oplošje i obujam uspravnoga kružnog valjka: O = 2 ⋅ r ⋅ π ⋅ (r + h), V = r2 ⋅ π ⋅ h; (r – polumjer osnovke, h – visina valjka);

Oplošje i obujam uspravnoga kružnog stošca: O = r ⋅ π ⋅ (r + s), V = 1

3⋅ r2 ⋅ π ⋅ h; (r – polumjer osnovke, s – izvodnica stošca, h – visina

stošca);




9.4. Formule iz analitičke geometrije u ravnini

Udaljenost točaka A = (xA, yA) i B = (xB, yB): 2 2( , ) ( ) ( )A B A Bd A B x x y y= − + − .

Oblici jednadžbe pravca:

– eksplicitni: y = k ⋅ x + l ; (k – koeficijent smjera, l – odsječak na osi ordinata);

– implicitni: A ⋅ x + B ⋅ y + C = 0;

– segmentni: 1x y

m n+ = (m – odsječak na osi apscisa, n – odsječak na osi ordinata);

Jednadžba pravca kroz točku T = (č, ć) s koeficijentom smjera k: y = k ⋅ x + (ć – k ⋅ č);

Jednadžba pravca kroz točke T1 = (č, ć) i T2 = (š, ž): ( )ž ć

y x č ćš č

−= ⋅ − +

−;

Uvjet usporednosti pravaca y = k1 ⋅ x + l1 i y = k2 ⋅ x + l2: k1 = k2.

Uvjet okomitosti pravaca y = k1 ⋅ x + l1 i y = k2 ⋅ x + l2: k1 ⋅ k2 = –1.

Udaljenost točke T = (č, ć) od pravca A ⋅ x + B ⋅ y + C = 0: 2 2

( , )A č B ć C

d T pA B

⋅ + ⋅ +=

+.

Kut pravaca y = k1 ⋅ x + l1 i y = k2 ⋅ x + l2: 2 1

1 2

arctg1

k k

k kϕ

−=

+ ⋅.

Jednadžbe krivulja 2. reda:

– kružnica sa središtem u S = (p, q) i polumjerom r: (x – p)2 + (y – q)2 = r2;

– elipsa s poluosima a i b : b2 ⋅ x2 + a2 ⋅ y2 = a2 ⋅ b2;

– hiperbola s poluosima a i b: b2 ⋅ x2 – a2 ⋅ y2 = a2 ⋅ b2;

– parabola (osnosimetrična s obzirom na os apscisa) s parametrom p: y2 = 2 ⋅ p ⋅ x;

9.5. Formule iz trigonometrije1

Osnovne trigonometrijske relacije: cos2α + sin2α = 1, sin cos

tg , ctg cos sin

α αα α

α α= =

Trigonometrija pravokutnoga trokuta:

sin cos , cos sin , tg ctg , ctg tg a b a b

c c b aα β α β α β α β= = = = = = = =

Izračunavanje svih vrijednosti trigonometrijskih funkcija pomoću vrijednosti jedne od njih:

funkcija sin x cos x tg x ctg x

sin x

––––––––––– 21 sin x± −

2

tg

1 tg

x

x±

+

2

1

1 ctg x±

+

cos x

21 cos x± −

––––––––––– 2

1

1 tg x±

+

2

ctg

1 ctg

x

x±

+

tg x 2

sin

1 sin

x

x±

−

21 cos

cos

x

x

−±

–––––––––– 1

ctg x

ctg x 21 sin

sin

x

x

−±

2

cos

1 cos

x

x±

−

1

tg x

–––––––––––

Osnovne ciklometrijske relacije:

( )

( )

2 2

2

2 2

arcsin arccos arctg arcctg arccos arccos arcsin 1 12

arcsin arccos 1 arctg arctg arctg1

1arcsin arcsin arcsin 1 1 arcctg arcctg arcctg

x x x x x y x y x y

x yx x x y

x y

x yx y x y y x x y

y x

π+ = + = ± = ⋅ − ⋅ −

±= − ± =

⋅

⋅± = ⋅ − ± ⋅ − ± =

±

∓

∓

∓

1 Sve oznake u trokutu su standardne.




Točne vrijednosti trigonometrijskih funkcija nekih karakterističnih kutova (∞ := ne postoji)

kut (°) 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330

kut

(rad.)

0 6

π

4

π

3

π

2

π

2

3π⋅

3

4π⋅

5

6π⋅

π

7

6π⋅

5

4π⋅

4

3π⋅

3

2π⋅

5

3π⋅

7

4π⋅

11

6π⋅

sin x

0 1

2

2

2

3

2

1 3

2

2

2

1

2

0

1

2− 2

2−

3

2−

–1 3

2−

2

2−

1

2−

cos x

1 3

2

2

2

1

2

0 1

2−

2

2−

3

2−

–1 3

2−

2

2−

1

2−

0 1

2

2

2

3

2

tg x

0 3

3

1

3

∞

3−

–1 3

3−

0 3

3

1

3

∞

3−

–1 3

3−

ctg x

∞

3

1 3

3

0 3

3−

–1

3−

∞

3

1 3

3

0 3

3−

–1

3−

Predznaci trigonometrijskih funkcija u pojedinim kvadrantima:

I II III IV

sin + + – –

cos + – – +

tg + – + –

ctg + – + –

Površina trokuta: 1 1 1

sin sin sin2 2 2

P a b a c b cγ β α= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

Sinusov poučak: 2sin sin sin

a b cR

α β γ= = = ⋅ ;

Kosinusov poučak: a2 = b2 + c2 – 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α, b2 = a2 + c2 – 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos β, c2 = a2 + b2 – 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos γ.

Tangensov poučak:

tg tg tg2 2 2, ,

tg tg tg2 2 2

a b b c c a

a b b c c a

α β β γ γ α

α β β γ γ α

+ + ++ + +

= = =− − −− − −

;

Pretvorba stupnjeva u radijane: rad.180

x xπ

= ⋅�

Pretvorba radijana u stupnjeve: 180

rad.x xπ

= ⋅

�

Adicijske formule: Formule redukcije:

sin( ) sin cos cos sin

cos( ) cos cos sin sin

tg tg tg( )

1 tg tg

ctg ctg 1ctg( )

ctg ctg

x y x y x y

x y x y x y

x yx y

x y

x yx y

y x

± = ⋅ ± ⋅

± = ⋅ ⋅

±± =

⋅

⋅± =

±

∓

∓

∓

( ) ( )( ) ( )

sin cos tg ctg 2 2

cos sin ctg tg 2 2

sin sin tg ctg

cos cos ctg tg

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

π π

π π

π π

π π

± = ± =

± = ± =

± = ± = ±

± = − ± = ±

∓

∓ ∓

∓

Formule za trigonometrijske funkcije dvostrukoga i polovičnoga argumenta:

[ ] [ ]2 2

2

22 2

2 2

2

2 tg 1 cos 1 1sin(2 ) 2 sin cos sin sin 1 cos(2 ) cos 1 cos(2 )

1 tg 2 2 2 2

1 cos(2 ) 1 cos(1 tg 1 cos tg ctgcos(2 ) cos sin cos1 cos(2 )1 tg 2 2

x x xx x x x x x x

x

xx x x x xx x xxx

⋅ −⋅ = ⋅ ⋅ = = ± = ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅

+

− ⋅ +− + = =⋅ = − = = ± + ⋅+

2 )

1 cos(2 )

x

x

⋅

− ⋅




2

2 2

2 tg 1 cos 1 cos sintg(2 ) tg

1 tg 2 1 cos sin 1 cos

ctg 1 1 tg 1 cos 1 cos sinctg(2 ) ctg

2 ctg 2 tg 2 1 cos sin 1 cos

x x x x xx

x x x x

x x x x x xx

x x x x x

⋅ − −⋅ = = ± = =

− + +

− − + +⋅ = = = ± = =

⋅ ⋅ − −

Formule pretvorbe:

– umnoška trigonometrijskih funkcija u njihov zbroj:

[ ]

[ ]

[ ]

1sin cos sin( ) sin( )

2

1cos cos cos( ) cos( )

2

1sin sin cos( ) cos( )

2

x y x y x y

x y x y x y

x y x y x y

⋅ = ⋅ + + −

⋅ = ⋅ + + −

⋅ = ⋅ − − +

– zbroja trigonometrijskih funkcija u njihov umnožak:

sin( )sin sin 2 sin cos tg tg

2 2 cos cos

sin( )sin sin 2 cos sin tg tg

2 2 cos cos

sin( )cos cos 2 cos cos ctg ctg

2 2 sin sin

cos cos 2 sin sin ctg ct2 2

x y x y x yx y x y

x y

x y x y x yx y x y

x y

x y x y x yx y x y

x y

x y x yx y x

+ − ++ = ⋅ ⋅ + =

⋅

+ − −− = ⋅ ⋅ − =

⋅

+ − ++ = ⋅ ⋅ + =

⋅

+ −− = − ⋅ ⋅ −

sin( )g

sin sin

x yy

x y

− −=

⋅

Točne vrijednosti ciklometrijskih funkcija za neke karakteristične vrijednosti:

x arctg x arcctg x

–∞ 2

π−

π

3− –

3

π

5

6π⋅

–1 –4

π

3

4π⋅

3

3− –

6

π

2

3π⋅

0

0 2

π

3

3

6

π

3

π

1

4

π

4

π

3

3

π

6

π

+∞ 2

π

0

pripremio: mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač

x arcsin x arccos x

–1 2

π−

π

3

2−

3

π−

5

6π⋅

2

2−

4

π−

3

4π⋅

1

2−

6

π−

2

3π⋅

0

0 2

π

1

2

6

π

3

π

2

2

4

π

4

π

3

2

3

π

6

π

1 2

π

0

Documents

Pregled formula za pismeni ispit - bkovacic.weebly.com · i ≥ ≤ ≤(). ( ) +∞ ∫ +∞ ∫ ( ) +∞ ∫ +∞ ∫ ≥ ≤ +∞ ∫ −∞ ∫.)