Pregled formula za pismeni ispit (verzija 1.2.)bkovacic.weebly.com/uploads/7/4/0/7/7407552/vis...Vjerojatnost i statistika (preddiplomski stru čni studij elektrotehnike) za pismeni

PREGLED DEFINICIJA

I FORMULA

ZA PISMENI ISPIT IZ

VJEROJATNOSTI I

STATISTIKE

pripremio: mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač

Vjerojatnost i statistika (preddiplomski

stručni studij elektrotehnike)

Pregled

definicija i formula

za pismeni ispit

© mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 2

Sadržaj

1. OSNOVE KOMBINATORIKE ................................................................................................. 3

2. OSNOVE DISKRETNE TEORIJE VJEROJATNOSTI .................................................. 5

3. OSNOVE OPISNE (DESKRIPTIVNE) STATISTIKE ..................................................... 9

4. DISKRETNE SLUČAJNE VARIJABLE ............................................................................ 15

4.1. Diskretna jednolika slučajna varijabla i diskretna jednolika razdioba ....................................... 17

4.2. Binomna slučajna varijabla i binomna razdioba ........................................................................ 17

4.3. Poissonova slučajna varijabla i Poissonova razdioba ................................................................. 18

4.4. Geometrijska slučajna varijabla i geometrijska razdioba ........................................................... 19

4.5. Hipergeometrijska slučajna varijabla i hipergeometrijska razdioba ........................................... 20

5. NEPREKIDNE (KONTINUIRANE) SLUČAJNE VARIJABLE ................................. 21

5.1. Neprekidna jednolika slučajna varijabla i neprekidna jednolika razdioba ................................. 22

5.2. Eksponencijalna slučajna varijabla i eksponencijalna razdioba ................................................. 23

5.3. Normalna slučajna varijabla i normalna razdioba ...................................................................... 24

5.4. Čebiševljeva nejednakost za neprekidne slučajne varijable. Pravilo 3 σ⋅ . ............................... 25

5.5. Granični poučci u Bernoullijevoj shemi ..................................................................................... 25

6. DODATAK .................................................................................................................................... 26

POPIS KORIŠTENIH OZNAKA ............................................................................................... 29

POPIS TABLICA............................................................................................................................. 29

KAZALO POJMOVA ..................................................................................................................... 30

LITERATURA .................................................................................................................................. 35



Pregled


za pismeni ispit


1. OSNOVE KOMBINATORIKE

Poučak o uzastopnom prebrojavanju:

Neka su 1, ,..., nn S S∈ℕ konačni skupovi i 1

n

i

i

T S=

⊆ ∏ . Ako za svaki [ ]i n∈ i–tu komponentu

skupa T možemo izabrati na in različitih načina, onda je:

1

card( )n

i

i

T n=

= ∏ .

Permutacija bez ponavljanja n–članoga skupa S je uređen niz međusobno različitih elemenata skupa S. Ukupan broj svih međusobno različitih permutacija bez ponavljanja n–članoga skupa S jednak je:

1

!: 1 ... .n

n

i

P n i n=

= = = ⋅ ⋅∏

Napomena: Dogovorno se uzima: 0! = 1.

Permutacija s ponavljanjem n–članoga skupa S je uređen niz ne nužno međusobno različitih elemenata skupa S. Ako za svaki [ ]i m∈ imamo na raspolaganju

im međusobno različitih

objekata vrste iV takvih da vrijedi

1

m

i

i

n m=

=∑ ,

onda je ukupan broj svih međusobno različitih permutacija s ponavljanjem n–članoga skupa S jednak:

1 1,...,

1 1

!!

( !) ( !)

m

m

i

im m

n m m

i i

i i

mn

P

m m

=

= =

= =∑

∏ ∏.

k–permutacija (bez ponavljanja) n–članoga skupa S je bilo koja uređena k–torka elemenata skupa S. Ukupan broj svih međusobno različitih k–permutacija n–članoga skupa S jednak je:

1

0

( , ) ( )k

i

P n k n i−

=

= −∏ .

k–permutacija s ponavljanjem n–članoga skupa S je bilo koja uređena k–torka ne nužno različitih elemenata skupa S. Ukupan broj različitih k–permutacija s ponavljanjem n–članoga skupa S jednak je:

( , ) kP n k n= .



Pregled


za pismeni ispit


k–kombinacija (bez ponavljanja) n–članoga skupa S je bilo koji k–člani podskup skupa S takav da među elementima toga podskupa nema međusobno jednakih. Ukupan broj različitih k–kombinacija n–članoga skupa S jednak je:

( 1) ... ( 1)( , ) :

!

n n n n kC n k

k k

⋅ − ⋅ ⋅ − += =

.

Broj n

k

naziva se binomni koeficijent i čita: „en povrh ka“.

k–kombinacija s ponavljanjem n–članoga skupa S je bilo koji k–člani podskup skupa S takav da među elementima toga podskupa postoje (ali ne nužno) barem dva međusobno jednaka elementa. Ukupan broj različitih k–kombinacija s ponavljanjem n–članoga skupa S jednak je:

1 ( 1) ( ) ... ( 2 2)( , )

!

n k n k n k n kC n k

k k

+ − − + ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ += =

.

Najvažnija svojstva binomnih koeficijenata:

Za svaki n ∈ℕ i svaki [ ]0k n∈ vrijede sljedeće jednakosti:

. 1.0

( 1) !. , ,..., .

1 2 2 ! ( )!

1 1 1. = = + .

1 1

n n

n

n n nn n nn

k k n k

n n n n nn

k n k k k kk

= =

⋅ −= = =

⋅ −

− − − = ⋅ − − −

1

2

3

.

Binomni poučak:

Za sve ,x y ∈ℂ i svaki n ∈ℕ vrijedi binomna formula:

0

( )n

n n k k

k

nx y x y

k

−

=

+ = ⋅ ⋅

∑ .



Pregled


za pismeni ispit


2. OSNOVE DISKRETNE TEORIJE VJEROJATNOSTI

Slučajni pokus je svaki pokus čiji ishod nije unaprijed određen (definiran). Svaki mogući ishod takvoga pokusa naziva se elementarni događaj (oznaka: ω). Skup svih elementarnih događaja naziva se prostor elementarnih događaja (oznaka: Ω). Taj skup ne sadrži međusobno jednake elemente. Kao ishod slučajnoga pokusa javlja se točno jedan element skupa Ω.

Algebra događaja (oznaka: F) je familija podskupova skupa Ω koja ima sljedeća svojstva:

A1. ∅, Ω ∈ F.

A2. (A, B ∈ F) ⇒ ( A B∪ ∈ F).

A3. (A ∈ F) ⇒ ( : \CA A= Ω ∈F ).

Elementi algebre događaja F nazivaju se događaji. Prazan skup ∅ naziva se nemoguć

događaj. Skup Ω (promatran kao element skupa F) naziva se siguran događaj.

Operacije s događajima:

1. Zbroj događaja: :A B A B+ = ∪ ; interpretacija: istodobno se ostvaruje barem jedan od događaja A i B;

2. Umnožak događaja: :A B A B⋅ = ∩ ; interpretacija: događaji A i B se istodobno ostvaruju;

3. Razlika događaja: : \A B A B− = ; interpretacija: istodobno se dogodio događaj A, ali se nije dogodio događaj B.

Neke posebne relacije među događajima:

1. Događaj A povlači događaj B ako vrijedi relacija A B⊂ . 2. Događaji A i B su jednaki ako vrijedi relacija A B= (jednakost skupova A i B). 3. Događaji A i B su disjunktni ili međusobno isključivi ako vrijedi relacija A B⋅ = ∅ . 4. Događaj CA naziva se događaj suprotan događaju A. On će se dogoditi ako i samo ako se

A ne dogodi. Korisni identiteti:

Za bilo koje događaje A, B, C ∈ F vrijede jednakosti:

( )

. .

. .

. (prva de Morganova formula) ( ) .

. (druga de Morganova formula) ( ) .

. ( ) .

. ( ) ( ) .

C

CC

C C C

C C C

A B A B

A A

A B A B

A B A B

A B C A B A C

A B A C A B C

− = ⋅

=

+ = ⋅

⋅ = +

⋅ + = ⋅ + ⋅

+ ⋅ + = + ⋅

1

2

3

4

5

6



Pregled


za pismeni ispit


Vjerojatnost na algebri F je svako preslikavanje P : F → [ ]0, 1 sa svojstvima:

( )

( )

. ( ) 0, ( ) 1.

. (monotonost) ( ) ( ) ( ) .

. (aditivnost) ( ) ( ) ( ) ( ) .

P P

A B P A P B

A B P A B P A P B

∅ = Ω =

⊂ ⇒ ≤

⋅ = ∅ ⇒ + = +

P1

P2

P3

Uređena trojka (Ω, F, P) naziva se vjerojatnosni prostor. Ovisno o broju elemenata skupa Ω,

taj prostor može biti konačan ili beskonačan.

Korisna svojstva vjerojatnosti:

Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor. Za bilo koje A, B, C ∈ F vrijedi:

. ( ) ( ) ( ) ( ).

. ( ) ( ) ( ).

. ( ) ( ) ( ).

. ( ) 1 ( ).

. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

C

C

C

P A B P A P B P A B

P A B P A P A B

P A P A B P A B

P A P A

P A B C P A P B P C P A B P A C P B C P A B C

+ = + − ⋅

+ = + ⋅

= ⋅ + ⋅

= −

+ + = + + − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅

1

2

3

4

5

Klasičan vjerojatnosni prostor je konačan vjerojatnosni prostor (Ω, F, P) u kojemu za svaki

A∈F vrijedi:

card( ) ukupan broj ishoda povoljnih za ( )

card( ) ukupan broj mogućih ishoda

A AP A = =

Ω.

Neka je 1,..., nω ωΩ = . Tada vrijede jednakosti:

[ ]

1

1. ( ) , .

card( )

. ( ) 1.

i

n

i

i

P i n

P

ω

ω=

= ∀ ∈Ω

=∑

1

2

Ako su vjerojatnosni prostor Ω i skup svih događaja povoljnih za događaj A neki izmjerivi podskupovi skupa n

ℝ , za neki n ∈ℕ , onda vjerojatnost događaja A definiramo s:

( )( )

( )

m AP A

m=

Ω,

gdje je m neka mjera na skupu n

ℝ . Takvu vjerojatnost nazivamo geometrijska vjerojatnost.

Za 1n = mjera bilo kojega intervala jednaka je razlici gornje i donje granice toga intervala.

Za 2n = mjera skupa se podudara s (uobičajenom) površinom toga skupa u ravnini.

Za 3n = mjera skupa se podudara s (uobičajenim) volumenom toga skupa u prostoru.



Pregled


za pismeni ispit


Posebno, vrijede sljedeće tvrdnje:

1. ( ) 0, .m a a= ∀ ∈ℝ

2. Mjera bilo koje ravninske krivulje u 2ℝ (npr. pravac, kružnica, elipsa itd.) jednaka je nuli.

3. Mjera bilo koje ravninske plohe u 3ℝ (npr. sfera, plašt kocke, plašt valjka itd.) jednaka je

nuli.

Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor. Neka su A, B ∈ F. Uvjetna vjerojatnost događaja A

uz uvjet da se dogodio događaj B definirana je s:

( )( | ) :

( )

P A BP A B

P B

⋅= .

U općenitijem slučaju vrijedi formula:

1

1 1 1

| , .n n k

k k i

k k i

P A P A A n−

= = =

= ∀ ∈

∏ ∏ ∏ ℕ .

Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor. Kažemo da su događaji A, B ∈ F nezavisni ako

vrijedi jednakost:

( ) ( ) ( ).P A B P A P B⋅ = ⋅

Općenito, za n događaja 1,..., nA A kažemo da su nezavisni ako za svaki neprazan skup

[ ]1,..., ki i n⊆ vrijedi jednakost:

1 1

( )k ki i

m m

m i m i

P A P A= =

=

∏ ∏ .

Npr. za 3n = događaji 1 2 3, i A A A su nezavisni ako vrijede jednakosti:

( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ) ( ).

P A B P A P B

P A C P A P C

P B C P B P C

P A B C P A P B P C

⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor. Kažemo da je konačan skup 1,..., nA A A= potpuni

sustav događaja ako vrijede jednakosti:

1

1

. ( ) ( ).

. .

. ( ) 1.

i j

n

i

i

n

i

i

i j A A

A

P A

=

=

≠ ⇒ ⋅ = ∅

= Ω

=

∑

∑

1

2

3

Elemente skupa A nazivamo hipoteze.



Pregled


za pismeni ispit


Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor. Neka su 1,..., nA A A= potpuni sustav događaja i

B ∈ F. Tada vrijedi formula potpune vjerojatnosti:

1

( ) ( ) ( | ).n

i i

i

P B P A P B A=

= ⋅∑ .

Iz gornje formule slijedi da za njezinu primjenu treba znati vjerojatnost svake hipoteze i odgovarajuće uvjetne vjerojatnosti događaja B. Obratno, ako treba izračunati vjerojatnost ostvaraja svake pojedine hipoteze uz uvjet da se dogodio događaj B, onda primjenjujemo Bayesovu formulu:

[ ]

1

( ) ( ) ( | )( | ) , za svaki .

( )( ) ( | )

i i i

i n

j j

j

P A B P A P B AP A B i n

P BP A P B A

=

⋅ ⋅= = ∈

⋅∑

Bernoullijeva shema je vjerojatnosni model n-terostrukoga ponavljanja slučajnoga pokusa koji ima točno dva moguća ishoda: uspjeh i neuspjeh. Ako je p vjerojatnost pojavljivanja uspjeha u svakom slučajnom pokusu, onda je vjerojatnost kp da se u ukupno n pokusa pojavi

točno k uspjeha jednaka:

[ ]0(1 ) , , .k n k

k

np p p n k n

k

− = ⋅ ⋅ − ∀ ∈ ∀ ∈

ℕ

Za velike n ove se vjerojatnosti mogu računati pomoću Poissonova poučka (vidjeti stranicu 18.), te lokalnoga/integralnoga de Moivrè – Laplaceova poučka (vidjeti stranicu 25.).



Pregled


za pismeni ispit


3. OSNOVE OPISNE (DESKRIPTIVNE) STATISTIKE

Neka je 1 2, ,..., ny y y konačan (ne)numerički niz podataka dobivenih mjerenjem određenoga

statističkoga obilježja. Svaki element toga niza naziva se modalitet pripadnoga statističkoga obilježja. Broj n ∈ℕ naziva se duljina statističkoga niza.

Pretpostavimo da se u nizu 1 2, ,..., ny y y pojavljuje točno k različitih modaliteta. Označimo te

modalitete s 1,..., kx x . Za svaki [ ]i k∈ definiramo pojmove apsolutne/relativne frekvencije i

apsolutne/relativne frekvencije manje/veće od.

Apsolutna frekvencija if modaliteta ix jednaka je ukupnom broju pojavljivanja dotičnoga

modaliteta u zadanom statističkom nizu. Relativna frekvencija

ir modaliteta ix jednaka je količniku apsolutne frekvencije toga

modaliteta (if ) i duljine statističkoga niza (n) iskazanom u postotcima:

[ ]100 %i

i

fr

n= ⋅ .

Pretpostavimo da je niz 1 2, ,..., ny y y dobiven mjerenjem kvantitativnoga ili kvalitativnoga

redosljednoga obilježja. Tada su svaka dva različita modaliteta međusobno usporediva. Zbog toga možemo pretpostaviti da su svi različiti modaliteti 1,..., kx x označeni tako da vrijedi:

1 2 ... .kx x x≤ ≤ ≤

Apsolutna frekvencija „veće od“ if> modaliteta ix jednaka je zbroju apsolutnih frekvencija

svih modaliteta jednakih ili većih/boljih od ix :

.j i

i j

x x

f f>

≥

= ∑

Apsolutna frekvencija „manje od“ if< modaliteta ix jednaka je zbroju apsolutnih

frekvencija svih modaliteta jednakih ili manjih/slabijih od ix :

.j i

i j

x x

f f<

≤

= ∑

Apsolutne frekvencije „veće od“/„manje od“ tvore kumulativne nizove apsolutnih

frekvencija.

Relativna frekvencija „veće od“ ir> modaliteta x

i jednaka je količniku odgovarajuće apsolutne

frekvencije „veće od“ toga modaliteta ( if> ) i duljine statističkoga niza (n) iskazanom u

postotcima:

[ ]100 %ii

fr

n

>> = ⋅ .



Pregled


za pismeni ispit


Relativna frekvencija „manje od“ ir< modaliteta x

i jednaka je količniku odgovarajuće

apsolutne frekvencije „manje od“ toga modaliteta ( if< ) i duljine statističkoga niza (n)

iskazanom u postotcima:

[ ]100 %ii

fr

n

<< = ⋅ .

Relativne frekvencije „veće od“/„manje od“ tvore kumulativne nizove relativnih frekvencija. Ako je broj različitih modaliteta relativno velik, podatke je pogodno grupirati u (ne)prave

zatvorene razrede. Zatvoreni razred je svaki interval oblika ],a b , gdje su ,a b∈ℝ takvi da

je a b< . Ako zatvorene razrede možemo poredati u niz ],a b , ],b c , ],c d , …, onda takve

razrede nazivamo pravi razredi. U suprotnom, tj. ako između bilo kojih dvaju uzastopnih razreda nužno postoji razmak, razredi su nepravi ili nominalni. Neka je zadan razred ],a b . Broj a nazivamo donja granica razreda, broj b gornja granica

razreda, broj :h b a= − širina razreda ili razredna širina, a broj :2

a bs

+= sredina razreda

ili razredna sredina.

Osim tablično, modalitete i njihove apsolutne/relativne frekvencije podesno je prikazati i grafički npr. strukturnim krugom, jednostavnim stupcima, strukturnim stupcima i sl.

Poligon apsolutnih/relativnih frekvencija je otvorena poligonalna crta dobivena spajanjem uređenih parova točaka 1 1( , ) i ( , )i i i ix f x f+ + u ravnini, za svaki [ ]1i n∈ − . Histogram je površinski grafikon kojega tvori konačan niz zatvorenih pravokutnika. Duljine osnovicâ tih pravokutnika su širine pravih razreda ],a b . Površine tih pravokutnika jednake

su apsolutnim/relativnim frekvencijama dotičnih razreda.

Niz numeričkih podataka pogodno je opisivati tzv. srednjim vrijednostima. Srednje vrijednosti dijele se na potpune (u njihovu izračunu sudjeluju svi elementi numeričkoga niza) i položajne (u izračunu se koristi položaj dotične vrijednosti unutar numeričkoga niza).

Potpune srednje vrijednosti su aritmetička sredina, geometrijska sredina i harmonijska

sredina. Formule za izračun tih vrijednosti iz (ne)grupiranih podataka navedene su u Tablici 1. (vidjeti stranicu 12.)

U položajne srednje vrijednosti ubrajamo mod i percentile.

Mod je modalitet s najvećom apsolutnom/relativnom frekvencijom. On je jedina srednja vrijednost koja se može određivati i za kvalitativna i za kvantitativna obilježja.

Ako statistički niz ima jedinstven mod, pripadna razdioba je unimodalna. Ako statistički niz sadrži točno dva različita moda, pripadna razdioba je bimodalna. Ako statistički niz sadrži barem tri različita moda, pripadna razdioba je multimodalna.



Pregled


za pismeni ispit


Ako su podaci grupirani u k ∈ℕ pravih razreda, za određivanje moda najprije treba izračunati korigiranu apsolutnu /relativnu frekvenciju svakoga razreda. Ta frekvencija dobije se dijeljenjem originalne apsolutne/relativne frekvencije toga razreda i originalne razredne širine:

[ ]

,

1 .

,

corr i

i

i

corr i

i

i

ff

si k

rr

s

=

∀ ∈ −

=

Tada se mod iz tako grupiranih podataka određuje iz izraza:

2 ( )i

b aMo L s

b a c

−= + ⋅

⋅ − +,

gdje su Mo mod, iL donja granica modalnoga razreda, b najveća korigirana apsolutna/relativna

frekvencija, a korigirana apsolutna/relativna frekvencija koja neposredno prethodi korigiranoj apsolutnoj/relativnoj frekvenciji modalnoga razreda, c korigirana apsolutna/relativna frekvencija koja neposredno slijedi iza korigirane apsolutne/relativne frekvencije modalnoga razreda, a s razredna širina modalnoga razreda.

Percentili su položajne vrijednosti koje dijele numerički niz na 100 jednakobrojnih dijelova. Pritom k–ti percentil kP ima svojstvo da ukupno %k članova niza nije veće od kP , odnosno

da (100 )%k− članova niza nije manje od kP .

Za 10,20,...,90k ∈ govorimo o decilima. 1. decil je 10. percentil, 2. decil je 20. percentil itd.

Za 25,50,75k ∈ govorimo o kvartilima. 1. ili donji kvartil je 25. percentil, 2. kvartil ili

medijan je 50. percentil, a 3. ili gornji kvartil je 75. percentil.

Formule za izračun svih triju kvartila iz (ne)grupiranih podataka navedene su u Tablici 2. (vidjeti stranicu 12.)

Reprezentativnost pojedine srednje vrijednosti iskazuje se pomoću odgovarajućih mjera

raspršenja (disperzije). Mjere raspršenja dijele se na apsolutne i relativne.

Apsolutne mjere raspršenja su raspon varijacije, interpercentil, srednje apsolutno

odstupanje, varijanca (disperzija) i standardna devijacija (standardno odstupanje). Relativne mjere raspršenja su koeficijent kvartilne devijacije i koeficijent varijacije.

Raspon varijacije (oznaka: R) je razlika najveće i najmanje vrijednosti numeričkoga niza.

Interpercentil je razlika bilo kojih dvaju percentila kP i

lP uz uvjet k l≥ . On označava

raspon varijacije središnjih ( )%k l− članova niza. Za 75k = i 25l = dobiva se interkvartil

qI . On označava raspon varijacije središnje polovice članova numeričkoga niza.

Formule za izračun srednjega apsolutnoga odstupanja, varijance i standardne devijacije iz (ne)grupiranih podataka navedeni su u Tablici 3. (vidjeti stranicu 12.)



Pregled


za pismeni ispit


Tablica 1. Izračun potpunih srednjih vrijednosti

srednja vrijednost izračun iz negrupiranih podataka izračun iz grupiranih podataka

aritmetička sredina 1 2i 1 ...

n

i

n

xx x x

xn n

= + + += =∑

1 1 2 2 1

1 2

1

...

...

k

i i

k k i

k

ki

i

f xf x f x f x

xf f f

f

=

=

⋅⋅ + ⋅ + + ⋅

= =+ + +

∑

∑

geometrijska sredina

1 2 .....nnG x x x= ⋅ ⋅ ⋅

1 21 11 2

1

.....

nn

ii

n iii

nf ff ff f

n i

i

G x x x x==

=

∑ ∑= ⋅ ⋅ ⋅ = ∏

harmonijska sredina 1 2 1

1 1 1 1...n

n i i

n nH

x x x x=

= =

+ + + ∑

1 2 1

1 2

1 2 1

...

...

n

i

n i

nn i

n i i

ff f f

Hff f f

x x x x

=

=

+ + += =

+ + +

∑

∑

Napomena: U slučaju grupiranih podataka su xi i fi sredina, odnosno apsolutna frekvencija i-toga razreda.

Tablica 2. Izračun položajnih srednjih vrijednosti

srednja vrijednost izračun iz negrupiranih podataka izračun iz grupiranih podataka 1. (donji) kvartil

4

1

14 4

, ako nije djeljiv s 4;

1( ), ako je djeljiv s 4.

2

n

n n

x n

Q

x x n

+

= ⋅ +

1

11 1

14

m

i

i

m

n f

Q L hf

−>

=

⋅ −

= + ⋅∑

2. kvartil (medijan) 1

2

2

12 2

, ako je neparan;

1( ), ako je paran.

2

n

n n

x n

Me Qx x n

+

+

= = ⋅ +

1

11

1

2

m

i

i

m

n f

Me L hf

−>

=

⋅ −

= + ⋅∑

3. (gornji) kvartil 3

4

3

3 31

4 4

, ako nije djeljiv s 4;

1( ), ako je djeljiv s 4.

2

n

n n

x n

Q

x x n

⋅

⋅ ⋅ +

= ⋅ +

1

13 1

3

4

m

i

i

m

n f

Q L hf

−>

=

⋅ −

= + ⋅∑

Napomena: n je opseg statističkoga skupa (duljina numeričkoga niza), L1 je donja granica pravoga razreda kojemu pripada dotični kvartil, m

redni broj toga razreda (u uzlazno sortiranom poretku svih razreda), fm apsolutna/relativna frekvencija toga razreda, a h njegova širina.

Tablica 3. Izračun mjera raspršenja (disperzije)

mjera

raspršenja

izračun iz

negrupiranih podataka

izračun iz

grupiranih podataka srednje

apsolutno odstupanje

1 2

1

... nn k

xk

x x x x x x x xMAD

n n=

− + − + + − −= =∑ 1 1 2 2 1

1 2

1

...

...

n

k kn n

k

nx

nk

k

f x xf x x f x x f x xMAD

f f ff

=

=

⋅ −⋅ − + ⋅ − + + ⋅ −= =

+ + +

∑

∑

varijanca

( )2

2

22 1 1

n n

i i

i i

x x x

xn n

σ = =

−

= = −∑ ∑

( )

22

22 1 1

1 1

k k

i i i i

i i

k k

i i

i i

f x x f x

x

f f

σ = =

= =

⋅ − ⋅

= = −∑ ∑

∑ ∑

standardna devijacija

( )2 2

21 1

n n

i i

i i

x x x

xn n

σ = =

−

= = −∑ ∑

( )

22

21 1

1 1

k k

i i i i

i i

k k

i i

i i

f x x f x

x

f f

σ = =

= =

⋅ − ⋅

= = −∑ ∑

∑ ∑

Napomena: U slučaju grupiranih podataka su xi i fi sredina, odnosno apsolutna frekvencija i-toga razreda.



Pregled


za pismeni ispit


Koeficijent kvartilne devijacije Vq jednak je omjeru interkvartila Iq i zbroja prvoga i trećega kvartila:

3 1

3 1q

Q QV

Q Q

−=

+.

Taj koeficijent se interpretira kao intenzitet varijabiliteta središnje polovice statističkoga niza. Koristi se u slučajevima kad je medijan reprezentativnija srednja vrijednost od aritmetičke sredine. Jedan od kriterija za interpretaciju intenziteta varijabiliteta iskazanoga koeficijentom kvartilne devijacije naveden je u Tablici 4.

Tablica 4. Skala intenziteta varijabiliteta koeficijenta kvartilne devijacije

Vq 0.0 – 0.1 0.1 – 0.2 0.2 – 0.3 0.3 – 0.5 0.5 – 1.0 interpretacija vrlo slab relativno slab umjeren relativno jak jak

Koeficijent varijacije V jednak je količniku standardne devijacije i aritmetičke sredine iskazanom u postotcima:

[ ]100 % .Vx

σ= ⋅

On predstavlja relativno prosječno odstupanje vrijednosti numeričkoga niza od aritmetičke sredine niza. Primijenjuje se u slučajevima kad je aritmetička sredina dobar reprezentant numeričkoga niza. Jedan od kriterija za interpretaciju varijabiliteta niza iskazanoga koeficijentom varijacije naveden je u Tablici 5.

Tablica 5. Skala intenziteta varijabiliteta koeficijenta varijacije

V [%] 0 – 10 10 – 30 30 – 50 50 – 70 ≥ 70 interpretacija vrlo slab relativno slab umjeren relativno jak jak

Čebiševljevo pravilo:

Neka je ( )nx konačan niz vrijednosti kvantitativnoga obilježja. Neka su x i σ redom pripadna

aritmetička sredina, odnosno standardna devijacija. Tada se za svaki prirodan broj 1k > u

segmentu , x k x kσ σ − ⋅ + ⋅ nalazi najmanje 2

1100 1

k

⋅ −

% članova niza (xn).

Posljedice Čebiševljevoga pravila:

1. U segmentu 2 , 2x xσ σ − ⋅ + ⋅ nalazi se najmanje 75% članova niza.

2. U segmentu 3 , 3x xσ σ − ⋅ + ⋅ nalazi najmanje 89% članova niza.



Pregled


za pismeni ispit


Za usporedbu raznorodnih numeričkih nizova koristi se standardizirano obilježje. Neka je ( )nx niz vrijednosti kvantitativnoga obilježja. Neka su x i σ redom pripadna aritmetička

sredina, odnosno standardna devijacija. Tada je niz standardiziranih vrijednosti toga obilježja niz ( )nz čiji je opći član dan pravilom:

n

n

x xz

σ

−= .

Standardizacija vrijednosti numeričkoga obilježja se obično provodi kod izračuna vrijednosti funkcije razdiobe vjerojatnosti normalne slučajne varijable (vidjeti stranicu 24. i stranicu 27.).



Pregled


za pismeni ispit


4. DISKRETNE SLUČAJNE VARIJABLE

Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor i neka je S ⊆ ℤ konačan ili prebrojiv skup.

Diskretna slučajna varijabla je svako preslikavanje :X SΩ → takvo da za svaki s S∈ vrijedi relacija:

: : ( )sA X sω ω= ∈Ω = ⊆F.

Kažemo da je skup S slika diskretne slučajne varijable X. Ne istaknemo li drugačije, u daljnjem tekstu ovoga poglavlja pretpostavljamo da su sve slučajne varijable diskretne.

Svakom s S∈ jednoznačno je pridružen broj : ( ).s sp P A= Kratko pišemo:

( ).sp P X s= =

Zbog toga je svaka varijabla X jednoznačno određena svojom tablicom razdiobe

(distribucije):

1 2

1 2

... ...

... ...n

n

s s sX

p p p

∼ .

Funkcija vjerojatnosti varijable X je funkcija [ ]: 0, 1f S → definirana pravilom:

, ako je ;( )

0, inače.sp x s

f x=

=

Osnovno svojstvo funkcije vjerojatnosti:

( ) 1.s S

f s∈

=∑

Funkcija razdiobe vjerojatnosti varijable X je funkcija [ ]: 0, 1F S → definirana pravilom:

( ) ( ) ( )

x s

F s P X s f x≤

= ≤ =∑ ,

gdje je f funkcija vjerojatnosti.

Korisna svojstva funkcije razdiobe vjerojatnosti:

. ( ) ( ) .

. ( ) 1 ( ).

. ( ) 1 ( ).

s

s

P X s F s p

P X s p F s

P X s F s

< = −

≥ = + −

> = −

1

2

3



Pregled


za pismeni ispit


(Matematičko) Očekivanje ( )E X varijable X je vjerojatnosni analogon težinske aritmetičke sredine definiran pravilom:

( ) .s

s S

E X s p∈

= ⋅∑

Varijanca (disperzija) ( )V X i standardna devijacija (standardno odstupanje) ( )Xσ varijable X definirane su izrazima:

( )

( )

22

22

( ) ( ) ,

( ) ( ) .

s

s S

s

s S

V X s p E X

X s p E Xσ

∈

∈

= ⋅ −

= ⋅ −

∑

∑

Neka su ,a b∈ℝ takvi da je 0a ≠ . Neka je 1:Y SΩ → slučajna varijabla definirana pravilom:

1 2

1 2

... ...

... ...n

n

a s b a s b a s bY a X b

p p p

⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⋅ +

∼ ,

Tada vrijede jednakosti:

( )( )22

2

. ( ) ( ) ( ) ( ) .

. ( ) ( ).

. ( ) ( ).

V X E X E X E X E X

V Y a V X

Y a Xσ σ

= − = −

= ⋅

= ⋅

1

2

3

Napomena: Neka su g bilo koja realna funkcija i X slučajna varijabla čija je slika S. Tada je ( )g X također slučajna varijabla. Njezina slika je skup 1 : ( ) :S g s s S= ∈ , a tablica razdiobe:

1 2

1 2

( ) ( ) ... ( ) ...( )

... ...n

n

g s g s g sg X

p p p

∼

Čebiševljev poučak za diskretne slučajne varijable:

Neka je X varijabla s očekivanjem ( )E X i standardnom devijacijom σ . Tada za svaki 0α > vrijedi nejednakost:

[ ]( ) 2

1( ) , ( ) 1P X E X E Xα σ α σ

α∈ − ⋅ + ⋅ > − .



Pregled


za pismeni ispit


4.1. Diskretna jednolika slučajna varijabla i diskretna jednolika razdioba

Kažemo da je varijabla X jednolika diskretna slučajna varijabla ako je njezina slika konačan skup 1,..., nS s s= ⊂ ℤ i ako je pripadna funkcija vjerojatnosti [ ]: 0, 1f →ℤ dana pravilom:

1, za ,

( )0, inače.

x Sf x n

∈

=

Pišemo: ( )X U n∼ i kažemo da X ima jednoliku razdiobu.

Očekivanje, varijanca i standardna devijacija jednolike varijable X s parametrom n su redom dani formulama:

2

2

1( ) ,

2

1( ) ,

12

3 ( 1)( ) .

6

nE X

nV X

nXσ

+=

−

= ⋅ −

=

4.2. Binomna slučajna varijabla i binomna razdioba

Neka je X varijabla koja označava broj ukupan broj uspjeha u n–terostrukom ponavljanju slučajnoga pokusa modeliranoga Bernoullijevom shemom (vidjeti stranicu 8.) Tada kažemo da je X binomna slučajna varijabla s parametrima n i p. Pišemo: ( , )X B n p∼ i kažemo da varijabla X ima binomnu razdiobu.

Slika varijable X je skup [ ]0n . Funkcija vjerojatnosti [ ]: 0, 1f →ℤ varijable X je dana

pravilom:

[ ]

[ ]

0

0

: (1 ) , za svaki ,( )

0, za \ .

k n k

k

np p p k n

kf k

k n

−

= ⋅ ⋅ − ∈ = ∈ ℤ

Pripadna tablica razdiobe je:

0 1

0 1 ....

... n

nX

p p p

∼

Iz definicije funkcije f slijedi:

0

11

11

(1 ) ,

(1 ) ,

(1 ),

.

n

n

n

n

n

n

p p

p n p p

p n p p

p p

−

−

−

= −

= ⋅ ⋅ −

= ⋅ ⋅ −

=

⋮



Pregled


za pismeni ispit


Očekivanje, varijanca i standardna devijacija varijable ( , )X B n p∼ su dane formulama:

( ) ,

( ) (1 ),

( ) (1 ).

E X n p

V X n p p

X n p pσ

= ⋅

= ⋅ ⋅ −

= ⋅ ⋅ −

4.3. Poissonova slučajna varijabla i Poissonova razdioba

Kažemo da je varijabla X Poissonova slučajna varijabla s parametrom 0λ > ako je slika te varijable skup 0ℕ i ako je pripadna funkcija vjerojatnosti [ ]: 0, 1f →ℤ dana pravilom:

0

0

: , za ;( ) !

0, za \ .

k

kp e kf k k

k

λλ −= ⋅ ∈

= ∈

ℕ

ℤ ℕ

Pišemo: ( )X Po λ∼ i kažemo da X ima Poissonovu razdiobu s parametrom λ .

Za velike vrijednosti broja n i male vrijednosti vjerojatnosti p binomnu razdiobu ( , )B n p možemo dobro aproksimirati Poissonovom razdiobom s parametrom n pλ = ⋅ . Preciznije, vrijedi sljedeći

Poissonov poučak:

Neka je ( , )X B n p∼ . Ako istovremeno , 0 i const.n p n p λ→ +∞ → ⋅ → = , onda vrijedi aproksimacija:

(1 ) .!

kk n k

np p e

k k

λλ− − ⋅ ⋅ − ≈ ⋅

Ovaj poučak se često koristi u sljedećem obliku:

Poučak 1.

Neka su n ∈ℕ i [ ]0, 1p∈ takvi da vrijede nejednakosti:

20,

10.

n

n p

≥

⋅ <

Neka je ( , )X B n p∼ . Tada vrijedi aproksimacija:

( )( )

!

kn pn p

P X k ek

− ⋅⋅= ≈ ⋅ .

Pripadna tablica razdiobe je:

0 1 2

0 1 2 ...

...X

p p p

∼ .



Pregled


za pismeni ispit


Vrijednosti funkcije vjerojatnosti Poissonove slučajne varijable u određenim slučajevima navedene su u tablicama 8. i 9. (vidjeti stranicu 28.)

Iz definicije funkcije f slijedi:

0

1

22

,

,

1,

2

p e

p e

p e

λ

λ

λ

λ

λ

−

−

−

=

= ⋅

= ⋅ ⋅

⋮

Očekivanje i varijanca varijable ( )X Po λ∼ jednaki su λ . Standardna devijacija te varijable

jednaka je λ .

4.4. Geometrijska slučajna varijabla i geometrijska razdioba

Pretpostavimo da neki slučajni pokus koji ima točno dva ishoda (uspjeh i neuspjeh) izvodimo sve dok se prvi put ne dogodi uspjeh. Neka je p vjerojatnost ostvaraja uspjeha u svakom slučajnom pokusu. Neka je X slučajna varijabla koja mjeri ukupan broj ponavljanja pokusa sve do pojave uspjeha (uračunavajući i pokus čiji je ishod uspjeh).

Varijablu X nazivamo geometrijska slučajna varijabla s parametrom p. Pišemo: ( )X G p∼ i kažemo da X ima geometrijsku razdiobu.

Slika varijable X je skup ℕ. Njezina funkcija vjerojatnosti [ ]: 0, 1f →ℤ je dana pravilom:

1(1 ) , za ;( )

0, za \ .

kp p k

f kk

− − ⋅ ∈=

∈

ℕ

ℤ ℕ

Pripadna funkcija razdiobe vjerojatnosti [ ]: 0, 1F →ℕ je dana pravilom:

( ) 1 (1 )kF k p= − − .

Iz definicije funkcije F slijedi:

( 1) ,

( ) 1 (1 ) , .

( ) (1 ) ,

k

k

P X p

P X k pk

P X k p

= =

≤ = − −∀ ∈

> = −ℕ

Očekivanje, varijanca i standardna devijacija varijable ( )X G p∼ su redom:

2

1( ) ,

1( ) ,

1( ) .

E Xp

pV X

p

pX

pσ

=

−

= − =



Pregled


za pismeni ispit


4.5. Hipergeometrijska slučajna varijabla i hipergeometrijska razdioba

Pretpostavimo da u skupu od N elemenata njih točno M ima obilježje o (npr. „škart“, element 1. klase i sl.). Iz promatranoga skupa odaberemo uzorak od n elemenata. Neka je X slučajna varijabla koja mjeri koliko od tih n elemenata iz uzorka ima obilježje o.

Varijablu X nazivamo hipergeometrijska slučajna varijabla s parametrima N, M i n. Pišemo: ( , , )X H N M n∼ i kažemo da X ima hipergeometrijsku razdiobu.

Slika varijable ( , , )X H N M n∼ je skup

: max 0, min , .S k n M N k M n= ∈ + − ≤ ≤ℤ

Njezina funkcija vjerojatnosti [ ]: 0, 1f →ℤ je dana pravilom:

: , za ;

( )

0, za \ .

k

M N M

k n kp k S

Nf k

n

k S

− ⋅ − = ∈

=

∈ ℤ

Pripadna tablica razdiobe je dana shemom:

0 1

max 0, max 0, 1 ... min ,.

... k

n M n n M n n MX

p p p

+ − + − + ∼

Očekivanje, varijanca i standardna devijacija varijable ( , , )X H M m n∼ su redom:

2

( ) ,

( ) ( )( ) ,

( 1)

1 ( ) ( )( ) .

1

ME X n

N

M N M N n nV X

N N

M N M N n nX

N Nσ

= ⋅

⋅ − ⋅ − ⋅

=⋅ −

⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅

−

Napomena: U slučaju velikoga broja elemenata osnovnoga skupa (N) i relativno maloga broja elemenata uzorka (M) hipergeometrijska razdioba ( , , )H M m n može se dobro aproksimirati binomnom razdiobom B(n, p), pri čemu treba uzeti:

Mp

N= .



Pregled


za pismeni ispit


5. NEPREKIDNE (KONTINUIRANE) SLUČAJNE VARIJABLE

Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor i neka je S ⊆ ℝ neprebrojiv skup. (Obično uzimamo

da je S otvoreni/poluotvoreni/poluzatvoreni/zatvoreni interval, unija takvih intervala i sl.). Svaku slučajnu varijablu :X SΩ → čija je slika skup S nazivamo neprekidna (kontinuirana) slučajna varijabla.

Za svaku neprekidnu slučajnu varijablu X vrijedi:

( ) 0, .P X s s S= = ∀ ∈

Neprekidna slučajna varijabla X zadaje se svojom funkcijom gustoće vjerojatnosti. Preciznije, funkcija gustoće vjerojatnosti varijable X je funkcija [: 0,f → +∞ℝ koja ima

sljedeća svojstva:

. ( ) 0, .

. ( ) ( ) d .

. ( ) d 1.

b

a

f x x

P a X b f x x

f x x

+∞

−∞

≥ ∀ ∈

≤ ≤ = ⋅

⋅ =

∫

∫

1

2

3

ℝ

Funkcija f određuje vjerojatnost da varijabla X poprimi proizvoljnu vrijednost iz nekoga intervala.

Funkcija razdiobe vjerojatnosti varijable X je funkcija [: 0,F → +∞ℝ definirana pravilom:

( ) ( ) d .x

F x f t t−∞

= ⋅∫

Funkcija F određuje vjerojatnost da varijabla X poprimi vrijednost ne veću od x. Preciznije, vrijedi jednakost:

( ) ( ) ( ).F x P X x P X x= ≤ = <

Funkcija F ima sljedeća svojstva :

'

. lim ( ) 1.

. lim ( ) 0.

. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

. ( ) ( ), .

x

x

F x

F x

P a X b P a X b P a X b P a X b F b F a

F x f x x

→+∞

→−∞

=

=

≤ ≤ = < ≤ = ≤ < = < < = −

= ∀ ∈

1

2

3

4 ℝ



Pregled


za pismeni ispit


Očekivanje, varijanca i standardna devijacija varijable X definirani su redom formulama:

( ) ( )

( )

2 22

22

( ) ( ) d .

( ) ( ) ( ) d ( ) d ( ) .

( ) ( ) ( ) d ( ) .

E X x f x x

V X x E X f x x x f x x E X

X V X x f x x E Xσ

+∞

−∞

+∞ +∞

−∞ −∞

+∞

−∞

= ⋅ ⋅

= − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ −

= = ⋅ ⋅ −

∫

∫ ∫

∫

Neka korisna svojstva očekivanja, varijance i standardne devijacije varijable X su:

1. ( )( ) ( ) ( )2 22 ( ) ( ) ( ) .V X E X E X E X E X= − = −

2. Neka je Y = g(X), gdje je g realna funkcija jedne realne varijable. Tada je Y neprekidna slučajna varijabla čije je očekivanje dano pravilom:

( ) ( ) ( ) d .E Y g x f x x

+∞

−∞

= ⋅ ⋅∫

3. Ako je Y a X b= ⋅ + , gdje su , , 0,a b a∈ ≠ℝ onda je Y neprekidna slučajna varijabla. Očekivanje, varijanca i standardna devijacija te varijable su redom dani izrazima:

2

( ) ( ) ,

( ) ( ),

( ) ( ).

E Y a E X b

V Y a V X

Y a Xσ σ

= ⋅ +

= ⋅ = ⋅

5.1. Neprekidna jednolika slučajna varijabla i neprekidna jednolika razdioba

Neka je X neprekidna slučajna varijabla čija je slika [ ], a b , gdje su , a b∈ℝ takvi da je

.a b< Kažemo da je X neprekidna jednolika slučajna varijabla ako je njezina funkcija gustoće vjerojatnosti [: 0,f → +∞ℝ dana pravilom:

[ ]1

, za , ;( )

0, inače.

x a bf x b a

∈

= −

Pišemo: ( , )X U a b∼ i kažemo da X ima neprekidnu jednoliku razdiobu s parametrima a i

b. Pripadna funkcija razdiobe vjerojatnosti [: 0,F → +∞ℝ je dana pravilom:

[ ]

0, za ;

( ) , za , ;

1, za .

x a

x aF x x a b

b a

x b

< −

= ∈−

>



Pregled


za pismeni ispit


Neka je ( , )X U a b∼ . Očekivanje, varijanca i standardna devijacija varijable X su redom:

2

( ) , 2

( )( ) ,

12

3( ) ( ).

6

a bE X

b aV X

X b aσ

+=

−

=

= ⋅ −

5.2. Eksponencijalna slučajna varijabla i eksponencijalna razdioba

Neka je X neprekidna slučajna varijabla čija je slika [0,+∞ . Neka je 0a > . Kažemo da je X

eksponencijalna slučajna varijabla ako je njezina funkcija gustoće vjerojatnosti

[: 0,f → +∞ℝ dana pravilom:

, za 0;( )

0, za 0.

a xa e xf x

x

− ⋅ ⋅ >=

≤

Pišemo: ( )X Ex a∼ i kažemo da X ima eksponencijalnu razdiobu. Pripadna funkcija

razdiobe vjerojatnosti [: 0,F → +∞ℝ je dana pravilom:

1 , za 0,( )

0, za 0.

a xe xF x

x

− ⋅ − >=

≤

Očekivanje, varijanca i standardna devijacija eksponencijalne slučajne varijable X su redom:

2

1( ) ,

1( ) ,

1( ) .

E Xa

V Xa

Xa

σ

=

=

=



Pregled


za pismeni ispit


5.3. Normalna slučajna varijabla i normalna razdioba

Neka je X neprekidna slučajna varijabla čija je slika skup R. Neka su i 0µ σ∈ >ℝ

proizvoljne konstante. Kažemo da je X normalna slučajna varijabla ako je njezina funkcija gustoće vjerojatnosti [: 0,f → +∞ℝ dana pravilom:

2

2

( )

21

( ) .2

x

f x e

µ

σ

σ π

−−

⋅= ⋅⋅ ⋅

Pišemo: ( )2, X N µ σ∼ i kažemo da X ima normalnu razdiobu s parametrima µ i 2σ .

Pripadnu funkciju razdiobe vjerojatnosti F nije moguće zapisati analitički (pomoću zatvorene formule), pa se njezine vrijednosti određuju približno numeričkim metodama.

Očekivanje, varijanca i standardna devijacija varijable ( )2, X N µ σ∼ su redom:

2

( ) ,

( ) ,

( ) .

E X

V X

X

µ

σ

σ σ

=

= =

Posebno, za 0µ = i 1σ = dobivamo standardnu ili jediničnu normalnu slučajnu varijablu.

Pišemo: ( )0, 1X N∼ i kažemo da X ima standardnu ili jediničnu normalnu razdiobu.

Pripadna funkcija gustoće te varijable je funkcija [: 0,f → +∞ℝ definirana pravilom:

21

21

( ) .2

x

f x eπ

− ⋅

= ⋅⋅

Njezina funkcija razdiobe označava se s *F . Vrijednosti te funkcije prikazane su u Tablici 7. (vidjeti stranicu 27.). Za te vrijednosti vrijedi jednakost:

* *( ) 1 ( ), 0.F x F x x− = − ∀ ≥

Računanje vrijednosti funkcije razdiobe slučajne varijable ( )2, X N µ σ∼ svodi se na

računanje vrijednosti funkcije razdiobe slučajne varijable (0,1)X

Y Nµ

σ

−= ∼ . Preciznije,

ako su * i F F redom funkcija razdiobe varijable X i funkcija razdiobe varijable Y, tada vrijede sljedeće jednakosti:

*

* *

. ( ) .

. ( ) ( ) ( ) ( ) .

xF x F

b aP a X b P a X b P a X b P a X b F F

µ

σ

µ µ

σ σ

− =

− − < < = ≤ < = < ≤ = ≤ ≤ = −

1

2



Pregled


za pismeni ispit


5.4. Čebiševljeva nejednakost za neprekidne slučajne varijable. Pravilo 3 σ⋅ .

Neka je X neprekidna slučajna varijabla čije je očekivanje ( )E X < +∞ . Tada za svaki 0ε > vrijedi nejednakost:

( ) 2

( )( ) .

V XP X E X ε

ε− ≥ ≤

Ova ocjena može se poboljšati. Vrijedi sljedeći:

Poučak 1. Neka su ( )2, X N µ σ∼ i k ∈ℕ . Tada vrijedi:

( ) *2 ( ) 1.P X k F kµ σ− < ⋅ = ⋅ −

Korolar 1. (pravilo 3 σ⋅ ) Neka je ( )2, X N µ σ∼ . Tada se u segmentu [ ]3 , 3µ σ µ σ− ⋅ + ⋅

nalazi ukupno 99.73% svih vrijednosti varijable X.

5.5. Granični poučci u Bernoullijevoj shemi

Uz određene uvjete binomnu razdiobu možemo aproksimirati Poissonovom, odnosno normalnom razdiobom. Preciznije, vrijede sljedeći poučci:

Poučak 2. (lokalni de Moivrè – Laplaceov poučak) Neka je 0, 1p∈ . Za dovoljno velike

n ∈ℕ i niz ( )n nX ∈ℕ binomnih slučajnih varijabli ( , )nX B n p∼ vrijedi:

2( )

2 (1 )1( ) , .

2 (1 )

k n p

n p pP X k e kn p pπ

− ⋅−

⋅ ⋅ ⋅ −= ≈ ⋅ ∀ ∈⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

ℕ

Napomena: U gornjoj aproksimaciji se praktično uzimaju svi n ∈ℕ takvi da je 10.n p⋅ ≥

Poučak 3. (integralni de Moivrè – Laplaceov poučak) Neka su 0, 1p∈ i ( )n nX ∈ℕ niz

binomnih slučajnih varijabli ( , )nX B n p∼ . Tada za sve , a b∈ℝ takve da je a b≤ vrijedi:

* *( )(1 ) (1 )

n

b n p a n pP a X b F F

n p p n p p

− ⋅ − ⋅≤ ≤ ≈ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −

.

Napomene:

1.) I u gornjoj aproksimaciji se praktično uzimaju svi n ∈ℕ takvi da je 10.n p⋅ ≥

2.) Umjesto aproksimacije u Poučku 3. često se koristi bolja aproksimacija:

* *

1 12 2( )

(1 ) (1 )

b n p a n p

P a X b F Fn p p n p p

+ − ⋅ − − ⋅

≤ ≤ ≈ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −

.



Pregled


za pismeni ispit


6. DODATAK

Tablica 6. Tablica nekih standardnih antiderivacija

Funkcija f Standardna antiderivacija F

a a x⋅

( ) , 1, 0na x b n a⋅ + ≠ − ≠ 11 1( )

1na x b

a n

+⋅ ⋅ ⋅ ++

2 , 0ax b a+ > ( )2 2ln2 2

x ba x b a x a x b

a⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ +

⋅

2 2 2 , , 0b a x a b− ⋅ > 2

2 2 2 arcsin2 2

x b a xb a x

a b

⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅

⋅

1, 0a

a x b≠

⋅ ±,

1ln a x b

a⋅ ⋅ ±

2 2 2

1, , 0a b

a x b>

⋅ +

1arctg

ax

a b b

⋅ ⋅

⋅

2 2 2

1, , 0a b

a x b>

⋅ − 1

ln2

a x b

a b a x b

⋅ −⋅

⋅ ⋅ ⋅ +

2 2 2

1, , 0a b

b a x>

− ⋅

1ln

2

a x b

a b a x b

⋅ +⋅

⋅ ⋅ ⋅ −

2 2 2

1, , 0a b

a x b>

⋅ +

2 2 21ln a x a x b

a⋅ ⋅ + ⋅ +

2 2 2

1, , 0a b

a x b>

⋅ −

2 2 21ln a x a x b

a⋅ ⋅ + ⋅ −

2 2 2

1, , 0a b

b a x>

− ⋅

1arcsin

ax

a b

⋅ ⋅

, 0xa a >

1

lnxa

a⋅

, 0a x be a

⋅ + ≠

1 a x be

a

⋅ +⋅

sin( ), 0a x b a⋅ + ≠ 1

cos( )a x ba

− ⋅ ⋅ +

cos( ), 0a x b a⋅ + ≠ 1

sin( )a x ba

⋅ ⋅ +

tg( ), 0a x b a⋅ + ≠ 1

ln cos( )a x ba

− ⋅ ⋅ +

ctg( ), 0a x b a⋅ + ≠ 1

ln sin( )a x ba

⋅ ⋅ +

Formula za djelomičnu (parcijalnu) integraciju: d du v u v v u⋅ = ⋅ − ⋅∫ ∫



Pregled


za pismeni ispit


Tablica 7. Tablica vrijednosti funkcije razdiobe vjerojatnosti za standardnu normalnu slučajnu varijablu (0, 1)X N∼ čija je funkcija razdiobe vjerojatnosti

21* 2

1( ) d

2

xt

F x e tπ

− ⋅

−∞

= ⋅ ⋅⋅

∫

x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.50000 0.50399 0.50798 0.51197 0.51595 0.51994 0.52392 0.52790 0.53188 0.53586 0.1 0.53983 0.54380 0.54776 0,55172 0.55567 0.55962 0.56356 0.56749 0.57142 0.57535 0.2 0.57926 0.58317 0.58706 0.59095 0.59483 0.59871 0.60257 0.60642 0.61026 0.61409 0.3 0.61791 0.62172 0.62552 0.62930 0.63307 0.63683 0.64058 0.64431 0.64803 0.65173 0.4 0.65542 0.65910 0.66276 0.66640 0.67003 0.67364 0.67724 0.68082 0.68439 0.68793 0.5 0.69146 0.69497 0.69847 0.70194 0.70540 0.70884 0.71226 0.71566 0.71904 0.72240 0.6 0.72575 0.72907 0.73237 0.73565 0.73891 0.74215 0.74537 0.74857 0.75175 0.75490 0.7 0.75804 0.76115 0.76424 0.76730 0.77035 0.77337 0.77637 0.77935 0.78230 0.78524 0.8 0.78814 0.79103 0.79389 0.79673 0.79955 0.80234 0.80511 0.80785 0.81057 0.81327 0.9 0.81594 0.81859 0.82121 0.82381 0.82639 0.82894 0.83147 0.83398 0.83646 0.83891 1.0 0.84134 0.84375 0.84614 0.84849 0.85083 0.85314 0.85543 0.85769 0.85993 0.86214 1.1 0.86433 0.86650 0.86864 0.87076 0.87286 0.87493 0.87698 0.87900 0.88100 0.88298 1.2 0.88493 0.88686 0.88877 0.89065 0.89251 0.89435 0.89617 0.89796 0.89973 0.90147 1.3 0.90320 0.90490 0.90658 0.90824 0.90988 0.91149 0.91309 0.91466 0.91621 0.91774 1.4 0.91924 0.92073 0.92220 0.92364 0.92507 0.92647 0.92785 0.92922 0.93056 0.93189 1.5 0.93319 0.93448 0.93574 0.93699 0.93822 0.93943 0.94062 0.94179 0.94295 0.94408 1.6 0.94520 0.94630 0.94738 0.94845 0.94950 0.95053 0.95154 0.95254 0.95352 0.95449 1.7 0.95543 0.95637 0.95728 0.95818 0.95907 0.95994 0.96080 0.96164 0.96246 0.96327 1.8 0.96407 0.96485 0.96562 0.96638 0.96712 0.96784 0.96856 0.96926 0.96995 0.97062 1.9 0.97128 0.97193 0.97257 0.97320 0.97381 0.97441 0.97500 0.97558 0.97615 0.97670 2.0 0.97725 0.97778 0.97831 0.97882 0.97932 0.97982 0.98030 0.98077 0.98124 0.98169 2.1 0.98214 0.98257 0.98300 0.98341 0.98382 0.98422 0.98461 0.98500 0.98537 0.98574 2.2 0.98610 0.98645 0.98679 0.98713 0.98745 0.98778 0.98809 0.98840 0.98870 0.98899 2.3 0.98928 0.98956 0.98983 0.99010 0.99036 0.99061 0.99086 0.99111 0.99134 0.99158 2.4 0.99180 0.99202 0.99224 0.99245 0.99266 0.99286 0.99305 0.99324 0.99343 0.99361 2.5 0.99379 0.99396 0.99413 0.99430 0.99446 0.99461 0.99477 0.99492 0.99506 0.99520 2.6 0.99534 0.99547 0.99560 0.99573 0.99585 0.99598 0.99609 0.99621 0.99632 0.99643 2.7 0.99653 0.99664 0.99674 0.99683 0.99693 0.99702 0.99711 0.99720 0.99728 0.99736 2.8 0.99744 0.99752 0.99760 0.99767 0.99774 0.99781 0.99788 0.99795 0.99801 0.99807 2.9 0.99813 0.99819 0.99825 0.99831 0.99836 0.99841 0.99846 0.99851 0.99856 0.99861 3.0 0.99865 0.99869 0.99874 0.99878 0.99882 0.99886 0.99889 0.99893 0.99896 0.99900

Uputa za primjenu tablice:

Znamenku jedinica i znamenku desetinki treba pronaći u recima, dok znamenku stotinki treba pronaći u stupcima. Npr. *(1.23)F očita se na presjeku retka 1.2 i stupca 0.03:

*(1.23) 0.89065.F =

Vrijednosti funkcije *F za [ 3,0x ∈ − dobiju se korištenjem svojstva:

[ ]* *( ) 1 ( ), 0, 3 .F x F x x− = − ∀ ∈

Npr.

* *( 1.23) 1 (1.23) 1 0.89065 0.10935.F F− = − = − =



Pregled


za pismeni ispit


Tablice 8. i 9. Tablice vrijednosti funkcije vjerojatnosti za Poissonovu slučajnu varijablu ( )X Po λ∼ čija je funkcija razdiobe vjerojatnosti

( )!

k

P X k ek

λλ −= = ⋅

k λ

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0 0.904837 0.818731 0.740818 0.670320 0.606531 0.548812 0.496585 0.449329 0.406570 1 0.090484 0.163746 0.222245 0.268128 0.303265 0.329287 0.347610 0.359463 0.365913 2 0.004524 0.016375 0.033337 0.053626 0.075816 0.098786 0.121663 0.143785 0.164661 3 0.000151 0.001092 0.003334 0.007150 0.012636 0.019757 0.028388 0.038343 0.049398

4 0.000004 0.000055 0.000250 0.000715 0.001580 0.002964 0.004968 0.007669 0.011115 5 0 0.000002 0.000015 0.000057 0.000158 0.000356 0.000696 0.001227 0.002001

6 0 0 0.000001 0.000004 0.000013 0.000036 0.000081 0.000164 0.000300 7 0 0 0 0 0.000001 0.000003 0.000008 0.000019 0.000039 8 0 0 0 0 0 0 0.000001 0.000002 0.000004

k λ

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0.367879 0.135335 0.049787 0.018316 0.006738 0.002479 0.000912 0.000335 0.000123 1 0.367879 0.270671 0.149361 0.073263 0.033690 0.014873 0.006383 0.002684 0.001111 2 0.183940 0.270671 0.224042 0.146525 0.084224 0.044618 0.022341 0.010735 0.004998 3 0.061313 0.180447 0.224042 0.195367 0.140374 0.089235 0.052129 0.028626 0.014994 4 0.015328 0.090224 0.168031 0.195367 0.175467 0.133853 0.091226 0.057252 0.033737 5 0.003066 0.036089 0.100819 0.156293 0.175467 0.160623 0.127717 0.091604 0.060727 6 0.000511 0.012030 0.050409 0.104196 0.146223 0.160623 0.149003 0.122138 0.091090 7 0.000073 0.003437 0.021604 0.059540 0.104445 0.137677 0.149003 0.139587 0.117116 8 0.000009 0.000859 0.008102 0.029770 0.065278 0.103258 0.130377 0.139587 0.131756 9 0.000001 0.000191 0.002701 0.013231 0.036266 0.068838 0.101405 0.124077 0.131756

10 0 0.000038 0.000810 0.005292 0.018133 0.041303 0.070983 0.099262 0.118580 11 0 0.000007 0.000221 0.001925 0.008242 0.022529 0.045171 0.072190 0.097020 12 0 0.000001 0.000055 0.000642 0.003434 0.011264 0.026350 0.048127 0.072765 13 0 0 0.000013 0.000197 0.001321 0.005199 0.014188 0.029616 0.050376 14 0 0 0.000003 0.000056 0.000472 0.002228 0.007094 0.016924 0.032384 15 0 0 0.000001 0.000015 0.000157 0.000891 0.003311 0.009026 0.019431 16 0 0 0 0.000004 0.000049 0.000334 0.001448 0.004513 0.010930 17 0 0 0 0.000001 0.000014 0.000118 0.000596 0.002124 0.005786 18 0 0 0 0 0.000004 0.000039 0.000232 0.000944 0.002893 19 0 0 0 0 0.000001 0.000012 0.000085 0.000397 0.001370 20 0 0 0 0 0 0.000004 0.000030 0.000159 0.000617 21 0 0 0 0 0 0.000001 0.000010 0.000061 0.000264 22 0 0 0 0 0 0 0.000003 0.000022 0.000108 23 0 0 0 0 0 0 0.000001 0.000008 0.000042 24 0 0 0 0 0 0 0 0.000003 0.000016 25 0 0 0 0 0 0 0 0.000001 0.000006 26 0 0 0 0 0 0 0 0 0.000002 27 0 0 0 0 0 0 0 0 0.000001

Uputa za primjenu tablica: Vrijednost parametra λ treba potražiti u stupcima, a vrijednost varijable k u recima. Npr. :

– za 0.2λ = i 2k = je 0.0( 2) 16375;P X = =

– za 5λ = i 8k = je 0.0( 8) 65278.P X = =



Pregled


za pismeni ispit


POPIS KORIŠTENIH OZNAKA

ℕ : 1, 2, 3,...= - skup prirodnih brojeva;

ℕ0 := 0, 1, 2,... - skup nenegativnih cijelih brojeva;

[ ]n := 1, 2, 3,..., n - skup prvih n prirodnih brojeva;

[ ]0n := 0, 1, 2, 3,..., n - skup prvih 1n + nenegativnih cijelih brojeva,

: ..., 2, 1, 0, 1, 2,...= − −ℤ - skup cijelih brojeva;

ℝ - skup realnih brojeva; ℂ - skup kompleksnih brojeva; card( )A := ukupan broj (međusobno različitih) elemenata skupa A;

POPIS TABLICA

1. Tablica 1. Izračun potpunih srednjih vrijednosti 12 2. Tablica 2. Izračun položajnih srednjih vrijednosti 12 3. Tablica 3. Izračun mjera raspršenja 12 4. Tablica 4. Skala intenziteta varijabiliteta koeficijenta kvartilne devijacije 13 5. Tablica 5. Skala intenziteta varijabiliteta koeficijenta varijacije 13 6. Tablica 6. Tablica nekih standardnih antiderivacija 26 7. Tablica 7. Tablica vrijednosti funkcije razdiobe vjerojatnosti za standardnu

normalnu slučajnu varijablu 27 8. Tablice 8. i 9. Tablice vrijednosti funkcije vjerojatnosti za Poissonovu

slučajnu varijablu 28



Pregled


za pismeni ispit


KAZALO POJMOVA

algebra događaja 5

apsolutna frekvencija 9

- "manje od" 9

- "veće od" 9

- korigirana 11

- kumulativni niz 9

Bernoullijeva shema 8

binomna razdioba 17

binomna slučajna varijabla 17

- funkcija vjerojatnosti 17

- očekivanje 18

- slika 17

- standardna devijacija 18

- tablica razdiobe 17

- varijanca 18

binomni koeficijent 4

Čebiševljeva nejednakost 25

Čebiševljevo pravilo u opisnoj statistici 13

de Morganove formule 5

decili 11

diskretna jednolika slučajna varijabla 17

- očekivanje 17


- varijanca 17

diskretna slučajna varijabla 16

- očekivanje 16


- varijanca 16

događaj 5

- elementarni 5

- nemoguć 5

- siguran 5

- suprotan 5

događaji

- disjunktni 5

- nezavisni 7

- operacije s događajima 5



Pregled


za pismeni ispit


duljina statističkoga niza 9

eksponencijalna slučajna varijabla 23

- funkcija gustoće 23

- funkcija razdiobe vjerojatnosti 23

- očekivanje 23


- varijanca 23

formula

- Bayesova 8

- potpune vjerojatnosti 8

funkcija gustoće vjerojatnosti 21

funkcija razdiobe vjerojatnosti 15, 21

funkcija vjerojatnosti 15

geometrijska slučajna varijabla 19



- očekivanje 19

- slika 19


- varijanca 19

hipoteze 7

hipergeometrijska slučajna varijabla 20



- očekivanje 20

- slika 20


- varijanca 20

k-permutacija

- bez ponavljanja 3

- s ponavljanjem 3

kvartil

- donji 11

- gornji 11

medijan 11

mjere raspršenja 11

- apsolutne 11

- relativne 11

mod 10, 11



Pregled


za pismeni ispit


modalitet obilježja 9

neprekidna jednolika slučajna varijabla 22



- očekivanje 23


- varijanca 23

neprekidna slučajna varijabla 22

- očekivanje 22


- varijanca 22

normalna slučajna varijabla 24


- očekivanje 24


- varijanca 24

percentili 10

permutacija

- bez ponavljanja 3

- s ponavljanjem 3

Poissonova slučajna varijabla 18

- očekivanje 19


- tablica razdiobe 18

- varijanca 19

poligon frekvencija 10

potpuni sustav događaja 7

poučak

- binomni 4

- Čebiševljev za diskretne slučajne varijable 16

- integralni de Moivrè-Laplaceov 25

- lokalni de Moivrè-Laplaceov 25

- o uzastopnom prebrojavanju 3

- Poissonov 18

pravilo 3 σ⋅ 25

prostor elementarnih događaja 5

raspon varijacije 11

razdioba

- bimodalna 10



Pregled


za pismeni ispit


- diskretna jednolika 17

- eksponencijalna 23

- geometrijska 19

- hipergeometrijska 20

- multimodalna 10

- neprekidna jednolika 22

- normalna 24

- Poissonova 18

- standardna normalna 24

- unimodalna 10

relativna frekvencija 9

- "manje od" 10

- "veće od" 9

- korigirana 11

- kumulativni niz 10

slučajna varijabla

- diskretna 15

- neprekidna 21

- slika 15

slučajni pokus 5

sredina

- aritmetička 10

- geometrijska 10

- harmonijska 10

srednje apsolutno odstupanje 11, 12

srednje vrijednosti 10

- položajne 10

- potpune 10

standardizirano obilježje 14

standardna devijacija 11, 12

standardna normalna slučajna varijabla 24


- očekivanje 24


- varijanca 24

tablica razdiobe 15

varijanca 11, 12

vjerojatnosni prostor 6

- klasičan 6



Pregled


za pismeni ispit


vjerojatnost

- definicija 6

- geometrijska 6

- uvjetna 7

zatvoreni razred 10

- donja granica 10

- gornja granica 10

- nepravi 10

- pravi 10

- sredina 10

- širina 10



Pregled


za pismeni ispit


LITERATURA

1. N. Elezović: Diskretna vjerojatnost, Element, Zagreb, 2016.

2. N. Elezović: Slučajne varijable, Element, Zagreb, 2016.

3. Ž. Pauše, Uvod u matematičku statistiku, Školska knjiga, Zagreb, 1993.

4. S. Suljagić: Vjerojatnost i statistika, interna skripta, Tehničko veleučilište u Zagrebu, Zagreb, 2003.

5. D. Veljan: Kombinatorna i diskretna matematika, Algoritam, Zagreb, 2001.

Documents

Pregled formula za pismeni ispit (verzija 1.2.)bkovacic.weebly.com/uploads/7/4/0/7/7407552/vis...Vjerojatnost i statistika (preddiplomski stru čni studij elektrotehnike) za pismeni