Preinforme-2

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemáticas

1 Problema 1El problema consiste en calcular la masa de una barra de densidad variable, cuya forma correspondea una curva descrita paramétricamente por:

~r(t) = (x(t), y(t)), 0 ≤ t ≤ 30 (1)

Donde:

x(t) = 2(0.1t+ 1), y(t) = 30.2t+ 1 (2)

La masa de una barra medida desde t = 0 a t = z, viene dada por:

M(z) =∫ z

0dm (3)

Donde el diferencial de masa viene dado por: dm = δ(~r(z))ds. Y donde el diferencial de longitudviene dado por: ds =

√dx2 + dy2. Luego considerando dx/dt = x′ y dy/dt = y′ y reemplazando

se obtiene:ds =

√dx2 + dy2 =

√(x′)2 + (y′)2 dt (4)

Además considerar que la densidad variable viene dada por:

δ(x, y) = 30.2x2 + y2 (5)

Finalmente se llega a que la función de masa tendrá la siguiente forma:

M(z) =∫ z

0δ(x(t), y(t)) ds (6)

M(z) =∫ z

0

30.8(0.1t+ 1)2 + ( 3

0.2t+1)2

√0.04 + 0.36

(0.2t+ 1)4 dt (7)

Datos ya calculados para z y M(z) se muestran en Tabla 1.

z M(z) z M(z) z M(z)0 0 11 1.94697 22 3.068141 0.192813 12 2.08454 23 3.137082 0.38433 13 2.21366 24 3.20223 0.574795 14 2.3347 25 3.263784 0.763903 15 2.4481 26 3.32215 0.950698 16 2.55435 27 3.377396 1.13375 17 2.65394 28 3.429877 1.3115 18 2.74736 29 3.479758 1.48255 19 2.83506 30 3.52729 1.64584 20 2.9174910 1.80075 21 2.99506

Cuadro 1: Datos

MAT270 - Análisis Numérico 1er. Semestre 2015, Preinforme 2 1


1. Plantear el problema de encontrar u de modo de satisfacer la ecuación (8):

M(u) = rd[M(2)] (8)

Cláramente la ecuación (7) posee una antiderivada muy complicada de calcular analíti-camente, es por ello que este problema se solucionará con un método iterativo, como elalgoritmo de Newton, luego considerando la función:

F (u) = M(u)− rd[M(2)] (9)

Donde M(u) se obtiene desde la ecuación (7) y rd[M(5)] = rd[0.950698] = 0.95 se obtienedesde Tabla 1. Luego se puede apreciar que se debe buscar un valor u de modo que F (u) = 0.Luego:

F (u) =∫ u

0

30.8(0.1t+ 1)2 + ( 3

0.2t+1)2

√0.04 + 0.36

(0.2t+ 1)4 dt− 0.95 (10)

Luego la duda que queda es respecto a si existe solución paraa este problema, luegoobservando la Figura 1 se puede apreciar que la función de F (u) es estrictamente crecientedentro del intervalo que va de u = 0 a u = 30. En base a esto se deduce que existe un us

único tal que F (u) = 0, o sea hay solución única.

0 5 10 15 20 25 30−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

u

F(u

)

Figura 1: Gráfico de M(u) versus u

El gráfico presentado por la Figura 1 sue obtenido desde Matlab utilizando las siguienteslíneas de código:

Dat = xlsread(’T2.xlsx’,’dat’,’C20:D50’); %Carga de datosd1=Dat(1:31);d2=Dat(32:62)-0.95;figure(1);hold on;plot(d1,d2);



xlabel(’u’);ylabel(’F(u)’);grid on;

2. Utilizando un método de convergencia local cuadrática, realice una iteración.Tal como se mencionó en el apartado anterior (apartado 1) se puede apreciar que la funciónF (u) posee una solución difícil de obtener analíticamente, de modo que se debe recurrir aun método de convergencia cuadrática como el Método de Newton, el cual se utilizará acontinuación:

Primero, es necesario mencionar que observando la Figura 1, se puede apreciar que no setrata de un caso de tangencia y por lo tanto se puede aplicar el método de Newton sinmodificar. Luego en la iteración k, dicho método tiene el valor dado por (11):

uk+1 = uk −F (uk)F ′(uk) (11)

Luego se parte de un valor u0 cercano a us que es la solución del problema, para este caso setomará desde la Tabla 1 u0 = 5, luego de la Tabla 1 se deduce queM(u0) = M(5) = 0.950698,por lo tanto F (u0) = F (5) = 0.950698 − 0.95 = 0.000698, por otro lado por el teoremafundamental del cálculo:

F ′(u) = d

du

(∫ u

0

30.8(0.1t+ 1)2 + ( 3

0.2t+1)2

√0.04 + 0.36

(0.2t+ 1)4 dt

)+ 0 (12)

F ′(u) = 30.8(0.1u+ 1)2 + ( 3

0.2u+1)2

√0.04 + 0.36

(0.2u+ 1)4 (13)

Por lo tanto F ′(u0) = F ′(5) = 0.248452. El cual se obtuvo desde el software Matlabutilizando las siguientes líneas de código:

clcclear%Consideraremos G(u)=F’(u)G=inline(’(3./(0.8*(0.1*u+1)^2+(3/(0.2*u+1))^2))*sqrt(0.04+0.36/((0.2*u+1)^4))’)digits(10);vpa(G(5))

Luego el valor de la primera iteración viene dado por:

u1 = u0 −F (u0)F ′(u0) = 5− 0.000698

0.248452 (14)

u1 = 4.99719 (15)

3. ¿Qué dato necesitaría para realizar una segunda iteración?.

Notar que el valor de una segunda iteración vendría dado por la expresión (16):

u2 = u1 −F (u1)F ′(u1) (16)



Donde u1 es conocido, F ′(u1) es fácilmente determinable a través del código ya desarrolladoe implementado en Matlab, sin embargo no sería tan simple obtener el valor de F (u1) yaque se debería hacer el cálculo de:

F (u1) = F (4.99719) =∫ 4.99719

0

30.8(0.1t+ 1)2 + ( 3

0.2t+1)2

√0.09 + 0.36

(0.2t+ 1)4 dt− 0.95

(17)Luego se puede observar que el cálculo asociado a la expresión (21) no es tan simple deobtener y se debe realizar una aproximación de la integral asociada.

2 Problema 2Aproximar la solución del siguiente problema de valores de frontera:

y′′ = 2y3 − xy′, x ∈ [1, 2] (1)y(1) = 1/2, y(2) = 1/3 (2)

Utilizando el método de las diferencias finitas con h = 0.1 se tiene xi = 1 + 0.1i con i = 0, ..., 9.Luego las derivadas y′′(xi) e y′(xi) se aproximan respectivamente por las ecuaciones (3) y (4):

y′′(xi) = y(xi+1)− 2y(xi) + y(xi−1)h2 +O(h2) (3)

y′(xi) = y(xi+1)− y(xi−1)2h +O(h2) (4)

Luego despreciando los restos y reemplazando wi en lugar de y(xi) se obtiene la siguiente ecuaciónpara cada valor de i.

wi+1 − 2wi + wi−1h2 −

(2w3

i − xi

(wi+1 − wi−1

2h

))= 0 (5)

Lo cual conforma un sistema de ecuaciones no lineales, el cual se puede solucionar utilizando elAlgoritmo de Newton. Sea:

~F (~w) = (f0(~w), ..., fi(~w), ..., f9(~w))T = ~0 (6)

Dondefi(~w) = wi+1 − 2wi + wi−1

h2 −(

2w3i − xi

(wi+1 − wi−1

2h

))= 0 (7)

Y donde w0 = 1/2 y w10 = 1/3. Luego dicho algoritmo en la iteración k tendrá la siguiente forma:

W (k+1) = W (k) − [J~F (W (k))]−1 ~F (W (k)) (8)

a) Calcular las líneas de la matriz jacobiana del sistema no lineal correspondiente a lasincógnitas 5, 6 y 7 siendo w1 la primera incógnita.Primero se puede apreciar que la matriz jacobiana viene dada por:

J~F (w1, · · · , w9) =

∂f1∂w1

· · · ∂f1∂w9... . . . ...

∂f9∂w1

· · · ∂f9∂w9



Luego para el caso de las incógnitas 5, 6 y 7 se obtiene:

Q~F (w5, w6, w7) =

∂f1∂w5

∂f1∂w6

∂f1∂w7...

......

∂f9∂w5

∂f9∂w6

∂f9∂w7

Q~F (w5, w6, w7) =

0 0 00 0 00 0 01 + x4h

2 0 0−2− 6w2

5h2 1 + x5h

2 01− x6h

2 −2− 6w26h

2 1 + x6h2

0 1− x7h2 −2− 6w2

7h2

0 0 1− x8h2

0 0 0

Luego reemplazando se obtiene:

Q~F (w5, w6, w7) =

0 0 00 0 00 0 01.07 0 0−2− 0.06w2

5 1.075 00.92 −2− 0.06w2

6 1.080 0.915 −2− 0.06w2

70 0 0.910 0 0

Luego para encontrar los valores de w5, w6 y w7. Se puede apreciar que el jacobiano de ~Ftiene dimendiones 9× 9 y por lo tanto calcular su inversa es un proceso muy complicado,con lo que se procede a utilizar el algoritmo 11.4 del libro Análisis Numérico-Burden& Faires, cuya implementación en Matlab se presenta a continuación y donde además setomó como criterio de detención cuando la diferencia entre iteraciones (v) era del orden de10−8:

a_a=1; a1=1/2; %Alfab_b=2; b1=1/3; %Betah=0.1; %PasoM=13; %Número máximo de iteracionesN=(b_b-a_a)/h-1; %Número de puntos en la malla%PASO 1 y 2 Valores iniciales de wfor i=1:1:(N+2)w(i)=a1+((b1-a1)/(b_b-a_a))*i*h;if i==1

w(i)=a1;elseif i==(N+2)

w(i)=b1; end end%PASO 3 y 4 k=1 while



k=1;% f=inline(’(1/8)*(32+2*a2^3-b2*(c2))’);while k <= M

%PASO 5x(1)=a_a+h;t(1)=(w(2+1)-a1)/(2*h);a(1)=2+(h^2)*(2*(w(1+1))^3-(x(1))*(t(1)));b(1)=-1+(h/2)*(2*(w(1+1))^3-(x(1))*(t(1)));c(1)=0;d(1)=-(2*w(2)-w(3)-a1+(h^2)*(2*(w(1+1))^3-(x(1))*(t(1))));%PASO 6

for i=2:1:(N-1)x(i)=a_a+i*h;t(i)=(w((i+1)+1)-w((i+1)-1))/(2*h);a(i)=2+(h^2)*(2*(w(i+1))^3-(x(i))*(t(i)));b(i)=-1+(h/2)*(2*(w(i+1))^3-(x(i))*(t(i)));c(i)=-1-(h/2)*(2*(w(i+1))^3-(x(i))*(t(i)));d(i)=-(2*w((i+1))-w((i+1)+1)-w((i+1)-1)+(h^2)*(2*(w(i+1))^3-(x(i))*(t(i)))); end

%PASO 7x(N)=b_b-h;t(N)=(b1-w((N+1)-1))/(2*h);a(N)=2+(h^2)*(2*(w(N+1))^3-(x(N))*(t(N)));b(N)=0;c(N)=-1-(h/2)*(2*(w(N+1))^3-(x(N))*(t(N)));d(N)=-(2*w((N+1))-w((N+1)-1)-b1+(h^2)*(2*(w(N+1))^3-(x(N))*(t(N))));%PASO 8l(1)=a(1);u(1)=b(1)/l(1);z(1)=d(1)/l(1);%PASO 9for i=2:1:(N-1)l(i)=a(i)-c(i)*u(i-1);u(i)=b(i)/l(i);z(i)=(d(i)-c(i)*z(i-1))/l(i); end%PASO 10l(N)=a(N)-c(N)*u(N-1);u(N)=0;z(N)=(d(N)-c(N)*z(N-1))/l(N);%PASO 11v(N)=z(N);w(N+1)=w(N+1)+v(N);%PASO 12

j=N-1;while j>=1

v(j)=z(j)-u(j)*v(j+1);w(j+1)=w(j+1)+v(j);j=j-1; end

k=k+1; end



digits(6); vpa(w)

De donde se obtiene: w5 = 0.391120, w6 = 0.374705 y w7 = 0.36156. Finalmente:

Q~F (w5, w6, w7) =

0 0 00 0 00 0 01.07 0 0−2.00918 1.075 00.92 −2.00842 1.080 0.915 −2.007840 0 0.910 0 0

b) Evaluar estas líneas en los puntos cercanos presentados en la

x y 1+xh/2 (-2-6w^h^2) 1-xh/21.0 0.500000 1.0500 -2.0600 0.95001.1 0.676190 1.0550 -2.0726 0.94501.2 0.654545 1.0600 -2.0864 0.94001.3 0.634783 1.0650 -2.1014 0.93501.4 0.616667 1.0700 -2.1176 0.93001.5 0.600000 1.0750 -2.1350 0.92501.6 0.584615 1.0800 -2.1536 0.92001.7 0.570370 1.0850 -2.1734 0.91501.8 0.557143 1.0900 -2.1944 0.91001.9 0.544828 1.0950 -2.2166 0.9050

Cuadro 2: Cálculo de elementos de líneas 5, 6 y 7 de jacobiano de F

Luego reemplazando en Q se obtienen los valores de las líneas 5, 6 y 7 para los valores de xe y presentados en la Tabla 2. Por ejemplo para el punto (1.0, 0.5) se obtiene:

Q~F (w5, w6, w7) =

0 0 00 0 00 0 01.0500 0 0−2.0600 1.0500 00.9500 −2.0600 1.05000 0.9500 −2.06000 0 0.95000 0 0


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