Prérequis d algèbre

Prérequis d’algèbre

1


A. Vocabulaire

3, 4, -11,1/8,…sont des NOMBRES REELS

a, b, c, P, M, …..sont des EXPRESSIONS LITTERALES de nombres réels.

A.B est l’expression littérale d’un PRODUIT (résultat de la multiplication de 2 FACTEURS)

A+.B est l’expression littérale d’une SOMME (résultat de l’addition de 2 TERMES)

A :B ou A

B est l’expression littérale d’un QUOTIENT (résultat de la division de 2

FACTEURS : le NUMERATEUR en haut et le DENOMINATEUR en bas)

la précision 0B qui assure la validité de l’expression ci-dessus est sa CONDITION

d’EXISTENCE (CE)

A B est une EGALITE entre 2 MEMBRES (une EQUATION, si l’un des membres contient

une inconnue variable comme x).

B. Priorité des opérations

1) Effectuer ce qui est entre parenthèses, en commençant par l’intérieur de l’expression

2) Effectuer les puissances et radicaux

3) Et quotients s’il n’y a plus de ( )

4) Effectuer les sommes et différences s’il n’y a plus de ( ) ni de produits et/ou quotients

EXPLE 1 : pour effectuer (3.4 2).5 3 , on fait successivement

( 2).5 312 A l’intérieur de la parenthèse prioritaire, le produit domine

(14).5 3 La parenthèse est prioritaire

70 3 Sans parenthèse, le produit domine

67 Les sommes s’effectuent en dernier lieu

EXPLE 2 : pour 2 . 5 3 4 . 6 3b a a a b b , on fait successivement

8 242 . 3.a ab b b la parenthèse est prioritaire et le produit domine dans

le reste de l’expression

241 . . 36 aab b b Le produit est prioritaire

38 .ab b On regroupe les termes semblables ( 8 . 3).a b Éventuellement on peut mettre en évidence


2

C. Elimination des parenthèses

on enlève simplement les ( ) si elles sont précédées d’un signe +

sinon on regarde quelle opération domine à l’intérieur des ( )

Le signe – précède une

SOMME entre ( )

Le signe – précède un PRODUIT

entre ( )

Le signe – est à l’intérieur d’une

PUISSANCE

( )A B C

A B C

on change les signes de

TOUS les termes

. . .( . ) . . ...

B C B C B CA A A

D D D

on change le signe d’UN SEUL

facteur au choix

, ( )( )

, ( )

n

n

n

A n pairA

A n impair

il DISPARAIT si n est PAIR

il SORT de la ( ) si n est IMPAIR

D. Transformation de sommes en produits et réciproquement

On connaît la règle . . .( )A B AC A B C qui se lit dans les 2 sens

Sens : à condition d’avoir une SOMME de PRODUITS avec un facteur semblable

dans chaque terme, celui-ci se MET EN EVIDENCE

Sens : à condition d’avoir une PRODUIT dont un facteur au moins est une SOMME,

on distribue le produit sur la somme

E. Formules des produits remarquables

1) 2 2 2( ) 2a b a ab b

2) 2 2 2( ) 2a b a ab b

3) 2 2( ).( )a b a b a b

F. Algèbre des fractions

En supposant tous les dénominateurs non nuls,

1) . .

.

A C A D B C

B D B D

chercher le PPCM des dénominateurs et équilibrer les numérateurs.

2) .

..

A C AC

B D B D le produit des numérateurs est divisé par le produit des dénominateurs.

3) .

: ..

A C A D A D

B D B C B C on inverse la fraction-dénominateur, puis on multiplie comme en haut

4) . .A C

A D B CB D : les fractions disparaissent par PRODUIT CROISE


3

G. Algèbre des puissances et radicaux

En supposant 0B et m, n naturels, on a

0 1 .1 . ... .

1. .

nm m n m n m m n

m facteurs

m mmm m m

m m

A A A A A A A A A A A A

A AA A B A B

A B B

H. Simplification

1) les SOMMES sont réduites par élimination des termes opposés et regroupement des termes

semblables.

2) AUCUNE SIMPLIFICATION n’est possible dans les QUOTIENTS, à part celle de FACTEURS

SEMBLABLES au numérateur et dénominateur où le PRODUIT DOMINE :

A .( )B C

A

( )

.

B C

BB

mais

.( )

.

A B C

A B C

ne peut être simplifié car la somme domine au dénominateur

QUELQUES REMARQUES :

1) .( . ) ( . )

. . .

A B D C B D C

A B D C B D C

et aucune autre simplification n’est possible car les sommes

dominent maintenant

2) 2

.( )A B C B C

A A

vu que 2A est un produit

I. Manipulation d’expressions algébriques

x B C x C B On élimine une somme par une différence dans l’autre

membre et réciproquement

.x B C C

xB

On élimine un produit par une division dans l’autre

membre et réciproquement

2x C x C On élimine un carré par l’emploi des racines carrées dans

l’autre membre et réciproquement

3x C 3x C On élimine une puissance 3 par l’emploi de la racine

cubique dans l’autre membre et réciproquement.


4

K. Exercices

1. Effectue

a) 3. 4 2.5

b) 3. 4 2 . 5

c) 3 4.2 5

d) 3 4. 2 5

e) 2(4 5 3) .7

f) 2 2 2(4 5 3 ).7

g) 2 2 24 5 3 . 7

h) 2 24 (5 3) .7

i) 218 (3) .2

j) 2(18 3) .2

k) 2(18 3 ) .2

l) 218 3 . 2

m) 2 3(3 2) .(3 2)

n) 2 2 3 3(3 2 ).(3 2 )

o) 6

(3 2).(3 2)

p) 2 3(3.2) .(3.2)

2. Réduis les expressions suivantes

a) x + x = f) a² + a² = k) - x + 3x = p) a² - 3a² =

b) 2a + a = g) 3a. 2a = l) 2a . (-3b) = q) -a³ - a³ =

c) 3b + 5b = h) 3x . x + x² = m) -x . x² = r) 3b . (-b) =

d) x . x = i) x² + a = n) 2x² - 5x² = s) -4a . (-2a) =

e) 2x . x = j) 4x . 4 = o) 7b - 6b = t) -4a - 2a =

3. Applique la distributivité et réduis les éventuels termes semblables

a) 2 . (a + b) = j) 3. ( 2a - 4b) =

b) a . (b + c) = k) ( x + z) . (y + y) =

c) 2. (b + 4) = l) (2b + 4) . ( a + c) =

d) x . (2x + 3y) = m) 3x . (10 - 2y) =

e) 2a . (a + 2b) = n) (-6x). (a - b) =

f) (a + 1) . (a + 5) = o) (-3a + 5b) . (-2c) =

g) 10c . ( c + c) = p) (a + 4) . ( 12 - a) =

h) (x + y) . (x + z) = q) ( -2 - x) . (7 - 3x) =

i) (2a + b) . (c + d) = r) (2a + 3c) . (b - 4d) =

4. Mets le ou les facteurs communs en évidence

a) 3a + 3b = f) 3a³ + 3a = k) 9a + 12b =

b) 5a + ab = g) 9x + 18x² = l) 32xy + 24xz =

c) 3ax + 5ay = h) 6ab + 2ac = m) 15a² + 10a =

d) a² + a = i) 25d + 35d² = n) 14c + 7cd =

e) 4b² + bc = j) 3a + 300ab =

5. Supprime les parenthèses

a) a + (b + c) = e) b - (a + c) = i) -a - (b - a) =

b) a + (b - c) = f) c - (a - b) = j) b - (a - d) - (c + b) =

c) a + (-b + c) = g) a - (-b - c) = k) - (4a - (2a + 6)) =

d) (a - b) - c = h) -2a + (a + b) = l) 4a - (2b + 8) + (a - b) =


5

6. Applique la distributivité, supprime les éventuelles parenthèses et réduis

a) 5 . ( 3x - 2) + 2 . (x + 1) = f) 2x . (x - 4) - 3x . (2x + 5) =

b) -2 . (a - b) - (a + b) = g) - 3x . (x - 3) - (2x + 1) . (-5 + x) =

c) - (a + c) - 4. (a + d) = h) (2x - 3) . ( x + y) - (x - 8) . (y - 3) =

d) 5. (2a + 3) - 4 . (3 - a) = i) -7 . (-a - b) + a . (2 + b) =

e) 2x - (x - 5) . (4x - 2) = j) (x + 5) . (-3x + 12) - (30 - x) . ( x +10) =

7. Calcule

a) a² . a = f) -6a² . a² = k) (-2x)³ =

b) x² . 4x = g) -3b . (-4b²) = l) (-3x)4 =

c) 5b . b = h) (3a)³ = m) (2ab)² =

d) -2b . b² = i) (4b)² = n) (a²)³ =

e) 2a³ . 3a = j) (-5x)² = o) (-3a)2=

8. Calcule

a) 2 3

5 10 b)

1 2

4 6 = c)

1 7.

3 9 =

d)

3

59

15

= e)

3

5

45

= f)3

9

15

=

g) 24 15 21

8 10 14

h)

33

5

i)

5 1 1.

4 3 2

j) 1 1

3 11 1

2 32 3

= k)

4 5

42 3 .31 5

152 4

= l)

5 7 15

2 3 2:1 4

2 34 3

=

9. Simplifie

a) 5

2

a

a g)

5

4

8

4

a

a m)

2

2

24

6

a

ab

b) 5

8

b

b h)

.

a b

a b

n)

5 30

9 4

15

9

a b

a b

c) 5 2

3 4

.

.

a b

a b i)

9

16

8

a

a

o)

5

2

6 .

27

a a

a

d) 6

2

.a b

a j)

3

12

16

b

b

p) 2 .

4

abab =

e) . .

.

a b c

a c k)

7

2 3

18

21

ab

a b q)

333

2 3

aa

f) 3 2

6

a a

b

l)

4 1.

5 2c d r)

1 3

2 8ab ab


6

10. Calcule en utilisant les produits remarquables lorsque cela est possible

a) ( 6x + 1 ) . ( 1 - 6x ) =

b) ( -7x + 3 )² =

c) ( 2a - 3b ) . ( 3a - 2b ) =

d) ( -3 - a )² =

e) ( 2 - y )² =

f) ( -7a² - 2b ) . ( 2b - 7a² ) =

g) ( - x³ - y² ) . ( -x³ + y² ) =

h) ( -3x)² =

i) ( x - 3 )² =

j) -3 . ( x - 2 ) =

k) - (3 . x )² =

l) 3 - ( x - 2 ) =

m) ( x² + 4 ) . ( x² - 4 ) =

n) ( x² - 4 )² =

o) ( -4x )² =

p) x² . ( x² - 4 ) =

q) (x² - 4 ) - ( x² + 4 ) =

r) ( a + 2 ) . ( a - 3 ) =

s) ( a - 3 )² =

t) ( a + 2) . ( 2 - a ) =

u) ( 2 - a ) . ( 2 + a ) =

v) ( 2 + a ) . ( a - 2 ) =

11. Résous les équations suivantes

a) 6 4x

b) 2

45

x

c) 6 2

5 3x

d) 8

49

x

e) 3

125

x

f) 1

26

x

g) 3 1 3x

h) 3 32

x

i) 2 7

33 2

x

j) 3

2 7

x

k) 3 1

5 3

x

l) 4 3

5 2x

m) 3 3

0,54 8

x

n) 8 15 3 2

.9 4 10 3

x

o) 5 4,12 2,09x

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