Presen KD1 Baru

Suatu grupoid ( S, *) disebut semigrup jika bersifat assosiatif

Suatu grupoid ( S, *) disebut monoid jika bersifat assosiatif dan mempunyai unsur identitas

Dalam monoid ada kemungkinan suatu unsur mempunyai invers kiri atau kanan. Unsur dalam monoid yang mempunyai invers kiri sekaligus invers kanan maka invers kiri itu sama dengan invers kanan.

Unsur dalam monoid yang mempunyai lebih dari satu invers kiri (kanan) tidak mempunyai invers kanan ( kiri )

KD 1 : OPERASI BINER, GRUPOID, MONOID, GRUP, GRUP PERMUTASIKD 2 : ORDER GRUP, GRUP SIKLIK, KOMPLEKS DAN SUBGRUP KD 4 : HOMOMORFISMA, GRUP KOSIEN, TEOREMA DASAR HOMOMORFISMA, ISOMORFISMAKD 3 : KOSET, SUBGRUP NORMAL, GRUP KOSIEN

Buku Referensi

Topic in AlgebraHersteinAbstract Algebra.HersteinBasic Abstract Algebra..BahattacharyaModern AlgebraRaisinghania

Kesepakatan :UKD dilaksanakan pada tatap muka 4Diperbolehkan ikut UKD, jika paling tidak mengikuti 2 kali kuliahUjian susulan hanya untuk mhs yang ijin sebelum UKD dilaksanakanAda nilai tambahan bagi peserta yang aktivitasnya baik

KD 1KD 1 : OPERASI BINER, GRUPOID, MONOID, GRUP, GRUP PERMUTASI

Operasi Biner :

Misal S himpunan tak kosong, Operasi Biner * pada himpunan S adalah suatu fungsi ( pemetaan ) dari SxS ke S.

Dalam lambang fungsi dapat ditulis * : SxS ( S, berarti untuk sebarang s1, s2 di S terdapat dengan tunggal s3 di S sedemikian sehingga *( s1, s2 ) = s3. Selanjutnya jika * merupakan operasi biner pada S nilai fungsi * dari ( s1, s2 ) ditulis sebagai s3 = s1 * s2 .

Operasi biner: kolaborasi himpunan dan aturanOperasi biner yang telah dikenal?+, x, himpunan bil asli+, - , x, himpunan bilangan bulat +, -, x, himpunan bilangan bulat genap tanpa nol:, himpunan bil rasional tanpa nolBisakah mengkonstruksi operasi biner?

Bila anggota himpunan berhingga bisa gunakan tabel

#

A

B

C

D

@

1

2

3

A

A

B

C

D

1

1

2

3

B

A

B

C

D

2

3

1

2

C

A

B

C

D

3

2

3

1

D

A

B

C

D

(1@1)@1=1@(1@1) ??????(1@1)@2=1@(1@2) ??????1@1@3

(3@3)@3=3@(3@3)

SUATU HIMPUNAN YANG DILENGKAPI DENGAN SATU ATAU LEBIH OPERASI BINER DISEBUT STRUKTUR ALJABAR.

Jika S dilengkapi operasi biner * ditulis sebagai ( S, * )

Jika S dilengkapi operasi biner *, & ditulis sebagai ( S, *, & )

Jika S dilengkapi operasi biner *1, *2, , *n, n(N ditulis sebagai

( S, *1, *2, , *n )

Sifat-sifat operasi biner

a. Operasi biner * pada (S , ) disebut bersifat komutatif jika untuk setiap a, b di S berlaku a*b = b*a

b. Operasi biner * pada (S , ) disebut bersifat assosiatif jika untuk setiap a, b , dan c di S berlaku a*(b*c) = (a*b)*c

c. Suatu struktur aljabar (S , *) disebut mempunyai unsur identitas jika terdapat suatu unsure sebut z di S sedemikian sehingga untuk sebarang unsur s di S berlaku z * s = s * z = s

d. Jika suatu sruktur aljabar (S, ) mempunyai unsure identitas z, suatu unsure s di S dikatakan mempunyai invers jika terdapat unsur t di S sedemikian sehingga berlaku s*t = t*s = z

Grupoid yang bersifat assosiatif disebut semigrup

Grupoid adalah sebutan lain dari suatu struktur aljabar

Sifat grupoid terkait unsur identitas kiri/kanan

Grupoid ( S, * )bisa memiliki lebih dari satu unsur identitas kiri atau lebih dari satu identitas kanan. ( a disebut unsur identitas kiri

( kanan ) jika untuk setiap s di S berlaku a*s = s ( s*a = s )

Apakah sifat berikut berlaku pada sebarang struktur aljabar

a. Unsur identitas dalam suatu struktur aljabar adalah tunggal

b. Unsur invers dalam suatu struktur aljabar adalah tunggal

Misal (S,@) suatu struktur aljabar dan x,y unsur identitas.Buktikan x=y.Karena x, unsur identitas maka x@y=y@x=y.Dilain pihak karena y unsur identitas maka x@y=y@x=x.Akibatnya x=x@y=y. Jadi x=yMisal (S,@) suatu struktur aljabar e unsur identitas S dan x,y,z di S sedemikian sehingga x@y=y@x=e dan x@z=z@y=e.Buktikan y=z.Perhatikan y=y@e=y@(x@z)=(y@x)@z=e@z=x.Jadi y=z.

Grupoid yang mempunyai lebih dari satu unsur identitas kiri maka tidak mempunyai unsur identitas kanan

Jika grupoid memiliki unsur identitas kiri dan kanan maka unsur identitas kiri itu sama dengan unsur identitas kanan.

Dalam grupoid ( S, *) disebut berlaku sifat kanselasi kiri jika untuk setiap a, b , dan c di S dengan a*b = a*c, maka memenuhi b = c. Dan grupoid ( S, ) disebut berlaku sifat kanselasi kanan jika untuk setiap a, b, dan c di S dengan b*a = c*a , maka memenuhi b = c.

Jika pada grupoid berlaku sifat kanselasi kiri dan kanan maka dikatakan berlaku sifat kanselasi.

Jika suatu grupoid bersifat komutatif, maka jika bersifat kanselasi kiri maka akan berlaku juga sifat kanselasi kanan.

Perhatikan tabel berikut, Himpunan dan operasi biner dalam tabel merupakan struktur aljabar selidiki sifat-sifat apa sajakah yang memenuhi.

Tabel 1 Tabel 2 Tabel 3

#

a

b

c

(

a

b

c

(

a

b

c

a

a

a

b

a

a

b

c

a

a

b

c

b

b

a

c

b

a

b

c

b

a

b

c

c

c

b

a

c

c

a

b

c

a

b

c

Komutatif? Assosiatif? Unsur identitas? Unsur invers? Sifat Kanselasi?

Apakah memenuhi sifat persamaan kiri?

Tidak komutatif, karena a#c=b c=c#a Tidak assosiatif, karena (b#c)#b=c#b=b a=b#b=b#(c#b) a bukan unsur identitas, karena a#b=ab bukan unsur identitas, karena b#a=bC bukan unsur identitas, karena c#a=cSifat kanselasi?Jika untuk setiap x,y dan z di S, x#y=x#z, maka y=z.Periksa apakah sifat ini dipenuhi?a#b=a#c? , b#a=b#c? , c#a=c#b? ,.

#

a

b

c

a

a

a

b

b

b

a

c

c

c

b

a

komutatif, karena a#b=b=b#a, a#c=c=c#a, b#c=a=c#aassosiatif? a#(b#c)=a#a=a=b(a#b)#c a unsur identitas, karena a#b=b=b#a=, a#a=a=a#a, a#c=c=c#a Sifat kanselasi?Jika untuk setiap x,y dan z di S, x#y=x#z, maka y=z.Periksa apakah sifat ini dipenuhi?

*abcaabcbbcaccab

Seperti pertanyaan sebelumnya, untuk tabel berikut?

Tabel 4 Tabel 5 Tabel 6

#

a

b

c

d

@

a

b

c

*

a

b

c

a

a

b

c

d

a

a

a

a

a

a

b

c

b

b

c

d

a

b

b

b

b

b

b

c

a

c

c

d

a

a

c

c

c

c

c

c

a

b

d

d

b

c

b

Grupoid ( S, * ) disebut memenuhi persamaan kanan ( kiri ) jika untuk setiap a, b di S , persamaan ax = b ( xa = b ) mempunyai jawab.

Jika suatu grupoid ( S,* ) memenuhi hukum kanselasi kiri ( kanan ) dan persamaan ax = b ( xa = b )

punya jawab untuk sebarang a, b di S, maka penyelesaiannya tunggal.

Suatu grupoid ( S, *) disebut semigrup jika bersifat assosiatif

Suatu grupoid ( S, *) disebut monoid jika bersifat assosiatif dan mempunyai unsur identitas

Dalam monoid ada kemungkinan suatu unsur mempunyai invers kiri atau kanan. Unsur dalam monoid yang mempunyai invers kiri sekaligus invers kanan maka invers kiri itu sama dengan invers kanan.

Unsur dalam monoid yang mempunyai lebih dari satu invers kiri (kanan) tidak mempunyai invers kanan ( kiri )

1. Dalam S didefinisikan perkawanan * dari SxS ke S dengan aturan untuk sebarang x, y di S , x*y = x + y xy , apakah ( S, *) grupoid ? Semigrup? Monoid? Quasi grup? sifat apa saja yang dimiliki ?

1. untuk S himpunan bilangan rasional

2. untuk S himpunan bilangan bulat

2. Misalkan ( A1, @1 ) dan ( A2, @2) suatu grupoid, selanjutnya didefinisikan operasi @ pada A1xA2 dengan aturan untuk sebarang u=(u1, u2) dan v=(v1,v2) pada A1xA2 berlaku u@v = (u1@1v1 , u2@2v2 ).

Tunjukkan (A1xA2 , @ ) merupakan grupoid ? Jika x merupakan unsur identitas ( A1, @1 ) dan y unsur identitas ( A2, @2), apakah (A1xA2 , @ )

M1 =

,

M2 =

M3 =

,

M4 =

Dengan penjumlahan dan perkalian matriks apakah himpunan matriks-matriks ini merupakan grupoid ? Semigrup? Monoid? Quasi grup?

_1217258456.unknown

_1217258461.unknown

_1217258477.unknown

_1217258416.unknown

Struktur Aljabar?Tertutupkah operasi yang diberikan?Ambil sebarang dua matriks di M3 apakah hasil kalinya di M3? Apakah komutatif? Dst..

M3 =

,

_1217258456.unknown

@

p

q

r

s

t

@

u

v

w

p

p

q

r

s

t

u

u

u

u

q

p

q

r

s

t

v

v

v

v

r

p

q

r

s

t

w

w

w

w

s

p

q

r

s

t

t

p

q

r

s

t

Apakah ( { p,q,r,s,t } , @ ) dan ( { u,v, w } , @ ) merupakan monoid atau semigrup ?

Suatu grupoid ( S, *) disebut quasigrup jika setiap persamaan kiri dan kanan punya penyelesaian tunggal

Dalam tabel berikut manakah yang merupakan quasi grup ?

*

a

b

*

a

b

c

*

a

b

c

d

*

a

b

c

a

a

b

a

a

c

b

a

a

b

c

d

a

a

c

b

b

b

b

b

b

a

c

b

b

d

c

a

b

b

a

a

c

c

b

a

c

d

c

a

b

c

c

b

c

d

c

a

b

c

Monoid yang bukan quasigrup ?Quasigrup yang bukan semigrup ?

DEFINISI GRUP

Suatu grupoid ( S, * ) disebut grup jika bersifat , (a) assosiatif

(b) memiliki unsur identitas

(c) setiap unsur punya invers.

Grup tidak mensyaratkan sifat komutatif.

Contoh grup komutatif ?

Contoh grup tidak komutatif ?

Contoh-contoh grup (yang lain)

a). Untuk suatu bilangan Bulat m, himpunan G = { ma | a (Z } , dilengkapi dengan operasi perkalian merupakan grup komutatif. Dengan operasi penjumlahan apakah merupakan grup ?

b). Untuk suatu bilangan Bulat m, himpunan G = { ma | a (Z } , dilengkapi dengan operasi penjumlahan merupakan grup komutatif. Dengan operasi perkalian apakah merupakan grup ?

c). Himpunan G = { a +

b | a, b ( Q }, dilengkapi dengan operasi penjumlahan merupakan grup komutatif.

_1217310068.unknown

d). Himpunan bilangan kompleks yang bermodulus satu dilengkapi dengan operasi perkalian merupakan grup komutatif.

e). Misalkan m adalah suatu bilangan bulat positif. Pada himpunan bulat misalkan didefinisikan operasi +m , sebagai berikut.

Untuk sebarang dua bilangan bulat a dan b , a +m b adalah bilangan non negatif yang merupakan sisa dari pembagian a+b oleh m, sehingga jika a +m b = r , maka r adalah bilangan non negatif sisa dari pembagian a+b oleh m, berarti 0 ( r < m .

Misalkan didefinisikan operasi xm , sebagai berikut.

Untuk sebarang dua bilangan bulat a dan b , a xm b adalah bilangan non negatif yang merupakan sisa dari pembagian axb oleh m, sehingga jika a xm b = r , maka r adalah bilangan non negatif sisa dari pembagian axb oleh m, berarti 0 ( r < m .

Dengan operasi +m , himpunan G = { 0, 1 , 2 , 3 , , m-1 } merupakan grup.

Dengan operasi xp , untuk bilangan prima p , himpunan G = { 1, 2 , 3 , , p 1 } merupakan grup.

Untuk sebarang bilangan bulat positif m, dalam himpunan bilangan bulat dapat dibuat kelas-kelas residu modulo m dengan mendefinisikan terlebih dahulu relasi kongruensi modulo m , yaitu dua bilangan a dan b dikatakan berelasi kongruensi modulo m, jika a-b habis dibagi m. Sehingga akan terbentuk kelas-kelas residu modulo m, yaitu { [0] , [1] , [2] , , [m-1] } , dimana

[a] = { x ( Z | x-a habis dibagi m }.

Sehingga [ 1 ] = { , -2m+1, -m+1, 1 , m+1 , 2m+1, }

Selajutnya jika pada himpunan ini didefinisikan opersi penjumlahan dan perkalian kelas residu sebagai berikut. Untuk sebarang dua bilangan bulat a, b , [a] + [b] = [ a+b ] dan [a][b] = [ ab ] , maka himpunan { [0] , [1] , [2] , , [m-1] } dengan operasi penjumlahan di atas merupakan grup. Dan untuk suatu bilangan prima positif p, himpunan { [1] , [2] , , [p-1] } dengan operasi perkalian merupakan grup .

1. Diberikan himpunan T={(, (, (}.

a. Konstruksi himpunan semua fungsi bijektif dari T ke T. Sebut himpunan ini ( dan tuliskan semua anggotanya.

b. Dengan menggunakan operasi komposisi (o), buatlah tabel hasil operasi komposisi ini pada (.

c. Apakah pasangan terurut ((, o) merupakan grup komutatif? Jelaskan.

2. Misalkan m adalah suatu bilangan bulat positif. Selanjutnya didefinisikan operasi +m , pada himpunan bilangan bulat (Z) sebagai berikut. Untuk sebarang dua bilangan bulat a dan b , a +m b adalah bilangan non negatif yang merupakan sisa dari pembagian a+b oleh m. ( Keterangan, sehingga a +m b = r jika dan hanya jika r bilangan non negatif sisa dari pembagian a+b oleh m). Apakah (Z, +m) merupakan grup komutatif? Jelaskan.

3. Perhatikan tabel berikut.

*

a

b

c

a

c

a

b

b

a

b

c

c

b

c

c

Berdasarkan tabel di samping, misal M={a,b,c}

Apakah (M, *) merupakan grup komutatif?

Apakah pada (M,*) memenuhi persamaan kiri dan kanan?

Apakah pada (M,*) berlaku sifat kanselasi?

Sifat-sifat sederhana dari grup G

Dalam grup berlaku hukum kanselasi kiri dan kanan

Unsur identitas dalam grup adalah tunggal

Invers dari suatu unsure adalah tunggal

Untuk setiap a di G (a-1)-1 = a

Setiap persamaan kiri atau kanan punya penyelesaian tunggal

Untuk setiap a, b di G , ( ab )-1 = b-1a-1 , secara umum berlaku untuk setiap a1, a2, , an di G , (a1a2 an)-1 = (a1)-1 (a2)-1 (an)-1



Sehingga [ 1 ] = { , -2m+1, -m+1, 1 , m+1 , 2m+1, }


Buktikan bahwa :

1. Suatu grupoid ( G, * ) yang bersifat assosiatif dan setiap persamaan kanan dan kiri punya penyelesaian merupakan grup

2. Suatu grupoid ( G, * ) berhingga yang bersifat assosiatif dan berlaku hukum kanselasi kanan atau kiri merupakan grup

Definisi (Permutasi)

Suatu pemetaan atau fungsi bijektif dari himpunan berhingga dinamakan permutasi.

Definisi (Fungsi bijektif)

Misal f adalah suatu pemetaan dari himpunan A ke himpunan B, maka fungsi f dikatakan bijektif jika injektif dan surjektif.

Definisi (Fungsi injektif)

Misal f adalah suatu pemetaan dari himpunan A ke himpunan B, maka fungsi f dikatakan injektif jika

.

_1328517286.unknown

Definisi (Fungsi surjektif)

Misal f adalah suatu pemetaan dari himpunan A ke himpunan B, maka fungsi f dikatakan surjektif jika

.

_1237793373.unknown

Grup permutasi

Misal S = { a1, a2, , an } . Pada himpunan S dapat dibuat fungsi-fungsi bijektif . ( dari S ke S )

Fungsi-fungsi ini disebut juga permutasi pada S. Jika S terdiri dari n unsur , himpunan semua permutasinya dinotasikan dengan Sn.

Selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa ( Sn , o ) dengan o adalah operasi komposisi fungsi merupakan suatu grup.

Sebagai contoh misalkan S adalah himpunan tiga unsur { a, b, c }, maka anggota-anggota S3 ada enam unsur, yaitu

Fungsi f1 yang memetakan 1 ke 1 , 2 ke 2 dan 3 ke 3 atau f1 =

, f2 =

, f3 =

, f4 =

, f5 =

, f6 =

.

_1217269743.unknown

_1217269825.unknown

_1217269865.unknown

_1217269922.unknown

_1217269779.unknown

_1217269550.unknown

Atau seringkali ditulis f1 = ( 1) , f2 = ( 2 3) , f3 = ( 1 3 ) , f4 = ( 1 2 ) ,

f5 = ( 1 2 3 ) , f6 = ( 1 3 2 ),

sehingga S3 = { ( 1), ( 2 3), ( 1 3 ), ( 1 2 ), ( 1 2 3), ( 1 3 2 ) }

Dari sifat fungsi dan komposisi fungsi telah diketahui bahwa komposisi dua fungsi bijektif adalah bijektif, berlaku sifat assosiatif, ada fungsi identitas yang mana komposisinya dengan sebarang fungsi menghasilkan fungsi itu sendiri dan fungsi bijektif selalu punya invers fungsi maka dapat disimpulkan bahwa himpunan semua fungsi bijektif adalah grup dengan operasi komposisi.

Khususnya untuk S3 dapat disajikan dalam tabel Cayley berikut

o

( 1 )

( 2 3 )

( 1 3 )

( 1 2 )

( 1 2 3 )

( 1 3 2 )

( 1 )

( 1 )

( 2 3 )

( 1 3 )

( 1 2 )

( 1 2 3 )

( 1 3 2 )

( 2 3 )

( 2 3 )

( 1 )

( 1 2 3 )

( 1 3 2 )

( 1 3 )

( 1 2 )

( 1 3 )

( 1 3 )

( 1 3 2 )

( 1 )

( 1 2 3 )

( 1 2 )

( 2 3 )

( 1 2 )

( 1 2 )

( 1 2 3 )

( 1 3 2 )

( 1 )

( 2 3 )

( 1 3 )

( 1 2 3 )

( 1 2 3 )

( 1 2 )

( 2 3 )

( 1 3 )

( 1 3 2 )

( 1 )

( 1 3 2 )

( 1 3 2 )

( 1 3 )

( 1 2 )

( 2 3 )

( 1 )

( 1 2 3 )

Tampak bahwa ( S3 , o ) tidak komutatif karena ( 1 3 2 ) o ( 1 2 ) =

( 2 3 ) sedangkan ( 1 2 ) o ( 1 3 2 ) = ( 1 3 )

Bagaimana dengan S2 , S4 ? komutatifkah ?

Apa anggota dari S4 ?

Contoh-contoh grup yang lain

a). Untuk suatu bilangan Bulat m, himpunan G = { ma | a (Z } , dilengkapi dengan operasi perkalian merupakan grup komutatif. Dengan operasi penjumlahan apakah merupakan grup ?

b). Untuk suatu bilangan Bulat m, himpunan G = { ma | a (Z } , dilengkapi dengan operasi penjumlahan merupakan grup komutatif. Dengan operasi perkalian apakah merupakan grup ?

c). Himpunan G = { a +

b | a, b ( Q }, dilengkapi dengan operasi penjumlahan merupakan grup komutatif.

_1217310068.unknown

d). Himpunan bilangan kompleks yang bermodulus satu dilengkapi dengan operasi perkalian merupakan grup komutatif.

e). Misalkan m adalah suatu bilangan bulat positif. Pada himpunan bulat misalkan didefinisikan operasi +m , sebagai berikut.

Untuk sebarang dua bilangan bulat a dan b , a +m b adalah bilangan non negatif yang merupakan sisa dari pembagian a+b oleh m, sehingga jika a +m b = r , maka r adalah bilangan non negatif sisa dari pembagian a+b oleh m, berarti 0 ( r < m .

Misalkan didefinisikan operasi xm , sebagai berikut.

Untuk sebarang dua bilangan bulat a dan b , a xm b adalah bilangan non negatif yang merupakan sisa dari pembagian axb oleh m, sehingga jika a xm b = r , maka r adalah bilangan non negatif sisa dari pembagian axb oleh m, berarti 0 ( r < m .

Dengan operasi +m , himpunan G = { 0, 1 , 2 , 3 , , m-1 } merupakan grup.

Dengan operasi xp , untuk bilangan prima p , himpunan G = { 1, 2 , 3 , , p 1 } merupakan grup.



Sehingga [ 1 ] = { , -2m+1, -m+1, 1 , m+1 , 2m+1, }


*******************************************************

Documents

Presen KD1 Baru