a) Los operarios A, B y C producen, respectivamente, el 50%, el 30% y el

20% de las resistencias que se utilizan en un laboratorio de

electrónica. Resultan defectuosas el 6% de las resistencias producidas

por A, el 5% de las producidas por B y el 3% de las producidas por C.

se selecciona al azar una resistencia:

a1) Calcula razonadamente la probabilidad de que sea

defectuosa.

a2) Si es defectuosa, calcula razonadamente la probabilidad de

que proceda del operario A.

b) Las resistencias se empaquetan al azar en cajas de cinco unidades.

Calcula razonadamente la probabilidad de:

b1) Que en una caja haya exactamente tres resistencias

fabricadas por B.

b2) Que en una caja haya al menos dos fabricadas por B.

Solución (a) Diagrama de árbol con Probabilidad Total y Bayes

a1) Calcula razonadamente la probabilidad de que sea defectuosa.

Llamemos A, B, C, D y 𝐷𝐶, a los sucesos siguientes, “operario A”, " operario B", "

operario C", “resistencia defectuosa” y "resistencia no defectuosa”, respectivamente.

Datos del problema p(A) = 50% = 0’5; p(B) = 30% = 0’3; p(C) = 20% = 0’2; p(D/A) = 6%

= 0’06; p(D/B) = 5% = 0’05, p(D/C) = 3% = 0’03 ...

Todo esto se ve mejor en el siguiente diagrama de árbol (completamos las

probabilidades sabiendo que la suma de las que parten de un mismo nodo vale 1).

Por el teorema de la Probabilidad Total:

𝐩(𝐫𝐞𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐝𝐞𝐟𝐞𝐜𝐭𝐮𝐨𝐬𝐚) = 𝐩(𝐃)

= 𝐩(𝐀) ∙ 𝐩(𝐃/𝐀) + 𝐩(𝐁) ∙ 𝐩(𝐃/𝐁) + 𝐩(𝐂) ∙ 𝐩(𝐃/𝐂)

= (𝟎, 𝟓) ∙ (𝟎, 𝟎𝟔) + (𝟎, 𝟑) ∙ (𝟎, 𝟎𝟓) + (𝟎, 𝟐) ∙ (𝟎, 𝟎𝟑)

= 𝟓𝟏/𝟏𝟎𝟎𝟎 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟏

a2) Si es defectuosa, calcula razonadamente la

probabilidad de que proceda del operario A.

Aplicando el teorema de Bayes, tenemos:

p(si es defectuosa, que proceda del operario A; es una probabilidad

condicionada)= 𝒑(𝑨/𝑫) =𝒑(𝑨∩𝑫)

𝒑(𝑫)=

𝒑(𝑨)∙𝒑(𝑫/𝑨)

𝒑(𝑫)=

(𝟎,𝟓)∙(𝟎,𝟎𝟔)

𝟎,𝟎𝟓𝟏= 𝟏𝟎/𝟏𝟕 = 𝟎, 𝟓𝟖𝟖𝟐𝟒

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a) Los operarios A, B y C producen, respectivamente, el 50%, el 30% y el

20% de las resistencias que se utilizan en un laboratorio de

electrónica. Resultan defectuosas el 6% de las resistencias producidas

por A, el 5% de las producidas por B y el 3% de las producidas por C.

se selecciona al azar una resistencia:

a1) Calcula razonadamente la probabilidad de que sea

defectuosa.

a2) Si es defectuosa, calcula razonadamente la probabilidad de

que proceda del operario A.

b) Las resistencias se empaquetan al azar en cajas de cinco unidades.

Calcula razonadamente la probabilidad de:

b1) Que en una caja haya exactamente tres resistencias

fabricadas por B.

b2) Que en una caja haya al menos dos fabricadas por B.

Solución (b) BINOMIAL

b1) Que en una caja haya exactamente tres resistencias fabricadas por B.

Definición de distribución binomial:

Recordamos que si realizamos n veces un experimento en el que podemos obtener éxito,

A, con probabilidad p y fracaso, 𝐴𝐶, con probabilidad q (q = 1 − p), decimos que la

variable aleatoria discreta X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, y lo

representaremos por X → B(n;p).

En este caso la probabilidad de obtener k éxitos, que es su función de probabilidad,

viene dada por:

𝑝(𝑋 = 𝑘) = (𝑛 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑘) ∙ 𝑝𝑘 ∙ 𝑞(𝑛−𝑘) =𝑛𝑘

∙ 𝑝𝑘 ∙ 𝑞(𝑛−𝑘)

∗∗ (𝑛 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑘) =𝑛𝑘

= (𝑛!)/(𝑘! ∙ (𝑛 − 𝑘)!) 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎 " 𝑛 𝑡𝑒𝑐𝑙𝑎 𝑛𝐶𝑟 𝑘"

n! = factorial de un nº = n(n-1)(n-2)(n-3)….3.2.1

Por convenio 0! = 1, para poder demostrar las propiedades.

b1) Que en una caja haya exactamente tres resistencias fabricadas por B.

En nuestro caso X → B(n;p) = B(5;0’3), pues del apartado (a), p = p(B) = 30% = 0’3.

𝑴𝒆 𝒑𝒊𝒅𝒆𝒏 𝒑(𝑿 = 𝟑) = (𝟓 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆 𝟑) ∙ (𝟎, 𝟑)𝟑∙ (𝟎, 𝟕)(𝟓−𝟑)=𝟓𝟑

∙ (𝟎, 𝟑)𝟑∙ (𝟎, 𝟕)𝟐= 𝟎, 𝟏𝟑𝟐𝟑

Mirando directamente en las tablas de la binomial sale igual. p(X = 3) = 0’1323.

b2) Que en una caja haya al menos dos fabricadas por B.

Me piden p(X ≥ 2) = p(X = 2) + p(X = 3) + p(X = 4) + p(X = 5) = {es más rápido

por el suceso contrario} = 1 – p(X < 2) = 1 – [ p(X = 0) + p(X = 1) ] = {mirando en

las tablas} = 1 – [ 0’1681 + 0’3602 ] = 0’4717.

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a) En mi casa dispongo de dos estanterías A y B. En A tengo 20

novelas, 10 ensayos y 10 libros de matemáticas y en la B tengo 12

novelas y 8 libros de matemáticas. Elijo una estantería al azar y de

ella, también al azar, un libro. Calcula razonadamente la

probabilidad de que:

a1) El libro elegido sea de matemáticas.

a2) Si el libro elegido resultó ser de matemáticas, que fuera de la

estantería B.

b) El tiempo de espera en una parada de autobús se distribuye según

una distribución normal de media 15 minutos y desviación típica 5

minutos.

b1) Calcula razonadamente la probabilidad de esperar menos de

13 minutos.

b2) ¿Cuantos minutos de espera son superados por el 33% de los

usuarios? Razona la respuesta.

Solución (a) Diagrama de árbol, Probabilidad Total y Fórmula de Bayes

a1) El libro elegido sea de matemáticas

Llamemos A, B, NA, EA, MA, NB, EB, MB, y M, a los sucesos siguientes, “libro de la

estantería A”, "libro de la estantería B", "Novela de la estantería A", “Ensayo de la

estantería A”, “libro de Matemáticas de la estantería A”, "Novela de la estantería B",

“Ensayo de la estantería V”, “libro de Matemáticas de la estantería B” y "el libro es dematemáticas”……, respectivamente

Datos del problema p(A) = p(B) =1/2= 0’5;

p(NA)=20/(20+10+10) = 1/2 = 0’5;

p(EA) = p(MA) =10/(20+10+10) = 1/4 = 0’25;

p(NB) = 12/(12+8) = 3/5 = 0’6; p(EA) = 0/20 = 0,

p(MA) = 8/(12+8) = 2/5 = 0’4

Todo esto se ve mejor en el siguiente diagrama de

árbol (completamos las probabilidades sabiendo

que la suma de las que parten de un mismo nodo

vale 1).

Por el teorema de la Probabilidad Total :

p(el libro elegido sea de matemáticas) = p(M) = p(A).p(MA/A) + p(B).p(MB/B) =

(1/2)·(1/4) + (1/2)·(2/5) = 13/40 = 0’325.

a2) Si el libro elegido resultó ser de matemáticas, que fuera de la estantería B.

Aplicando el teorema de Bayes, tenemos:

p(si el libro elegido resultó ser de matemáticas, que fuera de la estantería B, es

condicionada)= 𝒑(𝑩/𝑴) =𝒑(𝑩∩𝑴)

𝒑(𝑴)=

𝒑(𝑩)∙𝒑(𝑴𝑩/𝑩)

𝒑(𝑴)=

(𝟏/𝟐)∙(𝟐/𝟓)

𝟎,𝟑𝟐𝟓= 𝟖/𝟏𝟑 = 𝟎, 𝟔𝟏𝟓𝟒

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a) En mi casa dispongo de dos estanterías A y B. En A tengo 20

novelas, 10 ensayos y 10 libros de matemáticas y en la B tengo 12

novelas y 8 libros de matemáticas. Elijo una estantería al azar y de

ella, también al azar, un libro. Calcula razonadamente la

probabilidad de que:

a1) El libro elegido sea de matemáticas.

a2) Si el libro elegido resultó ser de matemáticas, que fuera de la

estantería B.

b) El tiempo de espera en una parada de autobús se distribuye según

una distribución normal de media 15 minutos y desviación típica 5

minutos.

b1) Calcula razonadamente la probabilidad de esperar menos de

13 minutos.

b2) ¿Cuantos minutos de espera son superados por el 33% de los

usuarios? Razona la respuesta.

Solución (b) NORMAL

b) El tiempo de espera en una parada de autobús se distribuye según una

distribución normal de media 15 minutos y desviación típica 5 minutos.

Distribución normal de media μ y desviación típica σ

Recordamos que la función de distribución es

F(x) = p(X ≤ x), en el caso de la normal, la

variable siempre es “z” no “x”, y se

escribe F(z) = p(Z ≤ z) = Ф(z).

Tipificación de la variable

Realizando el cambio de variable 𝑍 =𝑥−𝜇

𝜎, llamado “tipificar la variable”, cualquier

variable aleatoria continua X que sigue una N(μ,σ) se puede transformar en la

variable aleatoria continua Z sigue una normal N(0,1), que es la que viene tabulada

en la tabla que nos han dado.

b1) Calcula razonadamente la probabilidad de esperar menos de 13 minutos.

𝐌𝐞 𝐩𝐢𝐝𝐞𝐧 𝐩(𝐗 ≤ 𝟏𝟑) = 𝐭𝐢𝐩𝐢𝐟𝐢𝐜𝐨 𝐙 =𝒙 − 𝝁

𝝈= 𝐩 𝐙 ≤

𝟏𝟑 − 𝟏𝟓

𝟓= 𝐩(𝐙 ≤ −𝟎, 𝟒𝟎)

= 𝟏 − 𝐩(𝐙 ≤ 𝟎, 𝟒𝟎) = 𝐦𝐢𝐫𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐥𝐚 𝐩𝐫𝐨𝐛𝐚𝐛𝐢𝐥𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐞𝐧 𝐥𝐚 𝐭𝐚𝐛𝐥𝐚 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐍(𝟎, 𝟏)

= 𝟏 − 𝟎, 𝟔𝟓𝟓𝟒 = 𝟎, 𝟑𝟒𝟒𝟔

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a) En mi casa dispongo de dos estanterías A y B. En A tengo 20

novelas, 10 ensayos y 10 libros de matemáticas y en la B tengo 12

novelas y 8 libros de matemáticas. Elijo una estantería al azar y de

ella, también al azar, un libro. Calcula razonadamente la

probabilidad de que:

a1) El libro elegido sea de matemáticas.

a2) Si el libro elegido resultó ser de matemáticas, que fuera de la

estantería B.

b) El tiempo de espera en una parada de autobús se distribuye según

una distribución normal de media 15 minutos y desviación típica 5

minutos.

b1) Calcula razonadamente la probabilidad de esperar menos de

13 minutos.

b2) ¿Cuantos minutos de espera son superados por el 33% de los

usuarios? Razona la respuesta.

b2) ¿Cuantos minutos de espera son superados por el 33% de los usuarios? Razona la

respuesta.

Sabemos que en la tabla de la N(0,1) nos dan sólo probabilidades p(Z ≤ 𝑧0).

Me dicen que p(X > 𝒙𝟎) = 33% = 0’3333, teniendo en cuenta el suceso contrario p(Z >

𝑧0) = 1 - p(Z ≤ 𝑧0) = 1 – 0’3333 = 0’6667.

La probabilidad 0’6667 no viene en la tabla y la más próxima es 0’6664 que

corresponde a 𝑧0 = 0’43. Tipificando veremos cuantos usuarios superan el 33%

De 𝒁𝟎 =𝒙−𝝁

𝝈tenemos 0,43 =

𝒙 −𝟏𝟓

𝟓, de donde 𝒙 = 𝟎, 𝟒𝟑 ∙ 𝟓 + 𝟏𝟓 =

𝟏𝟕, 𝟏𝟓 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔. Resumiendo los minutos de espera son 17,15 , es decir, 2,5

minutos más de la media 15.

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a) En una tienda de lámparas tienen tres proveedores A, B y C. A

suministra el 20 %, B el 10% y C el resto. De las lámparas de A salen

defectuosas el 5 %, de las de B el 4% y de las de C el 2 %. Elegida una

lámpara al azar de la tienda, calcula razonadamente la probabilidad

de:

a1) No salgan defectuosas.

a2) Si resultó defectuosa, que fuera suministrada por B.

b) Una parte de un examen consta de cinco peguntas tipo test. Se

aprueba dicha parte si contestas correctamente al menos tres

preguntas. Calcula razonadamente la probabilidad de aprobar dicha

parte, contestando al azar, cuando:

b1) Cada respuesta tiene dos ítems, solamente uno verdadero.

b2) Cada respuesta tiene cuatro ítems, solamente uno verdadero.

a1) 𝑷(𝑫) = 𝑷(𝑨 ∩ 𝑫) + (𝑩 ∩ 𝑫) + (𝑪 ∩ 𝑫) = 𝑷(𝑨) ∙ 𝑷( Τ𝑫 𝑨). . . . = 𝟐𝟎% ∙ 𝟓%+ 𝟏𝟎% ∙ 𝟒%+

𝟕𝟎% ∙ 𝟐% = 𝟐, 𝟖% → 𝑷(𝑵𝑫) = 𝟏𝟎𝟎 − 𝟐, 𝟖 = 𝟗𝟕, 𝟐%

a2) 𝑷( Τ𝑩 𝑫) =𝑷(𝑩∩𝑫)

𝑷(𝑫)=

𝟏𝟎%∙𝟒%

𝟐,𝟖%= 𝟏𝟒, 𝟐%

b) Se trata de dos distribuciones binomiales, la primera B(5,1/2) y la segunda

B(5,1/4)

b1) P(x ≥ 3) = 0,5 por simetría;

b2) P(x ≥ 3) = P(x = 3) + P(x = 4) + P(x = 5) = 0,0879 + 0,0146 + 0,0010 = 0,1035

Ver tabla.

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a) En una clase el 80% aprueba la asignatura de Biología, el 70%

aprueba la asignatura de Matemáticas y el 60% aprueba Biología y

Matemáticas.

a1) Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de

que apruebe alguna de las asignaturas?

a2) Si se elige un estudiante y ha aprobado Biología, ¿cuál es la

probabilidad de que también haya aprobado Matemáticas?

b) Un dispensador de cierto refresco está regulado de manera que

cada vez descargue 25 cl de media. Si la cantidad de líquido

dispensado sigue una distribución normal de varianza 4:

b1) Calcula razonadamente la probabilidad de que descargue

entre 22 y 28 cl.

b2) Calcula razonadamente la capacidad mínima de los vasos

que se usen, redondeada a cl, para que la probabilidad de que se

derrame el líquido sea inferior al 2,5 %.

b1) Se trata de una distribución N(25,2) y nos piden P(22<x<28)

𝑏1)

𝑃(22 < 𝑥 < 28)

𝑧 =𝑥 − 25

2

→ ൞

𝑷(−𝟏, 𝟓 < 𝒛 < 𝟏, 𝟓) == 𝑷(𝒛 < 𝟏, 𝟓) − 𝑷(𝒛 > 𝟏, 𝟓) =

𝟎, 𝟗𝟑𝟑𝟐 − (𝟏 − 𝟎, 𝟗𝟑𝟑𝟐) = 𝟎, 𝟖𝟔𝟔𝟒 = 𝟖𝟖, 𝟔𝟒%

b2) Nos piden h tal que P(x>h)<2’5%. Calculamos k tal que P(z>k)=2’5%=P(z<k)=97’5% y

miramos la tabla

𝑏2)ቐ

𝑃(𝑧 < 𝑘) = 0,975 → 𝑘 = 1,96

𝑧 =𝑥 − 25

2

→ ൜𝒌 =𝒉 − 𝟐𝟓

𝟐→ 𝟑, 𝟗𝟐 = 𝒉 − 𝟐𝟓 → 𝒉 = 𝟐𝟖, 𝟗𝟐 ≈ 𝟐𝟗𝒄𝒍

a1) 𝑷(𝑩 ∪𝑴) = 𝑷(𝑩) + 𝑷(𝑴) − 𝑷(𝑩 ∩𝑴) = 𝟎, 𝟖 + 𝟎, 𝟕 − 𝟎, 𝟔 = 𝟎, 𝟗 = 𝟗𝟎%

a2) 𝑷( Τ𝑴 𝑩) =𝑷(𝑴∩𝑩)

𝑷(𝑩)=

𝟎,𝟔

𝟎,𝟖= 𝟎, 𝟕𝟓 = 𝟕𝟓%

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a) Una planta industrial tiene tres máquinas. La máquina A produce

500 condensadores diarios, con un 3% de defectuosos, la máquina B

produce 700 con un 4% de defectuosos y la C produce 800 con un 2% de

defectuosos. Al final del día se elige un condensador al azar.

a1) Calcula razonadamente la probabilidad de que sea

defectuoso.

a2) Si es defectuoso, calcula razonadamente la probabilidad de

que haya sido producido por la máquina A.

b) Lanzamos un dado perfecto cinco veces. Sea X la variable

"Número de múltiplos de tres que pueden salir".

b1) Calcula razonadamente la media y la desviación típica de

la variable X.

b2) Calcula razonadamente la probabilidad de obtener cuatro o

más múltiplos de tres.

- A = “que el condensador escogido al azar haya sido

fabricado por la máquina A”

- B = “que el condensador escogido al azar haya sido

fabricado por la máquina B”

- C = “que el condensador escogido al azar haya

sido fabricado por la máquina C”

- D = “que el condensador escogido al azar sea

defectuoso”

- ഥ𝐷= “que el condensador escogido al azar sea no

defectuoso”

Para responder a las preguntas del apartado a), hacemos un diagrama de árbol. Si

llamamos a los sucesos:

Para calcular la probabilidad de que el condensador elegido al azar sea defectuoso,

usamos el teorema de la probabilidad total:

𝑃(𝐷)=𝑃(𝐷)·𝑃(𝐷|𝐴) + 𝑃(𝐵)·𝑃(𝐷|𝐵) + 𝑃(𝐶)·𝑃(𝐷|𝐶)

= 0.25·0.03 + 0.35·0.04 + 0.4·0.02→𝑷(𝑫)=𝟎.𝟎𝟐𝟗𝟓

Para calcular la probabilidad de que siendo defectuoso, haya sido fabricado por la

máquina A, empleamos la probabilidad condicionada y el teorema de Bayes:

𝑃(𝐴|𝐷) = 𝑷(𝑨∩𝑫)

𝑷(𝑫)=𝑷(𝑫|𝑨)·𝑷(𝑨)

𝑷(𝑫)=

𝟎.𝟎𝟑·𝟎.𝟐𝟓

𝟎.𝟎𝟐𝟗𝟓→𝑷(𝑨|𝑫)=𝟎.𝟐𝟓𝟒

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a) Una planta industrial tiene tres máquinas. La máquina A produce

500 condensadores diarios, con un 3% de defectuosos, la máquina B

produce 700 con un 4% de defectuosos y la C produce 800 con un 2% de

defectuosos. Al final del día se elige un condensador al azar.

a1) Calcula razonadamente la probabilidad de que sea

defectuoso.

a2) Si es defectuoso, calcula razonadamente la probabilidad de

que haya sido producido por la máquina A.

b) Lanzamos un dado perfecto cinco veces. Sea X la variable

"Número de múltiplos de tres que pueden salir".

b1) Calcula razonadamente la media y la desviación típica de

la variable X.

b2) Calcula razonadamente la probabilidad de obtener cuatro o

más múltiplos de tres.

En el apartado b) empleamos la distribución Binomial.

Siendo X = “número de múltiplos de 3 que pueden salir”: {(3,6)}, sigue una distribución

binomial: 𝐵𝑖𝑛 (5,𝑝)

La media de una distribución binomial es:

𝜇=𝑛·𝑝

Calculamos la probabilidad de éxito: la probabilidad de obtener un múltiplo de tres en

cada uno de los cinco lanzamientos es, según el principio multiplicativo para sucesos

independientes:

𝑝 =2

6→𝒑 =

1

3

Por tanto la media será:

𝜇 = 5· 0.34→𝝁=𝟓

𝟑

Y la desviación típica:

𝜎 = 𝒏 · 𝒑 · 𝒒 = 𝟓 ·𝟏

𝟑· (𝟏 −

𝟏

𝟑)→𝝈 =𝟏.𝟒𝟗

La probabilidad de obtener cuatro o más múltiplos de 3 será:

𝑿~𝑩𝒊𝒏 (𝟓,𝟎.𝟑𝟑) → 𝑃(𝑋 ≥ 4) = 1−𝑃(𝑋 < 4) = 1−[𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 =

3)]𝑻𝒂𝒃𝒍𝒂

1 − (0.1317 + 0.3292 + 0.3292 + 0.1646) →𝑷(𝑿 ≥ 𝟒) = 𝟎.𝟎𝟒𝟓𝟑

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