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Integración IV Revisión de Métodos Numéricos Aplicables en
Simulación de Estado Estacionario
2017
Profesor: Dr. Nicolás J. Scenna JTP: Dr. Néstor H. Rodríguez Aux. 1ra: Dr. Juan I. Manassaldi
Abiertos
Secante
Aproximaciones Sucesivas
Sustitución directa
(simple)
Método de Wegstein
(acelerado)
Newton – Rhapson
Tradicional
Múltiples Raíces
Acotados
Bisección
Regla Falsa
Introducción
Abiertos
Secante
Aproximaciones Sucesivas
Sustitución directa
(simple)
Método de Wegstein
(acelerado)
Newton – Rhapson
Tradicional
Múltiples Raíces
Acotados
Bisección
Regla Falsa
Introducción
Para aplicar el método se debe definir una nueva función F(x) del tipo:
Se desea hallar x* tal que
( )y f x
*( ) 0y f x
( )F x
Aproximaciones Sucesivas (univariable)
Sea la función:
Se obtiene sumando miembro a miembro en la expresión original x
Despejando x de algún termino
( )x F x
ln 4f x x x
ln 4F x x x x
2
4 lnF x x
4 xF x e
1k kx F x
1k k
rk
x x
x
1 1k kx F x
0
0x
1 0x F x
2 1x F x
Sustitución directa
A partir de un valor inicial (punto de arranque o valor semilla) se genera un nuevo valor utilizando F(x)
Se generan valores hasta satisfacer la tolerancia del error o alcanzar el numero máximo de iteraciones
max1, 2, ...,k k
2 4 6 8 10 12 140
2
4
6
8
10
12
14
16
x
F(x
)
2 4 6 8 10 12 140
2
4
6
8
10
12
14
16
x
F(x
)
2 4 6 8 10 12 140
2
4
6
8
10
12
14
16
x
F(x
)
2 4 6 8 10 12 140
2
4
6
8
10
12
14
16
x
F(x
)
2 4 6 8 10 12 140
2
4
6
8
10
12
14
16
x
F(x
)
2 4 6 8 10 12 140
2
4
6
8
10
12
14
16
x
F(x
)
Interpretación Grafica
Interpretación Grafica
Interpretación Grafica
Interpretación Grafica
Interpretación Grafica
1 11
k k kx qx q x
2 1k kx F x
1
q
1
1
k k
k k
F x F x
x x
Método de Wegstein
Mejora el proceso de sustitución directa. A partir del valor inicial se generan dos valores de manera tradicional y luego se aplica la siguiente ley recursiva:
max2, 3, ...,k k
1k k
rk
x x
x
1 1k kx F x
Se generan valores hasta satisfacer la tolerancia del error o alcanzar el numero máximo de iteraciones
1
q
0 0
0x x
3 2 31x qx q x
1 0 1x F x x
2 1
2 1
F x F x
x x
2 1 2x F x x
3 2x F x
4 3x F x
1 11
k k kx qx q x
2 1k kx F x
1
q
1
1
k k
k k
F x F x
x x
Método de Wegstein
Paso a paso para una mejor comprensión:
max2, 3, ...,k k
1k k
rk
x x
x
1 1k kx F x
2 4 6 8 10 12 14
2
4
6
8
10
12
14
16
x
F(x
)
2 4 6 8 10 12 14
2
4
6
8
10
12
14
16
x
F(x
)
2 4 6 8 10 12 14
2
4
6
8
10
12
14
16
x
F(x
)
2 4 6 8 10 12 14
2
4
6
8
10
12
14
16
x
F(x
)
2 4 6 8 10 12 14
2
4
6
8
10
12
14
16
x
F(x
)
2 4 6 8 10 12 14
2
4
6
8
10
12
14
16
x
F(x
)
2 4 6 8 10 12 14
2
4
6
8
10
12
14
16
x
F(x
)
Interpretación Grafica
El nuevo valor generado en la iteración k, o sea corresponde a la intersección de la
recta que une los puntos y con la recta y=x ,k k
x F x 1 1
,k k
x F x
1kx
0
1 0
0'
f xx x
f x
0
0x
1
2 1
1'
f xx x
f x
1
'
k
k k
k
f xx x
f x
Método de Newton-Rhapson (univariable)
A partir de un valor inicial (punto de arranque o valor semilla) se genera un nuevo valor que corresponde a la intersección de la recta tangente a la curva con el eje de las abscisas.
1k k
rk
x x
x
1kf x
Se generan valores hasta satisfacer la tolerancia del error o alcanzar el numero máximo de iteraciones
max1, 2, ...,k k
0 1 2 3 4 5 6 7 8-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
x
f(x)
0 1 2 3 4 5 6 7 8-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
x
f(x)
Interpretación Grafica
1
'
k
k k
k
u xx x
u x
Las raíces múltiples corresponden a puntos en donde la función es tangente al eje x.
Ralston and Rabinowitz (1978) propusieron la función u(x) que tiene las mismas raíces que f(x)
'
f xu x
f x
2
'
' ' ''
u x f x f x
u x f x f x f x
1
2
'
' ''
k k
k k
k k k
f x f xx x
f x f x f x
Modificación para múltiples raíces
Por lo tanto, al aplicar N-R a la nueva función u(x) se obtiene:
luego,
1k k
rk
x x
x
1kf x
Se generan valores hasta satisfacer la tolerancia del error o alcanzar el numero máximo de iteraciones
max1, 2, ...,k k
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
f(x)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
f(x)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
f(x)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
f(x)
Interpretación Grafica
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
x
f(x)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
x
f(x)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
x
f(x)
24 iteraciones N-R tradicional
Interpretación Grafica (N-R tradicional)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
x
f(x)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
x
f(x)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
x
f(x)
Interpretación Grafica (N-R modificado)
5 iteraciones N-R modificado
n-m: grados de libertad
Sistema de ecuaciones algebraicas no lineales
1 1 2
2 1 2
1 2
, , , 0
, , , 0
, , , 0
n
n
m n
f x x x
f x x x
f x x x
1,2, ,
: 1, 2, ,
i
n
j
x R i n
f R R j m
Sin perdida de generalidad supondremos m=n
1 1 2
2 1 2
1 2
, , , 0
, , , 0
, , , 0
n
n
n n
f x x x
f x x x
f x x x
:
n
n n
x R
f R R
Sistema de ecuaciones algebraicas no lineales
1 1 2
2 1 2
1 2
, , ,
, , ,
, , ,
n
n
n n
f x x x
f x x xf x
f x x x
Se define la función vectorial f asociada al sistema de ecuaciones original y el vector de incógnitas x:
1
2
n
x
xx
x
0f x
Por lo tanto, la expresión compacta de un sistema de ecuaciones algebraicas no lineal corresponde a:
Sistema de ecuaciones algebraicas no lineales
1 1 2
2 1 2
1 2
, , ,
, , ,
, , ,
n
n
n n
F x x x
F x x xF x
F x x x
Para aplicar algún método de aproximaciones sucesivas se debe reformular la función vectorial original a una del tipo:
Por lo que el sistema equivalente corresponde a:
x F x:
n
n n
x R
F R R
1
21 1 2 1 2 1
22 1 2 1
, 2cos 0
, 2 0x
xf x x x x x
xf x x e e x
1
21 2 1
21
2cos
2x
xx x x
fx
e e x
1
2
xx
x
1
21 2 1
21 2
2cos 2
2x
xx x x
Fx
e e x x
; : ; :n n n n nx R f R R F R R
Ejemplo
0f x x F x
1
1
k k
k k
rk
x x
x x
x
Sustitución directa (multivariable)
El valor de arranque o semilla corresponde a un vector:
0
1
00 0 2
0
n
x
1 0x F x
La primera aproximación se obtiene a partir de la función vectorial F asociada al sistema original.
Finalmente se desarrolla el proceso iterativo hasta satisfacer la tolerancia o alcanzar el máximo de iteraciones:
1k kx F x
max1, 2, ...,k k
Al tratarse de vectores el error corresponde a la norma de la diferencia entre dos aproximaciones sucesivas
1
21 2 1
21 2
2cos 2
2x
xx x x
Fx
e e x x
0 0.9
3x
0
1 0.94678
3.16246
F x
x
2 1 -0.02488
0.16649e x x
1
2 0.92191
3.32896
F x
x
Implementación en el ejemplo
1
2
xx
x
0.16834e
El error de la iteración 7 corresponde a: 128.37665 10e
¡El sistema no converge!
0 0
0x x
1 0 1x F x x
2 1 2x F x x
3 2x F x
11
ii
i
q i a n
1
11
k k
i i
i k k
i i
F x F xi a n
x x
1ii iQ q i a n
2 1k kx F x
1 1k kkx Qx I Q x
Método de Wegstein (multivariable)
Corresponde a una extensión de lo presentado para una variable.
max2,3,...,k k
1k k
rk
x x
x
1 1k kx F x
1
2
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0 n
q
q
0.52994
2.29723
-1.12741 0
0 1.77087Q
2
3 0.90872
3.71143
F x
x
2 33
i iix Qx I Q x
Implementación en el ejemplo
0 0.9
3x
0
1 0.94678
3.16246
F x
x
1
2 0.92191
3.32896
F x
x
2 1
2 11
i i
i
i i
F x F xi a n
x x
11
ii
i
q i a n
1ii iQ q i a n
3 -1.12741 0 0.92191 2.12741 0 0.90872
0 1.77087 3.32896 0 -0.77087 3.71143ix
3 0.89386
3.03412x
4 3x F x
3 2 0.89386 0.92191 -0.028050.29617
3.03412 3.32896 -0.29484e x x e
Implementación en el ejemplo
4 0.93517
3.24443x
El error de la iteración 90 corresponde a: 0.00427961e
Este es el menor error que se pudo encontrar en 100 iteraciones. La solución encontrada no es de “buena calidad”
* 0.99113
3.113416x
* 0.97641
3.11325F x
* -0.014725
-0.00017f x
1 1k k k kx x J x f x
1 1 1
1 2
2 2 2
1 2
1 2
n
n
n n n
n
f f f
x x x
f f f
x x xJ
f f f
x x x
Método de Newton-Rhapson (multivariable)
La formula recursiva de N-R multivariable corresponde a:
1kf x
1k k
rk
x x
x
max1,2,...,k k
Matriz Jacobiana de la función f
Inversa de la matriz J evaluada en el punto
:
:
n
n n
n n n
x R
f R R
J R R
1
21 2 1
21
2cos
2x
xx x x
fx
e e x
1
1 2 2 1 2 1
12 1 2
12
x
sen x x x sen x x x
J
e e e
Implementación en el ejemplo
0 0.9
3x
1 0.9 -0.32094 -0.16727 0.04678 0.94219
3 -1.10420 0.58021 0.16246 2.95740x
2 0.94219 -0.45979 -0.17906 0.00838 0.94644
2.95740 -1.52562 0.56158 0.00222 2.96893x
2 1 0.94644 0.94219 0.004250.01229
2.96893 2.95740 0.01153e x x e
3 40.94670
8.60794 102.96975
x e
4 60.94670
3.78051 102.96976
x e
5 110.94670
7.26989 102.96976
x e
Implementación en el ejemplo
* 0.94670
2.96976x
-10
*
-10
0.40478 10
0.01623 10f x
* 0.94670
2.96976F x
Podemos afirmar que es solución del sistema.
El error es del orden de 10-11
21
C
T1
P1
m1
xi,1
h1
s1
WRChis
T2
P2
m2
xi,2
h2
s2
Modelo de un Compresor
1 1 2 2 0W m h m h 2 1W m h h 1 2
Wh
m
1 2 0m m m
1 1, 2 2, 0i im x m x i 1, 2,i ix x
*2
1
ln 0
T IG
T
cpdT R RC
T
2
1
1 2
T
IG
T
h cp dT
*1 2
1 2
is
h
hh
Ejemplo: Compresión de Metano
Hipótesis: • Sin cambio de fase • Gas Ideal • Rendimiento isentrópico conocido • Relación de compresión Conocida
21
Ci=MetanoT1: 298.15 KP1: 1.01325 bar
¿W/m?RC=4his=0.8
T2: ¿?P2: 4.053 bar
*2
*
1
2
1 21
ln 0
T IG
T
Pcps dT R
T P
*2
*
1
1 2
T
IG
T
h cp dT
*2
*
1
1 2ln 0
T IG
T
cps dT R RC
T
2
1
1 2
T
IG
T
h cp dT
*1 2
1 2
is
h
hh
*2
*
1
1 2
T
IG
T
h cp dT
Estrategia de resolución Paso a Paso
Newton-Rhapson Sustitución Directa Wegstein
Cálculo directo
Cálculo directo
Newton-Rhapson Sustitución Directa Wegstein
*
2T
*1 2h
1 2h *1 2
1 2
is
hh
h
2T2
1
1 2 0
T
IG
T
cp dT h
*2
298.15
8.314472ln 4 0
T IGcpdT
T
*2
2 3 2 3 4
298.15
1 1 1ln
2 3 4
TIG IGcp a cpb cT dT eT dT a T bT cT dT eT C
T T T
*2
2 3 4
298.15
1 1 1ln 8.314472ln 4 0
2 3 4
T
a T bT cT dT eT
* 2 * 4 *2 7 *3 11 *4
2 2 2 2 2
1 1 137.93488ln 6.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 217.40021 0
2 3 4T T T T T
Paso 1: Temperatura ideal de descarga
2 3 4
2
4
7
11
8.314472
37.9348811130523 4
0.86.84220062904357 10
2.72495075111389 10
2.39023810089111 10
6.90563425598144 10
IG
is
J Jcp a bT cT dT eT R
molK molK
a RC
b
c
d
e
h
* 2 * 4 *2 7 *3 11 *4
2 2 2 2 2
1 1 137.93488ln 6.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 217.40021
2 3 4f T T T T T
298.15
ln 4
0*
2 298.15IG
R
cp
T e
2 4 * 7 *2 11 *3
2 2 2*
2
37.93488' 6.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10f T T T
T
0*1 0* *
21 0 1* * * 2 22 2 2 0*0*
22
403.33297 0.018122882539521'
r
f T T TT T T e
Tf T
2* -5
2 403.36466 7.85729 10rT e
3* -9
2 403.36466 1.47398 10rT e
*
2 403.36466T K
Paso 1: Temperatura ideal de descarga (N-R)
0*
2 410.77744T
*1 21 2
4025.25669
0.8is
hh
h
*2
*1 2
298.15
T
IGh cp dT
1 2 5031.57086J
hmol
2 3 4 51 1 1 1
2 3 4 5
IGcp aT bT cT dT eT C
*
* 2 *2 4 *3 7 *4 11 *5
2 2 2 2 21 2
1 1 1 137.93488 6.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 10236.86140
2 3 4 5h T T T T T
*
2 403.36466T K *1 24025.25669
Jh
mol
Paso 2 y 3: Saltos de entalpía
*2
*
2 3 4 5
1 2298.15
1 1 1 1
2 3 4 5
T
h aT bT cT dT eT
2 2
1 2 1 2
298.15 298.15
0
T T
IG IGh cp dT cp dT h
2 2 4 3 7 4 11 5
2 2 2 2 2
1 1 1 137.93488 6.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 10236.86140 5031.57086 0
2 3 4 5T T T T T
2 2 4 3 7 4 11 5
2 2 2 2 2
1 1 1 137.93488 6.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 15268.43226
2 3 4 5f T T T T T
2 4 2 7 3 11 4
2 2 2 2' 37.93488 6.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10f T T T T
0 0
2 2
298.15
5031.57086298.15 438.03795
IGT T
cp
1
2 427.70483 0.02359rT e
2 -4
2 427.63429 1.64927 10rT e
3 -9
2 427.63429 7.61126 10rT e
2 427.63429T K
Paso 4: Temperatura real de descarga
2
298.15
5031.57086 0
T
IGcp dT
427.63176Hysys K
*2
298.15
R ln 0
T IGcpdT RC
T
*2
*1 2
298.15
T
IGh cp dT
*1 2
1 2
is
h
hh
*2
1 2
298.15
0
T
IG
iscp dT hh
2
1 2
298.15
0
T
IGcp dT h
*2
*2
2
298.15
1 2
298.15
1 2
298.15
ln
T IG
T
IG
is
T
IG
cpdT R RC
T
f x cp dT h
cp dT h
h
*
2
1 2
2
T
x h
T
Resolución como sistema de ecuaciones
* 2 * 4 *2 7 *3 11 *4
2 2 2 2 2
* 2 *2 4 *3 7 *4 11 *5
2 2 2 2 2
1 1 137.93488ln 6.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 217.40021
2 3 4
1 1 1 137.93488 6.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 10236.8614
2 3 4 5
T T T T T
f x T T T T T
1 2
2 2 4 3 7 4 11 5
2 2 2 2 2 1 2
0 0.8
1 1 1 137.93488 6.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 10236.86140
2 3 4 5
h
T T T T T h
*2
*2
2
298.15
1 2
298.15
1 2
298.15
R ln
T IG
T
IG
is
T
IG
cpdT RC
T
f x cp dT h
cp dT h
h
*
2
1 2
T
x h
T
Resolución como sistema de ecuaciones
* 2 * 4 *2 7 *3 11 *4
2 2 2 2 2
* 2 *2 4 *3 7 *4 11 *5
2 2 2 2 2
1 1 137.93488ln 6.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 217.40021
2 3 4
1 1 1 137.93488 6.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 10236.8614
2 3 4 5
T T T T T
f x T T T T T
1 2
2 2 4 3 7 4 11 5
2 2 2 2 2 1 2
0 0.8
1 1 1 137.93488 6.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 10236.86140
2 3 4 5
h
T T T T T h
* * 4 *2 7 *3 11 *4
2 2 2 2 22
1 1 1 137.93488ln 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 217.40021
6.84220 10 2 3 4T T T T T
* 2 *2 4 *3 7 *4 11 *5
1 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 137.93488 6.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 10236.86140
0.8 2 3 4 5h T T T T T
2 2 4 3 7 4 11 5
2 2 2 2 2 1 2
1 1 1 1 16.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 10236.86140
37.93488 2 3 4 5T T T T T h
* 4 *2 7 *3 11 *4
2 2 2 22
* 2 *2 4 *3 7 *4 11 *5
2 2 2 2 2
1 1 1 137.93488ln 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 217.40021
6.84220 10 2 3 4
1 1 1 1 137.93488 6.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 102
0.8 2 3 4 5
T T T T
F x T T T T T
2 2 4 3 7 4 11 5
2 2 2 2 1 2
36.86140
1 1 1 1 16.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 10236.86140
37.93488 2 3 4 5T T T T h
Resolución utilizando el método de Wegstein
0
410.77744
5063.81132
438.93430
x
298.15
ln 4
0*
2 298.15IG
R
cp
T e
0
1 2 298.15
1410.77744 298.15
0.8
IGh cp
0
2
298.15
5063.81132298.15
IGT
cp
1 0
421.69204
5411.56631
427.14307
x F x
2
448.51236
5977.78708
437.70540
x
3
513.66230
7403.96123
451.39128
x
3
402.92512
5038.74846
391.42633
x
0.15660re
4
402.27497
5009.15375
430.88847
x
4
403.37555
5057.83842
462.27722
x
0.01447re
10
403.36465
5031.57086
427.63429
x
-9 2.59647 10re
Resolución utilizando el método de Wegstein
Enfriamiento final
21
C
IC
3
T1
P1
m1
xi,1
h1
s1
WRChis
T2
P2
m2
xi,2
h2
s2
T3
P3
m3
xi,3
h3
s3
QUA
LMTD
Simulación modular secuencial Simulación global u orientada a ecuaciones
Compresión por etapas
Simulación modular secuencial Simulación global u orientada a ecuaciones
21
C1
IC1
3
C2
4
IC2
5
T1
P1
m1
xi,1
h1
s1
W1
RC1
his1T2
P2
m2
xi,2
h2
s2
T3
P3
m3
xi,3
h3
s3
Q1
UA1
LMTD1
W2
RC2
his2T4
P4
m4
xi,4
h4
s4
Q2
UA2
LMTD2
T5
P5
m5
xi,5
h5
s5
Compresión por etapas y recirculación
Simulación modular secuencial Simulación global u orientada a ecuaciones
21
C1
IC1
3
C2
4
IC2
5 6
R
0
T1
P1
m1
xi,1
h1
s1
W1
RC1
his1T2
P2
m2
xi,2
h2
s2
T3
P3
m3
xi,3
h3
s3
Q1
UA1
LMTD1
W2
RC2
his2T4
P4
m4
xi,4
h4
s4
Q2
UA2
LMTD2
T5
P5
m5
xi,5
h5
s5
T0
P0
m0
xi,0
h0
s0
TR
PR
mR
xi,R
hR
sR
T6
P6
m6
xi,6
h6
s6