PRESENTACIÓN Y PLAN DE TRABAJO€¦ · Web viewPresentación y plan de trabajo. En este tema vas a aprender lo siguiente: OBJETIVOS CONCEPTOS ACTIVIDADES Conocer qué es la lógica

1 LA LÓGICA

PRESENTACIÓN Y PLAN DE TRABAJO. EN ESTE TEMA VAS A APRENDER LO SIGUIENTE:

OBJETIVOS CONCEPTOS ACTIVIDADES

1. Conocer qué es la lógica y sus carcaterísticas

2. Ejercitarse en la páctica de la lógica proposicionl..

3. Estudiar la lógica informal y los distintos tipos de falacias.

1. DEFINICIÓN Y CARACTERÍSTICAS DE LA LÓGICA

2. LA LÓGICA PROPSICIONAL3. LA LÓGICA INFORMAL

1. Lectura del tema 2. Actividades en el cuaderno de clase.3. Vocabulario 4. Comentario Textos.6. Pruebas objetivas7. Debates Plan de Discusión.

AUTOEVALUACIÓN ¿Cómo he realizado mi trabajo en este tema?

Baremo: B: Bien , si lo hecho M: Mal, no lo hecho NM : necesito mejorar

He aprovechado el tiempo en clase

He revisado la ortografía, sintaxis y redacción.

He buscado la información en diversas fuentes.

He entregado los trabajos a tiempo.

He estado atento en durante las explicaciones en clase

He colaborado con mis compañeros en los trabajos

He presentando los trabajos limpios y ordenados, con buena caligrafía.

He mantenido una actitud positiva y respetuosa en clase

He realizado mi trabajo de forma autónoma sin copiarme de mis compañeros

He elaborado los esquemas, resúmenes y comentarios de forma correcta.

He analizado críticamente el tema

Conozco los contenidos del tema y puedo explicarlos por escrito y oralmente.

MI OPINIÓN

LA OPINIÓN DEL PROFESOR

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3. LA LÓGICA

2 LA LÓGICA

La lógica debe cuidarse de sí misma. Todo lo que es posible en la lógica está también permitido. En cierto sentido, no podemos equivocarnos en la lógica. -Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico Philosophicus, 5.473

LA LÓGICAhttp://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/

http://didactalia.net/comunidad/materialeducativo/recurso/Aprende-Logica/7072d421-3fe6-4e18-b90e-018449ab17bc

GUÍA DE UTILIZACIÓN PARA EL ALUMNO

Esta guía tiene estas cuatro partes:

¿Qué es Aprende Lógica?

Estructura de Aprende Lógica

Navegación

Contenidos

¿ Qué es Aprende Lógica?

Aprende Lógica (AL) es una aplicación interactiva escrita en lenguaje HTML y JavaScript que permite a los alumnos de Filosofía de primero de Bachillerato estudiar, practicar, evaluar y ampliar los contenidos referidos a la lógica proposicional.

Estructura de Aprende Lógica

AL tiene cuatro grandes apartados:

1. Temas

2. Actividades

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http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/

3 LA LÓGICA

3. Evaluación

4. Glosario

Además, como recursos auxiliares para la aplicación del material dispone de:

un sistema de ayuda,

una guía para el alumno (este documento)

una guía de aplicación didáctica para el profesor.

Un generador de tablas de verdad escrito en JavaScript

Navegación

Para acceder a los contenidos de AL hay varias opciones:

1. La primera es acceder desde la página de presentación a los menús de cada uno de los cuatro apartados. En cada uno de ellos hay un menú situado a la izquierda que da acceso a los contenidos.

2. La segunda es acceder a cada uno de los cuatro apartados desde la barra superior, que siempre está accesible en AL. Esta barra contiene botones que dan acceso directo a cualquiera de las cuatro secciones principales de la aplicación, y además, a la ayuda y al generador de tablas de verdad, al sistema de ayuda, al glosario y a la página de inicio.Por lo tanto, es bastante sencillo acceder a cualquier contenido de AL prácticamente desde cualquiera de sus páginas.

Contenidos

AL tiene cuatro secciones: (I) temas, (II) actividades, (III) evaluación y (IV) glosario. Cada una de estas secciones está relacionada con las demás, aunque también tenga una entidad relativamente autónoma. Revisémoslas rápidamente:

I. Los cinco temas de Lógica proposicional o de enunciados que pueden estudiarse, practicarse, evaluarse y aplicarse con AL son:

1. Conceptos básicos de Lógica

2. El lenguaje de la Lógica

3. Tablas de verdad

4. Las leyes de la lógica

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4 LA LÓGICA

5. El cálculo deductivo

Estos cinco temas se han diseñado para que se acceda a sus contenidos de forma secuencial, esto es, siguiendo un orden preestablecido que, no obstante, se puede modificar según las indicaciones del profesor.

La utilización típica de los temas en AL incluye ir visitando ordenadamente cada una de las páginas de cada tema, realizando las actividades de práctica guiada insertas en los mismos temas. En estos casos a veces se proporcionan indicaciones auxiliares en la barra de la derecha que, o bien aparecen automáticamente cuando se carga la página, o bien se pueden invocar mediante enlaces con el icono

Como en cada uno de los temas hay enlaces con las secciones de Actividades y de Evaluación, se deja abierta la opción de practicar y evaluar cada uno de los temas a medida que se va progresando en ellos, sin necesidad de esperar a concluir el trabajo sobre un tema para comenzar con las Actividades o la Evaluación correspondientes. Si se interrumpe una sesión de estudio abandonando la sección de temas para acceder a sus correspondientes actividades o evaluación, siempre se podrá volver al punto del tema que se ha abandonado pulsando el botón situado al final de cada actividad y evaluación.

II. La sección de Actividades tiene dos partes: las actividades de cada tema, clasificadas por su nivel de dificultad, y una sección de juegos lógicos. Cada uno de los cinco temas tiene un apartado en la sección de Actividades. El menú de las actividades también está situado a la izquierda, de forma que siempre que se esté en esta sección se puede acceder al menú de actividades de cada tema, que se dispone en la parte central-derecha del navegador. Hay varias formas de acceder a las actividades:

1. La primera es desde el submenú “Actividades ordenadas por temas”, que da acceso a cinco pantallas con sus correspondientes listas de actividades clasificadas por orden de dificultad. Se han establecido tres niveles de dificultad que se estima que requieren un nivel progresivo de dominio de los temas por parte de los alumnos. Estos tres niveles son “iniciación”, “refuerzo” y “avanzado”. Las actividades de iniciación suponen un nivel más elemental e indispensable de dominio del contenido, mientras que las actividades del nivel “avanzado” con frecuencia recurren a direcciones externas (que requieren una conexión a internet) a AL para ampliar contenidos o dar una enfoque algo diferente al utilizado en AL. Las actividades que requieren una conexión a internet por recurrir a recursos externos a AL siempre llevan adosado el siguiente icono:

2. La segunda es solicitando una de estas actividad al azar, accionando el botón

3. La tercera es desde el correspondiente apartado de cada tema, para que se puedan ejercitar de manera inmediata los conceptos expuestos en cada tema.

Los tres juegos que se incluyen en esta sección de Actividades tienen su propia explicación detallada en sus propias páginas, y también se accede a ellos desde la barra de la izquierda de esta sección de actividades.

III. La sección de evaluaciones contiene series de ejercicios interactivos referidos a cada uno de los cinco temas. Es importante que, como estudiante, vayas tomando conciencia de que la autoevaluación del aprendizaje forma parte del mismo proceso de aprender. En términos generales, sería deseable que llegaras también al convencimiento de lo importante que resulta tener en la vida una actitud reflexiva y crítica sobre uno mismo.

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5 LA LÓGICA

Al terminar de hacer estos ejercicios se obtiene un informe sobre las preguntas respondidas correcta e incorrectamente, así como el porcentaje de aciertos y un comentario verbal. Lo ideal sería acceder a esta sección después de completar las prácticas y las actividades de cada tema. El mismo hecho de realizar actividades de evaluación puede servir para consolidar tus aprendizajes. Siempre es útil revisar los conceptos en los que más se ha fallado en los temas de AL, y también en el glosario y en las actividades complementarias.

IV. Por último, el glosario de AL tiene, por el momento 82 entradas correspondientes a algunos de los conceptos más utilizados en la lógica proposicional. Este glosario es una especie de diccionario que proporciona definiciones más o menos formales de los conceptos clave. Con frecuencia también se ofrecen ejemplos, y casi siempre enlaces con otros conceptos relacionados del mismo glosario, de los temas (con el botón “ Ir al texto” o bien con recursos de internet donde se puede ampliar el tema. Darse un paseo por el glosario es, por sí mismo, un ejercicio muy estimulante que puede ayudar a forjarse una idea más clara de las relaciones que hay entre los conceptos.

En caso de que surja alguna duda sobre la aplicación, siempre tienes a tu disposición la ayuda haciendo clic en el icono de la barra superior.

Además de estos cuatro apartados, AL tiene un Generador de tablas de verdad, que tienen sus propias instrucciones, y que se abre en una nueva ventana al hacer clic en el

botón: .

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http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/ayuda/alumno.html

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1. Conceptos básicos de Lógica

1. ¿De qué trata la lógica?

Las personas constantemente tomamos decisiones acerca de lo que creemos que es verdadero en distintos aspectos de nuestras vidas. Aunque todo el mundo está de acuerdo en preferir creer lo que es verdad, con frecuencia discrepamos sobre lo que es verdadero en casos particulares. Si bien muchas de nuestras convicciones fundamentales sobre el mundo que nos rodea las adquirimos de cualquier manera en lugar de mediante el uso de la razón, todos reconocemos que nuestras creencias sobre el mundo y los hechos que acaecen en el mismo mundo están de algún modo ligadas.

Por ejemplo, si yo creo que todos los perros son mamíferos y que todos los mamíferos son seres racionales, entonces tendría sentido para mí suponer que todos los perros son seres racionales. En este caso, incluso quien (acertadamente) discrepara con mi comprensión de las clasificaciones biológicas podría apreciar la forma consistente y razonable en que he utilizado mis creencias erróneas como base sobre la que establecer nuevas creencias. Por otra parte, si llego a la conclusión de que Alonso Quijano es español porque creo que Alonso Quijano es un personaje de José Zorrilla, y que algunos españoles son personajes de José Zorrilla, entonces incluso alguien que esté de acuerdo con mi conclusión me reprochará (de nuevo acertadamente) no haber dado buenas razones para apoyarla.

En conclusión, podemos estar de acuerdo con el camino que sigue un razonamiento aunque discrepemos de sus puntos de partida y de llegada. Es decir, es posible distinguir los razonamientos válidos de los invalidos independientemente de que estemos o no de acuerdo con el contenido que expresen dichos razonamientos. Dicho de forma muy simple, la lógica es la disciplina que estudia esta distinción determinando las condiciones bajo las cuales la verdad de ciertas creencias conduce con certeza a la verdad de alguna otra creencia. La lógica estudia, pues, los principios de los razonamientos correctos.

Hay que apresurarse a señalar que la lógica no garantiza que siempre lleguemos a conclusiones verdaderas, ya que algunas veces las creencias de las que partimos son erróneas (como suponer que todos los mamíferos son seres racionales, en el ejemplo anterior). Lo que sí garantiza la lógica es que siguiendo los principios de los razonamientos correctos, no surgan otros errores aparte de los derivados de la posible falsedad de los conocimientos que sustancian nuestros razonamientos.

En esta primera parte de introducción a la lógica estudiaremos los siguientes bloques de conceptos que subyacen a la aproximación intuitiva que acabamos de exponer:

en qué consisten las proposiciones la estructura de los argumentos y noción de inferencia

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la distinción entre lógica formal y lógica material

la diferencia entre verdad, validez y solidez de los argumentos

los tipos de inferencia, distinguiendo entre inferencias deductivas e inductivas

Continuemos en la siguiente sección viendo en qué consisten las proposiciones.

Los enunciados o proposiciones lógicas

¿Qué es un enunciado lógico?

Una proposición o enunciado es el significado de cualquier frase declarativa (o enunciativa) que pueda ser o verdadera (V) o falsa (F). Nos referimos a V o a F como los valores de verdad del enunciado.

Ejemplo 1: las proposiciones

La frase "1=1" es un enunciado, puesto que puede ser verdadero o falso. Como resulta que es un enunciado verdadero, su valor de verdad es V. La frase "1=0" también es un enunciado, pero su valor de verdad es F.

"Lloverá mañana" es una proposición. Para conocer su valor de verdad habrá que esperar hasta mañana.

El siguiente enunciado podría salir de la boca de un enfermo mental: "Si soy Napoleón, entonces no soy Napoleón". Este enunciado, como veremos más adelante, equivale al enunciado "No soy Napoleón". Como el hablante no es Napoleón, es un enunciado verdadero.

"Haz los ejercicios de lógica" no es un enunciado, puesto que no se le puede asignar ningún valor de verdad (Está en modo imperativo, es una orden, y no una frase declarativa)

"Haz el amor y no la guerra" tampoco es un enunciado, puesto que no se le puede asignar ningún valor de verdad (También está en modo imperativo, es una orden, y no una frase declarativa)

"El perro" no es una proposición, puesto que no es ni siquiera una frase completa (al menos en este contexto).

Los enunciados como resultado de los juicios

El acto mental que tiene como resultado una proposición o enunciado se denomina juicio (sustantivo, del verbo enjuiciar). La expresión verbal de un juicio es un enunciado. Los seres humanos realizamos un juicio cada vez que pensamos que algo es alguna otra cosa (a lo que llamamos afirmación), y también cuando pensamos que algo no es otra cosa (a lo que llamamos negación). En consonancia con lo que decíamos al principio, enjuiciar consiste en afirmar o negar.

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Si tú piensas que este ordenador es complicado, entonces estás ejecutando un juicio. Si expresas verbalmente este juicio, lo habrás de hacer en forma de un enunciado o proposición: la proposición "Este ordenador es complicado". El juicio es el acto mental que ocurre cuando piensas que este ordenador es complicado, y la proposición es la oración que construyes para expresar dicho pensamiento.

Fíjate bien en esto...

Los enunciados son diferentes de las oraciones que los contienen. Así, "Fulanito ama a Menganita" expresa exactamente la misma proposición que "Menganita es amada por Fulanito". En los enunciados lo esencial es el significado de la frase enunciativa.

De manera análoga, la proposición "Hoy llueve aquí" se puede utilizar para transmitir diferentes proposiciones, dependiendo del lugar y del momento en que se encuentre la persona que profiera dicho enunciado ("El 15 de agosto de 2003 llueve en León", "El 31 de octubre de 2011 llueve en Madrid", etc.). En este caso, el momento y el lugar hacen cambiar el significado del enunciado, de manera que su valor de verdad depende de estas circunstancias.

Pero, cada proposición es o bien verdadera o bien falsa. En algunas ocasiones, por supuesto, no conocemos cuál de estos valores de verdad (verdadero o falso) es el que tiene una determinada proposición, (por ej. "Hay vida inteligente fuera del planeta Tierra") pero podemos estar seguros de que tiene o uno u otro.

Práctica sobre los enunciados

Contesta a las siguientes preguntas teniendo presente lo que acabamos de comentar sobre lo que es y no es un enunciado o proposición.

Principio del formulario

"El sol no es un astro"

es una proposición con valor de verdad V

es una proposición con valor de verdad F

no es una proposición

"El lago de los cisnes"




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"2+2=4"




La importancia de los enunciados o proposiciones radica en que son las unidades que utiliza la lógica para formar argumentos. Continuemos la siguiente sección viendo de qué elementos se compone un argumento y el papel que tiene en dicho contexto el concepto de inferencia.

Práctica sobre las proposiciones

Contesta a las siguientes preguntas teniendo presente si cumplen los requisitos para ser una proposición. En caso afirmativo, especifica si es una proposición verdadera o falsa.


"Algunos perros ladran"




"El rey de Francia es calvo"




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"La vida inteligente abunda en el universo"




"La constitución inglesa tiene faltas de ortografía"




"Francia es una república, y en Francia no tienen rey"




"En Inglaterra no tienen escrita su constitución en un único documento"




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"En un lugar de la Mancha"

Miguel de Cervantes




"¡Venid aquí ipso facto!"

Don Pantuflo Zapatilla a sus hijos, Zipi y Zape




"¿Cómo están ustedes?"

Gabi, Miliki, Fofito y Milikito




"Rouen es la capital de Francia"




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Argumentos e inferencia

La principal tarea de la lógica es la de averiguar cómo la verdad de una determinada proposición está conectada con la verdad de otra. En lógica habitualmente se trabaja con grupos de proposiciones relacionadas.

Un argumento es un conjunto de dos o más proposiciones relacionadas unas con las otras de tal manera que las proposiciones llamadas 'premisas' se supone que dan soporte a la proposición denominada 'conclusión'.

La transición o movimiento desde las premisas hasta la conclusión, es decir, la conexión lógica entre las premisas y la conclusión, es la inferencia sobre la que descansa el argumento.

Los argumentos

Veamos con un ejemplo de argumento que aparece de una u otra manera en todos los libros de introducción a la lógica:

(1) Si Sócrates es humano, entonces es mortal

(2) Sócrates es humano

(3) Por lo tanto, Sócrates es mortal

En este ejemplo las dos primeras proposiciones funcionan como premisas, mientras que la proposición tercera es la conclusión.

Fíjate que las palabras "premisa" y "conclusión" se definen aquí sólo por medio de la relación que hay entre ellas dentro de un argumento concreto. Una misma proposición puede aparecer como conclusión de un argumento en una parte de razonamiento, pero también como una de las premisas en otra parte posterior del mismo razonamiento. En nuestro ejemplo, nada impide que nuestra conclusión "Sócrates es mortal" puede utilizarse como premisa para otro argumento.

La inferencia

Hay un cierto número de expresiones verbales del lenguaje cotidiano que marcan o indican si una determinada proposición funciona como premisa o como conclusión (por ejemplo, la expresión "por lo tanto" se suele ir seguida de la conclusión). Sin embargo, el uso de estos marcadores lingüísticos no es estrictamente necesario, ya

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que el contexto puede aclarar la dirección del movimiento desde las premisas hasta la conclusión. Lo que distingue a un argumento de una mera colección de proposiciones es la inferencia que se supone que las une.

Veamos esta idea con un par de ejemplos. Si yo profiero "Daniela es cirujana y el sol brilla, aunque la catedral de León es gótica" lo único que tengo es un conjunto de proposiciones que no tienen ninguna relación entre ellas en el sentido de que la verdad o falsedad de cada una de ella no tiene que ver con la verdad o falsedad de las demás. Sin embargo, si yo digo: "Daniela es cirujana, por lo que Daniela ha estudiado Medicina, ya que todos los cirujanos han estudiado Medicina", estoy empleando un argumento perfectamente válido en el que la verdad de la conclusión "Daniela ha estudiado Medicina" se deriva inferencialmente de las premisas "Daniela es cirujana" y "Todos los cirujanos han estudiado Medicina".

Argumentos, premisas y conclusiónIdentifica la conclusión de cada uno de los siguientes :


Macondo Fútbol Club ganará el campeonato nacional de liga porque tiene el mejor equipo.

Como el precio del suelo está alto, y los tipos de interés también, es un mal momento para comprar un piso.

No fijar límites de velocidad ha aumentado el número de accidentes de tráfico, por tanto debemos fijar límites de velocidad.

Podemos inferir la gran altura moral de Bertrand Russell, del hecho de que era un defensor a ultranza de la paz y tuvo muchos problemas con la autoridad por defender sus ideas.

Los descubrimientos científicos desacreditan constantemente los mitos religiosos. Además, la ciencia ha demostrado ser la herramienta más eficaz para promover el bienestar humano.

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Por consiguiente, la ciencia proporciona un punto de vista más preciso que la religión sobre la vida humana.

Espero un ascenso. Soy muy eficaz en mi trabajo.

Ana María tiene un año de edad. Todos los niños de un año de edad saben andar. Por lo tanto, Ana María sabe andar.

La educación promueve el pensamiento crítico y la asegura la libertad de conciencia. La lectura es indispensable para la educación. El pensamiento crítico y la libertad de conciencia son fundamentales para la democracia. Por lo tanto, la lectura es necesaria para la democracia.

Identificación de argumentos

Es importante aprender a distinguir a los argumentos de meros grupos de proposiciones que no cumplen con los requisitos necesarios para hablar de argumentos. Recuerda que los argumentos consisten en grupos de proposiciones en los que hay algunos que actúan como premisas que, en virtud de la inferencia lógica, justifican otra proposición que llamamos conclusión. Por el momento aprenderemos a identificar argumentos, sin pronunciarnos sobre si se trata de buenos o malos argumentos (válidos o inválidos); esta cuestión la trataremos un poco más adelante, y constituye el grueso de Aprende Lógica.

Para decidir si estamos ante un argumento o no, simplemente apelaremos al sentido común y a un sencillo análisis del texto sobre el que hayamos de decidir, centrándonos en los siguientes aspectos:

1. El texto, ¿tiene una conclusión?. Si es así, ¿cuál es? 2. El texto ¿ofrece razones que apoyen la conclusión?, es decir, ¿hay premisas? Si es así ¿cuáles son?

3. El texto ¿presume que hay una relación inferencial entre premisas y conclusiones?

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Presunción de facticidad y presunción de inferencia

Quien presenta un argumento esta formulando (explícita o implícitamente) dos presunciones acerca de dicho argumento. Una es la presunción de facticidad, es decir, da por sentado (asume) que las premisas que se proporcionan son, de hecho, verdaderas. La segunda presunción es la presunción de inferencia, que asume que las premias están conectadas con la conclusión de tal forma que la fundamentan, que le dan apoyo. De hecho esta relación inferencial entre premisas y conclusión es el núcleo de la lógica, y nuestro principal objeto de atención en Aprende Lógica, y la analizaremos de distintas maneras y desde diferentes ángulos.

Siempre que tratamos de convencer a alguien de algo argumentando ponemos en juego estas dos presunciones: la de facticidad para reclamar la relevancia real del asunto tratado en las premisas, y la de inferencia para mostrar la conexión entre las premisas y la conclusión. Por tanto, para decidir si estamos ante un argumento o no, debemos identificar se están presentes de manera adecuada tanto la presunción de facticidad como la de inferencia.

Si no es un argumento, ¿qué es?

Un buen método para determinar si una porción de discurso (hablado o escrito) no es un argumento, es identificar qué es entonces. A continuación ofrecemos un lista de posibles alternativas cuando no encontramos en una porción de discurso premisas, conclusión o relación inferencial lógica entre ambas. (Haz clic en los enlaces de la columna de la derecha para acceder a ejemplos de cada uno de los tipos descritos)

Advertencias No se proporcionan razones (no hay premisas). Predomina la función apelativa y conativa. Ejemplo de advertencia

Enunciación de una creencia u opinión

No se proporciona un fundamento sólido, real para tal creencia u opinión. Aunque puede que exista la pretensión de que se reconozca tal creencia u opinión como verdadera, no hay un desarrollo sistemático de premisas-inferencia-conclusión en apoyo de lo enunciado.

Ejemplo de creencia

Proposiciones vagamente relacionadas

Las proposiciones no están conectadas por relación inferencial alguna. Ejemplo de proposiciones vagamente relacionadas

Informes Son simples enumeraciones de hechos, del tipo que aparecen en las noticias de los periódicos. No hay intención de probar nada, simplemente, se proporciona información sobre los hechos. Ejemplo de informe

Ilustración Simplemente se ofrecen ejemplos de algo. Ejemplo de ilustración

Enunciados condicionales

Son enunciados con la estructura "Si... entonces..." Los enunciados condicionales no son argumentos en sí mismos, pero los arguementos con frecuencia se componen de varias proposiciones de este tipo. Lo que sigue al "si..." se denomina "antecedente" (es decir la condición), y lo que sigue al "entonces..." es el "consecuente" (es decir lo que sucede cuando se cumple la condición).

Ejemplo de enunciado condicional

Explicaciones Consiste en una aclaración de por qué algo es el caso. Una explicación a veces es difícil de distinguir de un argumento porque también involucra razones (similares a las premisas). Pero, a diferencia de los argumentos, donde la conclusión es "nueva" información, en una explicación el enunciado que es explicado (el explanandum, la parte que parece la conclusión) es normalmente un hecho comúnmente aceptado. El explanans (los enunciados que sirven para aclarar, que

Ejemplo de explicación

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http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/barradcha/0227conbas.html









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pueden ser similares a las premisas) es la nueva información de una explicación, mientras que las premisas son los hechos aceptados en los argumentos.En los argumentos se busca fundamentar información nueva a partir de información ya aceptada, mientras que en las explicaciones se busca aclarar información ya bien establecida.

2. EL LENGUAJE FORMAL Y LA LÓGICA

El lenguaje y la Lógica

Lenguaje natural, lenguaje artificial

Para los fines comunicativos cotidianos los seres humanos utilizamos los llamados lenguajes naturales, que son códigos lingüísticos que nuestra especie ha ido forjando a través de miles de años de evolución y que cada individuo es capaz de aprender en unos pocos años.

Sin embargo, el lenguaje natural, con la fundamental importancia que tiene, parece inadecuado para determinados fines. En ocasiones este tipo de lenguajes contienen ambigüedades, imprecisiones, que lo hacen inadecuado para determinados fines. Es obvio que una teoría científica será mucho más poderosa si pudiera formularse en un lenguaje construido a propósito, a la medida para captar todos los matices y complejidades de su objeto de estudio sin ambigüedades y con total precisión.

Es esta necesidad la que ha llevado a los seres humanos a construir lenguajes artificiales para determinados fines. Por ejemplo, la matemática es uno de estos lenguajes, que permite formalizar con una increible precisión teorías físicas. Para transmitir órdenes a los ordenadores para que ejecuten ciertas tareas es preciso hacerlo utilizando un lenguaje de programación, que también es un lenguaje artificial.

Pues bien, la Lógica es uno de estos lenguajes artificiales creados por el hombre, y pretende ser un instrumento de precisión para la correcta ordenación del pensamiento. En esta sección estudiaremos brevemente cómo se pasa del lenguaje natural al artificial de la lógica, así como la estructura de este lenguaje lógico, sus elementos constitutivos básicos.

Dimensiones del lenguaje

Algunos autores consideran que cualquier lenguaje natural, en tanto que sistema simbólico complejo que sirve a la comunicación tiene tres aspectos o dimensiones: la sintáctica, la semántica y la pragmática. Veámoslas brevemente:

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La dimensión sintáctica se refiere a la relación que se establece entre los signos de un lenguaje. En concreto, la sintaxis estudia las diversas combinaciones de signos que dan lugar a combinaciones de ellos con la propiedad de estar bien formadas. Por ejemplo, no es lo mismo decir "En esta foto aparece el cielo" que "foto cielo la en aparece". En los lenguajes artificiales ocurre algo parecido.

La dimensión semántica se refiere a las relaciones de los signos con sus correspondientes significados. Es decir, la semántica trata de investigar las relaciones de los signos con aquello que constituye su interpretación (aunque al margen de los contextos en que estos signos son usados por sus hablantes).

Por ejemplo, si yo muestro esta parte de una foto de mis vacaciones a un amigo, y le digo que en ella se ve "el cielo", estoy utilizando el lenguaje de una manera semánticamente adecuada. Sin embargo, si le digo sin más que se ve la "piel del cielo", me tomará por un demente por hacer un uso inadecuado de la semántica, del significado de la palabra "cielo".

La dimensión pragmática alude a la relación entre los signos y los contextos y circunstancias en que se desenvuelven los usuarios de dichos signos. Por ejemplo, si yo quiero mostrar a mi amiga los sentimientos que me evoca la fotografía puedo recordar los versos del poema Vuelo de los hombres de Miguel Hernández: "Sobre la piel del cielo, sobre sus precipicios,/ se remontan los hombres. ¿Quién ha impulsado el vuelo? / Sonoros, derramados en aéreos ejercicios, / raptan la piel del cielo". En este caso el contexto dota a la expresión "piel del cielo" de un significado más o menos vago, metafórico, evocador, abierto a la interpretación, por aparecer en el contexto de un poema.

Muchos de los malentendidos y dificultades de comunicación que acontecen en nuestra vida cotidiana vienen por no utilizar adecuadamnte el lenguaje, al obviar sus reglas sintácticas, semánticas y pragmáticas.

Pues bien, una de las funciones básicas de la Lógica es la de ayudarnos a minimizar el riesgo de los usos inadecuados del lenguaje en el curso de los razonamientos estudiando la estructura de dichos razonamientos. Y para llevar a cabo este estudio, es preciso construir un lenguaje artificial en cuyos secretos empezaremos a iniciarnos en la página siguiente.

El lenguaje formal de la Lógica

¿Qué es un lenguaje formal?

Un lenguaje formal, en tanto que lenguaje artificial, está formado por los siguientes elementos básicos:

Unos signos primitivos del lenguaje, esto es su alfabeto.

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18 LA LÓGICA

Unas reglas de combinación de dichos signos, es decir una gramática que especifique cómo combinar unos signos primitivos con otros para tener expresiones bien formadas.

En nuestro caso, como buscamos aplicar el lenguaje formal a la reconstrucción de la estructura lógica del lenguaje natural, precisaremos de unas reglas que nos ayuden en la formalización o traducción de expresiones del lenguaje natural al de la lógica formal.

Veamos el primero de ellos a continuación.

El alfabeto del lenguaje formal en la lógica proposicional

El lenguaje lógico de la lógica proposiconal consta de tres tipos de signos en su tarea de reconstruir la estrucutura lógica del lenguaje natural:

(1) Unos signos para representar las proposiciones simples o atómicas: se trata de las letras proposicionales, que por convención suelen designarse con las letras minúsculas p, q, r, etc.

(2) Unos signos para formar proposiciones complejas o moleculares conectándolas entre sí: se trata de las conectivas (también llamados conectores, o juntores). En la siguiente tabla presentamos el nombre, el signo y la equivalencia con el lenguaje natural de las cinco conectivas que utilizaremos:

Nombre de la conectiva: Símbolo: Correspondenica en el

lenguaje natural:

Negador ¬ "no ..."

Conjuntor "... y ..."

Disyuntor "... o ..."

Condicional "si ... entonces..."

Bicondicional "... si y sólo si ..."

(3) Unos signos auxiliares, que son los paréntesis, que pueden ayudar a delimitar dónde comienza una parte de la fórmula y dónde acaba para empezar la siguiente. Su equivalencia en el lenguaje natural serían los signos de puntuación en la lengua escrita.

Pasemos ahora a presentar la gramática de nuestro lenguaje en la página siguiente.

Las reglas de formación de fórmulas

Además de los signos primitivos que acabamos de conocer, necesitamos unas reglas que nos permitan saber cuándo estamos ante una combinación de símbolos que esté bien construída en el lenguaje formal.

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¿Qué es una fórmula bien formada?

Una fórmula es una secuencia de caracteres, pero es preciso delimitar de la totalidad de combinaciones posibles de caracteres aquellas que sean como "bien formadas"; para ello, damos la siguiente definición de lo que es una fórmula bien formada, (o fbf):

1. Una letra enunciativa es una fbf. 2. Toda fbf a la cual se antepone el símbolo "¬" (negación) es una fbf.

3. Si A y B son fbfs, entonces las scuencias: (A B), (A B), (A B),y (A B)

4. Toda secuencia de caracteres producida por la aplicación de los pasos 1, 2, 3, en cualquier orden, constituye una fbf. (Cláusula de recursión)

5. Ninguna otra secuencia constituye una fbf. (Cláusula de exclusión)

Ejemplo:

A continuación presentamos algunos ejemplos de fbfs y no bien formadas:

Fórmulas BIEN formadas

Fórmulas MAL formadas

p ¬(q r) (p¬ (q r))

¬p r p q(

q ¬¬(p(q r))

¬(¬r) ¬ ¬(pq r))

Pasemos, a continuación, a presentar una por una todas las conectivas con las peculiaridades que presentan cada una de ellas y los trucos para formalizarlas en lenguaje natural.

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20 LA LÓGICA

La negación de enunciados

La representación de las proposiciones

Utilizaremos las letras p, q, r, s y así sucesivamente para representar las proposiciones. Así, por ejemplo, si decidimos que p represente la proposición "el sol brilla", lo escribiremos de la siguiente manera:

p: "el sol brilla"

que se lee: p es el enunciado "el sol brilla"

Modificación de las proposiciones

Podemos formar nuevas proposiciones a partir de otras de muchas maneras diferentes. Por ejemplo, a partir de p: "Yo soy un leonés", podemos formar la negación de p: "No es el caso de que yo sea leonés", o más sencillamente "No soy leonés". Denotamos la negación de p mediante ¬p, que se lee "no p". Hay otras formas de señalar la negación de un enunciado, por ejemplo, mediante el símbolo ¬. Los símbolos ¬ y ¬ son equivalentes, pero aquí utilizaremos preferentemente ¬ por una mera cuestión de simpatía: Wittgenstein utilizó el símbolo ¬ en su Tractatus Logico Philosophicus.

Lo importante de la negación es que si p es verdadero, entonces ¬p es falso, y viceversa. Esto se puede resumir en la siguiente tabla de verdad de la negación:

p ¬p

V F

F V

En la columna de la izquierda están los dos posibles valores de verdad de p, y en la de la derecha aparecen los correspondientes valores de verdad para ¬p.

En la siguiente tabla se recoge una definición más formal de la negación:

Negación

La negación de p es la proposición ¬p, que se lee "no p". Su valor de verdad queda definido por la siguiente tabla de verdad.

p ¬p

V F

20

21 LA LÓGICA

F V

El símbolo de la negación "¬" es un ejemplo de operador lógico monario (el término "monario" indica que el operador afecta a una sola proposición).

Veamos ejemplos de la negación en la siguiente sección.

Práctica con la negación de enunciados

Aquí tienes varios ejercicios para practicar la negación de enunciados:


p: "Hay vida en la luna." ¬p:

p: "Los elefantes temen a los ratones." ¬p:

p: "Frankenstein arrasa en Operación Triunfo." ¬p:

Aquí tienes varios ejercicios para practicar la negación de enunciados:


p: "Drácula cocina pizzas muy bien." ¬p:

p: "Los perros no hablan." ¬p:

p: "La luna no es redonda." ¬p:

21

22 LA LÓGICA

Una propiedad especial: la ley de la doble negación

¿Qué es lo que sucedería se nos propusiéramos negar una negación? En forma simbólica, ¿qué sucede si nos proponemos negar la expresión ¬p? Evidentemente, tendríamos la expresión ¬(¬p), que es lo mismo que ¬¬p.

Pues bien, la negación de la negación de un enunciado, es la afirmación de dicho enunciado; en forma simbólica:

¬¬pp p

La anterior expresión simbólica refleja la ley de la doble negación.

¿Y qué ocurriría si negásemos una doble negación? Es decir, ¬(¬¬p), o lo que es lo mismo: ¬¬¬p. En este caso, simplemente aplicando la definición de la negación llegamos a la conclusión de que ¬(¬¬p) ¬p

Fíjate bien en esto:

Cuando el número de negaciones de un enunciado es par, el valor de verdad de dicho enunciado es el original de la proposición, y cuando es impar, es la negación del enunciado original, como muestra el siguiente esquema:

¬¬pp p ¬¬¬p ¬p

¬¬¬¬p p

¬¬¬¬¬p ¬p

¬¬¬¬¬¬p p

etcétera ad inf.

La conjunción de enunciados

La conjunción

Hay otras maneras de formar nuevas proposiciones a partir de otras. Si tenemos, por ejemplo, p: "Soy gordo", y q: "Tú eres inteligente", podemos formar el siguiente enunciado: "Soy gordo y tú eres inteligente". Este nuevo enunciado se puede representar con p q, que se lee "p y q".

22

23 LA LÓGICA

Para que la expresión p q sea verdadera, tanto p como q deben ser verdaderas. Por ejemplo, si yo soy de verdad gordo, pero tú eres tonto de remate, entonces p q es falso.

El símbolo es otro operador lógico. El enunciado p q es la conjunción de p y q.

Conjunción

La conjunción de de p y q es el enunciado p q, que se lee "p y q." Su valor de verdad queda definido por la siguiente tabla de verdad.

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

En las columnas p y q aparecen las cuatro posibles combinaciones de los valores de verdad para p y q, y en la columna p q aparecen enumerados los valores de verdad de p q para cada una de esas combinaciones. Por ejemplo, la segunda fila de la tabla nos dice que cuando p es verdadero y q falso, el enunciado p q es falso. De hecho, de acuerdo con la tabla anterior y con la definición que hemos dado de la conjunción, la única forma de hacer p q verdadero es haciendo que tanto p como q sean verdaderos (1³ fila).

El símbolo de la conjunción " " es un ejemplo de operador binario ("binario" alude a que el operador actúa sobre un par de proposiciones).

En el siguiente apartado veremos algunos ejemplos de la aplicación de la conjunción a la formalización de enunciados del lenguaje natural.

Práctica de la formalización de conjunciones

Elije la alternativa que mejor corresponda con los enunciados que figuran en la columna de la izquierda:

Principio del formulariop: "Aquiles corre velozmente." p q: "Aquiles corre velozmente, pero la tortuga no."

"Ni Aquiles ni la tortuga corren velozmente."

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24 LA LÓGICA

q: "La tortuga no corre velozmente.""Aquiles y la tortuga corren velozmente."

"O Aquiles corre velozmente, o la tortuga corre velozmente."

p: "El hombre es moral."p ¬q:

"Ni el hombre es moral ni está unívocamente determinado por el ambiente."

"Aunque el hombre no sea moral, está determinado unívocamente por el ambiente."

q: "El hombre está determinado unívocamente por el ambiente.""El hombre es moral y está unívocamente determinado por el ambiente."

"Aunque el hombre es moral, no está unívocamente determinado por el ambiente."

p: "A ti no te encontré en la calle"¬q ¬p:

"Madre no hay más que una y a ti te encontré en la calle"

"Aunque sólo haya una madre, a tí no te enconté en la calle"

q: "No es cierto que haya sólo una madre""O sólo hay una madre, o te encontré en la calle"

"Aunque te haya encontrado en la calle, sólo hay una madre"

Propiedades de la conjunción

La propiedad conmutativa de la conjunción

La propiedad conmutativa de la conjunción nos dice, sencillamente, algo que todos ya sabemos intuitivamente, a saber, que es lo mismo p q que q p. Se trata de dos expresiones equivalentes (ya nos extenderemos en otro apartado sobre el concepto de equivalencia lógica. Baste aquí decir que dos enunciados son equivalentes si sus tablas de verdad son iguales, que es lo que sucede con p q y con qp.

Mismos valores

p q p q q p

V V V V

24

25 LA LÓGICA

V F F F

F V F F

F F F F

Si nos gustan las cosas sencillas, digamos simplemente que todos sabemos que, en nuestra vida cotidiana, es lo mismo decir "canto y bailo", que "bailo y canto".

También podemos hacer una comparación entre la Lógica y la Matemática: la suma, lo mismo que la conjunción, también tiene la propiedad conmutativa: 1+2=3, y 2+1=3 (el orden de los sumandos no altera la suma). Y sucede lo mismo con la multiplicación: 3x5=15, y 5x3=15 (el orden de los factores...).

La propiedad asociativa de la conjunción

Formalicemos el siguiente pasaje de Schopenhauer [Parerga y Paralipómena, cap.IV, III]: "El principio del honor caballeresco es a veces el refugio seguro de la mala fe y maldad en los negocios graves y, al mismo tiempo, en los pequeños un asilo de la insolencia". Siendo:

p: "El principio del honor caballeresco es a veces el refugio seguro de la mala fe" q: "El principio del honor caballeresco es a veces el refugio seguro de la maldad en los negocios graves"

r: "El principio del honor caballeresco es a veces un asilo de la insolencia"

Solución: Este enunciado de Schopenhauer contiene tres enunciados que se pueden combinar de dos maneras diferentes:

En primer lugar, se puede combinar p y q para formar p q, dando lugar a: "El principio del honor caballeresco es a veces el refugio seguro de la mala fe y la maldad en los negocios graves". Y a continuación podemos unir mediante una conjunción este enunciado con r, dando lugar a (p q) r, que se leería como el enunciado original del bueno de Schopenhauer.

En segundo lugar, se puede combinar igualmente q con r, para obtener q r: "El principio del honor caballeresco es a veces el refugio seguro de la maldad en los negocios graves y, al mismo tiempo, en los pequeños un asilo de la insolencia". Y a continuación unimos la combinación precedente con p para obtener p (q r), que también se leería como el enunciado original del pesimista Schopenhauer.

Pronto veremos que tanto (p q) r como p (q r) son lógicamente equivalentes, y a este hecho se le denomina ley asociativa de la conjunción. Por lo tanto, las dos posibilidades analizadas, (p q) r por un lado, y p (q r) por el otro, son igualmente válidas.

Ocurre con la conjunción lo mismo que nos pasa en las matemáticas con la suma: (1+2)+3 es lo mismo que 1+(2+3). En lógica, como en las matemáticas, también podemos eliminar los paréntesis, y podemos dar por buena una tercera solución lógicamente equivalente: p q r

La formalización de enunciados con la conjunción

La formalización es el proceso mediante el cual transformamos un enunciado formulado en lenguaje natural a un enunciado formulado en un lenguaje formal o simbólico. Ya hemos hecho varias formalizaciones hasta este momento, y vamos a practicarla un poco más antes de introducir nuevos operadores.

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26 LA LÓGICA

Formas de expresar la conjunción en lenguaje natural

Como ya hemos visto, hay varias formas de expresar la conjunción en el español que hablamos habitualmente. Veámoslo con una frase de Cicerón: "Las raíces del estudio son amargas, dulces son sus frutos"

P: "Las raíces del estudio son amargas"

q: "Los frutos del estudio son dulces"

Todas las expresiones que aparecen en la siguiente lista son formas de decir p q:

"Las raíces del estudio son amargas, dulces son sus frutos" (esta es la formulación original de Cicerón) "Las raíces del estudio son amargas, pero sus frutos son dulces"

"Las raíces del estudio son amargas, aunque sus frutos son dulces"

"Aunque las raíces del estudio son amargas, sus frutos son dulces"

"Mientras que las raíces del estudio son amargas, dulces son sus frutos"

A pesar de que las raíces del estudio son amargas, dulces son sus frutos"

Todas estas formas de expresar p q tienen en común el hecho de que si ambas proposiciones son verdaderas, el total que forma su conjunción también es verdadero.

Ejemplos de formalización a partir del lenguaje lenguaje natural

Primer ejemplo:

Si p es el enunciado "Este mundo es maravilloso" y q es el enunciado "La guerra es abominable", expresa en lenguaje formal (formaliza) el siguiente enunciado: "Este mundo no es maravilloso, la guerra es abominable".Solución: La primera cláusula es la negación de p, por lo tanto es ¬p. La segunda cláusula simplemente afirma que la guerra es abominable, por lo que es q. El hecho de que ambas cláusulas estén separadas (o unidas) por la coma, nos indica, en este caso, que hay una conjunción, por lo que la formalización es: (¬p) q.

Segundo ejemplo:

Formaliza: "Los filósofos, como los asnos, son mamíferos" siendo p: "Los filósofos son mamíferos", q: "Los asnos son mamíferos"Solución: Sencillamente p q

Tercer ejemplo:

Formaliza el siguiente enunciado de Kant [La metafísica de las costumbres, parte segunda, IV] "Los fines que son a la vez deberes son la propia perfección y la felicidad ajena" siendo p:"La propia perfección es un fin que a la vez es deber", q: "La felicidad ajena es un fin que a la vez es deber"Solución: p q

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27 LA LÓGICA

Cuarto ejemplo:

Formaliza la siguiente afirmación de Wittgenstein: "El mundo es la totalidad de los hechos, no de las cosas" [Tractatus Logico-Philosophicus, 1.1], siendo p: "El mundo es la totalidad de los hechos", y q: "El mundo es la totalidad de las cosas"Solución: El enunciado de Wittgenstein afirma p y niega q, por lo que la formalización del enunciado sería: p (¬q)

Quinto ejemplo:

Formaliza la siguiente proposición: "Aunque la guerra es abominable, hay políticos que la promueven", siendo p:"No hay políticos que promuevan la guerra", q: "La guerra es abominable".Solución: El enunciado a formalizar afirma q y niega p, por lo que su representación simbólica será: q (¬p)

Sexto ejemplo:

Si p: "Tengo miedo a la muerte" y q: "No quiero estar presente cuando muera", formaliza la frase de Woody Allen: "No es que tenga miedo a morir, sólo quiero no estar allí cuando ocurra"Solución: La primera parte, "no es que tenga miedo a morir" es la negación de p, y la segunda cláusula es la afirmación de q, por lo que la formalización quedaría:

Séptimo ejemplo:

Formaliza el enunciado de Woody Allen: "Soy suficientemente bajito y feo como para triunfar por mi mismo.", siendo p: "soy suficientemente bajito como para triunfar por mi mismo", y q: "No soy suficientemente feo como para triunfar por mi mismo"Solución: La primera cláusula es la afirmación de p, y la segunda la negación de q, por lo que la solución es p (¬q)

Octavo ejemplo:

Formaliza la frase de Gandhi: "No hay un camino hacia la paz, la paz es el camino", siendo p: "Hay un camino hacia la paz", y q: "La paz es el camino".Solución: la primera cláusula es la negación de p, y la segunda la afirmación de q, por lo que: (¬p) q

Noveno ejemplo:

Formaliza la conocida sentencia de Kant: "No se puede aprender filosofía, tan solo se puede aprender a filosofar", siendo p: "Se puede aprender filosofía", q: "sólo se puede aprender a filosofar"Solución: la primera cláusula es la negación de p, y la segunda la afirmación de q, por lo que (¬p) q

Décimo ejemplo:

Formaliza el dicho de Péguy: "Una gran filosofía no es la que instala una verdad definitiva, es la que produce una inquietud", siendo p: "Una gran filosofía instala una verdad definitiva", y q: "Una gran filosofía no es la que produce una inquietud".Solución: La primera cláusula es la negación de p, y la segunda la negación de q, por lo que la formalización quedaría: (¬p) (¬q)

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28 LA LÓGICA

La disyunción

En este apartado introducimos un nuevo operador. Si comenzamos con los enunciados p: "Yo soy alto" y q: "Tú eres inteligente", podemos formar el enunciado "O yo soy obeso, o tu eres inteligente", que se representa simbólicamente p q, y que se lee "p o q".

Como sucede que en el lenguaje natural la conjunción disyuntiva "o" puede tener varios significados, los lógicos han acordado que la disyunción inclusiva o: p q significa que p es verdad, o bien q es verdad, o bien ambos son verdad.

En el ejemplo con el que comenzamos esta sección, p q significa "Yo soy alto, o tú eres inteligente, o ambas cosas". En ocasiones incluiremos la apostilla "o ambos" por una mera cuestión de énfasis, pero si no lo hacemos así, el significado mencionado se mantiene.

Por lo tanto, llamamos p q a la disyunción de p y q:

Disyunción

La disyunción de p y q es el enunciado p q, que se lee "p o q." Su valor de verdad viene dado por la siguiente tabla de verdad:

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

Como se trata de la disyunción inclusiva, p q es verdadera cuando p es verdad, o q es verdad, o ambos lo son.

Fíjate que la única manera de que un enunciado disyuntivo sea falso consiste en que tanto p como q sean falsos. Por este motivo, podemos decir que pq también significa "p y q no son ambos falsos". Profundizaremos en esta observación un poco más adelante.

El símbolo de la disyunción " " es el segundo ejemplo que vemos de operador binario.

Ejemplo de la disyunción

Sea p: "El mayordomo cometió el crimen", q: "El pintor cometió el crimen" y r: "La sirvienta cometió el crimen"

a. ¿Qué dice p q?

28

29 LA LÓGICA

b. ¿Qué dice (p q) ¬r?

Solución:

a. p q: "O el mayordomo o el pintor cometieron el crimen"

Fíjate que esto no excluye la posibiliidad de que tanto el mayordomo y el pintor cometieran el crimen, ni que ambos fueran, de hecho, la misma persona. La única forma de que p q sea falso es que ni el mayordomo ni el pintor cometieran el crimen.

b. (p q) ¬r: "O el mayordomo o el pintor cometieron el crimen, pero no la sirvienta".

Práctica de la disyunción

Es hora de practicar lo que hemos aprendido en la sección anterior:


p: "La catedral de León es gótica."p q:

"Ni la catedral de León es gótica ni la luna esférica."

"La catedral de León es gótica o la luna es esférica."

q: "La luna no es esférica.""La catedral de León es gótica o la luna no es esférca."

"La catedral de León no es gótica o la luna es esférica."

p: "La luna es mayor que el sol."p ¬q:

"O la luna es mayor que el sol o no es cierto que el sol sea mayor que la luna."

"O la luna es mayor que el sol o el sol es mayor que la luna."

q: "No es cierto que el sol sea mayor que la luna.""Ni la luna es mayor que el sol ni el sol es mayor que la luna."

"Ni la luna es mayor que el sol, ni es cierto que el sol sea mayor que la luna."

p: "Voy al cine" ¬q ¬p: "No voy ni al cine ni al teatro"

29

30 LA LÓGICA

"Aunque no vaya al teatro, voy al cine"

q: "Voy al teatro""O voy al teatro o no voy al cine"

"O no voy al teatro o no voy al cine"

p: "El sentido común no busca la paz"¬(p q):

"No es cierto que o el sentido común no busque la paz o la guerra es propia de locos"

"O el sentido común no busca la paz, o la guerra no es propia de locos"

q: "La guerra es propia de locos""O el sentido común busca la paz, o la guerra es propia de locos"

"No es cierto que ni el sentido común busca la paz ni que la guerra no es propia de locos"

Práctica sobre las proposiciones

Contesta a las siguientes preguntas teniendo presente si cumplen los requisitos para ser una proposición. En caso afirmativo, especifica si es una proposición verdadera o falsa.


"Algunos perros ladran"

es una proposición con valor de verdad Ves una proposición con valor de verdad F


"El rey de Francia es calvo"



"La vida inteligente abunda en el universo"


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31 LA LÓGICA



"La constitución inglesa tiene faltas de ortografía"



"Francia es una república, y en Francia no tienen rey"



"En Inglaterra no tienen escrita su constitución en un único documento"



"En un lugar de la Mancha"

Miguel de Cervantes



"¡Venid aquí ipso facto!"

Don Pantuflo Zapatilla a sus hijos, Zipi y Zape



"¿Cómo están ustedes?"

Gabi, Miliki, Fofito y Milikito


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32 LA LÓGICA


"Rouen es la capital de Francia"



Propiedades de la disyunción

La propiedad conmutativa de la disyunción

Ya hemos comprobado que la conjunción tiene la propiedad conmutativa. Pues lo mismo sucede con la disyunción: es lo mismo la proposición p q que q p.

Es decir, la alteración del orden de las proposiciones que conforman una disyunción no altera su valor de verdad. Con la disyunción, por tanto, ocurre lo mismo que con la suma o la multiplicación de la Matemática: el orden de los sumandos no altera la suma, o el orden de los factores no altera el producto. Esto se puede apreciar en la siguiente tabla de verdad:

Mismos valores

p q p q q p

V V V V

V F V V

F V V V

F F F F

La propiedad asociativa de la disyunción

Ya hemos visto que la conjunción posee la propiedad asociativa; pues bien, la disyunción también la posee. Veámoslo con el ejemplo de la sección donde definíamos este operador:

32

33 LA LÓGICA

Sea p: "El mayordomo cometió el crimen", q: "El pintor cometió el crimen" y r: "La sirvienta cometió el crimen"

La expresión el crimen lo cometió o el mayordomo, o el pintor o la sirvienta, se formaliza de cualquiera de las tres formas siguientes, que son equivalentes:

p (q r) (p q) r

p q r

Disyunción inclusiva y exclusiva

La formalización de enunciados del lenguaje natural no tiene algunas especial dificultad en el caso de la disyunción. Como hemos dicho, la disyunción p q será verdadera en caso de que p sea verdadera, o q sea verdadera, o tanto p como q sea verdadera: se trata de la disyunción inclusiva. Siempre que utilicemos en el lenguaje natural la conjunción disyuntiva "o" en este sentido, utilizaremos el símbolo " ".

Los ejemplos que hemos venido viendo hasta este momento se basan en esta interpretación inclusiva de la disyunción. Por ejemplo, cuando decimos que para optar a un puesto de trabajo hay que saber inglés o francés, interpretamos que alguien que sabe inglés puede optar a dicho trabajo, alguien que sabe francés también, y, por supuesto, alguien que sepa tanto inglés o francés también.

Pero también existe la llamada disyunción exclusiva, que viene a decir que al menos una de las opciones es verdadera, pero sólo una. en este sentido exclusivo, si en p q, p es verdadera y q también lo es, la disyunción exclusiva es falsa.

Por ejemplo, en el lenguaje natural empleamos este sentido exclusivo de la disyunción cuando decimos que alguien es cristiano o musulmán. Si alguien es cristiano, si es consecuente con ello no podrá ser musulmán, y viceversa. O cuando decimos que un examen se aprueba o se suspende.

En este caso se utiliza el símbolo " " o bien el símbolo " ". La tabla de verdad de la disyunción exclusiva sería la siguiente:

p q p q V V F

V F V

F V V

F F F

En este trabajo utilizaremos solamente la disyunción en sentido inclusivo. Hay que hacer notar que la disyunción exclusiva puede definirse utilizando las siguientes combinaciones de negación, conjunción y disyunción:

p q equivale a cualquiera de las siguientes expresiones:

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34 LA LÓGICA

(p q) ¬(p q) (p ¬q) (¬p q)

¬(p q) ¬(¬p ¬q)

El condicional

El condicional (o implicación)

Consideremos el enunciado: "Si apruebas Filosofía, te dejaré ir al viaje de fin de curso". Este enunciado está formado por dos atómicas:

p: "Apruebas Filosofía"

q: "Te dejaré ir al viaje de fin de curso"

Lo que nuestro enunciado original afirma es esto: si p es verdad, entonces q también es verdad, o, dicho de modo más sencillo, si p, entonces q. Se trata de un enunciado condicional cuya formalización es p q, y que se puede leer también como p implica q.

En el enunciado p q, se dice que p es el antecedente (o hipótesis) y q el consecuente (o conclusión).

Una implicación(o un condicional) es siempre verdadera excepto cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso.

Siguiendo con nuestro ejemplo "Si apruebas Filosofía, te dejaré ir al viaje de fin de curso", supongamos que es verdadero. Este hecho no significa que aprobarás Filosofía, todo lo que dice es que si la apruebas, entonces te premitiré ir al viaje de fin de curso. Si consideramos que este enunciado es una promesa, la única forma de romperla es que tú apruebes Filosofía, pero yo no te permita ir al viaje de fin de curso. De forma análoga, la única forma de hacer un condicional falso (de romper una promesa) es hacer verdadero el antecedente y falso el consecuente.

Condicional

El condicional p q se lee "p implica q" o bien "si p, entonces q". Un condicional siempre es verdadero, excepto cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso.

Por lo tanto, su valor de verdad queda definido por la siguiente tabla de verdad.

p q p q

V V V

34

35 LA LÓGICA

V F F

F V V

F F V

En las columnas p y q aparecen las cuatro posibles combinaciones de los valores de verdad para p y q, y en la columna p q aparecen enumerados los valores de verdad de p q para cada una de esas combinaciones. Por ejemplo, la segunda fila de la tabla nos dice que cuando p es verdadero y q falso, el enunciado p q es falso. De hecho, de acuerdo con la tabla anterior y con la definición que hemos dado de la implicación, la única forma de hacer p q falso es haciendo que p sea verdadero, pero q falso (2³ fila).

Fíjate bien en esto:

A la conectiva " " también se le llama "implicación material"

Es destacable que la implicación puede ser cierta aunque el consecuente sea falso (q en p q). Así, si no apruebas Filosofía, pero yo no te permito ir al viaje de fin de curso, la implicación "Si apruebas Filosofía, te dejaré ir al viaje de fin de curso" es verdadera.

Veamos algunos ejemplos en la siguiente sección.

Ejemplos sobre el condicional

Primer ejemplo: Verdad implica verdad, es cierto

Como hemos visto, si p y q son verdad, entonces p q es verdad. Por ejemplo, sea p: "la Tierra es redonda", y q: "3x5=15". La fórmula p q dice que "Si la Tierra es redonda, entonces 3x5=15".

Fíjate que los dos enunciados p y q de este ejemplo no tienen nada que ver entre ellos. Pero con p q no queremos decir (no decimos) que hay una relación causal entre ambos enunciados.

En el caso de p q siendo p: "la Tierra es redonda", y q: "3x5=15" solamente decimos que el enunciado "Si la Tierra es redonda, entonces 3x5=15" es lógicamente verdadero.

Segundo ejemplo: verdad no puede implicar falsedad

Si p es un enunciado verdadero y q falso, entonces p q es falso. Por ejemplo:

35

36 LA LÓGICA

"Cuando hace sol, voy al monte"

En este caso p: "Hace sol" y q: "voy al monte". En otras palabras, podemos reformular nuestra frase como "Si está haciendo sol, entonces estoy en el monte". Pero hay muchos días que hace sol (p es everdadero) en los que no voy al monte (q es falso). En esos días el enunciado p q es claramente falso.

Fíjate que hemos interpretado "Cuando p, q" como "Si p, entonces q".

Tercer ejemplo: la falsedad implica cualquier cosa

En las dos últimas filas de la tabla de verdad del condicional observamos que, siendo falso el antecedente, la implicación es falsa sea verdadero o falso el consecuente. Es decir, si p es falso, entonces p q es verdadero sea q verdadero o falso. Por ejemplo:

"Si la Tierra es plana, entonces yo he ganado el premio Nobel"

En este caso p: "La Tierra es plana", que es un enunciado falso, y q: "He ganado el premio Nobel", y el enunciado p q es verdadero haya ganado el hablante el premio Nobel o no.

Lo esencial es que si el antecedente es falso, el condicional será verdadero diga lo que diga el consecuente.

Y ya es hora de practicar en la siguiente sección lo que hemos aprendido sobre el condicional.

Paradojas de implicación material.

Dos consecuencias de la definición de la implicación material que violan las intuiciones informales acerca de la implicación son:

(1) que la implicación material es verdadera siempre que el antecedente es falso, y

(2) que una implicación material es verdadera siempre que el consecuente es verdadero.

Estas llamadas paradojas son problemáticas sólo desde el punto de vista intuitivo, pero son perfectamente lógicas (no presentan contradicciones).

Práctica del concepto de implicación

36

37 LA LÓGICA

Responde a las siguientes preguntas teniendo en cuenta la definición del condicional:


"Si el rey de Francia es calvo, entonces Marte es plana" verdadero

falso

"Si llueve hacia arriba, entonces eres un ser humano" verdadero

falso

"Si 2+2=4, entonces las ranas tienen pelo" verdadero

falso

"Si sabes leer, entonces los círculos son cuadrados" verdadero

falso

"Si los burros vuelan, entonces las tortugas saben álgebra" verdadero

falso

Práctica del concepto de implicación

Responde a las siguientes preguntas teniendo en cuenta la definición del condicional y tu información acerca del mundo:


"Si los humanos somos bípedos implumes, entonces tenemos dos piernas y no tenemos plumas" verdadero

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38 LA LÓGICA

falso

"Si Drácula baila break-dance, entonces Frankenstein arrasa en Operación Triunfo" verdadero

falso

"Si estas leyendo esto, entonces tienes encendido el ordenador" verdadero

falso

"Si una manzana es una fruta, entonces el Everest no es una montaña" verdadero

falso

"Si el Everest no es una fruta, entonces una manzana no es una fruta" verdadero

falso

"Si los perros hablan, entonces 101 dálmatas es un documental" verdadero

falso

La formalización de enunciados condicionales

38

39 LA LÓGICA

Ya hemos visto lo variopinto que puede ser el lenguaje natural, en contraposición con la rigidez del lenguaje formal de la lógica. En este apartado ilustraremos de forma práctica algunas posibilidades que se usan en lenguaje natural para formalizar el escueto p q.

Cada una de las siguientes expresiones equivale al condicional p q.

Si p, entonces q Siempre que p, qp implica q No p sin qq se sigue de p q es necesario para pq si p q es una condición necesaria para pp sólo si q p es suficiente para qq siempre que p p es condición suficiente para qCuando p, entonces q De haber sucedido p, qq con tal que p q en caso que p

Fíjate bien en esto...

Es interesante notar la diferencia entre "q si p" y "p sólo si q". En el caso de "q si p" se sugiere que p q es verdadera sólo con que q sea verdadera. En el caso de "p sólo si q", está latente que si p q, y p son verdad, también q ha de serlo.

En el caso de "p es una condición suficiente para q", se dice que es suficiente conocer p es verdad para concluir que q es verdadero. Por ejemplo, es suficiente que apruebes Filosofía para que te deje ir al viaje de fin de curso. Otras cosas podrían inducirme a permitirte ir al viaje, pero con que apruebes la Filosofía será suficiente.

En el caso de "q es una condición necesaria para p", se dice que en caso de que se produzca p es necesario que q también sea verdadera para que la implicación p q sea verdadera, como se puede ver en la tabla de verdad que define el conector " ". En nuestro ejemplo:"si apruebo Filosofía voy al viaje de fin de curso" el hecho de ir al viaje de fin de curso es una condición necesaria para la verdad de la implicación de marras.

Propiedades de los enunciados condicionales

Ya hemos visto que tanto la conjunción como la disyunción tienen la propiedad conmutativa, es decir el orden de los enunciados de las conjunciones o de las disyunciones no altera su valor de verdad: es lo mismo p q que q p, y también es lo mismo p q que q p.

El recíproco del implicador

Pero, ¿ocurre lo mismo con el implicador? ¿Es lo mismo p q que q p? La respuesta es que no. Veámoslo con cierto detenimiento.

Se dice que q p es el recíproco de p q. El implicador, como hemos avanzado, no tiene la propiedad conmutativa, como se aprecia en la comparación de las tablas de verdad de p q y de su recíproco q p:

39

40 LA LÓGICA

Valores diferentes

p q p q q p

V V V V

V F F V

F V V F

F F V V

El recíproco

El enunciado q p es el recíproco de p q. Un enunciado condicional y su recíproco no son equivalentes lógicamente.

Veámoslo con un ejemplo:

Sea p el enunciado "Llueve", y q: "El suelo está mojado", siendo, por consiguiente p q "Si llueve, entonces el suelo está mojado". Veamos el recíproco de este enunciado: q p: "Si el suelo está mojado, entonces llueve". Vemos que los dos enunciados no son lógicamente equivalentes, pues si p es verdadero, y q falso:

p q ("Si llueve, entonces el suelo está mojado") es necesariamente falso q p ("Si el suelo está mojado, entonces llueve") es verdadero, pues una falsedad implica cualquier cosa manteniendo la verdad del condicional.

El contrarrecíproco del implicador

Aunque un enunciado condicional y su recíproco no son equivalentes, sí lo son un enunciado condicional y su contrarrecíproco. El contrarrecíproco del enunciado p q es ¬q ¬p (es decir, la negación de cada uno de los enunciados del recíproco). Veámoslo comparando tablas de verdad:

Mismos valores

p q p q ¬q ¬p ¬q ¬p

V V V F F V

V F F V F F

F V V F V V

F F V V V V

El contrarrecíproco

El enunciado ¬q ¬p es equivalente al condicional p q. Un enunciado condicional y su contrarrecíproco son equivalentes lógicamente

40

41 LA LÓGICA

Comparemos el mismo ejemplo:

En el ejemplo anterior donde p: "Llueve", q: "El suelo está mojado", p q "Si llueve, entonces el suelo está mojado". El contrarrecíproco es ¬q ¬p, que significa que "Si el suelo no está mojado, entonces no llueve", que es lógicamente equivalente al enunciado primitivo p q.

Ya es momento para practicar tu aprendizaje del recíproco y contrarrecíproco de los enunciados condicionales en las siguientes secciones.

Práctica del recíproco y contrarrecíproco (1)

Teclea en los recuadros correspondientes el recíproco o el contrarrecíproco de las siguientes expresiones.

Escribe el recíproco de p ¬q:

Teclea el contrarrecíproco de ¬p ¬q:

Escribe el contrarrecíproco de q ¬p

Utiliza el símbolo ">" [mayor que] para representar el implicador " "; así p q sería p>qEl símbolo "¬" se consigue pulsando la tecla AltGr, y, manteniéndola pulsada, el número 6. (o bien Control+Alt+6). En ordenadores Macintosh: Alt+6.Procura no introducir espacios, aunque se toleran entre conectivas y atómicas siempre que no sea al principio o al final de la fórmula.Después de una respuesta errónea, se recomienda pulsar el botón "Borrar" (aunque esto no es imprescindible)Es indiferente usar mayúsculas y/o minúsculas

El recíproco de "Si estudias, eres inteligente":

El contrarrecíproco de "Si estudias, eres inteligente" es:

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42 LA LÓGICA

El recíproco del contrarrecíproco de "Si estudias, eres inteligente" es:

El bicondicional

El bicondicional (o coimplicación)

Ya hemos comprobado que p q no es lo mismo que q p. Puede ocurrir, sin embargo, que tanto p q como q p sean verdaderos. Por ejemplo, si p:"La Tierra es cúbica", y q:"El Sol es un planeta", entonces tanto p q como q p son verdaderos, porque tanto p como q son falsos. Es necesario tener esto en cuenta para entender bien el concepto decoimplicador.

Mediante el coimplicador lo que queremos decir es que un enunciado es a la vez condición necesaria y suficiente para otro. Así, si digo que p: "apruebo Filosofía" y q: "saco un 5 o más en el examen de Lógica" la fórmula p q significa "apruebo Filosofía si y sólo si saco un 5 o más en el examen de Lógica". Con este "si y sólo si" quiero poner de manifiesto tres cosas:

1. Al introducir el primer condicional "si" (en "si y sólo si"), introduzco el antecedente, y por tanto afirmo que p q, (es decir aprobaré Filosofía si saco 5 o más en el examen de Lógica), 2. Al introducir "sólo si" (en "si y sólo si"), introduzco el consecuente, buscando comunicar que q p, (es decir, que si saco un 5 o más en el examen de Lógica, entonces apruebo la Filosofía), y

3. Al utilizar la partícula "y" (en "si y sólo si"), quiero comunicar la conjunción de p q con q p.

Así pues, el enunciado "apruebo Filosofía si y sólo si saco un 5 o más en el examen de Lógica" se puede formalizar de dos formas equivalentes: (p q) (q p), o bien p q.

En consecuencia, el enunciado p q queda definido por el enunciado (p q) (q p). Por esta razón, el símbolo se llama bicondicional, y la tabla de verdad para p q es la misma que la de (p q)(q p).

El bicondicional

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43 LA LÓGICA

El bicondicional o coimplicador p q, que se lee "p si y sólo si q" o "p es equivalente a q", se define por la siguiente tabla de verdad:

p q p q V V V

V F F

F V F

F F V

La doble flecha horizontal es el operador bicondicional

Fíjate que de la observación de la tabla de verdad deducimos que para que p q sea verdadera, tanto p como q han de tener los mismos valores de verdad, y en caso contrario es falsa.

La formalización del bicondicional

El coimplicador puede tener varias expresiones equivalentes en lenguaje natural. Así p q es la formalización de las siguientes expresiones de lenguaje natural:

p si y sólo si q p es necesario y suficiente para q

p es equivalente a q

Fíjate que p q y q p tendrían totalmente los mismos valores de verdad, puesto que ambas son coimplicaciones y por lo tanto si sus valores de verdad son los mismos, son verdaderas, y son falsas en los demás casos. En consecuencia, podemos reformular los enunciados anteriores intercambiando p y q:

q si y sólo si p q es necesario y suficiente para p

q es equivalente a p

Ejemplos del bicondicional

Ejemplos de coimplicaciones verdaderas: Motivos por los que p q es verdadera:

43

44 LA LÓGICA

p q

(a) "La Tierra es cúbica si y sólo si el Sol es un planeta" p: "La Tierra es cúbica": F q: "El Sol es un planeta": F

(b) "La Tierra es esférica si y sólo si el Sol es una estrella" p: "La Tierra es esférica": V q: "El Sol es una estrella": V

(c) "Los cocodrilos tienen ruedas si y sólo si los sapos bailan flamenco" p: "Los cocodrilos tienen ruedas": F q: "Los sapos bailan flamenco": F

(d) "Los cocodrilos no tienen ruedas si y sólo si los sapos no bailan flamenco". p: "Los cocodrilos no tienen ruedas": V q: "Los sapos no bailan flamenco": V

Ejemplos de coimplicaciones falsas: Motivos por los que p q es falsa:

p q

(a) "La Tierra es cúbica si y sólo si 2+2=4" p: "La Tierra es cúbica": F q: "2+2=4": V

(b) "El Sol es una estrella si y sólo si 1+2=4" p: "El Sol es una estrella": V q: "1+2=4": F

(c) "Los cocodrilos tienen ruedas si y sólo si los sapos no bailan flamenco" p: "Los cocodrilos tienen ruedas": F q: "Los sapos no bailan flamenco": V

(d) "El Bernesga pasa por León si y sólo si Napoleón escribió el Quijote" p: "El Bernesga pasa por León": V q: "Napoleón escribió el Quijote": F

Práctica del concepto de coimplicación

Responde a las siguientes preguntas teniendo en cuenta la definición del coimplicador:


"El rey de Francia es calvo si y sólo si Marte es plana" verdadero

falso

"Quien lee esto es un ser humano si y sólo si llueve hacia arriba"verdadero

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45 LA LÓGICA

falso

"Las ranas tienen pelo si y sólo si 2+2=4" verdadero

falso

"Sabes leer si y sólo si los círculos son cuadrados" verdadero

falso

"Los burros vuelan si y sólo si las tortugas saben álgebra" verdadero

falso

La notación del bicondicional

Hay un símbolo intercambiable con el del bicondicional " ", que es el de la equivalencia lógica:" " (concepto que explicaremos mejor un poco más adelante).

En Aprende Lógica, cuando haya actividades en las que haya que insertar en un formulario el símbolo " ", utilizaremos en su lugar el signo "=" [igual]. Así,

A B se introduciría en un formulario de la siguiente manera:

La formalización del bicondicional

El coimplicador puede tener varias expresiones equivalentes en lenguaje natural. Así p q es la formalización de las siguientes expresiones de lenguaje natural:

p si y sólo si q p es necesario y suficiente para q

p es equivalente a q

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46 LA LÓGICA

Fíjate que p q y q p tendrían totalmente los mismos valores de verdad, puesto que ambas son coimplicaciones y por lo tanto si sus valores de verdad son los mismos, son verdaderas, y son falsas en los demás casos. En consecuencia, podemos reformular los enunciados anteriores intercambiando p y q:

q si y sólo si p q es necesario y suficiente para p

q es equivalente a p

Práctica del concepto de coimplicación

Responde a las siguientes preguntas teniendo en cuenta la definición del coimplicador y el contenido semántico de las proposiciones:


"Drácula existe si y sólo si Frankenstein participa en Operación Triunfo" verdadero

falso

"La Tierra es aproximadamente esférica si y sólo si Marte es cúbico" verdadero

falso

"El agua es líquida si y sólo si el hielo es sólido" verdadero

falso

"Los seres humanos somos bípedos implumes si y sólo si tenemos dos piernas y no tenemos plumas" verdadero

falso

"El Sol es una estrella si y solo si la Luna gira en torno a la Tierra" verdadero

falso

46

47 LA LÓGICA

Introducción a las tablas de verdad

Ya hemos sugerido en algunos apartados anteriores que algunos enunciados son equivalentes a otros.

Por ejemplo, hemos hablado de la equivalencia del enunciado (p q) r y p (q r), hecho al que denominábamos propiedad asociativa de la disyunción.

Pues bien, en este apartado referido a las tablas de verdad, estableceremos de una forma más precisa qué queremos decir al hablar de equivalencia lógica, y también estudiaremos cierto tipo de enunciados que pueden ser o bien "auto-evidentes" (tautologías) o bien "evidentemente falsos" (contradicciones).

¿Qué es una tabla de verdad?

Ya hemos tenido una aproximación intuitiva al concepto de tabla de verdad. Digamos ahora, más explícitamente que una tabla de verdad es el resultado de aplicar un procedimiento que utilizamos para calcular todos los posibles valores de verdad de un enunciado molecular.

Recordemos un caso conocido: la tabla de verdad de la negación. En este caso, la tabla de verdad es:

p ¬p

V F

F V

Fijémonos en los elementos de la tabla de verdad:

Aparecen todos los posibles valores de verdad del enunciado p en la primera columna (verdadero -V- o falso -F-)

En la columna segunda aparecen los valores de verdad de la negación de p en caso de que p sea verdadera (primera fila), y en caso de que p sea falsa (segunda fila).

Wittgenstein denominaba "estados de cosas" a cada una de las posibles combinaciones de verdad o falsedad para un enunciado (en este caso atómico). Otros autores hablan de "interpretaciones" para cada una de estas posibles combinaciones de verdad o falsedad para un enunciado. Veamos ahora qué sucede con los enunciados moleculares...

Analicemos ahora el caso de la tabla de verdad de la disyunción:

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

Analicemos los elementos de esta tabla de verdad:

En las dos primeras columnas aparecen todas las posibles combinaciones de valores de verdad de los enunciados p y q (p verdadero y q verdadero, p verdadero y q falso, p falso y q verdadero, y, por último, p falso y q falso). Estos son todos los posibles "estados de cosas" o "interpretaciones".

En la columna tercera aparecen los valores de verdad de la conjunción de p y q para todas las posibles combinaciones de valores de verdad de p y de q. Así, la primera fila muestra el valor de p q en caso de que p sea verdadero y q sea también verdadero, la seguna fila muestra el valor de p q en caso de que p sea verdadero y q falso, etc.

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48 LA LÓGICA

Por lo tanto, podemos concluir que una tabla de verdad de un enunciado (molecular) muestra el valor de verdad de dicho enunciado para todas las posibles combinaciones de los valores de verdad de las proposiciones que lo componen, o de manera más breve, una tabla de verdad de un enunciado muestra el valor de verdad de dicho enunciado para todas sus interpretaciones.

Teniendo en cuenta que los enunciados moleculares se componen de enunciados atómicos, comenzaremos estableciendo el principio de que el valor de verdad de un enunciado (molecular) equivale al valor de verdad de la conectiva dominante.

En este punto, la pregunta clave es ¿cómo podemos saber, dado un enunciado molecular, cual es la conectiva dominante? Pues bien, para ello debemos fijarnos en el orden de prioridad que hay entre las conectivas de los enunciados moleculares. Y esto lo aprenderemos en la siguiente sección.

3 TABLAS DE VERDAD

Introducción a las tablas de verdad

Ya hemos sugerido en algunos apartados anteriores que algunos enunciados son equivalentes a otros.

Por ejemplo, hemos hablado de la equivalencia del enunciado (p q) r y p (q r), hecho al que denominábamos propiedad asociativa de la disyunción.

Pues bien, en este apartado referido a las tablas de verdad, estableceremos de una forma más precisa qué queremos decir al hablar de equivalencia lógica, y también estudiaremos cierto tipo de enunciados que pueden ser o bien "auto-evidentes" (tautologías) o bien "evidentemente falsos" (contradicciones).

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49 LA LÓGICA

¿Qué es una tabla de verdad?

Ya hemos tenido una aproximación intuitiva al concepto de tabla de verdad. Digamos ahora, más explícitamente que una tabla de verdad es el resultado de aplicar un procedimiento que utilizamos para calcular todos los posibles valores de verdad de un enunciado molecular.

Recordemos un caso conocido: la tabla de verdad de la negación. En este caso, la tabla de verdad es:

p ¬p

V F

F V

Fijémonos en los elementos de la tabla de verdad:

Aparecen todos los posibles valores de verdad del enunciado p en la primera columna (verdadero -V- o falso -F-)

En la columna segunda aparecen los valores de verdad de la negación de p en caso de que p sea verdadera (primera fila), y en caso de que p sea falsa (segunda fila).

Wittgenstein denominaba "estados de cosas" a cada una de las posibles combinaciones de verdad o falsedad para un enunciado (en este caso atómico). Otros autores hablan de "interpretaciones" para cada una de estas posibles combinaciones de verdad o falsedad para un enunciado. Veamos ahora qué sucede con los enunciados moleculares...

Analicemos ahora el caso de la tabla de verdad de la disyunción:

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

Analicemos los elementos de esta tabla de verdad:

En las dos primeras columnas aparecen todas las posibles combinaciones de valores de verdad de los enunciados p y q (p verdadero y q verdadero, p verdadero y q falso, p falso y q verdadero, y, por último, p falso y q falso). Estos son todos los posibles "estados de cosas" o "interpretaciones".

En la columna tercera aparecen los valores de verdad de la conjunción de p y q para todas las posibles combinaciones de valores de verdad de p y de q. Así, la primera fila muestra el valor de p q en caso de que p sea verdadero y q sea también verdadero, la seguna fila muestra el valor de p q en caso de que p sea verdadero y q falso, etc.

Por lo tanto, podemos concluir que una tabla de verdad de un enunciado (molecular) muestra el valor de verdad de dicho enunciado para todas las posibles combinaciones de los valores de verdad de las proposiciones que lo componen, o de manera más breve, una tabla de verdad de un enunciado muestra el valor de verdad de dicho enunciado para todas sus interpretaciones.

Teniendo en cuenta que los enunciados moleculares se componen de enunciados atómicos, comenzaremos estableciendo el principio de que el valor de verdad de un enunciado (molecular) equivale al valor de verdad de la conectiva dominante.

En este punto, la pregunta clave es ¿cómo podemos saber, dado un enunciado molecular, cual es la conectiva dominante? Pues bien, para ello debemos fijarnos en el orden de prioridad que hay entre las conectivas de los enunciados moleculares. Y esto lo aprenderemos en la siguiente sección.

Vida y obra de Ludwig Wittgenstein

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50 LA LÓGICA

Seguramente te preguntarás quién fue ese señor, y por qué lo mencionamos en la introducción a las tablas de verdad. Pues bien, Wittgenstein introdujo las tablas de verdad en su Tractatus Logico Philosophicus.Además de ser un filósofo excepcional, tuvo una vida apasionante.

En este enlace podrás conocer datos biográficos: http://usuarios.iponet.es/ddt/wvida.htm En este otro podrás leer fragmentos de su obra: http://usuarios.iponet.es/ddt/wobra.htm

Conectivas dominantes y el orden de prioridad en los enunciados moleculares

Para saber cuál debe ser el orden de prioridad entre las conectivas que ya conocemos (negación, conjunción y disyunción), hay que fijarse en los paréntesis. La regla básica a seguir es la siguiente: es preciso calcular primero el valor de verdad de las expresiones que están entre los paréntesis (y que son más concretas), y posteriormente, las relaciones que hay entre las conectivas que unen dichas expresiones. Cuando un paréntesis contiene otros paréntesis, entonces se calculan primero los paréntesis más concretos (más "interiores").

Veamos algunos casos prácticos para ilustrar la determinación de la conectiva dominante en los enunciados moleculares:

Ejemplo primero:

Respondamos a dos cuestiones: (a) ¿Qué orden hay que seguir para calcular el valor de verdad del siguiente enunciado: ¬(p q)?, y (b) ¿cuál es la conectiva dominante?

Es un caso sencillo. (a) El orden que hay que seguir para calcular el valor de verdad de la proposición molecular ¬(p q) es el siguiente:

primero se calcula el valor de verdad de la disyunción (p q) en segundo lugar se aplica la definición de la negación a dicha disyunción (es decir, se invierte el valor de verdad de la disyunción): ¬(p q).

En la siguiente tabla aparece esquematizado el orden que hay que seguir para calcular el orden de verdad de la expresión (los números en rojo indican el orden a seguir):

¬ (p q)2 1

(b) La conectiva dominante es la negación (el número más alto) (Recuerda que es útil saber esto porque el valor de verdad de un enunciado viene determinado por el valor de verdad de la conectiva dominante en dicho enunciado.)

Ejemplo segundo:

Averigüemos (a) ¿Qué orden hay que seguir para calcular el valor de verdad del enunciado: ((p q) r) ¬p? y (b) ¿cuál es la conectiva dominante?

(a) En este caso, el orden de prioridad para calcular el valor de verdad de la expresión ((p q) r) ¬p es el siguiente (las cifras en rojo indican el orden a seguir):

50

http://usuarios.iponet.es/ddt/wobra.htm

http://usuarios.iponet.es/ddt/wvida.htm

51 LA LÓGICA

((p q) r) ¬ p 1 2 3 2

Observa que en este ejemplo:

primero se calcula el valor de verdad de la conjunción (p q), que es el paréntesis más "interior", tomando en cuenta los valores de p y de q.

en segundo lugar, se calcula tanto la disyunción (tomando en cuenta los valores de 1 y de r) como la negación (tomando en cuenta el valor de p), que están en un nivel similar en la jerarquía.

por último se calcula el valor de verdad de la conjunción de los resultados de las operaciones 2

(b) El conector dominante es la segunda conjunción (el número 3). Por lo tanto, el valor de verdad de la expresión objeto de estudio, viene dada por el conjuntor 3.

Es hora de practicar lo aprendido sobre dominancia de conectivas con la práctica de la siguiente sección.

Practica la dominancia de conectivas.Identifica cuál es la conectiva principal y determina qué tipo de enunciado es cada uno de los siguientes:


¬[(p q) (r t)] q ¬(p q) (r t)

[¬(q r) ¬r] [q (q r)] [¬p (q r)] [p (q r)]

¬[(¬p ¬¬q) (p r)] s {p [(p q) (q r)]}

¬¬[q (q r)] [(p q) ¬r] [p (q r)] ¬p

(p ¬¬q) [(p r) (r s)] ¬(p s) [(p q) (p r)]

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52 LA LÓGICA

[q (q r)] r [p ¬(r)] ¬¬q

(p r) (r s) ¬{(p ¬¬q) [(p r) (r s)]} r

Después de esta práctica, veamos en la siguiente sección cómo aplicar estos conocimientos a la construcción de tablas de verdad para enunciados con un cierto grado de complejidad.

Practica la dominancia de conectivas.Identifica cuál es la conectiva principal y determina qué tipo de enunciado es cada uno de los siguientes:


q ¬[(p q) (r t)] (r t) ¬(p q)

[q (q r)] [¬(q r) ¬r] [p (q r)] [¬p (q r)]

¬[(p r) (¬p ¬¬q)] {p [(p q) (q r)]} s

[(p q) ¬r] ¬¬[q (q r)] ¬p [p (q r)]

[(p r) (r s)] (p ¬¬q) [(p q) (p r)] ¬(p s)

52

53 LA LÓGICA

r [q (q r)] ¬¬q [p ¬(r)]

(r s) (p r) r ¬{(p ¬¬q) [(p r) (r s)]}

La construcción de tablas de verdad (1)

Comencemos con el ejemplo de la tabla de verdad del siguiente enunciado: ¬(p q).

Como paso previo, observa bien el anunciado:

En este enunciado hay dos conectores: la negación ¬ y la disyunción de las que hay que tener presentes sus respectivas tablas de verdad. En el enunciado hay también dos enunciados atómicos, que son las proposiciones p y q.

Observa las relaciones de prioridad que hay entre los conectores: el conector dominante es la negación, que afecta a todo lo que hay entre paréntesis. Por lo tanto, hay que calcular primero el valor de verdad del contenido del paréntesis (p q) y posteriormente, calcular el valor de verdad de ¬(p q).

El primer paso consiste en poner los enunciados atómicos presentes en el enunciado del que queremos calcular su tabla de verdad en tantas columnas como enunciados atómicos tengamos. Como debe haber tantas columnas como enunciados atómicos tengamos, en este caso tenemos 2 columnas (una para el enunciado p y otra para el enunciado q):

p q

V V

V F

53

54 LA LÓGICA

F V

F F

En las celdillas de dicha tabla hay que ubicar todas las combinaciones posibles de verdad o falsedad para los enunciados que contenga el enunciado objeto de estudio.:

p q

V F

V F

F V

F F

Hay un algorimo que permite enumerar fácilmente todas las combinaciones de verdad o falsedad de dos o más enunciados:

a. En la primera columna se pone, de arriba hacia abajo, la mitad de celdillas con Vs y la otra mitad con Fs. b. En la columna siguiente, siempre de arriba hacia abajo, se pone la cuarta parte de celdillas con V, la siguiente cuarta parte con Fs, la

siguiente con Vs y la última con Fs.

c. En la columna siguiente, si la hubiere, se pondría la octava parte de celdillas con Vs, la siguiente octava parte con Fs, y así sucesivamente con todas las celdillas y con todas las demás columnas si las hay.

Ejemplo de todas las combinaciones posibles de verdad o falsedad para tres enunciados

Fíjate en esto...

Llamamos atribuciones veritativas a todas la combinaciones de verdad y falsedad de las proposiciones atómicas de una fórmula.

El número de estas atribuciones veritativas aumenta rápidamente a medida que se incrementa el número de proposiciones de la fórmula. Para n proposiciones, la fórmula 2 n nos da el número de estas atribuciones veritativas. Así:

Para dos proposiciones: 2n=22=2×2=4

54

http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/barradcha/tablvdadvf3pr.html

55 LA LÓGICA

Para tres proposicones: 2n=23=2×2×2=8

Para tres proposiciones: 2n=24=2×2×2×2=16

etc.

A continuación hay que poner tantas columnas como conectores que unan enunciados atómicos. [En nuestro ejemplo tenemos dos conectores (¬ y ), por lo que añadimos dos nuevas columnas.]

p q

V F

V F

F V

F F

En cuarto lugar, se pone, encabezando cada columna, los enunciados atómicos, siguiendo el orden de dominancia de las conectivas. Primero se ponen los enunciados más concretos (los paréntesis), y por último las más generales:

p q (p q) ¬(p q)

V F

V F

F V

55

56 LA LÓGICA

F F

A continuación se procede a determinar el valor de verdad de cada celdilla, una tras otra. Hay que tener en cuenta la definición de cada conector involucrado en la columna correspondiente, y los valores de V o F que corresponden a cada fila.

p q (p q) ¬(p q)

V F V F

V F V F

F V V F

F F F V

Fíjate que la tercera columna es exactamente igual a la tabla de verdad que mencionábamos cuando definimos la disyunción , y que la cuarta columna muestra los valores de verdad opuestos a los de la tercera columna (de acuerdo con la definición de la negación ).

Hay una forma equivalente muy similar de representar el mismo proceso que hemos explicado, y consiste en añadir una sola columna con el enunciado ¬(p q) completo. A continuación se va poniendo debajo de cada conectiva el valor de verdad que le corresponda, respetando el orden de prioridad que marquen los paréntesis.Veamos:

p q ¬ (p q)

F V

F V

F V

V F

V F

V F

F V

Los valores de verdad del enunciado ¬(p q) son los de su conectiva dominante, que en este caso es la negación, y que aparecen en la columna con las Vs y Fs rojas.

56

http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/barradcha/tablavdadnegac.html

http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/barradcha/tablavdaddisyuncion.html

57 LA LÓGICA

F F

Recomendamos este segundo método sólo cuando ya se haya cogido soltura con el explicado en primer lugar.

La construcción de tablas de verdad (2)

Veamos un ejemplo un poco más complejo. Calculemos la tabla de verdad del siguiente enunciado: (p q) p. Determinamos la conectiva dominante, que en este caso es la conjunción, ya que se comenzaría con el enunciado de dentro del paréntesis (una disyunción). Aquí tenemos la tabla de dominancia de las conectivas:

(p q) p 1 2

Sigamos los pasos propuestos:

Dibujamos la tabla con tantas columnas como enunciados atómicos tegamos:

p q V V

V F

F V

F F

A continuación ponemos todas las posibles combinaciones de verdad y falsedad para p y q:

57

58 LA LÓGICA

p q V F

V F

F V

F F

Seguimos añadiendo tantas columnas como enunciados atómicos tenga el enunciado objeto de estudio (en este caso, dos: uno para (p q) y otro para (p q) p.

p q

V F

V F

F V

F F

Seguimos añadiendo los enunciados siguiendo el orden de dominancia de las conectivas señalado al principio de esta página:

p q (p q) (p q) pV F

V F

F V

F F

El orden de las conectivas, en este caso es el siguiente:

(p q) p 1 2

Por último, procedemos a averiguar el valor de verdad de cada una de las celdillas de la tabla que hemos construido, teniendo en cuenta las definiciones, ya conocidas, de los conectores involucrados.

p q (p q) (p q) pV F V V

V F V V

F V V F

F F F F

La tercera columna es exactamente igual a la tabla de verdad de la definición del disyuntor.

La última columna, que es la que determina el valor de verdad de (p q)p por ser la dominante, la determinamos aplicando la definición del

conjuntor a la columna tercera y a la primera.

La primera celdilla de la cuarta columna es V porque p q es V (columna 3, fila 1) y p es V (columna 1, fila 1), y de acuerdo con la definición de la conjunción (su tabla de verdad), si ambos términos son V, entonces la conjunción es V.

58

59 LA LÓGICA

La segunda celdilla de la cuarta columna es V por el mismo motivo.

La tercera celdilla de la cuarta columna es F porque p q es V (columna 3, fila 3) pero p es F (columna 1, fila 2), y según la definición de la conjunción, si un término es V y el otro F, entonces la conjunción es F.

La cuarta celdilla de la cuarta columna es F porque p q es F (columna 4, fila 4) y p también es F (columna 1, fila 4), y según la definición de la conjunción, si los dos términos de la conjunción son F, su conjunción es F.

Y ya es hora de pasar a la siguiente sección para practicar lo que hemos aprendido.

Tautología, contradicción o contingencia

Cuando todos los valores de la conectiva dominante de una tabla de verdad son Vs, estamos ante una tautología.

Cuando todos esos valores son Fs, estamos ante una contradicción.

Cuando hay Vs y Fs, estamos ante una contingencia.

Práctica de la construcción de tablas de verdad (1)

Para practicar, calculemos la tabla de verdad del siguiente enunciado: ¬p (p q). Determinamos la conectiva dominante, que en este caso es la disyunción, ya que se comenzaría con el enunciado de dentro del paréntesis (una conjunción). Aquí tenemos la tabla de dominancia de las conectivas:

¬p (p q)1 2 1


Dibujamos la tabla con tantas columnas como enunciados atómicos tengamos: A continuación ponemos todas las posibles combinaciones de verdad y falsedad para p y q:p q V V

V F

F V

p q V F

V F

F V

59

60 LA LÓGICA

F F F F

Seguimos añadiendo tantas columnas como enunciados atómicos tenga el enunciado objeto de estudio [en este caso, tres: uno para ¬p, otro para (p q), y un tercero para ¬p (p q)]

p q

V F

V F

F V

F F

Continuamos añadiendo los enunciados siguiendo el orden de dominancia de las conectivas señalado al principio de esta página:

p q ¬p (p q) ¬p (p q)V F

V F

F V

F F

El orden de las conectivas, en este caso es el siguiente:

¬p (p q)1 2 1

Por último, sólo nos queda averiguar el valor de verdad de cada una de las celdillas de la tabla que nos ha quedado confeccionada en el paso 4. Siempre hay que proceder con orden, calculando el valor de las celdillas de la columna tercera, cuarta, y, por último la quinta.

Práctica de la construcción de tablas de verdad (2)

En este apartado practicaremos con un ejemplo más complejo: calcularemos la tabla de verdad de ¬(p r) q, que consta de los tres enunciados p, q y r.

Determinamos la conectiva dominante, que en este caso es la conyunción, ya que se comenzaría con el enunciado de dentro del paréntesis (una disyunción). Aquí tenemos la tabla de dominancia de las conectivas:

¬( p r ) q2 1 3

60

61 LA LÓGICA


Dibujamos la tabla con tantas columnas como enunciados atómicos tegamos: A continuación ponemos todas las posibles combinaciones de verdad y falsedad para p, q y r:

p q r V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

p q r V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Seguimos añadiendo tantas columnas como enunciados atómicos tenga el enunciado objeto de estudio [en este caso, tres: uno para (p r), otro para ¬(p r), y un tercero para ¬(p r) q]: Seguimos añadiendo los enunciados siguiendo el orden de dominancia de las conectivas

señalado al principio de esta página:

p q r

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

p q r p r ¬(p r) ¬(p r) q

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F Por último, sólo nos queda averiguar el valor de verdad de cada una de las celdillas de la tabla que nos ha quedado confeccionada en el paso 4. Siempre hay que proceder con orden, calculando el

valor de las celdillas de la columna tercera, cuarta, y, por último la quinta. Teclea en cada casilla de las tres últimas columnas las letras "V" o "F" según sus respectivos valores de verdad.Principio del formulario

p p r ¬(p r)

¬(p r)q

Fíjate en esto: Ya habíamos comentado que se puede hacer la tabla de verdad de una forma un poco más abreviada.

Pulsa el botón de abajo para que se abra una nueva ventana que te mostrará este mismo ejercicio pero de forma abreviada.

61

62 LA LÓGICA

V

F

V

F

V

F

V

F

Construye las tablas de verdad para las siguientes fórmulas:

1 p&¬p

2 pv¬p

3 ¬(p&¬p)

4 p&¬q

62

http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/actividades/tablasvdad/3tablasverdad04.html




http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/barradcha/solpractica2tablvdad.html

http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/03tablasvdad/017praconstr.html

63 LA LÓGICA

5 pv¬q

Especifica, además, si se trata de tautologías, contingencias o contradicciones.


6 ¬p&¬q

7 ¬pv¬q

8 p&(q&r)

9 (p&q)&r

10 p&(qvr)



11 p>(q&r)

12 (p&q)>r

13 (p&q)v(p&r)

63










64 LA LÓGICA

14 p>(qvp)

15 (p&q)>¬p



16 (p&¬p)>q

17 p=(pvq)

18 (p&¬p)=(q&¬q)

19 (pv¬p)=(qv¬q)

20 (p&q)=¬p



21 ¬((p&¬p)>q)

22 (pv(p&q))>¬p

64










65 LA LÓGICA

23 (p>¬p)>¬p

24 (p>¬p)>p

25 p&(p>¬p)

4. LAS LEYES LÓGICAS

Implicaciones tautológicas y equivalencias tautológicas: las leyes de la LógicaEl estudio de las tautologías es importante porque sirven como "esqueleto", o modelo de razonamientos correctos. Las tautologías que estudiaremos en este apartado no son todas las tautologías

posibles. De hecho, el número de posibles tautologías es literalmente infinito. La selección de tautologías que estudiaremos se basa en un criterio práctico: su conocimiento nos puede resultar útil para fundamentar los argumentos, los razonamientos que empleamos en nuestra actividad intelectual cotidiana.

Como bien dice Alfredo Deaño en su Introducción a la lógica formal:

65




66 LA LÓGICA

Toda ciencia es un sistema de enunciados. De enunciados que se refieren, de un modo más o menos lejano, a los objetos de los que esa ciencia se ocupa. Puesto que la lógica se ocupa del razonamiento desde el punto de vista de su forma, lo que sus enunciados enunciarán serán formas de razonar. Y puesto que la lógica es la ciencia de la inferencia formalmente válida, a la lógica le ha de interesar distinguir aquellas formas de inferencia que son válidas de aquellas otras que no lo son. Y le interesará retener y enunciar con rigor las formas válidas de inferencia. Así pues, los enunciados de la lógica representarán , en general, formas de inferencia, y, señaladamente, formas válidas de inferencia. (Alfredo Deaño, Introducción a la lógica formal, Alianza Editorial, página 103)

Es importante recordar...Es importante recordar que el hecho de que la Lógica haya de ocuparse de los razonamientos válidos quiere decir que si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión también ha

de ser forzosamente verdadera. Dicho de otro modo: en los razonamientos válidos la verdad de las premisas es incompatible con la falsedad de la conclusión. La conectiva lógica que recoge esta noción de verdad de las premisas y su incompatibilidad con la falsedad de la conclusión es el implicador. Recordemos que el único caso en que una implicación es falsa es cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso. De forma análoga, un razonamiento es inválido cuando las premisas son verdaderas y la conclusión es falsa.

Así pues, en este apartado de Aprende Lógica estudiaremos los enunciados de la Lógica que son formalmente válidos. Pero los modos válidos de razonar se pueden presentar de dos formas equivalentes: en forma de leyes lógicas (las implicaciones y equivalencias tautológicas) y también en formas de reglas de inferencia. Veamos las peculiaridades de cada una de estas dos formas de presentar los esquemas de inferencia lógicamente válidos:

Las leyes lógicas tienen la estructura de una implicación cuyo antecedente puede estar formado por conjunciones (las premisas) y cuyo consecuente es la conclusión. Por ejemplo, la ley lógica llamada Modus Ponenstiene la siguiente estructura en forma de ley:

[(p q) p] q

Si hacemos la tabla de verdad de la fórmula anterior comprobaremos que se trata de una tautología. En cambio, si hacemos la tabla de verdad de [(p q) p] ¬q, en la que se afirman las premisas [(p q) p], pero se niega la conclusión q, nos encontraremos que no se trata de una tautología, y por consiguiente no es un esquema de razonamiento válido para todas las posibles combinaciones de verdad o falsedad de los enunciados p y q.

Las reglas de inferencia presentan cada una de las premisas en una línea diferente, y la conclusión separada por una raya horizontal. Así, la ley llamada Modus Ponens se puede presentar de la siguiente manera en forma de regla de inferencia (llamada también forma argumental o derivación):

p qp

q

Expresando todo esto en una terminología técnica:

Cada enunciado condicional, A B, se puede reexpresar como una derivación, A B, denominada argumento o derivación correspondiente del condicional

Recíprocamente, cada derivación, A1, A2,...An B se puede reexpresar como un enunciado condicional con la forma (A1 A2 ... An) B denominada condicional correspondiente del argumento.

Como hemos adelantado, dividiremos nuestro estudio de las leyes de la Lógica en dos apartados: por una parte las implicaciones tautológicas (es decir las tautologías con la estructura A B), y por otra parte las coimplicaciones o equivalencias tautológicas (las tautologías con la estructura A B). Además seguiremos la sana práctica de presentar cada una de las leyes tanto en forma de leyes (implicaciones y equivalencias tautológicas) como en forma de reglas de inferencia (es decir, en forma argumental).

En adelante seguiremos la convención de utilizar las letras p, q, r ... para referirnos a los enunciados atómicos, y las letras mayúsculas A, B, C ... para hablar tanto de enunciados atómicos como moleculares.

66

67 LA LÓGICA

Los estoicos y los indemostrables

Los filósofos estoicos formularon una lógica proposicional en la que jugaban un papel crucial lo que ellos llamaban "indemostrables": eran 5 esquemas de argumentación simples y válidos que se consideraban como axiomas o principios del razonamiento. Entre estos esquemas de razonamiento estaban el Modus Ponens, el Modus Tollens, y el Silogismo Disyuntivo. Un ejemplo del primer indemostrable:

Si es de día, hay luz.Es de día.Por lo tanto, hay luz

El Modus Ponens o razonamiento directo

Como avanzábamos, el estudio de las tautologías es importante porque sirven como modelo de razonamientos correctos. En este apartado veremos el primero de ellos, el llamado Modus Ponens o razonamiento directo.

El Modus Ponens o razonamiento directo

La tautología conocida como Modus Ponens adquiere la siguiente forma lógica:

[(p q) p] q

que, traducido al lenguaje natural sería algo así como si p implica q, y p es verdadero, entonces q también debe ser verdadero. Lo cual parece intuitivamente razonable a toda mente sana.

Por ejemplo:

Sea p:"hago mucho deporte", y q: "estoy cansado", según este esquema tautológico:

"Si hago mucho deporte, entonces estoy cansado, y es cierto que hago mucho deporte, por lo que estoy cansado"

Otra forma de representar el razonamiento directo es emplear la forma argumental o de regla de inferencia:

Si hago mucho deporte, entonces estoy cansado.

Hago mucho deporte

67

68 LA LÓGICA

Por consiguiente, estoy cansado

Expresado en forma simbólica:

p q

p

q

Fíjate en esto

Para separar la conclusión (q) de las premisas [información de la que partimos: (p q, y p)], utilizamos una línea horizontal. Además, la conclusión q va precedida del símbolo " ", que viene a significar, "por lo tanto".

Fíjate también que este esquema de razonamiento es el que más utilizamos en nuestra vida cotidiana, motivo por el que se denomina también razonamiento directo. Comprendemos y aplicamos razonamientos directos desde que somos unos niños ("si no comes todas las lentejas, te quedas sin postre", y todos sabemos qué hemos de hacer para quedarnos sin postre...)

Haz clic en este botón para construir la tabla de verdad del Modus Ponens: [(p q) p] q

Como la notación simbólica [(p q) p] q, técnicamente hablando, viene a decirnos que (p q) junto con p implican lógicamente q, eso quiere decir que la verdad de [(p q) p] es incompatible con la falsedad de q (Compruébalo )

Falacia de la afirmación del consecuente

Aunque la implicación [(p q) p] q que define el Modus Ponens es tautológica, una fórmula parecida: [(p q) q] p no es tautológica (Compruébalo ) y supone una falacia o falso argumento conocido como afirmación del consecuente.

68

http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/04leyeslog/020modusponens.html

http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/04leyeslog/020modusponens.html

69 LA LÓGICA

En nuestro ejemplo, [(p q) q] p se traduciría en lenguaje natural como: "Si hago deporte, entonces me canso, y es verdad que me canso, luego es verdad que hago deporte". Es notorio que este razonamiento es falso (puedo cansarme por otras circunstancias que no son necesariamente hacer deporte).

El Modus Tollens o razonamiento indirecto

Seguimos con nuestro estudio de las tautologías como modelo de razonamientos correctos. En este apartado veremos el llamado Modus Tollens o razonamiento indirecto.

El Modus Tollens o razonamiento indirecto

La tautología conocida como Modus Tollens adquiere la siguiente forma de ley lógica:

[(p q) ¬q] ¬p

que, traducido al lenguaje natural sería algo así como si p implica q, y q es falso, entonces p también debe ser falso.

Retomamos nuestro ejemplo:

Sea p:"hago mucho deporte", y q: "estoy cansado", según este esquema tautológico:

"Si hago mucho deporte, entonces estoy cansado, y no es cierto que haga mucho deporte, por lo que no estoy cansado"

Recurriendo a su forma argumental:

Si hago mucho deporte, entonces estoy cansado.

No hago mucho deporte

Por consiguiente, no estoy cansado

69

70 LA LÓGICA


p q

¬q

¬p

Fíjate en esto

Fíjate también que este esquema de razonamiento no es tan intuitivo como el Modus Ponens; es un poco más enrevesado. "Si p fuera cierto, entonces q también debería ser cierto, pero q es falso. Por lo tanto, p también debería ser falso —o, en otro caso, q también habría de ser verdadero—" (por la tabla de verdad del condicional, que impide que el antecedente [p] sea verdadero, y el consecuente [q] sea falso)

Haz clic en este botón para construir la tabla de verdad del Modus Tollens: [(p q) ¬q] ¬p

Como la notación simbólica [(p q) ¬q] ¬p, técnicamente hablando, viene a decirnos que (p q) junto con ¬q implican lógicamente ¬p, eso quiere decir que la verdad de [(p q) ¬q] es incompatible con la falsedad de ¬p (Compruébalo )

Falacia de la negación del antecedente

Aunque la implicación [(p q) ¬q] ¬p que define el Modus Tollens es tautológica, una fórmula parecida: [(p q) ¬p] ¬q no es tautológica (Compruébalo ) y supone una falacia o falso argumento conocido como negación del antecedente.

En nuestro ejemplo,[(p q) ¬p] ¬q se traduciría en lenguaje natural como: "Si hago deporte, entonces me canso, y no es verdad que haga deporte, luego no es verdad que me canse". Es palmario que este razonamiento es falso, puesto que puedo cansarme por otras circunstancias que no son necesariamente hacer deporte.

Ensayemos lo aprendido sobre Modus Ponens, Modus Tollens y sus respectivas falacias gemelas en la siguiente sección.

70

http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/04leyeslog/030modustollens.html


71 LA LÓGICA

Popper y el MODUS TOLLENS

Karl Popper fue uno de los filósofos de la ciencia más influyentes del siglo XX. Popper trató de resolver el espinoso problema de la inducción con una teoría falsacionista del método científico en el que la ley del Modus Tollens juega un papel fundamental. Los detalles los puedes encontrar en este enlace:

http://www.liceus.com/cgi-bin/ac/pu/popper.asp

Los estoicos y los indemostrables

Los filósofos estoicos formularon una lógica proposicional en la que jugaban un papel crucial lo que ellos llamaban "indemostrables": eran 5 esquemas de argumentación simples y válidos que se consideraban como axiomas o principios del razonamiento. Entre estos esquemas de razonamiento estaban el Modus Ponens, el Modus Tollens, y el Silogismo Disyuntivo. Un ejemplo del primer indemostrable:

Si es de día, hay luz.Es de día.Por lo tanto, hay luz

Práctica con el Modus Ponens y Modus Tollens

Elige la conclusión adecuada para cada uno de los siguientes argumentos y justifica qué implicación tautológica o falacia ejemplifica cada uno de ellos:

Principio del formularioSi Dios existe, no existe el mal en el mundo.Dios existe.

Por lo tanto,Ahora, justifica tu respuesta: este argumento es un ejemplo de...


Modus Ponens

Modus Tollens

Falacia de afirmación del consecuente

71

http://www.liceus.com/cgi-bin/ac/pu/popper.asp

72 LA LÓGICA

Falacia de negación del antecedente

Principio del formularioSi Dios existe, no existe el mal en el mundo.Existe el mal en el mundo.



Modus Ponens

Modus Tollens



Principio del formularioSi Dios existe, no existe el mal en el mundo.No existe el mal en el mundo.



Modus Ponens

Modus Tollens



Principio del formularioSi Dios existe, no existe mal en el mundo.Dios no existe.

72

73 LA LÓGICA



Modus Ponens

Modus Tollens



Práctica con el Modus Ponens y Modus Tollens

Elige la conclusión adecuada para cada uno de los siguientes argumentos y justifica qué implicación tautológica o falacia ejemplifica cada uno de ellos:

Principio del formularioSi Drácula cocina bien las pizzas, entonces Frankenstein es taxidermista.Frankenstein no es taxidermista.



Modus Ponens

Modus Tollens



Principio del formularioCuando el grajo vuela bajo hace un frío del carajo.

73

74 LA LÓGICA

Hace un frío del carajo.



Modus Ponens

Modus Tollens



Principio del formularioSi las tortugas saben álgebra, entonces los sapos bailan flamenco.Las tortugas no saben álgebra.



Modus Ponens

Modus Tollens



Principio del formularioSi llueve, se me moja el coche.Llueve.



Modus Ponens

74

75 LA LÓGICA

Modus Tollens



Simplificación

Siguiendo con nuestro estudio de las tautologías como modelo de razonamientos correctos, en este apartado veremos la ley de Simplificación.

Simplificación

La tautología conocida como simplificación adquiere la siguiente forma lógica:

(p q) p

y también

(p q) q

que, traducido al lenguaje natural sería algo así como si p y q son ambos ciertos, entonces p en particular es cierto.

La definición de la conjunción exige que p y q sean simultáneamente ciertos para que p q sea cierto. La ley de la simplificación lo único que dice es que si p q es cierto, entonces tenemos garantizado que cualquiera de esos dos términos de la mencionada conjunción son ciertos por separado.


Sea p: "hago mucho deporte", y q: "estoy cansado", según este esquema tautológico:

"Si hago mucho deporte y estoy cansado, entonces es cierto que haga mucho deporte"


75

76 LA LÓGICA

Hago mucho deporte y estoy cansado.

Por consiguiente, hago mucho deporte


p q

p

Con la otra simplificación (p q) q ocurre lo mismo mutatis mutandi.

Fíjate en esto

Fíjate que la siguiente implicación no es una tautología:(p q) q.

Adición

Adición

La tautología conocida como adición adquiere la siguiente forma lógica:

p (p q)

y también

q (p q)

que, traducido al lenguaje natural sería algo así como si es cierto que p, entonces sabemos que p o q son verdad.

La definición de la disyunción exige que para que la disyunción p q sea cierta o bien p o bien q sean ciertos. En consecuencia, si sabemos que p es cierto, entonces cualquier disyunción en la que esté p será cierta con independiencia del valor de verdad del otro término de la disyunción (o, para la otra formulación, cualquier disyunción en la que esté q será cierta).


76

77 LA LÓGICA

Sea p: "hago mucho deporte", y q: "estoy cansado", según este esquema tautológico:

"Si hago mucho deporte, entonces es cierto que haga mucho deporte o estoy cansado"


Hago mucho deporte.

Por consiguiente, hago mucho deporte o estoy cansado


p

p q

Con la otra adición q (p q) ocurre lo mismo mutatis mutandi.

Fíjate en esto

Fíjate que la siguiente implicación no es una tautología: p (p q)

Practiquemos lo aprendido sobre la Simplificación y la Adición en la siguiente sección de práctica.

Práctica con la Simplificación y Adición

Elige la conclusión adecuada para cada uno de los siguientes argumentos y justifica a continuación qué implicación tautológica ejemplifica cada uno de ellos :

Principio del formularioLa Tierra es plana

Por lo tanto,

77

78 LA LÓGICA

Ahora, justifica tu respuesta: este argumento es un ejemplo de...Principio del formulario

Simplificación

Modus Ponens

Modus Tollens

Adición

Principio del formularioLa Tierra es plana, pero la Luna no es verde



Modus Ponens

Adición


Simplificación

Principio del formularioIré de vacaciones a Madagascar



Adición

Simplificación

Modus Ponens

Modus Tollens

78

79 LA LÓGICA

Principio del formularioNi canto flamenco, ni bailo el tango



Modus Ponens

Adición

Simplificación

Ninguna de las anteriores

Práctica con la Simplificación y Adición

Elige la conclusión adecuada para cada uno de los siguientes argumentos y justifica a continuación qué implicación tautológica ejemplifica cada uno de ellos :

Principio del formularioFrankenstein es taxidermista



Simplificación

Modus Ponens

Modus Tollens

Adición


79

80 LA LÓGICA

Frankenstein no es taxidermista, pero Drácula lleva ortodoncia



Modus Ponens

Adición


Simplificación

Principio del formularioNo tengo frío ni calor



Adición

Simplificación

Modus Ponens

Modus Tollens

Principio del formulario"El dinero no da la felicidad, pero calma los nervios" (Lola Flores)



Modus Ponens

Adición

80

81 LA LÓGICA

Simplificación

Ninguna de las anteriores

Silogismo disyuntivo


La tautología conocida como silogismo disyuntivo tiene la siguiente forma lógica:

[(p q) (¬p)] q

y también

[(p q) (¬q)] p

que, traducido al lenguaje natural sería algo así como si es cierto que la disyunción p o q es verdadera, y además sabemos que no es cierto p, entonces sabemos que q es cierto con seguridad.

La definición de la disyunción exige que para que la disyunción p q sea cierta o bien p o bien q sean ciertos. En consecuencia, si sabemos que p no es cierto, entonces con seguridad q (el otro término de la disyunción) ha de ser cierto.

Como muy bien señala Alfredo Deaño en su obra Introducción a la lógica formal, (Ed. Alianza, pg. 111, nota 114), la denominación tradicional de "Silogismo disyuntivo" es incorrecta, ya que, en rigor, no se trata de un silogismo. Deaño propone el nombre de "Inferencia de la alternativa". Nosotros optaremos por dejar avisado al lector, continuando, en lo sucesivo, con la denominación tradicional de "silogismo disyuntivo" por ser de uso más extendido.

Ejemplo:

Si sabemos que es cierto que o bien Raul marcó gol o bien Ronaldo fue quien marcó, y además sabemos que no marcó Raul, entonces es seguro que es cierto que marcó Ronaldo.


O Raul marcó gol o fue Ronaldo quien marcó.

81

82 LA LÓGICA

Raul no marcó gol

Por consiguiente, Ronaldo marcó.


p q¬p

q

Con la otra tautología [(p q) (¬q)] p ocurre lo mismo mutatis mutandi.

Holmes y su versión del silogismo disyuntivo

Arthur Conan Doyle, el padre literario de Sherlock Holmes, en una de sus obras pone en boca del mejor detective de todos los tiempos la siguiente curiosa versión del Silogismo Disyuntivo:

"Una vez eliminado lo imposible, lo que queda, por improbable que parezca, debe ser la verdad"

Transitividad

Transitividad

La tautología que expresa la propiedad transitiva de la implicación tiene la siguiente forma lógica:

[(p q) (q r)] (p r)

que, traducido al lenguaje natural sería algo así como si es cierto que p implica q es verdadera, y además sabemos que es cierto que q implica r, entonces forzosamente p también implica r.

Ejemplo:

Si sabemos que si gana el Real Madrid entonces los madridistas están alegres, y que si los madridistas están alegres los barcelonistas están tristes, nos encontramos, en consecuencia, que si el Real Madrid gana, los barcelonistas están tristes.

Recurriendo a su forma argumental correspondiente:

82

83 LA LÓGICA

Si el Real Madrid gana, los madridistas están alegres.Si los madridistas están alegres, entonces los barcelonistas están tristes.

Por consiguiente, si el Real Madrid gana los barcelonistas están tristes.


p qq r

p r

Fíjate en esto:

En ocasiones se puede expresar la ley de la transitividad de la implicación sin utilizar paréntesis: los dos primeras condicionales quedarían p q r, y podemos obtener la conclusión eliminando la q intermedia: p r.

Es hora de practicar lo aprendido sobre el silogismo disyuntivo y la transitividad en la siguiente sección.

Practica con el Silogismo Disyuntivo y la Transitividad

Elige la conclusión adecuada para cada uno de los siguientes argumentos y justifica a continuación qué implicación tautológica ejemplifica cada uno de ellos:

Principio del formularioNo hace calorO hace frío, o hace calor



83

84 LA LÓGICA

Simplificación


Modus Tollens

Transitividad

Principio del formularioSi tengo mucho dinero, entonces viajo al PerúSi me toca la lotería, entonces tengo mucho dinero



Modus Ponens


Transitividad

Simplificación

Principio del formularioSi apruebo el curso, entonces me compran la moto.Si estudio mucho, entonces aprobaré el curso.



Adición

Transitividad

Modus Ponens


84

85 LA LÓGICA

Principio del formularioO no estudio mucho, o me compran la motoEstudio mucho



Modus Ponens

Adición

Simplificación


Introducción a las equivalencias tautológicas

En las páginas siguientes haremos un repaso de las principales equivalencias tautolócicas, que son un tipo de tautologías que siguen un esquema de bicondicional: A B.

Recuerda que A B se define como (A B) (B A), por lo que un enunciado bicondicional es verdadero cuando sus dos enunciados componentes son o bien ambos verdaderos o bien ambos falsos.

Las equivalencias tautológicas o equivalencias lógicas

Las equivalencoas tautológicas tienen la forma A B donde A y B son enunciados (atómicos o moleculares) que son lógicamente equivalentes. En otras palabras, si A B es tautológica, entonces AB.

Por lo tanto, todas las equivalencias lógicas que hemos estudiado en el apartado correspondiente son ejemplos de equivalencias tautológicas. Las equivalencias tautológicas que ya conocemos son las siguientes (expondremos unos cuantos ejemplos a continuación y una lista mayor en la página siguiente):

Doble negación p ¬(¬p)Propiedad conmutativa de la conjunción p q q pPropiedad conmutativa de la disyunción p q q pPropiedad asociativa de la conjunción p (q r) (p q) r

85

86 LA LÓGICA

Propiedad asociativa de la disyunción p (q r) (p q) r

Leyes de DeMorgan¬(p q) (¬p) (¬q)

¬(p q)(¬p) (¬q)

Definición del implicador p q ¬p qContrarrecíproco del implicador p q ¬q ¬pDefinición del coimplicador p q (p q) (q p)

En el cuadro anterior tenemos las equivalencias lógicas (y tautológicas) que ya hemos estudiado expresadas en forma de ley lógica. Veamos la ley de la doble negación en el siguiente cuadro expresada en forma de regla de inferencia (es decir, en su forma argumental):

La Ley de la Doble Negación [p ¬(¬p)] expresada en forma de regla de inferencia adopta las dos formas siguientes de representación:

y también

Existe la convención de representar simplificadamente las equivalencias tautológicas utilizando entre premisa y conclusión una raya doble, en lugar de una sencilla (como ocurría en el caso de las implicaciones tautológicas). Así se indica que se puede pasar tanto de lo que hay por encima de la raya hacia abajo como de la expresión de debajo de laray a hacia la de arriba.

Veamos en la siguiente sección las equivalencias tautológicas más importantes en forma de ley, y en forma de regla de inferencia.

Tabla de resumen de las equivalencias tautológicas

En el siguiente cuadro aparecen todas las equivalencias tautológicas que ya conocemos en forma tanto de leyes como de regla de inferencia. Al presentar las reglas de inferencia hemos preferido utilizar, convencionalmente, las letras mayúsculas A, B, C, etc. para dar a entender de una forma más clara que cualquiera de dichas letras puede ser ocupada por un enunciado atómico, o por uno molecular (es decir, por otra fórmula).

DENOMINACIÓN LEY REGLA DE INFERENCIA

p

¬(¬p)

p

¬(¬p)

86

87 LA LÓGICA

Doble negación p ¬(¬p)

Propiedad conmutativa de la conjunción (p q) (q p)

Propiedad conmutativa de la disyunción (p q) (q p)

Propiedad asociativa de la conjunción (p (q r)) ((p q) r)

Propiedad asociativa de la disyunción (p (q r)) ((p q) r)

Leyes de DeMorgan

(¬(p q)) ((¬p) (¬q))

(¬(p q)) ((¬p) (¬q))

Definición del implicador (p q) (¬p q)

Contrarrecíproco del implicador (p q) (¬q ¬p)

Definición del coimplicador (p q) ((p q) (q p))

A

¬(¬A)

A B

B A

A B

B A

A (B C)

(A B) C

A (B C)

(A B) C

¬(A B)

(¬A) (¬B)

¬(A B)

(¬A) (¬B)

A B

¬A B

A B

¬B ¬A

A B

(A B) (B A)

87

88 LA LÓGICA

5. EL CÁLCULO DEDUCTIVO

Definiciones y terminologíaEn este bloque de contenidos de Aprende Lógica aprenderemos lo fundamental del cálculo deductivo. Empezaremos, para ello, recordando algunos conceptos básicos que hay que tener presentes en

lo sucesivo.

Hemos visto ya lo que es un argumento: un conjunto de enunciados llamados premisas de los cuales forzosamente se sigue otro enunciado llamado conclusión.

Un argumento es válido cuando la verdad de las premisas es incompatible con la falsedad de la conclusión, y es inválido en caso contrario.

Es importante recordar...

La terminología es importante. Recuerda que...

los argumentos son válidos o inválidos (o bien correctos o incorrectos)

los enunciados son verdaderos o falsos

También hemos estudiado algunos de estos esquemas de razonamiento lógicamente válidos, y hemos comprobado que hay dos formas de presentar los esquemas de inferencia lógicamente válidos:

88

89 LA LÓGICA

1. Cada enunciado condicional, A B, se puede reexpresar como una derivación, A B, denominada argumento correspondiente o derivación correspondiente del condicional 2. Recíprocamente, cada derivación, A1, A2,...An B se puede reexpresar como un enunciado condicional con la forma (A1 A2 ... An) B denominada condicional correspondiente del

argumento.

Es decir:

En forma de leyes lógicas con la estructura de una implicación cuyo antecedente está formado por la conjunción de las premisas y cuyo consecuente es la conclusión. Por ejemplo, la ley lógica llamada Modus Ponens tiene la siguiente estructura en forma de ley:

[(p q) p] q

En forma de reglas de inferencia o forma argumental, presentando cada una de las premisas en una línea diferente (y no unidas por la conjunción en el antecedente de una implicación,

como en las leyes lógicas), y la conclusión separada por una raya horizontal. Así, la ley llamada Modus Ponens se puede presentar de la siguiente manera en forma de regla de inferencia:

p q

p

q

Como preferimos una formulación más general, seguiremos la convención de utilizar las letras p, q, r ... para referirnos a los enunciados atómicos, y las letras mayúsculas A, B, C ... para hablar tanto de enunciados atómicos como moleculares. De acuerdo con esta forma más general de hablar, enunciaremos la regla de inferencia del Modus Ponens de la siguiente manera (equivalente a la anterior, pero más práctica, más general):

A B

A

B

La forma que utilizaremos para referirnos a los argumentos en esta sección será esta última. Después de este preámbulo, continuemos con un ejemplo práctico de la mecánica del cálculo deductivo.

Introducción al cálculo deductivo: las pruebasEmpecemos con un ejemplo de un argumento que sigue el esquema de la ley lógica del Modus Ponens:[(p q) p] q, cuyo argumento correspondiente es:

p q

p

89

90 LA LÓGICA

q

Como habíamos comentado en la página anterior, las letras minúsculas se refieren a enunciados moleculares, pero en realidad no hay razón para restringir los esquemas válidos de inferencia (es decir, las reglas de inferencia) a los enunciados atómicos. Consideremos el siguiente argumento:

Si llueve y no tengo paraguas, entonces me mojo y me resfrío

Es el caso que llueve y no tengo paraguas

Por lo tanto, me mojo y me resfrío

Si formalizamos el argumento anterior, nos quedaría algo así:

p: llueve (p ¬q) (r s)

(p ¬q)

(r s)

q: tengo paraguasr: me mojo

s: me resfrío

Si aplicamos lo expuesto en la sección anterior, es fácil comprobar que este argumento responde a la formulación más general del Modus Ponens:

A B

A

B

donde: A (p ¬q)B (r s)

Así expuesta, ya tenemos que el Modus Ponens es nuestra primera regla de inferencia. Usaremos las reglas de inferencia para construir listas de enunciados verdaderos que llamaremos pruebas. Una prueba es una forma de mostrar cómo un enunciado llamado conclusión se sigue necesariamente de un conjunto de enunciados llamados premisas. O si se prefiere, las pruebas muestran cómo la verdad de un conjunto de enunciados llamados premisas es incompatible con la falsedad de otro enunciado llamado conclusión.

En particular, el Modus Ponens nos muestra que si en un argumento tenemos dos premisas con la estructura A B y A , entonces está justificado añadir B como otro enunciado verdadero que forme parte de dicho argumento.

Veámoslo con un ejemplo

90

91 LA LÓGICA

Aplica el Modus Ponens a los enunciados 1 y 3 de la siguiente lista de premisas (esto es, de enunciados de los que partimos como verdaderos, y que, convencionalmente, vienen precedidos de una raya horizontal):

1. (¬p q) (¬r s)2. (r ¬s)3 (¬p q)

La solución es elemental si nos damos cuenta de que el siguiente argumento tiene la siguiente estructura:

1. A B

2. C

3. A

donde: A (¬p q)B (¬r s)C (r ¬s)

El enunciado A aparece dos veces: en los enunciados 1 y 3; y el enunciado B aparece sólo en el enunciado 1. El enunciado C sólo aparece en el segundo enunciado y no tiene pertinencia para la aplicación del Modus Ponens en este caso concreto, que es de la siguiente manera:

1. (¬p q) (¬r s) Premisa2. (r ¬s) Premisa3 (¬p q) Premisa

4. (¬r s) Modus Ponens 1,3

Esta lista de cuatro enunciados constituye una prueba de que el enunciado 4 se sigue necesariamente de las premisas 1 a 3 (en virtud de la estructura tautológica de la ley del Modus Ponens: [(p q)p] q, aunque, por conveniencia práctica la hayamos expresado en forma de regla de inferencia).

Observa que en la parte de la derecha hemos escrito "Modus Ponens 1,3", que es la justificación del enunciado 4. Esto es una práctica común.

Fíjate en esto...

Lo que hemos hecho en este ejemplo ha sido construir una prueba del siguiente argumento:

(¬p q) (¬r s) (r ¬s) (¬p q)

(¬r s)

Es importante que este mismo fin de mostrar que la verdad de las premisas es incompatible con la falsedad de la conclusión podría haberse hecho por medios semánticos realizando la tabla de verdad de la siguiente fórmula:

{[(¬p q) (¬r s)] [(r ¬s)] [(¬p q)]} [(¬r s)]

91

92 LA LÓGICA

Si la fórmula anterior es una tautología, entonces es cierto que la verdad de las premisas {[(¬p q) (¬r s)] [(r ¬s)] [(¬p q)]} es incompatible con la falsedad de la conclusión (¬r s).

Las reglas derivadas de inferencia

Ya hemos comprobado que únicamente a partir de las reglas básicas se puede hacer cualquier deducción. Pero sucede que podemos introducir, con fines prácticos, nuevas reglas deducidas o derivadas de las básicas, que nos van a permitir abreviar el número de líneas de las derivaciones. Hay que recordar, sin embargo, que todo lo que se puede hacer con las reglas derivadas también se puede conseguir con las básicas, aunque con más pasos, por lo que se dice que las reglas derivadas no aumentan la potencia deductiva de las reglas básicas.

Las reglas derivadas, por lo tanto tienen estas tres características:

1. Son deducciones efectuadas a partir de reglas básicas. 2. No aumentan la potencia deductiva de las reglas básicas.

3. Frecuentemente abrevian las derivaciones.

Cuando presentamos la reducción al absurdo ya comprobamos la primera de estas características: a partir de las reglas básicas derivamos (deducimos, o fundamentamos) una regla derivada: el Modus Tollens.

Modus Tollens en su forma de ley (o condicional correspondiente):

Modus Tollens en forma de argumento: Fundamentación del Modus Tollens a partir de las reglas básicas:

[(p q) ¬q] ¬p

p q¬q

¬p

1.A B 2.¬B ¬A3.A 4.B MP 1,35.B ¬B Prod 4,2

6.¬A Abs 3-5

De forma análoga, se pueden fundamentar todas las reglas derivadas que vamos a estudiar.

Divideremos nuestro estudio de las reglas derivadas en cuatro secciones correspondientes a las reglas derivadas, respectivamente, de la implicación, de la negación, de la conjunción y de la disyunción. No ofreceremos la fundamentación de cada una de ellas, lo que queda propuesto como interesante ejercicio para el lector.

Comencemos con las reglas derivadas de la implicación.

92

93 LA LÓGICA

Las reglas derivadas de implicación

Las cuatro reglas derivadas de implicación que veremos son las siguientes:

1. Silogismo hipotético (SH) 2. Mutación de Premisas

(Mut)A BB C

A C

A (B C)

B (A C)

3. Identidad (Id) 4. Carga de Premisas (CPr)A

A

A

B A

Fíjate en esto:

Al presentarte el Teorema de deducción utilizamos un ejemplo práctico que puede servir para fundamentar el silogismo hipotético:

1.p q 2.q r p r3.p4.q MP 1,35.r MP 2,4

6.p r TD 3-5

Practiquemos lo expuesto: rellena la siguiente deducción de acuerdo con las justificaciones de cada paso de la deducción.

Principio del formulario1. p q 2.q (r

s) 3.r s(p s)

93

94 LA LÓGICA

4.

SH 1,2

5.

Mut 4

6.

MP 5,3

7.

CPr 6

Sigamos examinando las reglas derivadas de la negación.

Las reglas derivadas de negación

Las cinco reglas derivadas de negación que veremos son las siguientes:

1. Contraposición (Cp)

2. Modus tollens (MT)

A B

¬B ¬A

A B

¬B

¬A

3. Principio de no contradiccion (PNC)

4. Principio de tercio excluso (PTE)

¬(A ¬A) A ¬A

94

95 LA LÓGICA

5. Ex contradictione quodlibet (ECQ)

A ¬A

B

Fíjate en esto:

Ya conocemos las reglas de Contraposición (como una de las propiedades del condicional) y Modus Tollens.

Los principios de no contradicción y de TERCIO EXCLUSO se pueden invocar en una deducción en cualquier línea, y son dos axiomas que se postulan como vedaderos en la lógica de enunciados.

La regla de Ex contradictione quodlibet (de una contradicción, cualquier cosa) nos dice que si en el curso de una deducción somos capaces de encontrarnos con una contradicción (A ¬A), entonces en la línea siguiente podemos poner cualquier fbf.


1. p q

2.¬p (r

s)

3.¬(¬q s) s

(p s)

4. Cp 1

95


http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/02lenglogica/056condprop.html

96 LA LÓGICA

5.

SH 4,2

6.

Mut 5

7.

MT 6,3

1.

(¬p ¬q) ¬(r ¬r)

2.

(q s) (sp) t

3.

Simp 2

4.

Simp 2

5.

SH 3,4

6. Cp 5

7.

MP 1,6

96

97 LA LÓGICA

8. PTE

9.

Prod 8,7

10.

ECQ 9

Sigamos examinando las reglas derivadas de la conjunción.

Las reglas derivadas de conjunción

Las siete reglas derivadas de la conjunción que veremos son las siguientes (conocemos las tres primeras):

1. Conmutativa de la conjunción (CC) 2. Asociativa de la

conjunción (AC)

A B

B A

(A B) C

A (B C)

3. Distributiva de la conjunción (DC) 4. Idempotencia de la

conjunción (IdC)

97

98 LA LÓGICA

A (B C)

(A B) (A C)

A A

A

5. Absorción de la conjunción (AbsC) 6.Importación (Imp)

A (A B)

A

A (B C)

(A B) C)

7. Exportación (Exp)

(A B) C)

A (B C)

Fíjate en esto

Ya conocemos las reglas Conmutativa, Asociativa y Distributiva de la conjunción (como propiedades de la conjunción).


1.[p (q r)]

98

http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/02lenglogica/033conjprop.html

99 LA LÓGICA

r)]

2.¬(p r)

q p

3.

IdC 1

4. DC 3

5.

SD 4,2

6. CC 5

1.

(¬p ¬q) ¬(r ¬r)

2.

(q s) (sp) t

3. AC 2

4.

Mut 1

99

100 LA LÓGICA

5.

Simp2 3

6.

MP 4,5

7.

Simp1 3

8. DN 7

9.

MT 6,8

10.

AbsC 10

Sigamos examinando las reglas derivadas de la disyunción.

Las reglas derivadas de disyunción

100

101 LA LÓGICA

Las ocho reglas derivadas de la disyunción que veremos son las siguientes (conocemos ya algunas):

A B

B A

A (B C)

(A B) (A C)

A (A B)

A

101

102 LA LÓGICA

(DilC1) (DilC

Fíjate en esto

Ya conocemos las reglas Conmutativa, Asociativa y Distributiva de la disyunción (como propiedades de la disyunción). Además, las reglas de Idempotencia y de Absorción de la disyunción son análogas a las de la conjunción.


102

http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/02lenglogica/043disyprop.html

103 LA LÓGICA

1.r ¬(tp q)

2.

p (q r)¬r

¬r

3. DD 2

4.

Simp1 3

5.

CPr 4

6. DN 5

7.

MT 1,6

8.

IdD 7

1.(p q)[(r s) t)

2. p (p q)

103

104 LA LÓGICA

3. ¬r t

s

4.

AbsD 2

5.

Ad1 4

6.

MP 1,5

7. AD 6

8.

SD2 7,3

9. CD 8

Sigamos examinando las reglas derivadas de la coimplicación.

Las reglas derivadas de coimplicación

Las cuatro reglas derivadas de implicación que veremos son las siguientes:

1. Introducción del coimplicador (ICO)

2. Eliminación del coimplicador (ECO)

104

105 LA LÓGICA

A BB A

A C

A B

B A(ECO1)

A B

B A(ECO2)

A B

A

B(ECO3)

A BB

A(ECO4)

3. Reflexividad (Refl CO) 4. Simetría (Sim CO)

A A A B

B A

5. Transitividad (Trans CO)

A BB C

A C

Fíjate en esto:

En realidad la Reflexividad, la Simetría y la Transitividad son propiedades del bicondicional que pueden ser utilizadas como reglas de inferencia:


Principio del formulario1. q (r s) 2.(q p) ¬r

pq

3. DD 1

4.

Simp1 3

5.

Simp2 2

3.

SD 4,5

105

106 LA LÓGICA

4.

CPr 6

5.

Simp1 2

6.

ICO 7,8

1. p (q r) 2. q ¬p ¬r

7. ECO2 1

8. Exp 3

5. Simp1 2

6. MP 4,5

7. Simp2 2

8. MT 6,7

En la página siguiente acabaremos nuestro estudio de las reglas derivadas con las de interdefinición.

Las reglas de interdefinición

Las reglas derivadas de interdefinición muestran la forma de definir unas conectivas en términos de otras. A continuación veremos nuevas definiciones del implicador, el conjuntor y el disyuntor:

1. Definiciones del implicador (DfI) 2. Definiciones del conjuntor (DfC)

A B (DfI1) A B (DfI2) A B (DfC1) A B (DfC2)

106

107 LA LÓGICA

¬(A ¬B) ¬A B ¬(A ¬B) ¬(¬A ¬B)

3. Definiciones del disyuntor (DfD) 4. Leyes de DeMorgan (DM)

A B

¬A B

(DfD1)

A B

¬(¬A ¬B)

(DfD2)

¬(A B)

¬A ¬B

(DM1)

¬(A B)

¬A ¬B

(DM2)

Las reglas de interdefinición

DfI1 es una definición del implicador en términos del conjuntor.

DfI2 es una definicón del implicador en términos del disyuntor.

DfC1 es una definición del conjuntor en términos del implicador.

DfC2 es una definición del conjuntor en términos del disyuntor.

DfD1 es una definición del disyuntor en términos del implicador.

DfD2 es una definición del disyuntor en términos del conjuntor.

Fíjate en esto

107

108 LA LÓGICA

Ya conocemos las reglas de definición del implicador 2 (que llamábamos "intercambiador") y leyes de DeMorgan, que hemos estudiado cuando tratamos el tema de las leyes de la Lógica.


1. p q

2.¬p r

q r

3.

Cp1 1

4.

SH 3,2

5.

DfD1 4

1. (p q) r

2. ¬r s

3. ¬s

4.p¬q

108

http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/03tablasvdad/022demorgan.html

http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/logica/03tablasvdad/023intercamb.html

109 LA LÓGICA

5.

SD 2,3

6.

MT 1,5

7.

DM 6

8.

SD 7,4

1. ¬(p ¬q)

2. q r

3. ¬r ¬

p

6.

DfD1 1

7.

MT 2,3

8.

MT 4,5

109

110 LA LÓGICA

110

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PRESENTACIÓN Y PLAN DE TRABAJO€¦ · Web viewPresentación y plan de trabajo. En este tema vas a aprender lo siguiente: OBJETIVOS CONCEPTOS ACTIVIDADES Conocer qué es la lógica