INTRODUCCIN La poligonacin es uno de los procedimientos topogrficos ms comunes. Las poligonales se usan generalmente para establecer puntos de control y puntos de apoyo para el levantamiento de detalles y elaboracin de planos, para el replanteo de proyectos y para el control de ejecucin de obras.

POLIGONACIN

Una poligonal es una sucesin de lneas quebradas, conectadas entre s en los vrtices. Para determinar la posicin de los vrtices de una poligonal en un sistema de coordenadas rectangulares planas, es necesario medir el ngulo horizontal en cada uno de los vrtices y a distancia horizontal entre vrtices consecutivos.

En forma general, las poligonales pueden ser clasificadas en: Poligonales cerradas, en las cuales

el punto de inicio es el mismo punto de cierre, proporcionando por lo tanto control de cierre angular y lineal.

Poligonales abiertas o de enlace con control de cierre, en las que se conocen las coordenadas de los puntos inicial y final, y la orientacin de las alineaciones inicial y final, siendo tambin posible efectuar los controles de cierre angular y lineal.

Poligonales abiertas sin control, en las cuales no es posible establecer los controles de cierre, ya que no se conocen las coordenadas del punto inicial y/o final, o no se conoce la orientacin de la alineacin inicial y/o final.

CLCULO Y COMPENSACIN DE POLIGONALES La solucin de una poligonal consiste en el clculo de las coordenadas rectangulares de cada uno de los vrtices o estaciones. En poligonales cerradas y en poligonales abiertas de enlace con control, se realizan las siguientes operaciones: 1. Clculo y compensacin del error de cierre angular. 2. Clculo de azimuts o rumbos entre alineaciones (ley de propagacin de los azimuts). 3. Clculo de las proyecciones de los lados. 4. Clculo del error de cierre lineal. 5. Compensacin del error lineal. 6. Clculo de las coordenadas de los vrtices. En poligonales abiertas sin control, solamente se realizan los pasos 2, 3 y 6 ya que no existe control angular ni lineal.

CLCULO Y COMPENSACIN DEL ERROR DE CIERRE ANGULAR En una poligonal cerrada se debe cumplir que la suma de los ngulos internos debe ser:

int= (n2)180 En donde: n = nmero de lados. Como se estableci previamente en el captulo 4, la medicin de los ngulos de una poligonal estar afectada por los inevitables errores instrumentales y operacionales, por lo que el error angular vendr dado por la diferencia entre el valor medido y el valor terico.

Ea=int (n2)180

Se debe verificar que el error angular sea menor que la tolerancia angular, generalmente especificada por las normas y trminos de referencia dependiendo del trabajo a realizar y la apreciacin del instrumento a utilizar, recomendndose los siguientes valores. Poligonales principales Ta = a n Poligonales secundarias Ta = a n + a Ta = tolerancia angular a = apreciacin del instrumento.

Ejemplo En el polgono siguiente En el desarrollo del trabajo de campo, encuentra que la suma de sus ngulos es 717 encontrando una diferencia de -3 que viene a ser el error de cierre angular.

i = 180(n-2) i = 180(6-2) = 720

Ec = 717 - 720 = -3

Si el error angular es mayor que la tolerancia permitida, se debe proceder a medir de nuevo los ngulos de la poligonal. Si el error angular es menor que la tolerancia angular, se procede a la correccin de los ngulos, repartiendo por igual el error entre todos los ngulos, asumiendo que el error es independiente de la magnitud del ngulo medido. Para compensar el error se divide entre el nmero de vrtices y el resultado se suma resta a cada ngulo y queda compensado el polgono:

Ca= Cierre angular

En poligonales abiertas con control, el error angular viene dado por la diferencia entre el azimut final, calculado a partir del azimut inicial conocido y de los ngulos medidos en los vrtices, y el azimut final conocido.

Ea= Error angular fc= azimut final calculado f = azimut final conocido

Al igual que en poligonales cerradas, se compara el error con la tolerancia angular. De verificarse la condicin, se procede a la correccin angular, repartiendo el error en partes iguales entre los ngulos medidos. La correccin tambin se puede efectuar sobre los azimuts, aplicando una correccin acumulativa, (mltiplo de la correccin angular), a partir del primer ngulo medido. En otras palabras, el primer azimut se corrige con 1Ca, el segundo con 2Ca y as sucesivamente, hasta el ltimo azimut que se corrige con fCa.

ERROR DE CIERRE LINEAL Debido principalmente a los inevitables pequeos errores y en los levantamientos de poca precisin; como puede ser una poligonal secundaria ya sea abierta o cerrada que ha sido levantado con la brjula o levantamiento poligonal grfica, en lugar de llegar al punto de arranque grfica V5 se obtendr otro punto V5' prximo de V51. El segmento V5 - V5' es llamado error de cierre lineal de la poligonal.

ERROR RELATIVO DE UNA POLIGONAL Conociendo el error lineal de cierre de una poligonal; podemos determinar su ERROR RELATIVO, dividiendo dicho error entre el permetro de la poligonal.

Dnde: Er = Error relativo EL = Error lineal de cierre P = Permetro Cuando se realiza la compensacin de una poligonal por coordenadas el error lineal es igual:

EJEMPLO Calcular el error relativo si E.L. es 0.15m, y el permetro es 420m. Entonces: Er= 0,15/420 = 0,000357143 = 1/2800

Ord. Er. Relat E. M. P. Teod. Met.Recomendado

1er Ord. 1/10000 15"n 5" Reiteracin.

2do Ord 1/5000 30"n 20" Reiteracin.

3er Ord. 1/2500 01'"n 30" Repeticin.

4to Ord. 1/1000 1'30"n 1" Repeticin.

CLASIFICACION DE UNA POLIGONAL POR SU ERROR RELATIVO Y ANGULAR COMENTARIO: La primera columna nos indica el orden de una poligonal o la importancia que tiene un trabajo, La segunda columna indica el error relativo, significa el error mximo que debe cometerse en el cierre perimetral; Ejemplo: en una poligonal de primer orden el error relativo significa que, en 10000 mts debe tener un error mximo de 1 mt. Con el mismo criterio para el 2do, 3ro y 4to orden. La tercera columna nos indica el error mximo permisible angular; Ejemplo: Para un polgono de 1er orden de 5 lados el error mximo permisible ser = 15"(5)1/2 = 33.54", significa que en un pentgono el error angular mximo debe ser 33.54 para poder compensar, caso contrario, si es mayor se vuelve a realizar el trabajo de campo, con el mismo criterio para el 2do, 3er y 4to orden. La cuarta columna nos dice la precisin del teodolito que debemos emplear para nuestros levantamientos, y la ltima columna recomienda qu mtodo de medicin debe usarse.

El error relativo (Er) puede estar dentro o fuera de la tolerancia, si el Er est dentro de la tolerancia se considera un buen trabajo, y que el error de cierre obtenido se puede compensar, es decir, se puede repartir proporcionalmente en todo los vrtices de la poligonal. Si el error es excesivo (Er fuera de tolerancia), se dice que el levantamiento fue mal ejecutado, por lo tanto la brigada debe retornar al campo para realizar nuevas mediciones. Se considera un buen trabajo, Er es menor o igual 1/1000, 1/3000, 1/5000, 1/10000 Compensacin grafica de error de cierre .

Trazar la nueva poligonal (poligonal compensada), a partir del vrtice V1, uniendo los puntos (nuevos vrtices), en el siguiente orden: V5 a 1(en V1) 1(en V1) a 2(en V2) 2(en V2) a 3(en V3) 3(en V3) a 4(en V4) 4(en V4) a 5(en V5) El trabajo ser correcto si los lados de la nueva poligonal (compensada), no se cruza en ninguno de sus lados con la poligonal original (sin compensar).

LEY DE PROPAGACIN DE LOS AZIMUTS Los azimuts de los de lados una poligonal se puede calcular a partir de un azimut conocido y de los ngulos medidos, aplicando la ley de propagacin de los azimuts, la cual se puede deducir de la figura.

Supongamos que en la figura, se tienen como datos el azimut AB y los ngulos en los vrtices, y se desea calcular los azimuts de las alineaciones restantes, para lo cual procedemos de la siguiente manera.

Si aplicamos el mismo procedimiento sobre cada uno de los vrtices restantes, podremos generalizar el clculo de los azimuts segn la siguiente ecuacin: i = i1 + vrtice 180 En donde: i = azimut del lado i-1 = azimut anterior Los criterios para la utilizacin de la ecuacin son los siguientes: Si (i-1 + vrtice) < 180 se suma 180 Si (i-1 + vrtice) 180 se resta 180 Si (i-1 + vrtice) 540 se resta 540 ya que ningn azimut puede ser mayor de 360.

Ejemplo Conocido el azimut A1 y los ngulos en los vrtices de la figura E5-1, calcule los azimuts de las alineaciones restantes.

Solucin Aplicando la ecuacin tenemos: Azimut de la alineacin 1-2 12 = (1253012 + 1001830) 180 Como (1253012 + 1001830) = 2254842 > 180 12 = 2254842 180 = 454842 12 = 454842

Azimut de la alineacin 2-3 2-3 = (454842 + 1204032) 180 Como (454842 + 1204032) = 1662914 < 180 23 = 1662914 + 180 = 3462914 23 = 3462914 Azimut de la alineacin 3-B 3B = (3462914 + 2102530) 180 Como (3462914 + 2102530) = 5565444 > 540 3B = 5565444 540 = 165444 3B = 165444

MEDICIN DE UN NGULO CON CINTA POR EL MTODO DE LA CUERDA. Si se conocen los tres lados de un tringulo podran calcularse sus ngulos. Para medir el ngulo A

LEY DE LOS COSENOS (Ley de carnot)

a2 = b2

+ c2

- 2bcCosA

b2 = a2 + c2 - 2acCosB

c2 = a2

+ b2

- 2abCosC

Cos A = b2 + c2 - a2

2bc

Cos B = a2 + c2 - b2

2ac

Cos C = a2 + b2 - c2

2ab

ab

c

C

A B

Clculo de semingulos (Frmulas de Briggs)

= P = a + b + c

= s = a + b + c

2

Sen A =

2 bc

Sen B =

2 ac

Sen C =

2 ab

Perimetro

Semiperimetro

(s-b)(s-c)

(s-a)(s-c)

(s-a)(s-b)

ab

c

C

A B

rea del tringulo