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INTRODUCCION A LAS PROBABILIDADES
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Universidad Galileo ESDAP
Msc. Ing. Alex Oswaldo Estrada Steiger - Estadística AplicadaMsc. Ing. Alex Oswaldo Estrada Steiger - Estadística para la administración
Estadística para la AdministraciónIntroducción probabilidades
Universidad Galileo ESDAP
Probabilidad: Es la posibilidad de que un evento ocurra y
que expresa numéricamente entre 0 y 1. Aunque es muy
frecuente hacerlo en términos de porcentaje.
Existen (3) métodos para determinar una probabilidad
- (1) Frecuencias relativas o a posteriori
- (2) Modelo subjetivo
- (3) Modelo clásico o a priori
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Métodos Método clásico
- Cuando un evento ocurre de x maneras de un número total de
resultados posibles, cada uno igualmente probable. Como el
lanzamiento de una moneda.
- P(E) = Evento esperado o posible / Número total de eventos
Frecuencias relativas
- Se basa en hechos pasados, por eso se llama a posteriori
- P = Probabilidad
- E = Evento
- = P(E) = Eventos ocurridos en el pasado / Total de observaciones
- Puede representar problema si los datos recopilados no sonsuficientes.
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Modelo subjetivo
- Se basa en criterios personales o datos recolectados y que respondenal criterio de quien investiga.
- Normalmente se da cuando no hay datos disponibles.
Conceptos Básicosa) Experimento o procedimiento: Acción mediante la cual se obtiene un
resultado. Lanzar un dado.
b) Espacio muestral: Es el conjunto de todos los resultados posibles de
un experimento. Seis números posibles al lanzar un dado. Se
representa con el 100%.
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c) Evento: Resultado posible de un experimento, que está dado por:
P = probabilidad; X = Número de casos favorables; N = Número de
casos posibles.
- Evento simple: su característica es la de no descomponerse en otros
casos. La probabilidad que caiga hacia arriba el número 4 al lanzar un
dado es: P(4) = 1/6. Casos favorables X = 1, número de casos
posibles N = 6.
- Evento compuesto: existe cuando se puede descomponer en varios
eventos simples. La probabilidad de obtener un número igual ó mayor
a 4 al lanzar un dado; los números son 4, 5 y 6 y su probabilidad está
dada por 1/6, 1/6, 1/6 = 3/6 que representa el 50%, puesto que de 6
números hay 3 que cumplen con este requisito.
Conceptos Básicos
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0% --------------------------------------------------100%
Conceptos Básicos
Probabilidad nula o evento
imposible: ganar el premio
mayor de la lotería sin
comprar ningún número.
Evento cierto o seguro,
Certeza absoluta: ganar el
Premio mayor de la lotería
Comprando todos los
Números.
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La suma de todos los eventos posibles de un experimento (espacio
muestral) es igual a 1 ó
100%. Px = 1.
Ejemplo Diagrama de Árbol. Se lanza una moneda al aire, encontrar el
espacio muestral. E = escudo, C = cara.
= EE
= EC
= CE
= CC
Lanzamiento moneda
EE
C
CE
C
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Y la suma de todos los eventos posibles de un experimento es igual a uno,
en este caso 4/4 = 1 ó 100%.
CARA P(x) ESCUDO P(x)
0 1/4 0 1/4
1 2/4 1 2/4
2 1/4 2 1/4
SUMA 4/4 = 1 SUMA 4/4 = 1
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REGLAS DE PROBABILIDAD PARA EVENTOS COMPUESTOS
SUMA (característica letra O)
Mutuamente Excluyentes
Parcialmente Excluyentes
MULTIPLICACION (característica letra Y)
Independientes (con reemplazo)
Dependientes ó Condicionales
(sin reemplazo)
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Eventos mutuamente excluyentes: Dos eventos A; B son mutuamente
excluyentes si A ∩ B = 0, ó sea que no pueden suceder simultáneamente.
P(A U B) = P(A) + P(B).
Eventos parcialmente excluyentes: Dos o más eventos se considera que
se traslapan parcialmente si parte de un evento y parte de otro ocurren
conjuntamente. P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).
Eventos independientes: Si los eventos en ningún modo se afectan uno al
otro A y B, son eventos independientes cuando la ocurrencia del evento A,
no tiene efecto sobre la ocurrencia del evento B y viceversa.
P(A y B) = P(A) * P(B).
Eventos dependientes o condicionales: Si A y B están relacionados de tal
modo que la ocurrencia de B depende de la ocurrencia de A.
P(A/B) = P(A y B) y P(B/A) = P(A y B)
P(B) P(A)
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EJEMPLO:
Supongamos que en una bolsa tengo las siguientes bolitas:
5 rojas 8 bolitas
3 azules rayadas
4 celestes 6 bolitas
2 blancas lisas
14 Total bolitas
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Eventos mutuamente excluyentes: Cuál es la probabilidad
de que al escoger una bolita sea Roja o Blanca.
Eventos parcialmente excluyentes: Cuál es la probabilidad
de que al escoger una bolita Rayada o Lisa o Azul.
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Eventos independientes: Cuál es la probabilidad de que al
escoger dos bolitas estas sea roja y azul. (Con reemplazo o
con devolución).
Eventos dependientes: Cuál es la probabilidad de que al
escoger dos bolitas estas sea roja y azul. (Sin reemplazo –
sin devolución).
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Cuál es la probabilidad de que al escoger tres bolitas estas
sea roja y roja y blanca. (Sin reemplazo o sin devolución).
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Variantes:
Independientes (con reemplazo)
Cuál es la probabilidad que la tercera bolita tomada sea azul
si las 2 primeras fueron celestes y blancas.
Dependientes (sin reemplazo)
Cuál es la probabilidad que la tercera bolita tomada sea azul
si las 2 primeras fueron celestes y blancas.
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Tarea:
1) Cuál es la probabilidad que al escoger tres bolitas salgan
en el siguiente orden celeste, roja y celeste. (Con
reemplazo y sin reemplazo).
2) Cuál es la probabilidad que la tercera bolita tomada sea
roja, si las primeras dos fueron blanca. (Con reemplazo y
sin reemplazo)
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EJERCICIOS
1) Probabilidad de que al tirar una tachuela hacia arriba, esta
caiga con la punta hacia arriba. P=1/2
2) Probabilidad de que caiga el “5” en una tirada de un dado.
P=1/6
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3.- Una encuesta realizada recientemente, donde se
entrevisto a 855 adultos seleccionados aleatoriamente
mientras iban caminando en la Zona Viva, 710 indicaron
que SI habían realizado alguna transacción en esa agencia
en las últimas 48 horas. Calcule la probabilidad de que un
adulto que se seleccionó aleatoriamente mientras iba
caminando en la Avenida Reforma haya realizado una
transacción en la Agencia Reforma, en las últimas 48
horas.
P = 710/855 ó 83.04%
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4.- Usted y James Bond son amigos y el lo invita a jugar al
Casino Royale, en el Principado de Mónaco. Juegan a la
ruleta y Ud. decide apostarle al número 13, porque en
Guatemala es de buena suerte!. La ruleta tiene 38 muescas
con números, uno de los cuales es el famoso 13.
¿Cual es su probabilidad de perder?
P= 37/38
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5.-Se seleccionan adultos al azar para una encuesta de
pena de muerte en Guatemala. Se les pregunta si están a
favor ó no de la pena de muerte, para una persona
convicta por homicidio. 319 están a favor, 133 están en
contra, y 39 no opinan. Con base en esos resultados,
estime la probabilidad de que una persona seleccionada al
azar este a favor de la pena de muerte.
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Ordene la información de manera que pueda comprender la
mejor:
319 a favor de la Pena de Muerte
133 en contra de la Pena de Muerte
039 sin opinión
491 personas entrevistadas en total
P(personas a favor de la pena de muerte)=personas a
favor de la pena de muerte/Total=319/491=0.650
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6) Sarita tiene cuatro billetes de $1 y tres de $10 en su
Billetera ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar un
billete, saque uno de $10 ?
R= 3/7
¿Cuál es la probabilidad de que al sacar un billetes,
saque uno de $10 ó de $1 ?
R= 3/7 + 4/7 = 7/7 = 1
¿Cuál es la probabilidad de que al sacar un billetes,
saque uno de $10 ó de $20 cada vez? ?
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7) Pedrito tiene cuatro billetes de $5 y dos de $10 en su
billetera. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar dos
billetes seguidos, saque uno de $10 cada vez?. Asume
que Sarita no reemplaza el primer billete.
R= (2/6) (1/5)= 2/30 ó 1/15
Cual es la probabilidad que al sacar tres billetes saque un
billete de a $10 y dos de $5.
R= (2/6) (4/5) (3/4) = 24/120 ó 1/5
Asumir en el primer ejercicio que Pedrito reemplaza el
billete que saco la primera vez.
R= (2/6) (2/6) = 1/9
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8.-Determine la probabilidad de que una pareja con tres
hijos, tenga exactamente 2 varones. Suponga que es
igualmente posible dar a luz a un niño que a una niña y
que el género de cualquier hijo no influye en el del otro.
Realice un diagrama de árbol y el principio de contar para
desarrollar el ejercicio.
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Para este ejemplo. El Espacio Muestral consiste en 8
diferentes formas en que los tres hijos pueden presentarse.
Ver tabla1.
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Como los 8 resultados son igualmente probables:
P(2 niños en 3 nacimientos)=3/8=0.375=37.5%
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9. PROBABILIDADES CONDICIONADAS
Realizar los siguientes ejercicios utilizando la tabla siguiente:
Resultado de la
prueba positivo
(indico
embarazo)
Resultado de la
prueba negativo
(NO indico
embarazo) TOTAL
La mujer está
embarazada 80 5 85
La mujer NO está
embarazada 3 11 14
TOTAL 83 16 99
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a) Encontrar la probabilidad que ninguna mujer este
embarazada del total de 99 sujetos.
R= 14/99.
b) Encontrar la probabilidad de que una mujer este
embarazada y el resultado diera positivo del total.
R= 80/99.
c) Encontrar la probabilidad de que una mujer este
embarazada y el resultado diera negativo del total.
R= 5/99.
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d) Si elige aleatoria mente uno de los 99 sujetos,
encuentre la probabilidad de que sea positivo, ya que está
embarazada.
R= 80/85
e) Si elige aleatoriamente uno de los 99 sujetos,
encuentre la probabilidad de esté embarazada, ya que la
prueba dio positivo.
R= 80/83
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FIN
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