UNIVERSIDAD DE CHILE

FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA DE MINAS

PREDICCIÓN MULTIVARIABLE DE RECURSOS RECUPERABLES

MEMORIA PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL DE MINAS

ENRIQUE SEBASTIÁN CABALLERO AGUIRRE

PROFESOR GUÍA:

XAVIER EMERY

MIEMBROS DE LA COMISIÓN

JULIÁN ORTIZ CABRERA

MARIO SOLARI MARTINI

SANTIAGO DE CHILE

ABRIL 2012

i

RESUMEN

La evaluación de recursos minerales es esencial para el diseño y la planificación minera,

dado que cuantifica la distribución de elementos de interés, subproductos y contaminantes dentro

de un depósito minero. Tradicionalmente, los modelos de recursos se elaboran mediante

ponderación del inverso de la distancia o kriging, considerando una variable a la vez e ignorando

las correlaciones espaciales entre las especies minerales. Métodos de estimación multivariable,

como el cokriging, siguen siendo poco utilizados en la práctica, debido principalmente a la

dificultad de ajuste de un modelo variográfico.

Este trabajo aborda el problema de la predicción multivariable de recursos recuperables en

depósitos mineros. Con este objetivo, un modelo geoestadístico (el modelo Gaussiano discreto)

es utilizado para cosimular las leyes de bloques y así determinar sus distribuciones locales

conjuntas, considerando además el caso en que las leyes medias son desconocidas. De las

distribuciones locales obtenidas, es posible calcular, para cada bloque (unidad de selectividad

minera), el valor esperado de cualquier función de las leyes y evaluar los recursos que pueden ser

recuperados por sobre leyes de corte dadas.

La metodología es aplicada a un caso de estudio que consiste en datos de producción

(pozos de tronadura) de un depósito de lateritas niquelíferas. Las variables de interés

corresponden a leyes de níquel, fierro, cromo, alúmina y sílice. Se demuestra que el modelo

Gaussiano discreto permite estimar el beneficio esperado de unidad de selectividad minera y su

mejor destino (planta de procesamiento o botadero). Estas estimaciones dependen de la

probabilidad de superar leyes de corte dadas y de la razón entre las leyes de sílice y magnesio, la

cual juega un papel importante en el procesamiento metalúrgico para obtener ferroníquel.

Los resultados de esta metodología son comparados con una estimación tradicional

mediante cokriging ordinario, arrojando un 24.6% de bloques clasificados de forma diferente

(entre estéril y mineral) y una discrepancia de un 22.5% en la relación estéril/mineral estimada y

de 8.2 [MUS$] en el beneficio estimado para el caso de estudio. Estas discrepancias se explican

por la propiedad de suavizamiento del cokriging, que no reproduce la variabilidad espacial de las

leyes y produce sesgos en la estimación de variables no aditivas. En cambio, la metodología

propuesta entrega resultados teóricamente insesgados y permite el análisis de escenarios y el

cálculo de la respuesta más probable, en particular cuando hay involucradas variables no aditivas.

ii

ABSTRACT

The evaluation of mineral resources is essential for mine design and mine planning, as it

allows quantifying the distribution of elements of interest, by-products and contaminants within

an ore deposit. Traditionally, the resources models are elaborated by inverse distance weighting

or kriging, considering one variable at a time and ignoring the spatial correlations between

elements. Multivariate estimation methods, such as cokriging, are still scarcely put in practice,

mainly due to the difficulty in fitting a coregionalization model.

This paper addresses the problem of the multivariate prediction of recoverable resources

in an ore deposit. To this end, a geostatistical model (the discrete Gaussian model) is used in

order to cosimulate the block grades and to determine their local joint distributions, considering

the case of unknown mean grades. From the local grade distributions so obtained, it is possible to

calculate, for each selective mining unit, the expected value of any function of the grades and to

assess the resources that can be recovered above given cut-off grades.

The methodology is applied to a case study consisting of a lateritic nickel deposit

recognized by production data (drill holes). The variables of interest are the nickel, iron, chrome,

alumina, magnesium and silica grades. It is shown that the multivariate discrete Gaussian model

allows estimating the expected profit of each selective mining unit and its best destination

(processing plant or dump). These estimations depend on the probabilities that the grades exceed

given cut-offs and on the ratio between silica and magnesium grades, that plays an important role

in the metallurgical processing of ferronickel.

Results of this methodology are compared with ordinary cokriging estimation, yielding a

24.6% blocks classified differently (between ore and waste), a discrepancy of 22.5% in the

estimated strip ratio and 8.2 [MUS$] in the estimated profit, for the case study. These

discrepancies are explained by the smoothing property of cokriging, which does not reproduce

the spatial variability of the variables and leads to biases in the estimation of non-additive

variables.

In contrast, the proposed methodology delivers theoretically unbiased results and allows

the analysis of scenarios and the calculation of the most probable response, particularly when

non-additive variables are involved.

iii

AGRADECIMIENTOS

En primer lugar quisiera agradecer a mi familia por el apoyo de todos estos años, los

valores entregados y la educación que siempre han sido muy importantes para mí. En especial a

mis padres, Teresa y Nelson, quienes admiro mucho por la fuerza y valentía con que se toman

cada día. A mi hermana, Paloma, quien me ha aconsejado mucho durante mi vida. Y a mí polola

Stephanie, quien ha sido un gran pilar durante estos últimos 16 meses.

A los amigos de toda la vida, con los que nos hemos sabido mantener en contacto aun

cuando hayamos tomado rumbos diferentes en la vida. En especial a Andrés y Sebastián, con los

que se ha mantenido la amistad por muchos años.

A los amigos de la universidad, los que han hecho que este periodo académico sea muy

entretenido y fraterno, en especial a los mineros y los integrantes del centro de alumnos de

ingeniería de minas de los años 2010 y 2011, con quienes compartí, trabajé y pase gratos

momentos. Espero que sigamos siendo amigos por mucho tiempo más.

A los profesores de la comisión, en especial al profesor Emery por tener siempre una

buena disposición a responder dudas, tener mucha paciencia con el alumnado y ser muy

pedagógico y preocupado en sus enseñanzas.

A Innova Corfo Chile por el proyecto Innova-Corfo 09CN14-5838, con el que se financió

este trabajo de memoria y al laboratorio ALGES. Finalmente se agradece a Codelco por

patrocinar la Cátedra de Evaluación de Yacimientos.

A todos ustedes muchas gracias.

iv

ÍNDICE

RESUMEN ....................................................................................................................................................................................... i

ABSTRACT ................................................................................................................................................................................... ii

AGRADECIMIENTOS ............................................................................................................................................................... iii

ÍNDICE .......................................................................................................................................................................................... iv

ÍNDICE DE FIGURAS ............................................................................................................................................................... vi

ÍNDICE DE TABLAS .............................................................................................................................................................. viii

ÍNDICE DE ECUACIONES....................................................................................................................................................... ix

1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................................................... 1

1.1. Motivación del trabajo ......................................................................................................................................... 2

1.2. Objetivos ................................................................................................................................................................... 2

1.2.1. Objetivo General ........................................................................................................................................... 2

1.2.2. Objetivos Específicos .................................................................................................................................. 2

1.3. Alcances ..................................................................................................................................................................... 3

2. ANTECEDENTES .............................................................................................................................................................. 4

2.1. Antecedentes generales ...................................................................................................................................... 4

2.1.1. Estudio Exploratorio de Datos ............................................................................................................... 5

2.1.2. Análisis Variográfico ................................................................................................................................... 6

2.1.3. Variograma Modelado Multivariable ................................................................................................... 8

2.1.4. Noción de Soporte ....................................................................................................................................... 9

2.1.5. Aditividad ......................................................................................................................................................10

2.1.6. Métodos de Estimación Local ...............................................................................................................11

2.1.7. Métodos de Estimación Multivariable ...............................................................................................11

2.1.7.1. Cokriging Simple ............................................................................................. 12

2.1.7.2. Cokriging Ordinario ......................................................................................... 13

2.1.7.3. Propiedades del Cokriging ............................................................................... 14

2.1.8. Simulaciones ................................................................................................................................................15

2.2. Modelos de incertidumbre en soporte puntual ......................................................................................16

2.2.1. Modelo Multigaussiano ...........................................................................................................................16

2.2.2. Kriging Multigaussiano ............................................................................................................................18

2.2.3. Algoritmos de Simulación ......................................................................................................................19

2.3. Modelos con cambio de soporte ....................................................................................................................21

2.3.1. Modelo Gaussiano discreto para estimación global ....................................................................21

2.3.2. Modelo Gaussiano discreto para la estimación local ..................................................................24

v

3. METODOLOGÍA ..............................................................................................................................................................27

3.1. Modelos intermedios .........................................................................................................................................27

3.1.1. Modelo 1: Modelo de estimación puntual con medias conocidas ..........................................29

3.1.2. Modelo 2: Modelo de estimación puntual con medias desconocidas ...................................30

3.1.3. Modelo 3: Modelo de estimación de bloques con medias conocidas ...................................31

3.2. Modelo Objetivo: Modelo de estimación de bloques con medias desconocidas .......................32

4. CASO DE ESTUDIO: DEPÓSITO DE LATERITAS NIQUELÍFERAS ...............................................................34

4.1. Estudio exploratorio ..........................................................................................................................................38

4.2. Transformación Gaussiana de los datos ....................................................................................................42

4.3. Análisis variográfico de las variables Gaussianas ..................................................................................43

4.3.1.1. Variograma Experimental ................................................................................ 43

4.3.1.2. Variograma Modelado...................................................................................... 45

5. RESULTADOS ..................................................................................................................................................................47

5.1. Validación de los modelos................................................................................................................................55

5.1.1. Validación de distribuciones .................................................................................................................55

5.1.2. Validación Cruzada ....................................................................................................................................57

5.1.3. Validación adicional del Modelo Objetivo .......................................................................................61

5.2. Cálculo de recursos recuperables .................................................................................................................63

5.3. Comparación de resultados del modelo objetivo con una estimación tradicional ...................66

6. CONCLUSIONES .............................................................................................................................................................69

7. REFERENCIAS .................................................................................................................................................................71

8. ANEXOS .............................................................................................................................................................................73

8.1. Anexo 1: Estudio Exploratorio .......................................................................................................................73

8.1.1. Mapas de distribución de las leyes originales ................................................................................73

8.1.2. Análisis de la zona seleccionada ..........................................................................................................74

8.1.3. Verificación de la bigaussianidad ........................................................................................................76

8.1.4. Búsqueda de las direcciones de anisotropía ...................................................................................79

8.2. Anexo 2: Resultados de los modelos ...........................................................................................................81

8.2.1. Histogramas de las realizaciones ........................................................................................................81

8.2.2. Estadísticas y boxplots de las realizaciones del modelo 4 ........................................................88

8.3. Anexo 3: Resultados de un modelo tradicional .......................................................................................91

8.4. Anexo 4: Definición de bloques y función de beneficio .......................................................................93

8.5. Anexo 5: Determinación de coeficientes de cambio de soporte ......................................................98

vi

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1: Algunas herramientas de análisis exploratorio (mapa de distribución espacial,

histograma y nube de correlación)................................................................................................... 5

Figura 2: Ejemplo de variograma experimental .............................................................................. 7

Figura 3: Modelos elementales para construir variograma modelado ............................................. 8

Figura 4: Determinación de función de transformación (anamorfosis) ......................................... 16

Figura 5: Tipos de algoritmos de simulación ................................................................................ 19

Figura 6: Esquema explicativo de hipótesis de modelo Gaussiano discreto ................................. 22

Figura 7: Determinación de coeficiente de cambio de soporte ..................................................... 24

Figura 8: Esquema de etapas comunes a los cuatro modelos ........................................................ 28

Figura 9: Esquema de la metodología aplicada (modelo 1) .......................................................... 29

Figura 10: Esquema de la metodología aplicada (modelo 2) ........................................................ 30

Figura 11: Esquema de la metodología aplicada (modelo 3) ........................................................ 31

Figura 12: Esquema de la metodología aplicada (modelo objetivo) ............................................. 32

Figura 13: Ubicación y vista aérea de la mina Cerro Matoso ....................................................... 34

Figura 14: Perfil generalizado de un depósito de lateritas niquelíferas ......................................... 34

Figura 15: Representación esquemática de perfiles presentes en Cerro Matoso ........................... 35

Figura 16: Acumulación de elementos por litología (sectores mina Cerro Matoso) ..................... 36

Figura 17: Configuración de bancos y bloques en mina Cerro Matoso ........................................ 37

Figura 18: Proyecciones en planta y perfiles de los puntos muestreados (ley de aluminio) ......... 38

Figura 19: Histogramas de leyes de alumino, hierro, magnesio, níquel, cromo y sílice ............... 38

Figura 20: Gráficos de dispersión entre leyes ............................................................................... 39

Figura 21: Histogramas y gráficos de dispersión mostrando la existencia de más de una UG ..... 40

Figura 22: Mapas de distribución de datos (perfil Y-Z, leyes de magnesio y sílice) .................... 40

Figura 23: Selección de una unidad geológica .............................................................................. 40

Figura 24: Histogramas y gráficos de dispersión de la unidad geológica seleccionada ................ 41

Figura 25: Histogramas de las variables Gaussianas ..................................................................... 42

Figura 26: Boxplot de las transformadas Gaussianas .................................................................... 42

Figura 27: Mapas variográficos – Gaussiana de magnesio (coordenadas rotadas) ....................... 43

Figura 28: Dirección de cálculo de variogramas experimentales .................................................. 43

Figura 29: Variogramas experimentales de las 6 variables Gaussianas ........................................ 44

Figura 30: Modelo de corregionalización ...................................................................................... 45

Figura 31: Realizaciones ley de níquel (modelo 1) ....................................................................... 47

Figura 32: Realizaciones ley de níquel (modelo 2) ....................................................................... 48

Figura 33: Realizaciones ley de níquel (modelo 3) ....................................................................... 49

Figura 34: Realizaciones ley de níquel (modelo 4) ....................................................................... 50

Figura 35: Ilustración del concepto de distribución de Probabilidad en cada bloque ................... 51

Figura 36: Mapas estadísticos – ley de níquel (modelo 1) ............................................................ 51

Figura 37: Mapa de varianza en cada bloque – ley de níquel (modelo 1) ..................................... 51

Figura 38: Mapas estadísticos – ley de níquel (modelo 2) ............................................................ 52

Figura 39: Mapa de varianza en cada bloque – ley de níquel (modelo 2) ..................................... 52

Figura 40: Mapa de varianza en cada bloque – ley de níquel (modelo 3) ..................................... 52

Figura 41: Mapas estadísticos – ley de níquel (modelo 3) ............................................................ 53

vii

Figura 42: Mapas estadísticos – ley de níquel (modelo 4) ............................................................ 53

Figura 43: Mapa de varianza en cada bloque – ley de níquel (modelo 4) ..................................... 54

Figura 44: Gráficos cuantil contra cuantil de los resultados de los modelos (abscisa) versus

muestras (ordenada) ....................................................................................................................... 55

Figura 45: Gráficos de dispersión de variable estimada y variable real (modelo 2) ..................... 57

Figura 46: Histogramas errores estandarizados (Gaussianas de magnesio y sílice), modelo 2..... 58

Figura 47: Gráfico de dispersión variable estimada versus error estandarizado (Gaussiana de

magnesio), modelo 2 ..................................................................................................................... 58

Figura 48: Gráfico de dispersión variable estimada versus error estandarizado (Gaussiana de

sílice), modelo 2 ............................................................................................................................ 58

Figura 49: Gráficos de dispersión entre variable real y estimada e histogramas de errores

estandarizados (modelo 1) ............................................................................................................. 59

Figura 50: Gráficos de dispersión error estandarizado versus Gaussiana estimada (magnesio),

modelo 1 ........................................................................................................................................ 60

Figura 51: Gráficos de dispersión error estandarizado versus Gaussiana estimada (sílice), modelo

1 ..................................................................................................................................................... 60

Figura 52: Mapa de probabilidad de superar una ley de corte de níquel ....................................... 63

Figura 53: Esquema de definición de destino y evaluación de beneficio de cada bloque ............. 64

Figura 54: Mapas de destino de bloques para 3 realizaciones ....................................................... 65

Figura 55: Comparación de destino de bloques (modelo objetivo versus estimación tradicional) 66

Figura 56: Comparación de beneficio estimado (modelo objetivo versus estimación tradicional)66

Figura 57: Curvas tonelaje-ley (realizaciones modelo objetivo y promedio de realizaciones versus

estimación tradicional) .................................................................................................................. 67

Figura 58: Histograma y boxplot del beneficio (modelo objetivo) ............................................... 68

Figura 59: Proyecciones en el perfil YZ de las variables originales ............................................. 73

Figura 60: Histogramas de las variables (zona seleccionada) ....................................................... 74

Figura 61: Gráficos de dispersión entre variables (zona seleccionada) ......................................... 75

Figura 62: Gráfico de dispersión entre variables Gaussianas ........................................................ 76

Figura 63: Histogramas de las variables Gaussianas ..................................................................... 76

Figura 64: Nubes de dispersión diferida (arriba h=7 [m], abajo h=30 [m]) .................................. 77

Figura 65: Raíz de variograma dividido por madograma - Gaussianas magnesio (izquierda) y

sílice (derecha) ............................................................................................................................... 77

Figura 66: Raíz de variograma dividido por madograma - análisis direccional (Gaussianas

magnesio y sílice) .......................................................................................................................... 78

Figura 67: Variogramas experimentales Gaussianas (varias direcciones) .................................... 79

Figura 68: Variogramas experimentales directos – variables Gaussianas ..................................... 80

Figura 69: Razón sílice-magnesio en Cerro Matoso ..................................................................... 93

Figura 70: Diagrama de flujos del proceso de cerro matoso ......................................................... 94

Figura 71: Gráfico de recuperación de níquel en función de la ley de alimentación .................... 96

viii

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 1: Estadísticas básicas de las variables en estudio .............................................................. 39

Tabla 2: Estadísticas de leyes y razón sílice/magnesio (unidad geológica seleccionada) ............. 41

Tabla 3: Matriz de coeficientes de correlación .............................................................................. 41

Tabla 4: Estadísticas de las transformadas Gaussianas ................................................................. 42

Tabla 5: Parámetros de cálculo, variograma experimental (con respecto al sistema rotado) ........ 44

Tabla 6: Comparación histogramas de los 4 modelos con histograma de muestras (ley de níquel)

....................................................................................................................................................... 56

Tabla 7: Resultados de la validación (modelo 2) .......................................................................... 57

Tabla 8: Resultados de la validación (modelo 1) .......................................................................... 59

Tabla 9: Nubes direccionales (muestras versus modelo 4)............................................................ 61

Tabla 10: Gráficos de dispersión (muestras versus modelo 4) ...................................................... 62

Tabla 11: Estadísticas de Leyes y Razón Si/Mg (Unidad Geológica Seleccionada)..................... 74

Tabla 12: Matriz de coefcientes de correlación (zona seleccionada) ............................................ 74

Tabla 13: Estadísticas de las transformadas Gaussianas ............................................................... 76

Tabla 14: Histograma realizaciones y muestras (ley de aluminio) ................................................ 81

Tabla 15: Histograma realizaciones y muestras (ley de cromo) .................................................... 82

Tabla 16: Histograma realizaciones y muestras (ley de hierro) .................................................... 83

Tabla 17: Histograma realizaciones y muestras (ley de magnesio)............................................... 84

Tabla 18: Histograma realizaciones y muestras (ley de níquel) .................................................... 85

Tabla 19: Histograma realizaciones y muestras (ley de sílice) ..................................................... 86

Tabla 20: Histograma realizaciones y muestras (razón sílice-magnesio) ...................................... 87

Tabla 21: Estadísticas de algunas de las realizaciones para Aluminio .......................................... 88

Tabla 22: Estadísticas de algunas de las realizaciones para Cromo .............................................. 88

Tabla 23: Estadísticas de algunas de las realizaciones para Fierro ............................................... 88

Tabla 24: Estadísticas de algunas de las realizaciones para Magnesio ......................................... 88

Tabla 25: Estidísticas de algunas de las realizaciones para níquel ................................................ 88

Tabla 26: Estadísticas de algunas de las realizaciones para sílice ................................................. 89

Tabla 27: Comparación estadísticas de algunas de las realizaciones para níquel ......................... 89

Tabla 28: Comparación estadísticas de algunas de las realizaciones para magnesio .................... 89

Tabla 29: Boxplot realizaciones modelo 4 (1)............................................................................... 89

Tabla 30: Boxplot realizaciones modelo 4 (2)............................................................................... 90

Tabla 31: Estadísticas estimación tradicional ................................................................................ 91

Tabla 32: Comparación histogramas estimación tradicional (verde) – muestras (amarillo) (1) ... 91

Tabla 33: Comparación histogramas estimación tradicional (verde) – muestras (amarillo) (2) ... 92

Tabla 34: Parámetros técnico-económicos extraidos de publicaciones......................................... 94

Tabla 35: Parámetros técnico-económicos estimados ................................................................... 95

Tabla 36: Coeficientes de cambio de soporte ................................................................................ 98

ix

ÍNDICE DE ECUACIONES

Ecuación 1: Función de distribución de una variable aleatoria ....................................................... 4

Ecuación 2: Densidad de probabilidad de una variable aleatoria .................................................... 4

Ecuación 3: Variograma teórico univariable ................................................................................... 6

Ecuación 4: Variograma experimental univariable (estimador tradicional del variograma) ........... 6

Ecuación 5: Variograma cruzado teórico ........................................................................................ 6

Ecuación 6: Estimador del variograma cruzado .............................................................................. 6

Ecuación 7: Modelo lineal de corregionalización (forma lineal) .................................................... 9

Ecuación 8: Modelo lineal de corregionalización (forma matricial) ............................................... 9

Ecuación 9: Cokriging simple ....................................................................................................... 12

Ecuación 10: Definición del vector a (cokriging simple) .............................................................. 12

Ecuación 11: Matriz de varianza-covarianza de los errores de cokriging simple ......................... 12

Ecuación 12: Sistema de ecuaciones para obtener Ponderadores (cokriging simple) ................... 13

Ecuación 13: Cokriging ordinario ................................................................................................. 13

Ecuación 14: Matriz de varianza-covarianza de los errores de cokriging ordinario ..................... 13

Ecuación 15: Sistema de ecuaciones para obtener ponderadores y multiplicadores de Lagrange

(cokriging ordinario)...................................................................................................................... 14

Ecuación 16: Densidad de probabilidad multigaussiana ............................................................... 17

Ecuación 17: Kriging simple de y(x) ............................................................................................. 18

Ecuación 18: Valor regularizado sobre un bloque (Z(v)) .............................................................. 21

Ecuación 19: Función de anamorfosis puntual .............................................................................. 22

Ecuación 20: Función de anamorfosis de bloques......................................................................... 22

Ecuación 21: Función de anamorfosis puntual (desarrollado en polinomios de Hermite) ............ 23

Ecuación 22: Función de anamorfosis de bloques (desarrollado en polinomios de Hermite) ...... 23

Ecuación 23: Varianza de Z(v) en funcion del Coeficiente de cambio de soporte ....................... 23

Ecuación 24: Varianza de Z(v) en función del variograma de la variable original ....................... 23

Ecuación 25: Variograma en el soporte de bloques ...................................................................... 23

Ecuación 26: Variable Gaussiana regularizada (soporte de bloques) ............................................ 25

Ecuación 27: Relación entre la variable Gaussiana regularizada y variable Gaussiana de bloques

....................................................................................................................................................... 26

Ecuación 28: Definición modelo de corregionalización caso de estudio ...................................... 45

Ecuación 29: Modelo de corregionalización caso de estudio (variables Gaussianas) ................... 46

Ecuación 30: Clasificación de bloques entre mineral y estéril ...................................................... 64

Ecuación 31: Valorización de cada bloque.................................................................................... 64

1

1. INTRODUCCIÓN

La estimación de recursos de un yacimiento es clave en la evaluación económica,

planificación, diseño y operación de un proyecto minero. Esta estimación de recursos inicia su

proceso en las etapas de muestreo, cuyo fin es colectar información a partir del mineral in situ,

resultando en una base de datos con diferentes elementos o propiedades del yacimiento.

Generalmente la estimación de la variable de interés se realiza a partir de técnicas

geoestadísticas que sólo consideran información de esta misma variable, sin incorporar

información adicional.

Adicionalmente, existen herramientas geoestadísticas que incorporan tanto la información

de la variable de interés como la de alguna otra auxiliar con la que exista correlación. Dichas

herramientas se enmarcan dentro del contexto de la geoestadística multivariable, que tienen como

ventaja el aporte de información que se logra al usar datos auxiliares o secundarios. No obstante,

estas estimaciones multivariables presentan en general algunos problemas (no reproducen la

variabilidad espacial de las leyes, producen sesgos en la estimación de distribuciones y no

abordan adecuadamente el cambio de soporte).

El presente trabajo pretende entregar un modelo de estimación basado en la extensión de

dos técnicas geoestadísticas al ámbito multivariable. Se abarcará el desafío del cambio de

soporte y se generarán múltiples realizaciones independientes de las variables de interés,

abordando así, los problemas que en general presentan las técnicas multivariables. Esto nos

permitirá contar con estimaciones que cuantifiquen adecuadamente la incertidumbre,

disminuyendo el riesgo en la toma de decisiones (determinar el destino de bloques, beneficio

esperado, probabilidad de superar leyes de corte, entre otros).

Para llegar a este modelo “objetivo” se validarán previamente tres modelos de estimación,

basados en la extensión paulatina de las dos técnicas geoestadísticas involucradas (modelo

Gaussiano discreto y modelo multigaussiano).

Adicionalmente se pretende evaluar las diferencias entre el modelo propuesto y técnicas

de estimación multivariable tradicionales.

2

1.1. Motivación del trabajo

Actualmente la mayor parte de los yacimientos del mundo ha hecho su evaluación de

recursos y reservas por medio del uso de técnicas de estimación univariables, como son por

ejemplo el kriging simple u ordinario. Métodos como el cokriging, extensión multivariable del

kriging, han sido poco aplicados hasta ahora por presentar un modelamiento más complejo y

también por ser poco conocidos en la industria minera.

Adicionalmente, estas estimaciones multivariables presentan problemas (en general) en la

reproducción de la variabilidad espacial de las leyes y sesgos en la estimación de variables no

aditivas.

Es por esto que surge la motivación de generar modelos alternativos, que aborden estos

problemas y que, en definitiva, puedan tener un mejor desempeño que los modelos

convencionales.

1.2. Objetivos

1.2.1. Objetivo General

El objetivo general de este trabajo consiste en el diseño y aplicación de modelos

multivariables de cambio de soporte. Por medio de estos modelos se pretende predecir la cantidad

de recursos recuperables sobre determinadas leyes de corte (con consideraciones multivariables y

restricciones técnicas), y estimar la distribución de variables no aditivas.

1.2.2. Objetivos Específicos

Aplicar herramientas y métodos de análisis geoestadístico multivariable (modelos de

corregionalización y cokriging).

Extender la aplicación del modelo multigaussiano al ámbito multivariable y a soporte de

bloques.

Validar los modelos propuestos y la reproducción de incertidumbre del modelo final.

Comparar los resultados con los obtenidos mediante técnicas de estimación tradicionales.

3

1.3. Alcances

El trabajo se realizará sobre una base de datos de pozos de tronadura de la mina

colombiana Cerro Matoso. En esta base de datos se encuentran muestreadas leyes de níquel,

hierro, magnesio, sílice, aluminio y cromo, el tipo de roca y la razón sílice-magnesio.

A través de este trabajo se busca definir un modelo de estimación multivariable que

permita predecir los recursos recuperables del depósito, incorporando relaciones entre variables,

abordando el desafío del cambio de soporte en el ámbito multivariable, estimando variables no

aditivas y permitiendo el análisis de múltiples escenarios.

La comparación de resultados se realizará sólo para el modelo final, y se contrastará

contra la estimación mediante cokriging ordinario.

Se realizarán estimaciones mediante cokriging, además de la aplicación del modelo

multigaussiano y el modelo Gaussiano discreto. Dichas estimaciones y modelos, además de su

respectivo post procesamiento, se realizarán principalmente con ayuda de los softwares

MATLAB, ISATIS, la librería de archivos ejecutables GSLib, VULCAN y Microsoft Excel.

Este trabajo se enmarca en el proyecto Innova-Corfo 09CN14-5838, titulado:

"Modelamiento multivariable para evaluación de yacimientos".

4

2. ANTECEDENTES

2.1. Antecedentes generales

La geoestadística es una rama de la estadística, aplicada en un contexto espacial. Busca

estudiar variables regionalizadas, que corresponden a variables numéricas que se distribuyen en

el espacio y presentan cierta continuidad espacial, aunque varían irregularmente a escala local.

Ejemplo de una variable regionalizada es la ley de un elemento en un yacimiento minero. Una

variable regionalizada queda caracterizada por:

Su naturaleza: puede ser continua, discreta (ordinal) o categórica (nominal).

El dominio en estudio, es decir, las dimensiones espaciales que abarca la variable.

El volumen sobre el cual se mide (soporte), dado que no es lo mismo medirla en

puntos del espacio o en soportes mayores (bloques).

Si bien los fenómenos naturales son determinísticos, pueden ser muy complejos. Es por

esto que en el estudio de una variable regionalizada se puede considerar la aplicación de

probabilidades, como por ejemplo en la ley de un metal presente en la mineralización de un

macizo rocoso. En un modelo probabilístico una variable regionalizada z(x) en un sitio x del

dominio D en estudio, se interpreta como una realización de una variable aleatoria Z(x). El

conjunto de estas variables en distintos puntos del espacio constituye una función aleatoria que se

expresa como { ( ) }

Una variable aleatoria Z se caracteriza por una distribución de probabilidad:

Función de distribución:

( ) ( ) ECUACIÓN 1: FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA

Densidad de probabilidad: (si la variable es continua) corresponde a la derivada de

la función de distribución. Se trata de una función positiva f tal que:

( ) ∫ ( )

ECUACIÓN 2: DENSIDAD DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA

Una función aleatoria se caracteriza por una distribución espacial, que consta de todas las

distribuciones de probabilidad de sus componentes, en particular:

Distribución univariable: ( ) ( ( ) )

5

Distribución bivariable: ( ) ( ( ) ( ) )

Donde y representan distintos sitios en el espacio.

En los estudios geoestadísticos se asumen generalmente algunas hipótesis simplificatorias,

como la hipótesis de estacionaridad que establece que la distribución espacial es invariante por

traslación en el espacio. En particular, independiente de la ubicación en el espacio, presenta las

mismas medias y varianzas. Además, normalmente sólo se modela hasta segundo orden.

En un estudio geoestadístico previamente se desarrollan las etapas de estudio exploratorio

y variográfico, que se describen brevemente a continuación.

2.1.1. Estudio Exploratorio de Datos

El objetivo es conocer de modo general la distribución de la variable regionalizada en

estudio, definir zonas de estudio, detectar errores o anticipar dificultades asociadas a las bases de

datos disponibles. Algunas herramientas de análisis exploratorio de datos, presentadas con sus

respectivos objetivos son:

Mapas para visualizar la ubicación espacial de los datos.

Histogramas para conocer la distribución estadística de los datos.

Estadísticas básicas como las medidas de posición y dispersión.

Gráficos de probabilidad para comparar una distribución empírica con una teórica.

Gráficos q-q plot para comparar dos distribuciones empíricas.

Nubes de correlación para visualizar valores de una variable en función de otra.

FIGURA 1: ALGUNAS HERRAMIENTAS DE ANÁLISIS EXPLORATORIO (MAPA DE DISTRIBUCIÓN

ESPACIAL, HISTOGRAMA Y NUBE DE CORRELACIÓN)

6

2.1.2. Análisis Variográfico

Su objetivo es modelar la continuidad espacial de la(s) variable(s) en estudio, debido a

que los valores observados en distintos puntos del espacio pueden estar correlacionados. De este

modo es importante estudiar qué tan rápido o lento se pierde esta correlación al aumentar la

distancia de separación entre dos puntos.

Para desarrollar este estudio se utiliza una función llamada variograma que tiene por

objetivo medir la variabilidad espacial. La versión simple corresponde al caso univariable,

mientras que la cruzada corresponde a la multivariable e involucra un par de variables a la vez.

Lo que considera dicha herramienta es principalmente la diferencia entre pares de datos que se

encuentren separados por un vector h.

El variograma en el caso univariable se presenta a continuación.

( )

{[ ( ) ( )] }

ECUACIÓN 3: VARIOGRAMA TEÓRICO UNIVARIABLE

̂( )

( ) ∑[ ( ) ( )]

( )

ECUACIÓN 4: VARIOGRAMA EXPERIMENTAL UNIVARIABLE (ESTIMADOR TRADICIONAL DEL

VARIOGRAMA)

La variable regionalizada es z(x), mientras que Z(x) es la función aleatoria asociada,

|N(h)| corresponde al número de pares de datos disponibles para una separación dada por un

vector h, siendo {( ) ( )} las posiciones de estos pares de datos.

Dicha herramienta también puede ser definida para el caso multivariable. De esta manera

se mide la variabilidad que hay entre dos variables ( ) de una base de datos en el espacio.

( )

{[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]}

ECUACIÓN 5: VARIOGRAMA CRUZADO TEÓRICO

̂ ( )

( ) ∑ [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]

( )

ECUACIÓN 6: ESTIMADOR DEL VARIOGRAMA CRUZADO

Donde Nij(h) es el número de pares de datos que se consideren para calcular el estimador,

los que se encuentran separados entre sí por un vector h. Notar que h corresponde a un vector con

7

una dirección cualquiera y que el uso del vector h para las mediciones usadas hace que ambas

variables deban coexistir en los mismos puntos para poder calcular este estimador.

FIGURA 2: EJEMPLO DE VARIOGRAMA EXPERIMENTAL

En un variograma experimental se define como meseta al valor en el cual se estabiliza el

variograma, y como alcance a la distancia que se alcanza la meseta. Formalmente la meseta debe

ser igual a la varianza de la variable (o la covarianza en el caso de un variograma cruzado entre

dos variables). Además se define como efecto pepita a la discontinuidad en el origen del

variograma. Mientras más alto el efecto pepita, más erraticidad a pequeña escala presenta la

variable en estudio.

Un variograma experimental requiere ser modelado debido a que se calcula sólo para

ciertas direcciones y distancias. Existen una serie de modelos elementales que, según la forma

que presente el variograma experimental, principalmente en el origen, permiten modelarlo

adecuadamente:

Efecto pepita: discontinuidad en el origen.

Modelo esférico y exponencial: lineales en el origen.

Modelo Gaussiano: parabólico en el origen.

8

FIGURA 3: MODELOS ELEMENTALES PARA CONSTRUIR VARIOGRAMA MODELADO

2.1.3. Variograma Modelado Multivariable

Los métodos de estimación y simulación usan como base el variograma modelado. De

esta manera es necesario tener una función que modele el variograma experimental de manera

continua y en todas las direcciones del espacio. A diferencia del caso univariable, en el que se

define un variograma para una variable solamente, en el caso multivariable se debe definir el

conjunto de variogramas modelados que se ajusten a los variogramas experimentales simples y

cruzados de las variables.

Las combinaciones de los diferentes modelos elementales de variogramas es lo que se

conoce como variograma modelado multivariable o modelo lineal de corregionalización. Éstos

son construidos considerando los mismos modelos básicos que en el caso univariable (modelo

esférico, modelo exponencial, modelo gausiano, etc). Lo que diferencia el variograma modelado

según la variable corresponde a las mesetas de los variogramas básicos, las que quedan definidas

de forma matricial. En la diagonal de dicha matriz se encuentran las mesetas de los variogramas

simples, mientras que en el resto de la matriz se encuentran las mesetas de los variogramas

cruzados.

9

La ecuación general del modelo para N variables es la siguiente.

{ } ( ) ∑ ( )

ECUACIÓN 7: MODELO LINEAL DE CORREGIONALIZACIÓN (FORMA LINEAL)

En forma matricial se define de la siguiente manera.

( ) ∑ ( )

ECUACIÓN 8: MODELO LINEAL DE CORREGIONALIZACIÓN (FORMA MATRICIAL)

Donde [ ] (con i,j=1,…,N) se define como una matriz de corregionalización y

gu(h) es un modelo básico de variograma elegido entre los usados en el caso univariable

(exponencial, esférico, Gaussiano, etc).

Los problemas que se encuentran al definir el modelo de variograma corresponden

principalmente a elección de la forma de éste, la estimación de los parámetros del modelo y el

hecho de que las matrices de corregionalización deben ser semidefinidas positivas (verificando

que los valores propios de la matriz Bu sean mayores que cero). Para lidiar con estos problemas,

se utilizan algoritmos de ajuste semiautomático basados en una técnica parecida a mínimos

cuadrados [10,15]. Uno de estos algoritmos permite el ajuste de variogramas en el caso que las

mesetas sean desconocidas y el otro en el caso que las mesetas sean conocidas.

2.1.4. Noción de Soporte

Una variable regionalizada puede definirse, no sólo en cada punto del espacio, sino que

también en una superficie (2D) o en un volumen (3D). La superficie o el volumen sobre el cual se

considera la variable regionalizada se denomina soporte. En general, el soporte de las mediciones

es muy pequeño (asimilado a un “punto”), mientras que el que interesa en la práctica puede ser

más voluminoso (por ejemplo, las unidades selectivas de explotación). Esta noción es esencial

debido a la dependencia que existe entre el soporte y la distribución estadística de los valores,

conocida como efecto de soporte: los soportes voluminosos presentan una menor cantidad de

valores extremos y una mayor cantidad de valores intermedios que los soportes puntuales. Así, la

distribución de los valores (en especial, su varianza) depende del soporte sobre el cual está

definida la variable regionalizada. En general la varianza disminuye a medida que se aumenta el

tamaño del soporte, mientras que el valor promedio permanece constante [11].

En los problemas que involucran un cambio de soporte, es deseable que la variable

regionalizada sea aditiva, es decir, que su valor en la unión de varios dominios sea igual a la

media de sus valores sobre cada uno de ellos. Esta restricción es necesaria para que el cálculo del

10

valor promedio sobre un soporte más grande que el soporte de las mediciones, tenga un sentido

físico.

El efecto soporte no sólo se refleja en la distribución estadística de los datos, sino también

en la planificación y beneficio del negocio minero.

2.1.5. Aditividad

Se dice que una variable regionalizada es aditiva cuando el valor de un soporte grande

(“bloque”) es el promedio aritmético o la suma de los valores “puntuales” dentro del bloque. Esta

propiedad permite que se realice un cambio de soporte.

Algunos ejemplos de variables aditivas son potencia (acumulación de una veta) y ley de

cabeza. Algunos contra-ejemplos (variables no aditivas) son razón de solubilidad, recuperación

metalúrgica, razón Si-Mg, y código de tipo de roca.

Las variables no aditivas pueden ser estimadas mediante kriging, pero esta estimación no

permite cambio de soporte ya que se incurre en un sesgo [12]. Una correcta predicción de la

distribución de variables no aditivas, que se definan por el cociente entre dos variables aditivas,

se puede realizar mediante simulaciones condicionales conjuntas de las variables aditivas y, al

realizar la división de las simulaciones, se logra predecir sin sesgo la variable no aditiva [2,12].

11

2.1.6. Métodos de Estimación Local

En minería y en otros ámbitos de aplicación de la geoestadística, se busca predecir la

variable regionalizada en sitios del espacio donde no se conoce el valor real, a partir de los datos

disponibles. Una de las metodologías más utilizadas es el kriging, que consiste en estimar valores

de la variable regionalizada mediante un promedio lineal ponderado de los datos vecinos. Los dos

principales tipos de kriging son el kriging simple (en el cual la media de la variable se asume

conocida) y el kriging ordinario (media desconocida).

Estas metodologías consideran los siguientes aspectos en las estimaciones:

1. La distancia de los datos al sitio a estimar.

2. La redundancia entre los datos (si es que hay datos muy cercanos unos con otros).

3. La continuidad espacial de la variable regionalizada, es decir, qué tan rápido o

lento varían los valores que toma la variable en el espacio.

Además el kriging presenta otras características importantes; es una estimación insesgada

porque establece una esperanza nula para el error de estimación, y es óptimo porque busca

minimizar la varianza del error de estimación.

Pero presenta ciertas limitaciones importantes:

• Suavizamiento: los valores estimados presentan menos dispersión que los valores

verdaderos.

• La varianza de kriging no refleja el efecto proporcional. Este efecto comúnmente se

presenta en minería y consiste en observar mayor variabilidad en zonas de valores altos, es decir,

se observa valores altos mezclados a corta distancia con valores bajos.

Estas dos limitaciones hacen que el kriging no sea una buena herramienta en la estimación

de funciones umbrales, como por ejemplo en la determinación de tonelajes de roca sobre una ley

de corte, que es un problema crítico en la estimación de recursos y reservas recuperables en un

negocio minero.

2.1.7. Métodos de Estimación Multivariable

Cuando se dispone de mediciones acerca de varias variables, se puede mejorar la

estimación de la variable de interés con ayuda de las observaciones de las otras variables. Este

enfoque es muy interesante cuando las variables auxiliares están fuertemente correlacionadas con

la variable de interés y más muestreadas (caso conocido como heterotopía).

12

Los métodos de estimación que usan más de una variable son los llamados multivariables.

Dentro de éstos destaca el cokriging correspondiente a la extensión multivariable del kriging.

Éste, al igual que en el caso univariable, considera dos variantes principales: simple y ordinario.

2.1.7.1. Cokriging Simple

El estimador de todo el conjunto de variables en la posición se puede escribir (para el

caso de un muestreo homotópico, es decir, donde todas las variables son conocidas en todos los

puntos con datos) como:

( ) ∑

( )

ECUACIÓN 9: COKRIGING SIMPLE

∑

ECUACIÓN 10: DEFINICIÓN DEL VECTOR A (COKRIGING SIMPLE)

Donde es la cantidad de variables, es un vector de , { } son

matrices de (ponderadores de cokriging), m es un vector de con las medias de las

variables, Z es un vector de con los valores de las variables, { } son las

posiciones con datos ( ( ) es el vector con las variables en los puntos con datos) y ( ) es el

vector con las estimaciones de las variables en la posición .

Asimismo, se puede expresar la matriz de varianza-covarianza de los errores de cokriging

simple de todas las variables, como:

( ) ( ) ∑

( )

ECUACIÓN 11: MATRIZ DE VARIANZA-COVARIANZA DE LOS ERRORES DE COKRIGING SIMPLE

Donde ( ) es una matriz de que corresponde a las covarianzas de las

variables entre los puntos y .

Los ponderadores se determinan por medio del sistema de ecuaciones que se presenta a

continuación.

13

(

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) )

(

)

(

( )

( )

( ) )

ECUACIÓN 12: SISTEMA DE ECUACIONES PARA OBTENER PONDERADORES (COKRIGING SIMPLE)

El cokriging simple otorga una gran importancia a las medias de las variables, las cuales

intervienen explícitamente en la expresión del estimador. Cuando no se conoce estas últimas con

precisión o no se puede considerarlas como constantes en el espacio, se prefiere utilizar el

cokriging ordinario, el cual no se basa en el conocimiento de las medias y permite que éstas

varíen lentamente, quedando constantes a la escala de la vecindad de cokriging.

2.1.7.2. Cokriging Ordinario

Este método considera desconocidas las medias de las variables. El estimador de todo el

conjunto de variables en la posición se puede escribir (para el caso de un muestreo

homotópico) como:

( ) ∑

( )

ECUACIÓN 13: COKRIGING ORDINARIO

Donde es la cantidad de variables, { } son matrices de

(ponderadores de cokriging), Z es un vector con los valores de las variables, { }

son las posiciones con datos ( ( ) es el vector con las variables en los puntos con datos) y

( ) es el vector con las estimaciones de las variables en la posición .

Se puede expresar la matriz de varianza-covarianza de los errores de cokriging ordinario

de todas las variables, como:

( ) ( ) ∑

[ ( ) ]

ECUACIÓN 14: MATRIZ DE VARIANZA-COVARIANZA DE LOS ERRORES DE COKRIGING ORDINARIO

Donde ( ) es una matriz de , cuyo término genérico es ( ) que

corresponde al variograma cruzado de las variables i,j entre los puntos y , y es una matriz

de (multiplicadores de Lagrange).

14

Los ponderadores y multiplicadores de Lagrange (M) se determinan por medio del

sistema de ecuaciones que se presenta a continuación

(

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

)

(

)

(

( )

( )

( ) )

ECUACIÓN 15: SISTEMA DE ECUACIONES PARA OBTENER PONDERADORES Y MULTIPLICADORES DE

LAGRANGE (COKRIGING ORDINARIO)

Donde es una matriz de de ceros, e es la matriz identidad de tamaño .

Del sistema de ecuaciones, se observa que los ponderadores de la variable primaria

(variable a estimar) deben sumar 1, mientras que los de cada co-variable deben sumar cero.

2.1.7.3. Propiedades del Cokriging

Los estimadores de kriging y cokriging poseen varias propiedades, en particular:

Interpolación exacta (para las estimaciones puntuales): el valor estimado en un

punto con dato restituye el valor medido.

Aditividad: la estimación del valor promedio de un bloque se identifica con el

promedio de las estimaciones puntuales dentro de este bloque (más generalmente, esta propiedad

se extiende a toda operación lineal, y no solamente al cálculo de un valor promedio).

Suavizamiento: el mapa de las estimaciones presenta menos variabilidad espacial

que el mapa de los valores verdaderos desconocidos. En consecuencia, las estimaciones no

poseen las mismas características espaciales que la variable estudiada.

Una limitación del (co)kriging es que las varianzas y covarianzas de estimación no

dependen de los valores de los datos, sino que solamente del modelo variográfico y de la

configuración geométrica formada por los datos y el sitio a estimar.

En teoría, el cokriging es preferible al kriging, pues siempre entrega una varianza de

estimación menor. En la práctica el cokriging mejora significativamente la estimación cuando las

variables auxiliares están más muestreadas que la variable de interés (situación de heterotopía). Si

los sitios de medición son comunes a todas las variables (situación de homotopía), las variables

auxiliares pueden traer poca información adicional, ya sea porque están poco correlacionadas con

la variable de interés, o bien al contrario porque están fuertemente correlacionadas, caso en el

cual sus valores se vuelven redundantes con las mediciones de la variable de interés.

15

2.1.8. Simulaciones

Debido a las limitaciones del kriging, se propone la simulación como metodología para

cuantificar la incertidumbre asociada al desconocimiento de los valores reales de una variable

regionalizada. Una simulación es un modelo numérico que busca reproducir la variabilidad real

de la variable en estudio mediante la construcción de varias realizaciones que representan

escenarios posibles.

Se puede diferenciar dos tipos de simulaciones: las no condicionales y las condicionales.

Las simulaciones no condicionales buscan reproducir la distribución de la variable regionalizada,

sin reproducir los valores de los datos en sitios ya conocidos. En cambio las simulaciones

condicionales buscan reproducir las distribuciones locales, que dependen de los datos conocidos.

De esta forma, en un sitio con dato no hay incertidumbre, y estas simulaciones condicionales

pueden considerarse más realistas que las no condicionales.

Así como el kriging tradicional sólo permite resolver el problema de estimación, es decir,

de predecir valores en sitios no conocidos, las simulaciones además entregan mediciones de la

incertidumbre y permiten desarrollar análisis de riesgo, debido a la disposición de varios

escenarios posibles. Adicionalmente se puede incorporar información de otras variables, dando

origen a las denominadas co-simulaciones.

Para aplicar simulaciones es necesario definir un modelo adecuado de función aleatoria.

Además, estas simulaciones pueden realizarse a distintos soportes, es decir, a soporte de puntos o

a soporte de bloques, dado que en minería resulta de interés desarrollar un modelo de leyes a

soporte de bloques (unidades selectivas de explotación).

16

2.2. Modelos de incertidumbre en soporte puntual

La incertidumbre en un modelo está asociada a la falta de conocimiento por no disponer

de un muestreo exhaustivo de la variable en estudio. Es por esto que ningún modelo numérico

reproduce la realidad sin error. Los modelos de incertidumbre buscan caracterizar los valores

desconocidos de una variable regionalizada no por estimaciones, sino que por distribuciones de

probabilidad.

Un modelo de incertidumbre global busca describir la distribución global de la variable

regionalizada, distribución que no depende de la ubicación considerada en el espacio. Esta

función de distribución puede ser obtenida a partir del histograma acumulado de los datos

disponibles. Por su parte, un modelo de incertidumbre local busca describir la distribución local

de la variable regionalizada, es decir, condicional a los datos disponibles. De esta forma la

distribución depende de la ubicación en el espacio, al considerar los valores y las posiciones de

los datos cercanos.

2.2.1. Modelo Multigaussiano

Es uno de los modelos de incertidumbre a soporte puntual típicamente utilizados debido a

su simpleza y conveniencia [3]. Este modelo requiere trabajar con variables Gaussianas, lo que

hace necesario transformar los datos disponibles mediante una función de transformación

llamada anamorfosis. Gráficamente, la anamorfosis consiste en deformar el histograma de los

datos en un histograma Gaussiano, de modo que la variable transformada, denotada Y(x), tenga

una distribución Gaussiana estándar (de media 0 y varianza 1). Lo anterior se observa en el

siguiente esquema:

FIGURA 4: DETERMINACIÓN DE FUNCIÓN DE TRANSFORMACIÓN (ANAMORFOSIS)

17

La hipótesis fundamental del modelo es que los valores transformados tienen una

distribución multigaussiana, la cual se define por las siguientes propiedades:

1. Toda combinación lineal de los valores sigue una distribución Gaussiana.

2. La densidad de probabilidad de un conjunto de valores ubicados en los sitios

{ } es:

( )

(√ ) √ ( ) {

}

ECUACIÓN 16: DENSIDAD DE PROBABILIDAD MULTIGAUSSIANA

Donde ( ) { ( ) ( )}

Se destaca que la densidad de probabilidad queda definida sólo con la matriz de varianza-

covarianza C. De este modo, la función aleatoria multigaussiana está caracterizada por su función

de covarianza o, equivalentemente, por su variograma.

Una propiedad fundamental del modelo es que la distribución global de un valor

transformado Y(x) es una Gaussiana estándar N(0,1). Por su parte la distribución local de Y(x)

también es una Gaussiana pero no estándar, sino de media igual al kriging simple de Y(x) y de

varianza igual a la varianza de kriging simple (cokriging en el caso multivariable). Un resultado

directo de esto es que la distribución local tiende a la distribución global en posiciones del

espacio lejanas a los datos.

Por otra parte, debido a que en ciertos casos transformar los datos originales en datos

Gaussianos puede resultar complicado, es necesario verificar la hipótesis básica del modelo que

establece multigaussianidad. Para esto se puede desarrollar los siguientes tests que corroboran la

bigaussianidad1:

1. Nubes de correlación diferida: en las cuales se grafican pares de datos Gaussianos

separados a una cierta distancia. Estas nubes deben presentar una forma elíptica para distancias

de separación menores, y una forma circular para distancias mayores.

2. Variogramas de indicadores: Existe una relación teórica entre el variograma de un

indicador y el variograma de los datos Gaussianos. Entonces se puede estimar el variograma de

indicador teóricamente, y luego comparar con el variograma experimental de indicador.

1 Probar la hipótesis multigaussiana más allá de la bigaussiana se vuelve demasiado complejo para fines

prácticos.

18

3. Comparación de madograma con variograma: siendo el madograma el variograma

de orden 1, se tiene una relación con el variograma clásico que puede ser verificada.

Una vez verificada la hipótesis del modelo, se puede ejecutar simulaciones

multigaussianas o desarrollar una versión del kriging llamado kriging multigaussiano.

2.2.2. Kriging Multigaussiano

Este método tiene como supuesto que la función aleatoria de la variable aleatoria sigue,

después de la anamorfosis, una distribución espacial multigaussiana. Utilizando la propiedad de

ortogonalidad del kriging simple, se establece que la distribución de ( ) condicionalmente a los

datos { ( ) } sigue siendo gaussiana:

De media igual al kriging simple de ( )

( ) ∑ ( ) ( )

ECUACIÓN 17: KRIGING SIMPLE DE Y(X)

De varianza igual a la varianza ( ) del kriging simple de Y(x).

De este modo, la función de distribución de la variable original ( ) condicional a los

datos está enteramente caracterizada por la función de anamorfosis y por el kriging de la

transformada Gaussiana, lo que hace del kriging multigaussiano un método particularmente

sencillo y rápido de poner en marcha (el kriging simple sólo requiere conocer la función de

covarianza de ( ) pues su media es nula por construcción).

El kriging multigaussiano ha sido ampliamente utilizado en el cálculo de recursos

recuperables [21], dando buenos resultados, no obstante, este método sufre de algunas

limitaciones que impiden su aplicación a ciertos casos de estudio [19], como por ejemplo, asumir

que la media es perfectamente conocida (dado que la estimación que interviene en la función de

distribución condicional es un kriging simple).

En el caso donde la media de la transformada Gaussiana no podría ser considerada como

constante y nula en todo el campo, se reemplazar el kriging simple por uno ordinario, más

flexible (la media, supuesta desconocida, puede variar de una vecindad de kriging a otra) [8].

Utilizando este último enfoque, en este trabajo se pretende extender la aplicación del modelo

multigaussiano al ámbito multivariable, basándose en cokriging simple y ordinario.

19

2.2.3. Algoritmos de Simulación

Existen una serie de algoritmos que permiten simular funciones aleatorias

multigaussianas. Estos algoritmos se pueden clasificar en dos tipos, según si desarrollan

directamente simulaciones condicionales o si las simulaciones deben ser condicionadas

posteriormente:

FIGURA 5: TIPOS DE ALGORITMOS DE SIMULACIÓN

Un método interesante es el método de bandas rotantes, dado que permite reducir a una

dimensión las simulaciones a desarrollar en dos o más dimensiones. En breves palabras el método

consiste en construir simulaciones unidimensionales para luego esparcirlas a más dimensiones

mediante una serie de rectas que discretizan el espacio. Para esto existen expresiones que

permiten relacionar la covarianza de la simulación en una dimensión con las covarianzas de la

simulación en dos o tres dimensiones.

Por otra parte, para condicionar las simulaciones de los métodos que no lo hacen

directamente, se puede desarrollar un kriging asociado al conjunto de datos condicionantes

(cokriging en el ámbito multivariable). Así se utiliza una expresión de condicionamiento que

cumple dos condiciones básicas:

En un sitio con dato, la simulación debe ser igual al valor del dato.

En un sitio muy lejano a los datos, la simulación condicional y no condicional

deben ser iguales.

Lo interesante de esta metodología es que basta con desarrollar un solo kriging para

condicionar todas las realizaciones construidas con las simulaciones. Es decir, si bien se podría

20

pensar que un método que condiciona directamente tiene la ventaja de reducir los tiempos de

cálculo, esto en la práctica no necesariamente ocurre así.

21

2.3. Modelos con cambio de soporte

Cuando se trabaja con variables regionalizadas, la distribución estadística que siguen los

valores que toma la variable depende del volumen o soporte sobre el cual se miden. Los efectos

que tiene el cambio de soporte son los siguientes:

La media no depende del soporte.

La varianza disminuye al aumentar el soporte.

El histograma cambia de forma (se simetriza).

De este modo la forma de la distribución cambia al pasar de valores puntuales a valores de

bloques. Así, para determinar ya sea la distribución global o local a soporte de bloques (que es de

interés en la industria minera debido a temas operacionales en una mina) se debe recurrir a un

modelo de cambio de soporte.

Uno de los modelos para cambio de soporte más utilizados es el modelo Gaussiano

discreto tanto para estimación global y local [13,16], y que será el utilizado en este trabajo.

2.3.1. Modelo Gaussiano discreto para estimación global

La variable regionalizada regularizada no es más que el promedio de los valores puntuales

que entran en el soporte regularizado (por ejemplo un bloque). O sea, visto de forma continua, el

valor regularizado sobre un bloque v se define como:

( )

∫ ( )

ECUACIÓN 18: VALOR REGULARIZADO SOBRE UN BLOQUE (Z(V))

Donde Z(v) es el valor regularizado, Z(x) el valor puntual y |v| el volumen de v.

Las hipótesis generales que considera el modelo son las siguientes:

El espacio se considera como una reunión de bloques que no traslapan y que son

idénticos.

La posición de cada dato puntual se considera como aleatoria y uniforme dentro

del bloque al cual pertenece, para evitar inconsistencias matemáticas asociadas a la teoría. Esto

limita el uso de bloques muy grandes.

El detalle del modelo se puede describir a partir de sus hipótesis específicas:

22

1. La variable puntual Z(x) se puede transformar en una variable Gaussiana estándar

Y(x) mediante la función de transformación definida para el modelo multigaussiano, y que se

denomina .

( ) [ ( )] ECUACIÓN 19: FUNCIÓN DE ANAMORFOSIS PUNTUAL

2. La variable regularizada Z(v) se puede transformar en una variable Gaussiana

estándar mediante una función de transformación a soporte de bloque que se denomina .

( ) ( ) ECUACIÓN 20: FUNCIÓN DE ANAMORFOSIS DE BLOQUES

3. Si el punto x pertenece al bloque v, el par {Y(x), } es bigaussiano, con

coeficiente de correlación r (coeficiente de cambio de soporte).

FIGURA 6: ESQUEMA EXPLICATIVO DE HIPÓTESIS DE MODELO GAUSSIANO DISCRETO

En el esquema anterior se resumen todas las relaciones establecidas entre los tipos de

variables. Es importante destacar que la variable gaussiana no es la regularizada de Y(x). La

función de transformación puntual se determina a partir de la distribución de los datos

puntuales. Por lo tanto, para definir completamente este modelo falta determinar la función de

transformación a soporte de bloques y el coeficiente de cambio de soporte r.

23

Para resolver el problema anterior se utiliza la llamada relación de Cartier [3] que dice que

el valor esperado de un dato tomado al azar dentro de un bloque cuyo valor es conocido, es igual

al valor del bloque. A partir de esto se puede obtener una expresión que relacione ambas

funciones de transformación, puntual y de bloques. Sin embargo esta expresión es bastante

compleja (involucra integrales), por lo tanto se acude a una familia de polinomios llamados

polinomios de Hermite. Las expresiones son las siguientes:

( ) ∑ ( )

ECUACIÓN 21: FUNCIÓN DE ANAMORFOSIS PUNTUAL (DESARROLLADO EN POLINOMIOS DE HERMITE)

( ) ∑ ( )

ECUACIÓN 22: FUNCIÓN DE ANAMORFOSIS DE BLOQUES (DESARROLLADO EN POLINOMIOS DE HERMITE)

Donde Hp(y) corresponde al polinomio de Hermite de grado p, y corresponde al

coeficiente del desarrollo en polinomios de la anamorfosis puntual.

Para determinar el coeficiente r se aprovecha la posibilidad de expresar la varianza a

soporte de bloques mediante dos expresiones distintas, donde en una de ellas aparece el

coeficiente r:

A partir del desarrollo de la función de transformación en polinomios de Hermite.

[ ( )] ∑

ECUACIÓN 23: VARIANZA DE Z(V) EN FUNCION DEL COEFICIENTE DE CAMBIO DE SOPORTE

A partir del modelo variográfico de la variable original.

[ ( )] ( ) ̅( ) ECUACIÓN 24: VARIANZA DE Z(V) EN FUNCIÓN DEL VARIOGRAMA DE LA VARIABLE ORIGINAL

Donde ̅( ) corresponde a:

̅( )

∫∫ ( )

ECUACIÓN 25: VARIOGRAMA EN EL SOPORTE DE BLOQUES

24

Así, del siguiente gráfico que relaciona la varianza a soporte de bloques con el coeficiente

r, se puede despejar el valor de r:

FIGURA 7: DETERMINACIÓN DE COEFICIENTE DE CAMBIO DE SOPORTE

Del gráfico además se deduce que para r = 1 se tiene la varianza de los datos puntuales, es

decir, a menor r se tiene mayor tamaño de bloques, y por lo tanto menor varianza de las leyes.

2.3.2. Modelo Gaussiano discreto para la estimación local

Este modelo es posible extenderlo también para resolver problemas de estimación local

[19]. Para esto, se hace más fuerte la hipótesis general del modelo y ahora todo conjunto de

valores de Y(x) e tiene una distribución multigaussiana, independiente si el punto x pertenece

o no al bloque v. Esto constituye una aproximación, pues en teoría se establece que las variables

gaussianas puntual Y(x) y de bloque serán multigaussianas sólo si la función de

transformación es lineal.

En la práctica, además de disponer de las funciones de transformación y del coeficiente de

cambio de soporte r (para el caso global), es necesario conocer la función de covarianza (o

equivalentemente de variograma) de la variable Gaussiana de bloques .

25

Así este modelo queda caracterizado por:

La función de transformación puntual .

El coeficiente de cambio de soporte r.

Las covarianzas directas (punto-punto y bloque-bloque) y cruzadas (punto-bloque)

de las variables Gaussianas Y(x) e .

La notación es la siguiente:

1. ( ) = covarianza punto-punto.

2. ( ) = covarianza punto-bloque.

3. ( ) = covarianza bloque-bloque.

Para resolver el último punto, se tienen expresiones que relacionan las covarianzas punto-

punto y punto-bloque con la covarianza bloque-bloque [19]. Es decir, determinando la última

covarianza (o equivalentemente el variograma bloque-bloque) el modelo queda definido. Para

esto se pueden utilizar dos métodos; uno que parte del variograma de los datos originales

puntuales, y el otro que parte del variograma de los datos Gaussianos puntuales:

Método 1:

1. Se desarrolla el estudio variográfico de la variable original Z(x).

2. Mediante regularización se obtiene el variograma de la variable regularizada Z(v).

3. Finalmente se determina el variograma de la variable Gaussiana a soporte de

bloques Yv, mediante una expresión que lo relaciona con el variograma de Z(v) [19].

Método 2:

1. Se desarrolla el estudio variográfico de la variable Gaussiana puntual Y(x).

2. Mediante regularización se obtiene el variograma de la variable Gaussiana

regularizada Y(v), definida como:

( )

∫ ( )

ECUACIÓN 26: VARIABLE GAUSSIANA REGULARIZADA (SOPORTE DE BLOQUES)

3. Finalmente se determina el variograma de la variable Gaussiana a soporte de

bloques , estandarizando el variograma de Y(v) con el factor 1/r2. El factor 1/ r

2 se obtiene a

partir de una relación entre las variables Gaussianas Y(v) e [7].

26

( ) ECUACIÓN 27: RELACIÓN ENTRE LA VARIABLE GAUSSIANA REGULARIZADA Y VARIABLE GAUSSIANA DE

BLOQUES

Se puede aplicar el resultado del kriging multigaussiano (remplazando el kriging de la

variable Gaussiana puntual ( ) por el kriging de la Gaussiana de bloques ) en conjunto con la

función de anamorfosis de bloques (en lugar de puntual), para deducir la distribución condicional

de la variable original, esta vez al soporte de bloques. En el caso multivariable, el kriging se

remplaza por cokriging.

El segundo método se utilizará en el presente trabajo.

27

3. METODOLOGÍA

El principal objetivo de este trabajo consiste en entregar un modelo que permita evaluar

recursos recuperables de un depósito mineral y que cuantifique correctamente la incertidumbre.

Para obtener este modelo, se extiende la aplicación del modelo Gaussiano discreto y del

modelo multigaussiano de manera paulatina, dando paso a tres modelos intermedios antes de

obtener el modelo final. Los modelos intermedios se describen a continuación:

Modelo 1: Modelo de estimación puntual considerando conocidas las medias de

las variables.

Modelo 2: Modelo de estimación puntual sin considerar conocidas las medias de

las variables.

Modelo 3: Modelo de estimación de bloques considerando conocidas las medias

de las variables.

El modelo final (Modelo 4) consiste en un modelo de estimación de bloques sin

considerar conocidas las medias de las variables.

En el siguiente punto se esquematiza y describe paso a paso la metodología aplicada para

obtener el modelo objetivo.

3.1. Modelos intermedios

Los tres modelos intermedios presentan en común las etapas iniciales de estudio

exploratorio, selección de una unidad geológica, transformación de datos a valores Gaussianos y

ajuste de modelo variográfico. A continuación se describen las etapas recién mencionadas.

Estudio exploratorio: a partir de los datos originales, se estudia la existencia de datos

aberrantes y duplicados, así como también la eventual existencia de más de una unidad

geológica.

Transformación de datos a valores Gaussianos: una vez filtrada la base de datos se

procede a transformar las variables de interés, desde sus valores originales, a valores

Gaussianos (a través de funciones de anamorfosis puntual), verificando el

comportamiento multigaussiano de las variables transformadas.

Ajuste de un modelo de corregionalización a los variogramas experimentales simples y

cruzados de las variables Gaussianas.

28

Selección de vecindad de búsqueda: en base a la extensión de la zona estudiada y las

direcciones de anisotropía, se selecciona una vecindad móvil de estimación, la cual

entregue una cantidad suficiente de datos.

FIGURA 8: ESQUEMA DE ETAPAS COMUNES A LOS CUATRO MODELOS

29

3.1.1. Modelo 1: Modelo de estimación puntual con medias conocidas

Para aplicar este modelo, primero se evalúa la robustez de la combinación del modelo de

corregionalización, los datos y la vecindad de búsqueda mediante validación cruzada.

Posteriormente se procede a realizar una estimación puntual mediante cokriging simple

(considerando conocidas las medias). Luego, utilizando las estimaciones y varianzas y

covarianzas de los errores de cokriging simple, se procede a generar 100 simulaciones

independientes de cada punto, para luego des-transformar los valores simulados a la escala

original. Finalmente se procede a analizar las distribuciones locales obtenidas.

FIGURA 9: ESQUEMA DE LA METODOLOGÍA APLICADA (MODELO 1)

30

3.1.2. Modelo 2: Modelo de estimación puntual con medias desconocidas

Este modelo es idéntico al modelo 1, salvo que se utiliza cokriging ordinario (de medias

desconocidas) en lugar de cokriging simple.

FIGURA 10: ESQUEMA DE LA METODOLOGÍA APLICADA (MODELO 2)

31

3.1.3. Modelo 3: Modelo de estimación de bloques con medias conocidas

La aplicación de este modelo, basado en el modelo Gaussiano discreto, considera primero

realizar una estimación de bloques mediante cokriging simple (considerando conocidas las

medias de las variables Gaussianas). Luego (utilizando las estimaciones y varianzas y

covarianzas de los errores de cokriging simple) se procede a generar 100 simulaciones

independientes de cada bloque. Posteriormente se obtiene el coeficiente de cambio de soporte

(para todas las variables), con el cual se des-transforma los valores simulados a la escala original.

Finalmente se procede a analizar las distribuciones locales obtenidas.

FIGURA 11: ESQUEMA DE LA METODOLOGÍA APLICADA (MODELO 3)

32

3.2. Modelo Objetivo: Modelo de estimación de bloques con medias desconocidas

Este último modelo es idéntico al modelo anterior, salvo que se utiliza cokriging ordinario

(de medias desconocidas) en lugar de cokriging simple.

FIGURA 12: ESQUEMA DE LA METODOLOGÍA APLICADA (MODELO OBJETIVO)

33

Finalmente se evalúan los recursos recuperables (mapas de probabilidad de superar una

ley de corte, destino de bloques más probable, beneficio esperado, análisis de riesgo, intervalos

de confianza para las variables promedio, entre otros) y se contrastan los resultados obtenidos por

esta metodología con estimaciones tradicionales obtenidas por cokriging ordinario (comparando

el beneficio obtenido y la clasificación de bloques entre mineral y estéril).

34

4. CASO DE ESTUDIO: DEPÓSITO DE LATERITAS NIQUELÍFERAS

El caso de estudio corresponde a una base de datos de pozos de tronadura pertenecientes a

la mina Cerro Matoso. Este es un depósito de lateritas niquelíferas