UNIVERSIDAD TÉCNICA LUIS VARGAS TORRES CURSO DE NIVELACIÓN

Lógica MatemáticaProfesora: Lcda. Nadia

Bermúdez Por:

Neyda OrtegaDiana Vera

Magaly Vicente

• TODO ARGUMENTO DEBNE SER VERDADERO O FALSO. NO EXISTE UNA TERCERA PISIBILIDAD

LÓGICA ARISTOTÉLICA

• RECONOCER LA VALIDEZ DE UNA ARGUMENTACIÓN

• ELABORAR DEMOSTRACIONES IRREFUTABLES Y CONVINCENTES

LÓGICA SIMBÓLICA

DEFINICIONES

SI ¿Qué características

tiene ?

NO ¿Qué es?

Parte operativa (¿Cómo se trabaja?)

Parte conceptual

(¿Qué significa?)

Parte importante de las matemáticas

GOTTFRIED LEIBNIZ.(1646 - 1716) matemático alemán

A la edad de 14 años, deseaba crear un método en el que todas las razones de verdad se reducían en LOGICA SIMBOLICA

En la matemática se dio importancia a sus ideas 250 años después

GEORGE BOOLE.(1815- 1869)MATEMATICO INGLES

Estableció un sistema factible y sencillo de lógica simbólica . Desgraciadamente su trabajo no recibió buna aceptación.

BERTRAND RUSSELL (1872-1970) Y ALFRED NORTH WHITEHEAD (1861-1947) , usaron logica simbólica en su obra “Principia Mathematica” (1902)

LOGICA SIMBOLICA

NO ACEPTA CONCLUSIONES

ERRONEAS

NO DA LUGAR A DUDAS E

IMPRECISIONES

NADA DEBE SER SUPUESTO

ORACIÓN

DICCIONARIO

UNIDAD CONVENCIONAL DEL HABLA O ESCRITURA COHERENTE

CONJUNTO DE PALABRAS QUE DECLARA, PREGUNTA, ORDENA,

SOLICITA O EXCLAMA ALGO

LÓGICA TIENE UN SIGNIFICADO MUCHO MAS ESPECIFICO Y SE LLAMA PROPOSICION

PROPOSICIÓN

UNIDAD SEMÁNTICA

VERDADERA

FALSA NUNCA AMBAS

PROPOSICIÓN

UNIDAD SEMÁNTICA

VERDADERA

FALSA NUNCA AMBAS

NOTA: las proposiciones que no son ni verdaderas ni falsas, las que son verdaderas y falsas, y las que demuestren algún tipo de imprecisión, en lógica carecen de sentido y no son parte de su estudio.

a. • El abecedario tiene 27 letras

b.

• Simón Bolívar descubrió América

c.

• Todos los niños tienen derechos

EJEMPLOS DE PROPOSICIONES:

EJEMPLOS DE ORACIONES QUE NO SON PROPOSICIONES:

1.

• Juan tal vez pierda el año

2.

• ¿Me acompañas al centro?

3. • En la tarde lloverá

VALOR DE VERDAD

CUALIDAD DE VERACIDAD

VALORES LÓGICOS

0, F, false 1, V, T, true

VALOR FALSOVALOR VERDADERO

0 y 1

TABLAS DE VERDAD

REPRESENTACION DE LOS POSIBLES VALORES DE VERDAD QUE PODRÁ

TOMAR UNA PROPOSICIÓN

a b c d

OPERADORES LÓGICOS

OBJETIVOS:Interpretar el comportamiento de estos operadores mediante su tabla de verdad.Dado un texto traducirlo a un lenguaje simbólico identificando operadores lógicos y proposiciones presentes.Dado una proposición en el lenguaje simbólico, interpretar su mensaje en lenguaje natural.Dada una condicional de proposiciones, realizar parafraseos con las diferentes expresiones gramaticales existentes.Dada una condicional de proposición, determinar su recíproca, inversa y contrarrecíproca.Dada una proposicion condicional verdadera, analizar sus condiciones necesarias y suficientes.

EJEMPLOS:

No te encontré en tu casa.Fui al banco y estaba cerrado.El carro de Juan o es azul o es negro

Surge entonces la necesidad de definir los nexos de estas proposiciones a los cuales de denominan conectores u operadores lógicos.

DEFINICION NEGACIÓNSea a una proposición, la negación de a, representada simbólicamente por ¬a, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad esta dado por la siguiente tabla de verdad:

a ¬a01

10

este operador lógico cambia el valor de verdad de una proposición: si as una proposición verdadera, ¬a es falsa; si a es una proposición falsa ,¬a es verdadera . la negación se presenta con los términos gramaticales : “no”, “ni”, “no es verdad que”, “no es cierto que”.

EJEMPLO:Si se tiene la proposición:a: Tengo un billete de cinco dólares.La negación de a es:a¬: no tengo un billete de cinco dólares.Si se tiene la proposición:a: no quiero hacer el viajeLa negación de a es:a¬: quiero hacer el viaje.

DEFINICIÓN DE CONJUNCIÓN

Sean a y b proposiciones, la conjunción a y b, representada simbólicamente por a ^ b, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad esta dado por la siguiente tabla de verdad

a b a ^b

0011

0101

0001

ESTE OPERADOR RELACIONA DOS PROPOSICIONES PARA FORMAR UNA NUEVA, LA CUAL SERÁ VERDADERA SOLO SI EL VALOR DE LAS DOS PROPOSICIONES ES VERDADERO. LA CONJUNCIÓN SE PRESENTA CON LOS TÉRMINOS GRAMATICALES: “Y”, “PERO”, “MAS”, Y SIGNOS DE PUNTUACIÓN

COMO: LA COMA, EL PUNTO, Y EL PUNTO Y COMA,Ejemplo:Si se tiene las proposiciones:

a: obtengo buenas notas.

b: gano una beca

La conjunción entre a y b es:

a ^ b: obtengo buenas notas y gano una becaSi se tiene las proposiciones

a: trabajo mucho.

b: recibo un bajo sueldo

La conjunción entre a y b se puede expresar como

a ^b : trabajo mucho pero recibo un bajo sueldo

Disyunción

Sean a y b proposiciones, la disyunción entre a y b, representada simbólicamente por a v b

Relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la cual la Proposición resultante será falsa solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es falso.

a b avb

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Ejemplos

Ejem: 1a: Tengo un libro de trigonometría.b: Tengo un libro de Álgebra la disyunción entre a y b es: avb es:avb: Tengo un libro de trigonometría o uno de ÁlgebraDISYUNCIÓN EXCLUSIVA

Disyunción exclusiva

Simbología: a v b. cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla.

La proposición resultante será verdadera cuando solamente una de ellas sea verdadera.

a b avb

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Condicional

Sean a y b proposiciones, la condicional entre a y b, representada simbólicamente por a b, es una proposición.

Conocido también como enunción hipotética o implicaciónLa proposición resultante será falsa solamente cuando el valor de verdad del antecedente sea verdadero y el valor de verdad de consecuente sea falso .

a b ab

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

Ejemplos

Ejem: 1a: Juan gana el concursob: Juan dona 10000La condición entre ay b es:ab: Si Juan gana el concurso, dona 1000

Existen otra proposiciones relacionadas con la proposición. Reciproca, es representada simbólicamente por: b aInversa, es representada simbólicamente por ab.Contrarrecíproca, es representada simbólicamente por: ba

Ejemplos

A partir de:Si es un automóvil, entonces es un transporte.

Reciproca:Si es un medio de transporte, entonces es un automóvilInversa:Si es un automóvil, entonces no es un medio de transporteContrarrecíporoca:Si no es un medio de transporte, entonces no es un automóvil.