Aplicaciones de las Curvas de Lissajous

Ral Carrasco V.Katherine Martnez S.Brbara Vera C..Profesora: Hctor Meneses

Instituto de MatemticasPontificia Universidad Catlica de Valparaso, 2010

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Las figuras de Lissajous fueron descubiertas por el astrnomo y matemtico americano Nathaniel Bowditch en 1815 cuando estudiaba el movimiento del pndulo compuesto.

Jules Antoine Lissajous (1822 -1880) fue un matemtico francs. Jules invent el aparato de Lissajous, un dispositivo que crea las figuras que llevan su nombre. Uniendo un espejo a un diapasn y enfocando una luz sobre l, Lissajous poda observar, ayudado por otro par de espejos, la luz reflejada que se torca y daba vuelta en los espejos, al tiempo de las vibraciones del diapasn. Cuando l instal dos diapasones perpendicularmente, con uno vibrando al doble de la frecuencia del otro, Lissajous encontr que las lneas curvadas en la pantalla se combinaban para dar lugar a una de estas curvas que hoy llevan su nombre.

Esto condujo a la invencin de otros aparatos, como el armongrafo.

Algo de historia

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Es posible crear las Curva de Lissajous de varias formas, una de ellas es el tpico experimento de un pndulo doble, que dibuja las curvas dejando un rastro de arena. Tambin es posible crear estas curvas usando programas computacionales, aplicaciones en Java, osciloscopios, etc. Modelo del experimento

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Modelo del experimento

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La ecuacin del movimiento armnico simpleEl movimiento de un punto material se llama armnico si se mueve bajo la influencia de o un valor directamente proporcional a la desviacin de la posicin de equilibrio x. y dirigido frente a la oscilacin. La fuerza de retorno, explica el signo menos en la frmula F=- kx, donde k es el coeficiente de proporcionalidad.

,La ecuacin del movimiento armnico simple

Si sustituimos la fuerza en la ecuacin que expresa el segundo principio de la dinmica, se obtiene la ecuacin diferencial de segundo orden.

La ecuacin del movimiento armnico simpleVamos a ver si la ecuacin se satisface con la funcin

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Ecuaciones de las curvas de LissajousSi superponemos dos de estos movimientos armnicos simples en direcciones perpendiculares, obtenemos el sistema de ecuaciones paramtricas correspondiente a:

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Ecuaciones de las curvas de Lissajous

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Modelo matemtico del experimento

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La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslacin y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotacin. As, por ejemplo, la segunda ley de Newton: donde:

es el momento o torque aplicado al cuerpo.

es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotacin

es la aceleracin angular.

Modelo matemtico del experimentotiene como equivalente para la rotacin:

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En la figura vemos las fuerzas actuantes en el sistema y si hacemos sumatoria de torques en el punto B, nos queda que:

Modelo matemtico del experimento

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Si solucionamos esta ecuacin, tambin llegaremos a un movimiento armnico simple, que es lo que se esperaba. Modelo matemtico del experimentoAnlogamente para el otro espejo, se obtiene un movimiento armnico simple. Reemplazamos

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FIN

*********Explicar las fuerzas actuantes, F corresponde a la fuerza producida por el motor desbalanceado, FR es la fuerza del resorte, k es la constante de elasticidad

Se deprecia el peso del espejo, y no se toma en cuenta por que acta en otro eje.**Las fuerzas F y Fr del lado derecho no hacen torque porque las fuerzas pasan por el punto B luego la distancia es cero.

Los torques son Torque=fuerza X distancia*Son las ecuaciones q se deducen de la geometria del problema, L2 es la hipotenusa (resorte estirado)El angulo depes se supone pequeo y asi se soluciona la ecuacion, pero no viene al caso resolverla. Lo importante es q su solucion es un movimientoArmnico simple (MAS). Si hacemos lo mismo para el otro espejo, obtenemos 2 MAS superpuestos. => curvas de lissajous

I: es la inercia rotacional del espejo + la madera, el valor esta en tablas.**