Sul problema degli N corpi:non integrabilità e teorema

di Sundman

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CAGLIARIFacoltà di Scienze

Corso di Laurea in Matematica

Vincenzo Farina

25 Luglio 2018

Introduzione: Il problema degli N corpi

Nell’ambito della meccanica classica, uno dei problemi più studiati è quello di caratterizzarecompletamente il moto di un sistema costituito da un certo numero N di corpi soggettiesclusivamente alla mutua forza di attrazione gravitazionale e confinati a restare in una regionelimitata dello spazio.

Trovare una soluzione del problema significa conoscere istante per istante le posizioni dei singolicorpi, note le loro posizioni e velocità ad un dato istante iniziale.

Contributi principali: XVIII secolo formulazione del problema tramite equazioni differenziali(Eulero, Lagrange); XIX-XX secoli studi intensificati (Poincaré, Hill, Levi-Civita e Sundman).

Il problema dei 2 corpi è l’unico caso che si può considerare risolto (o integrabile), in quanto leproprietà di tutti i possibili moti sono note. Tuttavia sono stati raggiunti risultati moltoapprezzabili anche sul problema dei 3 corpi e sul caso più generale degli N corpi.

In questa tesi esamineremo il problema degli N corpi nelcaso N>2. Questo è un modello matematico appropriatoa descrivere sistemi reali (come il sistema solare, sistemistellari, galassie, ammassi di galassie, ecc.).In particolare, procederemo nel seguente modo:troveremo le equazioni di moto e alcuni integrali primiattraverso i quali ridurremo l’ordine del sistema diequazioni differenziali; infine, dopo aver introdotto iconcetti di singolarità e collisioni, analizzeremo unrisultato importante sul collasso globale del sistema .

Equazioni di motoDati del problema:𝑁 > 2 , 𝑃𝑖 , 𝑚𝑖 , 𝑖 = 1,… , 𝑁, forze gravitazionali newtoniane.

Riferimento:𝑂𝑥𝑦𝑧 inerziale, fisso, 𝑡 il tempo assoluto.

Equazioni di moto:

𝑚𝑖 𝒓𝑖 =

𝑗=1

𝑁

𝐺𝑚𝑖𝑚𝑗

𝑟𝑖𝑗3 𝒓𝑗 − 𝒓𝑖 , 𝑗 ≠ 𝑖

𝑟𝑖𝑗 = 𝒓𝑗 − 𝒓𝑖 , 𝑖 = 1, 2,… ,𝑁 .

Potenziale:

𝑈 =

1≤𝑖≤𝑗≤𝑁

𝑚𝑖𝑚𝑗

𝑟𝑖𝑗

Velocità: 𝒓𝑖 = 𝒗𝑖

Otteniamo il sistema dinamico conservativo con 3N gradi di libertà:

𝒓𝑖 = 𝒗𝑖

𝒗𝑖 =1

𝑚𝑖

𝜕𝑈

𝜕𝒓𝑖

𝑖 = 1, 2,… ,𝑁

Per la teoria dei sistemi di equazioni differenziali questo è un sistema autonomo di 6N equazioni delprimo ordine; supponiamo che siano soddisfatte le condizioni del teorema di esistenza e unicità diCauchy .

Integrali del moto

Per integrare il sistema dinamico andiamo alla ricerca di alcuniintegrali primi, ovvero funzioni differenziabili delle nostre variabiliche si mantengono costanti durante il moto, dove il valore dellecostanti è fissato dalle condizioni iniziali. L’esistenza di integraliprimi indipendenti ed in involuzione ci consentirà, per il Teoremadi Lie, di ridurre l’ordine del sistema.

Lagrange: nel problema dei tre corpi l’ordine iniziale del sistema(6N) può essere abbassato di 12 (osserviamo che il numero degliintegrali primi non dipende da N).

Bruns: 12 è il massimo numero di integrali primi algebriciindipendenti ottenibili.

Descriviamo quindi gli integrali primi classici del problema degli Ncorpi.

Integrali primi associati al moto del baricentroPartiamo dalle equazioni di moto:

𝑚𝑘 𝒓𝑘 =

𝑗=1

𝑁

𝐺𝑚𝑗𝑚𝑘

𝑟𝑗𝑘3 𝒓𝑗 − 𝒓𝑘 , 𝑗 ≠ 𝑘

Tramite semplici operazioni algebriche perveniamo a:

𝑘

𝑚𝑘 𝒓𝑘 = 𝟎.

Ricordando la definizione di baricentro, posto

𝒓𝑐𝑚 =1

𝑀

𝑘

𝑚𝑘𝑟𝑘 , 𝑀 =

𝑘

𝑚𝑘 ,

possiamo interpretare la formula precedente come 𝒓𝑐𝑚 = 𝟎

che integrata due volte diventa𝒓𝑐𝑚 = 𝒂𝑡 + 𝒃

con 𝒂 e 𝒃 vettori costanti dipendenti dai dati iniziali del problema.

L’espressione corrisponde a 6 relazioni scalari, ovvero ci fornisce 6 integrali primi.

Integrale primo associato alla conservazione dell’energia meccanica.

Partiamo dal sistema dinamico scritto nella forma

𝒓𝑘 =1

𝑚𝑘

𝜕𝑈

𝜕𝒓𝑘, 𝑘 = 1, 2, … , 𝑁 .

Semplici calcoli diretti consentono di scrivere:𝑑

𝑑𝑡

1

2

𝑘

𝑚𝑘𝑣𝑘2 =

𝑑𝑈

𝑑𝑡

Ovvero, integrando:𝑇 − 𝑈 = 𝐸

dove 𝐸 è costante ed è uguale all’energia totale del sistema; quindi abbiamo determinato un altro integrale primo.

Integrali primi associati alla conservazione del momento della quantità di moto.

Consideriamo il sistema nella sua forma

𝑚𝑘 𝒓𝑘 =

𝑗=1

𝑁

𝐺𝑚𝑗𝑚𝑘

𝑟𝑗𝑘3 𝒓𝑗 − 𝒓𝑘 , 𝑗 ≠ 𝑘

Semplici operazioni ci conducono alla relazione:𝑑

𝑑𝑡

𝑘

𝑚𝑘( 𝒓𝑘˄ 𝒓𝑘) = 𝟎

ovvero:

𝑘

𝑚𝑘( 𝒓𝑘˄ 𝒓𝑘) = 𝒄

dove 𝒄 è un vettore costante e rappresenta il momento della quantità di moto del sistema.

L’equazione corrisponde alle tre relazione scalari

𝑘

𝑚𝑘 𝑦𝑘 𝑧𝑘 − 𝑧𝑘 𝑦𝑘 = 𝑐1 ,

𝑘

𝑚𝑘 𝑧𝑘 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘 𝑧𝑘 = 𝑐2 ,

𝑘

𝑚𝑘 𝑥𝑘 𝑦𝑘 − 𝑦𝑘 𝑥𝑘 = 𝑐3

e quindi altri 3 integrali primi.

Eliminazione del tempo e dei nodi

Alcuni richiami sui sistemi hamiltoniani

Dicesi sistema hamiltoniano o canonico di ordine 2n un sistema di 2n equazionidifferenziali ordinarie del 1° ordine del tipo:

𝑝𝑖 = −𝜕𝐻

𝜕𝑞𝑖

𝑞𝑖 =𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑖

(𝑖 = 1,2, … , 𝑛)

dove l’hamiltoniana 𝐻 è una funzione assegnata delle n+1 variabili canoniche𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛, 𝑞1, 𝑞2, … , 𝑞𝑛, 𝑡

𝐻 = 𝐻 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛, 𝑞1, 𝑞2, … , 𝑞𝑛, 𝑡che soddisfi la condizione

𝑑𝑒𝑡 𝜕2𝐻𝜕𝑝𝑖𝜕𝑝𝑘

≠ 0 𝑖, 𝑘 = 1,2, … , 𝑛 .

Chiamiamo le variabili (𝑞1, 𝑞2, … , 𝑞𝑛) coordinate lagrangiane e le (𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛)momenti coniugati.

Premettiamo le seguenti definizioni:

• Si dicono operazioni di rango zero le seguenti: operazioni algebriche, derivazione di funzioni, inversione di funzioni, integrazione indefinita di funzioni assegnate (quadrature);

• Si dice operazione di rango 𝒏 (𝑛 ≥ 1) l’integrazione di un sistema di 𝑛equazioni differenziali del 1° ordine con 𝑛 funzioni incognite.

• Un sistema differenziale si dice completamente integrabile se la sua risoluzione esige soltanto operazioni di rango zero.

Teorema di riduzione di Lie

Se di un sistema canonico di ordine 2𝑛 si conoscono 𝑚 < 𝑛 integrali primi che siano indipendenti, in involuzione e risolubili rispetto ad altrettante 𝑝𝑖 (momenti coniugati), allora possiamo ridurre il rango delle operazioni, da cui dipende la determinazione dell’integrale generale, di 2𝑚 unità.

Procederemo trovando il sistema canonico per il problema degli N corpi, scriveremo gli integrali primi classici in forma hamiltoniana e infine applicheremo il teorema di Lie.

Non integrabilità nel problema degli N(>2) corpi

Si considerino le coordinate 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 come coordinate lagrangiane e siano

𝑝𝑥𝑖 = 𝑚𝑖 𝑥𝑖 , 𝑝𝑦𝑖 = 𝑚𝑖 𝑦𝑖 , 𝑝𝑧𝑖 = 𝑚𝑖 𝑧𝑖 i momenti coniugati;

possiamo scrivere l’hamiltoniana

𝐻 𝑝𝑥𝑖 , 𝑝𝑦𝑖 , 𝑝𝑧𝑖 , 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 =1

2

𝑖=1

𝑁1

𝑚𝑖𝑝𝑥𝑖2 + 𝑝𝑦𝑖

2 + 𝑝𝑧𝑖2 − 𝑈 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑁

e le relative equazioni di Hamilton o equazioni canoniche

𝑝𝑥𝑖 = −𝜕𝐻

𝜕𝑥𝑖

𝑝𝑦𝑖 = −𝜕𝐻

𝜕𝑦𝑖

𝑝𝑧𝑖 = −𝜕𝐻

𝜕𝑧𝑖

𝑥𝑖 =𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑥𝑖

𝑦𝑖 =𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑦𝑖

𝑧𝑖 =𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑧𝑖

𝑖 = 1,2, … , 𝑁 ,

ottenendo un sistema canonico di ordine 6𝑁.

Riscriviamo quindi i 10 integrali classici, esplicitamente mostrati all’inizio, in forma hamiltoniana:

𝜌1 =

𝑖

𝑝𝑥𝑖 = 𝛼

𝜌2 =

𝑖

𝑝𝑦𝑖 = 𝛽

𝜌3 =

𝑖

𝑝𝑧𝑖 = 𝛾

𝑖

𝑚𝑖𝑥𝑖 = 𝛼𝑡 + 𝑎

𝑖

𝑚𝑖𝑦𝑖 = 𝛽𝑡 + 𝑏

𝑖

𝑚𝑖𝑧𝑖 = 𝛾𝑡 + 𝑐

𝐻 𝑝𝑥𝑖 , 𝑝𝑦𝑖 , 𝑝𝑧𝑖 , 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 = 𝐸

𝜑1 =

𝑖

𝑦𝑖𝑝𝑧𝑖 − 𝑧𝑖𝑝𝑦𝑖 = 𝐶1

𝜑2 =

𝑖

𝑧𝑖𝑝𝑥𝑖 − 𝑥𝑖𝑝𝑧𝑖 = 𝐶2

𝜑3 =

𝑖

𝑥𝑖𝑝𝑦𝑖 − 𝑦𝑖𝑝𝑥𝑖 = 𝐶3

con 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝐸, 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3 costanti.

Osserviamo che di questi 10 integrali, 7 sono indipendenti dal tempo: 𝐻, 𝜌1, 𝜌2, 𝜌3, 𝜑1, 𝜑2, 𝜑3.

Poniamo inoltre 𝜓 = 𝜑12 + 𝜑2

2 + 𝜑32

Si dimostra che:

• Per 𝑘 = 1,2,3, 𝜌𝑘 e 𝜑𝑘 sono in involuzione con 𝐻, perché indipendenti daltempo;

• I 𝜌𝑘 sono in involuzione tra di loro, quindi combinandoli tramite le parentesi diPoisson non si ottengono nuovi integrali primi;

• I 𝜌𝑘 e 𝜑𝑘 in generale non sono in involuzione tra loro e combinandoli non siottengono nuovi integrali primi: tuttavia sarebbero in involuzione se siscegliessero le costanti 𝛼, 𝛽, 𝛾 nulle, ossia se si fissasse il centro di massa;

• Le 𝜑𝑘 non sono in involuzione tra loro e non danno nuovi integrali: tuttavia sidimostra che sono in involuzione con 𝜓;

• 𝜓 è in involuzione con i 𝜌𝑘 .

Da queste considerazioni, fissando il centro di massa, possiamo affermare che isei integrali primi 𝐻, 𝜌1, 𝜌2, 𝜌3, 𝜑1(oppure 𝜑2 o 𝜑3), 𝜓 sono in involuzione tra diloro ed inoltre sono indipendenti.

Applicando il teorema di riduzione di Lie, possiamo ridurre il numero dioperazioni di rango da 6𝑁 a 6𝑁 − 12. Quindi, in conclusione, se 𝑁 ≥ 3, ilsistema non è completamente integrabile.

Singolarità e collisioni

Consideriamo il sistema autonomo di 6N equazioni differenziali del 1° ordine:

𝑥𝑖 = 𝑋𝑖 𝑥1, … , 𝑥𝑚 , 𝑖 = 1, 2, … ,𝑚 , 𝑚 = 6𝑁

con la condizione iniziale 𝒙 𝑡0 = 𝝃.

Se le funzioni 𝑋𝑖 sono analitiche nelle variabili 𝑥1, … , 𝑥𝑚 e sono limitatesuperiormente, allora la soluzione 𝒙 𝑡 del sistema, soddisfacente le condizioniiniziali 𝒙 𝑡0 = 𝝃, è una funzione analitica di t nel dominio reale

𝑡 − 𝑡0 <𝑟

𝑚+1 𝑀= 𝛿

per opportune costanti 𝑟,𝑀.

La soluzione (locale) ottenuta può essere generalmente prolungata per 𝑡 > 𝑡0 +𝛿.Se il prolungamento non è possibile per un certo istante 𝑡 = 𝑡1, diciamo che ilproblema presenta una discontinuità, o singolarità, in 𝑡 = 𝑡1.La singolarità, nel caso del problema degli N corpi, può essere dovuta ad unacollisione tra due o più degli N corpi (ovvero i corpi interessati tendono ad unaposizione limite finita coincidente tra di loro) o a diversi tipi di moti oscillatori.

Collasso del sistema: Teorema di Sundman.

In generale non si conosce il modo di escludere quellecondizioni iniziali che portano a una o più collisioni. L’unicasituazione dove ciò è possibile è quella in cui tutti i punticollidono nel centro di massa del sistema, ovvero quando siverifica il collasso globale.

Vista l’importanza del risultato forniamo la dimostrazione.

La condizione che ci consente di escludere il collasso ècontenuta nel teorema di Sundman che ci apprestiamo adimostrare:

Teorema (di Sundman).

“Il collasso totale del sistema può accadere solo nel caso incui il momento della quantità di moto totale si annulli”.

Premettiamo alla dimostrazione i seguenti due lemmi:

Lemma 1: Identità di Lagrange-Jacobi.

Siano 𝑇 𝑒 𝑈 l’energia cinetica e il potenziale, sia 𝐸 = 𝑇 − 𝑈 e sia 𝐼 =

𝑖=1𝑁 𝑚𝑖𝑟𝑖

2 il momento d’inerzia; allora vale la relazione:

1

2 𝐼 = 𝑈 + 2𝐸

chiamata identità di Lagrange-Jacobi.

Lemma 2: Disuguaglianza di Sundman.

Siano 𝐼 𝑒 𝑇 definite come nel lemma precedente e sia 𝒄 = 𝑖𝑚𝑖( 𝒓𝑖˄ 𝒓𝑖) ilmomento della quantità di moto totale del sistema; allora vale la seguenterelazione:

1

4 𝐼2 + 𝑐2 ≤ 2𝐼𝑇 , 𝑐 = 𝒄

nota come disuguaglianza di Sundman.

Dimostrazione del teorema di Sundman

Per prima cosa dimostriamo che se avviene il collasso, questoavviene in un tempo finito: cioè non si può avere 𝐼 → 0 per 𝑡 →+∞.

Si ha che: se 𝑟𝑗𝑘 → 0 per 𝑡 → +∞ allora 𝑈 → +∞.

Per l’identità di Lagrange-Jacobi

1

2 𝐼 = 𝑈 + 2𝐸 ,

si ha che 𝐼 → +∞, con 𝐸 finito.

Quindi a partire da un certo istante si deve avere che 𝐼 ≥ 1, cheintegrata due volte diventa

𝐼 ≥1

2𝑡2 + 𝐴𝑡 + 𝐵

con 𝐴 e 𝐵 costanti di integrazione.

Se 𝑡 → +∞ anche 𝐼 → +∞ , che è l’opposto di 𝐼 → 0.

Quindi il collasso deve avvenire in un tempo finito𝑡1 > 0.

Allora nel caso del collasso abbiamo per 𝑡 → 𝑡1:

𝑈 → +∞ 𝐼 → +∞

𝐼 → 0 𝐼 > 0 almeno in un intervallo 𝑡2 ≤ 𝑡 < 𝑡1 𝐼 < 0 perché 𝐼 > 0 nell’intervallo 𝑡2 ≤ 𝑡 < 𝑡1

e 𝐼 𝑡1 = 0.

Quindi, se avviene il collasso, 𝑰(𝒕) è una funzionedecrescente e possiamo scegliere 𝑡2 in modo che𝐼 𝑡 < 1 nell’intervallo [𝑡2, 𝑡1).

Dalla diseguaglianza di Sundman

1

4 𝐼2 + 𝑐2 ≤ 2𝐼𝑇 ,

otteniamo

𝑐2 ≤ 2𝐼𝑇

e, tenendo conto dell’identità di Lagrange-Jacobi, si trova:

𝑐2 ≤ 2𝐼1

2 𝐼 − 𝐸 .

Moltiplicando ambo i membri per la quantità − 𝐼

𝐼,positiva nell’intervallo [𝑡2, 𝑡1), abbiamo:

−1

2𝑐2

𝐼

𝐼≤ 𝐸 𝐼 −

1

2 𝐼 𝐼

che integrata per 𝑡 ∈ [𝑡2, 𝑡1) diventa:

1

2𝑐2 ln(𝐼−1) ≤ 𝐸𝐼 −

1

4 𝐼2 + 𝑘 ,

con 𝑘 costante di integrazione e ln(𝐼−1) > 0, e quindi si ha:

𝑐2 ≤2𝐼𝐸 + 2𝑘

ln 𝐼−1𝑖𝑛 [𝑡2, 𝑡1) .

Osserviamo che se 𝑡 → 𝑡1 allora 𝐼 → 0 e anche 𝑐 → 0 : ma 𝑐 è una costante del moto e

quindi vale 𝑐 = 0, ∀𝑡 e il teorema è dimostrato.

Bibliografia

1) D. Boccaletti, G. Pucacco, ″Theory of Orbits ″,Volume 1: Integrable Systems and Non-perturbative Methods, Springer, 1995;

2) A. Fasano, S. Marmi, ″Meccanica Analitica ″,Bollati Boringhieri, 1993;

3) E. Degiorgi, ″Sul problema dei tre corpi: Soluzioniesatte e problema ristretto ″, Tesi di Laurea,Università di Cagliari, A.A. 1998-1999.

Grazie per l’attenzione

Condizioni di esistenza e unicità della soluzione

Per la teoria dei sistemi di equazioni differenziali, il sistema dinamico ottenutoinizialmente, è un sistema autonomo di 6N equazioni del primo ordine, del tipo:

𝑥𝑖 = 𝑋𝑖 𝑥1, … , 𝑥𝑚 , 𝑖 = 1, 2, … ,𝑚 , 𝑚 = 6𝑁

Per il Teorema di esistenza e unicità di Cauchy esso ammette una e una solasoluzione se, date le condizioni iniziali 𝒙 𝑡0 = 𝝃, le m funzioni a secondomembro sono lipschitziane in un intorno reale di 𝒙 = 𝝃.

Inoltre se le funzioni 𝑋𝑖 sono analitiche nelle variabili 𝑥1, … , 𝑥𝑚 e sono limitatesuperiormente da una costante M nel dominio 𝑥𝑖 − 𝜉𝑖 < 𝑟 , 𝑖 = 1, 2, … ,𝑚,allora la soluzione 𝒙 𝑡 del sistema, soddisfacente le condizioni iniziali 𝒙 𝑡0 = 𝝃,

è una funzione analitica di t nel dominio reale 𝑡 − 𝑡0 <𝑟

𝑚+1 𝑀e soddisfa la

condizione 𝒙𝒊 − 𝝃𝒊 < 𝑟 , 𝑖 = 1, 2, … ,𝑚.

Diamo un esempio del teorema di esistenza e unicità nel caso in cui il secondomembro sia analitico. A tal proposito, seguendo Siegel e Moser, scegliamo leunità fisiche in modo che G=1, 𝑟𝑗𝑘 𝑡0 > 0 𝑗 ≠ 𝑘 e supponiamo che 𝑈 ≤ 𝐴, 𝐴

costante positiva, al tempo 𝑡 = 𝑡0

Definiamo inoltre: 𝜌 = min𝑗≠𝑘

𝑟𝑗𝑘 𝑡0 , 𝜇 = min𝑘

𝑚𝑘 .

Allora si dimostra che, ponendo 𝑟 =𝜇2

14𝐴, 𝑀 = 𝑐1𝐴

2 +𝜇2

14𝐴+ 𝑐2 𝐴 + ℎ , dove 𝑐1, 𝑐2 sono

costanti dipendenti solo dalle masse e ℎ = 𝑇 − 𝑈 è l’energia meccanica totale (con 𝑇 si

rappresenta l’energia cinetica del sistema), le funzioni a secondo membro del sistema

𝒓𝑖 = 𝒗𝑖

𝒗𝑖 =1

𝑚𝑖

𝜕𝑈

𝜕𝒓𝑖

𝑖 = 1, 2, … ,𝑁

sono analitiche e limitate negli intervalli

𝑥𝑖 − 𝑥𝑖 𝑡0 , 𝑦𝑖 − 𝑦𝑖 𝑡0 , 𝑧𝑖 − 𝑧𝑖 𝑡0 < 𝑟

𝑥𝑖 − 𝑥𝑖 𝑡0 , 𝑦𝑖 − 𝑦𝑖 𝑡0 , 𝑧𝑖 − 𝑧𝑖 𝑡0 < 𝑟

e le soluzioni 𝒓𝑘 𝑡 , 𝒗𝑘 𝑡 , corrispondenti alle condizioni iniziali 𝒓𝑘 𝑡0 , 𝒗𝑘 𝑡0 , sono

funzioni analitiche nell’intervallo:

𝑡 − 𝑡0 <𝑟

6𝑁 + 1 𝑀= 𝛿

In particolare ciò sarà vero nell’intervallo

𝑡0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡0 + 𝛿

dove 𝛿 dipende solo da 𝐴, da ℎ e dalle masse.

Singolarità

Diamo alcuni risultati relativi ai punti di singolarità e alla loro natura.Innanzitutto definiamo:

𝑟 𝑡 = min𝑗≠𝑘

𝑟𝑗𝑘(𝑡)

la minima distanza tra i punti del sistema ad un dato istante e𝑅 𝑡 = max

𝑗≠𝑘𝑟𝑗𝑘 𝑡

la distanza massima.

• Teorema di Painlevé

Condizione necessaria e sufficiente affinché ci sia una singolarità in 𝑡 = 𝑡1 è che 𝑟 → 0per 𝑡 → 𝑡1, o equivalentemente che 𝑈 → ∞ per 𝑡 → 𝑡1.

La condizione 𝑟 → 0 non implica necessariamente una collisione: ad esempio si puòavere che alcune delle distanze 𝑟𝑖𝑗 oscillano in modo che

lim𝑖𝑛𝑓

𝑟𝑖𝑗 = 0 , lim𝑠𝑢𝑝

𝑟𝑖𝑗 > 0 ,

e quindi 𝑟 → 0 ma non ci sono collisioni.

Casi come questo vengono chiamati pseudocollisioni.

• Si dimostra che per 𝑁 = 3 tutte le singolarità sono collisioni.

• Per 𝑁 ≥ 4, se alcuni dei punti non tendono ad una posizione limite finita per𝑡 → 𝑡1, allora necessariamente 𝑅 → ∞ per 𝑡 → 𝑡1.

Cioè l’unica possibilità di avere una pseudocollisione è che il sistema siespanda all’infinito in un tempo finito.

• Se 𝐼 = 𝑂 1 per 𝑡 → 𝑡1, allora una singolarità in 𝑡1 è dovuta ad una collisione.

• Se gli 𝑁 punti materiali stanno su una retta, allora tutte le singolarità sonodovute a collisioni.

• Una singolarità al tempo 𝑡 = 𝑡1 è dovuta ad una collisione se e solo se 𝑈 ≈

𝛼𝑡−2

3 per 𝑡 → 𝑡1, per una certa costante 𝛼. (Intendendo 𝑓 ≈ 𝑔 se, dopo untempo 𝑡, ∃𝐴 e 𝐵 costanti positive t.c. 𝐴𝑔 𝑡 ≤ 𝑓 𝑡 ≤ 𝐵𝑔 𝑡

• L’insieme delle condizioni iniziali che portano a delle collisioni in un tempofinito, ha misura di Lebesgue nulla.

Ciò equivale a dire che le collisioni hanno poche probabilità di verificarsi.

Dimostrazione dell’ Identità

di Lagrange-Jacobi.Abbiamo definito il momento d’inerzia 𝐼 = 𝑖=1

𝑁 𝑚𝑖𝑟𝑖2 = 𝑖=1

𝑁 𝑚𝑖𝒓𝑖 ∙ 𝒓𝑖 ,

relazione che derivata due volte rispetto al tempo diventa:

𝐼 = 2

𝑖=1

𝑁

𝑚𝑖 𝒓𝑖 ∙ 𝒓𝑖 + 2

𝑖=1

𝑁

𝑚𝑖𝒓𝑖 ∙ 𝒓𝑖 = 4𝑇 + 2

𝑖=1

𝑁

𝒓𝑖𝜕𝑈

𝜕𝒓𝑖

Dato che 𝑈 è una funzione omogenea di grado −1 nelle variabili 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 = 𝒓𝑖, per il teorema diEulero sulle funzioni omogenee abbiamo:

𝑖=1

𝑁𝜕𝑈

𝜕𝒓𝑖∙ 𝒓𝑖 = −𝑈

Allora possiamo riscrivere

𝐼 = 4𝑇 + 2

𝑖=1

𝑁

𝒓𝑖𝜕𝑈

𝜕𝒓𝑖= 4𝑇 − 𝑈 = 2𝑈 + 4𝐸

ovvero

1

2 𝐼 = 𝑈 + 2𝐸

che è l’identità cercata.

Dimostrazione della Disuguaglianza di Sundman

Dalla definizione del momento della quantità di moto totale del sistema ricaviamo che 𝑐 = 𝒄 = 𝑖𝑚𝑖𝑟𝑖𝑣𝑖 sin𝜃𝑖 dove 𝜃𝑖 è l’angolo tra i vettori 𝒓𝑖e 𝒓𝑖.

Applicando a questa relazione la disuguaglianza di Schwarz otteniamo

𝑐2 =

𝑖

𝑚𝑖𝑟𝑖 𝑚𝑖𝑣𝑖 sin𝜃𝑖

2

≤

𝑖

𝑚𝑖𝑟𝑖2

𝑖

𝑚𝑖𝑣𝑖2 sin2 𝜃𝑖 .

Consideriamo ora il momento d’inerzia 𝐼 = 𝑖=1𝑁 𝑚𝑖𝑟𝑖

2 = 𝑖=1𝑁 𝑚𝑖𝒓𝑖 ∙ 𝒓𝑖 ,

relazione che derivata rispetto a 𝑡 diventa 𝐼 = 2 𝑖𝑚𝑖(𝒓𝑖 ∙ 𝒓𝑖) = 2 𝑖𝑚𝑖𝑟𝑖𝑣𝑖 cos𝜃𝑖

da cui ricaviamo 𝐼 ≤ 2 𝑖𝑚𝑖𝑟𝑖𝑣𝑖 cos𝜃𝑖 .

Di nuovo, applicando la disuguaglianza di Schwarz otteniamo: 𝐼2 ≤ 4 𝑖𝑚𝑖𝑟𝑖2 𝑖𝑚𝑖𝑣𝑖

2 cos2 𝜃𝑖 .

Sommando le […] otteniamo:1

4 𝐼2 + 𝑐2 ≤

𝑖

𝑚𝑖𝑟𝑖2

𝑖

𝑚𝑖𝑣𝑖2

ovvero1

4 𝐼2 + 𝑐2 ≤ 2𝐼𝑇

che è la relazione cercata.

Classificazione delle soluzioni particolariSiccome non si può dare una soluzione generale del sistema dinamico iniziale, ha acquisitogrande importanza la ricerca di soluzioni particolari in cui gli N corpi rispettano certe condizioniiniziali.

Storicamente la ricerca è partita dal problema dei tre corpi, scoprendo certe soluzioni conparticolari proprietà di simmetria, casi in cui il rapporto tra le distanze tra i corpi rimanevacostante e i corpi descrivevano traiettorie coniche simili intorno al centro di massa del sistema. Inalcune di queste configurazioni i tre corpi stanno su una retta o ai vertici di un triangoloequilatero.

Ampliando questi risultati per 𝑁 > 3 si definiscono le soluzioni omografiche, caratterizzate dalfatto che la configurazione assunta dagli N corpi, rispetto al baricentro del sistema, rimane similea se stessa col passare del tempo.

Soluzioni planari

Si dice che una soluzione è planare se esiste un piano 𝜋∗, fisso rispetto al sistema di riferimentobaricentrale, che contiene tutti gli N corpi in ogni istante.

Si dimostra che se 𝒄 ≠ 𝟎, cioè se non si annulla il vettore momento angolare, allora esiste il pianoinvariante e questo coincide col piano 𝜋∗. Tuttavia possono esistere soluzioni planari anchequando 𝒄 = 𝟎.

Soluzioni piane

Una soluzione è piana se in ogni istante esiste un piano 𝜋 = 𝜋(𝑡) che contiene tutti gli N corpi inquell’istante. Quindi abbiamo un piano che si muove col baricentro del sistema e può ruotareintorno ad esso.

Nel caso 𝑁 = 3 ogni soluzione è ovviamente piana.

Si dimostra che se 𝒄 = 𝟎, cioè se non esiste il piano invariante, ogni soluzione piana è ancheplanare. Di conseguenza, per 𝑁 = 3, se 𝒄 = 𝟎 il moto avviene in un piano fisso (nel sistema diriferimento baricentrale).

Soluzioni collineari

Si dice che gli N corpi sono collineari in un istante 𝑡 = 𝑡0 se in quell’istantegiacciono tutti sulla stessa retta. Ovviamente ciò non implica che vi rimanganonegli altri istanti. Si dimostra che se esiste il piano invariante allora la retta giacesul piano invariante.

Se tutti gli N punti rimangono sulla stessa retta 𝜆 = 𝜆(𝑡), la quale può variare neltempo, si ottiene una soluzione collineare. Si dimostra che una soluzionecollineare è anche piana.

Soluzioni rettilinee

Una soluzione si dice rettilinea se è collineare e la retta 𝜆∗ rimane fissa nel temporispetto al riferimento baricentrale. Si dimostra che se esiste una soluzionerettilinea, questa non può esistere ∀𝑡 ∈ (−∞,+∞) senza che vi sia una collisionetra almeno due degli N corpi.

Soluzioni omografiche

Una soluzione 𝒓𝑘(𝑡) si dice omografica se la configurazione assunta dal sistema,rispetto al riferimento baricentrale, rimane simile a se stessa con lo scorrere deltempo.

Ciò implica l’esistenza di una funzione scalare 𝜆 = 𝜆(𝑡) e di una matriceortogonale 3x3, 𝜴 = 𝜴(𝑡), tali che:

∀𝑘, 𝑡, 𝒓𝑘 𝑡 = 𝜆(𝑡) 𝜴(𝑡)𝒓𝑘0

nel riferimento baricentrale; 𝜆(𝑡) rappresenta una dilatazione, 𝜴(𝑡) unarotazione e 𝒓𝑘

0 = 𝒓𝑘(𝑡0), con 𝑡0 istante iniziale convenzionale.

Distinguiamo alcuni casi particolari:

Soluzioni omotetiche: se 𝜴 𝑡 = 𝑰 ∀𝑡, con 𝐼 matrice identica, il moto consiste in una dilatazione ocontrazione pura;

Soluzioni di equilibrio relativo: se 𝜆 𝑡 = 1 ∀𝑡, il moto consiste in una rotazione pura e i puntirisultano a riposo rispetto ad un riferimento che ruota intorno al baricentro.

Alcuni tipi di moto particolarmente interessanti sono:

Moti omografici collineari;

Moti omografici piani;

Moti omografici spaziali (per 𝑁 ≥ 4).

Si dimostra che:

Se 𝒄 ≠ 𝟎 ogni moto omografico è piano (e può essere anche collineare);

Se 𝒄 = 𝟎 ogni moto omografico è omotetico (e può essere anche piano);

Se 𝒄 = 𝟎 in un moto omografico (omotetico) ogni corpo si muove su una retta passante per ilbaricentro e i corpi giacciono sui vertici di un poliedro che rimane simile a se stesso e resta fissorispetto al baricentro del sistema.

Una condizione sufficiente per l’esistenza di soluzioni omografiche è contenuta in un teoremadovuto a Laplace:

‘’Se la configurazione iniziale assunta dagli N corpi è centrale, allora il moto è omografico’’.

Per configurazione centrale ad un dato istante si intende che la forza gravitazionale che agisce suogni corpo è proporzionale alla massa del corpo stesso e diretta come il vettore posizione delcorpo rispetto al centro di massa del sistema. Si dimostra[…] che questa condizione è anchenecessaria.