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Titolo presentazione
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Milano, XX mese 20XX
Pressoflessione materiali non reagenti a trazione;Teoria approssimata della torsione e del taglio.
Esercitazioni del corso di Scienza delle CostruzioniCorso di Laurea in Ingegneria Civile
Nicola Cefis
Titolo presentazione
sottotitolo
Milano, XX mese 20XX
Pressoflessione in materiali non resistenti a trazione
Esercitazioni del corso di Scienza delle Costruzioni
Corso di Laurea in Ingegneria Civile
Nicola Cefis
Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.
Pressoflessione in materiali non reagenti a trazioneM
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Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.
Pressoflessione in materiali non reagenti a trazione
In una sezione di trave realizzata con materiale elastico, omogeneo e isotropo e soggetta a tenso/pressoflessione lo stato di sforzo in ogni punto può essere calcolato con la formula trinomia:
Nel caso di materiali non reagenti a trazione questa formula è ancora valida fintanto che i carichi esterni non inducono sforzi di trazione (risultante della compressione interna al nocciolo centrale d’inerzia). Tipici materiali non reagenti a trazione sono i terreni, la pietra, il calcestruzzo non armato, il vetro e i metalli BCC a bassa temperatura.
In caso contrario gli sforzi di trazione che la formula darebbe non sarebbero equilibrabili dal materiale che tenderebbe a fessurare e ridistribuire gli sforzi in altri modi.
Cerchiamo di formulare una relazione basata sull’equilibrio che ci consenta di stimare gli sforzi in una sezione parzializzata di materiale non reagente a trazione.
Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.
Pressoflessione in materiali non reagenti a trazione
Consideriamo una sezione in materiale non reagente a trazione e soggetta a pressione fuori dal nocciolo centrale. La procedura operativa per il calcolo di una distribuzione di sforzo equilibrata è qui riportata
Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.
Pressoflessione in materiali non reagenti a trazioneAnalisi di capacità portante semplificata per diga a gravità
Calcolare gli sforzi al piede della diga e valutarne l’ammissibilità strutturale sapendo che il massimo sforzo ammissibile in compressione sul calcestruzzo è pari a 8MPa.
Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.
Pressoflessione in materiali non reagenti a trazionePasso 1: calcolo le risultanti di forza dovute alle spinte e ai pesi
Calcolo spinte idrauliche per metro di digaSpinta orizzontale S1
Spinta verticale S2
Pesi propri strutturali per metro di digaPeso delle costole laterali P1 e P3
Peso della spina centrale P2
Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.
Pressoflessione in materiali non reagenti a trazionePasso 2: calcolo delle sollecitazioni rispetto al baricentro e degli sforzi
Calcolo della forza di compressione per metro di digaComponenti di compressione: S2, P1, P2, P3
Momento (positivo se «verso valle»)
Calcolo dell’eccentricità
Calcolo dello sforzo massimo in compressione
Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.
Pressoflessione in materiali non reagenti a trazionePasso 3: analisi dei risultati
La verifica statica ha dato esito positivo ma attenzione: la parte reagente è solo 3(H/2-e)=1,14m mentre l’altra parte è fessurata.
Nella fessura che si crea entra l’acqua che crea una sottospintaidraulica tale da modificare anche in modo significativo il momento a valle e quindi invalidando il calcolo appena svolto che dovrebbe essere ripetuto in modo iterativo fino ad arrivare ad una soluzione convergente e totalmente equilibrata (pesi, spinte e sottospinte).
Questo esempio ha pertanto solo valenza accademica per mostrare un’applicazione della teoria della pressoflessione in materiali non reagenti a trazione. Nelle applicazioni reali si cerca sempre di far cadere la risultante nel nocciolo centrale d’inerzia ed evitare qualsiasi forma di fessurazione!
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Milano, XX mese 20XX
Fondamenti di torsione per profili sottili
Esercitazioni del corso di Scienza delle Costruzioni
Corso di Laurea in Ingegneria Civile
Nicola Cefis
Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.
Torsione in profili sottili aperti: valore e andamento dello
sforzo tangenziale
Consideriamo un generico profilo costituito da rettangoli sottili affiancati come quello riportato in figura (dim. in mm) e soggetto ad un momento torcente Mt=1,5kNm
1. Compiliamo la tabella seguente inserendo lunghezza e spessore linee medie
2. Calcolo inerzia torsionale
3. Calcolo sforzo in ogni tratto di LM
Linea media Lunghezza Spessore
l [mm] t [mm]
1 200 9
2 150 6
3 120 8
4 90 5
Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.
Linea media Lunghezza Spessore τ
l [mm] t [mm] [MPa]
1 200 9 161,4
2 150 6 107,6
3 120 8 143,5
4 90 5 89,7
Torsione in profili sottili aperti: valore e andamento dello
sforzo tangenziale
Consideriamo un generico profilo costituito da rettangoli sottili affiancati come quello riportato in figura (dim. in mm) e soggetto ad un momento torcente Mt=1,5kNm
4. Aggiorno la tabella con gli sforzi massimi in ogni tratto e calcolati al punto 3.
5. Calcolo della rotazione unitaria (es. G=80GPa)
Andamento dello sforzo da torsione nei profili aperti (andamento a
farfalla)
Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.
1. Calcoliamo l’area contenuta nella linea media
2. Calcolo dello sforo in ogni tratto attraverso la formula di Bredt
Torsione in profili sottili chiusi: valore e andamento dello
sforzo tangenziale
Consideriamo un generico profilo sottile chiuso costituito da rettangoli sottili affiancati come quello riportato in figura (dim. in mm) e soggetto ad un momento torcente Mt=10 kNm
Linea media Spessore τ
t [mm] [MPa]
1 14 6,0
2 16 5,2
3 20 4,2
4 12 6,9
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Milano, XX mese 20XX
Teoria approssimata del taglio (Jourawsky)
Esercitazioni del corso di Scienza delle Costruzioni
Corso di Laurea in Ingegneria Civile
Nicola Cefis
Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.
I passi per il calcolo dello sforzo tangenziale da taglio sono:
1. Calcolo della geometria di sezione (aree, baricentri, momenti d’inerzia);
2. Posizionamento di un sistema di ascisse che per ogni figura e dirette come il taglio esterno;
3. Calcolo dei momenti statici parziali S* in funzione delle ascisse locali;
4. Applicazione della formula di Jourawsky
Taglio in profili compatti
Consideriamo un generico profilo compatto soggetto ad un taglio Ty=50kN lungo l‘asse principale y.
Interpretazione del segno: se negativo concorde alla
normale uscente.
Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.
Taglio in profili compattiPasso 1: calcolo geometria della sezione
Calcoliamo le caratteristiche geometriche della sezione
Area della sezione
Coordinate del baricentro
Figura Base Altezza Ai x'i y'i
1 240 40 9600 120 20
2 60 120 7200 120 100
3 160 30 4800 120 175
Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.
Taglio in profili compattiPasso 1: calcolo geometria della sezione
Procediamo con il calcolo dei momenti d’inerzia rispetto agli assi x-y
Figura Ixi Iyi Ixyi
1 37131852 46080000 0
2 11208889 2160000 0
3 42672593 10240000 0
Tot 91013333 58480000 0
Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.
Taglio in profili compattiPasso 2: posizionamento degli assi baricentrici e introduzione delle ascisse
Definisco un sistema di ascisse (ϵi) per ogni tratto omogeneo di sezione
Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.
Taglio in profili compattiPasso 3-4: Calcolo i momenti statici parziali e lo sforzo di taglio
Tratto 1: b=240mmCalcolo funzioni A*, d* e S*:
Calcolo valori estremi di S*:
Calcolo valori estremi di τ:
Negativo: concorde alla normale uscente
Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.
Taglio in profili compattiPasso 3-4: Calcolo i momenti statici parziali e lo sforzo di taglio
Tratto 2: b=60mmCalcolo funzioni A*, d* e S*:
Calcolo valori estremi di S*:
Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.
Taglio in profili compattiPasso 3-4: Calcolo i momenti statici parziali e lo sforzo di taglio
Tratto 2: b=60mmCalcolo valori estremi di τ:
Negativo: concorde alla normale uscente
Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.
Taglio in profili compattiPasso 3-4: Calcolo i momenti statici parziali e lo sforzo di taglio
Tratto 3: b=160mmCalcolo funzioni A*, d* e S*:
Calcolo valori estremi di S*:
Calcolo valori estremi di τ:
Positivo: disconcorde alla normale uscente
Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.
Taglio in profili compattiRappresentazione grafica e controlli qualitativi
Si conservano i flussi di taglio alle interfacce?
- Interfaccia 1-2:
- Interfaccia 2-3:
Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.
I passi per il calcolo dello sforzo tangenziale da taglio sono:
1. Calcolo della geometria di sezione (aree, baricentri, momenti d’inerzia);
2. Posizionamento di un sistema di ascisse che per ogni tratto e dirette come le linee medie;
3. Calcolo dei momenti statici parziali S* in funzione delle ascisse locali;
4. Applicazione della formula di Jourawsky
Taglio in profili sottili
Consideriamo un generico profilo sottile soggetto ad un taglio Ty=50kN lungo l‘asse principale y.
Interpretazione del segno: se negativo concorde alla
normale uscente.
Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.
Taglio in profili sottiliPasso 1: calcolo geometria della sezione riferendoci a «linee medie espanse»
Calcoliamo le caratteristiche geometriche della sezione
Area della sezione
Coordinate del baricentro
Lin.med. Base Altezza Ai x'i y'i
1 300 12 3600 0 0
2 9 270 2430 0 135
Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.
Procediamo con il calcolo dei momenti d’inerzia rispetto agli assi x-y
Figura Ixi Iyi Ixyi
1 10698065 27000000 0
2 30547236 16403 0
Tot 41245301 27016403 0
Taglio in profili sottiliPasso 1: calcolo geometria della sezione riferendoci a «linee medie espanse»
Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.
Procediamo con il calcolo dei momenti d’inerzia rispetto agli assi x-y
Figura Ixi Iyi Ixyi
1 10698065 27000000 0
2 30547236 16403 0
Tot 41245301 27016403 0
Taglio in profili sottiliPasso 1: calcolo geometria della sezione riferendoci a «linee medie espanse»
Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.
Taglio in profili sottiliPasso 2: posizionamento degli assi baricentrici e introduzione delle ascisse
Definisco un sistema di ascisse (ϵi) per ogni tratto di linea media
Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.
Calcolo funzioni A*, d* e S*:
Calcolo valori estremi di S*:
Calcolo valori estremi di τ:
Taglio in profili sottiliPasso 3-4: Calcolo i momenti statici parziali e lo sforzo di taglio
Tratto 1: b=12mm (simm. Tratto 2)
Negativo: concorde alla normale uscente
Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.
Calcolo funzioni A*, d* e S*:
Calcolo valori estremi di S*:
Calcolo valori estremi di τ:
Taglio in profili sottiliPasso 3-4: Calcolo i momenti statici parziali e lo sforzo di taglio
Tratto 3: b=9mm
Positivo: discorde alla normale uscente
Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.
Taglio in profili sottiliRappresentazione grafica e controlli qualitativi
Verifica della continuità dei flussi di taglio ai nodi
Firma convenzione
Politecnico di Milano e Veneranda Fabbrica
del Duomo di Milano
Aula Magna – Rettorato
Mercoledì 27 maggio 2015
Pressoflessione materiali non reagenti a trazione;Teoria approssimata della torsione e del taglio.
Esercitazioni del corso di Scienza delle CostruzioniCorso di Laurea in Ingegneria Civile
Nicola Cefis