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8/18/2019 [PreUSM] G6-Geometria
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Preuniversitario Solidario Universidad Santa María
Matemáticas Cuartos Medios Geometría Guía 2
Semana del X al Y de 2012
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sugerencias: [email protected]
Trigonometría.
La trigonometría define una serie de razones entre distintos
lados de untriángulo rectángulo. En esta guía veremos como usar
estas razones para lasolución de problemas de planteo que
involucren triángulos rectángulos.
Figura 1: Un triángulo rectángulo
Razones trigonométricas:Las razones trigonométricas es una
función de un ángulo agudo de untriángulo rectángulo que equivale a
una división entre alguno de sus lados.Para los ejemplos de aquí se
usará como ejemplo el triángulo de la figura 1.
Función Nombre Definición En la figura Seno
Coseno
Tangente
Cosecante
Secante
cotangente
A partir de la información de la tabla anterior, completar la
siguientetabla:
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Función Def
inición En la figura
Profes: hacer notar que el seno de un ángulo es el coseno del
otro.
Ejemplo
1. Si , entonces =
a)
b)
c)
d)
e)
Seno y coseno de ángulos comunes:0° 30° 45° 60° 90°
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
A partir de esos se pueden despejar todos los demás. Por ejemplo
tangente
de 30° se puede despejar como
√
√. De la
misma forma podemos calcular la secante de 45° como
√
√
Profes: Hagan notar la regularidad numérica que setiene
(denominador común, numerador aumentándoseen 1)
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Uso de las razones trigon
ométricas:Normalmente las razones trigonométricas se usan para
calcular los lados deun triángulo teniendo solo un ángulo y un
lado. Esto se explicará con unejercicio resuelto:
Ejemplo: Encontrar el valor del lado faltante del triángulo de
la figura:
Figura 2: Triángulo rectángulo a resolver.
En este caso tenemos un ángulo de 45° y debemos de encontrar el
lado b.Para ello podemos usar la función coseno con el ángulo de
45°, dado que elcoseno relaciona el cateto adyacente con la
hipotenusa (de valor conocido).Luego se hace la igualdad, se
reemplazan los datos conocidos y se resuelve:
√
√
√ √
Así despejando el lado faltante.
Ángulos de elevación y depresión
Los ángulos de elevación y depresión son los que se forman con
respecto a
la horizontal y la línea de mira del observador.
Figura 3: Ángulos de depresión y elevación.
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Esto se entiende mejor con una figura. En la figura número 2 se
tiene a unapersona en un barco y a otro en un faro. El ángulo
corresponde al ángulo
de elevación y el ángulo corresponde al de depresión. Dado
que sonángulos alternos internos (¿se acuerdan?) son iguales.
Ejemplo
2. Tuxedo-Mask mira a Serena desde la cima de un edificio.
Si miracon un ángulo de depresión de 60° y la distancia entre los
dos es de200 metros, ¿Cuál es la distancia, en metros entre Serena
y eledificio?
a)
100b) √ c)
√
d) 200
e) √
Identidades trigonométricas
La trigonometría no solo se trabaja a nivel de resolución de
triángulos, sinoque también se puede ver de forma algébrica. Para
esto pueden ser útileslas siguientes fórmulas:
Ejemplos
3. El valor de es:
a) √
b)
c) √
√
d)
e) No se puede determinar sin saber las medidas
de
sen(64°) y cos(64°)
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4. Según el triángulo de la figura 1
, ¿Cuál de las siguientes expresioneses(son) equivalentes a
?:
I. II.
III.
a)
Sólo Ib) Sólo I y IIc) Sólo II y IId) Sólo I y
III
e)
I, II y III
Ejercicios Propuestos
1. Con respecto a la materia vista en la guía, es falso
afirmar que:
a) Si calculamos alguna de las funciones trigonométricas
de unángulo de un triángulo rectángulo, y luego duplicamos los
ladosde ese triángulo, el resultado no cambia.
b)
Como el coseno y el seno de 45° son equivalentes se puedeafirmar
que en un triángulo rectángulo de 45° los catetostienen el mismo
largo.
c) Las funciones seno y coseno solo pueden tomar valores
entre 0y 1.
d)
Las funciones tangente y cotangente solo pueden tomarvalores
entre 0 y 1.
e) El ángulo de depresión y de elevación tienen el mismo
valor.
2. Se puede despejar el largo de los lados de un triángulo
rectángulo si:(1) Se sabe uno de sus ángulos agudos.(2)
Se sabe uno de sus lados.
a) (1) por sí solab) (2) por sí solac)
Ambas juntas (1) y (2)d) Cada una por sí sola (1) ó
(2)e)
Se requiere información adicional.
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3. Del triángulo rectángulo de hipot
enusa 1 de la figura es correcto afirmarque:
I. Si implica que ̅ .
II. Si implica que los catetos son iguales y devalor
⁄
III. Que implica que .
a) Sólo Ib) Sólo IIc)
Sólo IIId) Sólo I y IIe) Sólo II y III
4. Batman encuentra una promoción de ropa gótica en la
cima de unedificio. Tira su batigancho, formando un ángulo de 30°
con respecto ala horizontal, llegando justo a la cima del edificio.
Si el batigancho tieneun largo de 20 metros, ¿Cuáles la distancia
entre batman yel edificio?
a) √ metrosb)
c) √ metrosd) metrose)
√ metros
5. Para saber el valor de
se requiere conocer:(1) El valor de (2) El
valor de
a) (1) por sí solab) (2) por sí solac) Ambas
juntas (1) y (2)d) Cada una por sí sola (1) ó (2)e) Se
requiere información adicional.
6. El valor de ̅ en el siguiente triángulo
rectángulo de la figura es:
a) √ b)
c) √ d) e)
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7.
a)
b) c)
√ ⁄
d) ⁄
e) ⁄
8. Gokú está en su nube voladora buscando las esferas del
dragón. Si ladivisa con un ángulo dedepresión de 30°, ¿A
quédistancia se encuentra de
la esfera del dragón?Considere que la distanciaentre Gokú y el
piso es de10 metros.
a) √ metrosb) metrosc)
√ metrosd) √ metrose)
√ metros
